图论-数学研究所
图论GraphTheory-复旦大学数学科学学院
范 更 华 福州大学离散数学研究中心
离散数学及其应用教育部重点实验室
图论(Graph Theory)
图是由给定的点及连接两点的线所构成
的图形。现实世界中许多问题的数学抽象形
式可以用图来描述。如互联网、交通网、通
讯网、社团网、大规模集成电路、分子结构 等都可以用图来描述。对图的研究形成了一 个专门的数学分支—图论 。
四色问题
一百多年来，貌似容易的四色问题让许多一流数学 家栽了跟头。后人评说德国大数学家Minkowski （曾是爱因斯坦的老师）时认为，最让Minkowski 尴尬的不是他曾骂爱因斯坦 “懒虫”，而是他被 四色问题挂了黑板。 1880年前后，Kempe 和Tait分别发表了证明四色问 题的论文，大家都认为四色问题从此也就解决了。 十年后，人们发现这两人的证明都是错误的。
该图含三角形,且n2/4是具有该性质的最小数.
上述定理是Turan定理(1941年)的特殊情形. 主要工具：正则引理；标号代数(flag algebra)
图论的前沿——整数流问题
给定图 G 和 k 阶可换群 A。若对 G 的某个
定向 , 存在一个函数 f : 从 G 的边集到 A 的
非零元素, 使得在图的每个一点, 进入该点
四色问题
四色问题: 对每个平面图，能否只用4种颜色 对其面着色,使得任何两个有公共边的面得到 不同颜色.
1976年,两位计算机专家借助计算机验证,解决 了四色问题，但未被数学界普遍接受。数学家 们仍在努力寻找纯数学的推理证明。
四色问题
当年,那位学生告诉Morgan教授: 下面的例子说 明3种颜色不够,至少需4种颜色.
图的定义
图的直观定义：点与边 图的抽象定义：一个集合上的二元关系
离散数学——图论
提示：反证法。
设有两个连通分支，这两个分支至多是完 全图。由此得到图中点与边之间的数量关系。
§8.3欧拉图
欧拉图产生的背景就是前面的七桥问题。
定义：图G的回路，若它通过G中的每条边一 次，这样的回路称为欧拉回路。具有欧拉回 路的图称为欧拉图。
定义欧拉通路：通过图G中每条边一次的通 路（非回路）称为欧拉通路。
基本通路：通路中没有重复的点。
简单回路和基本回路。
基本通路一定是简单通路，但反之简单通路 不一定是基本通路。基本回路必是简单回路。
定理：一个有向（n,m）图中任何基本通路长 度≤n-1。任何基本回路的长度≤n。 任一通路中如果删去所有回路，必得基本通 路。 任一回路中如删去其中间的所有回路，必得 基本回路。
例1：教材121页。
结点次数
引出次数：有向图中以结点v为起点的边的条数称为 v的引出次数，记 deg(v) 引入次数：有向图中以结点v为终点的边的条数称为 v的引出次数，记 deg(v)
结点次数：有向图中引出次数和引入次数之和称为 结点次数；无向图中与结点v相关联的边的条数称为 V的次数。统一为记deg(v)。
图论的发展
图论的产生和发展经历了二百多年的历史， 从1736年到19世纪中叶是图论发展的第一阶 段。 第二阶段大体是从19世纪中叶到1936年，主 要研究一些游戏问题：迷宫问题、博弈问题、 棋盘上马的行走线路问题。
一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和哈密 尔顿环游世界问题(1856年)也大量出现。同时出现 了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。
有向连通图
图论知识点
图论知识点摘要：图论是数学的一个分支，它研究图的性质和应用。
图由节点（或顶点）和连接这些节点的边组成。
本文将概述图论的基本概念、类型、算法以及在各种领域的应用。
1. 基本概念1.1 节点和边图由一组节点（V）和一组边（E）组成，每条边连接两个节点。
边可以是有向的（指向一个方向）或无向的（双向连接）。
1.2 路径和环路径是节点的序列，其中每对连续节点由边连接。
环是一条起点和终点相同的路径。
1.3 度数节点的度数是与该节点相连的边的数量。
对于有向图，分为入度和出度。
1.4 子图子图是原图的一部分，包含原图的一些节点和连接这些节点的边。
2. 图的类型2.1 无向图和有向图无向图的边没有方向，有向图的每条边都有一个方向。
2.2 简单图和多重图简单图是没有多重边或自环的图。
多重图中，可以有多条边连接同一对节点。
2.3 连通图和非连通图在无向图中，如果从任意节点都可以到达其他所有节点，则称该图为连通的。
有向图的连通性称为强连通性。
2.4 树树是一种特殊的连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径。
