北师大数学八上《认识无理数》同课异构教案 (9)
北师大版八年级数学上册第二章实数第1节认识无理数优秀教学案例
2.案例分析：让学生分析一些实际问题，如测量物体长度、计算圆的面积等，运用无理数解决实际问题。
3.小组分享：各小组向全班分享自己的讨论成果和案例分析，促进学生之间的交流和合作。
（四）总结归纳
1.无理数的定义和性质：引导学生总结无理数的定义和性质，加深学生对无理数概念的理解。
北师大版八年级数学上册第二章实数第1节认识无理数优秀教学案例
一、案例背景
本节内容是北师大版八年级数学上册第二章实数的第一节——认识无理数。在学习了有理数的基础上，本节课引导学生认识无理数，理解无理数的概念和性质，体会数学的广泛应用。无理数是数学中的一个重要概念，它在生活中和学科领域中有着广泛的应用。如圆周率π就是一个无理数，它在几何学、物理学等领域有着重要应用。另外，无理数在数学分析、高等数学等领域也是基本概念。因此，本节课对于学生理解和掌握数学知识体系，培养学生的数学思维能力具有重要意义。
5.注重学生的反思与评价：在教学过程中，我注重学生的反思与评价，及时反馈，指导学生的改进方向。通过引导学生进行自我反思和相互评价，我帮助学生检查自己对无理数概念的理解和掌握程度，发现自己的不足，明确改进的方向。这种教学方式能够培养学生的评价能力和批判性思维，提高学生的自我认知和自我改进能力。
作为一名特级教师，我深知教学案例亮点的重要性。在教学过程中，我努力将教学内容与学生的生活实际和学科领域相结合，采用多种教学方法和手段，关注学生的个体差异，创设生动有趣的情境，引导学生在问题导向的过程中自主探究和合作交流，培养学生的数学思维能力和问题解决能力。同时，我注重学生的反思与评价，及时反馈，调整教学策略，以达到最佳教学效果。
（二）讲授新知
1.无理数的定义：详细讲解无理数的定义，并通过实例进行说明，让学生理解和掌握无理数的概念。
北师大版八年级数学上册：21认识无理数优秀教学案例
1.划分学习小组：将学生分为若干小组，鼓励他们相互讨论、交流，共同解决问题。
2.设计小组活动：让学生结合教材，探讨无理数在实际生活中的应用，如测量、计算等，培养学生的实践能力。
3.小组合作探究：组织学生进行合作探究，如共同探究无理数的估算方法，培养学生团队协作能力和沟通能力。
（四）总结归纳
本节课的教学内容主要包括：了解无理数的定义，理解无理数与有理数的区别和联系，学会用估算方法求无理数的大小，以及掌握实数的概念。在教学过程中，我以生活实际为导入，激发学生的学习兴趣，通过自主探究、合作交流的学习方式，引导学生理解无理数的定义，感知无理数的存在，并体会数学与生活的紧密联系。在教学设计上，我注重培养学生的抽象思维能力，通过丰富的教学活动，让学生在实践中感受无理数的魅力，提高他们的数学素养。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活导入：以日常生活中的实例为切入点，如测量物体长度、计算建筑物高度等，引发学生对无理数的兴趣，激发学习欲望。
2.情境创设：通过展示历史上数学家对无理数的研究过程，让学生了解无理数的发展历程，感受数学的趣味性和严谨性。
3.实践操作：让学生亲自动手进行实验，如测量圆的周长、计算根号下的平方等，从而感知无理数的存在，提高实践能力。
（二）问题导向
1.设计具有启发性的问题，引导学生思考无理数的定义和性质，如：“无理数和有理数有什么区别？”，“如何判断一个数是无理数还是有理数？”等。
2.通过问题驱动，引导学生探究无理数的运算规律，提高学生的逻辑思维能力。
3.鼓励学生提出问题，培养他们独立思考和解决问题的能力。
（三）小组合作
1.划分学习小组，鼓励学生相互讨论、交流，共同解决问题。
2.设计小组合作活动，如共同探究无理数的估算方法，培养学生团队协作能力和沟通能力。
北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》教学设计
北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》教学设计一. 教材分析《认识无理数》是北师大版八年级数学上册第二章的第一节内容。
本节内容是在学生学习了实数、有理数的基础上，引入无理数的概念，使学生了解无理数在生活中的应用和实际意义，培养学生运用数学解决实际问题的能力。
教材通过丰富的实例和探究活动，让学生感受无理数的存在，体验数的概念的扩展，培养学生的数感。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了实数和有理数，对数的概念有一定的了解。
但是，学生对无理数的理解可能还比较模糊，需要通过具体的实例和实践活动来加深对无理数概念的理解。
此外，学生可能对无理数的存在感到困惑，需要教师通过讲解和引导，让学生逐渐接受无理数的存在。
三. 教学目标1.了解无理数的概念，理解无理数的存在和实际意义。
2.能够识别常见的无理数，如π、√2等。
3.能够运用无理数解决实际问题，提高运用数学解决实际问题的能力。
4.培养学生的数感，提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.重点：无理数的概念和实际意义的理解。
2.难点：无理数的识别和运用。
五. 教学方法1.实例教学法：通过具体的实例，让学生感受无理数的存在和实际意义。
2.实践活动法：通过实践活动，让学生加深对无理数概念的理解。
