138空间线面关系的判定
新教材选择性必修二6.3.2空间线面关系的判定(1)课件(49张)
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】选 B.由ba11 ＝ba22 ＝ba33 ⇒ a∥b，反之不一定成立，故①不正确；若 a1＝a2＝a3
＝1，则|a|＝ 3 ，故②不正确；③正确.
3．设平面 α 的法向量为(1，3，－2)，平面 β 的法向量为(－2，－6，k)，若 α∥β，
则 k＝________．
则 x＝________． 【解析】因为 DE∥平面 ABC，所以存在实数对(λ，μ)，使D→E ＝λA→B ＋μB→C ，所以
λ＋3μ＝x
λ＝－1
5λ＋μ＝－3 ，所以 μ＝2 .
－2λ＋2μ＝6
x＝5
பைடு நூலகம்
答案：5
7．已知空间两点 A(－1，1，2)，B(－3，0，4)，直线 l 的一个方向向量为 a，若|a| ＝3，且直线 l 与直线 AB 平行，则 a＝________．
－2＝λk
6．已知平面 α 的法向量为 n＝(1，－1，1)，直线 AB 与平面 α 相交但不垂直，则向
量A→B 的坐标可以是( )
A．(－2，2，－2)
B．(1，3，2)
C．(2，1，－1)
D．(1，2，3)
【解析】选 D.因为(－2，2，－2)＝2(1，－1，1)，即选项 A 中的向量与 n 平行，从
则 O(1，1，0)，A(2，0，0)，P(0，0，1)，B(2，2，0)，D1(0，0，2). 再设 Q(0，2，c)， 所以O→A ＝(1，－1，0)，O→P ＝(－1，－1，1)， B→Q ＝(－2，0，c)， BD ＝(－2，－2，2).
设平面 PAO 的法向量为 n＝(x，y，z)，
n·O→A＝0，
【解析】选 A.由题意，计算 n1·A→B ＝2×1＋(－3)×0＋1×(－2)＝0，得 n1⊥A→B ；计 算 n1·A→C ＝2×1＋(－3)×1＋1×1＝0，得 n1⊥A→C ；所以 n1⊥平面 ABC， 所以平面 α 的法向量与平面 ABC 的法向量共线， 则平面 α∥平面 ABC.
空间线面关系的判定
目录
• 空间线面关系的基本概念 • 空间线与平面位置关系的判定 • 空间面与面位置关系的判定 • 空间线面关系的应用 • 空间线面关系判定的注意事项
01
空间线面关系的基本概念
空间直线与平面的定义
空间直线
在三维空间中，直线是无限长的线段， 它有两个方向，并且可以无限延伸。 直线可以用两点来确定，也可以用方 向向量来表示。
加合理、稳定的船舶。
数学建模中的应用
几何建模
在几何建模中，空间线面关系的判定是 基础，它可以帮助数学家更好地理解几 何形状的特点，从而建立更加准确、可 靠的几何模型。
VS
计算几何
在计算几何中，空间线面关系的判定是重 要的研究内容之一，它可以帮助数学家更 好地理解几何形状的计算方法，从而为计 算机图形学、计算机辅助设计等领域提供 更加高效、精确的算法和工具。
平面与平面垂直判定定理一
如果一个平面内的两条不平行的直线分别垂直于另一个平面 ，则这两个平面垂直。
平面与平面垂直判定定理二
如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面垂直 。
平面与平面相交判定定理
平面与平面相交判定定理一
如果两个平面有一个公共点，则它们相交。
平面与平面相交判定定理二
如果一个平面内的直线与另一个平面相交，则这两个平面相交。
空间平面
在三维空间中，平面是一个无厚度的 二维区域。它由三个非共线的点确定， 并且可以无限延伸。平面可以用一个 点、一个方向向量和一个距离来确定。
空间线面关系的分类
直线与平面平行
当直线与平面平行时，直线不与平面相交，且直线与 平面内任意直线都平行。
直线与平面相交
当直线与平面相交时，直线与平面有一个唯一的交点， 或者直线完全在平面内。
2018届高考数学(全国通用)二轮复习基础小题精品课件 第14讲 空间线面关系的判断
解析
答案
2.(2017· 常德一中模拟 ) 已知 α ， β 是两个不同的平面， l ， m是两
条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，则
A.若α∥β，则l∥m B.若l∥m，则α∥β
C.若α⊥β，则l⊥m
D.若l⊥β，则α⊥β
√
解析 选项A，若α∥β，则直线l，m平行或异面，错误； 选项B，若l∥m，则平面α，β平行或相交，错误； 选项C，若α⊥β，则直线l，m平行、相交或异面，错误；
√ C.A E⊥BC
1
A.A1E⊥DC1
1
B.A1E⊥BD
D.A1E⊥AC
6
7
8
9 10
解析
答案
9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别 是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下四个结论：
①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C与PM相交；
④NC与PM异面.其中不正确的结论是 A.① 解析 B.② C.③ D.④
2018届高考数学（全国通用）二轮复习基础小题精品课件
第14讲 空间线面关系的判断
明考情 空间线面关系的判断是高考的必考内容，主要以选择题形式出 现，属于基础题. 知考向
1.空间线面位置关系的判断.