3. 图的算法3.1 最短路径算法如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，用于在加权图中找到从单个源点到所有其他节点的最短路径。
3.2 最大流最小割定理Ford-Fulkerson算法用于解决网络流中的最大流问题。
3.3 匹配问题如匈牙利算法，用于解决二分图中的匹配问题。
4. 应用4.1 网络科学图论在网络科学中有广泛应用，如社交网络分析、互联网结构研究等。
4.2 运筹学在运筹学中，图论用于解决物流、交通网络优化等问题。
4.3 生物信息学在生物信息学中，图论用于分析蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。
5. 结论图论是数学中一个非常重要和广泛应用的领域。
它不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。
随着科技的发展，图论在新的领域中的应用将会不断涌现。
本文提供了图论的基础知识点，包括概念、图的类型、算法和应用。
高中数学图论的实际应用与教学探讨
高中数学图论的实际应用与教学探讨在高中数学的广袤领域中，图论宛如一颗璀璨的明珠，虽然它并非高中数学课程的核心部分，但其在实际生活中的应用广泛，且对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
本文将深入探讨高中数学图论的实际应用，并对其教学方法进行分析。
一、图论的基本概念图论是研究图的性质和应用的数学分支。
所谓“图”，并不是我们日常所理解的图像或图画，而是由一些顶点（节点）和连接这些顶点的边所组成的结构。
例如，一个城市的交通网络可以用图来表示，顶点代表城市中的各个地点，边代表道路。
在图论中，有许多重要的概念，如顶点的度（与该顶点相连的边的数量）、路径（从一个顶点到另一个顶点经过的边的序列）、回路（起点和终点相同的路径）、连通图（任意两个顶点之间都存在路径）等。
二、图论在实际生活中的应用1、交通规划城市的交通规划是图论应用的一个重要领域。
通过将城市道路网络抽象为图，可以分析交通流量，确定关键的道路节点和拥堵路段，从而优化交通信号灯设置、规划新的道路建设等，以提高交通效率，减少拥堵。
2、网络通信在计算机网络中，图论用于描述网络拓扑结构。
通过分析网络中的节点和连接关系，可以优化数据传输路径，提高网络的可靠性和性能。
3、物流配送物流企业在规划货物配送路线时，可以利用图论来找到最短路径，降低运输成本，提高配送效率。
例如，快递员在派送多个地点的包裹时，通过图论算法可以找到最优的派送顺序。
4、任务分配在项目管理中，将各项任务视为顶点，任务之间的依赖关系视为边，可以使用图论来合理安排任务的执行顺序，确保项目按时完成。
5、电路设计电子电路的设计中也会用到图论。
电路中的元件可以看作顶点，元件之间的连接看作边，通过分析电路图的拓扑结构，可以优化电路设计，提高电路的性能和可靠性。
三、高中数学图论教学的重要性1、培养逻辑思维能力图论问题的解决需要学生进行逻辑推理和分析，通过构建图、寻找路径、判断连通性等操作，锻炼学生的思维严谨性和逻辑性。
图论及其应用综述
图论综述一、简介图论是数学的一个分支。
它以图为研究对象。
图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。
图G=（V,E）是一个二元组（V,E）使得E⊆[V]的平方，所以E的元素是V的2-元子集。
集合V中的元素称为图G的定点（或节点、点），而集合E的元素称为边（或线）。
通常，描绘一个图的方法是把定点画成一个小圆圈，如果相应的顶点之间有一条边，就用一条线连接这两个小圆圈，如何绘制这些小圆圈和连线时无关紧要的，重要的是要正确体现哪些顶点对之间有边，哪些顶点对之间没有边。
图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经被好多位数学家各自独立地建立过。
关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论著中，他所考虑的原始问题有很强的实际背景。
目前，图论已形成很多分支：如随机图论、网络图论、代数图论、拓扑图论、极值图论等。
图论的应用已经涵盖了人类学、计算机科学、化学、环境保护、非线性物理、心理学、社会学、交通管理、电信以及数学本身等。
二、基本内容2.1 图的基本概念本章首先介绍了图的一些基本性质和一些不同模型的图，包括偶图，完全图和补图，引入了定点度的来描述图的性质。
其次介绍了子图的相关概念，介绍了图的一些基本运算规则，对图的路和连通性进行了阐释。
紧接着讲解了最短路算法，定义设G为边赋权图。
