甘肃省武威市2021届新高考五诊数学试题含解析
2021年高考数学五诊试卷 文(含解析)
2021年高考数学五诊试卷文（含解析）一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．）1．复数i（1﹣2i）=（）A．﹣2+i B． 2+i C． 2﹣i D．﹣2﹣i 2．已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2）B．（1，+∞）C． [2，+∞）D． [1，+∞）3．已知||=1，||=，且⊥，则|+|为（）A．B．C． 2 D． 24．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为3，则输出的y的值为（）A． 1 B． 3 C． 9 D． 275．已知α∈（π，π），cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（）A． 7 B．C．﹣D．﹣76．若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A． 0 B． 1 C．D． 97．函数y=cos（sinx）的图象大致是（）A．B．C．D．8．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A． 80 B． 40 C．D．9．已知O在△ABC的内部，满足：，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（）A． 3：2 B． 2：3 C． 5：4 D． 4：510．已知数列 {a n}{b n}满足 a1=b1=1，a n+1﹣a n==2，n∈N*，则数列 {b}的前10项和为（）A．（410﹣1）B．（410﹣1）C．（49﹣1）D．（49﹣1）11．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=（x﹣1）与C交于A，B（A在x轴上方）两点，若=m，则m的值为（）A．B．C． 2 D． 312．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A． a＞b＞c B． c＞＞b＞a C． c＞a＞b D． a＞c＞b二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．函数y=的单调递增区间是．14．将高一9班参加社会实践编号分别为：1，2，3，…48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是．15．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N）个点，每个图形总的点数记为a n，则a6= ；+++…+=．16．如图，已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x，y的正半轴上（含原点）滑动，则•的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a=2，A=．（Ⅰ）若b=2，求角C的大小；（Ⅱ）若c=2，求边b的长．18．某校甲、乙两个班级各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生1号2号3号4号5号甲班6 5 7 9 8乙班4 8 9 7 7（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定（用数据说明）？（2）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且=k，点F为PD中点．（Ⅰ）若k=，求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）是否存在一个常数k，使得平面PED⊥平面PAB，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．20．（Ⅰ）证明：过圆x2+y2=r2上一点Q（x0，x1）的切线方程为x0x+y0y=r2；（Ⅱ）已知椭圆C方程为=1，从椭圆C上一点P向圆x2+y2=1上引两条切线，切点为A，B．当直线AB分别与y轴、x轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．21．已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．四、选做题（本题满分10分，请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲）22．如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点．（Ⅰ）求证：AD∥OC；（Ⅱ）若圆O的半径为2，求AD•OC的值．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（﹣1，5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，半径为4．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．xx年甘肃省西北师大附中高考数学五诊试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．）1．复数i（1﹣2i）=（）A．﹣2+i B． 2+i C． 2﹣i D．﹣2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i的幂运算性质，求得结果．解答：解：∵复数i（1﹣2i）=i﹣2i2=2+i，故选B．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2）B．（1，+∞）C． [2，+∞）D． [1，+∞）考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：通过指数函数的值域求出M，对数函数的定义域求出集合N，然后再求M∩N．解答：解：M={y|y＞1}，N中2x﹣x2＞0∴N={x|0＜x＜2}，∴M∩N={x|1＜x＜2}，故选A点评：本题考查指对函数的定义域和值域，不要弄混．3．已知||=1，||=，且⊥，则|+|为（）A．B．C． 2 D． 2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件便得到，所以可求出，所以得出．解答：解：∵；∴；∴||=．故选B．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，数量积的运算，求的方法：||=．4．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为3，则输出的y的值为（）A． 1 B． 3 C． 9 D． 27考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据条件结构转化为分段函数形式进行求解即可．解答：解：本程序是分段函数y=，若x=3，则y=log33=1，故输出1，故选：A点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件结构进行求解即可．5．已知α∈（π，π），cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（）A． 7 B．C．﹣D．﹣7考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由α的范围及cosα的值，确定出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵α∈（π，π），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==，则tan（﹣α）===．故选B点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．6．若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A． 0 B． 1 C．D． 9考点：简单线性规划的应用．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．解答：解：约束条件对应的平面区域如图示：由图可知当x=0，y=0时，目标函数Z有最小值，Z min=3x+2y=30=1故选B点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．7．函数y=cos（sinx）的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先判断函数的奇偶性，再根据三角的函数的图象和性质即可得到答案．解答：解：∵f（﹣x）=cos（sin（﹣x））=cos（sinx）=f（x），∴函数f（x）为偶函数，∵﹣1≤sinx≤1，∴﹣+2kπ≤x≤+2kπ，∴y=cos（sinx）在x=2kπ时有最大值，且y＞0，故选：B．点评：本题考查了函数图象的识别，关键是掌握三角函数的性质，属于基础题．8．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A． 80 B． 40 C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥：PO⊥平面ABC，PO=4，AO=2，CO=3，BC⊥AC，BC=4．据此可计算出该几何体的体积．解答：解：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥：PO⊥平面ABC，PO=4，AO=2，CO=3，BC⊥AC，BC=4．从图中可知，三棱锥的底是两直角边分别为4和5的直角三角形，高为4，体积为V=．故选D．点评：本题主要考查了由三视图求面积、体积，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．9．已知O在△ABC的内部，满足：，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（）A． 3：2 B． 2：3 C． 5：4 D． 4：5考点：向量的线性运算性质及几何意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示．以OA，OC为邻边作平行四边形OAMC，对角线AC与OM相交于点D．可得．由于，可得．可得．再利用=即可得出．解答：解：如图所示．以OA，OC为邻边作平行四边形OAMC，对角线AC与OM相交于点D．则．又∵，∴．∴，即．∴=．故选：A．点评：本题考查了向量的平行四边形法则、向量的运算法则、三角形的面积计算公式，属于中档题．10．已知数列 {a n}{b n}满足 a1=b1=1，a n+1﹣a n==2，n∈N*，则数列 {b}的前10项和为（）A．（410﹣1）B．（410﹣1）C．（49﹣1）D．（49﹣1）考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{a n}与{b n}的通项公式，进而表达出{ban}的通项公式并且可以证明此数列为等比数列，再利用等比数列前n项和的公式计算出答案即可．解答：解：由a n+1﹣a n==2，所以数列{a n}是等差数列，且公差是2，{b n}是等比数列，且公比是2．又因为a1=1，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．所以b=b2n﹣1=b1•22n﹣2=22n﹣2．设c n=b，所以c n=22n﹣2，所以=4，所以数列{c n}是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n项和的公式得：其前10项的和为=（410﹣1）．故选A．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的定义，以及它们的通项公式与前n项和的表示式．11．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=（x﹣1）与C交于A，B（A在x轴上方）两点，若=m，则m的值为（）A．B．C． 2 D． 3考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意画出图形，联立方程组求出A，B的坐标，进一步得到|AF|，|BF|的长度，结合=m把m转化为线段的长度比得答案．解答：解：如图，联立，解得，∵A在x轴上方，∴，则|AF|=x A+1=4，|BF|=，由=m，得．故选：D．点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．12．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A． a＞b＞c B． c＞＞b＞a C． c＞a＞b D． a＞c＞b考点：导数的运算；函数单调性的性质；不等关系与不等式．专题：函数的性质及应用．分析：构造辅助函数F（x）=xf（x），由导函数判断出其在（﹣∞，0）上的单调性，而函数F（x）为实数集上的偶函数，则有在（0，+∞）上的单调性，再分析出，30.3，logπ3的大小，即可得到答案．解答：解：令F（x）=xf（x），则F′（x）=f（x）+xf′（x）．因为f（x）+xf′（x）＜0，所以函数F（x）在x∈（﹣∞，0）上为减函数．因为函数y=x与y=f（x）都是定义在R上的奇函数，所以函数F（x）为定义在实数上的偶函数．所以函数F（x）在x∈（0，+∞）上为增函数．又30.3＞30=1，0=logπ1＜logπ3＜logππ=1，．则F（||）＞F（30.3）＞F（logπ3）．所以（log3）•f（log3）＞（30.3）•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3），即c＞a＞b．故选C．点评：本题考查了导数的运算，考查了函数的单调性与奇偶性，考查了不等式的大小比较，解答此题的关键是构造出函数F（x），同时运用了偶函数中有f（x）=f（|x|），此题是中档题．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．函数y=的单调递增区间是[0，] ．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：化简可得y=sin（x+），解不等式2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得函数所有的单调递增区间，结合x∈[0，]可得．解答：解：化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣，]，由x∈[0，]可得x∈[0，]，故答案为：[0，]．点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数的单调性，属基础题．14．将高一9班参加社会实践编号分别为：1，2，3，…48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是17 ．考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义，求出样本间隔即可．解答：解：样本间距为48÷4=12，则另外一个编号为5+12=17，故答案为：17．点评：本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．15．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N）个点，每个图形总的点数记为a n，则a6= 15 ；+++…+=．考点：归纳推理．专题：操作型；推理和证明．分析：根据图象的规律可得出通项公式a n，根据数列的特点可用列项法求其前n项和的公式，而+++…+是前2011项的和，代入前n项和公式即可得到答案．解答：解：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n﹣3，即a n=3n﹣3，∴a6=15；令S n=+++…+=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=故答案为：15，．点评：本题主要考查简单的和清推理，求等差数列的通项公式和用裂项法对数列进行求和问题，同时考查了计算能力，属中档题．16．如图，已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x，y的正半轴上（含原点）滑动，则•的最大值是 2 ．考点：二倍角的正弦；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．解答：解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BAX=﹣θ，AB=1，故x B=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，y B=sin（﹣θ）=cosθ故=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴•=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，∴•的最大值是2．故答案为 2．点评：本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a=2，A=．（Ⅰ）若b=2，求角C的大小；（Ⅱ）若c=2，求边b的长．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）根据正弦定理和已知条件求得sinB的值，进而求得B，最后利用三角形内角和求得C．（Ⅱ）用余弦定理列出关于b的表达式，整理求得b．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理=，∴sinB=sinA=×=，∴B=或，∵b＜a，∴，∴．（Ⅱ）依题意，，即．∴b2﹣2b﹣8=0，又b＞0，∴b=4．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用．灵活运用正弦和余弦定理解三角形问题．18．