沈阳学生世界数学团体锦标赛夺三座金杯-2019年教学文档
2019年辽宁省沈阳市中考数学试卷(含答案解析版)
2019年辽宁省沈阳市中考数学试卷一、选择题二、1．（2.00分）（2018•沈阳）下列各数中是有理数是（）3A．πB．0 C．√2D．√52．（2.00分）（2018•沈阳）辽宁男蓝夺冠后，从4月21日至24日各类媒体体关于“辽篮CBA夺冠”的相关文章达到81000篇，将数据81000用科学记数法表示为（）A．0.81×104B．0.81×106C．8.1×104D．8.1×1063．（2.00分）（2018•沈阳）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．4．（2.00分）（2018•沈阳）在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是（）A．（4，1） B．（﹣1，4）C．（﹣4，﹣1）D．（﹣1，﹣4）5．（2.00分）（2018•沈阳）下列运算错误的是（）A．（m2）3=m6B．a10÷a9=a C．x3•x5=x8D．a4+a3=a76．（2.00分）（2018•沈阳）如图，AB∥CD，EF∥GH，∠1=60°，则∠2补角的度数是（）A．60°B．100°C．110° D．120°7．（2.00分）（2018•沈阳）下列事件中，是必然事件的是（）A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数B．13个人中至少有两个人生肖相同C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯D．明天一定会下雨8．（2.00分）（2018•沈阳）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k和b的取值范围是（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜09．（2.00分）（2018•沈阳）点A（﹣3，2）在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，则k的值是（）A．﹣6 B．﹣32C．﹣1 D．610．（2.00分）（2018•沈阳）如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2√2，则AB̂的长是（）A．πB．32πC．2πD．12π二、细心填一填11．（3.00分）（2018•沈阳）因式分解：3x3﹣12x=．12．（3.00分）（2018•沈阳）一组数3，4，7，4，3，4，5，6，5的众数是．13．（3.00分）（2018•沈阳）化简：2aa−4﹣1a−2=．14．（3.00分）（2018•沈阳）不等式组{x−2＜03x+6≥0的解集是．15．（3.00分）（2018•沈阳）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB=m时，矩形土地ABCD的面积最大．16．（3.00分）（2018•沈阳）如图，△ABC是等边三角形，AB=√7，点D是边BC 上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH=．三、解答题题（17题6分，18-19题各8分，请认真读题）17．（6.00分）（2018•沈阳）计算：2tan45°﹣|√2﹣3|+（12）﹣2﹣（4﹣π）0．18．（8.00分）（2018•沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是．19．（8.00分）（2018•沈阳）经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．四、解答题20．（8.00分）（2018•沈阳）九年三班的小雨同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调查（每名学生必只能选择一门课程）．将获得的数据整理绘制如下两幅不完整的统计图．据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中一共抽取了名学生，m的值是．（2）请根据据以上信息直在答题卡上补全条形统计图；（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是度；（4）若该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．21．（8.00分）（2018•沈阳）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．六、22．（10.00分）（2018•沈阳）如图，BE 是O 的直径，点A 和点D 是⊙O 上的两点，过点A 作⊙O 的切线交BE 延长线于点．（1）若∠ADE=25°，求∠C 的度数；（2）若AB=AC ，CE=2，求⊙O 半径的长．七、解答题八、23．（10.00分）（2018•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，点F 的坐标为（0，10）．点E 的坐标为（20，0），直线l 1经过点F 和点E ，直线l 1与直线l 2 、y=34x 相交于点P ．（1）求直线l 1的表达式和点P 的坐标；（2）矩形ABCD 的边AB 在y 轴的正半轴上，点A 与点F 重合，点B 在线段OF 上，边AD 平行于x 轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD 沿射线FE 的方向平移，边AD 始终与x 轴平行．已知矩形ABCD 以每秒√5个单位的速度匀速移动（点A 移动到点E 时止移动），设移动时间为t 秒（t ＞0）．①矩形ABCD 在移动过程中，B 、C 、D 三点中有且只有一个顶点落在直线l 1或l 2上，请直接写出此时t 的值；②若矩形ABCD 在移动的过程中，直线CD 交直线l 1于点N ，交直线l 2于点M ．当△PMN 的面积等于18时，请直接写出此时t 的值．八、24．（12.00分）（2018•沈阳）已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°．点M在边AC上，点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E 在直线AN上，且AE=DE．（1）如图，当∠ACB=90°时①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数；（2）当∠ACB=α，其它多件不变时，∠BDE的度数是（用含α的代数式表示）（3）若△ABC是等边三角形，AB=3√3，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．九、解答题十、25．（12.00分）（2018•沈阳）如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx ﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t 与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．2018年辽宁省沈阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题2分，共20分）1．（2.00分）（2018•沈阳）下列各数中是有理数的是（）3A．πB．0 C．√2D．√5【考点】27：实数．【专题】511：实数．【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小，可得答案．【解答】解：A、π是无限不循环小数，属于无理数，故本选项错误；B、0是有理数，故本选项正确；C、√2是无理数，故本选项错误；3无理数，故本选项错误；D、√5故选：B．【点评】本题考查了有理数，有限小数或无限循环小数是有理数．2．（2.00分）（2018•沈阳）辽宁男蓝夺冠后，从4月21日至24日各类媒体体关于“辽篮CBA夺冠”的相关文章达到81000篇，将数据81000用科学记数法表示为（）A．0.81×104B．0.81×106C．8.1×104D．8.1×106【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【专题】1 ：常规题型．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将81000用科学记数法表示为：8.1×104．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（2.00分）（2018•沈阳）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【专题】55：几何图形．【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．【解答】解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1．左视图如下：故选：D．【点评】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．4．（2.00分）（2018•沈阳）在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是（）A．（4，1） B．（﹣1，4）C．（﹣4，﹣1）D．（﹣1，﹣4）【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号进而得出答案．【解答】解：∵点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，∴点A的坐标是：（4，1）．故选：A．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．5．（2.00分）（2018•沈阳）下列运算错误的是（）A．（m2）3=m6B．a10÷a9=a C．x3•x5=x8D．a4+a3=a7【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．【专题】11 ：计算题．【分析】直接利用合并同类项法则以及单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的除法运算法则化简求出即可．【解答】解：A、（m2）3=m6，正确；B、a10÷a9=a，正确；C、x3•x5=x8，正确；D、a4+a3=a4+a3，错误；故选：D．【点评】此题主要考查了合并同类项法则以及单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的除法运算法则等知识，正确掌握运算法则是解题关键．6．（2.00分）（2018•沈阳）如图，AB∥CD，EF∥GH，∠1=60°，则∠2补角的度数是（）A．60°B．100°C．110° D．120°【考点】IL：余角和补角；JA：平行线的性质．【专题】551：线段、角、相交线与平行线．【分析】根据平行线的性质比较多定义求解即可；【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠EFH，∵EF∥GH，∴∠2=∠EFH，∴∠2=∠1=60°，∴∠2的补角为120°，故选：D．【点评】本题考查平行线的性质、补角和余角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（2.00分）（2018•沈阳）下列事件中，是必然事件的是（）A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数B．13个人中至少有两个人生肖相同C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯D．明天一定会下雨【考点】X1：随机事件．【专题】543：概率及其应用．【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．【解答】解：A、“任意买一张电影票，座位号是2的倍数”是随机事件，故此选项错误；B、“13个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件，故此选项正确；C、“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”是随机事件，故此选项错误；D、“明天一定会下雨”是随机事件，故此选项错误；故选：B．【点评】考查了随机事件．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．8．（2.00分）（2018•沈阳）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k和b的取值范围是（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．【专题】53：函数及其图象．【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞0．故选：C．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时图象在一、二、四象限．9．（2.00分）（2018•沈阳）点A（﹣3，2）在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，则k的值是（）A．﹣6 B．﹣32C．﹣1 D．6【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】33 ：函数思想．【分析】根据点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值，此题得解．【解答】解：∵A（﹣3，2）在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，∴k=（﹣3）×2=﹣6．故选：A ．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上所有点的坐标均满足该函数的解析式．10．（2.00分）（2018•沈阳）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，AB=2√2，则AB̂的长是（ ）A ．πB ．32πC ．2πD ．12π 【考点】LE ：正方形的性质；MN ：弧长的计算．【专题】1 ：常规题型．【分析】连接OA 、OB ，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO ，根据弧长公式求出即可．【解答】解：连接OA 、OB ，∵正方形ABCD 内接于⊙O ，∴AB=BC=DC=AD ，∴AB ̂=BC ̂=DC ̂=AD ̂， ∴∠AOB=14×360°=90°， 在Rt △AOB 中，由勾股定理得：2AO 2=（2√2）2，解得：AO=2，∴AB ̂的长为90π×2180=π， 故选：A ．【点评】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠AOB 的度数和OA 的长是解此题的关键．二、细心填一填（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，请把答案填在答題卷相应题号的横线上）11．（3.00分）（2018•沈阳）因式分解：3x3﹣12x=3x（x+2）（x﹣2）．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提公因式3x，然后利用平方差公式即可分解．【解答】解：3x3﹣12x=3x（x2﹣4）=3x（x+2）（x﹣2）故答案是：3x（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．12．（3.00分）（2018•沈阳）一组数3，4，7，4，3，4，5，6，5的众数是4．【考点】W5：众数．【专题】1 ：常规题型；542：统计的应用．【分析】根据众数的定义求解可得．【解答】解：在这组数据中4出现次数最多，有3次，所以这组数据的众数为4，故答案为：4．【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．13．（3.00分）（2018•沈阳）化简：2aa2−4﹣1a−2=1a+2．【考点】6B：分式的加减法．【专题】11 ：计算题；513：分式．【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式=2a(a+2)(a−2)﹣a+2(a+2)(a−2)=a−2(a+2)(a−2)=1a+2，故答案为：1a+2【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（3.00分）（2018•沈阳）不等式组{x−2＜03x+6≥0的解集是﹣2≤x＜2．【考点】CB：解一元一次不等式组．【专题】11 ：计算题；524：一元一次不等式(组)及应用．【分析】先求出两个不等式的解集，再求不等式组的公共解．【解答】解：解不等式x﹣2＜0，得：x＜2，解不等式3x+6≥0，得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜2，故答案为：﹣2≤x＜2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．15．（3.00分）（2018•沈阳）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB=150m时，矩形土地ABCD的面积最大．【考点】HE：二次函数的应用．【专题】12 ：应用题．【分析】根据题意可以用相应的代数式表示出矩形绿地的面积；即可解答本题．【解答】解：（1）设AB=xm，则BC=12（900﹣3x），由题意可得，S=AB×BC=x×12（900﹣3x）=﹣32（x2﹣300x）=﹣32（x﹣150）2+33750∴当x=150时，S取得最大值，此时，S=33750，∴AB=150m，故答案为：150．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的顶点式求函数的最值．16．（3.00分）（2018•沈阳）如图，△ABC是等边三角形，AB=√7，点D是边BC 上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH=13．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．【专题】11 ：计算题．【分析】作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，利用等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再证明∠ABH=∠CAH，则可根据“AAS”证明△ABE≌△CAH，所以BE=AH，AE=CH，在Rt△AHE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HE=12 AH，AE=√32AH，则CH=√32AH，于是在Rt△AHC中利用勾股定理可计算出AH=2，从而得到BE=2，HE=1，AE=CH=√3，BH=1，接下来在Rt△BFH中计算出HF=12，BF=√32，然后证明△CHD∽△BFD，利用相似比得到HDFD=2，从而利用比例性质可得到DH的长．【解答】解：作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°，∠BAH+∠CAH=60°，∴∠ABH=∠CAH ，在△ABE 和△CAH 中{∠AEB =∠AHC ∠ABE =∠CAH AB =CA，∴△ABE ≌△CAH ，∴BE=AH ，AE=CH ，在Rt △AHE 中，∠AHE=∠BHD=60°，∴sin ∠AHE=AE AH ，HE=12AH ， ∴AE=AH•sin60°=√32AH ， ∴CH=√32AH ， 在Rt △AHC 中，AH 2+（√32AH ）2=AC 2=（√7）2，解得AH=2， ∴BE=2，HE=1，AE=CH=√3， ∴BH=BE ﹣HE=2﹣1=1，在Rt △BFH 中，HF=12BH=12，BF=√32， ∵BF ∥CH ，∴△CHD ∽△BFD ，∴HD FD =CH BF =√3√32=2， ∴DH=23HF=23×12=13． 故答案为13．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质．三、解答题题（17题6分，18-19题各8分，请认真读题）17．（6.00分）（2018•沈阳）计算：2tan45°﹣|√2﹣3|+（12）﹣2﹣（4﹣π）0．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=2×1﹣（3﹣√2）+4﹣1=2﹣3+√2+4﹣1=2+√2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（8.00分）（2018•沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是4．【考点】L8：菱形的性质；LD：矩形的判定与性质．【专题】556：矩形菱形正方形．【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD=90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，∴菱形ABCD的面积为：12AC•BD=12×4×2=4．故答案是：4．【点评】考查了矩形的判定与性质，菱形的性质．此题中，矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明有一内角为直角．19．（8.00分）（2018•沈阳）经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．【考点】X6：列表法与树状图法．【专题】1 ：常规题型；543：概率及其应用．【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出“至少有一人直行”的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两人之中至少有一人直行的结果数为5，所以两人之中至少有一人直行的概率为5 9．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．四、解答题（每题8分，请认真读题）20．（8.00分）（2018•沈阳）九年三班的小雨同学想了解本校九年级学生对哪门课程感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调查（每名学生必只能选择一门课程）．将获得的数据整理绘制如下两幅不完整的统计图．据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中一共抽取了50名学生，m的值是18．（2）请根据据以上信息直在答题卡上补全条形统计图；（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是108度；（4）若该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．【专题】54：统计与概率．【分析】（1）根据统计图化学对应的数据和百分比可以求得这次调查的学生数，进而求得m的值；（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据可以求得选择数学的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计图中的数据可以求得“数学”所对应的圆心角度数；（4）根据统计图中的数据，可以求得该校九年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．