力学教程 2.1质点的运动学方程
质点的运动方程与动量守恒定律
质点的运动方程与动量守恒定律质点运动是物理学中的基本概念，也是许多实际问题的关键。
在研究质点运动时，我们常常需要借助运动方程和动量守恒定律来描述和解释质点的行为。
一、质点的运动方程质点的运动方程描述了质点在不同时刻的位置和速度之间的关系。
根据牛顿第二定律，质点的运动方程可以表示为力对质点的作用导致质点加速度的改变。
具体而言，对于质量为m的质点，其运动方程可以表达为：$$m\cdot a = F$$其中，m表示质点的质量，a表示质点的加速度，F表示作用在质点上的合力。
在一维运动中，我们将质点沿x轴方向移动，并设此时的速度为v。
根据导数的定义，我们可以得到质点的加速度与速度之间的关系式：$$a = \frac{dv}{dt}$$从而得到一维质点的运动方程：$$m\cdot\frac{dv}{dt}=F$$为了具体描述质点的运动情况，我们常常将力F表示为与质点位置x相关的函数。
这样，我们就得到了包含位置、速度和时间的微分方程$$m\cdot\frac{dv}{dt}=f(x)$$二、动量守恒定律动量守恒定律是质点运动中另一个重要的物理定律。
根据动量守恒定律，封闭系统中的总动量在运动过程中保持不变。
具体而言，在忽略外力对系统的作用时，系统内各个质点的动量之和保持恒定。
设系统中有两个质点，质量分别为m1和m2，初始状态下分别具有速度v1和v2。
根据动量的定义，质点的动量等于质点的质量乘以其速度。
根据动量守恒定律，我们可以得到：$$m1\cdot v1 + m2\cdot v2 = m1\cdot v1' + m2\cdot v2'$$其中，v1'和v2'表示系统在某一时刻的最终速度。
上述方程表示了系统内质点动量的守恒性。
动量守恒定律在许多物理现象和实际问题中都有广泛的应用。
例如，当一个质点发生碰撞时，质点之间的相互作用力会改变它们的速度，但是它们的总动量在碰撞前后保持不变。
质点运动方程公式
质点运动方程公式质点运动方程公式是描述质点运动规律的数学公式。
在物理学中，质点是一个理想化的物体，忽略其大小和形状，只考虑其质量和位置。
质点运动方程公式可以用来描述质点在空间中的位置、速度和加速度随时间的变化关系。
质点运动方程公式可以分为两种情况：匀速直线运动和变速直线运动。
对于匀速直线运动，质点的加速度为零，速度保持不变，质点运动方程公式可以简化为s = v × t，其中s表示质点的位移，v表示质点的速度，t表示时间。
对于变速直线运动，质点的加速度不为零，速度随时间变化，质点运动方程公式可以表示为s = ut + 1/2at^2，其中s表示质点的位移，u表示质点的初速度，a表示质点的加速度，t表示时间。
质点运动方程公式的应用非常广泛。
在日常生活中，我们可以通过质点运动方程公式计算出物体的位移、速度和加速度，从而了解物体的运动规律。
在工程领域，质点运动方程公式可以用来设计机械运动系统，优化运动轨迹，提高工作效率。
在天文学中，质点运动方程公式可以用来研究行星、卫星等天体的运动轨迹和速度变化规律。
质点运动方程公式还可以与其他物理公式相结合，进一步研究质点的运动特性。
例如，与牛顿第二定律结合可以得到质点的运动方程F = ma，其中F表示作用在质点上的力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
通过解方程可以求解出质点的加速度，进而得到质点的速度和位移。
质点运动方程公式还可以应用于求解各种实际问题。
例如，可以用质点运动方程公式来计算汽车的行驶距离、飞机的飞行时间等。
在物理实验中，质点运动方程公式也是分析和解释实验结果的重要工具。
质点运动方程公式是描述质点运动规律的基本工具，应用广泛且具有重要意义。
通过理解和应用质点运动方程公式，我们可以更好地认识和掌握物体在空间中的运动规律，为解决实际问题提供有效的数学工具。
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支，它研究的是质点在力的作用下的运动规律。
在质点动力学中，我们通常假设质点的大小可以忽略不计，只考虑它的位置和速度，这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。
在本文中，我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点，包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。
希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。
一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述，它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。
根据牛顿第二定律 F=ma，质点的运动方程可以写成：m*a = F，其中 m 是质点的质量，a 是质点的加速度，F 是作用在质点上的力。
根据牛顿运动定律，我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。
二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础，它包括三条定律：1. 第一定律：物体静止或匀速直线运动时，外力平衡。
这是牛顿运动定律中最基本的一条定律，也是质点动力学的基础。
2. 第二定律：力的大小与加速度成正比，方向与加速度的方向相同。
这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系，是质点动力学的重要定律之一。
3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同物体上。
这条定律描述了两个物体之间的相互作用，也是质点动力学中不可或缺的定律之一。
三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量，它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v，即 p=m*v。
根据牛顿第二定律 F=dp/dt，我们可以推导出动量的变化率与外力的关系，从而得到动量守恒定律。
动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律，它描述了在没有外力作用下，质点的动量将保持不变。
根据动量守恒定律，我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。
四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量，它定义为质点的动能和势能的总和。
动能是质点由于速度而具有的能量，它和质点的质量和速度有关；势能是质点由于位置而具有的能量，它和质点的位置和作用力有关。
质点的运动学方程为
质点的运动学方程为
在一个选定的参考系中，当质点运动时，它的位置P（x，y，z）是按一定规律随时刻t而改变的，所以位置是t的函数，这个函数可表示为：x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，它们叫做质点的运动学方程。
质点
质点就是有质量但不存在体积或形状的点，是物理学的一个理想化模型。
在物体的大小和形状不起作用，或者所起的作用并不显著而可以忽略不计时，我们近似地把该物体看作是一个只具有质量而其体积、形状可以忽略不计的理想物体，用来代替物体的有质量的点称为质点。
质点的基本属性
1．只占有位置，不占有空间，也就是说它是一维的.