3.问题驱动法：通过提问和引导，让学生主动探索无理数的性质和运用。
六. 教学准备1.教材和教案。
2.投影仪和教学课件。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用投影仪展示生活中的实例，如圆的周长和面积的关系，引出无理数的概念。
2.呈现（10分钟）讲解无理数的定义，通过具体的实例，让学生感受无理数的存在。
如π、√2等。
3.操练（10分钟）让学生进行练习，识别常见的无理数，加深对无理数概念的理解。
4.巩固（10分钟）讲解无理数的性质和运用，让学生通过实践活动，加深对无理数概念的理解。
5.拓展（10分钟）引导学生思考无理数在生活中的应用和实际意义，培养学生的数感。
北师大版八年级上册2.1《认识无理数》教案
实践活动环节，我让学生分组讨论并实验操作，目的是让他们在实践中加深对无理数的理解。从成果展示来看，学生们的讨论和操作都比较顺利，但我认为在引导讨论过程中，还可以进一步拓宽话题，让学生从更多角度探讨无理数的应用。
北师大版八年级上册2.1《认识无理数》教案
一、教学内容
北师大版八年级上册2.1《认识无理数》教案：
1.了解无理数的概念及其与有理数的区别；
2.掌握无理数的表示方法，如根号表示、无限不循环小数表示等；
3.理解无理数在数轴上的位置，能正确比较两个无理数的大小；
4.掌握无理数的近似计算方法，如平方根的近似值计算；
3.在实践活动和小组讨论中，要关注每个学生的参与度，鼓励他们提出自己的观点；
4.教学中要注重培养学生的动手操作能力和团队合作精神。
在今后的教学中，我会根据今天的反思，不断调整和改进教学方法，以期提高学生的学习效果。
在学生小组讨论环节，我鼓励学生提出自己的观点，并与其他同学进行交流。这个过程让我看到了学生们的积极性和创造力。但同时，我也注意到有些学生在讨论中较为沉默，可能需要我在以后的教学中更加关注这部分学生的参与度。
1.教学中要注重学生的生活实际，从他们熟悉的事物出发，引导他们感知数学概念；
2.针对难点内容，需要准备更多具体的例子和比较，帮助学生更好地理解；
5.通过实例分析，感受无理数在实际生活中的应用。
本节课，我们将带领学生深入认识无理数，理解其内涵与外延，并能应用于实际问题中。
北师大版八年级上册《认识无理数》教学设计
北师大版八年级上册《认识无理数》教学设计《北师大版八年级上册《认识无理数》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！第二章实数1 认识无理数教学目标【知识与技能】1.通过拼图活动,让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断给出的数是否为有理数,并能说出理由.【过程与方法】1.让学生亲自动手实践,感受无理数存在的必要性和合理性,培养学生的动手能力和合作精神.2.通过回顾有理数的有关知识,能正确地进行推理和判断,识别某些数是否为有理数,训练他们的思维判断能力.【情感、态度与价值观】1.激励学生积极参与教学活动,提高大家学习数学的热情.2.引导学生充分进行交流,讨论与探索等教学活动,培养他们的合作与钻研精神.3.了解有关无理数发现的知识,鼓励学生大胆质疑,培养他们为真理而奋斗的献身精神.教学重难点【重点】1.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.2.会判断一个数是否为有理数或无理数.【难点】1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.2.判断一个数是否为有理数.教学过程一、创设情境,引入新课师:同学们已经上了好多年的学,学过很多的数,同学们能概括一下都学过哪些数吗?生1:在小学我们学过自然数、小数、分数.生2:在初一我们还学过负数.师:对,我们在小学学了非负数,在初一发现数不够用了,引入了负数,即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢?今天这节课我们就来共同研究这个问题.二、讲授新课1.提出问题.师:请同学们四个人为一组,拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀,认真讨论之后,动手剪一剪,拼一拼,设法得到一个大的正方形,好吗?生:好!(学生非常高兴地投入到活动中.)师:经过大家的共同努力,每个小组都完成了任务,请同学们把自己拼的图展示一下.同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.师:现在我们一齐把大家的做法总结一下:师:下面再请大家共同思考一个问题,假设拼成的大正方形的边长为a,那么a应满足什么条件呢?生1:a是正方形的边长,所以a肯定是正数.生2:因为两个小正方形的面积之和等于大正方形面积,所以根据正方形的面积公式可知a2=2.生3:由a2=2可判断a应是1点几.师:同学们说得都有道理,前面我们已经总结了有理数包括整数和分数,那么a是整数吗?a是分数吗?请大家分组讨论后回答.生1:我们组的结论是:因为12=1,22=4,32=9,…,可知整数的平方越来越大,所以a应在1和2之间,故a不可能是整数.生2:因为×=,×=,×=,…,两个相同分数的乘积都为分数,所以a不可能是分数.师:经过大家的讨论可知,在等式a2=2中,a既不是整数,也不是分数,所以a不是有理数,但在现实生活中确实存在像a这样的数,由此看来,数又不够用了.2.