1.4 时域离散系统的输入输出描述法
第1章离散信号与系统时域分析2
因此
当0 n 3时，y (n) 1 n 1
m 0 3 n
当4 n 6时，y(n)
数字信号处理
数字信号处理
DIGITAL SIGNALS PROCESSING
1.3.1 线性系统
• 满足叠加原理的系统称为线性系统。设x1(n)和 x2(n)分别作为系统的输入序列，其输出分别用 y1(n)和y2(n)表示，即
y1 (n) T [ x1 (n)], y2 (n) T [ x2 (n)]
DIGITAL SIGNALS PROCESSING
1.3.3 线性时不变系统输入与输 出之间的关系——卷积
设系统的输入x(n)=δ(n)，系统输出y(n)的初 始状态为零，定义这种条件下系统输出称为 系统的单位脉冲响应，用h(n)表示。用公式 表示为
h(n) T [ (n)] (1.3.6)
数字信号处理
DIGITAL SIGNALS PROCESSING
(1.3.8) (1.3.9) (1.3.10)
线性卷积的运算规则
x(n) (n)
m
x(m) (n m) x(n)
(1.3.11)
x(n) (n n0 ) x(n n0 )
数字信号处理
DIGITAL SIGNALS PROCESSING
1.3.4系统的因果性和稳定性
判断线性时不变系统因果性的 充分必要条件：
h(n) 0, n 0
数字信号处理
DIGITAL SIGNALS PROCESSING
信号与系统课件--第一章§1.4 时域离散系统的输入输出描述法—线性常系数差分方程
x (t ) (t mT )
a
0 T
(t mT )
• • •
t
mT
ˆ xa (t )
m
x (mT ) (t mT )
a
0 T
T (t )
1
-2 -1 0 1 2
t
P ( j)
T
s
s
s
下面研究理想采样前后信号频谱的变化 我们知道，两信号在时域相乘的傅立叶变换等于两信号分别的傅立 叶变换的卷积 ˆ 按照 xa (t ) xa (mT ) (t mT ) 推导如下：
m
xa (mT )h(t mT )
t
0 T 2T 3T
sin[ (t mT )] T xa ( mT ) C m m (t ) m m (t mT ) T
X a ( j)
c
0
•
2
•
s
s
•
2 s
•
3s
ˆ X a ( j )
0
s 2
•
•
s
•
2 s
•
3s
3、（时域）采样定理
采样定理：当抽样频率大于信号最高频率的两倍时，
抽样后信号的频谱是原信号频谱的周期延拓而无混叠现 象，表明抽样没有丢失信息，有可能再恢复出原信号
频谱不混迭的条件 c 式中
h(0) ah( 1) 1 0 1 1
h(1) ah(0) 0 a 0 a
h(n) ah(n 1) 0 a n 0 a n
a n h( n) a u ( n) 0
《数字信号处理》课程教学大纲
《数字信号处理》课程教学大纲课程编码：课程名称：数字信号处理英文名称： Digital signal processing适用专业：物联网工程先修课程：复变函数、线性代数、信号与系统学分：2总学时：48实验（上机）学时：0授课学时：48网络学时：16一、课程简介《数字信号处理》是物联网工程专业基础必修课。
主要研究如何分析和处理离散时间信号的基本理论和方法，主要培养学生在面对复杂工程问题时的分析、综合与优化能力，是一门既有系统理论又有较强实践性的专业基础课。
课程的目的在于使学生能正确理解和掌握本课程所涉及的信号处理的基本概念、基本理论和基本分析方法，来解决物联网系统中的信号分析问题。
培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。
助力学生树立正确的价值观，培养思辨能力、工程思维和科学精神。
培养学生精益求精的大国工匠精神，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当。
它既是学习相关专业课程设计及毕业设计必不可少的基础，同时也是毕业后做技术工作的基础。
二、课程目标和任务1.课程目标课程目标1（CT1）:运用时间离散系统的基本原理、离散时间傅里叶变换、Z变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换(FFT)、时域采样定理和频域采样定理等工程基础知识，分析物联网领域的复杂工程问题。
培养探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感[课程思政点1]。
助力学生树立正确的价值观，培养思辨能力、工程思维和科学精神[课程思政点2]。
