(完整版)线性代数吴赣昌第二章
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交换律，即在一般情形下，AB BA，要
使 AB BA成立，必须满足一定的条件。
（2）由这个例子还可知，A O ，B O ，
但却有 AB O，所以由 AB O，不能得
出 A O 或 B O的结论。若 A O，而 A(X Y ) O，不能得出 X Y 的结论。
例3： 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
行向量），称只有一列的矩阵 （又称列向量）。
b1
A
b2
bn
为列矩阵
3、单位矩阵
1 0 0
称
n
阶方阵
En
0
1
0
为
n
阶单位矩阵，
0 0 1
简记为 E 。
4、对角矩阵
1
称 n阶方阵
0
0
2
0
0
为对角矩阵，
0 0 n
记作 diag(1,2 ,,n ) 。
第二节 矩阵的运算
三、 矩阵与矩阵相乘 1、定义
定义5： 设 A (aij )是一个 m s 矩阵，B (bij )
是一个 s n 矩阵，那么规定矩阵 A 与
B 矩阵的乘积是一个 m n矩阵 C (cij )，
s
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj k 1
第二章 矩阵(Matrix)及其运算
第一节 矩阵的定义 一、 矩阵的定义
在实际中，我们常常把 n 行 m 列的数据看作成
一个整体，例如，某厂向三个商店发送四种产
品的数量，可排列成以下的4行3列的数表
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
这种数表就是我们所说的矩阵。
记作 A B 。
注意：只有两个矩阵是同型矩阵，才能进行加法运算。
定义2：设矩阵 A (aij ) ，称矩阵 (aij ) 为 A 的负
矩阵，记作 A。
定义3： A B A (B)
注意： A (A) O 2、运算法则
（1）A B B A；
（2）(A B) C A (B C)；
二、数乘运算 1、定义
定义4： 数 与矩阵 A 的乘积规定为
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
am1 am2 amn
记作 A 或 A 。
2、运算法则
（1） ()A (A) （2） ( )A A A （3） (A B) A B
矩阵相加与矩阵数乘运算，统称为矩阵的线性运算。
一、矩阵的加、减法 1、定义
定义1： 设有两个 m n矩阵 A (aij ) 和 B (bij ) ，
规定 A 和 B 的和为
a11 b11 a21 b21 am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
x1
x
x2
ห้องสมุดไป่ตู้
xn
y1
y
y2
yn
则线性变换 可表示为
y Ax
4、运算法则 （1） (AB)C A(BC) （2） (AB) (A)B A(B) （3） A(B C) AB AC (B C)A BA CA （4） Em Amn Amn Amn En Amn
称 A 为方程组的系数矩阵。
3、线性变换的概念
变量 x1, x2, , xn 与变量 y1, y2, , ym 之间的关系式:
y1 a11x1 a12 x2
y2
a21x1
a22 x2
ym am1x1 am2 x2
a1n xn a2n xn
amn xn
称为变量 x1, x2, , xn 到变量 y1, y2, , ym 的线性变换。
记作 AB 。
注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第
二个矩阵（右矩阵）的行数时，才能进行矩
阵相乘。
4 1 0
例1：
求矩阵
A
1 2
积 AB 。
0 1
3 0
21
，B
1 2 1
1 0 3
3 14
的乘
例2：
已知
A
2 1
42
，B
2 3
4 6
，求
AB 和 BA 。
注意：（1）由这个例子可知，矩阵的乘法不满足
aij bij (i 1,2,, m; j 1,2,, n)
则称矩阵 A 与矩阵 B相等，记作 A B。 称元素都是零的矩阵为零矩阵，记作 O 。
二、 特殊矩阵
1、 n 阶方阵 行数与列数都等于 n 的矩阵 A称为 n 阶矩
阵或 n阶方阵。
2、行矩阵和列矩阵
称只有一行的矩阵 A a1 a2 an 为行矩阵（又称
a11 a12 a13 a14 A a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
这四个产品的单价及单位重量可列成矩阵
b11
B
b21
b31 b41
b12
b22
b32 b42
求 AB ，并指出 AB 的含义。
2、线性方程组的矩阵表示
对线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
a11 a12
令
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
bm
利用矩阵的乘法，线性方程组可表示为矩阵形式
Ax b
定义1： 由 m n个数 aij (i 1,2,, m; j 1,2,, n) 排成
的 m 行 n 列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn
称为 m行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵，
a11
通常记作
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
，以
aij
为
am1 am2 amn
第 i 行 j 列元素的矩阵可简记作 (aij ) 或
(aij )mn ，m n矩阵 A 也记为 Amn 。
元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵 成为复矩阵。我们主要是讨论实矩阵。
注意：矩阵与行列式的区别。
定义2： 两个矩阵的行数相等、列数也相等时， 就称它们是同型矩阵，如果 A (aij ) 与 B (bij )是同型矩阵，并且它们的对应 元素相等，即