u与v是G中两点，在连接u与v的所有路中，路中各边权值之和最小的路，称为u与v间的最短路。
图的代数表示，包括图的邻接矩阵和图的关联矩阵。
最后对极图理论进行了简介，主要介绍了极值图论中的一个经典结论——托兰定理。
2.2 树本章主要介绍了树的概念与性质，阐述了生成树与最小生成树的基本概念与一些常用结论与定理。
树是不含圈的无圈图，也是连通的无圈图。
树是图论中应用最为广泛的一类图。
在理论上，由于树的简单结构，常常是图论理论研究的“试验田”。
数学家研究图论算法的应用
数学家研究图论算法的应用数学与计算机科学常常是一种紧密联系的关系。
在计算机科学中，图论算法是计算机科学中重要的研究领域之一。
图论是一个研究图、网络和相关结构的数学分支，其主要研究图的性质和算法。
图结构常常被使用在数据结构和算法中，是计算机科学的基础工具之一。
数学家的研究方向往往包括图论中的算法问题和相关应用。
图论的算法问题包括遍历、连通性、最短路径、最小生成树、图匹配、颜色问题、拓扑排序、网络流等等。
最近几十年来，图论算法已经被广泛地应用在计算机科学及其他领域中，如计算机网络、系统建模、电路设计、社交网络、DNA分析、智能交通系统等等。
图论在计算机科学领域中被广泛地应用，与其相关研究的学科也十分广泛。
其中包括了算法、复杂性理论、计算几何、组合优化、计算机网络、机器学习等等学科。
图论算法在计算机科学中的应用已经接近到无处不在的地步，这也意味着人们越来越依赖于一些基础理论。
研究图论算法的应用，需要具备牢固的基础理论知识。
数学家们依靠图论的基础理论，进行了广泛的应用研究。
计算机科学中已经有了许多优秀的图论算法，但是数学家们仍然在不断地研究，进一步让图论算法在更广泛的领域中得到应用。
图论的广泛应用，带来了数学与计算机科学的紧密联系。
在图论中，数学家与计算机科学家的合作，已经成为这个领域发展的基石之一。
无论是研究计算机科学中的某个细节技术，还是关注整个方案的设计并最终成功地应用于实现目标，数学家与计算机科学家共同创造了多种成功的算法和系统，使图论在未来的计算机科学中有着广阔的应用前景。
对于数学家而言，研究图论算法的应用目标就是发现新的应用，并在实际场景中进行验证。
数学家们的目标是使计算机科学在应用中变得更加高效、可靠和安全。
在这个方向下，数学家们需要关注许多细节，如研究特定类型的图结构，研究具有复杂特性的图结构，以及研究如何设计和实现高效的图算法。
他们创造性地思考，并在图论算法中寻求更广泛的解决方案，从而使图论算法得到更广泛的应用。
数学中的图论及其应用
数学中的图论及其应用图论是一门数学基础理论，用来描述事物之间的关联。
图论主要研究节点之间的连接关系和路径问题。
它的研究对象是图，图是由节点和边组成的，边表示节点之间的连接关系，节点表示事物。
图论是一种十分实用的数学工具，它是计算机科学、物理学、化学、生物学、管理学等领域的重要工具，也是人工智能和网络科学等领域的基础。
一、图论的基本概念1.1 图图是由节点和边组成的，表示事物之间的关系。
节点是图中的基本元素，用点或圆圈表示；边是连接节点的元素，用线或箭头表示。
1.2 有向图和无向图有向图是指边有方向的图，每一条边用有向箭头表示；无向图是指边没有方向的图，每一条边用线表示。
1.3 节点的度和邻居节点节点的度是指与节点相连的边的数量，具有相同度的节点称为同阶节点；邻居节点是指与节点相连的节点。
1.4 遍历和路径遍历是指从起点出发访问图中所有节点的过程；路径是指跨越边连接的节点序列，路径长是指路径中边的数量。
二、图论的应用2.1 网络科学网络科学是研究节点和边之间的关系，以及节点和边之间的动态演化的学科。
网络科学中的图模型是节点和边的结合体，其应用包括社会网络、生物网络和物理网络等。
社会网络是指人们之间的社交网络，它描述了人与人之间的关系。
社交网络可以用图模型表示，节点表示人，边表示人与人之间的互动关系，例如朋友关系、家庭关系等。
生物网络是指由生物分子构成的网络，例如蛋白质相互作用网络、代谢网络等。
在生物网络中，节点可以表示蛋白质或基因，边可以表示蛋白质或基因之间相互作用的联系，这些联系可以进一步探究生物进化和疾病发生的机理。
物理网络是指由物理粒子构成的网络，例如网络电子、量子态等。
在物理网络中，节点可以表示量子比特或电子，边可以表示色散力或超导电性等物理现象。
2.2 计算机科学图论在计算机科学中的应用非常广泛，例如数据结构、算法设计和网络安全等方面。
图论在计算机科学中的经典应用包括最短路径算法、最小生成树算法等。
数理基础科学中的图论问题研究
数理基础科学中的图论问题研究图论是数学中的一个分支，它研究的是图的性质和图之间的关系。
图由节点和边组成，可以用来描述各种事物之间的联系和关联。