课程目标2 （CT2）:说明利用DFT对模拟信号进行谱分析的过程和误差分析、区分各类网络的结构特点；借助文献研究运用窗函数法设计具有线性相位的FIR数字滤波器，分析物联网领域复杂工程问题解决过程中的影响因素，从而获得有效结论的能力。
培养学生精益求精的大国工匠精神，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当[课程思政点3]。
2.课程目标与毕业要求的对应关系三、课程教学内容第一章时域离散信号与系统（1）时域离散信号表示；（2）时域离散系统；（3）时域离散系统的输入输出描述法；*（4）模拟信号数字处理方法；教学重点：数字信号处理中的基本运算方法，时域离散系统的线性、时不变性及系统的因果性和稳定性。
数字信号处理讲义
在数值上它等于信号的采样值，即
x(n)=xa(nT)，
自动化系
-∞＜n＜∞ (1.2.2)
信号随n的变化规律表示
自动化系
1.2.1 常用的典型序列
1. 单位采样序列δ(n)
1, n 0 ( n) (1.2.3) 0, n 0 单位采样序列也可以称为单位脉冲序列，特点是 仅在n=0时取值为1，其它均为零。它类似于模拟信号 和系统中的单位冲激函数δ(t)，但不同的是δ(t)在t=0时， 取值无穷大，t≠0时取值为零，对时间t的积分为1。单 位采样序列和单位冲激信号如图1.2.1所示。
fs
(1.2.11)
自动化系
6. 复指数序列
x(n) e ( j0 ) n
式中ω0为数字域频率，设σ=0，用极坐标和实部虚 部表示如下式：
x ( n ) e j 0 n
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)
由于n取整数，下面等式成立： e j(ω0+2πM)n= e jω0n, M=0,±1,±2…
自动化系
1.3.2 时不变系统
如果系统对输入信号的运算关系T［·］在整个运 算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的 响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时 不变系统，用公式表示如下： y(n) = T［x(n)］ y(n-n0) = T［x(n-n0)］ (1.3.5)
自动化系
例1.3.2
值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列 才是以N为周期的周期序列。具体正弦序列有以下三种
情况：
(1) 当2π/ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ ω0 为周期的周期序列。例如sin(π/8)n， ω0 =π/8，2π/ ω0 =16,该正弦序列周期为16。
信号处理（ＰＤＦ）
时域离散信号：§例：已知模拟信号是一个正弦波，将它转换成时域离散信号和数字信号。
} {,0,0.9sin 50,0.9sin100,0.9sin150T T ππ时域离散信号n 只能取整数总结：时域离散信号可以通过对模拟信号得到，如果将它的每一个序列值经过有限位的，得到一个用二进制编码表示的序列，该序列就数字信号。
序列值一般有无限位小数。
如果用四位二进制数表示的幅度，二进制数第一位表示符号位，该二进制编码形成的信号数字信号数字信号编码、量化号之间是有差别的。
总结：随着二进制编码位数增加，数字信号和时域离散信号之间的差别越来越小。
[x n 换算成十进制，则x(n 位数有关，如果用换算成十进制，则时域离散信号的来源有两类：¾¾例：每天上午压均正常，收缩压不正常，仅记录收缩压并用时域离散信号号也称为时域离散信号表示方法（（（x(n)……¾，如果将它的每一个序列值经过有限位的，得到一个用二进制编码表示的序列，该序列就是字信号¾号之间的差别越来越小。
110()00n n n δ=⎧=⎨≠⎩δδ()t δ10 ()00nu nn≥⎧=⎨<⎩101()0n N n N R n ≤≤−⎧=⎨⎩其它4、实指数序列()()nx n a u n =a 为实数5、复指数序列00()()j n j n nx n e e eσωωσ+==⋅00cos()sin()n ne n je n σσωω=+0ω为数字域频率j n n 3x(n)=0.9e π例：6、正弦序列0()sin()x n A n ωφ=+()()sin()a t nTx n x t A nT φ===Ω+0/sT f ω=Ω=Ω0ω：数字域频率Ω：模拟域频率T ：采样周期s f ：采样频率()sin()a x t A t φ=Ω+模拟正弦信号：数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率弧度弧度/秒(x n8x 要使表示成取(3)任何整数例：判断解：如果一个正弦型序列是由一个连续信号采样而得到的，那么，时间间隔得到的采样序列是周期序列呢？设连续正弦信号信号的周期为ω频率乘以频率。