某校甲、乙两个班级各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生1号2号3号4号5号甲班6 5 7 9 8乙班4 8 9 7 7（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定（用数据说明）？（2）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的概率．考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）根据两组数据求出两组数据的方差，比较可得哪组学生成绩更稳定；（2）分别计算在甲、乙两班中各抽出一名同学及甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的取法种数，代入古典概型概率公式，可得答案．解答：解：（1）两个班数据的平均值都为7，..…（2分）甲班的方差=[（6﹣7）2+（5﹣7）2+（7﹣7）2+（9﹣7）2+（8﹣7）2]=2，..…（3分）乙班的方差=[（4﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣7）2]=，..…（4分）因为＜，甲班的方差较小，所以甲班的投篮水平比较稳定…（6分）（Ⅱ）甲班1到5号记作a，b，c，d，e，乙班1到5号记作1，2，3，4，5，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为Ω={a1，a2，a3，a4，a5，b1，b2，b3，b4，b5，c1，c2，c3，c4，c5，d1，d2，d3，d4，d5，e1，e2，e3，e4，e5}，共25个基本事件组成，这25个是等可能的；..…（8分）将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作A，则A={a1，b1，c1，d1，d2，d4，e1，e4，e5}，A由10个基本事件组成，..…（10分）所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为=…（12分）点评：本题考查了方差的计算，古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且=k，点F为PD中点．（Ⅰ）若k=，求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）是否存在一个常数k，使得平面PED⊥平面PAB，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）若k=，根据线面平行的判定定理即可证明直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）根据面面垂直的条件，进行求解即可．解答：解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．∵点F为PD中点，∴FM=CD．∵k=，∴AE=AB=FM，又∵FM∥CD∥AB，∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC．…（6分）（Ⅱ）存在常数k=，使得平面PED⊥平面PAB．…（8分）∵，AB=1，k=，∴AE=，又∵∠DAB=45°，∴AB⊥DE．又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB．又∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，∵AB⊂平面PAB，∴平面PED⊥平面PAB．…（12分）点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判定依据面面垂直的应用，要求熟练掌握相应的判定定理．20．（Ⅰ）证明：过圆x2+y2=r2上一点Q（x0，x1）的切线方程为x0x+y0y=r2；（Ⅱ）已知椭圆C方程为=1，从椭圆C上一点P向圆x2+y2=1上引两条切线，切点为A，B．当直线AB分别与y轴、x轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆的切线方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）利用待定系数法，结合直线和圆相切的条件即可证明：过圆x2+y2=r2上一点Q（x0，x1）的切线方程为x0x+y0y=r2；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，求出过A，B的切线方程进行求解即可．解答：解：（Ⅰ）当切线的斜率k存在时，设切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0）．又因为，故切线方程为，∴．…（3分）当k不存在时，切点坐标为（±r，0），切线方程为x=±r，符合．综上，切线方程为．…（6分）（Ⅱ）设点P坐标为（x p，y p），PA，PB是圆x2+y2=1的切线，切点A（x1，y1），B（x2，y2），过点A的圆的切线为x1x+y1y=1，过点B的圆的切线为x2x+y2y=1．∵两切线都过P点，∴x1x p+y1y p=1，x2x p+y2y p=1．…（8分）∴切点弦AB的方程为x p x+y p y=1，由题知x P y P≠0，∴，，∴=，当且仅当，时取等号，∴|MN|≥，即|MN|的最小值为．…（12分）点评：本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系是应用，涉及直线和圆相切的问题，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出切点坐标，斜率k，k=f′（1），用点斜式即可求出方程；（Ⅱ）解含参的不等式：f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（Ⅲ）分离出参数a后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域．解答：解：（Ⅰ）∵a=1，∴f（x）=x3+x2﹣x+2，∴f′（x）=3x2+2x﹣1，∴k=f′（1）=4，又f（1）=3，所有切点坐标为（1，3）．∴所求切线方程为y﹣3=4（x﹣1），即4x﹣y﹣1=0．（Ⅱ）f′（x）=3x2+2ax﹣a2=（x+a）（3x﹣a）由f′（x）=0，得x=﹣a或x=．（1）当a＞0时，由f′（x）＜0，得﹣a＜x＜；由f′（x）＞0，得x＜﹣a或x＞，此时f（x）的单调递减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和（，+∞）．（2）当a＜0时，由f′（x）＜0，得；由f′（x）＞0，得x＜或x＞﹣a．此时f（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞）．综上：当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和（，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞）．（Ⅲ）依题意x∈（0，+∞），不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，等价于2xlnx≤3x2+2ax+1在（0，+∞）上恒成立，可得a≥lnx﹣x﹣在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=lnx﹣﹣，则h′（x）=﹣+=﹣．令h′（x）=0，得x=1，x=﹣（舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，当x变化时，h′（x），h（x）变化情况如下表：x （0，1） 1 （1，+∞）h′（x）+ 0 ﹣h（x）单调递增﹣2 单调递减∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2，∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．点评：本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，不等式恒成立常转化为函数最值问题解决．四、选做题（本题满分10分，请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲）22．如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点．（Ⅰ）求证：AD∥OC；（Ⅱ）若圆O的半径为2，求AD•OC的值．考点：与圆有关的比例线段；平行线分线段成比例定理．专题：选作题；推理和证明．分析：（Ⅰ）要证明AD∥OC，我们要根据直线平行的判定定理，观察已知条件及图形，我们可以连接OD，构造出内错角，只要证明∠1=∠3即可得证．（Ⅱ）因为⊙O的半径为1，而其它线段长均为给出，故要想求AD•OC的值，我们要将其转化用半径相等或相关的线段积的形式，结合（Ⅰ）的结论，我们易证明Rt△BAD∽Rt△ODC，根据相似三角形性质，不们不难得到转化的思路．解答：（Ⅰ）证明：如图，连接BD、OD．∵CB、CD是⊙O的两条切线，∴BD⊥OC，∴∠2+∠3=90°又AB为⊙O直径，∴AD⊥DB，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴AD∥OC；（Ⅱ）解：AO=OD，则∠1=∠A=∠3，∴Rt△BAD∽Rt△ODC，∵圆O的半径为2，∴AD•OC=AB•OD=8．点评：根据求证的结论，使用分析推敲证明过程中所需要的条件，进而分析添加辅助线的方法，是平面几何证明必须掌握的技能，大家一定要熟练掌握，而在（2）中根据已知条件分析转化的方向也是解题的主要思想．解决就是寻找解题的思路，由已知出发，找寻转化方向和从结论出发寻找转化方向要结合在一起使用．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（﹣1，5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，半径为4．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）设直线l上动点坐标为Q（x，y），利用倾斜角与斜率的公式建立关系式得到x、y关于t的方程组，即可得到直线l的参数方程；由圆的性质和极坐标的定义，利用题中数据可得圆C的极坐标方程；（2）将直线l与圆C都化成直角坐标方程，利用点到直线的距离公式加以计算，得到圆心到直线的距离比圆C半径大，从而得到直线l和圆C的位置关系．解答：解：（1）∵直线l过点P（﹣1，5），倾斜角为，∴设l上动点坐标为Q（x，y），则=tan=，因此，设y﹣5=tsin=，x+1=tcos=t，得直线l的参数方程为（t为参数）．∵圆C以M（4，）为圆心，4为半径，∴圆心坐标为（0，4），圆的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2=16∵，∴圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ．（2）将直线l化成普通方程，得，∵点C到直线l的距离d=＞4=r，∴直线l和圆C相离．点评：本题考查直线的参数方程，圆的极坐标方程，和普通方程的互化，直线与圆的位置关系，是中档题．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用．分析：（1）先求得|x+1|+|x﹣2|＞7，然后分类讨论去绝对值号，求解即可得到答案．（2）由关于x的不等式f（x）≥2，得到|x+1|+|x﹣2|≥m+4．因为已知解集是R，根据绝对值不等式可得到|x+1|+|x﹣2|≥3，令m+4≤3，求解即可得到答案．解答：解：（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）；（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，∴不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，等价于m+4≤3，∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．点评：本题主要考查绝对值不等式的应用问题，题中涉及到分类讨论的思想，考查学生的灵活应用能力，属于中档题目．38576 96B0 隰O21694 54BE 咾23564 5C0C 尌 36428 8E4C 蹌E?w34642 8752 蝒^q24904 6148 慈。
甘肃省武威市2021届新高考数学考前模拟卷(2)含解析
甘肃省武威市2021届新高考数学考前模拟卷（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知变量x ，y 间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为 2.10.5ˆ8yx =+，则表中数据m 的值为（ ）A ．0.9B ．0.85C ．0.75D ．0.5【答案】A 【解析】 【分析】计算,x y ，代入回归方程可得． 【详解】 由题意01231.54x +++==，3 5.5715.544m m y ++++==，∴15.52.1 1.50.854m +=⨯+，解得0.9m =． 故选：A. 【点睛】本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点(,)x y ．2．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（ ）A ．1B ．C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】设直线l 的方程为x ＝12y 2p+，与抛物线联立利用韦达定理可得p ． 【详解】 由已知得F （2p，0），设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，并与y 2＝2px 联立得y 2﹣py ﹣p 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点C （x 0，y 0），又线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则y 012=（y 1+y 2）＝12p =，所以p=2,故选C ． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( )A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件判断出数列{}1n S +是等比数列，求得其通项公式，由此求得n S . 【详解】由于()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，所以数列{}1n S +是等比数列，其首项为11112S a +=+=，第二项为212114S a a +=++=，所以公比为422=.所以12n n S +=，所以21n n S =-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题. 4．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS ，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ）A ．128B ．65C ．64D ．63【答案】D 【解析】 【分析】根据212log 1log n n a a +=+，得到212log l g 2o n n a a +=，即12n n a a +=，由等比数列的定义知数列{}n a 是等比数列，然后再利用前n 项和公式求6S . 【详解】因为212log 1log n n a a +=+， 所以212log l g 2o n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列， 又因为34a =， 所以312414a a q ===， ()()6616111263112a q S q-⨯-===--.故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5．已知向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v ，，则向量OA u u u r 在向量OB uuu r上的投影是（ ）A ．25-B ．25C ．25-D ．25【答案】A 【解析】 【分析】先利用向量坐标运算求解OB uuu v ，再利用向量OA u u u v 在向量OB uuu v上的投影公式即得解 【详解】由于向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v， 故()21OB =u u u v，向量OA u u u v 在向量OB uuu v上的投影是255OA OB OB⋅==-u u u v u u u vu u u v . 故选：A 【点睛】本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.6．第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P ，某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10，宽为6的长方形奥运会旗内随机取N 个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为n 个，已知圆环半径为1，则比值P 的近似值为( )A ．8Nnπ B ．12nNπ C ．8nNπ D ．12Nnπ【答案】B 【解析】 【分析】根据比例关系求得会旗中五环所占面积，再计算比值P . 【详解】设会旗中五环所占面积为S ，由于S 60n N =，所以60n S N=， 故可得5S P π==12n Nπ. 故选：B. 【点睛】本题考查面积型几何概型的问题求解，属基础题.7．已知函数()222ln 02x x e f x e x x e ⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ）A ．1eB ．eC ．2eD ．