做一做.(教师多媒体出示图片)(1)在下图中,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?(2)设该正方形的边长为b,那么b应满足什么条件呢?(3)b是有理数吗?师:请大家先回忆一下勾股定理的内容.生:在直角三角形中,若两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,则有a2+b2=c2.师:在这道道题中,两条直角边长分别为1和2,斜边长为b,根据勾股定理得b2=12+22,即b2=5,那么b是有理数吗?请举手回答.生1:因为22=4,32=9,22<b2<32,所以b在2,3之间,不可能是整数.< p=""> </b2<32,所以b在2,3之间,不可能是整数.<> 生2:没有两个相同的分数相乘得5,故b不可能是分数.生3:因为没有一个整数或分数的平方为5,所以b不是有理数.师:大家分析得很准确,像上面讨论的数a、b都不是有理数.下面我们再来看一个问题:(教师多媒体出示)面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?(1)如图,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.(2)边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.(3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?边长a 面积S 1<a </a师:事实上,a=1.41421356…是一个无限不循环小数.同样,对于体积为2的正方体,借助计算器,可以得到它的棱长为1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.请同学们把下列各数表示成小数:3,,,-,.学生计算并回答.师:通过计算,同学们发现了什么?生:这些数可以用有限小数表示,或者可以用无限循环小数表示.师:很好!事实上,有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.我们把无限不循环小数称为无理数.我们十分熟悉的圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,因此它也是一个无理数.还有如0.585885888588885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1),也是无理数.三、例题讲解【例】下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?3.14,-,0.,0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).【答案】有理数有:3.14,-,0.;无理数有:0.101 000 100 000 1…四、课堂小结师:通过这节课的学习,同学们有什么收获?学生发言,教师点评.北师大版八年级上册《认识无理数》教学设计这篇文章共3857字。
八年级数学上册2.1认识无理数教学设计 (新版北师大版)
八年级数学上册2.1认识无理数教学设计（新版北师大版）一. 教材分析《八年级数学上册2.1认识无理数》这一节，主要让学生了解无理数的概念，掌握无理数的性质，以及学会用有理数和无理数表示实数。
教材通过生活中的实例引入无理数的概念，接着引导学生通过观察、思考、探究，掌握无理数的性质。
在这一过程中，学生需要理解无理数与有理数的区别，以及无理数在实际生活中的应用。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数的概念和性质，具备一定的数学基础。
但是，对于无理数这一概念，学生可能较为陌生，难以理解。
因此，在教学过程中，教师需要结合学生的实际情况，从生活实例出发，引导学生逐步理解无理数的概念，并掌握无理数的性质。
三. 教学目标1.让学生了解无理数的概念，知道无理数是一种实数。
2.让学生掌握无理数的性质，能够辨别一个数是有理数还是无理数。
3.让学生理解无理数在实际生活中的应用，提高学生运用数学知识解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重难点：无理数的概念和性质。
2.难点：理解无理数在实际生活中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入无理数的概念，让学生在实际情境中感受无理数。
2.启发式教学法：引导学生观察、思考、探究，从而掌握无理数的性质。
3.小组合作学习：让学生在小组讨论中，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示无理数的定义、性质和实际应用。
2.教学素材：准备一些生活中的实例，用于引入无理数的概念。
3.练习题：准备一些有关无理数的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实例，如圆的周长、声音的频率等，引导学生思考这些实例与数学的关系。
进而提出问题：“你知道无理数吗？无理数是什么？”让学生分享自己对无理数的理解。
