涉及三个连续自然数的整除问题

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数的整除

知识点归纳一概念1、整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。

如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。

倍数和约数是相互依存的。

因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。

一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。

例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。

2、个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。

个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。

一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。

一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。

能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。

一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。

一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。

例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。

能被2整除的数叫做偶数。

不能被2整除的数叫做奇数。

0也是偶数。

自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。

3、一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。

余数与同余问题

余数同余问题1、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16，被除数、除数、商、余数这四个数的和为463，那么除数为：2、57、96、148被某自然数整除，余数相同，且不为零，那么284被这个自然数除后余：3、150、232、396被某个两位数除后都有余数，且余数都是同一个奇数，那么所得的余数是：4、有一个自然数，用它分别去除81、127、232都有余数，且3个余数的和是33，那么这个自然数是：5、一个两位数去除251，得到的余数是41，这个两位数是：6、两个小于100的不同自然数去除440，余数都是35，这两个数的差为：7、一个两位数除以8，商与余数相同，那么这样的数总和为：8、有一个除法算式，被除数、除数和商都是整数，且没有余数，被除数、除数、商相加的和是79，被除数和除数相差56，这个算式是：9、一个整数，减去它除以5后所得余数的4倍，差是234，这个自然数是：10、2010除以一个两位数ab=（），使所得余数最大。

11、1）一个两位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是：2）一个三位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是：12、在大于2010的自然数中，逐个找出“被49除后，商与余数相等的数”，这些数的和是：13、用一个自然数A去除333，商得4，用所得余数去除自然数B，所得商和余数相加恰好为A，那么B最小为：14、两个数字之和为10、8的三位数乘积是一个五位数，且这个五位数的后四位是1031，那么这两位三位数之和是：15、一个自然数除以9的余数和除以8的商的和等于13，那么这个数除以8的余数是：16、一个自然数除以7的余数和除以8的商的和等于15，则满足条件的所有自然数的和是：17、10个自然数的和为100，分别除以3，若用去尾法，10个商的和为30，若用四舍五入法，10个商的和为34，那么10个数中被3除余1的数有：18、一个三位数分别被63、95、143除之后所得的余数之和为19，那这个三位数是：19、在小于1000的正整数中，被12、15和18除得余数相同的数共有：20、若M=3x＋x3，当x取1、2、3、……、2010时，能被7整除的M共有：21、当X取1、2、3、……2010时，有（）个整数X使2x与X2被7除余数相同。

余数题目[精华]

民间传说着一则故事——“韩信点兵”。

秦朝末年，楚汉相争。

一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。

苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。

当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。

只见远方尘土飞扬，杀声震天。

汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。

韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。

他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。

韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。

汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。

于是士气大振。

一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。

交战不久，楚军大败而逃。

解：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数解答: 23。

70×2＋21×3+15×2-105×2＝23那么韩信点的兵在1000-1500之间，应该是70×2＋21×3+15×2+105×9=1073在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题："今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？"意思是，"一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数."这个问题称为"孙子问题".关于孙子问题的一般解法，国际上称为"中国剩余定理".如何求符合上述条件的正整数N呢？《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。

术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。

以二百一十减之，即得。

凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。

奥数基本题型三数论

奥数基本题型一数论一质数合数1 将一个三位数的个位数字与百位数字对调位置，得到一个新的三位数，已知这两个三位数的乘积等于55872，那么，这两个三位数的和为多少？2 从1到300中所有能被3整除的数相乘所得的乘积末尾有多少个0？3 各位数码是0、1或2，且能被225整除的最小自然数是多少？4有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。

求这个数。

5从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？二约数与倍数1 甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？2 大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米。

由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印。

求圆形花圃的周长。

3210与330的最小公倍数是最大公约数的多少倍？4马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是______.5 把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分成多少组？三余数问题1 试求25310×1685的末两位数。

2 一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？3试求20072008的末两位数.4一个大于1的自然数去除300，243，205时，得到相同的余数，则这个自然数是多少？5 甲、乙、丙三数分别为603，939，393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少？6 有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少？四整除1 已知三个连续的自然数，它们都小于2006，其中最小的自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个能被17整除。

小升初专练-数论问题-数的整除特征通用版(含答案)