【解答】解：（1）在这次调查中一共抽取了：10÷20%=50（名）学生， m%=9÷50×100%=18%，故答案为：50，18；（2）选择数学的有；50﹣9﹣5﹣8﹣10﹣3=15（名），补全的条形统计图如右图所示；（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是：360°×1550=108°， 故答案为：108；（4）1000×1550=300（名）， 答：该校九年级学生中有300名学生对数学感兴趣．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．（8.00分）（2018•沈阳）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【考点】AD ：一元二次方程的应用．【专题】34 ：方程思想；523：一元二次方程及应用．【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%．（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元）．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．五、解答题（本题10）22．（10.00分）（2018•沈阳）如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点．（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．【考点】KQ：勾股定理；M5：圆周角定理；MC：切线的性质．【专题】55：几何图形．【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；（2）根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）连接OA，∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA ⊥AC ，∴∠OAC=90°，∵AÊ=AE ̂，∠ADE=25°， ∴∠AOE=2∠ADE=50°，∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；（2）∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵AÊ=AE ̂， ∴∠AOC=2∠B ，∴∠AOC=2∠C ，∵∠OAC=90°，∴∠AOC +∠C=90°，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，∴OA=12OC ， 设⊙O 的半径为r ，∵CE=2，∴r=12(r +2)， 解得：r=2，∴⊙O 的半径为2．【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质进行解答．六、解答题（本题10分）23．（10.00分）（2018•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，点F 的坐标为（0，10）．点E 的坐标为（20，0），直线l 1经过点F 和点E ，直线l 1与直线l 2 、y=34x 相交于点P ．（1）求直线l 1的表达式和点P 的坐标；（2）矩形ABCD 的边AB 在y 轴的正半轴上，点A 与点F 重合，点B 在线段OF上，边AD 平行于x 轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD 沿射线FE 的方向平移，边AD 始终与x 轴平行．已知矩形ABCD 以每秒√5个单位的速度匀速移动（点A 移动到点E 时止移动），设移动时间为t 秒（t ＞0）．①矩形ABCD 在移动过程中，B 、C 、D 三点中有且只有一个顶点落在直线l 1或l 2上，请直接写出此时t 的值；②若矩形ABCD 在移动的过程中，直线CD 交直线l 1于点N ，交直线l 2于点M ．当△PMN 的面积等于18时，请直接写出此时t 的值．【考点】FI ：一次函数综合题．【专题】153：代数几何综合题；31 ：数形结合；32 ：分类讨论；533：一次函数及其应用．【分析】（1）利用待定系数法求解析式，函数关系式联立方程求交点；（2）①分析矩形运动规律，找到点D 和点B 分别在直线l 2上或在直线l 1上时的情况，利用AD 、AB 分别可以看成图象横坐标、纵坐标之差构造方程求点A 坐标，进而求出AF 距离；②设点A 坐标，表示△PMN 即可．【解答】解：（1）设直线l 1的表达式为y=kx +b∵直线l 1过点F （0，10），E （20，0）∴{b =1020k +b =0解得{k =−12b =10直线l 1的表达式为y=﹣12x +10 求直线l 1与直线l 2 交点，得34x=﹣12x +10 解得x=8y=34×8=6 ∴点P 坐标为（8，6）（2）①如图，当点D 在直线上l 2时∵AD=9∴点D 与点A 的横坐标之差为9∴将直线l 1与直线l 2 交解析式变为x=20﹣2y ，x=43y ∴43y ﹣（20﹣2y ）=9 解得y=8710则点A 的坐标为：（135，8710） 则AF=√(135)2+(10−8710)2=13√510 ∵点A 速度为每秒√5个单位∴t=1310如图，当点B 在l 2 直线上时∵AB=6∴点A 的纵坐标比点B 的纵坐标高6个单位∴直线l 1的解析式减去直线l 2 的解析式得﹣12x +10﹣34x=6 解得x=165则点A 坐标为（165，425） 则AF=√(165)2+(10−425)2=8√55∵点A 速度为每秒√5个单位∴t=85故t 值为1310或85②如图，设直线AB 交l 2 于点H设点A 横坐标为a ，则点D 横坐标为a +9由①中方法可知：MN=54a +54此时点P 到MN 距离为：a +9﹣8=a +1∵△PMN 的面积等于18∴12×(54a +54)⋅(a +1)=18 解得a 1=12√55−1，a 2=﹣12√55−1（舍去） ∴AF=6﹣√52则此时t 为6√55−12当t=6√55−12时，△PMN 的面积等于18 【点评】本题是代数几何综合题，应用待定系数法和根据函数关系式来表示点坐标，涉及到了分类讨论思想和数形结合思想．七、解答题（本题12分）24．（12.00分）（2018•沈阳）已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB ≤90°．点M在边AC上，点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE=DE．（1）如图，当∠ACB=90°时①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数；（2）当∠ACB=α，其它多件不变时，∠BDE的度数是α或180°﹣α（用含α的代数式表示）（3）若△ABC是等边三角形，AB=3√3，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．【考点】KY：三角形综合题．【专题】152：几何综合题．【分析】（1）①根据SAS证明即可；②想办法证明∠ADE+∠ADB=90°即可；（2）分两种情形讨论求解即可，①如图2中，当点E在AN的延长线上时，②如图3中，当点E在NA的延长线上时，（3）分两种情形求解即可，①如图4中，当BN=13BC=√3时，作AK⊥BC于K．解直角三角形即可．②如图5中，当CN=13BC=√3时，作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H．【解答】（1）①证明：如图1中，∵CA=CB，BN=AM，∴CB﹣BN=CA﹣AM即CN=CM，∵∠ACN=∠BCM∴△BCM≌△ACN．②解：如图1中，∵△BCM≌△ACN，∴∠MBC=∠NAC，∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∵AG∥BC，∴∠GAC=∠ACB=90°，∠ADB=∠DBC，∴∠ADB=∠NAC，∴∠ADB+∠EDA=∠NAC+∠EAD，∵∠ADB+∠EDA=180°﹣90°=90°，∴∠BDE=90°．（2）解：如图2中，当点E在AN的延长线上时，易证：∠CBM=∠ADB=∠CAN，∠ACB=∠CAD，∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠CAN+∠CAD=∠BDE+∠ADB，∴∠BDE=∠ACB=α．如图3中，当点E在NA的延长线上时，易证：∠1+∠2=∠CAN+∠DAC，∵∠2=∠ADM=∠CBD=∠CAN，∴∠1=∠CAD=∠ACB=α，∴∠BDE=180°﹣α．综上所述，∠BDE=α或180°﹣α．故答案为α或180°﹣α．（3）解：如图4中，当BN=13BC=√3时，作AK ⊥BC 于K ．∵AD ∥BC ，∴AD BC =AM CM =12， ∴AD=3√32，AC=3√3，易证△ADC 是直角三角形，则四边形ADCK 是矩形，△AKN ≌△DCF ，∴CF=NK=BK ﹣BN=3√32﹣√3=√32． 如图5中，当CN=13BC=√3时，作AK ⊥BC 于K ，DH ⊥BC 于H ．∵AD ∥BC ，∴AD BC =AM MC=2， ∴AD=6√3，易证△ACD 是直角三角形，由△ACK ∽△CDH ，可得CH=√3AK=9√32， 由△AKN ≌△DHF ，可得KN=FH=√32， ∴CF=CH ﹣FH=4√3．综上所述，CF 的长为√32或4√3． 【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．八、解答题（本题12分）25．（12.00分）（2018•沈阳）如图，在平面角坐标系中，抛物线C 1：y=ax 2+bx ﹣1经过点A （﹣2，1）和点B （﹣1，﹣1），抛物线C 2：y=2x 2+x +1，动直线x=t 与抛物线C 1交于点N ，与抛物线C 2交于点M ．（1）求抛物线C 1的表达式；（2）直接用含t 的代数式表示线段MN 的长；（3）当△AMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C 1与y 轴交于点P ，点M 在y 轴右侧的抛物线C 2上，连接AM 交y 轴于点k ，连接KN ，在平面内有一点Q ，连接KQ 和QN ，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP 时，请直接写出点Q 的坐标．【考点】HF ：二次函数综合题．【专题】153：代数几何综合题；16 ：压轴题；537：函数的综合应用；558：平移、旋转与对称．【分析】（1）应用待定系数法；。
2019年辽宁省沈阳市中考数学试题及答案解析版
2019年省市中考数学试卷〔总分120分〕一、选择题〔每题2分，共20分〕 1．〔2分〕﹣5的相反数是〔 〕 A ．5B ．﹣5C ．51D ．512．〔2分〕2019年1月1日起我国开场贯彻?国务院关于印发个人所得税专项附加扣除暂行方法的通知?的要求，此次减税围广，其中有6500万人减税70%以上，将数据6500用科学记数法表示为〔 〕 A ．6.5×102B ．6.5×103C ．65×103D ．0.65×1043．〔2分〕如图是由五个一样的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是〔 〕4．〔2分〕以下说确的是〔 〕A ．假设甲、乙两组数据的平均数一样，S 甲2＝0.1，S 乙2＝0.04，那么乙组数据较稳定 B ．如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨 C ．了解全国中学生的节水意识应选用普查方式 D ．早上的太阳从西方升起是必然事件 5．〔2分〕以下运算正确的选项是〔 〕 A ．2m 3+3m 2＝5m 5B ．m 3÷m 2＝mC ．m •〔m 2〕3＝m 6D ．〔m ﹣n 〕〔n ﹣m 〕＝n 2﹣m 26．〔2分〕某青少年篮球队有12名队员，队员的年龄情况统计如下：年龄〔岁〕 12 13 14 15 16 人数31251那么这12名队员年龄的众数和中位数分别是〔 〕 A ．15岁和14岁B ．15岁和15岁 C ．15岁和14.5岁D ．14岁和15岁7．〔2分〕△ABC ∽△A 'B 'C '，AD 和A 'D '是它们的对应中线，假设AD ＝10，A 'D '＝6，那么△ABC 与△A 'B 'C '的周长比是〔 〕A ．3：5B ．9：25C ．5：3D ．25：98．〔2分〕一次函数y ＝〔k +1〕x +b 的图象如下图，那么k 的取值围是〔 〕A ．k ＜0B ．k ＜﹣1C ．k ＜1D ．k ＞﹣19．〔2分〕如图，AB 是⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上位于直径AB 两侧的点，连接AC ，AD ，BD ，CD ，假设⊙O 的半径是13，BD ＝24，那么sin ∠ACD 的值是〔 〕 A ．1312B ．512C ．125D ．13510．〔2分〕二次函数y ＝ax 2+bx +c 〔a ≠0〕的图象如下图，那么以下结论正确的选项是〔 〕A ．abc ＜0B ．b 2﹣4ac ＜0C ．a ﹣b +c ＜0D ．2a +b ＝0 二、填空题〔每题3分，共18分〕 11．〔3分〕因式分解：﹣x 2﹣4y 2+4xy ＝． 12．〔3分〕二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-52323y x y x 的解是．13．〔3分〕一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都一样．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有个白球． 14．〔3分〕如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，假设AD ＝BC ＝52，那么四边形EGFH 的周长是．15．〔3分〕如图，正比例函数y 1＝k 1x 的图象与反比例函数y 2＝xk 2〔x ＞0〕的图象相交于点A 〔3，23〕，点B 是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB ，AB ，那么△AOB 的面积是．16．〔3分〕如图，形ABCD 的对角线AC 上有一点E ，且CE ＝4AE ，点F 在DC 的延长线上，连接EF ，过点E 作EG ⊥EF ，交CB 的延长线于点G ，连接GF 并延长，交AC 的延长线于点P ，假设AB ＝5，CF ＝2，那么线段EP 的长是．三、解答题〔第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分〕17．〔6分〕计算：02)2019(|31|30cos 221-+-︒-+⎪⎭⎫⎝⎛--π18．〔8分〕为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面开展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团〔分别用字母A ，B ，C ，D 依次表示这四个社团〕，并把这四个字母分别写在四完全一样的不透明的卡片的正面上，然后将这四卡片反面朝上洗匀后放在桌面上． 〔1〕小明从中随机抽取一卡片是足球社团B 的概率是．〔2〕小明先从中随机抽取一卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一是科技社团D 的概率．19．〔8分〕如图，在四边形ABCD 中，点E 和点F 是对角线AC 上的两点，AE ＝CF ，DF ＝BE ，且DF ∥BE ，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ．〔1〕求证：四边形ABCD 是平行四边形； 〔2〕假设tan ∠CAB ＝52，∠CBG ＝45°，BC ＝42，那么▱ABCD 的面积是．四、〔每题8分，共16分〕20．〔8分〕“勤劳〞是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了局部同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x 小时，将做家务的总时间分为五个类别：A 〔0≤x ＜10〕，B 〔10≤x ＜20〕，C 〔20≤x ＜30〕，D 〔30≤x ＜40〕，E 〔x ≥40〕．并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答以下问题： 〔1〕本次共调查了名学生；〔2〕请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；〔3〕扇形统计图中m 的值是，类别D 所对应的扇形圆心角的度数是度；〔4〕假设该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．21．〔8分〕2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购置甲、乙两种树苗，用800元购置甲种树苗的棵数与用680元购置乙种树苗的棵数一样，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元． 〔1〕求甲种树苗每棵多少元？〔2〕假设准备用3800元购置甲、乙两种树苗共100棵，那么至少要购置乙种树苗多少棵？五、〔此题10分〕22．〔10分〕如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，直线MN 与⊙O 相切于点C ，过点B 作BD ⊥MN 于点D ． 〔1〕求证：∠ABC ＝∠CBD ； 〔2〕假设BC ＝45，CD ＝4，那么⊙O 的半径是．六、〔此题10分〕23．〔10分〕在平面直角坐标系中，直线y ＝kx +4〔k ≠0〕交x 轴于点A 〔8，0〕，交y 轴于点B ．〔1〕k 的值是；〔2〕点C 是直线AB 上的一个动点，点D 和点E 分别在x 轴和y 轴上．①如图，点E 为线段OB 的中点，且四边形OCED 是平行四边形时，求▱OCED 的周长； ②当CE 平行于x 轴，CD 平行于y 轴时，连接DE ，假设△CDE 的面积为433，请直接写出点C 的坐标．七、〔此题12分〕24．〔12分〕思维启迪：〔1〕如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个方法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P〔点P可以直接到达A点〕，利用工具过点C作CD∥AB 交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．思维探索：〔2〕在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置〔此时点B和点D位于AC的两侧〕，设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图2，当△ADE在起始位置时，猜测：PC与PE的数量关系和位置关系分别是；②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α＝150°时，假设BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值．八、〔此题12分〕25．〔12分〕如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2〔a≠0〕与x轴交于A，B两点〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C，抛物线经过点D〔﹣2，﹣3〕和点E〔3，2〕，点P是第一象限抛物线上的一个动点．〔1〕求直线DE和抛物线的表达式；〔2〕在y轴上取点F〔0，1〕，连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；2，〔3〕在〔2〕的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N〔点M在点N的上方〕，且MN＝2动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．2019年省市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题〔以下各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每题2分，共20分〕 1．〔2分〕﹣5的相反数是〔 〕 A ．5B ．﹣5C ．51D ．51【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【解答】解：﹣5的相反数是5， 应选：A ．【点评】此题考察了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．〔2分〕2019年1月1日起我国开场贯彻?国务院关于印发个人所得税专项附加扣除暂行方法的通知?的要求，此次减税围广，其中有6500万人减税70%以上，将数据6500用科学记数法表示为〔 〕 A ．6.5×102B ．6.5×103C ．65×103D ．0.65×104【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数一样．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【解答】解：6500＝6.5×103， 应选：B ．【点评】此题考察科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．〔2分〕如图是由五个一样的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是〔 〕【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看易得上面一层有3个形，下面左边有一个形．应选：A．【点评】此题考察了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．4．〔2分〕以下说确的是〔〕A．假设甲、乙两组数据的平均数一样，S甲2＝0.1，S乙2＝0.04，那么乙组数据较稳定B．如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨C．了解全国中学生的节水意识应选用普查方式D．早上的太阳从西方升起是必然事件【分析】根据方差、概率、全面调查和抽样调查以及随机事件的意义分别对每一项进展分析即可得出答案．【解答】解：A、∵S甲2＝0.1，S乙2＝0.04，∴S甲2＞S乙2，∴乙组数据较稳定，故本选项正确；B、明天降雨的概率是50%表示降雨的可能性，故此选项错误；C、了解全国中学生的节水意识应选用抽样调查方式，故本选项错误；D、早上的太阳从西方升起是不可能事件，故本选项错误；应选：A．【点评】此题考察了方差、概率、全面调查和抽样调查以及随机事件，熟练掌握定义是解题的关键．5．〔2分〕以下运算正确的选项是〔〕A．2m3+3m2＝5m5B．m3÷m2＝mC．m•〔m2〕3＝m6D．〔m﹣n〕〔n﹣m〕＝n2﹣m2【分析】根据合并同类项、幂的乘法除法、幂的乘方、完全平方公式分别计算即可．【解答】解：A.2m3+3m2＝5m5，不是同类项，不能合并，故错误；B．m3÷m2＝m，正确；C．m•〔m2〕3＝m7，故错误；D．〔m﹣n〕〔n﹣m〕＝﹣〔m﹣n〕2＝﹣n2﹣m2+2mn，故错误．应选：B．【点评】此题考察了整式的运算，熟练掌握合并同类项、幂的乘除法、幂的乘方、完全平方公式是解题的关键．6．