第四章 时间序列分析

(4)相关函数 的性质 1 ：γ 0 〉0
o
2 ：γ－τ＝γτ
o
3 ： ≤ γ0 γτ
o
4 ：γτ 是非 负定的， 即对于任意数 组
o
t1，t2， ，tn ∈T和任 L 意实 值函数g(t)都有 ：
i, j =1
∑γ (X
n
i
− X j )g(ti )g(t j ) ≥ 0
(4)、 稳随 过 的遍 性 平 机 程 历 设 t是 x 平稳 程 T的 个 过 X 一 样本 数 若 函 ， 其 均 值函 数和 协 差 数 自 方 函 可由 下式 得 求 ： 1 T µ＝lim ∫−T xt dt T →∞ 2 T 1 T (xt − µ)(xt+τ − µ)dt γ t = lim T →∞ 2 ∫ T T − 则 称这 个平 随 过 XT 具 稳 机 程 有遍 性 历 。
{
}
(167)
(168)
三、平稳随机过程和平稳时间序列
、定义 1
{F(x1, x2 ,L, xn；t1, t2 ,L, tn ), t1, t2 ,L, tn ∈T, n ≥ 1}，
若对任 n和t1, t2 ,L, tn ∈T, 及使t1＋τ , t2＋τ ,L 意 , tn＋τ ∈T的 任意τ，有： F(x1, x2 ,L, xn； 1, t2 ,L, tn ) t = F(x1, x2 ,L, xn；t1 +τ , t2 +τ ,L, tn +τ ) 则称( Xt， ∈T)是 平稳随 机过程 。 t 对 于平稳随 机过程 Xt，t ∈T)，若T中 元素是 ( 离散的 时刻， 则称 为平稳时间 序列。
在 列 归 型 下 回 模 ： yi = x1i β1 + x2i β2 +L+ xmi βm + ε i
为讨论方便，引入延迟算子符号“ ”，其定义为： B Bxt = xt −1 k B xt = xt −k 则（ ）可写为： 177 (1−ϕ1B－ϕ2 B － －ϕp B )xt＝at L
第三节 线性模型的自相关函数和偏相关函数
一、偏相关函数 } t 在平稳 时间序 {Xt， = L− 2,−1,0,1,2,L中取出 列 一个
片断共 +1(k ≥ 1)个量 k Xt，Xt +1， ，Xt +k L 现 在用前 k项 面 的线性 组合去 估计最 一项 t +k，即 后 X 用
∑ϕ
j =1
(3)方差 函数与自相 关函数 方差 函数 ： γ 0＝γ 0 (x) = D( Xt ) = D( X s）
(170)
γτ (x) γτ 自相 关函数： ρτ＝ρts = = γ 0 (x) γ 0
{ ，若其均值函数为零， 对于平稳时间序列 ak }
其自协方差函数为
2 σ a k =0 γ k (a) = E(al al+k ) = 0 k ≠0 则称为白噪声序列，简 称为白噪声。
ϕ（B)xt = θ(B)at
(187)
时间 序列 {at }是白 声序 ， ， 噪 列 且 （ ） ≠ 0, q ≠ 0； 2 p
设在 线性 模型 186 （ ）或 187 中 {xt }是 （ ） ， 平稳 （） （B)与θ (B)无公 因子 1 ϕ 共 ； （）满 平稳 3 足 性条 ：ϕ（ )＝ 的根 件 B 0 全在 位圆 ； 单 外 （） 4 满足 逆性 可 条件 θ（B) = 0的根 在单 ： 全 位圆 ； 外 则称 186 （ ）或 187 为p阶平 自回 q阶 （ ） 稳 归 可逆 动 滑 平均 合模 ， 混 型 简称 ARMA模 为 型， 记为 ARMA( p, q), p、 称 模型 q 为 的阶 。
中 xt 代 yi ,{at }代 εi， 1i， 2i， ， mi 用 替 替 x x L x 用 t自 某 时 t的 p个 刻 子 观 x 身 一 刻 前 时 的 样 测 代 ， 归 数 ϕi 代 ， 可 一 值 替 回 系 用 替 则 得 个 的 性 型 新 线 模 ： xt =ϕ1xt −1 + ϕ2 xt −2 +L+ ϕ p xt − p + at 或 xt－ 1xt −1－ 2 xt −2－ － p xt − p＝ t ϕ ϕ L ϕ a (177)
则 S(ω)存在 ， 当 时 有 1 π ikω γ k = ∫ e S(ω)dω (173) 2π −π 则 S(ω)为平 称 稳时 间序 的 密度 列 谱 。如 果
k =−∞
∑γ
∞
k
〈∞
(174)
则 (ω)一定 在 且有 S 存 ， S(ω) = ∑γ k e
k =−∞ ∞ −ikω
(175)
（ ） 185
的根全在单位圆外 ，则称（ ）或（ ）为q阶 182 184 可逆滑动平均模型 ，简称MA模型，记为MA(q), 并称q为滑动平均阶数，而将方程（ ）称为可 185 逆性条件。
三、平稳自回归-可逆滑动平均混合模型 平稳自回归-
