2.2 二次函数的图象(3)课件1

1 (2) （4）y = 2x( − x) + 3 2
1 2 例2、已知函数 y = − x + 4 x − 3 ，请回答下列 2
问题： 问题： (1)求出函数图象的开口方向、 (1)求出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 求出函数图象的开口方向 (2)并画出示意图 (2)并画出示意图. 并画出示意图.
因此，抛物线的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（ 因此，抛物线的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，2） x=3
还有其他方法么？ 还有其他方法么？
做一做
求下列函数图象的对称轴和顶点坐标
(1) y = 2 x − 2 2 x − 3
2
(2) y = − x − 2 x + 3
2
3） （(1) y = 2( x −1)( x + 2)
推导公式
y=ax² y=ax²+bx+c
=a〔x2+ =a〔 = a(x+ y=ax²+bx+c y=ax +bx+c
b a
=a（ =a（x2+
2
b b x+ 2a – 2a 〕+c
b a
x） x）+c
2
b 2a
)2 +
4ac −b2 4a
2
b 2 4ac −b y = a(x + ) + 2a 4a
解：由图象可设解析式为 y=a（x-2）2+4 y=a（ 代入上式得： 把（0，1）代入上式得： 0，1） （ 4a+4=1 解得：a=解得：a=-0.75 所求函数解析式是：y=-0.75（ ∴ 所求函数解析式是：y=-0.75（x-2）2+4 O x y
（ 2 ， 4）
试一试
（5 ，0 ） 1、已知抛物线如图所示，则点A的坐标为_____ 已知抛物线如图所示，则点A的坐标为_____ y （ 2， 4）
4m
12m
B
例4、抛物线 y
= ax + bx + c
2
的图象如图所示， 的图象如图所示，有 ④a+b+c>0 ⑤
以下结论： 以下结论：①a>0
②c>0
③abc<0
⑤a-b+c<0 ,其中正确的结论有：_______ ,其中正确的结论有 其中正确的结论有： ① ④
拓展练习： 拓展练习：
（1 ）
D
1 2 5 例1、求抛物线 y = − 2 x + 3x − 2 的对称轴和顶点坐标。 y=-0.5（x-3）2+2 y=-0.5（
1 5 解：Q a = − , b = 3 , c = − , 2 2
3 b ∴− = − 1 = 2a 2×− 2
3
2
4ac − b = 4a
2
1 5 4 × − × − − 32 2 2 = 1 4×− 2
做一做
说出下列抛物线的开口方向、 说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴
1 2 (1) y = 2( x + ) + 1 (− 1 ,1) 2 2
(2) y = 3( x − 2)
2 2
1 直线 x = − 2
直线
(2,0) (0,4)
x=2
(3) y = − 3 x + 4
y轴或直线x=0 轴或直线x=0
1 2 1 2 (3)函数 (3)函数 y = − x + 4x − 3 能否由函数 y = − x 2 2
的图象通过平移得到？若能,请说出平移的过程。 的图象通过平移得到？若能,请说出平移的过程。
练一练
说出下列函数的图象可由怎样的抛物线y=ax² 说出下列函数的图象可由怎样的抛物线y=ax² y=ax
二次函数的图像(3) 2.2 二次函数的图像(3)
知识回顾: 知识回顾: 二次函数y=ax y=ax² +k的图象及其特点 的图象及其特点？ 二次函数y=ax²与y=ax2+k的图象及其特点？ 顶点坐标？ 1、顶点坐标？ （0,0） 0,0） (0,k)
2、对称轴？ y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） 对称轴？ 直线x=0 x=0） 直线x=0 x=0） 3、开口方向
a≠0），经过怎样的平移后得到？ （a≠0），经过怎样的平移后得到？
(1) y = 4( x + 1)
2
2 2
(2) y = −3( x − 2 ) + 1 (3) y = −2x −10x + 3 (4) y = −2x + 2 3x
2
例3、已知抛物线如图所示，试求出该抛物线 已知抛物线如图所示， 的解析式： 的解析式：
合作学习： 合作学习：
你能求出抛物线 y = 2 x 2 − 4 x − 5 的顶点 坐标和对称轴吗？ 坐标和对称轴吗？
y=2（ 2x） y=2（x2-2x）-5 =2（ 2x+1=2（x2-2x+1-1）-5 =2（ =2（x-1）2-2-5 即：y=2（x-1）2-7 y=2（
顶点（ 顶点（1，-7） 对称轴：直线x=1 对称轴：直线x=1