1.3 时域离散系统
x(k )u(n k )
因为当n－k<0时，u(n-k)=0; n－k≥0时，u(n－k)=1, 因 此，求和限为k≤n，所以
y ( n)
k
x(k )
n
（1.3.15）
39
y ( n)
k
x(k )
n
（1.3.15）
上式表示该系统是一个累加器，它将输入序列从加上之 时开始，逐项累加，一直加到n时刻为止。下面分析该系 统的稳定性：由于
30
1.3.4
系统的因果性和稳定性
如果系统n时刻的输出只取决于n时刻以及n时刻以
前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无关，则称 该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。 如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列， 在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为 非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。
第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 1.2 1.3 1.4 引 言
时域离散信号 时域离散系统 时域离散系统的输入输出描述法 ——线性常系数差分方程
1.5
模拟信号数字处理方法
1
1.3
时域离散系统
设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系
统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T［· ］表示，输出
y(n) ax(n) b y(n n0 ) ax(n n0 ) b y(n n0 ) T x(n n0 )
因此该系统是时不变系统。
6
【例1.3.3】检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。 解:
y(n) nx(n)
y(n n0 ) (n n0 ) x(n n0 ) T x(n n0 ) nx(n n0 ) y(n n0 ) T x(n n0 )
第1章时域离散信号和离散系统
1 x 10
-5
0 n
5
x(n)
x(t)
0 n
5
1.1 时域离散信号（2）
(5)几种常用的离散时间信号(6+1个) 冲击序列（单位抽样序列）： 抽样性质： x(n) (n k ) x(k )
( n)
1, n 0 0, n 0
m
任意序列：可用冲击序列的移位加权和表示： x(n) x(m) (n m) 阶跃序列： 矩形序列：
z-1
1.3 线性非时变系统（LTI）（1）
(1)系统的线性(Linearity)：满足叠加原理(superposition）的系统。 数学表示：
设y1 (n) T [ x1 (k )], y 2 (n) T [ x2 (k )] 若y(n) T [ax1 (n) bx2 (n)] ay1 (n) by2 (n) 则系统称为线性系统。
n
| h( n) |
例如不稳定系统： h(n) sin n
h( n) u ( n )
1.4 线性差分方程描述的LTI系统（1）
(1)N阶线性差分方程
ak y(n k ) bk x(n k ) , ak 1，ak、bk为常数
k 0 k 0
N
第一章 时域离散信号和离散系统
1.1 时域离散信号 1.2 时域离散系统 1.3 线性非时变系统（LTI）
1.4 离散系统的输入输出描ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法－线性常系数差分方程
1.5 结束语
1.1 时域离散信号（1）
(a)正 弦 信 号
(1)时间信号 信号：传递信息的函数。自变量有多种形式。一维和多维。 时间信号：自变量为时间的信号。声压p(t)。一维信号。
《数字信号处理》教学大纲
《数字信号处理》教学大纲课程编码：英文名称：Digital Signal Processing学分/学时：3/48适用专业：光电信息科学与工程开课院系：先修课程：数电、模电、应用工程数学；后续课程：一、课程目标目标1：了解采样定理、离散序列的变换方法，熟悉离散信号的特性，掌握其分析方法。