2.空间中的平行、垂直关系.
栏目 索引
研透考点
核心考点突破练 易P，Q四点的截面交C1D1
于 点 S ， 交 AB 于 点 R ，如 图 所 示 中 的 六 边 形 MNSPQR， 显然点A1， C分别位于这个平面的两侧， 故A1C与平面MNPQ一定相交，不可能平行，故
结论②不正确.
6 7 8 9 10
解析
答案
10. 如图，三棱柱 ABC—A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形， B1C 的 中 点 为 O ， 且 AO⊥ 平 面 BB1C1C ， 则 B1C 与 AB 的 位 置 关 系 为 异面垂直
空间线面关系知识点总结
空间线面关系知识点总结空间线面关系是立体几何中的一个重要概念，它描述了空间中不同几何元素（点、线、面）之间的位置、相交、平行、垂直等关系。
在现实生活和工程技术中，了解空间线面关系的知识对于设计、建造、测量等工作至关重要。
本篇文章将介绍空间线面关系的相关知识，包括空间中点、直线、平面的性质和相互关系，以及空间中直线与面之间的位置关系、相交关系等内容。
希望通过本文的介绍，读者能够深入了解空间线面关系的基本概念和理论知识。
一、空间中点的性质和判断方法1. 点的基本性质：点是空间中最基本的几何元素，没有长度、面积和体积，只有位置。
任意两个点之间都有唯一确定的直线。
2. 点的判断方法：在空间中确定一个点的位置，通常可以使用坐标、投影、距离等方法进行判断。
3. 点的投影：点在不同平面上的投影是唯一确定的，可以通过点的投影确定点在不同平面上的位置关系。
二、空间中直线的性质和判断方法1. 直线的基本性质：直线是空间中的一条无限延伸的几何元素，没有宽度、厚度，只有长度。
两点确定一条直线，两条直线要么相交，要么平行。
2. 直线的判断方法：在空间中确定一条直线的位置，通常可以使用两点坐标、点斜式、截距式等方法进行判断。
3. 直线的位置关系：两条直线之间可能相交、平行、重合、垂直等不同的位置关系，这需要通过直线的方向、倾斜度、截距等参数来判断。
三、空间中平面的性质和判断方法1. 平面的基本性质：平面是空间中的一个二维几何元素，具有面积和形状，可以用三个非共线点来唯一确定一个平面。
平面可以用方程或者法向量来确定。
2. 平面的判断方法：在空间中确定一个平面的位置，通常可以使用三点确定法、一般方程、点法向式、截距式等方法进行判断。
3. 平面的位置关系：不同平面之间可能相交、平行、重合、垂直等不同的位置关系，这需要通过平面的法向量、倾斜度、截距等参数来判断。
四、空间中直线与平面的位置关系1. 直线与平面的相对位置：在空间中，一条直线与一个平面之间可能存在不同的位置关系，这需要通过直线的方向、平面的法向量等参数来判断。
2020—2021数学苏教版选修2-1课件：第3章空间线面关系的判定
[方法归纳] 向量法证明几何中的平行问题，可以有两个途径：一是在平 面内找一向量与已知直线的方向向量共线；二是通过建立空 间直角坐标系，依托直线的方向向量和平面的法向量的垂直 ，来证明平行．
1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C 、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
用向量语言表述空间直线与平面的位置关系 设α2的空法间向两量条分直别线为l1，n1l，2的n方2，向则向有量下分表别：为l1，l2，两个平面α1，
平行
垂直
l1与l2
l1∥l2
__l_1_⊥__l_2___
l1与α1
__l_1_⊥__n__1 __
l1∥n1
α1与α2
n1∥n2
__n_1_⊥__n__2__
[方法归纳] 证明面面垂直通常有两种方法：一是利用面面垂直的判定定 理，转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两个平面 的法向量互相垂直．
规范解答 向量法证明空间的平行与垂直关系
2020—2021数学苏教版 选修2-1课件：第3章空
间线面关系的判定
2020/9/15
第3章 空间向量与立体几何
学习导航
学习 目标
学法 指导
1.能用向量语言表述线线、线面、面面的位置关 系．(重点) 2．利用直线的方向向量、平面的法向量证明线 、面的平行与垂直．(重点、难点)
用向量解决几何问题，可以建立直线、平垂直关系.