2.呈现（15分钟）教师利用课件，详细讲解无理数的定义、性质和特点。
同时，通过展示一些实际应用的例子，让学生了解无理数在生活中的重要作用。
北师大版八年级上册第二章实数第一节认识无理数教案
第二章实数第一节认识无理数教案一、教学目标1. 理解无理数的概念，掌握实数的概念及其性质。
2. 能够正确地进行无理数的运算，掌握实数大小的比较方法。
3. 培养学生对数学的兴趣和探究精神，提高逻辑思维能力。
二、教学重点和难点教学重点：1. 无理数的概念和实数的性质。
2. 无理数的运算和大小比较。
教学难点：1. 如何理解无理数的概念。
2. 如何正确进行无理数的运算。
三、教学过程1. 引入新知：通过问题导入，引导学生思考有理数无法表示的数，进而引出无理数的概念。
2. 概念讲解：详细讲解无理数的概念和实数的性质，让学生理解无理数的含义和特点。
3. 例题讲解：选取具有代表性的例题，引导学生进行无理数的运算和大小比较，掌握无理数的运算法则和实数大小的比较方法。
4. 练习与检测：让学生进行课堂练习和自我检测，加深对无理数的理解和掌握。
5. 巩固知识：通过提问、小组讨论等方式，让学生回顾所学知识，巩固记忆。
6. 拓展延伸：介绍无理数在其他数学领域的应用，引导学生了解数学的实际应用价值。
四、教学方法和手段1. 讲解与演示：教师通过讲解和演示，让学生理解无理数的概念和性质。
2. 练习与讨论：学生进行课堂练习和小组讨论，加深对无理数的理解和掌握。
3. 多媒体辅助：使用多媒体设备展示无理数和实数的图形关系，帮助学生更好地理解概念。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 课堂练习：选取适当的练习题，让学生在课堂上进行无理数的运算和大小比较，检验学习效果。
2. 课后作业：布置适量的作业题，让学生在家中继续巩固无理数的知识和技能。
3. 互动评价：学生之间互相评价课堂练习和作业，互相学习和帮助，共同提高。
六、辅助教学资源与工具1. PPT讲解：提供详细的PPT讲解，帮助学生更好地理解无理数的概念和性质。
2. 数学软件：使用数学软件展示无理数和实数的图形关系，帮助学生更好地理解概念。
3. 参考资料：提供相关的数学参考资料，供学生自主学习和研究。
北师版八年级上册第二章2.1.2认识无理数(教案)
2.1.2认识无理数掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.【重点】能用所学定义正确判断所给数的属性.【难点】无理数概念的建立.【教师准备】计算器、立方体、多媒体课件.【学生准备】计算器、复习有理数的分类.导入:前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢?1.有理数是如何分类的?【问题解决】有理数整数如-…分数如-…2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a2=2,b2=5中的a,b不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.[设计意图]通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目.一、数的小数表示面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?(1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.(2)边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.(3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?【思考】a的范围在哪两个数之间?左面的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长?【归纳总结】a是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?事实上,a=1.41421356…,它是一个无限不循环小数.【做一做】 (1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.(2)如果结果精确到0.01呢?(提示:精确到0.1,b ≈2.2,精确到0.01,b ≈2.24)同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c =1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.[设计意图] 让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐缩小范围,借助计算器探索出a =1.41421356…,b =2.2360679…,c =1.25992105…是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.二、有理数的小数表示,明确无理数的概念思路一:请同学们以学习小组的形式活动.【议一议】 把下列各数表示成小数,你发现了什么?3, , ,- ,. 【答案】 3=3.0, =0.8, =0. ·,- =-0.1 ·,=0. · ·. 