〔2分〕某青少年篮球队有12名队员，队员的年龄情况统计如下：那么这12名队员年龄的众数和中位数分别是〔〕A．15岁和14岁B．15岁和15岁C．15岁和14.5岁D．14岁和15岁【分析】众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解．【解答】解：在这12名队员的年龄数据里，15岁出现了5次，次数最多，因而众数是14512名队员的年龄数据里，第6和第7个数据的平均数21514＝14.5，因而中位数是14.5．应选：C．【点评】此题考察了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，那么正中间的数字即为所求，如果是偶数个那么找中间两位数的平均数．7．〔2分〕△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，假设AD＝10，A'D'＝6，那么△ABC与△A'B'C'的周长比是〔〕A．3：5B．9：25C．5：3D．25：9【分析】相似三角形的周长比等于对应的中线的比．【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，∴△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3．应选：C．【点评】此题考察相似三角形的性质，解题的关键是记住相似三角形的性质，灵活运用所学知识解决问题．8．〔2分〕一次函数y＝〔k+1〕x+b的图象如下图，那么k的取值围是〔〕A．k＜0B．k＜﹣1C．k＜1D．k＞﹣1【分析】根据一次函数的增减性确定有关k的不等式，求解即可．【解答】解：∵观察图象知：y随x的增大而减小，∴k+1＜0，解得：k＜﹣1，应选：B．【点评】考察了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是了解系数对函数图象的影响，难度不大．9．〔2分〕如图，AB 是⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上位于直径AB 两侧的点，连接AC ，AD ，BD ，CD ，假设⊙O 的半径是13，BD ＝24，那么sin ∠ACD 的值是〔 〕 A ．1312B ．512C ．125D ．135【分析】首先利用直径所对的圆周角为90°得到△ABD 是直角三角形，然后利用勾股定理求得AD 边的长，然后求得∠B 的正弦即可求得答案． 【解答】解：∵AB 是直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵⊙O 的半径是13， ∴AB ＝2×13＝26， 由勾股定理得：AD ＝10， ∴sin ∠B ＝1352610==AB AD ∵∠ACD ＝∠B ， ∴sin ∠ACD ＝sin ∠B ＝135， 应选：D ．【点评】此题考察了圆周角定理及解直角三角形的知识，解题的关键是能够得到直角三角形并利用锐角三角函数求得一个锐角的正弦值，难度不大．10．〔2分〕二次函数y ＝ax 2+bx +c 〔a ≠0〕的图象如下图，那么以下结论正确的选项是〔 〕A ．abc ＜0B ．b 2﹣4ac ＜0C ．a ﹣b +c ＜0D ．2a +b ＝0【分析】由图可知a ＞0，与y 轴的交点c ＜0，对称轴x ＝1，函数与x 轴有两个不同的交点，当x ＝﹣1时，y ＞0；【解答】解：由图可知a ＞0，与y 轴的交点c ＜0，对称轴x ＝1， ∴b ＝﹣2a ＜0； ∴abc ＞0，A 错误；由图象可知，函数与x 轴有两个不同的交点，∴△＞0，B 错误；当x ＝﹣1时，y ＞0，〔由图像关于对称轴对称可知〕 ∴a ﹣b +c ＞0，C 错误； ∵b ＝﹣2a ，D 正确； 应选：D ．【点评】此题考察二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够从给出的图象上获取信息确定a ，b ，c ，△，对称轴之间的关系是解题的关键． 二、填空题〔每题3分，共18分〕11．〔3分〕因式分解：﹣x 2﹣4y 2+4xy ＝ ﹣〔x ﹣2y 〕2．【分析】先提取公因式﹣1，再套用公式完全平方公式进展二次因式分解． 【解答】解：﹣x 2﹣4y 2+4xy ， ＝﹣〔x 2+4y 2﹣4xy 〕， ＝﹣〔x ﹣2y 〕2．【点评】此题考察利用完全平方公式分解因式，先提取﹣1是利用公式的关键．12．〔3分〕二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-52323y x y x 的解是⎩⎨⎧==5.12y x ．【分析】通过观察可以看出y 的系数互为相反数，故①+②可以消去y ，解得x 的值，再把x 的值代入①或②，都可以求出y 的值． 【解答】解：⎩⎨⎧=+=-②52①323y x y x ，①+②得：4x ＝8， 解得x ＝2，把x ＝2代入②中得：2+2y ＝5， 解得y ＝1.5， 所以原方程组的解为⎩⎨⎧==5.12y x ．故答案为⎩⎨⎧==5.12y x ．【点评】此题主要考察了二元一次方程组的解法，解题的关键是消元，消元的方法有两种：①加减法消元，②代入法消元．13．〔3分〕一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都一样．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有 3 个白球．【分析】从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 【解答】解：由题意可得，红球的概率为70%．那么白球的概率为30%， 这个口袋中白球的个数：10×30%＝3〔个〕， 故答案为3．【点评】此题考察了用样本估计总体，正确理解概率的意义是解题的关键．14．〔3分〕如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，假设AD ＝BC ＝25，那么四边形EGFH 的周长是 45．【分析】根三角形的中位线定理即可求得四边形EFGH 的各边长，从而求得周长． 【解答】证明：∵E 、G 是AB 和AC 的中点，∴EG ＝21BC ＝55221=⨯， 同理HF ＝21BC ＝5，EH ＝GF ＝21AD ＝55221=⨯．∴四边形EGFH 的周长是：4×5＝45． 故答案为：45．【点评】此题考察了三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 15．〔3分〕如图，正比例函数y 1＝k 1x 的图象与反比例函数y 2＝xk 2〔x ＞0〕的图象相交于点A 〔3，23〕，点B 是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB ，AB ，那么△AOB 的面积是 23．【分析】把点A 〔3，23〕代入y 1＝k 1x 和y 2＝xk 2〔x ＞0〕可求出k 1、k 2的值，即可正比例函数和求出反比例函数的解析式，过点B 作BD ∥x 轴交OA 于点D ，结合点B 的坐标即可得出点D 的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△AOB 的面积．【解答】解：〔1〕∵正比例函数y 1＝k 1x 的图象与反比例函数y 2＝xk 2〔x ＞0〕的图象相交于点A 〔3，23〕， ∴23＝3k 1，23＝31k ， ∴k 1＝2，k 2＝6，∴正比例函数为y ＝2x ，反比例函数为：y ＝x6， ∵点B 是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3， ∴y ＝36＝2， ∴B 〔3，2〕， ∴D 〔1，2〕， ∴BD ＝3﹣1＝2． ∴S △AOB ＝S △ABD +S △OBD ＝21×2×〔23﹣2〕+21×2×2＝23， 故答案为23．【点评】此题考察了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例〔一次〕函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；利用分割图形求面积法求出△AOB 的面积．16．〔3分〕如图，形ABCD 的对角线AC 上有一点E ，且CE ＝4AE ，点F 在DC 的延长线上，连接EF ，过点E 作EG ⊥EF ，交CB 的延长线于点G ，连接GF 并延长，交AC 的延长线于点P ，假设AB ＝5，CF ＝2，那么线段EP的长是2213． 【分析】如图，作FH ⊥PE 于H ．利用勾股定理求出EF ，再证明△CEF ∽△FEP ，可得EF 2＝EC •EP ，由此即可解决问题．【解答】解：如图，作FH ⊥PE 于H ．∵四边形ABCD 是形，AB ＝5， ∴AC ＝52，∠ACD ＝∠FCH ＝45°， ∵∠FHC ＝90°，CF ＝2， ∴CH ＝HF ＝2，∵CE ＝4AE ，∴EC ＝42，AE ＝2， ∴EH ＝52，在Rt △EFH 中，EF 2＝EH 2+FH 2＝〔52〕2+〔2〕2＝52， ∵∠GEF ＝∠GCF ＝90°， ∴E ，G ，F ，C 四点共圆， ∴∠EFG ＝∠ECG ＝45°， ∴∠ECF ＝∠EFP ＝135°， ∵∠CEF ＝∠FEP ， ∴△CEF ∽△FEP ， ∴EFECEP EF =， ∴EF 2＝EC •EP ，∴EP ＝22132452= 故答案为2213． 【点评】此题考察形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题〔第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分〕17．〔6分〕计算：02)2019(3130cos 221-+--︒+⎪⎭⎫⎝⎛--π【分析】直接利用负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝4+2×23﹣3+1+1＝6． 【点评】此题主要考察了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．〔8分〕为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面开展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团〔分别用字母A ，B ，C ，D 依次表示这四个社团〕，并把这四个字母分别写在四完全一样的不透明的卡片的正面上，然后将这四卡片反面朝上洗匀后放在桌面上．〔1〕小明从中随机抽取一卡片是足球社团B 的概率是41． 〔2〕小明先从中随机抽取一卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一是科技社团D 的概率． 【分析】〔1〕直接根据概率公式求解；〔2〕利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一是科技社团D 的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：〔1〕小明从中随机抽取一卡片是足球社团B 的概率＝41； 〔2〕列表如下：由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一是科技社团D 的结果数为6种， 所以小明两次抽取的卡片中有一是科技社团D 的概率为21126 . 【点评】此题考察了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率19．〔8分〕如图，在四边形ABCD 中，点E 和点F 是对角线AC 上的两点，AE ＝CF ，DF ＝BE ，且DF ∥BE ，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ． 〔1〕求证：四边形ABCD 是平行四边形； 〔2〕假设tan ∠CAB ＝52，∠CBG ＝45°，BC ＝42，那么▱ABCD 的面积是 24 ．【分析】〔1〕根据条件得到AF ＝CE ，根据平行线的性质得到∠DFA ＝∠BEC ，根据全等三角形的性质得到AD ＝CB ，∠DAF ＝∠BCE ，于是得到结论；〔2〕根据条件得到△BCG 是等腰直角三角形，求得BG ＝CG ＝4，解直角三角形得到AG ＝10，根据平行四边形的面积公式即可得到结论． 【解答】〔1〕证明：∵AE ＝CF ， ∴AE ﹣EF ＝CF ﹣EF ， 即AF ＝CE ，∵DF ∥BE ， ∴∠DFA ＝∠BEC ， ∵DF ＝BE ，∴△ADF ≌△CBE 〔SAS 〕， ∴AD ＝CB ，∠DAF ＝∠BCE ， ∴AD ∥CB ，∴四边形ABCD 是平行四边形； 〔2〕解：∵CG ⊥AB ， ∴∠G ＝90°， ∵∠CBG ＝45°，∴△BCG 是等腰直角三角形， ∵BC ＝42， ∴BG ＝CG ＝4， ∵tan ∠CAB ＝52， ∴AG ＝10， ∴AB ＝6，∴▱ABCD 的面积＝6×4＝24， 故答案为：24．【点评】此题考察了平行相交线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键． 四、〔每题8分，共16分〕20．〔8分〕“勤劳〞是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了局部同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x 小时，将做家务的总时间分为五个类别：A 〔0≤x ＜10〕，B 〔10≤x ＜20〕，C 〔20≤x ＜30〕，D 〔30≤x ＜40〕，E 〔x ≥40〕．并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答以下问题： 〔1〕本次共调查了 50 名学生；〔2〕请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；〔3〕扇形统计图中m 的值是 32 ，类别D 所对应的扇形圆心角的度数是 57.6 度；〔4〕假设该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．【分析】〔1〕本次共调查了10÷20%＝50〔人〕；〔2〕B 类人数：50×24%＝12〔人〕，D 类人数：50﹣10﹣12﹣16﹣4＝8〔人〕，根据此信息补全条形统计图即可； 〔3〕%1005016⨯＝32%，即m ＝32，类别D 所对应的扇形圆心角的度数360°×508＝57.6°； 〔4〕估计该校寒假在家做家务的总时间不低于20小时的学生数．800×〔1﹣20%﹣24%〕＝448〔名〕． 【解答】解：〔1〕本次共调查了10÷20%＝50〔人〕， 故答案为50；〔2〕B 类人数：50×24%＝12〔人〕，D 类人数：50﹣10﹣12﹣16﹣4＝8〔人〕，〔3〕%1005016⨯＝32%，即m ＝32， 类别D 所对应的扇形圆心角的度数360°×508＝57.6°，故答案为32，57.6；〔4〕估计该校寒假在家做家务的总时间不低于20小时的学生数． 800×〔1﹣20%﹣24%〕＝448〔名〕，答：估计该校有448名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．【点评】此题考察的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据；扇形统计图直接反映局部占总体的百分比大小．21．〔8分〕2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购置甲、乙两种树苗，用800元购置甲种树苗的棵数与用680元购置乙种树苗的棵数一样，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元． 〔1〕求甲种树苗每棵多少元？〔2〕假设准备用3800元购置甲、乙两种树苗共100棵，那么至少要购置乙种树苗多少棵？ 【分析】〔1〕根据题意列出分式方程求解即可； 〔2〕根据题意列出不等式求解即可．【解答】解：〔1〕设甲种树苗每棵x 元，根据题意得：6600800-=x x ， 解得：x ＝40，经检验：x ＝40是原方程的解， 答：甲种树苗每棵40元；〔2〕设购置乙中树苗y 棵，根据题意得： 40〔100﹣y 〕+36y ≤3800， 解得：y ≥3331， ∵y 是正整数， ∴y 最小取34，答：至少要购置乙种树苗34棵．【点评】此题考察了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，难度不大． 五、〔此题10分〕22．〔10分〕如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，直线MN 与⊙O 相切于点C ，过点B 作BD ⊥MN 于点D ． 〔1〕求证：∠ABC ＝∠CBD ；〔2〕假设BC ＝45，CD ＝4，那么⊙O 的半径是 5 ．【分析】〔1〕连接OC ，由切线的性质可得OC ⊥MN ，即可证得OC ∥BD ，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠CBD ＝∠BCO ＝∠ABC ，即可证得结论；〔2〕连接AC ，由勾股定理求得BD ，然后通过证得△ABC ∽△CBD ，求得直径AB ，从而求得半径． 【解答】〔1〕证明：连接OC ， ∵MN 为⊙O 的切线， ∴OC ⊥MN ， ∵BD ⊥MN ， ∴OC ∥BD ， ∴∠CBD ＝∠BCO ． 又∵OC ＝OB ， ∴∠BCO ＝∠ABC ， ∴∠CBD ＝∠ABC ．； 〔2〕解：连接AC ，在Rt △BCD 中，BC ＝4，CD ＝4， ∴BD ＝22CD BC -＝8， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠CDB ＝90°， ∵∠ABC ＝∠CBD ， ∴△ABC ∽△CBD ， ∴BD CB BC AB =，即85454=AB ， ∴AB ＝10， ∴⊙O 的半径是5， 故答案为5．【点评】此题考察了切线的性质和圆周六、〔此题10分〕角定理、三角形相似的判定和性质以及解直角三角形，作出辅助线构建等腰三角形、直角三角形是解题的关键．23．〔10分〕在平面直角坐标系中，直线y ＝kx +4〔k ≠0〕交x 轴于点A 〔8，0〕，交y 轴于点B ．〔1〕k 的值是21-； 〔2〕点C 是直线AB 上的一个动点，点D 和点E 分别在x 轴和y 轴上．①如图，点E 为线段OB 的中点，且四边形OCED 是平行四边形时，求▱OCED 的周长； ②当CE 平行于x 轴，CD 平行于y 轴时，连接DE ，假设△CDE 的面积为433，请直接写出点C 的坐标． 【分析】〔1〕根据点A 的坐标，利用待定系数法可求出k 值；〔2〕①利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B 的坐标，由平行四边形的性质结合点E 为OB 的中点可得出CE 是△ABO 的中位线，结合点A 的坐标可得出CE 的长，在Rt △DOE 中，利用勾股定理可求出DE 的长，再利用平行四边形的周长公式即可求出▱OCED 的周长； ②设点C 的坐标为〔x ，421+-x 〕，那么CE ＝|x |，CD ＝|421+-x |，利用三角形的面积公式结合△CDE 的面积为433可得出关于x 的方程，解之即可得出结论． 【解答】解：〔1〕将A 〔8，0〕代入y ＝kx +4，得：0＝8k +4，解得：k ＝21-． 故答案为：21-．〔2〕①由〔1〕可知直线AB 的解析式为y ＝21-x +4． 当x ＝0时，y ＝21-x +4＝4， ∴点B 的坐标为〔0，4〕， ∴OB ＝4．∵点E 为OB 的中点， ∴BE ＝OE ＝21OB ＝2． ∵点A 的坐标为〔8，0〕， ∴OA ＝8．∵四边形OCED 是平行四边形， ∴CE ∥DA ， ∴1==OEBEAC BC ， ∴BC ＝AC ，∴CE 是△ABO 的中位线， ∴CE ＝21OA ＝4． ∵四边形OCED 是平行四边形， ∴OD ＝CE ＝4，OC ＝DE ．在Rt △DOE 中，∠DOE ＝90°，OD ＝4，OE ＝2， ∴DE ＝5222=+OE OD ，∴C 平行四边形OCED ＝2〔OD +DE 〕＝2〔4+25〕＝8+45．②设点C 的坐标为〔x ，x 21-+4〕，那么CE ＝|x |，CD ＝|21-x +4|， ∴S △CDE ＝21CD •CE ＝|﹣41x 2+2x |＝433，∴x 2+8x +33＝0或x 2+8x ﹣33＝0． 方程x 2+8x +33＝0无解；解方程x 2+8x ﹣33＝0，得：x 1＝﹣3，x 2＝11， ∴点C 的坐标为〔﹣3，211〕或〔11，23-〕．【点评】此题考察了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、勾股定理、平行四边形的周长、三角形的面积、解一元二次方程以及三角形的中位线，解题的关键是：〔1〕根据点的坐标，利用待定系数法求出k 值；〔2〕①利用勾股定理及三角形中位线的性质，求出CE ，DE 的长；②利用三角形的面积公式结合△CDE 的面积为433，找出关于x 的方程． 七、〔此题12分〕24．〔12分〕思维启迪：〔1〕如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个方法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P 〔点P 可以直接到达A 点〕，利用工具过点C 作CD ∥AB 交AP 的延长线于点D ，此时测得CD ＝200米，那么A ，B 间的距离是 200 米．思维探索：〔2〕在△ABC 和△ADE 中，AC ＝BC ，AE ＝DE ，且AE ＜AC ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时△ADE 的位置作为起始位置〔此时点B 和点D 位于AC 的两侧〕，设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ．①如图2，当△ADE 在起始位置时，猜测：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC ＝PE ，PC ⊥PE ． ； ②如图3，当α＝90°时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论； ③当α＝150°时，假设BC ＝3，DE ＝l ，请直接写出PC 2的值．【分析】〔1〕由由CD ∥AB ，可得∠C ＝∠B ，根据∠APB ＝∠DPC 即可证明△ABP ≌△DCP ，即可得AB ＝CD ，。
辽宁省沈阳市2019-2020学年中考三诊数学试题含解析