21e 【答案】A 【解析】 【分析】画出分段函数图像，可得121x x =，由于()()122222ln f x f x x x x x ==，构造函数()ln xg x x=，利用导数研究单调性，分析最值，即得解. 【详解】由于22123012x x e x e <<<<<<+，1212ln ln 1x x x x -=⇒=,由于()()122222ln f x f x x x x x ==， 令()ln xg x x =，()21x e ∈，， ()()21ln x g x g x x =⇒'-在()1e ，↗，()2e e ，↘ 故()1()max g x g e e==.故选：A 【点睛】本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.8．关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：①函数()f x 的一个周期为2π； ②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③函数()f x的值域为. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②C ．②③D ．③【答案】C 【解析】 【分析】①用周期函数的定义验证.②当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1()212π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，再利用单调性判断.③根据平移变换，函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，而()()g x g x π+=，当[0,]x π∈时，1()23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x 再求值域. 【详解】 因为1717114sin 4cos 4cos 4sin ()2212212212212f x x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+++≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以111()4sin 4cos 2323212f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111,212324πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x 所以()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故②正确； 函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，易知()()g x g x π+=，故当[0,]x π∈时，1()23g x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，故③正确.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题. 9．已知集合{1,3,5}A =，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{1,2,3,5} B ．{1,2,3,4} C ．{2,3,4,5} D ．{1,2,3,4,5}【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的基本运算即可求解. 【详解】解：{1,3,5}A =Q ，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =， 则(){1,3}{2,3,4,5}{1,2,3,4,5}A B C ⋂⋃=⋃= 故选：D. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．10．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11exaxx m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3e e,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．3e ,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ C ．3e 0,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦D ．3e ,2e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】构造函数()()ln 11f m m m =-+-（0m >），求导可得()f m 在()0,+?上单调递增,则()()01f m f >=-,问题转化为()1e 1e x ax x --<-,即()1e 1ex axx -≤-至少有2个正整数解,构造函数()()1e x g x x =-,()1eaxh x =-,通过导数研究单调性,由()0(0)g h =可知，要使得()()g x h x ≤至少有2个正整数解,只需()()22g h ≤即可,代入可求得结果. 【详解】构造函数()()ln 11f m m m =-+-（0m >），则()1111mf m m m '=-=++（0m >），所以()f m 在()0,+?上单调递增，所以()()01f m f >=-，故问题转化为至少存在两个正整数x ，使得()1e 1e x ax x -≤-成立，设()()1e x g x x =-，()1eaxh x =-，则()e x g x x '=，当0x >时()0g x ¢>，()g x 单调递增；当0x >时，()h x 单调递增.()()22g h ≤，整理得3e e2a +≥.故选:B. 【点睛】本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.11．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线6310x y -+=垂直，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2BCD ．【答案】B 【解析】 【分析】由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合222c a b =+，构造齐次关系即得解 【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线6310x y -+=垂直．∴双曲线的渐近线方程为12y x =±． 12b a ∴=，得2222214,4b ac a a =-=．则离心率2c e a ==．【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题. 12．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C ′O′＝1，A′O′＝3，那么原△ABC 的面积是( )A 3B ．2C ．32 D ．34【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知求出原△ABC 的高为AO 3△ABC 的面积. 【详解】由题图可知原△ABC 的高为AO 3 ∴S △ABC ＝12×BC×OA ＝12×2×33 A 【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年甘肃省武威六中高考数学五诊试卷(文科) (解析版)
2021年甘肃省武威六中高考数学五诊试卷（文科）一、选择题（每小题5分）.1．设集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣3＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|﹣6＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2} 2．复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．D．23．2021年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（）A．甲的物理成绩领先年级平均分最多B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分C．甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果4．若x，y满足约束条件，则z＝y﹣x的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，2]C．[0，1]D．[0，2]5．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为C1D1中点，则BM与AC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9＝18，a7＝1，则a1＝（）A．4B．2C．D．﹣17．函数f（x）＝2x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．B．C．D．8．关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；其中真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③9．函数的图象可能为（）A．B．C．D．10．若函数在区间（0，1）上有最大值，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．11．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线与y轴和双曲线右支分别交于A，B两点，若A点平分F1B，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．12．已知函数f（x）＝的图象过点（1，），若关于x的方程f（x）+a＝0（a∈R）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（﹣e，0）B．（0，e）C．（﹣，0）D．（﹣，e）二、填空题（共4小题）.13．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，A＝，b2sin C＝4sin B，则△ABC的面积为．14．向量与的夹角为60°，||＝4，（+2）（﹣3）＝﹣72，则||＝．15．宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有秦九韶的《数书九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．现有数学著作《数书九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共七本，从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是．16．已知函数f（x）＝|sin x|﹣|cos x|，则下列说法正确有.（将所有正确的序号填在横线上）①f（x）的图象关于点（，0）中心对称；②f（x）在区间[，π]上单调递减；③f（x）在（0，2π）上有且仅有1个最小值点；④f（x）的值域为[﹣1，2]．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}为正项等比数列，S n为{a n}的前n项和，若S3＝21，a2+a3＝6a1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）从三个条件：①b n＝；②b n＝a n+2n；③b n＝log2中任选一个作为已知条件，求数列{b n}的前n项和T n．18．根据国家深化医药卫生体制改革的总体部署和要求，某地区自2015年起，开始逐步推行“基层首诊，逐级转诊”的医疗制度，从而全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示．（1）已知该地区91～101高龄段的男女比例为2：3，在该地区1000名居民组成的样本中，从91～101高龄段随机抽取2人，求抽到的两人恰好都是女性的概率；（2）为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示，根据图1和图2的信息，估计该地区签约率超过35%低于60%的人群的总人数．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝∠DAB＝90°，BC＝2AB＝2AD＝2，平面PCD⊥平面ABCD．（1）证明：BD⊥平面PCD；（2）若PD＝PC＝，求三棱锥B﹣ACP的体积．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）经过点A（1，），其长半轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点B（﹣1，0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于x轴的对称点为F，直线DF与x轴相交于点G，记△BEG与△BDG的面积分别为S1，S2，求|S1﹣S2|的最大值．21．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）lnx+ax2+2．（1）若f（x）在x＝1处的切线是3x+y＝4，求实数a的值；（2）当a＞0时，函数g（x）＝f（x）﹣x﹣2有且仅有一个零点，若此时x∈[e﹣1，e]，g （x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．请在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝，曲线C的极坐标方程为ρ﹣6cosθ＝0．（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点A（1，0），若直线l与曲线C交于P，Q两点，P，Q中点为M，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝4﹣|2x+a|﹣|2x﹣1|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥x的解集；（2）若f（x）≤2，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣3＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|﹣6＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2}解：∵A＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|x＜2}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}．故选：D．2．复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．D．2解：z＝＝1+i，故|z|＝，故选：B．3．2021年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（）A．甲的物理成绩领先年级平均分最多B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分C．甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果解：甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、生物（物理），C选项错，故选：C．4．若x，y满足约束条件，则z＝y﹣x的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，2]C．[0，1]D．[0，2]解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组解得A（1，1），由图可知B（0，2），作出直线x﹣y＝0，由图可知，平移直线至A时，z＝y﹣x有最小值0；平移直线至B时，z＝y﹣x有最大值为2．∴z＝y﹣x的取值范围是[0，2]．故选：D．5．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为C1D1中点，则BM与AC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．解：取A1D1的中点N，连接BN，MN，则MN∥A1C1∥AC，∴（或其补角）即为异面直线BM与AC所成的角，不妨设AB＝2，则，，∴BN＝3，同理可得，BM＝3，在△BMN中，由余弦定理得，cos∠BMN＝＝＝，∴异面直线BM与AC所成的角的余弦值为．故选：D．6．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9＝18，a7＝1，则a1＝（）A．4B．2C．D．﹣1解：根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，若S9＝18，则有S9＝＝9a5＝18，解可得a5＝2，则有d＝＝﹣，则a1＝a7﹣6d＝1+3＝4，故选：A．7．函数f（x）＝2x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．B．C．D．解：定义域（0，+∞），＝，当x时，f′（x）＜0，函数单调递减，故选：B．8．关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；其中真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③解：若m∥α，n∥β且α∥β，则m，n可能平行也可能异面，也可以相交，故①错误；若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m，n一定垂直，故②正确；若m⊥α，n∥β且α∥β，则m，n一定垂直，故③正确；若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m，n可能相交、平行也可能异面，故④错误故选：D．