上 述两种模型 的综合为 ： xt－ 1xt −1－ϕ2 xt −2－ －ϕp xt − p L ϕ ＝ t −θ1at −1－ 2at −2 −L−θq at −q a θ (186) 用 延迟算子和 （B)、θ (B)表示，上式可写为 ϕ ：
∞ −∞ −∞
∫
∞
xt xs f 2 (xt , xs , t, s)dxt dxs
(165)
相 系 为 关 数 ： D( Xt , X s ) ρts = D( Xt )D(xs ) (166)
4、自相关函数的性质 （）相关函数Rts是对称的，即： 1 Rts = Rst 数 n (2)相关函 Rts是非负定的，即对任意 ≥ 1 和任意实数 1，τ 2， ，τ n ∈T, 及任意复数 τ L z1, z2 ,L, zn , 有：
∑∑Rτ τ z
k =1 j =1
k j
n
n
k
zj ≥ 0
差函数和互相 关函数 5、互协方
{ { 对 于两个随机过程 Xt ;t ∈T}和 Ys ; s ∈T} ，
其互协方 差函数为 ： D( Xt ,Ys ) = cov( Xt ,Ys ) = E ( Xt − µxt )(Ys − µys ) 互相关函 数为 ： cov( Xt ,Ys ) ρxt ys = var( Xt ) var(Ys )
∞ −∞ −∞
∫
∞
(xt − µt )(xs − µs ) f 2 (xt , xs , t, s)dxt dxs (164)
＝ ( Xt X S ) − E( Xt )E( X s ) E
上 中 E( Xt X s )称 随 过 Xt的 相 函 。 式 的 为 机 程 自 关 数
3 随 过 的 相 函 和 关 数 、 机 程 自 关 数 相 系 对 意 刻 ， ∈T， 随 过 确 的 任 时 t s 由 机 程 定 随 变 Xt 和 s的 关 数 ： 机 量 X 相 函 为 Rts = E( Xt X s ) =∫
µt = E( Xt ) = ∫ xt f (xt；t)dxt
−∞
∞
(162)
方 为 D( Xt ) = D( Xt ) = E [ Xt − µt 3)
2、 机 程 自 方 函 。 随 过 的 协 差 数 对 意 个 定 刻 ， ∈T， t 和 s是 个 任 两 固 时 t s X X 两 随 变 ， 们 协 差 ： 机 量 它 的 方 为 D( Xt， s ) = cov( Xt， s ) = E{( Xt − µt )( X s − µs )} X X =∫
二、可逆滑动平均模型（MA模型） 模型） 可逆滑动平均模型（MA模型
{ 自身某一时刻t的 中 xt 代 yi , x1i，x2i， ，xmi用 at } 用 替 L
前个 刻 声 替， 归 数用θ j 代替 则可 回 系 ， q 时 的噪 代 得 个新 线性 一 的 模型 ： xt = at −θ1 at −1－θ2at −2 −L−θq at −q 用 迟算 表示 上式可 为 延 子 ， 写 ： xt = at −θ1 BaT－θ2 B2at −L−θq Bq at 再 ：Q(B) = 1−θ1B－θ2 B2 −L−θq Bq 记 (183) (182)
{ ，因它的自协方差函数为 对于白噪声系列 ak }
σ k =0 γ k (a) = 0 k ≠0 所以它的谱密度为：
2 a
S(ω) =
k =−∞
∑γ
∞
k
e
−ikω
=σ
2 a
(176)
第二节、时间序列的随机线性模型 第二节、
一、平稳自回归模型（AR模型） 模型） 平稳自回归模型（AR模型
2 P
(178)
P
记：ϕ（B) = 1−ϕ1B－ϕ2 B － －ϕp B L
2
(179)
则（ )可简写为： 177
ϕ（B)xt = at
(180)
设 线 模 （ ） （ ） ， 在 性 型 177 或 180 中
{xt }是平稳时间序列，t }是白噪声序列， {a
且 足 件 程 满 条 方 ： ϕ（B)＝ 0 （ ） 181 的 全 单 圆 ， 称 117 或 180 根 在 位 外 则 （ ） （ ） 为阶 稳 回 模 ， 称 模 ， p 平 自 归 型 简 AR 型 记 AR( p), 并 p为 型 阶 而 方 为 称 模 的 ， 将 程 （ ） 为 型 平 性 件 181 称 模 的 稳 条 。
用 ARMA( p, q)模 描 和 论 间 列 有 下 点 型 述 讨 时 序 具 以 优 ： 1 它 形 简 （） 的 式 单 2 在 定 条 下 （ ） 一 的 件 ，ARMA( p, q)模 与 有 型 具 有 谱 度 平 零 值 列 间 存 相 应 理 密 的 稳 均 序 之 ， 在 对 的 系 关 。 （） 3 ARMA( p, q)便 分 数 的 构 内 性 ， 于 析 据 结 和 在 质 也 于 报 控 。 便 预 和 制