辽宁省沈阳市2019-2020学年中考三诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数是()A．70°B．60°C．55°D．50°2．下列左图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则该几何体的主视图为（）A．B．C．D．3．半径为R的正六边形的边心距和面积分别是()A．3R，2332R B．12R，2332RC．32R，234R D．12R，234R4．运用乘法公式计算（4+x）（4﹣x）的结果是（）A．x2﹣16 B．16﹣x2C．16﹣8x+x2D．8﹣x25．如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“爱”字一面相对面上的字是（）A．美B．丽C．泗D．阳6．如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是（）A．60°B．65°C．70°D．75°7．方程x2﹣kx+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．08．第24 届冬奥会将于2022 年在北京和张家口举行，冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等．如图，有 5 张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的图案，背面完全相同．现将这 5 张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是（）A．15B．25C．12D．359．若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3D．x=310．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是（）A．3.4×10-9m B．0.34×10-9m C．3.4×10-10m D．3.4×10-11m11．在下列各平面图形中，是圆锥的表面展开图的是( )A．B．C．D．12．下面的几何体中，主视图为圆的是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD且AB与CD不平行，AD=2，∠BCD=60°，对角线CA平分∠BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF，点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为__．14．已知关于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+2=0有实根，则k的取值范围为_____．15．如图，已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，连接BD与AM，AN分别交于E，F点，则下列结论正确的有_____．①MN=BM+DN②△CMN的周长等于正方形ABCD的边长的两倍；③EF1=BE1+DF1；④点A到MN的距离等于正方形的边长⑤△AEN、△AFM都为等腰直角三角形．⑥S△AMN=1S△AEF⑦S正方形ABCD：S△AMN=1AB：MN⑧设AB=a，MN=b，则ba≥12﹣1．16．如图，A、B、C是⊙O上的三点，若∠C=30°，OA=3，则弧AB的长为______．（结果保留π）17．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是_____m（结果保留根号）18．计算：2111xx x+=--___________.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某校九年级数学测试后，为了解学生学习情况，随机抽取了九年级部分学生的数学成绩进行统计，得到相关的统计图表如下． 成绩/分 120﹣111 110﹣101 100﹣91 90以下成绩等级 A B C D请根据以上信息解答下列问题：（1）这次统计共抽取了 名学生的数学成绩，补全频数分布直方图；（2）若该校九年级有1000名学生，请据此估计该校九年级此次数学成绩在B 等级以上（含B 等级）的学生有多少人？（3）根据学习中存在的问题，通过一段时间的针对性复习与训练，若A 等级学生数可提高40%，B 等级学生数可提高10%，请估计经过训练后九年级数学成绩在B 等级以上（含B 等级）的学生可达多少人？20．（6分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，经过C 作CD ⊥AB 于点D ，CF 是⊙O 的切线，过点A 作AE ⊥CF 于E ，连接AC ．（1）求证：AE=AD ．（2）若AE=3，CD=4，求AB 的长．21．（6分）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为12． （1）求口袋中黄球的个数；（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；22．（8分）在△ABC 中，90︒∠=C ，以边AB 上一点O 为圆心，OA 为半径的圈与BC 相切于点D ，分别交AB ，AC 于点E ，F 如图①，连接AD ，若25CAD ︒∠=，求∠B 的大小；如图②，若点F 为»AD 的中点，O e 的半径为2，求AB 的长．23．（8分）解不等式()()41223x x ---＞ ，并把它的解集表示在数轴上.24．（10分）如图，抛物线y=﹣x 2+mx+n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．25．（10分）如图，已知二次函数y=ax 2+2x+c 的图象经过点C （0，3），与x 轴分别交于点A ，点B （3，0）．点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点．求二次函数y=ax 2+2x+c 的表达式；连接PO ，PC ，并把△POC 沿y 轴翻折，得到四边形POP′C ．若四边形POP′C 为菱形，请求出此时点P 的坐标；当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积．26．（12分）如图，▱ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，求∠AEB的度数．27．（12分）今年5月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表（图11-1）和扇形统计图（图11-2），根据图表中的信息解答下列问题：分组分数段（分）频数A 36≤x＜41 22B 41≤x＜46 5C 46≤x＜51 15D 51≤x＜56 mE 56≤x＜61 10（1）求全班学生人数和m的值；（2）直接学出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段；（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生2人，女生1人，现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】试题分析：∵AB∥CD，∠1=40°，∠1=30°，∴∠C=40°．∵∠3是△CDE的外角，∴∠3=∠C+∠2=40°+30°=70°．故选A．考点：平行线的性质．2．B【解析】【分析】由俯视图所标该位置上小立方块的个数可知，左侧一列有2层，右侧一列有1层.【详解】根据俯视图中的每个数字是该位置小立方块的个数，得出主视图有2列，从左到右的列数分别是2，1．故选B．【点睛】此题考查了三视图判断几何体，用到的知识点是俯视图、主视图，关键是根据三种视图之间的关系以及视图和实物之间的关系.3．A【解析】【分析】首先根据题意画出图形，易得△OBC是等边三角形，继而可得正六边形的边长为R，然后利用解直角三S求得正六边形的面积．角形求得边心距，又由S正六边形=6V OBC【详解】解：如图，O为正六边形外接圆的圆心，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，∵六边形ABCDEF 是正六边形，半径为R ，∴∠BOC=3600166⨯︒=︒， ∵OB=OC=R ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC=OB=OC=R ，60OBC ∠=︒∵OH ⊥BC ，∴在Rt OBH V 中，sin sin 60∠=︒=OH OBH OB， 即32=OH R ∴32=OH R ，即边心距为32R ； ∵2113322=⋅==V OBC S BC OH R R ， ∴S 正六边形=2233366==V OBC S R R ， 故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识；求得正六边形的中心角为60°，得到等边三角形是正确解答本题的关键．4．B【解析】【分析】根据平方差公式计算即可得解．【详解】222(4)(4)416x x x x +-=-=-，故选：B．【点睛】本题主要考查了整式的乘法公式，熟练掌握平方差公式的运算是解决本题的关键.5．D【解析】【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“爱”字一面相对面上的字是“阳”；故本题答案为：D.【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形是解题的关键．6．C【解析】试题分析：连接OB，根据PA、PB为切线可得：∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形AOBP的内角和定理可得∠AOB=140°，∵OC=OB，则∠C=∠OBC，根据∠AOB为△OBC的外角可得：∠ACB=140°÷2=70°. 考点：切线的性质、三角形外角的性质、圆的基本性质.7．C【解析】【分析】根据已知得出△=（﹣k）2﹣4×1×1=0，解关于k的方程即可得．【详解】∵方程x2﹣kx+1=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣k）2﹣4×1×1=0，解得：k=±2，故选C．【点睛】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2﹣4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．8．B【解析】【分析】先找出滑雪项目图案的张数，结合5 张形状、大小、质地均相同的卡片，再根据概率公式即可求解．【详解】∵有 5 张形状、大小、质地均相同的卡片，滑雪项目图案的有高山滑雪和单板滑雪2张，∴从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是2 5 .故选B．【点睛】本题考查了简单事件的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9．C【解析】【详解】试题分析：∵分式13x-有意义，∴x﹣3≠0，∴x≠3；故选C．考点：分式有意义的条件．10．C【解析】试题分析：根据科学记数法的概念可知：用科学记数法可将一个数表示10na⨯的形式，所以将1．11111111134用科学记数法表示103.410-⨯，故选C．考点：科学记数法11．C【解析】【分析】结合圆锥的平面展开图的特征，侧面展开是一个扇形，底面展开是一个圆．【详解】解：圆锥的展开图是由一个扇形和一个圆形组成的图形．故选C．【点睛】考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图的特征，是解决此类问题的关键．注意圆锥的平面展开图是一个扇形和一个圆组成．12．C【解析】试题解析：A、的主视图是矩形，故A不符合题意；B、的主视图是正方形，故B不符合题意；C、的主视图是圆，故C符合题意；D、的主视图是三角形，故D不符合题意；故选C．考点：简单几何体的三视图．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．23【解析】【分析】将PA+PB转化为PA+PC的值即可求出最小值．【详解】解：E,F分别是底边AD,BC的中点,四边形ABCD是等腰梯形,∴B点关于EF的对称点C点,∴AC即为PA+PB的最小值,Q∠BCD=60o, 对角线AC平分∠BCD,∴∠ABC=60o, ZBCA=30o,∴∠BAC=90o,Q AD=2,∴PA+PB的最小值=·tan6023oAB=.故答案为: 23【点睛】求PA+PB的最小值, PA＋PB不能直接求, 可考虑转化PA＋PＣ的值,从而找出其最小值求解.14．1152k k≤≠且【解析】【分析】若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，且k-1≠0，建立关于k的不等式组，求出k的取值范围．【详解】解：∵方程有两个实数根，∴△=b2-4ac=（-2）2-4×2×（k-1）=44-8k≥0，且k-1≠0，解得：k≤112且k≠1， 故答案为k≤112且k≠1． 【点睛】此题考查根的判别式问题，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．15．①②③④⑤⑥⑦．【解析】【分析】将△ABM 绕点A 逆时针旋转，使AB 与AD 重合，得到△ADH ．证明△MAN ≌△HAN ，得到MN=NH ，根据三角形周长公式计算判断①；判断出BM=DN 时，MN 最小，即可判断出⑧；根据全等三角形的性质判断②④；将△ADF 绕点A 顺时针性质90°得到△ABH ，连接HE ．证明△EAH ≌△EAF ，得到∠HBE=90°，根据勾股定理计算判断③；根据等腰直角三角形的判定定理判断⑤；根据等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，判断⑥，根据点A 到MN 的距离等于正方形ABCD 的边长、三角形的面积公式计算，判断⑦．【详解】将△ABM 绕点A 逆时针旋转，使AB 与AD 重合，得到△ADH ．则∠DAH=∠BAM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD=90°，∵∠MAN=45°，∴∠BAN+∠DAN=45°，∴∠NAH=45°，在△MAN 和△HAN 中，AM AH MAN HAN AN AN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△MAN ≌△HAN ，∴MN=NH=BM+DN ，①正确；∵BM+DN（当且仅当BM=DN 时，取等号）∴BM=DN 时，MN 最小，∴BM=12b ， ∵DH=BM=12b ， ∴DH=DN ，∵AD ⊥HN ，∴∠DAH=12∠HAN=11.5°， 在DA 上取一点G ，使DG=DH=12b ，∴∠DGH=45°，b ， ∵∠DGH=45°，∠DAH=11.5°，∴∠AHG=∠HAD ，∴AG=HG=2b ，∴AB=AD=AG+DG=2b+12b=12b=a ，∴2b a ==，∴2b a≥， 当点M 和点B 重合时，点N 和点C 重合，此时，MN 最大=AB ， 即：1b a=，∴2≤b a ≤1，⑧错误； ∵MN=NH=BM+DN∴△CMN 的周长=CM+CN+MN=CM+BM+CN+DN=CB+CD ，∴△CMN 的周长等于正方形ABCD 的边长的两倍，②结论正确；∵△MAN ≌△HAN ，∴点A 到MN 的距离等于正方形ABCD 的边长AD ，④结论正确；如图1，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．∵∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∠DAF=∠BAE，∴∠EAH=∠EAF=45°，∵EA=EA，AH=AD，∴△EAH≌△EAF，∴EF=HE，∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，∴∠HBE=90°，在Rt△BHE中，HE1=BH1+BE1，∵BH=DF，EF=HE，∵EF1=BE1+DF1，③结论正确；∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，∵∠MAN=45°，∴∠EAN=∠EDN，∴A、E、N、D四点共圆，∴∠ADN+∠AEN=180°，∴∠AEN=90°∴△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形；⑤结论正确；∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，∴2AF，2AE，如图3，过点M作MP⊥AN于P，在Rt△APM中，∠MAN=45°，∴MP=AMsin45°，∵S△AMN=12AN•MP=12AM•AN•sin45°，S △AEF =12AE•AF•sin45°， ∴S △AMN ：S △AEF =1，∴S △AMN =1S △AEF ，⑥正确；∵点A 到MN 的距离等于正方形ABCD 的边长，∴S 正方形ABCD ：S △AMN =212AB MN AB ⨯=1AB ：MN ，⑦结论正确．即：正确的有①②③④⑤⑥⑦，故答案为①②③④⑤⑥⑦．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形．16．π【解析】∵∠C=30°，∴∠AOB=60°，∴»603180AB l ππ⨯==.即»AB 的长为π. 17．【解析】【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD ，再利用锐角三角函数关系即可得出答案．【详解】解:由题意可得：∠BDA=45°，则AB=AD=120m ，又∵∠CAD=30°，∴在Rt △ADC 中，tan ∠CDA=tan30°=CD AD = 解得：m ），故答案为【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan ∠CDA=tan30°=CD AD是解题关键． 18．x+1【解析】【分析】 先通分，进行分式的加减法，再将分子进行因式分解，然后约分即可求出结果．【详解】 解：2111x x x+-- =2111x x x --- 211x x -=- ()()111x x x +-=- 1x =+.故答案是：x+1.【点睛】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）1人；补图见解析；（2）10人；（3）610名.【解析】【分析】（1）用总人数乘以A 所占的百分比，即可得到总人数；再用总人数乘以A 等级人数所占比例可得其人数，继而根据各等级人数之和等于总人数可得D 等级人数，据此可补全条形图；（2）用总人数乘以（A 的百分比+B 的百分比），即可解答；（3）先计算出提高后A ，B 所占的百分比，再乘以总人数，即可解答．【详解】解：（1）本次调查抽取的总人数为15÷108360=1（人）， 则A 等级人数为1×72360=10（人），D 等级人数为1﹣（10+15+5）=20（人）， 补全直方图如下：故答案为1．（2）估计该校九年级此次数学成绩在B 等级以上（含B 等级）的学生有1000×101550=10（人）； （3）∵A 级学生数可提高40%，B 级学生数可提高10%，∴B 级学生所占的百分比为：30%×（1+10%）=33%，A 级学生所占的百分比为：20%×（1+40%）=28%， ∴1000×（33%+28%）=610（人），∴估计经过训练后九年级数学成绩在B 以上（含B 级）的学生可达610名．【点睛】考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．（1）证明见解析（2）253 【解析】【分析】（1）连接OC ，根据垂直定义和切线性质定理证出△CAE ≌△CAD （AAS ），得AE=AD ；（2）连接CB ，由（1）得AD=AE=3，根据勾股定理得：AC=5，由cos ∠EAC=，cos ∠CAB==，∠EAC=∠CAB ，得=. 【详解】（1）证明：连接OC ，如图所示，∵CD ⊥AB ，AE ⊥CF ，∴∠AEC=∠ADC=90°，∵CF 是圆O 的切线，∴CO ⊥CF ，即∠ECO=90°，∴AE ∥OC ，∴∠EAC=∠ACO ，∵OA=OC ，∴∠CAO=∠ACO ，∴∠EAC=∠CAO ，在△CAE 和△CAD 中，，∴△CAE≌△CAD（AAS），∴AE=AD；（2）解：连接CB，如图所示，∵△CAE≌△CAD，AE=3，∴AD=AE=3，∴在Rt△ACD中，AD=3，CD=4，根据勾股定理得：AC=5，在Rt△AEC中，cos∠EAC==，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴cos∠CAB==，∵∠EAC=∠CAB，∴=，即AB=．【点睛】本题考核知识点：切线性质，锐角三角函数的应用. 解题关键点：由全等三角形性质得到线段相等，根据直角三角形性质得到相应等式.21．(1)1;(2)1 6【解析】【分析】（1）设口袋中黄球的个数为x个，根据从中任意摸出一个球是红球的概率为12和概率公式列出方程，解方程即可求得答案；（2）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；【详解】解：（1）设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得：21 212x= ++解得：x=1经检验：x=1是原分式方程的解∴口袋中黄球的个数为1个（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况∴两次摸出都是红球的概率为：21 126.【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．22．(1)∠B=40°；(2)AB= 6.【解析】【分析】（1）连接OD，由在△ABC中, ∠C=90°，BC是切线,易得AC∥OD ,即可求得∠CAD=∠ADO ,继而求得答案;（2）首先连接OF,OD,由AC∥OD得∠OFA=∠FOD ,由点F为弧AD的中点,易得△AOF是等边三角形,继而求得答案.【详解】解:(1)如解图①,连接OD,∵BC切⊙O于点D,∴∠ODB=90°,∵∠C=90°,∴AC∥OD,∴∠CAD=∠ADO,∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO=∠CAD=25°,∴∠DOB=∠CAO=∠CAD＋∠DAO=50°,∵∠ODB=90°,∴∠B=90°－∠DOB=90°－50°=40°; (2)如解图②,连接OF,OD,∵AC ∥OD,∴∠OFA=∠FOD,∵点F 为弧AD 的中点,∴∠AOF=∠FOD,∴∠OFA=∠AOF,∴AF=OA,∵OA=OF,∴△AOF 为等边三角形,∴∠FAO=60°,则∠DOB=60°,∴∠B=30°,∵在Rt △ODB 中,OD=2,∴OB=4,∴AB=AO ＋OB=2＋4=6.【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质.熟练掌握切线的性质是解（1）的关键，证明△AOF 为等边三角形是解（2）的关键.23．x ＜5；数轴见解析【解析】【分析】将（x-2）当做一个整体，先移项，然后再按解一元一次不等式的一般步骤进行求解，求得解集后在数轴上表示即可.【详解】移项，得 ()1x 213-＜， 去分母，得 x 23-＜，移项，得x 5＜，∴不等式的解集为x 5＜，在数轴上表示如图所示：【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据不等式的特点选择恰当的方法进行求解是关键.24．(1)抛物线的解析式为：y=﹣x1+x+1(1)存在，P1（，2），P1（，），P3（，﹣）(3)当点E运动到（1，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．【解析】试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；（1）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P1，P3；作CH垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x1+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，1）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x1+x+1；（1）∵y=﹣x1+x+1，∴y=﹣（x﹣）1+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，1），∴OC=1．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=CP1=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=1，∴DP1=2．∴P1（，2），P1（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x1+x+1∴x1=﹣1，x1=2，∴B（2，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+1．