9．函数的图象可能为（）A．B．C．D．解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝（﹣x+）cos（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，C，当0＜x＜1时，cos（x）＞0，x﹣＜0，则此时f（x）＜0，排除D，故选：A．10．若函数在区间（0，1）上有最大值，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．解：∵在区间（0，1）上有最大值，且f（0）＝﹣，∴ω﹣＞，∴ω＞，故选：A．11．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线与y轴和双曲线右支分别交于A，B两点，若A点平分F1B，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．解：F1（﹣c，0），F2（c，0），∵A在y轴上，且A是F1B的中点，∴B（c，），∵∠F2F1B＝30°，∴BF2＝F1F2＝，∴＝，即＝，整理得：c2﹣a2﹣2ac＝0，∴e2﹣2e﹣＝0，解得e＝或e＝﹣（舍）．故选：A．12．已知函数f（x）＝的图象过点（1，），若关于x的方程f（x）+a＝0（a∈R）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（﹣e，0）B．（0，e）C．（﹣，0）D．（﹣，e）解：∵f（1）＝＝，∴m＝﹣1，故f（x）＝．f′（x）＝＝﹣，∵当x∈（﹣1，2）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣∞，﹣1）或（2，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，2）上单调递增，在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递减，∴f（x）的极大值为f（2）＝，极小值为f（﹣1）＝﹣e．且当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→0，∵关于x的方程f（x）+a＝0（a∈R）有3个不同的实数根，∴f（x）＝的图象与y＝﹣a有3个不同交点，则0＜﹣a＜，得﹣＜a ＜0．即a的取值范围是（﹣，0）．故选：C．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，A＝，b2sin C＝4sin B，则△ABC的面积为．解：因为b2sin C＝4sin B，所以由正弦定理可得cb2＝4b，可得bc＝4，又A＝，所以△ABC的面积S＝bc sin A＝4×＝．故答案为：．14．向量与的夹角为60°，||＝4，（+2）（﹣3）＝﹣72，则||＝6．解：向量与的夹角为60°，||＝4，且（+2）（﹣3）＝﹣72，∴﹣•﹣6＝﹣72，即﹣||×4×cos60°﹣6×42＝﹣72，化简得﹣2||﹣24＝0，解得||＝6或||＝﹣4（不合题意，舍去）；∴||＝6．故答案为：6．15．宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有秦九韶的《数书九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．现有数学著作《数书九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共七本，从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是．解：共七本，从中任取2本，共有种，一本也不含杨辉的著作的共有种，所以从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是．故答案为：．16．已知函数f（x）＝|sin x|﹣|cos x|，则下列说法正确有②③.（将所有正确的序号填在横线上）①f（x）的图象关于点（，0）中心对称；②f（x）在区间[，π]上单调递减；③f（x）在（0，2π）上有且仅有1个最小值点；④f（x）的值域为[﹣1，2]．解：函数f（x）＝|sin x|﹣|cos x|，则根据函数f（x）在x∈[0，2π]上的取值，画出函数的图象，如图所示：根据函数的图像函数满足f（﹣x）＝f（x），故函数为偶函数，函数没有对称中心，故①错误；对于函数y＝在[，π]上单调递减，函数y＝|cos x|在[，π]上单调递增，故函数y＝﹣|cos x|在[，π]上单调递减，故f（x）在区间[，π]上单调递减，故②正确；对于函数f（x）在x＝0时，函数取得最小值为﹣1，在x取时，函数取得最大值为，故③f（x）在（0，2π）上有且仅有1个最小值点，故③正确；④f（x）的值域为[﹣1，]，故④错误；故答案为：②③．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}为正项等比数列，S n为{a n}的前n项和，若S3＝21，a2+a3＝6a1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）从三个条件：①b n＝；②b n＝a n+2n；③b n＝log2中任选一个作为已知条件，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）设数列{a n}的公比为q（q＞0），∵a2+a3＝6a1，∴a1q+a1q2＝6a1，故：q2+q﹣6＝0，解得q＝2，由S3＝21＝a1（1+q+q2），解得a1＝3，∴a n＝3×2n﹣1；（2）若选①：由题意知：b n＝＝（）n﹣1，此时数列{b n}是首项为1，公比为的等比数列，其前n项和T n＝＝3[1﹣（）n]．若选②：由题意知：b n＝a n+2n＝3×2n﹣1+2n，∴T n＝3×+2×＝3×2n﹣3+n2+n；若选③：由题意知：b n＝log2＝＝n﹣1，此时数列{b n}是首项为0，公差为1的等差数列，其前n项和T n＝＝．18．根据国家深化医药卫生体制改革的总体部署和要求，某地区自2015年起，开始逐步推行“基层首诊，逐级转诊”的医疗制度，从而全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示．（1）已知该地区91～101高龄段的男女比例为2：3，在该地区1000名居民组成的样本中，从91～101高龄段随机抽取2人，求抽到的两人恰好都是女性的概率；（2）为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示，根据图1和图2的信息，估计该地区签约率超过35%低于60%的人群的总人数．解：（Ⅰ）由题意可得，91～101岁居民的人数为0.0005×10×1000＝5人，又该地区91～101高龄段的男女比例为2：3，∴这5人中有男性2人，女性3人，记两名男性为a，b，三名女性为A，B，C，现从5人中随机抽取2人，可能的结果有：aA，aB，aC，bB，bC，ab，AB，AC，BC共10种可能，其中满足2人恰好都有女性的有AB，AC，BC共3种可能，∴P＝．（Ⅱ）由图2可知，年龄段31～40，41～50，签约率37.1%，年龄段51～60，签约率55.7%，由图1可知，所求频率P＝（0.021+0.016+0.015）×10＝0.52，∴估计该地区签约率超过35%低于60%的人群的总人数大约为0.52×2000＝1040万．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝∠DAB＝90°，BC＝2AB＝2AD＝2，平面PCD⊥平面ABCD．（1）证明：BD⊥平面PCD；（2）若PD＝PC＝，求三棱锥B﹣ACP的体积．【解答】（1）证明：因为四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC ＝∠DAB＝90°，BC＝2AB＝2AD＝2，所以，，可得：BD2+CD2＝BC2，所以BD⊥DC，又因为平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD，又BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PCD．（2）解：因为，取CD的中点O，连接PO，则由（1）知，则△PDC为等边三角形，所以PO⊥CD，又因为平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD，所以PO⊥平面BCD，，所以＝．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）经过点A（1，），其长半轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点B（﹣1，0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于x轴的对称点为F，直线DF与x轴相交于点G，记△BEG与△BDG的面积分别为S1，S2，求|S1﹣S2|的最大值．解：（1）由已知可得a＝2，且，解得b＝1，所以椭圆的方程为：；（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，则设直线l的方程为：x＝ty﹣1（t≠0），D（x1，y1），E（x2，y2），联立方程，消去x整理可得：（4+t2）y2﹣2ty﹣3＝0，所以y，因为F为点E关于x轴对称点，所以F（x2，﹣y2），所以直线DF的方程为：y﹣y1＝，即y﹣y，令y＝0，则x＝x＝＝，所以点G的坐标为（﹣4，0），所以|S1﹣S2|＝＝，当且仅当|t|＝，即t＝±2时取等号，此时|S1﹣S2|的最大值为．21．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）lnx+ax2+2．（1）若f（x）在x＝1处的切线是3x+y＝4，求实数a的值；（2）当a＞0时，函数g（x）＝f（x）﹣x﹣2有且仅有一个零点，若此时x∈[e﹣1，e]，g （x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）f（x）＝（x2﹣2x）lnx+ax2+2，（x＞0），f′（x）＝（2x﹣2）lnx+x﹣2+2ax，由已知得f′（1）＝﹣1+2a＝﹣3，解得：a＝﹣1；（2）由已知g（x）＝（x2﹣2x）lnx+ax2﹣x＝0，（x＞0），即方程（x﹣2）lnx+ax﹣1＝0（x＞0）有唯一的实数根，故a＝，（x＞0），即直线y＝a和函数y＝（x＞0）的图象有唯一的交点，构造函数h（x）＝＝﹣lnx+（x＞0），h′（x）＝（x＞0），令y＝1﹣x﹣2lnx，y′＝﹣1﹣＜0，y递减，而x＝1，y＝0，故h′（1）＝0，0＜x＜1，y＞0，h′（x）＞0，x＞1，y＜0，h′（x）＜0，∴0＜x＜1，h（x）递增，x＞1，h（x）递减，且x→0，h（x）→﹣∞，x→+∞，h（x）→﹣∞，故a＝h（1）＝1，已知可化为m≤g（x）min，x∈[e﹣1，e]，g′（x）＝（x﹣1）（2lnx+3），x∈[e﹣1，e]，故g（x）在（e﹣1，1）递减，在（1，e）递增，故m≤g（x）min＝g（1）＝0，综上，m的范围是（﹣∞，0]．请在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝，曲线C的极坐标方程为ρ﹣6cosθ＝0．（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点A（1，0），若直线l与曲线C交于P，Q两点，P，Q中点为M，求的值．解：（1）因为直线，故ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，即直线l的直角坐标方程为x﹣y﹣1＝0．因为曲线C：ρ﹣6cosθ＝0，则曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣6x＝0，即（x﹣3）2+y2＝9．（2）根据（1）x﹣y﹣1＝0转换为直线l的参数方程为（t为参数），将其代入曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣6x＝0，得．设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝﹣5，，所以M对应的参数，故．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝4﹣|2x+a|﹣|2x﹣1|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥x的解集；（2）若f（x）≤2，求a的取值范围．解：（1）当a＝2时，f（x）＝4﹣|2x+a|﹣|2x﹣1|＝，所以有或或，解得，所以f（x）≥x的解集为；（2）不等式f（x）≤2等价于|2x+a|+|2x﹣1|≥2，所以，又，当且仅当时等号成立，故f（x）≤2等价于，所以|a+1|≥2可得a≤﹣3或a≥1，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．。
甘肃省兰州市2021届新高考五诊数学试题含解析
甘肃省兰州市2021届新高考五诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+（0a >且1a ≠），若(2)g a =，则函数()22f x x +的单调递增区间为（ ）A ．(1,1)-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性用方程法求出(),()f x g x 的解析式，进而求出a ，再根据复合函数的单调性，即可求出结论. 【详解】依题意有()()2xxf xg x a a-+=-+， ①()()2()()--+-=-+=-+x x f x g x a a f x g x ， ②①-②得(),()2-=-=x x f x a a g x ，又因为(2)g a =，所以2,()22-==-x xa f x ，()f x 在R 上单调递增，所以函数()22f x x +的单调递增区间为(1,)-+∞. 故选:D. 【点睛】本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题. 2．已知向量(1,4)a =，(2,)b m =-，若||||a b a b +=-，则m =（ ） A ．12-B ．12C ．-8D ．8【答案】B 【解析】 【分析】先求出向量a b +,a b -的坐标，然后由||||a b a b +=-可求出参数m 的值. 【详解】由向量(1,4)a =，(2,)b m =-， 则()1,4a b m +=-+，()3,4a b m -=-()22||1+4a b m +=+，()22||3+4a b m -=-又||||a b a b +=-，则()()22221+4=3+4m m +-，解得12m =. 故选：B 【点睛】本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.3．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A 33263cm B 36463cm C 33223cm D 36423cm 【答案】B 【解析】设折成的四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则3h =，故由题设可得12124222a a a +=⨯⇒=所以四棱锥的体积2313646=(42)423V =，应选答案B ． 4．设a ，b 都是不等于1的正数，则“22a b log log ＜”是“222a b ＞＞”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b 的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可． 【详解】由“l 22og log a b <”，得2211log log a b<，得22log 0log 0a b <⎧⎨>⎩或220log a log b ＞＞或220log a log b ＞＞， 即011a b <<⎧⎨>⎩或1a b ＞＞或01b a ＜＜＜，由222a b ＞＞，得1a b ＞＞，故“22log log a b <”是“222a b ＞＞”的必要不充分条件，故选C ． 【点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题． 5．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD 为等边三角形，把数量积AE BE ⋅分拆，设(01)DE tDC t =≤≤，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。
甘肃省武威市2021届新高考数学模拟试题含解析
甘肃省武威市2021届新高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11()22ln 30f =>排除D 得到答案. 【详解】1()ln1xf x x x +=-定义域为：(1,1)- 11()ln ln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C11()22ln 30f => ，排除D 故选B 【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.2．设过抛物线()220y px p =>上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线()280y px p =>交于,A B两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S =V V （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。