函数y=ax +bx+c 的图象与函数y=ax 的图象的形状、 函数y=ax²+bx+c 的图象与函数y=ax2的图象的形状、 y=ax 开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移y=ax 开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移y=ax2的 图象得到。 图象得到。
归纳性质
图象是一条抛物线， 图象是一条抛物线， 对称轴是直线x= 对称轴是直线x= 顶点坐标是为（ 顶点坐标是为（
b 2 4ac − b 2 = a( x ) + a≠0)的 二次函数 yy=ax++bx+c （( a≠0)的 y=ax²+bx+c 4aa≠0） a≠0） 2a
b − 2a b − 2a
4ac −b2 ， 4a
）
抛物线的开口向上， 当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物 线上的最低点。 线上的最低点。 最低点 抛物线的开口向下， 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物 线上的最高点。 线上的最高点。 最高点
知识回顾: 知识回顾: 二次函数y=ax² 二次函数y=ax² y=ax y = a(x+m)2 y = a(x+m)2 +k
时，图象将发生怎样的变化？ 图象将发生怎样的变化？ 1、顶点坐标？ 、顶点坐标？ （0 ，0 ） （–m ，0 ） （ –m ，k ） 2、对称轴？ 对称轴？ 直线x= x=– （直线x=–m ） 直线x=0 x=0） 直线x= x=– y轴（直线x=0） （直线x=–m ） 平移？ 3、平移？ 一般地，函数y=ax 的图象先向右（ y=ax² <0） 一般地，函数y=ax²的图象先向右（当m<0）或向左 >0）平移|m|个单位可得y |m|个单位可得 的图象； （当m>0）平移|m|个单位可得y = a(x+m)2的图象；若再 向上（ 平移|k| |k|个单位可得 向上（当k>0 ）或向下 （当k<0 ）平移|k|个单位可得 +k的图象 的图象。 到y = a(x+m)2 +k的图象。
O （ -1， 0）
A x
试一试
2、请写出如图所示的抛物线的解析式： 、请写出如图所示的抛物线的解析式：
y
（ 2 ， 4）
（ 0 ， 1）
O
x
探究活动: 探究活动:
一座拱桥的示意图如图，当水面宽12m时 一座拱桥的示意图如图，当水面宽12m时，桥洞顶部 12m 离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线， 离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线 4m 的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么? 的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么?如果以 水平方向为x 水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原点： 取以下三个不同的点为坐标原点： 抛物线的顶点C 1、 点 A； 2、 点 B； 3、抛物线的顶点C； 所得的函数解析式相同吗？ 所得的函数解析式相同吗？ 请试一试。 请试一试。哪一种取法求 得的函数解析式最简单？ 得的函数解析式最简单？ A C
二次函数y=ax² 二次函数y=ax² y=ax
y = a(x+m)2
y = a(x+m)2 +k
y=ax² 对于二次函数y=ax²+bx+c（ a≠0 ）的
图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？ 图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？
通过变形能否将y=ax²+bx+c转化 通过变形能否将y=ax²+bx+c转化 y=ax 为 +k的形式 y = a(x+m)2 +k的形式 ？
a>0图象具有以下特点： 图象具有以下特点：
一般地，二次函数y=ax² 与y=ax2+k（ a≠0 ）的图象是一 一般地，二次函数 （ 条抛物线； 条抛物线； 抛物线开口向上 顶点是抛物线上的最低点 向上， 最低点； 当a>0 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点； 抛物线开口向下 顶点是抛物线上的最高点 向下， 最高点。 当a<0 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。 二次函数ｙ＝ａｘ 二次函数ｙ＝ａｘ２经过怎么样的平移得到函 数ｙ＝ａｘ２＋ｋ？
（2 ）
B
（3 ）
B
（4 ）
B
（5 ）
B
（6 ）
D
这节课你有什么收获和体会？ 这节课你有什么收获和体会？
1 12 − 6 = 3
0
1 1 × 6 ÷2 3 = 2 2