2．具有它所代替的物体的全部质量。
质点的运动学问题及公式
质点的运动学问题及公式质点运动学是经典物理学中的一个重要分支，主要研究质点在空间中的运动规律。
本文将介绍质点的运动学问题，包括描述质点运动的基本概念和涉及的公式。
一、质点的基本概念质点是物理学中一个理想化的概念，假设物体维度非常小而质量无穷大。
质点没有大小和形状，只有质量和位置。
质点的运动学问题可以用一系列的物理量来描述。
1. 位移（Displacement）位移是研究物体位置变化的基本概念，用Δx表示。
如果质点从初始位置A移动到位置B，那么位移Δx可以表示为：Δx = xB - xA其中，xA和xB分别表示初始位置和终点位置的坐标。
2. 速度（Velocity）速度是描述物体移动快慢和方向的物理量，用v表示。
平均速度可以表示为：v = Δx / Δt其中，Δt表示时间间隔。
如果考虑时间间隔Δt趋向于0的情况，即瞬时速度：v = lim(Δt→0) Δx / Δt = dx / dt其中，dx表示位移的微元，dt表示时间的微元。
3. 加速度（Acceleration）加速度是描述物体速度变化快慢和方向的物理量，用a表示。
平均加速度可以表示为：a = Δv / Δt其中，Δv表示速度变化量，Δt表示时间间隔。
在问题求解中，如果考虑时间间隔Δt趋向于0的情况，即瞬时加速度：a = lim(Δt→0) Δv / Δt = dv / dt其中，dv表示速度的微元，dt表示时间的微元。
二、质点运动的基本公式在质点运动学中，一些常用的公式可以帮助我们解决运动分析问题。
下面列举几个常见的公式。
1. 速度与位移的关系根据速度的定义，可以得到速度与位移之间的关系：v = dx / dt对上式两边同时积分，得到位移与时间的关系：Δx = ∫v dt2. 加速度与速度的关系根据加速度的定义，可以得到加速度与速度之间的关系：a = dv / dt对上式两边同时积分，得到速度与时间的关系：Δv = ∫a dt3. 位移与加速度的关系将速度与位移的关系和加速度与速度的关系相结合，可以得到位移与加速度之间的关系：v dv = a dx对上式两边同时积分，得到位移与时间的关系：Δx = ∫v dv / a通过上述的公式，我们可以在给定位移、速度或加速度的条件下，推导出与时间相关的运动规律。
力学(专)第二章 质点运动学
ak 2ekt
ay
d2y dt 2
bk 2ekt
质点加速度
a
ak
2ekt
i
bk
2e
kt
j
由 dy bkekt 及 y b 得 y bekt
dt
t 0
轨迹方程为： xy ab
14
§2.3 质点直线运动——从坐标到速度和加速度
在质点运动中，直线运动最简单又有普遍性。 质点运动学方程仍然是关键。 一、运动学方程
t
t
平均速度等于位置矢量对时间的平均变化率
平均速度仅提供一段时间内位置总变动的方向和平均快慢，却不能精细 地刻画质点在这段时间内发生的运动方向的改变和时慢时快的详细情况。
8
引入极限的概念
t 0 时，有 r 0
r 将无限接近于一确定的数值，称作
t
比值 r t 当 t 0 时的极限
yt
t
j
ztO来自t krt rt
xt
i
yt
j
zt
k
二式相减，得位移 r xt t xti yt t ytj zt t ztk
xi yj zk
(m/s 2
LT 2 )
等于位置矢量对时间的二阶导数
已知质点的运动学方程或速度，均可求出瞬时加速度（加速度）
在直角坐标系中正交分解
a axi ay j azk
ax
dvx dt
d2x dt 2
,
ay
dvy dt
d2y dt 2
,
az
理论力学质点动力学的运动方程
消去t, 得轨迹方程 由初始条件：t＝0时，q0＝0，
代入上式得
如果已知这种变化即可确定球与棒的相互作用力。
分析: 由(1)、(2)式可得:
3m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,并与铅直线成
角。
作用下从甲板上起飞
y
eA mk 2
cos
k v0
x
1
这是第二类基本问题。
例10-3 一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的 小球系于长l=0.3m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,
1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年 获文学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数 学和光学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病， 学校暂时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二 项式定律，开始了光学中的颜色实验，即白光由7种 色光构成的实验。而且由于一次躺在树下看到苹果落 地开始思索地心引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇 家学会的会员，这是当时英国最高科学荣誉。
初始条件为
a a t 0 :x 0 y 0 0 ,v 0 x v 0 c o s,v 0 y v 0 s i n
确定出积分常数为：
a a C 1 v 0 c o s,C 2 v 0 s i n ,C 3 C 4 0
于是物体的运动方程为：
xv0tcoas
y
v0t
1 2
gt2
轨迹方程为：
有 mr 2 F l 2 r2 l
得 F mr 2 2 l 2 r 2
这属于动力学第一类问题。
例10-2 质量为m的质点带有电荷e,以速度v0进入强 度按E=Acoskt变化的均匀电场中,初速度方向与电场强
度垂直,如图所示。质点在电场中受力 F eE 作用。
理论力学质点动力学的基本方程
F mg 1.96N
cos
v
Fl sin 2
m
2.1m s
这是混合问题。
例11-4 粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水
平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。