写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标，最后代入坐标，求得三角形面积比. 【详解】作图，设AB 与OP 的夹角为θ，则ABQ △中AB 边上的高与ABO V 中AB 边上的高之比为sin sin PQ PQOP OP θθ=，1ABQ Q P Q ABO P P S y y y PQ S OP y y -∴===-V V ，设211,2y P y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线121:2yOP y x y p=，即12p y x y =，与28y px =联立，解得14Q y y =，从而得到面积比为11413yy -=.故选：C【点睛】解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题. 3．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．35-【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值． 【详解】解：34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中，3sin 5α=，4cos 5α=， 故当22k πθαπ+=-()k ∈Z ，即2()2k k Z πθπα=--∈时，函数取最小值()5fθ=-，所以3cos cos(2)cos()sin 225k ππθπααα=--=--=-=-， 故选：D 【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．4．已知命题2:21,:560p x m q x x -<++<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．12m >B ．12m ≥C ．1m >D ．m 1≥【答案】D 【解析】 【分析】求出命题q 不等式的解为23x <<，p 是q 的必要不充分条件，得q 是p 的子集，建立不等式求解. 【详解】解：Q 命题2:21,:560p x m q x x -<++<，即: 23x <<，p 是q 的必要不充分条件，(2,3)(,21,)m ∴⊆-∞+，213m ∴+≥，解得m 1≥．实数m 的取值范围为m 1≥．故选：D ． 【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验．5．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b 满足(2)1f a b +<，11b a ++则的取值范围是（ ）A ．(11,53) B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞ C ．(1,53)D ．(,3)-∞【答案】C 【解析】 【分析】先从函数单调性判断2a b +的取值范围，再通过题中所给的,a b 是正数这一条件和常用不等式方法来确定11b a ++的取值范围. 【详解】由()y f x '=的图象知函数()f x 在区间()0,∞+单调递增，而20a b +>，故由()(2)14f a b f +<=可知24a b +<.故1421725111b a a a a +-+<=-+<+++， 又有11712133322b b b b a ++>=-+>+--，综上得11b a ++的取值范围是(1,53). 故选：C 【点睛】本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题. 6．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( ) A ．－30 B ．－40 C ．40 D ．50【答案】C 【解析】 【分析】先写出()52x y -的通项公式，再根据33x y 的产生过程，即可求得.【详解】对二项式()52x y -，其通项公式为()()()555155221rrrrr rr r r T C x y C x y ---+=-=-5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数是()52x y -展开式中23x y 的系数与32x y 的系数之和.令3r =，可得23x y 的系数为()33252140C -=-；令2r =，可得32x y 的系数为()22352180C -=；故5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为804040-=.故选：C. 【点睛】本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.7．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出AF ；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得B 点横坐标的取值范围，即可由FAB ∆的周长求得其范围. 【详解】抛物线28y x =，则焦点()2,0F ，准线方程为2x =-，根据抛物线定义可得2A AF x =+，圆()22216x y -+=，圆心为()2,0，半径为4，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动，解得交点横坐标为2. 点A 、B 分别在两个曲线上，AB 总是平行于x 轴，因而两点不能重合，不能在x 轴上，则由圆心和半径可知()2,6B x ∈，则FAB ∆的周长为246A B A B AF AB BF x x x x ++=++-+=+， 所以()68,12B x +∈， 故选：B. 【点睛】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.8．已知点P 是双曲线222222:1(0,0,)x y C a b c a b a b-=>>=+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 5 C 3D ．2设点P 的坐标为(,)m n ，代入椭圆方程可得222222b m a n a b -=，然后分别求出点P 到两条渐近线的距离，由距离之积为214c ，并结合222222b m a n a b -=，可得到,,a b c 的齐次方程，进而可求出离心率的值. 【详解】设点P 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b-=，得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C的两条渐近线的距离之积为222222222b m a n a b a b c-==+， 所以222214a b c c =，则22244()a c a c -=，即()22220c a -=，故2220c a -=，即2222c e a ==，所以e =故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造,,a b c 的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题. 9．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+i B ．1−iC ．−1+iD ．−1−i【答案】B 【解析】分析：化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=21i -()()()21+=111i i i i =+-+ ∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选B ．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．10．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）＝f （x ），当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）＝﹣x ﹣2，则（ ） A ．66f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞ B ．f （sin3）＜f （cos3）C ．4433f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜ D ．f （2020）＞f （2019）【分析】根据函数的周期性以及x ∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函数f （x ）在定义域上的图象，由此结合选项判断即可. 【详解】由f （x+2）＝f （x ），得f （x ）是周期函数且周期为2，先作出f （x ）在x ∈[﹣3，﹣2]时的图象，然后根据周期为2依次平移， 并结合f （x ）是偶函数作出f （x ）在R 上的图象如下，选项A ，130sincos 1626ππ<=<=<， 所以66f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选项A 错误； 选项B ，因为334ππ＜＜，所以203312sin cos -＜＜＜， 所以f （sin3）＜f （﹣cos3），即f （sin3）＜f （cos3），选项B 正确； 选项C ，434144sin,1033233cos sin cos ππππ==->->->， 所以4433f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4433f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选项C 错误；选项D ，(2020)(0)(1)(2019)f f f f =<=，选项D 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档题. 11．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，56104a a a +=+，则21S =（ ） A ．7 B ．14C ．28D ．84【答案】D 【解析】利用等差数列的通项公式，可求解得到114a =，利用求和公式和等差中项的性质，即得解 【详解】56104a a a +=+Q ，111111465a d a d a d ∴+-=-+-解得114a =．121211121()21842a a S a +∴===．故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.12．已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则A B =I （ ）A ．{}2345，，， B ．{}234，， C ．{}1234，，， D ．{}01234，，，， 【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式可得集合A ，由交集运算即可求解. 【详解】集合2{|log (1)2},A x x =-<解得{}15,A x x =<<,B N =由集合交集运算可得{}{}152,3,4A B x x N ⋂=<<⋂=， 故选：B. 【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
甘肃省武威八中2025届高考数学五模试卷含解析
甘肃省武威八中2025届高考数学五模试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y y x y kx +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．53C ． 2D ．732．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-3．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．35．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（ ） A ．27B ．33C ．39D ．446．设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合A B =（ ）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞7．设m ，n 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件8．已知数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，若m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，则()21m n -+的最小值为（ ） A ．3B ．5C ．6D ．109．设函数()(1)x g x e e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．,2e⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭B ．(,)e +∞C ．[,)e +∞D ．,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭10．已知向量a b (3,1),(3,3)=-=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．3-B ．3C ．1-D ．111．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．12．函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的大致图象如图所示，则()f x 可能是（ ）A ．()ln sin f x x =B ．()()ln cos f x x =C ．()sin tan f x x =-D ．()tan cos f x x =-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高考数学五诊试卷 理(含解析)
2021年高考数学五诊试卷理（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.）1．已知i是虚数单位，则=（）A． 1 B． i C．﹣i D．﹣12．sin3的取值所在的范围是（）A．（，1） B．（0，） C．（﹣，0） D．（﹣1，﹣）3．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布（100，σ2），（σ＞0），若ξ在（80，120）内的概率为0.8，则落在（0，80）内的概率为（） A． 0.05 B． 0.1 C． 0.15 D． 0.24．数列{an }的前n项和Sn=2n2﹣3n（n∈N+），若p﹣q=5，则ap﹣aq=（）A． 10 B． 15 C．﹣5 D． 205．在△ABC中，“•=•”是“||=||”（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．根据如下样本数据：x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0得到回归方程为=bx+a，则（）A． a＞0，b＜0 B． a＞0，b＞0 C． a＜0，b＜0 D． a＜0，b＞07．如图是一个四棱锥在空间直角坐标系xoz、xoy、yoz三个平面上的正投影，则此四棱锥的体积为（）A． 94 B． 32 C． 64 D． 168．函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A． B． C．D．9．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）“凸函数“；已知f（x）=x4﹣x3﹣x2在（1，3）上为“凸函数”，则实数取值范围是（） A．（﹣∞，） B． [，5] C．（﹣∞，﹣2） D． [2，+∞）10．已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，函数f（x）的零点个数是（） A． 7 B． 5 C． 3 D． 111．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）与函数y=的图象交于点P，若函数y=的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣1，0），则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．12．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（）A． [0，+∞） B． [0，1] C． [1，2] D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量，的夹角是，若||=1，||=2，则|2﹣|= ．14．已知sin（α﹣β）cosα﹣cos（β﹣α）sinα=，β是第三象限角，则tan（β+）= ．15．在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= ．16．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（xx•江西模拟）已知f（x）=2sinx，集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a n}，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=，设数列{b n}的前n项和为T n，求证T n＜．18．（12分）（xx•郑州二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC=60°，∠BCA=90°．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC=AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．19．