如图1，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+1），F（a，﹣a1+a+1），∴EF=﹣a1+a+1﹣（﹣a+1）=﹣a1+1a（0≤x≤2）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a（﹣a1+1a）+（2﹣a）（﹣a1+1a），=﹣a1+2a+（0≤x≤2）．=﹣（a﹣1）1+∴a=1时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（1，1）．考点：1、勾股定理；1、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；2、二次函数的最值25．（1）y=﹣x 2+2x+3（2）（2+102，32）（3）当点P 的坐标为（32，154）时，四边形ACPB 的最大面积值为758 【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P 点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P 点坐标；（3）根据平行于y 轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ 的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】（1）将点B 和点C 的坐标代入函数解析式，得9603,a c c ++=⎧⎨=⎩解得13,a b =-⎧⎨=⎩二次函数的解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）若四边形POP′C 为菱形，则点P 在线段CO 的垂直平分线上，如图1，连接PP′，则PE ⊥CO ，垂足为E ，∵C （0，3）， ∴30,2E ，⎛⎫ ⎪⎝⎭∴点P 的纵坐标32， 当32y =时，即23232x x -++=， 解得12210210.22x x +-==，（不合题意，舍）， ∴点P 的坐标为2103,2；⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭（3）如图2，P 在抛物线上，设P （m ，﹣m 2+2m+3），设直线BC 的解析式为y=kx+b ，将点B 和点C 的坐标代入函数解析式，得3303,k b +=⎧⎨=⎩解得13.k b =-⎧⎨=⎩ 直线BC 的解析为y=﹣x+3，设点Q 的坐标为（m ，﹣m+3），PQ=﹣m 2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m 2+3m ．当y=0时，﹣x 2+2x+3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3，OA=1，()314AB =--=，S 四边形ABPC =S △ABC +S △PCQ +S △PBQ111,222AB OC PQ OF PQ FB =⋅+⋅+⋅ ()2114333,22m m =⨯⨯+-+⨯ 23375228m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 当m=32时，四边形ABPC 的面积最大． 当m=32时，215234m m -++=，即P 点的坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭． 当点P 的坐标为315,24⎛⎫⎪⎝⎭时，四边形ACPB 的最大面积值为758． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用菱形的性质得出P 点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质．26．135°【解析】【分析】先证明AD=DE=CE=BC ，得出∠DAE=∠AED ，∠CBE=∠CEB ，∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x ，∠CBE=∠CEB=y ，求出∠ADC=225°-2x ，∠BAD=2x-45°，由平行四边形的对角相等得出方程，求出x+y=135°，即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，∠BAD=∠BCD ，∠BAD+∠ADC=180°，∵AD=DE=CE ，∴AD=DE=CE=BC ，∴∠DAE=∠AED ，∠CBE=∠CEB ，∵∠DEC=90°，∴∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x ，∠CBE=∠CEB=y ，∴∠ADE=180°﹣2x ，∠BCE=180°﹣2y ，∴∠ADC=180°﹣2x+45°=225°﹣2x ，∠BCD=225°﹣2y，∴∠BAD=180°﹣（225°﹣2x ）=2x ﹣45°，∴2x ﹣45°=225°﹣2y ，∴x+y=135°，∴∠AEB=360°﹣135°﹣90°=135°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形的性质.27．（1）50，18；（2）中位数落在51﹣56分数段；（3）23．【解析】【分析】（1）利用C分数段所占比例以及其频数求出总数即可，进而得出m的值；（2）利用中位数的定义得出中位数的位置；（3）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．【详解】解：（1）由题意可得：全班学生人数：15÷30%=50（人）；m=50﹣2﹣5﹣15﹣10=18（人）；（2）∵全班学生人数：50人，∴第25和第26个数据的平均数是中位数，∴中位数落在51﹣56分数段；（3）如图所示：将男生分别标记为A1，A2，女生标记为B1P（一男一女）==63．【点睛】本题考查列表法与树状图法，频数（率）分布表，扇形统计图，中位数．。
辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测(三)数学试题(理)(解析版)
辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测（三）数学试题（理）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知i 为虚数单位，则232019i i i i ++++等于（ ）． A. i B. 1C.i -D.1-『答案』D『解析』由于234110i i i i i i +++=--+=， 且)ni n N *∈（的周期为4，2019=4504+3⋅， 所以原式=2311i i i i i ++=--=-. 故选：D2.已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（ ）． A. 1 B. 5 C. 6 D. 无数个『答案』C『解析』由题得{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}A =， 所以A 中元素的个数为6. 故选：C.3.“k =”是“直线)2(:+=x k y l 与圆221x y +=相切”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件『答案』A『解析』因为直线)2(:+=x k y l 与圆221x y +=相切，1,3k =∴=±.所以“k =”是“直线)2(:+=x k y l 与圆221x y +=相切”的充分不必要条件. 故选：A.4.若非零向量,a b 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=，则,a b 的夹角为（ ）．A.6π B.3π C.56π D.23π 『答案』D『解析』由题得2222+=02cos ,0a b b b a b b ⋅∴<>+=，， 所以12cos ,,,23a b a b π<>=-∴<>=. 故选：D.5.己知数列{}n a 是等差数列，且1472a a a π++=，则()35tan a a +的值为（ ）． A.3B.C.3D. 33-『答案』A『解析』1472a a a π++=，所以443543524432,,2,tan()tan 333a a a a a a a ππππ==+==+==6.我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这l0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ）．A.1415B.115C.29D.『答案』A『解析』设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ，所以232101()=15C P A C =，因此114()1()=11515P A P A =--=,故本题选A. 7.设2018log a =，2019log b =，120192018c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）． A. c b a >> B. a c b >> C. b a c >> D. c b a >>『答案』C『解析』因为20182018201811log 2018log log ,2a =>=>=201920191log log ,2b =<=102019201820181c =>=，故本题选C.8.已知函数||()sin()(0,0,0)x f x A x e A ωϕωϕπ-=+⋅>><<的图象如图所示，则A ω的可能取值（ ）．A.2πB. πC.23π D. 2π『答案』B 『解析』()f x 的图象关于y 轴对称，)(x f ∴为偶函数，2k πϕπ∴=+，k Z ∈，0ϕπ<<，2πϕ∴=，||()cos x f x A x e ω-∴=， (0)2f A ∴==，f （1）f =（3）0=，311cos cos30e eωω∴==， cos cos30ωω∴==，取2πω=，则A ωπ=．故选：B ．9.已知函数31()21xx f x x x e e=-++-，其中e 是自然对数的底数．若()2(1)22f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ）．A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1B. 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦『答案』C『解析』令31()()12xxg x f x x x e e =-=-+-，x R ∈． 则()()g x g x -=-，()g x ∴在R 上为奇函数． 21()320220x xg x x e e '=-+++-=， ∴函数()g x 在R 上单调递增．2(1)(2)2f a f a -+，化为：2(1)1(2)10f a f a --+-， 即2(1)(2)0g a g a -+，化为：2(2)(1)(1)g a g a g a --=-， 221a a ∴-，即2210a a +-， 解得112a-． ∴实数a 的取值范围是]21,1[-．故选：C ．10.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -，中，底面边长为2，直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为（ ）．A. 2B. 3C. 4D. 5『答案』C『解析』以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 为坐标轴建立空间坐标系如图所示， 设1DD a =，则(2A ，0，0)，0(C ，2，0)，1(0D ，0，)a ，则(2AC =-，2，0)，1(2AD =-，0，)a ，1(0CC =，0，)a ， 设平面1ACD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则1·0·0n AC n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴22020x y x az -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =可得(1n =，1，2)a ，故cos n <，111||||n CC CC n CC a>===⨯．直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13，∴13=，解得：4a =． 故选：C ．11.已如F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M，若2FM a =，记该双曲线的离心率为e ，则2e=（ ）．A.B.14+ C.22+ D.24+ 『答案』A『解析』由题意得，(),0F c -，该双曲线的一条渐近线为by x a=-，将x c =-代入b y x a =-得bc y a =，2bc a a∴=，即22bc a =，42224a b c c ∴==()22ca -，4240e e ∴--= ，解得212e =， 故选:A.12.已知函数,0()2(1),0xx m e mx x f x e x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e 为自然对数的底），若方程()()0-+=f x f x 有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是（ ）． A. (0,)e B. (,)e +∞ C. (0,2)e D. ),2(+∞e『答案』D『解析』因为函数()()()F x f x f x =-+是偶函数，()00F ≠，所以零点成对出现，依题意，方程()()0f x f x -+=有两个不同的正根，又当0x >时，()e 2xm f x mx -=-+，所以方程可以化为：e e e 02xx x m mx x -++-=，即1e 2xx m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，记()e (0)xg x x x =>，()()e10xg x x ='+>，设直线12y m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()g x 图像相切时的切点为(),e tt t ，则切线方程为()()e e 1tty t t x t -=+-，过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1e e 112t t t t t t ⎛⎫-=+-⇒= ⎪⎝⎭或12-（舍弃），所以切线的斜率为2e ，由图像可以得2e m >.选D.二、填空题.13.已知球O 的内接圆锥体积为之23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为______． 『答案』254π『解析』由圆锥体积为23π，其底面半径为1，设圆锥高为h则221133h ππ=⨯⨯，可求得2=h 设球半径为R ，可得方程：()2221R R --=，解得：54R =25254=164S ππ∴=⨯本题正确结果：254π14.若0sin a xdx π=⎰，则9a x ⎛ ⎝的展开式中常数项为______． 『答案』672『解析』因为()sin 020a xdx cosx cos cos πππ==-=-+=⎰；所以92x ⎛ ⎝的展开式的通项公式为：()()39999221992121k k kkkkk k kk T C xx C x----+=-=-，令3902k -=，则6k =，所以常数项为()6637921672T C =-=. 故答案为67215.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，且123F PF π∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为______．『解析』因为1F 关于12F PF ∠的对称点Q 在椭圆C 上， 则1PF PQ =，160F PQ ∠=，1F PQ∴∆正三角形，11F Q F P ∴=，又1212222,FQ F Q F P F P a F Q F P +=+=∴=， 所以x PQ ⊥轴，设2PF t =，则1122,PF t F F =，即2223323c c c e a a t a t ⎧=⎪⇒====⎨=⎪⎩.16.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S =-，则数列276n n n b a a =-+的最小值为______．『答案』6-『解析』由21n n S =-，得111a S ==，当2n 时，11121212n n n n n n a S S ---=-=--+=，11a =适合上式， ∴12n na ．则2272576()24n n n n b a a a =-+=--．∴当q 时2725()(4)624n min b =--=-． 故答案为：6-．三、解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC 中，角A B C 、、的对边分别为c b a 、、，且满足()2222a cb ac b =+-（其中b c ≠）（1）求证：2A B =；（2）若()f x sinx cosx =+，求()f B 的取值范围． （1）证明：由已知，两边同时除以abc 2，得()222222b a c b a c abc abc+-= 化简，得22222a a c b b ac+-=由正弦定理和余弦定理，得sin cos 2sin AB B=解得，sin 2sin cos sin 2A B B B == 所以A=2B 或2A B π+= 所以A=2B 或B=C 又因为b c ≠，所以A=2B ． （2）解：由()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．得()4f B B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由00203B A B C B ππππ<<⎧⎪<=<⎨⎪<=-<⎩，解得ABC ∆, 所以74412B πππ<+<，所以1()f B <≤ 18.某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种， 方案一：每满200元减50元；方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、l 个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）（1）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率； （2）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？ 解：（1）设事件A 为“顾客获得半价”，则3213()44432P A =⋅⋅=， 所以两位顾客至少一人获得半价的概率为：2291831321024P ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． （2）若选择方案一，则付款金额为32050270-=．若选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取的值为160,224,256,320．3(160)32P X ==， 32332111213(224)44444444432P X ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，323123121113(256)444444444432P X ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=，1233(320)44432P X ==⋅⋅=，∴31313316022425632024032323232EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 所以方案二更为划算．19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PC 上的点，且BE ⊥平面APC（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）当三棱锥ABC P -体积最大时，求二面角B AC P --余弦值．（1）证明：∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB 底面ABCD AB =，四边形ABCD 为正方形，∴BC AB ⊥，面ABCD ，∴BC ⊥面PAB ， 又AP ⊂面PAB ， ∴AP BC ⊥，BE ⊥平面APC ，AP ⊂面PAC ，∴BE AP ⊥，B BE BC = ，,BC BE ⊂平面PBC ，∴AP ⊥面PBC ，AP ⊂面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PBC ． （2）解：111323P ABC C APBV V PA PB BC PA PB --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯， 求三棱锥ABC P -体积的最大值，只需求PA PB ⨯的最大值．的令,PA x PB y ==，由（1）知，PA PB ⊥，∴224x y +=， 而221123323P ABC x y V xy -+=≤⨯=，当且仅当x y ==PA PB ==时， ABC P V -的最大值为23． 如图所示，分别取线段AB ，CD 中点O ，F ，连接OP ，OF ，以点O 为坐标原点，以OP ，OB 和OF 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -．由已知(0,1,0),(0,1,2),(1,0,0)A C P -，所以(1,1,0),(0,2,2)AP AC ==，令(,,)n x y z =为面PAC 的一个法向量，则有0220x y y z +=⎧⎨+=⎩， ∴(1,1,1)n =-易知(1,0,0)m =为面ABC 的一个法向量，二面角B AC P --的平面角为θ，θ为锐角则1cos 33n m n m θ⋅===⋅. 20.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，()02,M y -是C 上一点，且2MF =． （1）求C 的方程；（2）过点F 的直线与抛物线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 两点作抛物线C 的切线12,l l ，两条切线相交于点P ，点P 关于直线AB 的对称点Q ，判断四边形PAQB 是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．解：（1）根据题意知，042py =① 因为2MF =，所以022p y +=② 联立①②解得01,2y p ==．所以抛物线C 的方程为24x y =．（2）四边形PAQB 存在外接圆．设直线AB 方程为1y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=，设点()()1122,,,A x y B x y ，则216160k ∆=+>，且4,42121-==+x x k x x所以()212||41AB x k =-=+， 因为2:4C x y =，即24x y =，所以'2x y =． 