分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?思路二:回忆小学我们学过的计算圆的周长和面积的时候,用到的π取多少?(3.14)它是确切的值吗?(不是,是近似值)那π是有理数吗?(不是)并且,我们还知道,利用计算机,现在π已经算到几亿分位,但是还是没有算出来.当然,π也不能化为分数的形式,所以π不是有理数,那π是什么数呢?【探究结论】分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.【强调】像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数称为无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数)【想一想】你能找到其他的无理数吗?[设计意图]通过学生的活动与探究,得出无理数的概念,通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必要性,建立了无理数的概念.三、例题讲解下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?3.14,- , 0. · ·,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).解:有理数有:3.14,- ,0. · ·;无理数有:0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).【强调】 1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.2.任何一个有理数都可以化成分数 的形式(q ≠0,p ,q 为整数且互质),而无理数不能.[设计意图] 通过例题的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类.[知识拓展] 确定x 2=a (a ≥0)中正数x 的近似值的方法:1.确定正数x 的整数部分.根据平方的定义,把x 夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.例如:求x 2=5中的正数x 的整数部分,因为22<5<32,即22<x 2<32,所以2<x <3,因此x 的整数部分为2.2.确定x 的小数部分十分位上的数字.(1)将这两个整数平方和的平均数与a 比较,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为 =6.5>5,所以x 的十分位上的数字一定比3小,不妨设x ≈2.2.(2)设误差为k (k 必为一个纯小数,且k 可能为负数),则x =2.2+k ,所以(2.2+k )2=5,所以4.84+4.4k +k 2=5,因为k 是小数,所以k 2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k =5,所以k ≈0.036,所以x =2.2+k ≈2.2+0.036=2.236.实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.22<x 2<2.32,所以2.2<x <2.3,所以十分位上的数字为2.数 有理数 有限小数或无限循环小数 整数分数无理数 无限不循环小数1.下列说法中正确的是 ( )A .无限小数都是无理数B .有限小数是无理数C .无理数都是无限小数D .有理数是有限小数答案:C2.以下各正方形的边长是无理数的是( ) A .面积为25的正方形B .面积为的正方形 C .面积为8的正方形D .面积为1.44的正方形解析:52=25, ,(1.2)2=1.44.故选C . 3.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边长a 是有理数吗?解:由勾股定理得: a 2=32+52,即a 2=34.因为不存在有理数的平方等于34,所以a 不是有理数.4.已知- ,5,-1. · ·,π,3.1416, ,0,42,(-1)2n ,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).(1)写出所有有理数;(2)写出所有无理数.解:(1)有理数:- ,5,-1. · ·,3.1416, ,0,42,(-1)2n .(2)无理数:π,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).2.1.2认识无理数1.数的小数表示.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念.3.例题讲解.一、教材作业【必做题】教材随堂练习.【选做题】教材习题2.2第2,4题.二、课后作业【基础巩固】1.面积为3的正方形的边长为x,则x ()A.1<x<2B.2<x<3C.3<x<4D.4<x<52.一个正三角形的边长是4,高为h,则h是()A.整数B.分数C.有限小数D.无理数【能力提升】3.在直角三角形中,若两条直角边的长分别是2和3,则斜边长的平方是,则斜边长是数.【拓展探究】4.设半径为a的圆的面积为20 π.(1)a是有理数吗?说说你的理由;(2)估计a的值(精确到十分位,并利用计算器验证你的估计);(3)如果精确到百分位呢?5.