（12分）（xx•大连二模）某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如表：甲厂：分组 [29.86，29.90） [29.90，29.94） [29.94，29.98） [29.98，30.02） [30.02，30.06）[30.06，30.10） [30.10，30.14）频数 15 30 125 198 77 35 20乙厂：分组 [29.86，29.90） [29.90，29.94） [29.94，29.98） [29.98，30.02） [30.02，30.06）[30.06，30.10） [30.10，30.14）频数 40 70 79 162 59 55 35（Ⅰ）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”．甲厂乙厂合计优质品非优质品合计附：x2=P（x2≥x） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001x 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828（Ⅱ）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层）从两厂中各抽取五件零件，然后从每个厂的五件产品中各抽取两件，将这四件产品中的优质品数记为X，求X的分布列．20．（12分）（xx•甘肃校级模拟）如图，已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x﹣4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）作两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率．21．（12分）（xx•长沙校级一模）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1，l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：＜a＜；（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0，h（x）≥1时，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-1：几何证明选讲共1小题，满分10分）22．（10分）（xx•丹东二模）如图，AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，E为线段BC上一点，连接AC，连接AE，分别交⊙O于D，G两点，连接DG交CB于点F．（Ⅰ）求证：C，D，E，G四点共圆．；（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，GA=3GE，求证：CE=EB．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．（xx•丹东二模）长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，=2，点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）以直线AB的倾斜角α为参数，写出曲线C的参数方程；（Ⅱ）求点P到点D（0，﹣1）距离d的取值范围．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．（xx•丹东二模）已知a＞0，b＞0．（I）若a+b=2，求的最小值；（Ⅱ）求证：a2b2+a2+b2≥ab（a+b+1）．xx年甘肃省西北师大附中高考数学五诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.）1．已知i是虚数单位，则=（）A． 1 B． i C．﹣i D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简括号内部的代数式，然后利用虚数单位i的运算性质得答案．解答：解：∵，∴=（﹣i）3=i．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．sin3的取值所在的范围是（）A．（，1） B．（0，） C．（﹣，0） D．（﹣1，﹣）考点：三角函数线．专题：三角函数的求值．分析：由于＜3＜π，函数y=sinx在（，π）上是减函数，可得sin3的范围．解答：解：由于＜3＜π，函数y=sinx在（，π）上是减函数，而sinπ=0，sin=，可得sin3∈（0，），故选：B．点评：本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．3．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布（100，σ2），（σ＞0），若ξ在（80，120）内的概率为0.8，则落在（0，80）内的概率为（）A． 0.05 B． 0.1 C． 0.15 D． 0.2考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：概率与统计．分析：根据ξ服从正态分布N（100，σ2），得到曲线的对称轴是直线x=100，利用ξ在（80，120）内取值的概率为0.8，即可求得结论．解答：解：∵ξ服从正态分布N（100，σ2）∴曲线的对称轴是直线x=100，∵ξ在（80，120）内取值的概率为0.8，∴ξ在（0，100）内取值的概率为0.5，∴ξ在（0，80）内取值的概率为0.5﹣0.4=0.1．故选：B．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题．4．数列{a n}的前n项和S n=2n2﹣3n（n∈N+），若p﹣q=5，则a p﹣a q=（）A． 10 B． 15 C．﹣5 D． 20考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用递推公式当n≥2，a n=S n﹣S n﹣1，a1=S1可求a n=4n﹣5，再利用a p﹣a q=4（p﹣q），p﹣q=5，即可得出结论．解答：解：当n≥2，a n=S n﹣S n﹣1=2n2﹣3n﹣2（n﹣1）2+3n﹣3=4n﹣5a1=S1=﹣1适合上式，所以a n=4n﹣5，所以a p﹣a q=4（p﹣q），因为p﹣q=5，所以a p﹣a q=20点评：本题主要考查了利用数列的前n项和，求解数列的通项公式，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键．5．在△ABC中，“•=•”是“||=||”（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；向量的模；平面向量数量积的运算．分析：首先在△ABC中，移项化简可得到=0，所表示的意义为AB与AB边上的中线相互垂直，故，所以是充分条件，又，得三角形为等腰三角形，则可推出也成立．所以是充分必要条件．解答：解：因为在△ABC中•=•等价于•﹣•=0等价于•（+）=0，因为的方向为AB边上的中线的方向．即AB与AB边上的中线相互垂直，则△ABC为等腰三角形，故AC=BC，即，所以为充分必要条件．故选C．点评：此题主要考查必要条件充要条件的运算，其中涉及到向量的模和数量积的运算问题，计算量小，属于基础性试题．6．根据如下样本数据：x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0得到回归方程为=bx+a，则（）A． a＞0，b＜0 B． a＞0，b＞0 C． a＜0，b＜0 D． a＜0，b＞0考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：利用公式求出b，a，即可得出结论．解答：解：样本平均数=5.5，=0.25，∴=﹣24.5，=17.5，∴b=﹣=﹣1.4，∴a=0.25﹣（﹣1.4）•5.5=7.95，故选：A．点评：本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．7．如图是一个四棱锥在空间直角坐标系xoz、xoy、yoz三个平面上的正投影，则此四棱锥的体积为（）A． 94 B． 32 C． 64 D． 16考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，计算出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=（6﹣2）2=16，高h=8﹣2=6，故四棱锥的体积V==32，故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8．函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A． B． C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：当x＜0时，函数f（x）=，由函数的单调性，排除CD；当x＜0时，函数f（x）=，此时，代入特殊值验证，排除A，只有B正确，解答：解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD；当x＜0时，函数f（x）=，此时，f（1）==0，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，故选：B．点评：题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力．9．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）“凸函数“；已知f（x）=x4﹣x3﹣x2在（1，3）上为“凸函数”，则实数取值范围是（） A．（﹣∞，） B． [，5] C．（﹣∞，﹣2） D． [2，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：函数在区间（1，3）上为“凸函数”，所以f″（x）＜0，即对函数y=f（x）二次求导，转化为不等式问题解决即可；解答：解：∵f（x）=x4﹣x3﹣x2，∴f′（x）=x3﹣x2﹣3x，∴f″（x）=x2﹣mx﹣3，∵f（x）为区间（1，3）上的“凸函数”，则有f″（x）=x2﹣mx﹣3＜0在区间（1，3）上恒成立，∴，解得m≥2故选：D．点评：本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题．10．已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，函数f（x）的零点个数是（） A． 7 B． 5 C． 3 D． 1考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，判断函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．解答：解：（I）∵f（x）=xcosx﹣sinx，∴f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，当f′（x）＞0时，得或，∴π＜x＜2π，或﹣2π＜x＜﹣π，此时函数单调递增，当f′（x）＜0时，xsinx＞0，即或，即0＜x＜π或2π＜x＜3π，或﹣3π＜x＜﹣2π或﹣π＜x＜0，此时函数单调递减，当x=π，﹣2π，函数f（x）取极小值，此时f（π）=﹣π，f（﹣2π）=﹣2π，当x=﹣π，2π，时，函数f（x）取极大值，此时f（﹣π）=π，f（2π）=2π，又f（3π）=﹣3π，f（﹣3π）=3π，f（0）=0，作出函数f（x）的草图如图，则由图象知函数f（x）的零点个数，5个，故选：B点评：本题主要考查函数零点个数的判断，求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）与函数y=的图象交于点P，若函数y=的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣1，0），则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出切点坐标，通过导数求出切线方程的斜率，利用斜率相等列出方程，即可求出切点坐标，然后求解双曲线的离心率．解答：解：设，函数y=的导数为：y′=，∴切线的斜率为，又∵在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣1，0），∴，解得x0=1，∴P（1，1），可得，c2=a2+b2．c=1，解得a=因此，故双曲线的离心率是，故选A；点评：本小题主要考查过曲线外一点作曲线切线的基本方法，结合双曲线的标准方程与离心率，对考生的运算求解能力和推理论证能力提出较高要求．12．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（）A． [0，+∞） B． [0，1] C． [1，2] D．考点：指数函数的图像与性质．分析：因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f （a）+f（b）＞f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t﹣1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围．解答：解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，由于f（x）==1+，①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2≥t，解得1＜t≤2．③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，2＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．综上可得，≤t≤2，故实数t的取值范围是[，2]，故选D．点评：本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量，的夹角是，若||=1，||=2，则|2﹣|= 2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量的数量积的定义可得•=1，再由向量的平方即为模的平方，计算化简即可得到所求值．解答：解：向量，的夹角是，||=1，||=2，则•=||•||cos=1×=1，则|2﹣|2=（2﹣）2=42﹣4+2=4×1﹣4×1+4，即有|2﹣|=2．故答案为：2．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方．考查运算能力，属于基础题．14．已知sin（α﹣β）cosα﹣cos（β﹣α）sinα=，β是第三象限角，则tan（β+）= 7 ．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和差的正弦公式进行化简，然后利用两角和差的正切公式进行计算即可．解答：解：由sin（α﹣β）cosα﹣cos（β﹣α）si nα=，得sin（α﹣β﹣α）=sin（﹣β）=，∴sinβ=﹣，∵β是第三象限角，∴cosβ=﹣，tanβ=，则tan（β+）===7，故答案为：7；点评：本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式和正切公式是解决本题的关键．15．在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= ．考点：椭圆的简单性质；椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分析：设AB=BC=1，则，由此可知，从而求出该椭圆的离心率．解答：解：设AB=BC=1，则，∴，．答案：．点评：本题考查椭圆的性质及应用，解题时要注意的正确计算．16．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于．考点：异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；压轴题．分析：先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基地表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．解答：解：设AB=2，作CO⊥面ABDE，OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C﹣AB﹣D的平面角，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则，=故EM，AN所成角的余弦值故答案为：点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（xx•江西模拟）已知f（x）=2sinx，集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a n}，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=，设数列{b n}的前n项和为T n，求证T n＜．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据题意求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用放缩法和裂项相消法求出结果．解答：解：（1）f（x）=2sinx，集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，则：解得：x=2k+1（k∈Z），把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a n}，所以：a n=2n﹣1．证明：（2）记b n=，数列{b n}的前n项和为T n，=所以：T n=b1+b2+…+b n++…+）=点评：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，利用裂项相消法和放缩法求数列的和．18．（12分）（xx•郑州二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC=60°，∠BCA=90°．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC=AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）首先利用面面垂直转化成线面垂直，进一步得出线线垂直．