因此，切线1l 的斜率为112x k =，切线2l 的斜率为222x k =， 由于121214x x k k ==-，所以PA PB ⊥，即PAB △是直角三角形， 所以PAB △的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是圆的直径，所以点Q 一定在PAB △的外接圆上，即四边形PAQB 存在外接圆． 又因为()241AB k =+，所以当0k =时，线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π．21.已知21()ln 2x f x x ae x =+-． （1）设12x =是()f x 的极值点，求实数a 的值，并求()f x 的单调区间：（2）0a >时，求证：()12f x >． 『答案』（1）a =单调递增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）见解析. 解：（1）由题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞，又由()1x f x x ae x '=+-，且12x =是函数()f x 的极值点， 所以12112022f ae ⎛⎫=+'-= ⎪⎝⎭，解得a =， 又0a >时，在()0,+∞上，()f x '是增函数，且102f ⎛⎫=⎪⎭'⎝， 所以()0f x '>，得12x >，()0f x '<，得102x <<， 所以函数()f x 的单调递增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）由（1）知因为0a >，在()0,+∞上，()1x f x x ae x'=+-是增函数， 又()1110f ae '=+->（且当自变量x 逐渐趋向于0时，()f x '趋向于-∞），所以，()00,1x ∃∈，使得()00f x '=， 所以00010x x ae x +-=，即0001x ae x x =-， 在()00,x x ∈上，()0f x '<，函数()f x 是减函数，在()0,x x ∈+∞上，()0f x '>，函数()f x 是增函数，所以，当0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值，所以()()022*******min 0111ln ln ,(01)22x f x f x x ae x x x x x x ==+-=+--<<， 令()211ln ,(01)2g x x x x x x=+--<<， 则()()2211111x g x x x x x x+=---=--'，当()0,1x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，所以()()112g x g >=， 即()()min 12f x f x ≥>成立， 22.选修4-4坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，过点(2,4)P --的直线l的参数方程为2242x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．（1）写出曲线C 的平面直角坐标方程和直线l 的普通方程：（2）若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求实数a 的值．解：（1）由2sin 2cos (0)a a ρθθ=>得：()2sin 2cos a ρθρθ= ∴曲线C 的直角坐标方程为：22y ax =(a > 0)由24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去参数t 得直线l 的普通方程为2y x =- （2）将直线l的参数方程24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入22y ax =中得：()()24840t a t a -+++= 6分设M 、N 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则有)()1212484t t a t t a +=+=+，8分 ∵2||PM PN MN ⋅=，∴()()22121212124=t t t t t t t t -=+- 即()()284404a a +=+，解得1a =．23.选修4-5不等式选讲已知函数()|1||1|f x m x x =---+．（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．解：（1）当5m =时，()()()()521311521x x f x x x x ⎧+<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，由()2f x >得不等式的解集为3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）由二次函数()222312y x x x =++=++，知函数在1x =-取得最小值2，因为()()()()2121121m x x f x m x m x x ⎧+<-⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，在1x =-处取得最大值2m -，所以要是二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点.只需22m -≥，即4m ≥.。
2019年辽宁省沈阳市中考数学模拟试卷及答案(word解析版)
辽宁省沈阳市2019年中考数学模拟试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，满分24分）1．（3分）（2019•沈阳模拟）计算3×（﹣2）的结果是（）A．5B．﹣5 C．6D．﹣6考点：有理数的乘法．分析：根据有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘，即可得到结果．解答：解：3×（﹣2），=﹣（3×2），=﹣6．故选D．点评：此题主要考查了有理数的乘法，牢记法则即可．2．（3分）（2019•沈阳模拟）某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94m，用科学记数法表示这个数是（）A．9.4×10﹣7m B．9.4×107m C．9.4×10﹣8m D．9.4×108m考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.000 000 94=9.4×10﹣7．故选A．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）（2019•沈阳模拟）下列电视台图标中，属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形．分析：根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项正确．故选D．点评：本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．4．（3分）（2019•沈阳模拟）2019年4月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，33，30，33，31，则下列表述错误的是（）A．众数是31 B．中位数是30 C．平均数是32 D．极差是5考点：极差；算术平均数；中位数；众数．分析：分别计算该组数据的众数、中位数、平均数及极差后即可作出正确的判断．解答：解：数据31出现了3次，最多，众数为31，故A不符合要求；按从小到大排序后为：30、31、31、31、33、33、35，位于中间位置的数是31，故B 符合要求；平均数为（30+31+31+31+33+33+35）÷7=32，故C不符合要求；极差为35﹣30=5，故D不符合要求．故选B．点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数、众数、平均数及极差的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．5．（3分）（2019•沈阳模拟）如图所示的“h”型几何体的俯视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：根据俯视图是从上向下看得到的视图进行分析解答即可．解答：解：从上面看可得到一个矩形，中间左边有一条实心线，右边有一条虚线．故选D．点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，注意看得见的线用实线表示，看不见的线用虚线表示．6．（3分）（2019•沈阳模拟）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（）A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%考点：一元一次不等式的应用．专题：压轴题．分析：缺少质量和进价，应设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，根据题意得：购进这批水果用去ay元，但在售出时，只剩下（1﹣10%）a千克，售货款为（1﹣10%）a×（1+x）y元，根据公式×100%=利润率可列出不等式，解不等式即可．解答：解：设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，由题意得：×100%≥20%，解得：x≥，经检验，x≥是原不等式的解∵超市要想至少获得20%的利润，∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高33.4%．故选：B．点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是弄清题意，设出必要的未知数，表示出售价，售货款，进货款，利润．注意再解出结果后，要考虑实际问题，利用收尾法，不能用四舍五入．7．（3分）（2019•沈阳模拟）若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y=图象上的点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（）A．y3＞y1＞y2B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y3＞y2＞y1考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：根据反比例函数图象上点的特征，xy=3，所以得到x1•y1=3，x2•y2=3，x3•y3=3，再根据x1＜x2＜0＜x3，即可判断y1、y2、y3的大小关系．解答：解：∵A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y=图象上的点，∴x1•y1=3，x2•y2=3，x3•y3=3，∵x3＞0，∴y3＞0，∵x1＜x2＜0，∴0＞y1＞y2，∴y3＞y1＞y2．故选A．点评：此题主要考查了反比例函数图象上点的特征，凡是在反比例函数图象上的点，横纵坐标的乘积是一个定值=k．8．（3分）（2019•沈阳模拟）直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4．（1）将△ABC如图1那样折叠，使点C落在AB上，折痕为BD；（2）将△ABD如图2那样折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．则tan∠DEA的值为（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4，就是已知tan∠ABC=，根据轴对称的性质，可得∠DEA=∠A，就可以求出tan∠DEA的值．解答：解：根据题意：直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4，即tan∠ABC==；根据轴对称的性质，∠CBD=a，则由折叠可知∠CBD=∠EBD=∠EDB=a，∠ABC=2a，由外角定理可知∠AED=2a=∠ABC，∴tan∠DEA=tan∠ABC=．故选A．点评：已知折叠问题就是已知图形的全等，并且三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．二、填空题（每小题4分，满分32分）9．（4分）（2019•沈阳模拟）分解因式：4ax2﹣a=a（2x+1）（2x﹣1）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可求得答案．解答：解：4ax2﹣a=a（4x2﹣1）=a（2x+1）（2x﹣1）．故答案为：a（2x+1）（2x﹣1）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．10．（4分）（2019•沈阳模拟）若分式的值为0，则x的值为2．考点：分式的值为零的条件．分析：根据分式值为零的条件可得x﹣2=0，x2+4≠0，解可得答案．解答：解：由题意得：x﹣2=0，x2+4≠0，解得：x=2，故答案为：2．点评：此题主要考查了分式值为零的条件：是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．11．（4分）（2019•青海）若点A（2，a）关于x轴的对称点是B（b，﹣3），则ab的值是6．考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．专题：应用题．分析：根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数得出a，b的值，从而得出ab．解答：解：∵点A（2，a）关于x轴的对称点是B（b，﹣3），∴a=3，b=2，∴ab=6．故答案为6．点评：本题主要考查了关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，比较简单．12．（4分）（2019•沈阳模拟）若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是a≥﹣1．考点：根的判别式；一元一次方程的定义；一元二次方程的定义．专题：压轴题．分析：当a=0时，方程是一元一次方程，方程的根可以求出，即可作出判断；当a≠0时，方程是一元二次方程，只要有实数根，则应满足：△≥0，建立关于a的不等式，求得a的取值范围即可．解答：解：当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，当a≠0时，方程是一元二次方程，若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，则△=[2（a+2）]2﹣4a•a≥0，解得：a≥﹣1．故答案为：a≥﹣1．点评：此题考查了根的判别式，注意本题分a=0与a≠0两种情况讨论是解决本题的关键．并且利用了一元二次方程若有实数根则应有△≥0．13．（4分）（2019•沈阳模拟）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=55°．考点：角平分线的性质．分析：首先过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，由△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，易证得AE是∠CAH 的平分线，继而求得答案．解答：解：过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，∴EH=EF，EG=EF，∴EH=EG，∴AE是∠CAH的平分线，∵∠BAC=70°，∴∠CAH=110°，∴∠CAE=∠CAH=55°．故答案为：55°．点评：此题考查了角平分线的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．14．（4分）（2019•沈阳模拟）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是60度．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解．解答：解：∵等边△ABC，∴∠ABD=∠C，AB=BC，在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，∵∠ABE+∠EBC=60°，∴∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=60°．故答案为60．点评：本题利用等边三角形的性质来为三角形全等的判定创造条件，是中考的热点．15．（4分）（2019•沈阳模拟）已知一圆锥的底面半径是1，母线长是4，则圆锥侧面展开图的面积是4π．考点：圆锥的计算．分析：首先求得底面周长，然后利用扇形的面积公式S=lr，即可求解．解答：解：圆锥的底面周长是：2π×1=2π，则圆锥侧面展开图的面积是：×2π×4=4π．故答案是：4π．点评：本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．16．（4分）（2019•沈阳模拟）用长为4cm的n根火柴可以拼成如图1所示的x个边长都为4cm的平行四边形，还可以拼成如图2所示的2y个边长都为4cm的平行四边形，那么用含x的代数式表示y，得到．考点：规律型：图形的变化类．专题：压轴题．分析：图1中，一排有x个边长为4cm平行四边形，图2中，每一排有y个边长为4cm平行四边形，横排线段有三排，斜线段有（y+1）段，根据图1，图2火柴根数相等，列方程求解．解答：解：依题意，由图1可知：一个平行四边形有4条边，两个平行四边形有4+3条边，∴m=1+3x，由图2可知：一组图形有7条边，两组图形有7+5条边，∴m=2+5y，得1+3x=3y+2（y+1），整理，得y=x﹣，故答案为：y=x﹣．点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．关键是根据图1，图2中，火柴根数相等列出方程．三、解答题（第17、18小题各8分，第19小题10分，共26分）17．（8分）（2019•沈阳模拟）先化简：，然后再取一个你喜爱的x的值代入求值．考点：分式的化简求值．分析：首先把每个分式的分子，分母分解因式，然后计算分式的乘法，最后进行减法运算即可化简，最后代入适当的x的值计算即可求解．解答：解：原式=•﹣=﹣=﹣，当x=1时，原式=﹣=2．点评：注意：取喜爱的数代入求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义．如果取x=0，则原式没有意义，因此，尽管0是大家的所喜爱的数，但在本题中却是不允许的．18．（8分）（2019•沈阳模拟）如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC=DF，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？证明你的结论．考点：全等三角形的判定．专题：探究型．分析：由平行的性质可证∠C=∠F，又已知AC=DF，BC=EF，满足SAS，即可证结论．解答：解：△ABC与△DEF全等．证明：∵AC∥DF，∴∠C=∠F．在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，是一道较为简单的题目．19．（10分）（2019•沈阳模拟）为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图．（1）本次抽测的男生有50人，抽测成绩的众数是5次；（2）请你将图2的统计图补充完整；（3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中估计有多少人体能达标？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；众数．专题：压轴题；图表型．分析：（1）用4次的人数除以所占百分比即可得到总人数，人数最多的次数即为该组数据的众数；（2）用总人数减去其他各组的人数即可得到成绩为5次的人数；（3）用总人数乘以达标率即可得到达标人数．解答：解：（1）从条形统计图和扇形统计图可知，达到4次的占总人数的20%，∴总人数为：10÷20%=50人，众数为5次；（2）如图．（3）∵被调查的50人中有36人达标，∴350名九年级男生中估计有350×=252人．点评：题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．四、（每小题10分，共20分）20．（10分）（2019•沈阳模拟）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，转盘A被均匀地分成3等分，每份分别标有1，2，3这三个数字；转盘B被均匀地分成4等分，每份分别标有4，5，6，7这四个数字．有人为小明，小飞设计了一个游戏，其规则如下：①同时自由转动转盘A和B；②转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止），用所指的两个数字相乘，如果积为偶数，小明胜，否则小飞胜．（1）请你用列表或树形图求出小明胜和小飞胜的概率；（2）游戏公平吗？若不公平，请你设计一个公平的规则．考点：游戏公平性．分析：游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．解答：解：（1）列表法：1 2 3AB4 1，4 2，4 3，45 1，5 2，5 3，56 1，6 2，6 3，67 1，7 2，7 3，7树形图法故小明胜的概率为，小飞胜的概率为．（2）∵，∴不公平，小明胜的机会大；规则如下：①同时自由转动转盘A和B；②转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止），用所指的两个数字相加，如果和为偶数，小明胜，否则小飞胜．或规则如下：把图A中的数字2改为奇数（比如5）然后按题目中的规则进行比赛：①同时自由转动转盘A和B；②转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止），用所指的两个数字相乘，如果积为偶数，小明胜，否则小飞胜．（方法不唯一，正确即可．）点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．（10分）（2019•沈阳模拟）如图1，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC 并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长DB交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的直径；（2）如图2，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和．（结果保留π与根号）考点：扇形面积的计算；勾股定理；圆周角定理．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）连接CB，AB，CE，由点C为劣弧AB上的中点，可得出CB=CA，再根据CD=CA，得△ABD为直角三角形，可得出∠ABE为直角，根据90度的圆周角所对的弦为直径，从而证出AE是⊙O的直径；（2）由（1）得△ACE为直角三角形，根据勾股定理得出CE的长，阴影部分的面积等于半圆面积减去三角形ACE的面积．解答：（1）证明：连接CB，AB，CE，∵点C为劣弧AB上的中点，∴CB=CA，又∵CD=CA，∴AC=CD=BC，∴∠ABC=∠BAC，∠DBC=∠D，∴∠ABD=90°，∴∠ABE=90°，即弧AE的度数是180°，∴AE是⊙O的直径；（2）解：∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°，∵AE=10，AC=4，∴根据勾股定理得：CE=2，∴S阴影=S半圆﹣S△ACE=12.5π﹣×4×2=12.5π﹣4．