在数理基础科学中，图论被广泛应用于各个领域，包括计算机科学、物理学、生物学等。
本文将介绍一些图论问题的研究和应用。
一、最短路径问题最短路径问题是图论中的经典问题之一，它研究的是在图中找到两个节点之间最短路径的方法。
最短路径问题在实际生活中有很多应用，比如导航系统中的路径规划、物流系统中的货物运输等。
为了解决最短路径问题，图论中提出了一些经典算法，如Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
这些算法通过遍历图中的节点和边，计算出节点之间的最短路径。
二、网络流问题网络流问题是图论中的另一个重要问题，它研究的是在网络中如何有效地传输信息或资源。
网络流问题在电信网络、交通网络等领域中有广泛的应用。
为了解决网络流问题，图论中提出了一些经典算法，如最大流算法和最小割算法。
这些算法通过在图中寻找合适的路径和割来确定网络中的流量分布。
三、图的着色问题图的着色问题是图论中的一个经典问题，它研究的是如何用最少的颜色给图中的节点上色，使得相邻节点的颜色不同。
图的着色问题在地图着色、时间表调度等领域中有广泛的应用。
为了解决图的着色问题，图论中提出了一些经典算法，如贪心算法和回溯算法。
这些算法通过遍历图中的节点，逐步确定节点的颜色，直到所有节点都被着色。
四、社交网络分析社交网络分析是图论在计算机科学中的一个重要应用领域，它研究的是社交网络中的节点之间的关系和影响力。
社交网络分析可以帮助我们理解社会关系、预测信息传播等。
为了解决社交网络分析问题，图论中提出了一些经典算法，如PageRank算法和社区发现算法。
这些算法通过分析节点之间的连接和交互，计算节点的重要性和社区结构。
五、生物网络分析生物网络分析是图论在生物学中的一个重要应用领域，它研究的是生物体内分子之间的相互作用和调控关系。
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路分解猜想
Gallai 猜想： n 个点的连通图可分解成至多 (n+1)/2条路。 Lovasz 定理 ： n 个点的连通图可分解成至多 n/2条路和圈。 Lovasz： 长期从事图论研究，51岁获 Wolf 奖，曾任国际数学联盟主席，多个国家的科 学院院士，曾在微软研究中心任职多年，现 为匈牙利科学院院长。
图论的发展——四色问题
1852年, Morgan教授的一位学生问他: 能否给 出一个理由,为什么只需 4 种颜色，就可给任 意地图的每个国家着色，使得有共同边界的国 家着不同的颜色。 该问题成为数学史上最著名问题之一。将地图 看作一个平面图：国界为边，相交处为点，国 家区域称为面，则该问题可表述为：
认识, 或三个互相不认识。 数学抽象: 点代表人, 两点相连当且仅
当对应的两人认识。该图要么有三角形, 要么有三个点两两不连。
Ramsey数问题
一般化 : 定义 R(s,t) 为最小整数使得任意
中科院系统所曾引领中国图论的发展。
离散数学
以蒸汽机的出现为标志的工业革命促进了 以微积分为基础的连续数学的发展。 以计算机的出现为标志的信息革命将促
进离散数学的发展。
图论分支
图 论
结 构 图 论
极 值 图 论
随 机 图 论
代 数 图 论
拓 扑 图 论
我们将通过图论发展历程中的若
干好问题/猜想，来了解这一学科的
中国邮递员问题: 在带权图中找一条回路：
过每条边至少一次 , 且边的权之和最小 ( 带权
最优欧拉回路问题)
难度: 有多项式算法
(Edmonds, 1985 von Neumann Prize) 应用: 起源于中国邮递（管梅谷，1962）
图论的经典——Ramsey数问题
简单情形: 任意六个人中, 必有3个互相
3-正则，3-连通平面图有哈密顿圈（含
所有点的圈）。
哈密尔顿圈问题: 哪些图有哈密顿圈？
带权哈密尔顿圈
哈密顿圈可看成过每个点恰好一次的 回路；若每条边有一个权(weight),求最优
哈密顿圈（总权和最小的哈密顿圈），就
是找一条回路：过每个点恰好一次且行程
最短—旅行商问题。
旅行商问题
问题提出: 一个旅行商从公司出发, 访问 若干指定城市, 最后返回公司,要求设计最
图的定义
图的直观定义：点与边 图的抽象定义：一个集合上的二元关系
Petersen 图
点集：5个元素{a,b,c,d,e}的所有2-子集作为点 边集：两点有边相连当且仅当对应的2-子集不交
ab ce
de
ac ad bc
cd
be
bd
ea
图论
图论是离散数学的一个主要分支。 普林斯顿数学系自2008年起，一直有每周一 次的离散数学seminar，邀请世界各地的数学 家作报告，主要侧n教授: 下面的例子说 明3种颜色不够,至少需4种颜色.