（Ⅱ）根据两两垂直的关系，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进一步利用向量的夹角余弦公式求出线面的夹角的正弦值．解答：（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连接A1O，由于平面ABC⊥平面AA1C1C，A1O⊥AC，所以：A1O⊥平面ABC，所以：A1O⊥BC，又BC⊥AC，所以：BC⊥平面A1BC所以：A1B⊥AC1．（Ⅱ）以O为坐标原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，A（0，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，），则：，，设=（x，y，z）是平面ABB1A1的法向量，所以：，求得：，由E（1，0，0）求得：，直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值sinθ=cos=．点评：本题考查的知识要点：线面垂直与面面垂直与线线垂直之间的转化，空间直角坐标系，法向量的应用，线面的夹角的应用，主要考查学生的空间想象能力．19．（12分）（xx•大连二模）某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如表：甲厂：分组 [29.86，29.90） [29.90，29.94） [29.94，29.98） [29.98，30.02） [30.02，30.06）[30.06，30.10） [30.10，30.14）频数 15 30 125 198 77 35 20乙厂：分组 [29.86，29.90） [29.90，29.94） [29.94，29.98） [29.98，30.02） [30.02，30.06）[30.06，30.10） [30.10，30.14）频数 40 70 79 162 59 55 35（Ⅰ）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”．甲厂乙厂合计优质品非优质品合计附：x2=P（x2≥x） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001x 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828（Ⅱ）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层）从两厂中各抽取五件零件，然后从每个厂的五件产品中各抽取两件，将这四件产品中的优质品数记为X，求X的分布列．考点：离散型随机变量的期望与方差；独立性检验的应用．专题：综合题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由图中表格数据易得2×2列联表，计算可得X2的近似值，可得结论；（Ⅱ）甲厂有4件优质品，1件非优质品，乙厂有3件优质品，2件非优质品．从两个厂各抽取2件产品，优质品数X的取值为1，2，3，4，由概率公式可得．解答：解：（Ⅰ）列联表如下甲厂乙厂合计优质品 400 300 700非优质品 100 200 300合计 500 500 1000x2=47.619，∵47.619＞10.828，∴有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”．（6分）（Ⅱ）甲厂有4件优质品，1件非优质品，乙厂有3件优质品，2件非优质品．从两个厂各抽取2件产品，优质品数X的取值为1，2，3，4．P（X=1）==；P（X=2）==；P（X=4）==，所以P（X=3）=1﹣﹣﹣= （10分）所以X的分布列为X 1 2 3 4P（12分）点评：本题考查独立检验，考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列，正确求概率是关键．属中档题．20．（12分）（xx•甘肃校级模拟）如图，已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x﹣4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）作两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用点M（4，0）到抛物线准线的距离为，即可得出p．（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），可得k HE=﹣k HF，设E（x1，y1），F（x2，y2），利用抛物线的方程和斜率计算公式即可得出．解答：解：（1）∵点M（4，0）到抛物线准线的距离为，∴p=，即抛物线C的方程为y2=x．（2）∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴k HE=﹣k HF，设E（x1，y1），F（x2，y2），∴，∴，∴y1+y2=﹣2y H=﹣4．==．点评：熟练掌握抛物线的标准方程及其性质、圆的切线的性质、斜率计算公式等是解题的关键．21．（12分）（xx•长沙校级一模）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1，l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：＜a＜；（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0，h（x）≥1时，求实数a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）利用导数求函数的单调区间，注意对参数a的分类讨论；（2）背景为指数函数y=e x与对数函数y=lnx关于直线y=x对称的特征，得到过原点的切线也关于直线y=x对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明；（3）考查利用导数处理函数的最值和不等式的恒成立求参数的范围问题，求导过程中用到了课后习题e x≥x+1这个结论，考查学生对课本知识的掌握程度．解答：（1）解：依题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），对f（x）求导，得．①若a≤0，对一切x＞0有f'（x）＞0，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．②若a＞0，当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0．所以函数f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是．（3分）（2）解：设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，，所以x2=1，y2=e，则．由题意知，切线l1的斜率为，l1的方程为．设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则，所以，．又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，整理得．（6分）令，则，m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．若x1∈（0，1），因为，，所以，而在上单调递减，所以．若x1∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，则x1=e，所以（舍去）．综上可知，．（9分）（3）证明：h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）﹣ax+e x，．①当a≤2时，因为e x≥x+1，所以，h （x）在[0，+∞）上递增，h（x）≥h（0）=1恒成立，符合题意．②当a＞2时，因为，所以h′（x）在[0，+∞）上递增，且h′（0）=2﹣a＜0，则存在x0∈（0，+∞），使得h′（0）=0．所以h（x）在（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，又h（x0）＜h（0）=1，所以h（x）≥1不恒成立，不合题意．（13分）综合①②可知，所求实数a的取值范围是（﹣∞，2]．（14分）点评：本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数求曲线的切线问题及研究不等式恒成立问题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-1：几何证明选讲共1小题，满分10分）22．（10分）（xx•丹东二模）如图，AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，E为线段BC上一点，连接AC，连接AE，分别交⊙O于D，G两点，连接DG交CB于点F．（Ⅰ）求证：C，D，E，G四点共圆．；（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，GA=3GE，求证：CE=EB．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：（Ⅰ）连接BD，由题设条件结合圆的性质能求出∠C=∠AGD，从而得到∠C+∠DGE=180°，由此能证明C，E，G，D四点共圆．（Ⅱ）设BG=x，GA=3x，由切割线定理推导出EB=2，再求出CE的长，即可证明结论．解答：（Ⅰ）证明：连接BD，则∠AGD=∠ABD，∵∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90°∴∠C=∠AGD，∴∠C+∠DGE=180°，∴C，E，G，D四点共圆．…..（5分）（Ⅱ）解：设BG=x，GA=3x，由切割线定理EG•EA=EB2，则EB=2x，又F为EB三等分，所以EF=，FB=，又FE•FC=FG•FD，FG•FD=FB2，∴FC=，CE=2x，即CE=EB．…（10分）点评：本题考查四点共圆的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质的灵活运用．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．（xx•丹东二模）长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，=2，点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）以直线AB的倾斜角α为参数，写出曲线C的参数方程；（Ⅱ）求点P到点D（0，﹣1）距离d的取值范围．考点：参数方程化成普通方程；轨迹方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）设P（x，y），则根据题设画图，可知：x=|AB|cos（π﹣α），y=，化简整理即可得出参数方程；（Ⅱ）设P（﹣2cosα，sinα），可得|PD|==，利用二次函数与三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），则根据题设画图，可知：x=|AB|cos（π﹣α）=﹣2cosα，y==sinα，曲线C的参数方程是（α为参数，且）；（Ⅱ）设P（﹣2cosα，sinα），则|PD|===，∵，∴sinα∈（0，1），∴，故d的取值范围是．点评：本题考查了直线的参数方程、两点之间的距离公式、二次函数与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．（xx•丹东二模）已知a＞0，b＞0．（I）若a+b=2，求的最小值；（Ⅱ）求证：a2b2+a2+b2≥ab（a+b+1）．考点：不等式的证明．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用乘1法，可得=（）（1+a+1+b），展开后运用基本不等式即可得到最小值；（Ⅱ）运用均值不等式，结合累加法，即可得证．解答：解：（Ⅰ）由于a+b=2，则=（）（1+a+1+b）=（5++）≥（5+2）=等号成立条件为=，而a+b=2，所以a=，b=，因此当a=，b=时，+取得最小值，且为；（Ⅱ）证明：由均值不等式得a2b2+a2≥2a2b，a2b2+b2≥2b2a，a2+b2≥2ab三式相加得2a2b2+2a2+2b2≥2a2b+2ab2+2ab=2ab（a+b+1），所以a2b2+a2+b2≥ab（a+b+1）．点评：本题考查基本不等式的运用：求最值和证明不等式，注意运用乘1法和累加法是解题的关键．36848 8FF0 述31575 7B57 筗~24600 6018 怘28449 6F21 漡20943 51CF 减 G28003 6D63 浣25770 64AA 撪21028 5224 判32552 7F28 缨025046 61D6 懖。
甘肃省武威市2021届新高考数学最后模拟卷含解析
甘肃省武威市2021届新高考数学最后模拟卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围. 【详解】()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，()f x ∴为周期为2的偶函数，当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--， 当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+， 作出(),()f x g x 图像，如下图所示：函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点， 则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，()0f x ≤Q ，若1a >，()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， 则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，221133,,01,033a a a a ∴><<<∴<<Q . 故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.2．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（ ） A ．()()sin cos βα<f f B ．()()sin cos βα>f f C ．()()sin =cos βαf f D ．以上情况均有可能【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性可求()f x 在(0,1)上的单调性，结合三角函数的性质即可比较． 【详解】 由1(1)()f x f x +=-可得1(2)[(1)1]()(1)f x f x f x f x +=++=-=+，即函数的周期2T =， 因为在区间(2017,2018)上单调递减，故函数在区间(1,0)-上单调递减， 根据偶函数的对称性可知，()f x 在(0,1)上单调递增， 因为α，β是锐角三角形的两个内角， 所以1,(0,)2αβπ∈且12αβπ+>即12απβ>-，所以1cos cos()2απβ<-即0cos sin 1αβ<<<，(cos )(sin )f f αβ<．故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键． 3．设函数()f x 定义域为全体实数，令()(||)|()|g x f x f x =-．有以下6个论断： ①()f x 是奇函数时，()g x 是奇函数； ②()f x 是偶函数时，()g x 是奇函数； ③()f x 是偶函数时，()g x 是偶函数； ④()f x 是奇函数时，()g x 是偶函数 ⑤()g x 是偶函数；⑥对任意的实数x ，()0g x …． 那么正确论断的编号是（ ） A ．③④ B ．①②⑥C ．③④⑥D ．③④⑤【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断函数()g x 的奇偶性并证明. 【详解】当()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，所以()()(||)|()|(||)|()|g x f x f x f x f x g x -=---=-=， 所以()g x 是偶函数；当()f x 是奇函数时，则()()f x f x -=-，所以()()(||)|()|(||)|()|g x f x f x f x f x g x -=---=-=， 所以()g x 是偶函数；当()f x 为非奇非偶函数时，例如：()5f x x =+， 则()27f-=，()23f -=，此时(2)0g ->，故⑥错误；故③④正确.【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义，掌握奇偶性定义是解题的关键，属于基础题.4．已知函数2()e (2)e x x f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ） A ．1 B ．12或0 C ．1或0 D ．2或0【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，当0t >时，只需(ln )0f t -=，即1ln 10t t -+=，令1()ln 1g t t t=-+，利用导数求其单调区间，即可求出参数t 的值，当0t =时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断； 【详解】 解：∵2()e (2)e xx f x t t x =+--（0t ≥），∴()()2()2e(2)e 1e 12e 1xx x x f x t t t '=+--=-+，∴当0t >时，由()0f x '=得ln x t =-，则()f x 在(),ln t -∞-上单调递减，在()ln ,t -+∞上单调递增， 所以(ln )f t -是极小值，∴只需(ln )0f t -=， 即1ln 10t t -+=.令1()ln 1g t t t =-+，则211()0g t t t'=+>，∴函数()g t 在(0,)+∞上单 调递增.