在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢?要解决这个问题,必须首先求出正方形的边长,那么,请你算一算:(1)如果精确到十分位,正方形的边长是多少?(2)如果精确到百分位呢?【答案与解析】1.A(解析:12=1,22=4.)2.D(解析:由勾股定理,得h2=42-22=12,没有整数或分数的平方等于12,所以h为无理数.)3.13无理(解析:由勾股定理,可得斜边的平方为13,没有整数或分数的平方为13,所以是无理数.)4.解:(1)∵πa2=20π,∴a2=20.a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数. (2)a≈4.5. (3)a≈4.47.5.解析:1.72=2.89,1.73=2.9929.解:(1)1.7米. (2)1.73米.本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”,让学生通过估算、借助计算器进行探索、讨论等途径,体会数学学习的乐趣,体会无限逼近的数学思想,得到无理数的概念.对基础较薄弱的学生和班级,这一探索过程所需时间较长,会影响后面环节的进行.知识分类整理环节,学生自主整理和接受会有一定困难,若学生学习例题后再进行知识分类整理可能会更好.感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的,所以绝对不能淡化.随堂练习(教材第24页)解:有理数有:0.4583,3. ·,- ,18.无理数有:-π.习题2.2(教材第25页)1.解:- ,3.9 ·,-234.10101010…(相邻两个1之间有1个0)是有理数,0.12345678910111213…(小数部分由相继的正整数组成)是无理数.2.提示:(1)x 不是有理数. (2)x ≈3.2. (3)x ≈3.16.3.(1)✕ (2) (3)✕ (4)✕4.解: ,π-1,3.4141141114…(相邻两个4之间1的个数逐次加1)等,答案不唯一.由于本节的重点之一是让学生经历借助计算器探索无理数是无限不循环小数的过程,因此,要重视教材创设(或相同类型)的问题,针对内容应该花较多的时间,教师应积极引导,让学生有充足的时间借助计算器进行思考和交流,循序渐进地缩小范围,体会无限逼近的思想.本节渗透了用有理数近似地表示无理数和用有理数逼近无理数的数学思想,通过探索,学生容易理解“无限”,但对“不循环”一般不会有清楚的认识,只有逐步渗透理解,教学中不必多说.“逼近”思想可以借用中央电视台的“幸运52”的猜商品的价格游戏进行解释.为进一步让学生理解无理数的概念,应强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别,前者不能化为分数,后者可以化为分数,但如何化成分数,教师不必深入讲解.鼓励学生自学教材中的“读一读”,了解无理数产生的历史背景和人类的科学精神,特别是对学有余力的学生,在教师引导下,可阅读“边长为1的正方形的对角线的长是无理数”的严格证明.一根长为5米的电线杆竖立于地面,为保证它的安全,要用三根钢丝把它固定,要求每根钢丝一头拉着电线杆的最上端,一头系在离电线杆3米远的地面木桩上,则每根钢丝的长要满足什么条件?它是有理数吗?大概是多长?〔解析〕每根钢丝的长要满足它的平方等于52+32,它不是有理数,大概是5.8米.解:由勾股定理,得钢丝长的平方等于52+32=34,但是找不到一个整数的平方是34,也找不到一个分数的平方是34,所以,它不是有理数,5.82=33.64,接近于34,所以大概为5.8米.。
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2.1 认识无理数
本节课的教学目标是:
1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想.
2．探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.
3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力.
4.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力. 三 、教学过程设计
本节课设计六个教学环节:
第一环节：新课引入；第二环节：活动与探究；第三环节：知识分类整理；第四环节：知识运用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置. 第一环节：新课引入
内容:想一想：
1. 有理数是如何分类的？
整数（如1-，0，2，3，…) 有理数 分数(如
31，52-，11
9
，0.5，… ) 2. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π，0.020020002…上节课又了解到一些数，如2
2=a ，2
5=b 中的a ，b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目. 第二个环节：活动与探究
1. 探索无理数的小数表示
内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a 和面积为5的正方形的边长b 进行估计.