点评：本题考查了扇形面积的计算、勾股定理以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握．五、（本题10分）22．（10分）（2019•沈阳模拟）小明在数学课中学习了《解直角三角形》的内容后，双休日组织教学兴趣小组的小伙伴进行实地测量．如图，他们在坡度是i=1：2.5的斜坡DE的D 处，测得楼顶的移动通讯基站铁塔的顶部A和楼顶B的仰角分别是60°、45°，斜坡高EF=2米，CE=13米，CH=2米．大家根据所学知识很快计算出了铁塔高AM．亲爱的同学们，相信你也能计算出铁塔AM的高度！请你写出解答过程．（数据≈1.41，≈1.73供选用，结果保留整数）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：压轴题．分析：先根据斜坡的坡度是i=1：2.5，EF=2，求出FD的长，再根据CE=13，CE=GF，求出GD的长，在Rt△DBG和Rt△DAN中，根据∠GDB=45°和∠NAD=60°，分别求出BG=GD和ND的长，从而得出AN=ND•tan60°，最后再根据AM=AN﹣MN=AN﹣BG，即可得出答案．解答：解：∵斜坡的坡度是i==，EF=2，∴FD=2.5EF=2.5×2=5，∵CE=13，CE=GF，∴GD=GF+FD=CE+FD=13+5=18，在Rt△DBG中，∠GDB=45°，∴BG=GD=18，在Rt△DAN中，∠NAD=60°，∴ND=NG+GD=CH+GD=2+18=20，AN=ND•tan60°=20×=20，∴AM=AN﹣MN=AN﹣BG=20﹣18≈17（米）．答：铁塔高AC约17米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，要掌握坡度、仰角、俯角的定义，关键是能借助仰角和俯角构造直角三角形，并解直角三角形．六、（本题12分）23．（12分）（2019•沈阳模拟）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x 之间的函数关系式．根据题中所给信息解答以下问题：（1）甲、乙两地之间的距离为960km；图中点C的实际意义为：当慢车行驶6h时，快车到达乙地；慢车的速度为80km/h，快车的速度为160km/h；（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，以及自变量x的取值范围；（3）若在第一列快车与慢车相遇时，第二列车从乙地出发驶往甲地，速度与第一列快车相同，请直接写出第二列快车出发多长时间，与慢车相距200km．考点：一次函数的应用．分析：（1）x=0时两车之间的距离即为两地间的距离，根据横坐标和两车之间的距离增加变慢解答，分别利用速度=路程÷时间列式计算即可得解；（2）求出相遇的时间得到点B的坐标，再求出两车间的距离，得到点C的坐标，然后设线段BC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）设第二列快车出发a小时两车相距200km，然后分相遇前与相遇后相距200km 两种情况列出方程求解即可．解答：解：（1）由图象可知，甲、乙两地间的距离是960km；图中点C的实际意义是：当慢车行驶6h时，快车到达乙地；慢车速度是：960÷12=80km/h，快车速度是：960÷6=160km/h；故答案为：960；当慢车行驶6h时，快车到达乙地；80km/h；160km/h；（2）根据题意，两车行驶960km相遇，所用时间=4h，所以，B点的坐标为（4，0），2小时两车相距2×（160+80）=480km，所以，点C的坐标为（6，480），设线段BC的解析式为y=kx+b，则，解得，所以，线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=240x﹣960，自变量x的取值范围是4≤x≤6；（3）设第二列快车出发a小时两车相距200km，分两种情况，①若是第二列快车还没追上慢车，相遇前，则4×80+80a﹣160a=200，解得a=1.5，②若是第二列快车追上慢车以后再超过慢车，则160a﹣（4×80+80a）=200，解得a=6.5，∵快车到达甲地仅需要6小时，∴a=6.5不符合题意，舍去，综上所述，第二列快车出发1.5h，与慢车相距200km．点评：本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，相遇问题，追击问题，综合性较强，（3）要注意分情况讨论并考虑快车到达甲地的时间是6h ，这也是本题容易出错的地方．七、（本题12分） 24．（12分）（2019•沈阳模拟）在▱ABCD 中，∠ADC 的平分线交直线BC 于点E 、交AB 的延长线于点F ，连接AC ．（1）如图1，若∠ADC=90°，G 是EF 的中点，连接AG 、CG ． ①求证：BE=BF ．②请判断△AGC 的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB 绕点F 顺时针旋转60°至FG ，连接AG 、CG ．那么△AGC 又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定；等腰直角三角形． 专题：压轴题． 分析： （1）①先判定四边形ABCD 是矩形，再根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AB ∥DC ，AD ∥BC ，然后根据平行线的性质求出∠F=∠FDC ，∠BEF=∠ADF ，再根据DF 是∠ADC的平分线，利用角平分线的定义得到∠ADF=∠FDC ，从而得到∠F=∠BEF ，然后根据等角对等边的性质即可证明；②连接BG ，根据等腰直角三角形的性质可得∠F=∠BEF=45°，再根据等腰三角形三线合一的性质求出BG=FG ，∠F=∠CBG=45°，然后利用“边角边”证明△AFG 和△CBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG ，再求出∠GAC+∠ACG=90°，然后求出∠AGC=90°，然后根据等腰直角三角形的定义判断即可；（2）连接BG ，根据旋转的性质可得△BFG 是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出AF=AD ，平行四边形的对角相等求出∠ABC=∠ADC=60°，然后求出∠CBG=60°，从而得到∠AFG=∠CBG ，然后利用“边角边”证明△AFG 和△CBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG ，全等三角形对应角相等可得∠FAG=∠BCG ，然后求出∠GAC+∠ACG=120°，再求出∠AGC=60°，然后根据等边三角形的判定方法判定即可．解答： （1）证明：①∵四边形ABCD 是平行四边形，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，AB ∥DC ，AD ∥BC ， ∴∠F=∠FDC ，∠BEF=∠ADF ， ∵DF 是∠ADC 的平分线， ∴∠ADF=∠FDC ， ∴∠F=∠BEF ， ∴BF=BE ；②△AGC是等腰直角三角形．理由如下：连接BG，由①知，BF=BE，∠FBC=90°，∴∠F=∠BEF=45°，∵G是EF的中点，∴BG=FG，∠F=∠CBG=45°，∵∠FAD=90°，∴AF=AD，又∵AD=BC，∴AF=BC，在△AFG和△CBG中，，∴△AFG≌△CBG（SAS），∴AG=CG，∴∠FAG=∠BCG，又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB=90°，∴∠BCG+∠GAC+∠ACB=90°，即∠GAC+∠ACG=90°，∴∠AGC=90°，∴△AGC是等腰直角三角形；（2）连接BG，∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG，∴△BFG是等边三角形，∴FG=BG，∠FBG=60°，又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，∴∠ABC=∠ADC=60°∴∠CBG=180°﹣∠FBG﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠AFG=∠CBG，∵DF是∠ADC的平分线，∴∠ADF=∠FDC，∵AB∥DC，∴∠AFD=∠FDC，∴∠AFD=∠ADF，∴AF=AD，在△AFG和△CBG中，，∴△AFG≌△CBG（SAS），∴AG=CG，∠FAG=∠BCG，在△ABC中，∠GAC+∠ACG=∠ACB+∠BCG+∠GAC=∠ACB+∠BAG+∠GAC=∠ACB+∠BAC=18 0°﹣60°=120°，∴∠AGC=180°﹣（∠GAC+∠ACG）=180°﹣120°=60°，∴△AGC 是等边三角形．点评： 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，难度较大，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 八、（本题14分） 25．（14分）（2019•沈阳模拟）如图，抛物线y=﹣x 2﹣x+交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，顶点为D ． （1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）把△ABC 绕AB 的中点M 旋转180°，得四边形AEBC ，求点E 的坐标，并判四边形AEBC 的形状，并说明理由；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使得△PAD 周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在请说明理由．考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析：（1）分别令x=0以及y=0求出A 、B 、C 三点的坐标． （2）依题意得出BC ∥AE ，又已知A 、B 、C 的坐标易求出点E 的坐标，又因为四边形AEBC 是平行四边形且∠ACB=90°可得四边形AEBC 是矩形．（3）作点A 关于BC 的对称点A ′，连接A ′D 与直线BC 交于点P ．则可得点P 是使△PAD 周长最小的点，然后求出直线A ′D ，直线BC 的函数解析式联立方程求出点P的坐标．解答：解：（1）y=﹣x2﹣x+，令x=0，得y=，令y=0，即﹣x2﹣x+=0，即x2+2x﹣3=0，∴x1=1，x2=﹣3∴A，B，C三点的坐标分别为A（﹣3，0），B（1，0），C（0，）；（2）如图1，过点E作EF⊥AB于F，∵C（0，），∴EF=，∵B（1，0），∴AF=1，∴OF=OA﹣AF=3﹣1=2，∴E（﹣2，﹣），四边形AEBC是矩形．理由：四边形AEBC是平行四边形，且∠ACB=90°，（3）存在．D（﹣1，）如图2，作出点A关于BC的对称点A′，连接A′D与直线BC交于点P．则点P是使△PAD周长最小的点．∵AO=3，∴FO=3，CO=，∴A′F=2，∴求得A′（3，2）过A′、D的直线y=x+，过B、C的直线y=﹣x+，将两函数解析式联立得出：，解得：，故两直线的交点P（﹣，）．点评：本题综合考查了二次函数的有关知识以及利用待定系数法求出函数解析式以及利用轴对称求线段最小值，利用轴对称得出P点位置是解题关键．。
辽宁省沈阳市2019届高三数学教学质量监测试题(三)理(含解析)
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和充分不必要条件的判定，意在考查学生对这些
知识的理解掌握水平和分析推理能力 .
4. 若非零向量 a, b 满足 | a | | b |,(2 a b) b 0 ，则 a,b 的夹角为（
A. 6
【答案】 D
B. 3
5 C.
6
【解析】
【分析】
直接利用数量积的运算法则化简已知即得解 .
）．
A. 3
【答案】 A
B. 3
C. 3 3
【解析】
试
题
分
析
：
a1
2
4
3a4
2 a4 ,
a3 ,
a5
3
3
考点： 1、等差数列； 2、三角函数求值 .
a4 2 2a4
D.
3
3
a，
所
以
4, a3 t来自aa5n(
3
6. 我国古代有着辉煌的数学研究成果． 《周牌算经》 、《九章算术》 、《海岛算经》 、《孙子算
【详解】由于 i i 2 i 3 i 4 i 1 i 1 0 ，
且 i（n n N ) 的周期为 4， 2019=4 504+3 ，
所以原式 = i i 2 i3 i 1 i 1 .
故选： D
【点睛】本题主要考查复数的计算和 i（n n N ) 的周期性，意在考查学生对这些知识的理解
掌握水平和分析推理能力 .
D. 既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】
【分析】
先化简直线 l : y k (x 2) 与圆 x2 y2 1相切，再利用充分必要条件的定义判断得解
.
【详解】因为直线 l : y
2019年辽宁省沈阳市中考数学试卷(含解析)完美打印版
2019年辽宁省沈阳市中考数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）1．（2分）﹣5的相反数是（）A．5B．﹣5C．D．2．（2分）2019年1月1日起我国开始贯彻《国务院关于印发个人所得税专项附加扣除暂行办法的通知》的要求，此次减税范围广，其中有6500万人减税70%以上，将数据6500用科学记数法表示为（）A．6.5×102B．6.5×103C．65×103D．0.65×1043．（2分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．4．（2分）下列说法正确的是（）A．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2＝0.1，S乙2＝0.04，则乙组数据较稳定B．如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨C．了解全国中学生的节水意识应选用普查方式D．早上的太阳从西方升起是必然事件5．（2分）下列运算正确的是（）A．2m3+3m2＝5m5B．m3÷m2＝mC．m•（m2）3＝m6D．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m26．（2分）某青少年篮球队有12名队员，队员的年龄情况统计如下：年龄（岁）1213141516人数31251则这12名队员年龄的众数和中位数分别是（）A．15岁和14岁B．15岁和15岁C．15岁和14.5岁D．14岁和15岁7．（2分）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（）A．3：5B．9：25C．5：3D．25：98．（2分）已知一次函数y＝（k+1）x+b的图象如图所示，则k的取值范围是（）A．k＜0B．k＜﹣1C．k＜1D．k＞﹣19．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A．B．C．D．10．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．abc＜0B．b2﹣4ac＜0C．a﹣b+c＜0D．2a+b＝0二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）因式分解：﹣x2﹣4y2+4xy＝．12．（3分）二元一次方程组的解是．13．（3分）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有个白球．14．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，若AD＝BC＝2，则四边形EGFH的周长是．15．（3分）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点A（，2），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面积是．16．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：（﹣）﹣2+2cos30°﹣|1﹣|+（π﹣2019）0．18．（8分）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是．（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率．19．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若tan∠CAB＝，∠CBG＝45°，BC＝4，则▱ABCD的面积是．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）“勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了名学生；（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；（3）扇形统计图中m的值是，类别D所对应的扇形圆心角的度数是度；（4）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．21．（8分）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元．（1）求甲种树苗每棵多少元？（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？五、（本题10分）22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN 于点D．（1）求证：∠ABC＝∠CBD；（2）若BC＝4，CD＝4，则⊙O的半径是．六、（本题10分）23．（10分）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．（1）k的值是；（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求▱OCED的周长；②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为，请直接写出点C的坐标．七、（本题12分）24．（12分）思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P 可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是；②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值．八、（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N 的上方），且MN＝2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．2019年辽宁省沈阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）1．（2分）﹣5的相反数是（）A．5B．﹣5C．D．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：﹣5的相反数是5，故选：A．2．（2分）2019年1月1日起我国开始贯彻《国务院关于印发个人所得税专项附加扣除暂行办法的通知》的要求，此次减税范围广，其中有6500万人减税70%以上，将数据6500用科学记数法表示为（）A．6.5×102B．6.5×103C．65×103D．0.65×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：6500＝6.5×103，故选：B．3．（2分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面左边有一个正方形．故选：A．4．（2分）下列说法正确的是（）A．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2＝0.1，S乙2＝0.04，则乙组数据较稳定B．如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨C．了解全国中学生的节水意识应选用普查方式D．早上的太阳从西方升起是必然事件【分析】根据方差、概率、全面调查和抽样调查以及随机事件的意义分别对每一项进行分析即可得出答案．【解答】解：A、∵S甲2＝0.1，S乙2＝0.04，∴S甲2＞S乙2，∴乙组数据较稳定，故本选项正确；B、明天降雨的概率是50%表示降雨的可能性，故此选项错误；C、了解全国中学生的节水意识应选用抽样调查方式，故本选项错误；D、早上的太阳从西方升起是不可能事件，故本选项错误；故选：A．5．（2分）下列运算正确的是（）A．2m3+3m2＝5m5B．m3÷m2＝mC．m•（m2）3＝m6D．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2【分析】根据合并同类项、幂的乘法除法、幂的乘方、完全平方公式分别计算即可．【解答】解：A.2m3+3m2＝5m5，不是同类项，不能合并，故错误；B．m3÷m2＝m，正确；C．m•（m2）3＝m7，故错误；D．（m﹣n）（n﹣m）＝﹣（m﹣n）2＝﹣n2﹣m2+2mn，故错误．故选：B．6．（2分）某青少年篮球队有12名队员，队员的年龄情况统计如下：年龄（岁）1213141516人数31251则这12名队员年龄的众数和中位数分别是（）A．15岁和14岁B．15岁和15岁C．15岁和14.5岁D．14岁和15岁【分析】众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解．【解答】解：在这12名队员的年龄数据里，15岁出现了5次，次数最多，因而众数是14512名队员的年龄数据里，第6和第7个数据的平均数＝14.5，因而中位数是14.5．故选：C．7．（2分）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（）A．3：5B．9：25C．5：3D．25：9【分析】相似三角形的周长比等于对应的中线的比．【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，∴△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3．故选：C．8．（2分）已知一次函数y＝（k+1）x+b的图象如图所示，则k的取值范围是（）A．k＜0B．k＜﹣1C．k＜1D．k＞﹣1【分析】根据一次函数的增减性确定有关k的不等式，求解即可．【解答】解：∵观察图象知：y随x的增大而减小，∴k+1＜0，解得：k＜﹣1，故选：B．9．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A．B．C．D．【分析】首先利用直径所对的圆周角为90°得到△ABD是直角三角形，然后利用勾股定理求得AD边的长，然后求得∠B的正弦即可求得答案．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半径是13，∴AB＝2×13＝26，由勾股定理得：AD＝10，∴sin∠B＝＝＝，∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝，故选：D．10．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．abc＜0B．b2﹣4ac＜0C．a﹣b+c＜0D．