∵(1)0g =，∴1t =；当0t =时，()2e x f x x =--，函数()f x 在R 上单调递减，∵(1)2e 10f =--<，2(2)22e 0f --=->，函数()f x 在R 上有且只有一个零点，∴t 的值是1或0. 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题. 5．已知复数z 满足i•z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2i B ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i【答案】D 【解析】 【分析】两边同乘-i ，化简即可得出答案． 【详解】i•z ＝2+i 两边同乘-i 得z=1-2i,共轭复数为1+2i ，选D.(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为z a bi =-6．定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的定义得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值. 【详解】依题意得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,22222211111()()()[(2sin )(2cos )]2sin 2cos 32sin 2cos f x g x x x x x x x+=+=+-+-----222212cos 2sin 14(2)(232sin 2cos 33x x x x --=++≥+=--(当且仅当222cos 2sin x x --222sin 2cos x x -=-，即221sin cos 2x x ==时“=”成立.此时,2()()3f x g x ==，42()3F x ∴≥，()F x ∴的最小值为23， 故选：A. 【点睛】本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2()()()F x f x g x ≥+，再由基本不等式求得最值，属于中档题.7．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若3SA ==，则SED ∆的面积的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．92D ．72【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到,BE EC 之间的等量关系，再用,BE EC 表示出SED n 的面积，利用均值不等式即可容易求得. 【详解】设BE x =，EC y =，则BC AD x y ==+.因为SA ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，所以SA ED ⊥. 又AE ED ⊥，SA AE A ⋂=，所以ED ⊥平面SAE ，则ED SE ⊥.易知AE =ED =在Rt AED ∆中，222AE ED AD +=， 即22233()x y x y +++=+，化简得3xy =.在Rt SED ∆中，SE =，ED ==.所以12SED S SE ED ∆=⋅=因为22108336x x +≥=，当且仅当x =，y =92SED S ∆≥=. 故选：C. 【点睛】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.8．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ） A ．10 B ．16C ．20D ．24【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质得到46582a a a +==，再计算得到答案. 【详解】已知等差数列{}n a 中，4655824a a a a +==⇒=345675520a a a a a a ++++==故答案选C【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.9．某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（ ）A ．21250元B ．28000元C ．29750元D ．85000元【答案】A 【解析】 【分析】根据 2018年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10% 得到就医费用8000010%8000⨯=，再根据2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，得到2019年的就医费用，然后由2019年的就医费用占总收人15%，得到2019年的家庭总收人再根据储畜费用占总收人25%求解. 【详解】因为2018年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10% 所以就医费用8000010%8000⨯=因为2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元， 所以2019年的就医费用12750元， 而2019年的就医费用占总收人15%所以2019年的家庭总收人为127501585000÷%= 而储畜费用占总收人25%所以储畜费用：850002521250⨯%= 故选：A 【点睛】本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用，还考查了建模解模的能力，属于基础题.10．已知0x >，0y >，23x y +=，则23x y xy+的最小值为（ ）A ．3-B ．1C 1D 1【答案】B 【解析】23x yxy +2(2)2111x x y y x y xy y x ++==++≥+=+,选B 11．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ） A ．128 B ．65C ．64D ．63【答案】D 【解析】 【分析】根据212log 1log n n a a +=+，得到212log l g 2o n n a a +=，即12n n a a +=，由等比数列的定义知数列{}n a 是等比数列，然后再利用前n 项和公式求6S . 【详解】因为212log 1log n n a a +=+， 所以212log l g 2o n n a a +=， 所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列， 又因为34a =， 所以312414a a q ===， ()()6616111263112a q S q-⨯-===--.故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．函数()2xx e f x x=的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据()0f x >排除C ，D ，利用极限思想进行排除即可． 【详解】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，()0f x >恒成立，排除C ，D ，当0x >时，2()xx x e f x xe x ==，当0x →，()0f x →，排除B ， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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甘肃省武威市2021届新高考五诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()()()sin 0,02g x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图所示，已知()5036g g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，函数()y f x =的图象可由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 2f x x =B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()2sin f x x =- D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由图根据三角函数图像的对称性可得522662T πππ=-⨯=，利用周期公式可得ω，再根据图像过(,0,36π⎛⎫⎪⎝⎭，即可求出,A ϕ，再利用三角函数的平移变换即可求解. 【详解】 由图像可知522662T πππ=-⨯=，即T π=， 所以2T πω=，解得2ω=，又sin 2066g A ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()3k k ϕπ+=π∈Z ，由02ϕπ<<， 所以23ϕπ=或53π，又()03g =所以sin A ϕ=，()0A >， 所以23ϕπ=，2A =， 即()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为函数()y f x =的图象由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到， 所以()22sin 22sin 233y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫==-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属于基础题.2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线的右支于点P ，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l 相切，切点为H ，若113F P F H =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．C ．D 【答案】A 【解析】 【分析】在12PF F ∆中，由余弦定理，得到2||PF ，再利用12||||2PF PF a -=即可建立,,a b c 的方程. 【详解】由已知，1||HF b ===，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2||PF ===1133PF HF b ==，12||||2PF PF a -=，所以32b a =，32b a ⇒=e =∴= 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算问题，处理双曲线离心率问题的关键是建立,,a b c 三者间的关系，本题是一道中档题.3．设复数121,1z i z i =+=-，则1211z z +=（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，代入化简即可求解. 【详解】复数121,1z i z i =+=-，则1211z z + 1111i i=++- ()()()()111111i ii i i i -+=++--+11122i i-+=+= 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算与化简求值，属于基础题.4．已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 【答案】D 【解析】 【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+，即23322a a +=+，解得1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 5．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内 D ．上述三种情况都有可能【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离小于半径可得,a b 满足的条件，利用(),M a b 与圆心的距离判断即可. 【详解】Q 直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，∴圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离22|1|1d a b-=<+，即221a b +>．也就是点(,)M a b 到圆C 的圆心的距离大于半径． 即点(,)M a b 与圆C 的位置关系是点M 在圆C 外． 故选：B 【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题．6．已知,a r b r 是平面内互不相等的两个非零向量,且1,a a b =-r r r 与b r 的夹角为150o ,则b r 的取值范围是（ ）A ．B ．[1,3]C ．D ．[3,2]【答案】C 【解析】试题分析：如下图所示，,,AB a AD b ==u u u ru u ur r r 则AC DB a b ==-u u u r u u u rrr，因为a b -r r与b r的夹角为150o ，即150DAB ∠=︒，所以30ADB ∠=︒，设DBA θ∠=，则0150θ<<︒，在三角形ABD 中，由正弦定理得sin 30sin b a θ=︒r r ，所以sin 2sin sin 30a b θθ=⨯=︒r r ，所以02b <≤r ，故选C ．考点：1．向量加减法的几何意义；2．正弦定理；3．正弦函数性质．7．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()()2262x m y m -+--=与圆2C ：()()22121x y ++-=交于A ，B 两点，若OA OB =，则实数m 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．-1D ．-2【答案】D 【解析】 【分析】由OA OB =可得，O 在AB 的中垂线上，结合圆的性质可知O 在两个圆心的连线上，从而可求. 【详解】因为OA OB =，所以O 在AB 的中垂线上，即O 在两个圆心的连线上，()0,0O ，()1,6C m m +，()21,2C -三点共线，所以62m m+=-，得2m =-，故选D. 【点睛】本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径.8．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos2α等于（ ）A ．19B ．79-C ．23-D ．13【答案】B 【解析】 【分析】先由三角函数的定义求出sin α，再由二倍角公式可求cos2α.【详解】解：角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭1cos 3α=，2217cos 22cos 12139αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B 【点睛】考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题.9．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C 【解析】 【分析】分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案. 【详解】①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙. 综上所述，年纪最大的是丙 故选：C. 【点睛】本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.10．如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，且PA AD =，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）A．26B．33C．3D．23【答案】C【解析】【分析】分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-,再利用向量法求异面直线EF与BD所成角的余弦值.【详解】由题可知，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-. 设2AD=.则3(2,2,0),(1,2,1),cos,86BD EF BD EF=-=-〈〉==⨯u u u r u u u r u u u r u u u r.故异面直线EF与BD3故选：C【点睛】本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．已知函数1212log,18()2,12xx xf xx⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b=<，则ab的最小值为（）参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B．4C．2log D．2【答案】A 【解析】 【分析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值. 【详解】由于函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，所以()f x 在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12xg x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.12．已知a b r r ，满足23a =r 3b =r ，6a b ⋅=-r r ,则a r 在b r 上的投影为（ ）A ．2-B ．1-C ．3-D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据向量投影的定义，即可求解. 【详解】a r 在b r 上的投影为6cos 23a b a bθ⋅-===-rr r r . 故选:A 【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。