能够绘制离散系统的传递函数、频率响应曲线，进行离散系统的传递函数与信号流图的分析转换。
目标2：掌握Z变换、离散信号的傅里叶变换理论与分析，熟悉快速傅里叶变换方法的原理与应用范围。
目标3：掌握数字滤波器的设计理论和方法，能够按照要求的参数指标，进行FIR、IIR两种不同类型滤波器的设计分析。
二、课程内容（一）数字信号与系统模块的基本要求和基本内容（6课时）1.1数字信号处理的基本概念、方法与特点；（2 学时）1.2时域离散信号与系统、输入输出描述法——线性常系数差分方程；（2 学时）1.3模拟信号数字处理方法。
（2 学时）（二）数字变换模块的基本要求和基本内容（24课时）2.1 Z变换与离散傅里叶变换（2 学时）2.2序列的Z变换及与傅里叶变换的定义及性质；（4 学时）2.3周期序列的Z变换与离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式；时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系；（4 学时）2.4利用Z变换分析信号和系统的频域特性。
（4 学时）2.5离散傅里叶级数（DFS）的定义与性质；抽样Z变换-频率域采样；（4 学时）2.6计算DFT的问题及改进的途径:基2 FFT算法与进一步减少运算量的措施；（4 学时）2.7离散傅里叶反变换（IDFT）的快速方法（2 学时）（三）数字滤波器模块的基本要求和基本内容（18课时）3.1数字滤波器的基本概念、基本结构；（2 学时）3.2 FIR数字滤波器的基本结构；数字滤波器的格形结构（4 学时）3.3数字滤波器的基本概念、原理与结构；（1 学时）3.4用脉冲响应不变法、冲激响应法设计IIR数字滤波器；（2 学时）3.5用双线性变换法设计IIR数字滤波器；（2 学时）3.6数字高通、带通和带阻滤波器的设计；（1 学时）3.7线性相位FIR数字滤波器的条件和特点；（2 学时）3.8利用窗函数法设计FIR滤波器；（2 学时）3.9IIR数字滤波器的直接设计方法。
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10
【例1.4.2】 设差分方程为
y(n) ay(n 1) x(n) x(n) δ(n), y(1) 0, n 0,
求输出序列y(n)。
y(n 1) a 1 ( y(n) δ(n))
n 1时, y (0) a 1 ( y (1) δ (1)) 0 n 0时, y (1) a 1 ( y (0) δ (0)) a 1 n 1时, y (2) a 1 ( y (1) δ (1)) a 2 n | n | 时， y (n 1) a n 1
系数，较麻烦，实际中很少采用，这里不作介绍。 （2） 递推解法。这种方法简单，且适合用计算机求 解，但只能得到数值解，对于阶次较高的线性常系数差分 方程不容易得到封闭式（公式）解答。 （3） 变换域方法。这种方法是将差分方程变换到z 域进行求解，方法简便有效，这部分内容放在第2章学习。
4
当然还可以不直接求解差分方程，而是先由差分
y (n) ax(n 1) x(n)
n 0时, y (0) ay( 1) δ (0) 1 n 1时，y (1) ay(0) δ (1) a n 2时, y (2) ay(1) δ (2) a 2 n n时, y ( n ) a n
第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 1.2 1.3 1.4 引 言
时域离散信号 时域离散系统 时域离散系统的输入输出描述法 ——线性常系数差分方程
1.5
模拟信号数字处理方法
1
1.4
时域离散系统的输入输出描述法
——线性常系数差分方程
描述一个系统时，可以不管系统内部的结构如何，将 系统看成一个黑盒子，只描述或者研究系统输出和输入之 间的关系，这种方法称为输入输出描述法。 对于模拟系统，我们知道由微分方程描述系统输出输
、 出，n0时刻以前的N个输出值y(n0－1)、y(n0－2)、
y(n0－N)就构成了初始条件。
6
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i 0 i 1
M
N
（1.4.1）式表明，已知输入序列和N个初始条件，则
可以求出n时刻的输出；如果将该公式中的n用n+1代替，
方程求出系统的单位脉冲响应，再与已知的输入序列
进行卷积运算，得到系统的输出。但是系统的单位脉 冲响应如果不是预先知道，仍然需要求解差分方程，
求其零状态响应解。
本节只介绍递推法.