5、方阵的幂运算
设 A 是 n 阶方阵，定义：
A1 A, A2 AA,, Ak1 Ak A
使 AB BA成立，必须满足一定的条件。
（2）由这个例子还可知，A O ，B O ，
但却有 AB O，所以由 AB O，不能得
出 A O 或 B O的结论。若 A O，而 A(X Y ) O，不能得出 X Y 的结论。
例3： 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
行向量），称只有一列的矩阵 （又称列向量）。
b1
A
b2
bn
为列矩阵
3、单位矩阵
1 0 0
称
n
阶方阵
En
0
1
0
为
n
阶单位矩阵，
0 0 1
简记为 E 。
4、对角矩阵
1
称 n阶方阵
0
0
2
0
0
为对角矩阵，
0 0 n
记作 diag(1,2 ,,n ) 。
第二节 矩阵的运算
三、 矩阵与矩阵相乘 1、定义
定义5： 设 A (aij )是一个 m s 矩阵，B (bij )
是一个 s n 矩阵，那么规定矩阵 A 与
B 矩阵的乘积是一个 m n矩阵 C (cij )，
s
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj k 1
第二章 矩阵(Matrix)及其运算
第一节 矩阵的定义 一、 矩阵的定义
在实际中，我们常常把 n 行 m 列的数据看作成
一个整体，例如，某厂向三个商店发送四种产
品的数量，可排列成以下的4行3列的数表
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
这种数表就是我们所说的矩阵。
记作 A B 。
注意：只有两个矩阵是同型矩阵，才能进行加法运算。
定义2：设矩阵 A (aij ) ，称矩阵 (aij ) 为 A 的负
矩阵，记作 A。
定义3： A B A (B)
注意： A (A) O 2、运算法则
（1）A B B A；
（2）(A B) C A (B C)；
二、数乘运算 1、定义
定义4： 数 与矩阵 A 的乘积规定为
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
am1 am2 amn
记作 A 或 A 。
2、运算法则
（1） ()A (A) （2） ( )A A A （3） (A B) A B
矩阵相加与矩阵数乘运算，统称为矩阵的线性运算。
一、矩阵的加、减法 1、定义
定义1： 设有两个 m n矩阵 A (aij ) 和 B (bij ) ，
规定 A 和 B 的和为
a11 b11 a21 b21 am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
x1
x
x2
ห้องสมุดไป่ตู้
xn
y1
y
y2
yn
则线性变换 可表示为
y Ax
4、运算法则 （1） (AB)C A(BC) （2） (AB) (A)B A(B) （3） A(B C) AB AC (B C)A BA CA （4） Em Amn Amn Amn En Amn
称 A 为方程组的系数矩阵。
3、线性变换的概念
变量 x1, x2, , xn 与变量 y1, y2, , ym 之间的关系式:
y1 a11x1 a12 x2
y2
a21x1
a22 x2
ym am1x1 am2 x2
a1n xn a2n xn
amn xn
称为变量 x1, x2, , xn 到变量 y1, y2, , ym 的线性变换。
记作 AB 。
注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第
二个矩阵（右矩阵）的行数时，才能进行矩
阵相乘。
4 1 0
例1：
求矩阵
A
1 2
积 AB 。
0 1
3 0
21
，B
1 2 1
1 0 3
3 14
的乘
例2：
已知
A
2 1
42
，B
2 3
4 6
，求
AB 和 BA 。
注意：（1）由这个例子可知，矩阵的乘法不满足
aij bij (i 1,2,, m; j 1,2,, n)
则称矩阵 A 与矩阵 B相等，记作 A B。 称元素都是零的矩阵为零矩阵，记作 O 。
二、 特殊矩阵
1、 n 阶方阵 行数与列数都等于 n 的矩阵 A称为 n 阶矩
阵或 n阶方阵。
2、行矩阵和列矩阵
称只有一行的矩阵 A a1 a2 an 为行矩阵（又称
a11 a12 a13 a14 A a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
这四个产品的单价及单位重量可列成矩阵
b11
B
b21
b31 b41
b12
b22
b32 b42
求 AB ，并指出 AB 的含义。
2、线性方程组的矩阵表示
对线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
a11 a12
令
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
bm
利用矩阵的乘法，线性方程组可表示为矩阵形式
Ax b
定义1： 由 m n个数 aij (i 1,2,, m; j 1,2,, n) 排成
的 m 行 n 列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn
称为 m行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵，
a11
通常记作
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
，以
aij
为
am1 am2 amn
第 i 行 j 列元素的矩阵可简记作 (aij ) 或
(aij )mn ，m n矩阵 A 也记为 Amn 。
元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵 成为复矩阵。我们主要是讨论实矩阵。
注意：矩阵与行列式的区别。
定义2： 两个矩阵的行数相等、列数也相等时， 就称它们是同型矩阵，如果 A (aij ) 与 B (bij )是同型矩阵，并且它们的对应 元素相等，即
5、方阵的幂运算
设 A 是 n 阶方阵，定义：
A1 A, A2 AA,, Ak1 Ak A