为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 0
时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n 。
已知:匀速转动。 0 时小球掉下。
gl
其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动 ,
因此 0时 , T Tmax
Tm
ax
G(1
v02 gl
)
[注]①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。
②拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力， 一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力。
已知: m 0.1kg, l 0.3m, 60 匀速
求: v, F
已知: m 0.1kg, l 0.3m, 600 匀速
求: v, F
解:
v2
研究小球，m
F sin
0 F cos mg
其中， l sin ，解得
第十一章 质点动力学的基本方程
第十一章 质点动力学的基本方程
§11-1 动力学的基本定律
第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
第二定律(力与加速度之间的关系定律)
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小， 加速度的方向与力的方向相同。
ma F
质量是质点惯性的度量。 国际单位制：长度（m米），
引言
一.研究对象：研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
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6
6
x2 y2 4 z 0
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第二章 质点运动学
§2.1.2 位移——位置矢量的增量
1. 位移
位移——是由初位置引 向末位置的矢量.
y
P
r
r (t )
Q
r r (t t) r (t)
O
r (t t)xΒιβλιοθήκη 在直角坐标系中坐标分解式：
r xi yj zk
动画演示
r x(t)i y(t) j z(t)k
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第二章 质点运动学
标量式 x = x(t) y = y(t) z = z(t)
如
x
v0t
1 2
at
2
等
3. 轨迹方程
轨迹方程——质点在运动过程中描出的曲线方程.
在运动方程中消去 t 就是轨迹方程， y = y (x)
如：x 2cos π t y 2sin π t z 0
位置矢量的大小为：
r
r
x2 y2 z2
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第二章 质点运动学
位矢方向:
cos x r
cos y
r
cos 2 cos 2 cos 2 1
cos z
r
2. 运动方程
运动方程——质点的位置随时间变化的函数方程 r r(t)
建直角坐标系 O– xyz ,令原点与参考点重合，则：
第二章 质点运动学
第二章 质点运动学
§2.1 质点的运动学方程
§2.1.1 质点的位置矢量与运动方程 §2.1.2 位移——位置矢量的增量
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第二章 质点运动学
第二章 质点运动学
§2.1 质点的运动学方程
§2.1.1 质点的位置矢量与运动方程
质点——具有一定质量，不计其形状与大小的物 体, 是理想模型。 可以将物体简化为质点的两种情况： ① 物体不变形,只作平动. ② 物体本身线度和它活动范围相比小得很多.
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第二章 质点运动学
2. 路程
路程 ——质点经过的路径的总长度.
如位图移：与路程r同不同，前者是矢量，后者是标量s3 .
S1 S2 S3
[问题] 二者何时相同？
rpPrs1s2 Q
O rQ
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第二章 质点运动学
[例题1]一质点在xOy平面内依照 x = t 2 的规律沿曲线
＝arctan Δy 46.4
Δx
[问题] 位移与参考系的选择有关吗？
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y = x3 / 320 运动,求质点从第2 秒末到第 4 秒末的位移
(式中 t 的单位 为s；x，y的单位为cm).
[解] r r (t t) r (t)
[ x(t t)i y(t t) j ] [ x(t)i y(t) j ]
[ x(t t) x(t)]i [ y(t t) y(t)] j
( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j
(
t
2 2
t12
)i
(
t
6 2
320
t16 ) 320
j
(42
22 )i (
46
26
)j
320 320
12i 12.6 j (cm)
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第二章 质点运动学
r
122 (12.6)2 cm 17.4 cm
与水平轴夹角
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第二章 质点运动学
1.位置矢量
位如置图矢：量op—用—r由表原示点. (参考点)引向质点z 位置 的有向线段.
建立直角坐标系 O– xyz ， 令原点与参考点重合，则：
rP
y
O
r xi y jzk
x
i , j , k分别为x, y, z轴方向的单位矢量.
x,y,z 是质点的位置坐标.