1．已知m＝(8，3，a)，n＝(2b，6，5)，若m∥n，则a＋b的 值为____________．
2．已知m＝(1，5，－2)，n＝(a，2，a＋2)，若m⊥n，则a的 值为__6______． 解析：∵m⊥n，∴1×a＋5×2－2×(a＋2)＝0，∴a＝6.
教学设计空间线面关系的判定
教学设计空间线面关系的判定教学目标：1. 理解空间线面关系的概念；2. 掌握判定空间线面关系的方法和技巧；3. 在实际生活和学习中能够应用空间线面关系的判定。
引言：空间线面关系的判定是几何学中的重要内容，它帮助我们理解和描述物体在空间中的位置和形状。
在教学设计中，教师需要精心安排教学活动，以帮助学生准确判定空间线面关系，并将其应用于实际问题的解决中。
本文将介绍教学设计空间线面关系的判定的重要性和实施过程。
一、概念讲解首先，为了帮助学生理解空间线面关系的概念，教师可以通过实际例子和故事情节来引入。
例如，教师可以讲述一个包含多个物体的场景，然后引导学生描述这些物体之间的相对位置，并引出空间线面关系的概念。
教师还可以使用图形、模型等辅助工具，展示不同线面关系的示例，帮助学生更加直观地理解。
二、判定方法与技巧为了使学生掌握空间线面关系的判定方法，教师可以设计一系列的练习和活动。
以下是一些常用的方法和技巧：1. 观察法：学生通过观察实际场景、图形或模型来判定空间线面关系。
例如，教师可以给学生展示几个物体的模型，让他们观察并判断物体之间的线面关系。
2. 空间投影法：学生可以通过绘制物体在不同平面上的投影来判定空间线面关系。
教师可以引导学生在纸上绘制物体的投影图，然后根据投影图来判断线面关系。
3. 空间旋转法：学生可以通过将物体进行旋转来判定线面关系。
例如，教师可以让学生旋转一个小球，观察其初始位置和旋转后的位置，判断球与其他物体的关系。
4. 投影展开法：对于复杂的线面关系判定，学生可以通过将物体投影展开来简化问题。
教师可以给学生一些关于投影展开的练习题，帮助他们提高解决问题的能力。
三、实践应用为了提高学生应用空间线面关系判定的能力，教师可以设计一些实际问题，引导学生将所学知识应用于实践中。
例如，教师可以让学生设计房间的布局，要求考虑家具与墙壁、门窗之间的线面关系，以达到最佳的使用效果。
此外，教师还可以邀请学生观察和分析一些实际场景，如建筑物、景观等，引导他们发现其中的线面关系，并进行判定。
空间线面关系的判定(
所以 CDOB＝CD(OA＋AB)＝CDOA＋CD AB＝0 ， 故 CD OB ． 评注：上面证法是通过空间向量进行位置关系的判断，该命题实际是 三垂线定理.
