二次函数第一节

① . y ax bx c② . y 2 x ③ . y 5 x 6
2 2 2
④ . y ( x 1)( x 2)⑤ . y 2( x 1) 2 x 2 6 2 ⑥ . y x 3 x 2⑦ . y ⑧ . y 2 x x
2
2
例2 如果函数y=(k-3)
kx 1是二次函数
解： y x
k 2 3 k 2
k 2 3k 2 2 解得：k1 0, k 2 3 k 3 0 k 3 k 0
应用练习
考查二次函数定义
1.下列函数中，不是二次函数（ C ）
D. y ( x 1)( x 2) 2 y ( m n ) x mx n 是二次函 2 .函数 数的条件是（ B ） A．m、n为常数，且m≠0 B．m、n为常数，且m≠n C．m、n为常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数
（4）y=ax² +bx+c (a≠0)
19
请同学们各写出三个二次函数
火眼金睛
在二次函数y=ax² +bx+c(a≠0)中， a、b、c分别叫做二 次项系数、一次项系数、常数项。填表： y=ax² +bx+c(a≠0) a 6 1 b 0 3 0 1 -2 c 0 -2
y=6x² y=x² +3x-2
20 当a=2时，v= _________
5
a
利用等量关系列函数式
1.考查二次函数定义 ①最高次数项次数为2次。 ②保证二次项系数不为0。
4.半径为3的圆，如果半径增加2x，面积S与x之 2 S (3 2 x ) 间的函数表达式为:___________
2.利用常见等量关系 列函数式。
y=-2x² +6 y=(2x+3)(x-1) y=2+(x-1)²
-2 2 1
6 -3 3
2 y x 2 x 5 中，x=-2时，y= -3 ； 二次函数
当y =2时， x = -1或3
；
20
火眼金睛
若y (m ห้องสมุดไป่ตู้ 2) x
解：依题意得 是关于x的二次函数，求m的值。 m2 +m-4=2 m-2≠0
（第一节二次函数）
黄泥冈中学
1
在观看篮球比赛时，你是否注意过篮球入篮的路线？
2
图片欣赏 喷泉
3
图片欣赏 彩虹桥
4
图片欣赏
石拱桥
5
它们会与某种函数有联系吗？
6
温故知新
复习：
1、什么是函数？ 在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果对于x 的 每一个可取的值，都有唯一一个y 值与它对应，那么y 称为x 的函数。 2、什么叫做一次函数？ 3、什么叫做反比例函数？ 4、函数有哪些表示方法？ 解析法 列表法 图象法
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变 量？
变量：橙子树的数量，橙子树之间的距离，橙子树接受阳光的多少， 每棵橙子树的结果量，果园橙子的总产量，每个橙子的质量等等。
(1)
100+x） ((2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有（ _______ 棵橙子树, （600-5x） 这时平均每棵树结_______个橙子
解：S=a(
60 - a)=a(30-a) 2
=30a-a² = -a²+30a .
是二次函数.
学以致用
一个正方形的边长为10cm,若从中挖出一个边长为 x(x<10)cm的小正方形，则剩余部分的面积为y 。 (1)写出y(cm2 )与x(cm)之间的关系表达式，并指出它 是一个什么函数； 解：y=100-x² ，是二次函数 (2)当x取2cm,4cm,6cm时,相应的y值分别是多少？ 解：当x=2时, y=100-4=96；
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的几种不同表示形式: (1)y=ax² --------- (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax²+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).
12
例1：下列是二次函数的是：②③④ ____________
7
形如y=kx+b (k、b为常数，k≠0)
k 形如y= (k为常数，k≠0) x
源于生活的数学
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个 橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如 果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受 的阳光就会减少. 根据经验估计,每多 种一棵树,平均每棵 树就会少结5个橙子.
5.某公司1月份营业额100万元，三月份营业额 为y万元,如果每月的增长率为x，则y与x的关系 2 y 100(1 x ) 式为:_______________
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1）y=3(x-1)²+1;
怎 么 判 断? （是）
1 (2)y=x+ 2 x
（不是）
(4)y=
当x=4时, y=100-16=84；
当x=6时, y=100-36=64； ∴当x取2cm,4cm,6cm时,相应的y值分别是96 cm2 ，84 cm2 ， 23 2 64cm 。
小结 拓展
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a, b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
注意：①最高次数项次数为2次。 ②保证二次项系数不为0。
x
k 2 3k 2
+kx+1是二次函数,
0 则k的值是______
解： y x
k 2 3 k 2
kx 1是二次函数
k 2 3k 2 2 解得：k1 0, k 2 3
变式训练：如果函数y= x 0 或3 则k的值是______
k 2 3k 2
+kx+1是二次函数,
2.利用等量关系列二次函数式。
步骤：①利用等量关系列等式 ②将等式转化为相应的函数式。
y是x的函数吗？ y是x的一次函数？是反比例函数？ 猜想它们是什么函数？
二次函数 定义： 一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做x的二次函数. .
有何特 点?
(3)y=ax² +bx ---(a≠0,b≠0,c=0
思索归纳 提示:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且 a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项 和常数项,但不能没有二次项.
1 x 2 x
,
(6)y=2² +2x,
(8) y 1 2 x x 3 25 2
(7)s=1+t+5t² ，
二次函数y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax² (a≠0).
(3)y=ax² +bx (a≠0)
(2)y=ax ² +c(a≠0).
1 x2 x
(3) s=3-2t².
（是）
(5) v=πr².
（是）
（不是）
初试牛刀
（1）y=3(x-1)² +1 (3)y=(x+3)² -x²
1 2 y 3 x (5) 2
定义：一般地，形如y=ax² +bx+c(a,b,c 是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
下列函数中，哪些是二次函数？ (2)s=-2t² (4) y
m2 m4
解得 m=-3 ∴ 当m=-3时，原函数为二次函数。
已知函数 y (k 2 k ) x2 kx 2 k
（1）当k ≠0且k ≠1 时，y是x的二次函数？
（2）当k =1 时，y是x的一次函数？
21
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场 地面积S(m² )与矩形一边长a(m)之间的关系 是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到 期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转 存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本 息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
y=100(x+1)² =100x² +200x+100.
情景1：y=-5x²+100x+60000 情景2：y=100x²+200x+100
C. y x 2 1
A. y 6 x 1 B. y 1 x 2 6
2
3 .底面为正方形的长方体，已知底面边长是a，长方体 的高为5，体积为v， 2 v 5 a (1)求v与a之间的函数表达式：____________, v是a的 ______ 一次项系数 二次 函数,其中二次项系数为：________ 5 0 常数项为：________ 0 为：_______ (2)
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关 系式:
y与x的关系式为： 化简为：
y (100 x )( 600 5 x ) y 5 x 100 x 60000
2
问题四
亲历知识的发生和发展
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就 是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由 中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.