2a+b＝0【分析】由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x＝1，函数与x轴有两个不同的交点，当x＝﹣1时，y＞0；【解答】解：由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x＝1，∴b＝﹣2a＜0；∴abc＞0，A错误；由图象可知，函数与x轴有两个不同的交点，∴△＞0，B错误；当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，C错误；∵b＝﹣2a，D正确；故选：D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）因式分解：﹣x2﹣4y2+4xy＝﹣（x﹣2y）2．【分析】先提取公因式﹣1，再套用公式完全平方公式进行二次因式分解．【解答】解：﹣x2﹣4y2+4xy，＝﹣（x2+4y2﹣4xy），＝﹣（x﹣2y）2．12．（3分）二元一次方程组的解是．【分析】通过观察可以看出y的系数互为相反数，故①+②可以消去y，解得x的值，再把x的值代入①或②，都可以求出y的值．【解答】解：，①+②得：4x＝8，解得x＝2，把x＝2代入②中得：2+2y＝5，解得y＝1.5，所以原方程组的解为．故答案为．13．（3分）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有3个白球．【分析】从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．【解答】解：由题意可得，红球的概率为70%．则白球的概率为30%，这个口袋中白球的个数：10×30%＝3（个），故答案为3．14．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，若AD＝BC＝2，则四边形EGFH的周长是4．【分析】根三角形的中位线定理即可求得四边形EFGH的各边长，从而求得周长．【解答】证明：∵E、G是AB和AC的中点，∴EG＝BC＝×＝，同理HF＝BC＝，EH＝GF＝AD＝＝．∴四边形EGFH的周长是：4×＝4．故答案为：4．15．（3分）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点A（，2），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面积是2．【分析】把点A（，2）代入y1＝k1x和y2＝（x＞0）可求出k1、k2的值，即可正比例函数和求出反比例函数的解析式，过点B作BD∥x轴交OA于点D，结合点B的坐标即可得出点D的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△AOB的面积．【解答】解：（1）∵正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点A（，2），∴2＝k1，2＝，∴k1＝2，k2＝6，∴正比例函数为y＝2x，反比例函数为：y＝，∵点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，∴y＝＝2，∴B（3，2），∴D（1，2），∴BD＝3﹣1＝2．∴S△AOB＝S△ABD+S△OBD＝×2×（2﹣2）+×2×2＝2，故答案为2．16．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是．【分析】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2＝EC•EP，由此即可解决问题．【解答】解：如图，作FH⊥PE于H．∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，∴AC＝5，∠ACD＝∠FCH＝45°，∵∠FHC＝90°，CF＝2，∴CH＝HF＝，∵CE＝4AE，∴EC＝4，AE＝，∴EH＝5，在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（5）2+（）2＝52，∵∠GEF＝∠GCF＝90°，∴E，G，F，C四点共圆，∴∠EFG＝∠ECG＝45°，∴∠ECF＝∠EFP＝135°，∵∠CEF＝∠FEP，∴△CEF∽△FEP，∴＝，∴EF2＝EC•EP，∴EP＝＝．故答案为．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：（﹣）﹣2+2cos30°﹣|1﹣|+（π﹣2019）0．【分析】直接利用负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝4+2×﹣+1+1＝6．18．（8分）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是．（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率＝；（2）列表如下：A B C DA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数为6种，所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率为＝．19．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若tan∠CAB＝，∠CBG＝45°，BC＝4，则▱ABCD的面积是24．【分析】（1）根据已知条件得到AF＝CE，根据平行线的性质得到∠DF A＝∠BEC，根据全等三角形的性质得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，于是得到结论；（2）根据已知条件得到△BCG是等腰直角三角形，求得BG＝CG＝4，解直角三角形得到AG＝10，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，∵DF∥BE，∴∠DF A＝∠BEC，∵DF＝BE，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：∵CG⊥AB，∴∠G＝90°，∵∠CBG＝45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∵BC＝4，∴BG＝CG＝4，∵tan∠CAB＝，∴AG＝10，∴AB＝6，∴▱ABCD的面积＝6×4＝24，故答案为：24．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）“勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了50名学生；（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；（3）扇形统计图中m的值是32，类别D所对应的扇形圆心角的度数是57.6度；（4）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．【分析】（1）本次共调查了10÷20%＝50（人）；（2）B类人数：50×24%＝12（人），D类人数：50﹣10﹣12﹣16﹣4＝8（人），根据此信息补全条形统计图即可；（3）＝32%，即m＝32，类别D所对应的扇形圆心角的度数360°×＝57.6°；（4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于20小时的学生数．800×（1﹣20%﹣24%）＝448（名）．【解答】解：（1）本次共调查了10÷20%＝50（人），故答案为50；（2）B类人数：50×24%＝12（人），D类人数：50﹣10﹣12﹣16﹣4＝8（人），（3）＝32%，即m＝32，类别D所对应的扇形圆心角的度数360°×＝57.6°，故答案为32，57.6；（4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于20小时的学生数．800×（1﹣20%﹣24%）＝448（名），答：估计该校有448名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．21．（8分）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元．（1）求甲种树苗每棵多少元？（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？【分析】（1）根据题意列出分式方程求解即可；（2）根据题意列出不等式求解即可．【解答】解：（1）设甲种树苗每棵x元，根据题意得：，解得：x＝40，经检验：x＝40是原方程的解，答：甲种树苗每棵40元；（2）设购买乙中树苗y棵，根据题意得：40（100﹣y）+34y≤3800，解得：y≥33，∵y是正整数，∴y最小取34，答：至少要购买乙种树苗34棵．五、（本题10分）22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN 于点D．（1）求证：∠ABC＝∠CBD；（2）若BC＝4，CD＝4，则⊙O的半径是5．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得OC⊥MN，即可证得OC∥BD，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠BCO＝∠ABC，即可证得结论；（2）连接AC，由勾股定理求得BD，然后通过证得△ABC∽△CBD，求得直径AB，从而求得半径．【解答】（1）证明：连接OC，∵MN为⊙O的切线，∴OC⊥MN，∵BD⊥MN，∴OC∥BD，∴∠CBD＝∠BCO．又∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC．；（2）解：连接AC，在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝4，∴BD＝＝8，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∵∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴＝，即＝，∴AB＝10，∴⊙O的半径是5，故答案为5．六、（本题10分）23．（10分）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．（1）k的值是﹣；（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求▱OCED的周长；②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为，请直接写出点C的坐标．【分析】（1）根据点A的坐标，利用待定系数法可求出k值；（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标，由平行四边形的性质结合点E为OB的中点可得出CE是△ABO的中位线，结合点A的坐标可得出CE的长，在Rt△DOE中，利用勾股定理可求出DE的长，再利用平行四边形的周长公式即可求出▱OCED的周长；②设点C的坐标为（x，﹣x+4），则CE＝|x|，CD＝|﹣x+4|，利用三角形的面积公式结合△CDE的面积为可得出关于x的方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，解得：k＝﹣．故答案为：﹣．（2）①由（1）可知直线AB的解析式为y＝﹣x+4．当x＝0时，y＝﹣x+4＝4，∴点B的坐标为（0，4），∴OB＝4．∵点E为OB的中点，∴BE＝OE＝OB＝2．∵点A的坐标为（8，0），∴OA＝8．∵四边形OCED是平行四边形，∴CE∥DA，∴＝＝1，∴BC＝AC，∴CE是△ABO的中位线，∴CE＝OA＝4．∵四边形OCED是平行四边形，∴OD＝CE＝4，OC＝DE．在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，OD＝4，OE＝2，∴DE＝＝2，∴C平行四边形OCED＝2（OD+DE）＝2（4+2）＝8+4．②设点C的坐标为（x，﹣x+4），则CE＝|x|，CD＝|﹣x+4|，∴S△CDE＝CD•CE＝|﹣x2+2x|＝，∴x2+8x+33＝0或x2+8x﹣33＝0．方程x2+8x+33＝0无解；解方程x2+8x﹣33＝0，得：x1＝﹣3，x2＝11，∴点C的坐标为（﹣3，）或（11，﹣）．七、（本题12分）24．（12分）思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P 可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是200米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE．；②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值．【分析】（1）由由CD∥AB，可得∠C＝∠B，根据∠APB＝∠DPC即可证明△ABP≌△DCP，即可得AB＝CD，即可解题．（2）①延长EP交BC于F，易证△FBP≌△EDP（SAS）可得△EFC是等腰直角三角形，即可证明PC ＝PE，PC⊥PE．②作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，易证△FBP≌△EDP（SAS），结合已知得BF＝DE ＝AE，再证明△FBC≌△EAC（SAS），可得△EFC是等腰直角三角形，即可证明PC＝PE，PC⊥PE．③作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H点，由旋转旋转可知，∠CAE＝150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°，得∠FBC＝∠EAC，同②可证可得PC ＝PE，PC⊥PE，再由已知解三角形得∴EC2＝AH2+HE2＝，即可求出PC2＝．【解答】（1）解：∵CD∥AB，∴∠C＝∠B，在△ABP和△DCP中，，∴△ABP≌△DCP（AAS），∴DC＝AB．∵AB＝200米．∴CD＝200米，故答案为：200．（2）①PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE．理由如下：如解图1，延长EP交BC于F，同（1）理，可知∴△FBP≌△EDP（AAS），∴PF＝PE，BF＝DE，又∵AC＝BC，AE＝DE，∴FC＝EC，又∵∠ACB＝90°，∴△EFC是等腰直角三角形，∵EP＝FP，∴PC＝PE，PC⊥PE．②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE．理由如下：如解图2，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，同①理，可知△FBP≌△EDP（AAS），∴BF＝DE，PE＝PF＝，∵DE＝AE，∴BF＝AE，∵当α＝90°时，∠EAC＝90°，∴ED∥AC，EA∥BC∵FB∥AC，∠FBC＝90，∴∠CBF＝∠CAE，在△FBC和△EAC中，，∴△FBC≌△EAC（SAS），∴CF＝CE，∠FCB＝∠ECA，∵∠ACB＝90°，∴∠FCE＝90°，∴△FCE是等腰直角三角形，∵EP＝FP，∴CP⊥EP，CP＝EP＝．③如解图3，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H 点，当α＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE＝150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°，∴∠FBC＝∠EAC＝α＝150°同②可得△FBP≌△EDP（AAS），同②△FCE是等腰直角三角形，CP⊥EP，CP＝EP＝，在Rt△AHE中，∠EAH＝30°，AE＝DE＝1，∴HE＝，AH＝，又∵AC＝AB＝3，∴AH＝3+，∴EC2＝AH2+HE2＝∴PC2＝＝．八、（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N 的上方），且MN＝2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．【分析】（1）将点D、E的坐标代入函数表达式，即可求解；（2）S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×1+×PH×BO，即可求解；（3）过点M作A′M∥AN，过作点A′直线DE的对称点A″，连接P A″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，即可求解．【解答】解：（1）将点D、E的坐标代入函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2，同理可得直线DE的表达式为：y＝x﹣1…①；（2）如图1，连接BF，过点P作PH∥y轴交BF于点H，将点FB代入一次函数表达式，同理可得直线BF的表达式为：y＝﹣x+1，设点P（x，﹣x2+x+2），则点H（x，﹣x+1），S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×1+×PH×BO＝2+2（﹣x2+x+2+x﹣1）＝7，解得：x＝2或，故点P（2，3）或（，）；（3）当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P（2，3），过点M作A′M∥AN，过作点A′直线DE的对称点A″，连接P A″交直线DE于点M，此时，点Q 运动的路径最短，∵MN＝2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′（1，2），A′A″⊥DE，则直线A′A″过点A′，则其表达式为：y＝﹣x+3…②，联立①②得x＝2，则A′A″中点坐标为（2，1），由中点坐标公式得：点A″（3，0），同理可得：直线A″P的表达式为：y＝﹣3x+9…③，联立①③并解得：x＝，即点M（，），点M沿ED向下平移2个单位得：N（，﹣）．。
辽宁省沈阳市2019年中考数学试题含答案【Word版】
2019年沈阳市中考数学试卷试题满分150分 考试时间120分钟参考公式：抛物线2y ax bx c =++的顶点是24(,)24b ac b a a --,对称轴是直线2b x a =-． 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题4分，共24分)1。
0这个数是( )A.正数 B 。
负数 C.整数 D 。
无理数2.2019年端午节小长假期间,沈阳某景区接待游客约为85000人，将数据85000用科学记数法表示为( ）A.85×103B.8.5×104C.0。
85×105D.8.5×105 3。
某几何体的三视图如图所示，这个几何体是( )A.圆柱B.三棱柱C.长方体 D 。
圆锥4。
已知一组数据：1，2，6，3，3，下列说法正确的是（ ）A.众数是3 B 。
中位数是6 C.平均数是4 D 。
方差是55。
一元一次不等式x-1≥0的解集在数轴上表示正确的是( ）A B C D6。
正方形是轴对称图形，它的对称轴有（ )A 。
2条B 。
4条 C.6条 D.8条7.下列运算正确的是（ ）A.()623x x -=- B 。
844x x x =+ C 。
632x x x =⋅ D.()34y xy xy -=-÷8.如图，在△ABC 中,点D 在边AB 上，BD=2AD ，DE ∥BC 交AC 于点E ，若线段DE=5，则线段BC 的长为( ）A.7.5 B 。
10 C 。
15 D.20二、填空题(每小题4分，共32分）9.计算：=9___________10.分解因式：2m 2+10m=___________11.如图，直线a ∥b,直线l 与a 相交于点P ，与直线b 相交于点Q ， PM ⊥l 于点P, 若∠1=50°，则∠2=________°。
12.化简：=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+xx 1111___________ 13.已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数x k y =的图象相交，其中有一个交点的横坐标是2，则k 的值为________.14.如图，△ABC 三边的中点D ，E,F 组成△DEF,△DEF 三边的中点M ，N ，P 组成△MNP ，将△FPM 与△ECD 涂成阴影.假设可以随意在△ABC 中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为________.15。
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沈阳学生世界数学团体锦标赛夺三座金杯
11月27日，记者采访到两名获得金牌的队员商周、王诺舟以及他们的妈妈，从他们四位的介绍中，记者发现，孩子优秀的数学成绩、数学思维，源于他们对数学本身的热爱。
课余时间，他们都喜欢做点数学题、看看数学类书籍解闷。
本报讯(记者封葑)11月27日，记者从沈阳市数学会获悉，第三届世界数学团体锦标赛沈阳代表队已经从北京返回沈阳。
经过四天鏖战，儿童组、少年组、青年组均夺得金杯，获得团体金牌18枚，取得历史最好成绩。
今年，来自美国、保加利亚、菲律宾等80多个国家和地区的选手参加了本届世界数学团体锦标赛。
沈阳代表队分为青年组、少年组、儿童组三个参赛组，每个参赛组6名队员，代表辽宁省参加第三届世界数学团体锦标赛。
本次大赛的个人赛环节，沈阳代表队共获得2枚金牌、6枚银牌、10枚铜牌。
获得金牌的两名队员分别是：儿童组的商周(东北育才双语学校)、少年组的王诺舟(辽宁省实验中学分校)。
团体青年组获得第5名，少年组获第5名，儿童组获第15名，最难得的是全部摘得金杯，获得团体金牌18枚。
市数学会秘书长、沈阳代表队总领队马乾凯教授介绍，此次沈阳代表队成绩骄人，三个参赛组都夺得金杯，这是沈阳代表队的历史最好成绩。
爱阅读的数学天才
爱看《当代工人》
商周今年11岁，是东北育才双语学校六年级的小学生，是班长、数学课代表。
四年级时，他考取了学校超常教育实验部；五年级时，他尝试参加校内的初中升学考试，也顺利通过。
可是，最终他和父母一致选择留在原班级。
“我们希望他不是把时间都用在学习上，他喜欢阅读，爱看书报、杂志，《当代工人》就是他喜欢阅读的杂志。
”商周妈妈告诉记者。
“我特爱数学这个学科。
每做完一道数学题，我都特有成就感。
”商周说，这次参加数学竞赛，与那么多国外的同龄人竞争、交友，更是让他大开眼界。
【妈妈视角】在妈妈眼里商周是一个安静、老实又喜欢参加校内外活动的好孩子，爱游泳，爱乒乓球，还获得过市级大奖，当然最爱的还是数学。
数学成绩优秀的商周，并不偏科，各科成绩都非常棒，一直是年组第一名。
“老师说，他语文成绩也很厉害。
期末考试，全班大多数同学考七八十分，他却考94分。
”商周妈妈说，这孩子学习习惯好，自制力强。
爸爸妈妈平常工作忙，很少有时间陪他，放寒暑假，都是他一个人在家，我们就每天给他留一点作业，他都是先写好作业，再做其他事情。
幼儿园里的“数学大王”
自己推导数学公式
王诺舟今年14岁，家在营口，当年以全省第二名的成绩考
上了辽宁省实验中学分校。
从小就喜欢数学的他，是幼儿园里的“数学大王”，从小到大获了很多奖项：全国“华罗庚金杯”数学邀请赛银牌、连续两届全国希望杯数学竞赛金牌……从不补课的他，对数学有着特殊的见解，从来不死背公式，而喜欢自己去推导。
王诺舟说自己喜欢数学，是因为父母启蒙比较早，自己小学时候做题正确率就比较高，算得也快。
之所以自己推导公式，是希望培养数学能力，锻炼思维。
“我把数学作为课余时间的消遣，学习累的时候，喜欢看诸如《微积分》之类的书籍，只当消遣。
”
【妈妈视角】“这孩子特别聪明，还常有自己独特的思路。
每次做完一道题，他都不算完，还要举一反三。
”妈妈告诉记者，王诺舟对数学特别喜欢，一做数学题他就高兴。
小学时，他曾发现期末考试卷子中的一道题出错了，结果是老师将题目改正了。
（。