数学应用
例 2 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，已知 E，F 分别是 BB1,CD 的中点，求 证：D1F 平面 ADE．
空间线面位置关系的判定
情境问题
问题：在“立体几何初步”一章中，我们研究了空间两条直线、直线与平 面、平面与平面的位置关系．那么，我们能不能用直线的方向向量和平面法向 量来刻画空间线面的关系呢？
数学应用
例 1 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂 直，那么它也和这条斜线垂直．
已 知 ：如 图 ，OB 是 平 面 的 斜 线， O 为 斜 足， AB ， A 为 垂 足 ， CD ，CD OA ．
求证： CD OB ．
数学应用
证明：因为 CD OA，所以 CD OA＝0 ． 因为 AB ， CD ，
所以 AB CD ，即 CD AB CD AB＝0 ．
又平面 CDE 的一个法向量 AD ＝（0，3b，0），
由 NM AD＝0 ，得到 NM AD ．
因为 MN 不在平面 CDE 内，所以 MN//平面 CDE．
课堂小结
本节课学习了哪些内容？ （1）用向量方法证明空间线面关系的一些定理； （2）学会用向量方法判定空间线面的垂直关系．
所示空间直角坐标系．则：B（3a，0，0），D（0，3b，0），F（0，0，3c），E（0，3b，3c）
所以 BD ＝（－3a，3b，0）， EA ＝（0，－3b，－3c），
因为 BM
＝1 3
BD
＝（－a，b，0），
高中数学 空间点、线、面的位置关系
(2)证明两直线为异面直线的方法: ①定义法(不易操作); ②反证法:先假设两条直线共面,由假设出发,经过推理导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线为 异面直线; ③利用结论:过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线. (3)异面直线所成的角:
①范围: 0, ; 2
空间点、线、面的位置关系
知识清单
一、平面的基本性质 1.三个公理的用途 公理1:证明“点在面内”或“线在面内”; 公理2:①判断两个平面是否重合;②确定一个平面;③证明点、线共面; 公理3:①证明三点共线、三线共点;②确定两平面的交线. 2.对公理2及推论中“有且只有一个平面”的理解:平面存在,而且唯一,“有且只有”有时也说 成“确定”.
例1 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.
求证:(1)E、C、D1、F四点共面; (2)CE、D1F、DA三线共点.
解题导引 (1)证明EF∥A1B 证明EF∥CD1 E、C、D1、F四点共面 (2)先证直线D1F与CE相交 再证交点在直线DA上 三线共点,结论成立 证明 (1)如图所示,连接CD1、EF、A1B, ∵E、F分别是AB和AA1的中点, ∴FE∥A1B且EF= A1B. ∵A1D1������ BC,∴四边形A1BCD1是平行四边形, ∴A1B∥D1C,∴FE∥D1C, ∴EF与CD1可确定一个平面,即E、C、D1、F四点共面.
突破方法
方法1 证明点共线、线共点及点线共面的方法
(1)证明点共线的方法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理3证明这 些点都在这两个平面的交线上. (2)证明多线共点的方法:证明若干条线共点的基本思路是先找出两条直线的交点,再证明其他 直线都经过该点.证明一条直线过一点的方法是证明该点是以该直线为交线的两个平面的公共 点. (3)证明点线共面的方法:①纳入平面法:先确定一个平面,再证点、线在该平面内;②辅助平面法: 先证一些点、线确定平面α,再证其余点、线确定平面β,最后证明平面α、β重合.
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§13.8 空间线面关系的判定
教学目标: 1.能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系；
2.能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理；
3.能用向量方法判断空间线面垂直关系。
教学过程: 一、创设情景
1.空间直线与平面平行与垂直的定义及判定
2.直线的方向向量与平面的法向量的定义 二、建构数学
1.用向量描述空间线面关系
设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面21,αα的法向量分别为21,n n ，
平 行
垂 直
1l 与2l 21//e e
21e e ⊥
1l 与1α
11n e ⊥ 11//n e 1α与2α
21//n n
21n n ⊥
2.相关说明：
上表给出了用向量研究空间线线、线面、面面位置关系的方法，判断的依据是相关的判定 与性质，要理解掌握。
三、数学运用
例1.如图，在直三棱柱111C B A ABC -中,090=∠ACB ，
30=∠BAC ，1=BC ,61=A A ,
M 是棱1CC 的中点。
求证：B A 1AM ⊥
例2.如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线
BD ，AE 上，且BM=31BD ，AN=3
1
AE 。
求证：MN//平面CDE
例3.已知正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为1BB ，CD 的中点，
求证：⊥F D 1平面ADE。