请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a 的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.
边长a 面积s 1<a <2 1<s<4 1.4<a <1.5 1.96<s<2.25 1.41<a <1.42 1.9881<s<2.0164 1.414<a <1.415 1.999396<s<2.002225 1.4142<a <1.4143
1.99996164<s<
2.00024449
归纳总结:a 是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a 一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.
请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值. 2. 探索有理数的小数表示，明确无理数的概念
请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式.
议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？ 探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数. 即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
强调：像0.585885888588885…，1.41421356…，－2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.
我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数).
第三个环节：知识分类整理 有理数和无理数统称为实数.
1．从符号考虑，实数可以分为正实数、0、负实数，即：
⎪⎩
⎪⎨⎧负实数正实数实数0
2．另外从实数的概念也可以进行如下分类：
强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类?
第四个环节：知识运用与巩固
认识一个数是无理数还是有理数. 1填空:
0.351， 4.96••
-，32-， 3.14159， 6， －5.2323332…，3
π
，1234567891011…(由相继的正整数组成).
2 判断下列说法是否正确
(1)有限小数是有理数; （ ） (2)无限小数都是无理数; （ ） (3)无理数都是无限小数; （ ） (4)有理数是有限数. （ ） 3以下各正方形的边长是无理数的是（ ） (A ）面积为25的正方形； (B ） 面积为
25
4
的正方形； (C ） 面积为8的正方形； (D ） 面积为1.44的正方形. 练一练：
1.课本P 23 随堂练习.
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
实数
整数
分数
有理数集合
无理数集合
…
(3)
5
a
2.已知：在数4
3-，5， 1.42••
-，π，3.1416，32，0，2
4，2n (1)- ，
－1.424224222…中， （1）写出所有有理数； （2）写出所有无理数；
（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接. 第五个环节：课堂小结
内容：本节课你有哪些收获? 1．无理数的定义.
2．你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？ 3．请把已学过的数怎样分类？ 第六个环节：评价：
1．判断下列说法是否正确：（1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数；
（3）带根号的数都是无理数.
2．求下列各数的相反数、倒数和绝对值： （1）7； （2）38-； （3）49．
3．在数轴上作出5对应的 七、变练 1在实数2
3
-
，02π9 ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
2 比较2.537-，
， ） Ａ．3 2.57-<< Ｂ．2.537<-<37 2.5<<
7 2.53<<-
3 “数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P 2，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）
Ａ．代入法 Ｂ．换元法 Ｃ．数形结合 Ｄ．分类讨论
4、2的相反数是 ．
5、3的倒数是 ．
6、下列各数中，最小的实数是（ ）A ．－3 B ．－1 C ．0 D ．3
7、下列各组数中，互为相反数的是（ ） A ．2和
21 B ．-2和－21
C ． -2和|-2|
D ．2和2
1 8、在下列实数中，无理数是（ ）A ．13 B ．π C ．16 D ．22
7
9、下列说法正确的是( ).
A. 无限小数是无理数
B. 不循环小数是无理数
C. 无理数的相反数还是无理数
D. 两个无理数的和还是无理数 10、下列四个数中，最小．．的数是（ ）．A.2－ B.1－ C. 0 D.2
11、在三个数0.5，53，13-中，最大的数是（ ）Ａ．0.5 Ｂ．53 Ｃ．1
3
- Ｄ．不能确定
12、已知：20n 是整数，则满足条件的最小正整数n 为（ ）A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
13、如图，数轴上A B ，两点表示的数分别是1和2，点A 关于点B 的对称点是点C ，则点C 所表示的数是（ ）A ．21- B ．12+ C ．222-
D ．221-
14、|3.14π|-的值为（ ）A ．0 B ．3.14π- C ．π 3.14- D ．0.14
152 ）A ．2- B 2 C ．22-
D ．2
2
163 ）A ．5- B ．0 C ．3 D 217、下列各数中，最小的数是（ ）A ．1-
B ．0
C ．1
D 218、已知x 为整数，且满足23x x = .
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