5
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i 0 i 1
M
N
观察（1.4.1）式，求n时刻的输出，要知道n时刻以 及n时刻以前的输入序列值，还要知道n时刻以前的N个 输出信号值。因此求解差分方程在给定输入序列的条件 下，还需要确定N个初始条件。 以上介绍的三种基本解法都只能在已知N个初始条 件的情况下，才能得到唯一解。如果求n0时刻以后的输
i 0 i 1
或者
a y ( n i ) b x( n i )
i i i 0 i 0
N
M
a0 1
式中，x(n)和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列，ai和bi 均为常数，式中y(n－i)和x(n－i)项只有一次幂，也没有相 互交叉相乘项，故称为线性常系数差分方程。 y(n－i)项中i的取值最大与最小之差确定阶数。在（1.4.2）
式中，y(n－i)项i最大的取值为N，i的最小的取值为零，因
此称为N阶的差分方程。
3
1.4.2 线性常系数差分方程的求解
已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出输
出序列。求解差分方程的基本方法有以下三种： （1） 经典解法。这种方法类似于模拟系统中求解微
分方程的方法，它包括齐 nu(n)
8
（2） 设初始条件:
y (1) 1
n 0时, y (0) ay(1) δ (0) 1 a n 1时, y (1) ay(0) δ (1) (1 a)a n 2时, y (2) ay(1) δ (2) (1 a)a 2 n n时, y (n) (1 a)a n y (n) (1 a)a n u (n)
就是该系统的单位脉冲响应，例题1.4.2求出的y(n)则是一
个非因果系统的单位脉冲响应。
12
最后要说明的是，一个线性常系数差分方程描述 的系统不一定是线性非时变系统，这和系统的初始状 态有关。如果系统是因果的，一般在输入x(n)=0(n<n0) 时，则输出y(n)=0(n<n0)，系统是线性非时变系统。
9
该例表明，对于同一个差分方程和同一个输入信号，
因为初始条件不同，得到的输出信号是不相同的。
对于实际系统，用递推解法求解，总是由初始条件向 n>0的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其本身
也可以向n<0的方向递推，得到的是非因果解。因此差分方
程本身不能确定该系统是因果系统还是非因果系统，还需 要用初始条件进行限制。下面就是向方向n<0递推的例题。
11
将n－1用n代替，得到：
y(n) a u(n 1)
n
输出信号 非因果
用差分方程求系统的单位脉冲响应，由于单位脉冲响应
是当系统输入δ(n)时的零状态响应，因此只要令差分方程
中的输入序列为δ(n)，N个初始条件都为零，其解就是系 统的单位脉冲响应。实际上例题1.4.1（1）中求出的y(n)
可以求出n+1时刻的输出，因此（1.4.1）式表示的差分方 程本身就是一个适合递推法求解的方程。
7
【例1.4.1】 设系统用差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，
输入序列x(n)=δ(n)，求输出序列y(n)。
解 该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。 （1） 设初始条件: y(1) 0
入之间的关系。对于时域离散系统，则用差分方程描述或
研究输出输入之间的关系。对于线性时不变系统，经常用 的是线性常系数差分方程。本节主要介绍这类差分方程及 其解法。
2
1.4.1
线性常系数差分方程
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
M N
一个N阶线性常系数差分方程用下式表示： （1.4.1） （1.4.2）