四色问题
一百多年来，貌似容易的四色问题让许多一流数学 家栽了跟头。后人评说德国大数学家Minkowski （曾是爱因斯坦的老师）时认为，最让Minkowski 尴尬的不是他曾骂爱因斯坦 “懒虫”，而是他被 四色问题挂了黑板。 1880年前后，Kempe 和Tait分别发表了证明四色问 题的论文，大家都认为四色问题从此也就解决了。 十年后，人们发现这两人的证明都是错误的。
历史与现状。
好的数学问题/猜想
简洁：简短而易理解的陈述
出乎预料：似乎完全不同的概念融于一体
一般性：适用性广，涵盖面宽
核心性：与已知的著名定理和猜想有关联
经久性：久而未决（至少20年）
影响力：解决该问题的尝试产生新概念，新 证明技巧
图论的起源——哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题
1735年, 欧拉(Euler)证明哥尼斯堡七桥问题无 解, 由此开创了数学的一个新分支---图论. 欧拉将七桥问题转化为图论问题 : 求图中一条 迹 (walk), 过每条边一次且仅一次（这种性质 的迹称为欧拉迹）。 欧拉定理 : 连通图存在欧拉迹当且仅当图中奇 度数的点的个数至多为2。
四色问题
四色问题: 对每个平面图，只用4种颜色对其面着 色,使得任何两个有公共边的面得到不同颜色。 Whitney（Wolf 奖得主，微分拓扑学奠基人）和 Tutte（英国皇家学会会员）在四色问题的研究上 有过合作。 1976年,两位计算机专家借助计算机验证,解决了 四色问题。数学家们仍在努力寻找纯推理证明。
优旅行路线(行程最短或费用最小)
数学抽象: 城市作为点, 两点间有边相连, 如果对应的城市间有直飞航班。里程或机 票价作为每条边的权。
旅行商问题
问题: 在带权图中找一条回路：过每个点
恰好一次 , 且边的权之和最小 ( 带权最优哈
密顿圈）
难度: 应用: NP--完全问题 投币电话、自动取钞机等
中国邮递员问题
哥尼斯堡七桥问题
欧拉定理
闭的欧拉迹也称为欧拉回路。
欧拉定理 (图论最古老的定理, 1735年)： 无奇度数点的连通图存在欧拉回路 且可分解成 边不交的圈。
需要多少个圈？ 二百多年来，这个问题一直未能解决。
圈分解猜想
Hajos 猜想： n 个点的欧拉图可分解成至多 n/2 个 圈（欧拉图：无奇度数点的连通图）
四色问题
Tait的错误在于他认为3-正则，3-连通的
平面图有一个圈包含所有点（哈密顿圈）。
可是他没能证明这一点。半个多世纪后(1946
年)，Tutte给出了第一个不含哈密顿圈的3正则，3-连通平面图，从而宣告了Tait证明 的错误是无法修补的。
图论的经典——哈密顿圈问题
Tait 对四色问题的错误证明在于假定
图论及其应用
范 更 华 福州大学离散数学研究中心
离散数学及其应用教育部重点实验室
图论(Graph Theory)
图论研究的对象是图，它由点及连接两
点的线所构成。现实世界中许多问题的数学
抽象形式可以用图来描述。如互联网、交通
网、通讯网、社团网、大规模集成电路、分 子结构等都可以用图来描述。对图的研究形 成了一个专门的数学分支—图论 。