空间直线异面关系的判定与度量

空间直线异面关系的判定与度量
考点动向
空间直线的位置关系，除了初中就熟悉的相交与平行外，立体几何中新增加了异面关系，这部分是立体几何的传统重点知识，从客观小题到解答大题都会涉及到，有对异面关系的判定问题，也有对异面程度的度量问题，涉及异面成角与异面直线间的距离，这些问题可以充分考查考生的空间想象能力，解题方法主要是平移直线与借助直线的方向向量等，可以预测考查空间异面直线的问题仍将保持热度．
方法范例
例 如图１－１，已知两个正四棱锥P ABCD -与Q ABCD -的高分别为１
和２，4AB =．
（Ⅰ）证明PQ ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求异面直线AQ 与PB 所成的角；
（Ⅲ）求点P 到平面QAD 的距离． 解析 本题设置的三问，有证有算，
由于已知为两个同底的正棱锥组合而成的，故可以利用几何体的性质，构造空间直角坐标系，借助向量解答，对于求异面直线所成的角，也可利用定义实施平移解答．
解法１ （I ）连结AC BD ，，设AC
BD O =．因为P ABCD -与Q ABCD -都是
正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD ．从而P O Q ，，三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABCD ．
（II ）由题设知，ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥．由（I ），PQ ⊥平面
ABCD ，故可分别以直线CA DB QP
，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图１－２）由题设条件，相关各点的
C
A
B
P
D
Ｑ
图１－１
C
图１－２
几何精练
坐标分别是(001)P ，，
，0)(002)(0A Q B -，，，，，． 所以(2202)(021)AQ PB =--=-，，，，．于是3
cos 9
AQ PB AQ
PB AQ PB
<>=
=
，． 从而异面直线AQ 与PB 所成的角是
． （III ）由（II ），点D 的坐标是(0-，，(22220)(003)AD PQ =--=-，，，，，，
设()n x y z =，，是平面QAD 的一个法向量，由00n
AQ n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩得00z x y +
=+=⎪⎩．
取1x =，得(1
1n =--，，．所以点P 到平面QAD 的距离32
2
PQ n d n
==
． 解法２ （I ）取AD 的中点M ，连结PM QM ，．因为P ABCD -与Q ABCD -都是
正
四
棱
锥
，
所
以
A D P M ⊥⊥，．从而AD ⊥平面
PQM ．又PQ ⊂平面P Q M ，所以P Q A D ⊥．同理PQ AD ⊥，所以PQ ⊥平
面ABCD ．
（II ）连结AC BD ，，设A
C B
D O =，
由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知
O 在PQ 上，从而P A Q C ，，，四点共面．
取OC 的中点N ，连结PN ．因为
1122PO NO NO OQ OA OC ===，，所以PO NO
OQ OA
=，从而AQ
PN BPN ，∥∠（或其补角）是异面直线AQ 与PB 所成的角．连结
BN ． 因为
3PB =
==
，
PN ===，
BN
=== 所以222cos 29PB PN BN BPN PB PN +-===
∠．
图１－３
从而异面直线AQ 与PB 所成的角是． （III ）由（I ）知，AD ⊥平面PQM ，所以平面QAD ⊥平面PQM ．过P 作PH QM ⊥于H ，则PH ⊥平面QAD ，所以PH 的长为点P 到平面QAD 的距离．连结OM ，因为
1
22
OM AB OQ ===，所以45MQP =︒∠．又3P Q
P O Q O
=+=，于是
s i n 45P H P Q =
︒=2．即点P 到平面QAD 的距离是2
．
[规律小结]
（１）涉及异面直线的求夹角与距离的问题，求距离在高考最新大纲要求下，只要能解决异面直线的公垂线已知的问题，只需要记住异面直线的公垂线是和它们均垂直且相交的直线即可．因此，求异面直线的夹角是很重要的问题，主要借助异面直线夹角的定义进行，注意定义中平移的不确定性使问题的解法多样化，常见的有外移，内移，补形等方法．注意平移的好坏取决于是否有利于第二步构造三角形求角．
（２）借助直线的方向向量求异面直线的夹角，注意选取点的坐标要容易确定，向量的夹角可以是钝角，而异面直线的夹角只能是锐角或直角．有时，也可以借助基向量的方法解答，而不是建立空间直角坐标系解答．
考点误区分析
（１）注意第一步的平移十分重要，不可随意而作，否则往往会带来繁杂的运算，要注意实施多次尝试平移，寻找最佳解题方案，此类问题显然需要构造辅助线解答，充分考查考生的空间想象能力，一般若平移能够很好解决，可以不考虑运用向量的方法．当借助直线的方向向量解决时，若不是特殊角，注意借助反三角函数表示角的基本知识．
（２）向量之间的夹角公式cos ||||
a b
a b θ=
求出的可能是钝角，不妨直接利用
cos |
|||||
a b
a b θ=．而若成角为直角，有时也用证明代替求解的特殊方法．如对正四面体
ABCD ，求直线AB 与CD 所成的角，容易证明它们互相垂直，则成角为90︒．
同步训练
１．已知二面角l a b --的大小为60°，,m n 为异面直线，且m a ^、n b ^，则,m n
所成的角为（ ）.
()A 30° ()B 60° ()C 90° ()D 120°
２．在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形．60DAB =∠，对角线AC 与BD 相交于点
O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成
角为60．
（1）求四棱锥P ABCD -的体积；
（2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
３．如图5所示，AF DE ，分别是1O O ，的直径，AD 与两圆所在的平面均
垂直，8AD =．BC 是
O 的直径，
6A B A C ==，OE AD ∥．
（１）求二面角B AD F --的大小； （２）求直线BD 与EF 所成的角． ４．如图，四面体ABCD 中，O ，E 分别
是
BD ，
BC
的中点，2C A C B C D B
====，AB AD == （1）求证：AO ⊥平面BCD ；
（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （3）求点E 到平面ACD 的距离． ［参考答案］
１．［解析］直接作草图或想象，不难得出夹角为60°，注意120°的干扰． ［答案］()B ．
２．［解析］对（１），底面菱形的形状确定，实际是两个正三角形拼接成的，求出其面积，再根据已知的线面角求出高，则借助锥体的体积公式1
3
V Sh =
可得；对（２），以O 为坐标原点，射线OB OC OP ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．求
A 图１－４
C
F
B
O
A
D
1
O E
图１－５
E
图１－６
出DE 与AP 的夹角即为所求．或者，取AB 的中点F ，连接EF DF ，， FED ∠是异面直线DE 与PA 所成角（或它的补角），在FED △中解出该角即可．
［答案］（１）２；（２）． ３．［解析］对（１），可知BAF ∠即为所求平面角；对（２），可以O 为原点，,,BC AF OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，确定,BD FE 的坐标即可求出．
［答案］（１）45︒；（２）10
82
arccos
． ４．［解析］对（１），可证,AO BD AO OC ⊥⊥；对（２），取AC 的中点M ，直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．对（３），由E ACD A CDE V V --=可得．（２），（３）也可借助向量解答，对（２），以O 为原点，,,BD OC OA 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，确定,BA CD 的坐标即可求出．对（３），可得平面ACD
的法向量
为(=n ，又1022
EC ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，，点E 到平面A C D 的距
离
37EC h =
=
=n n
．
［答案］（２）arccos 4；（３）7
．。