小升初专练-数论问题-数的整除特征【知识点归纳】整除是整数问题中一个重要的基本概念．如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a．此时，b是a的一个因数（约数），a是b 的倍数数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除．（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除．（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除．（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除．（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除．（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除．【经典题型】例1：下列4个数都是六位数，A是大于0小于10的自然数，B是0，一定能同时被2、3、5整除的数是（）A、AAABAAB、ABABABC、ABBABBD、ABBABA 分析：这个六数个位上的数字是0，能被2和5整除，不管A是比10小的哪个自然数，A+A+A的和一定是3的倍数，所以ABABAB一定能被3整除解：B=0，ABABAB能被2和5整除，A+A+A的和一定是3的倍数，ABABAB也一定能被3整除，故选：B．点评：此题主要考查能被2、3、5整除的数的特征：一个数个位上是0或5，这个数就能被5整除；个位是0、2、4、6、8的数能倍2整除；一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就能被3整除．【常考题型】例2：有一个四位数3AA1能被9整除，A是（）．分析：已知四位数3AA1能被9整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数然后再根据题意进一步解答即可．因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数，最大值只能是9．若A=9，那么3+A+A+1=22，22＜27，所以3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18．解：根据题意可得：四位数3AA1，它能被9整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数；因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数，最大值只能是9；若A=9，那么3+A+A+1=3+9+9+1=22，22＜27，所以，3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18；当3+A+A+1=9时，A=2.5，不合题意；当3+A+A+1=18时，A=7，符合题意；所以，A代表7，这个四位数是3771．答：A是7，故答案为：7．点评：本题主要考查能被9整除数的特征，即一个数能被9整除，那么这个数的数字和一定是9的倍数，然后在进一步解答即可．一．选择题1．下面四个数都是六位数，N是比10小的自然数，S是0，一定能被3和5整除的数是（）A．NNNSNN B．NSNSNS C．NSSNSS D．NSSNSN2．某班有一个小图书馆，共有300多本，从1开始，图书按自然数的顺序编号，即1，2，3…，小光看了这图书馆里都被2，3和8整除的书号，共16本，这个图书馆里至少有（）本图书．A．381B．382C．383D．3843．四位数同时是2、3和5的倍数，第一个里最大能填（）A．9B．8C．7D．64．用0，3，4，5四个数字组成的所有四位数都能被（）整除．A．2B．3C．55．用1～8八个数字组成两个四位数，每个数字只用1次．已知两个四位数都是9的整数倍，则两个四位数的差的最大值为（）A．5286B．4184C．7531D．70656．下列各数中是11的倍数的是（）A．75087B．117208C．632599D．4563517．从1，2，3，4，5这五个数字中选取四个组成一个四位数，使它能同时被3、5、7整除，这个四位数是（）A．1235B．1245C．2415二．填空题8．有一个号码是六位数，前四位是2857，后两位忘记了，但是这个六位数能被11和13整除，那么这个号码是。

小学数学数的整除之四大判断法综合运用(一).教师版

5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用（一）教学目标1.了解整除的性质；2.运用整除的性质解题；3.整除性质的综合运用.知识点拨一、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4)∣12．性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；例题精讲模块一、2、5系列【例1】975935972⨯⨯⨯□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？【考点】整除之2、5系列【难度】2星【题型】填空【解析】【解析】积的最后4个数字都是0，说明乘数里至少有4个因数2和4个因数5．9755539=⨯⨯，9355187=⨯，97222243=⨯⨯，共有3个5，2个2，所以方框内至少是22520⨯⨯=．【答案】22520⨯⨯=【例2】从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？【考点】整除之2、5系列【难度】4星【题型】解答【解析】【解析】首先，50、60、70、80、90、100中共有7个0．其次，55、65、85、95和任意偶数相乘都可以产生一个0，而75乘以偶数可以产生2个0，50中的因数5乘以偶数又可以产生1个0，所以一共有742114+++=个0．【答案】14个连续的0【例3】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？【考点】整除之2、5系列【难度】4星【题型】解答【解析】【解析】乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有一个零．由于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所以我们只要观察因数5的个数就可以了．551=⨯，1052=⨯，1553=⨯，2054=⨯，2555=⨯，3056=⨯，……，发现只有25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个因数5，乘到55时共出现11213+=个因数5，所以至少应当写到55。

第九讲连续自然数解答[五竞]

第五讲连续自然数知识导航在数字问题中，连续自然数（包括连续偶数、连续质数）是一类特殊的数列。

它与自然数的性质、运算性质有着广泛的联系，可以提出很多问题，是课外活动及数学竞赛中常见的题目。

从1开始的连续自然数的和=个数×（个数+1）÷2：1+2+3+…+n=n(n+1)÷2从1开始的连续奇数的和=个数×个数：1+3+5+…+2n-1=n×n从2开始的连续偶数的和=个数×（个数+1）：2+4+6+…+2n=n(n+1)精典例题例1：在1~1999这1999个数中，有多少个数与4567相加时，至少有一个数位上发生进位？例2：三个连续自然数的和能被13整除，且三个数中最大的数被9除余4，那么，符合条件的最小的三个自然数分别是多少？例3：（1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数能被4整除？（2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的数字和能被4整除？例4：有15个同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号。

1号同学写了一个自然数，2号同学说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号整除。

1号作了一一验证，只有编号相邻的两个同学说得不对。

问：（1）说得不对的两位同学，他们编号是哪两个连续自然数。

（2）如果告诉你，1号写的是五位数，请求出这个数。

例5：在15个连续自然数中最多有多少个质数？最少有多少个质数？例6：用1到9这9个数字组成3个三位数（每个数字都要用到），每个数都是4的倍数，这三个三位数中最小的那个三位数最大是多少？家庭作业1.有四个学生，他们年龄是四个连续自然数，这四个数相乘得3024.这四个学生中年龄最大的是多少岁？[分析与解]乘积是3024，则3024包含四个连续自然数的全部质因数。

将3024分解质因数，再用质因数组合成连续自然数。

3024=2×2×2×2×3×3×3×7=（2×3）×7×（2×2×2）×（3×3）=6×7×8×9。

人教版小学数学五年级第二学期下册全册期中期末试题(附答案)

人教版小学数学五年级第二学期下册全册期中期末试题备课人：目录期末试卷（一） (3)期末试卷（二） (10)期末试卷（三） (17)期末试卷（四） (26)期末试卷（五） (41)期末试卷（六） (56)期末试卷（七） (65)期末试卷（八） (76)期末试卷（九） (87)期末试卷（十） (99)期中试卷（一） (109)期中试卷（二） (116)期末试卷（一）姓名成绩1.填一填。

1.12有（）个因数，17有（）个因数。

2.能同时被2、3、5整除的最大两位数是（）。

3.已知a =2×2×3×5，b =2×5×7，a 和b 的最小公倍数是（），最大因约数是（）。

4.把两个棱长是10厘米的正方体粘合成一个长方体，这个长方体的表面积是（），体积是（）。

5.把3米长的绳子平均分成7段，每段长是全长的)()(，每段长（）米。

6.在a 5里，当a 是（）时，这个分数是5，当a 是（）时，这个分数是1。

7.)()(15)(2416)(83==÷==←填小数。

8.三个连续奇数的和是177，这三个数的平均数是（），其中最大的数是（）。

9.在下面每组的○里填上“＞”、“＜”或“＝”。

413 842831 5017310.3.85立方米＝（）立方分米 4升40毫升＝（）升二、我是小法官。

（对的打“√”，错的打“×”） 1.两个质数的积一定是合数。

（）2.一个假分数不能化成整数就一定能化成带分数。

（）3.长方体的6个面一定都是长方形。

（）4.五角星是轴对称图形，它只有1条对称轴。

（）5.做一个零件，甲用了21小时，乙用了31小时，甲的效率高。

（） 6.把分数的分子和分母同时加上4，分数的大小不变。

（）7.大于51而小于53的分数有无数个。

（）8.一个正方体的棱长之和是12厘米，体积是1立方厘米。

（）三、选一选。

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涉及三个连续自然数的整除问题
陕西省小学教师培训中心王凯成赵熹民
题1 在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数。

题2 有三个连续的自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，写出一组这样的三个连续自然数。

题1、题2都是涉及三个连续自然数的整除问题。

如何解决这类问题呢？
例1见题1
解：能够被5整除数的特征是：个位数字是0或5。

以中间数的个位数字是0或5为突破口。

谁乘以7的个位数是1或6呢？只有□3×7或□8×7的个位数是1或6。

100÷7=14……2，因为14＞13，用23试验。

23×7=161, 161－1=160是5的倍数，160－1=159是3的倍数。

故159、160、161是符合条件的一组数。

在100至200之间还有没有其它符合条件的三个连续自然数呢？
3、5、7的最小公倍数是105，而100＜159+105k＜200与100＜161+105k＜200的k只能取0，故159、160、161是唯一符合条件的一组数。

例2 见题2
0或5。

解：能被
随便取一个数试验。

88×19=1672，因最小的数要被3整除，但3不整除1670，调整，给1672增加190的若干倍(因1672+190m，仍然能被19整除)，1672+190=1862，3整除1860，但17不整除1861。

再调整，给1862增加190×3=570的若干倍(因1862+570k能被19整除，而1860+570k能被15整除)。

1862+570=2432，此时恰好17整除2431。

故2430、2431、2432是符合条件的一组数。

由15、17、19的最小公倍数是4845知：2430+4845k、2431+4845k、2432+4845k
(k=0,1,2，……) 是符合条件的任意一组数。

例3 有大于400的三个连续自然数，其中最小的能被6整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出一组这样的三个连续自然数。

解：由被5整除数的特征知，最小数、中间数、最大数的个位数依次是4、5、6(为什
么不会是9、0、1呢？)。

从7入手。

只有□8×7的个位数是6。

400÷7=57 (1)
58×7=406，因最小数被6整除，它必被3整除，但3不整除404，调整。

给404加上70的若干倍。

404+70=474，3整除474, 2整除474，故6整除474。

474、475、476是符合条件的一组数。

以上三例体现了解决这类问题的一般方法：
首先，根据题意确定三个连续自然数的个位数字。

其次，从个位数字入手试验，先满足一个整除条件(除数最大)，经试验分析调整，直到满足其它整除条件为止。

涉及三个连续自然数的整除问题都可以转化为孙子问题。

题1可转化为：一个自然数(题1中的最大数)大于100，小于200，它被7除余0，被5除余1，被3除余2。

求此数。

题2可转化为：一个自然数(题2中的最大数)，它被19除余0，被17除余1，被15除余2。