海南省临高县临高中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B ，则=<<=≤⋂=A. ()01，B. (]02，C. 1,2D. (]12， 【答案】D【解析】 试题分析：由已知，所以考点：集合的运算2.已知R a ∈，则“2a <”是“22a a <”的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为22a a <,所以0<a<2;所以“2a <”是“22a a <”的必要不充分条件3.设0.3π0.33,log 3,log e a b c ===，则,,a b c 的大小关系是( )A. a b c <<B. c b a <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】B【解析】因为0.30πππ331,log 3(log 1,log π)=(0,1)a b =>==∈，0.30.3log e<log 10c ==，所以c b a <<；故选B.4.已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )．A. 第一或第二象限B. 第二或第三象限C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限【答案】D【解析】【详解】试题分析：α为第三象限角3322,,224k k k Z k k k Z πππαπππαππ∴+<<+∈∴+<<+∈， 当0k =时324παπ<<，当1k =时3724παπ<<，2α∴在第二或第四象限 考点：角的概念的推广点评：角的范围推广到任意角后与角α终边相同的角为()2k k Z απ+∈5.函数sin 1y a x =+的最大值是3，则它的最小值是（ ）A. 0B. 1C. 1-D. 与a 有关【答案】C【解析】【分析】设sin [1,1]x t =∈-，转化为1y at =+在[1,1]-上的最大值是3,分a 的符号进行分类讨论，先求出a 的值，再求其最小值.【详解】设sin [1,1]x t =∈-，当0a =时，不满足条件.当0a >时,1y at =+当1t =时，y 有最大值3，即13a +=，则2a =，则当1t =-时，y 有最小值-1，当0a <时, 1y at =+当1t =-时，y 有最大值3，即13a -+=，则2a =-，则当1t =时，y 有最小值-1，综上sin 1y a x =+的最小值是-1.故选：C.【点睛】本题考查正弦函数的最值，还可以由函数sin 1y a x =+的最大值是3，得到||2a =，函数的最小值为1-||a ，从而得到函数的最小值，属于基础题.6.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()23,x f x x =+-则()f x 的零点个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】试题分析：0x >时，()23,x f x x =+-由数形结合知，此时有一个零点．依据奇函数的对称性知，时也有一个零点．又因为奇函数定义域为全体实数，所以，即过原点．因此共有3个零点．选C ．考点： 函数零点问题， 奇函数图像性质．7.要得到函数y=cos(24x π-)的图像，只需将y=sin 2x 的图像( ) A. 向左平移2π个单位长度 B. 向右平移2π个单位长度 C. 向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4π个单位长度 【答案】A【解析】 试题分析：本题考查三角函数的图像平移问题，要注意将函数解析式变为1y sin[()]sin()sin (2422422x x x ππππ=-+=+=+），然后根据“左加右减”的口诀平移即可.考点：三角函数图像平移.8.若0,2παβπ<<<<且()17cos ,sin ,39βαβ=-+=则sin α的值是( ). A. 127 B. 527 C. 13D. 2327 【答案】C【解析】 由题设122,cos sin 233πβπββ<<=-⇒=，又30222πππαβπαβ<<<<⇒<+<，则4942cos()1819αβ+=-=-，所以，71422291sin sin[()]sin()cos cos()sin ()93273ααββαββαββ=+-=+-+=⨯-==，应选答案C ．点睛：角変换是三角变换中的精髓，也是等价化归与转化数学思想的具体运用，求解本题的关键是巧妙地将一个角变为已知两角的差，再运用三角变换公式进行求解．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90︒的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A. B A C =⋂B. C C =B ∪C. B A B =D. A B C == 【答案】BC【解析】【分析】根据集合,,A B C 中角的范围，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A 选项，A C 除了锐角，还包括其它角，比如330-，所以A 选项错误. 对于B 选项，锐角是小于90的角，故B 选项正确.对于C 选项，锐角是第一象限角，故C 选项正确.对于D 选项，,,A B C 中角的范围不一样，所以D 选项错误.故选：BC【点睛】本小题主要考查角的范围比较，考查集合交集、并集和集合相等的概念，属于基础题.10.下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 1y x=- B. y x = C. 2y x D. 1()2xy = 【答案】ABC【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性，对选项进行逐一判断即可.【详解】选项A ，1y x=-在(0,)+∞上单调递增，所以A 正确. 选项B ，y x =在(0,)+∞上单调递增，所以B 正确.选项C ，2y x 在(0,)+∞上单调递增，所以C 正确.选项D ，1()2xy =在(0,)+∞上单调递减，所以D 不正确.故选：ABC.【点睛】本题考查基本初等函数的单调性，属于基础题.11.下列函数，最小正周期为π的偶函数有（ ）A. tan y x =B. |sin |y x =C. 2cos y x =D. sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】BD【解析】【分析】对选项逐一分析函数的奇偶性和最小正周期，由此选出正确选项.【详解】对于A 选项，函数tan y x =为奇函数，不符合题意.对于B 选项，函数sin y x =是最小正周期为π的偶函数，符合题意.对于C 选项，函数2cos y x =的最小正周期为2π，不符合题意.对于D 选项，函数πsin 2cos 22y x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，是最小正周期为π的偶函数，符合题意. 故选：BD【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，属于基础题. 12.定义运算()()a ab a b b a b ⎧≥⎪⊕=⎨<⎪⎩，设函数()12x f x -=⊕，则下列命题正确的有（ ） A. ()f x 的值域为 [)1,+∞B. ()f x 的值域为 (]0,1C. 不等式()()+12f x f x <成立的范围是(),0-∞D. 不等式()()+12f x f x <成立的范围是()0,+∞【答案】AC【解析】【分析】根据题目给出的定义运算法则先求出()f x 的表达式，然后作出函数图像，根据函数图像可得答案. 【详解】由函数()12x f x -=⊕，有1(12)()2(12)x x x f x ---⎧≥=⎨<⎩, 即2(0)()1(0)xx f x x -⎧<=⎨≥⎩，作出函数()f x 的图像如下，根据函数图像有()f x 的值域为[1,)+∞，若不等式()()+12f x f x <成立，由函数图像有当210x x <+≤即1x ≤-时成立，当2010x x <⎧⎨+>⎩即10x -<<时也成立. 所以不等式()()+12f x f x <成立时，0x <.故选：AC.【点睛】本题考查在新的概念下解决函数的性质问题，考查指数函数的性质，关键是弄清楚新定义的意义，属于基础题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数24()x f a n x -=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(,2)P m ，则m n +=________.【答案】3【解析】【分析】根据指数函数图像过定点的知识，求得,m n 的值，进而求得m n +的值.【详解】根据指数函数过定点的知识可知24012m n -=⎧⎨+=⎩，解得2,1m n ==，所以3m n +=. 故答案为：3 【点睛】本小题主要考查指数型函数过定点问题，属于基础题.14.若3cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.【答案】35【解析】【分析】利用诱导公式，求得所求表达式的值. 【详解】依题意sin 6πα⎛⎫+=⎪⎝⎭πππ3sin cos 2335αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故答案为：35 【点睛】本小题主要考查诱导公式的运用，属于基础题.15.已知0,0,lg 2lg8lg 2,x y x y >>+=则113x y +的最小值是 . 【答案】4【解析】lg 2x ＋lg 8y ＝x lg2＋3y lg 2＝lg 2，∴x ＋3y ＝1， ∴113x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝113x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭·(x ＋3y )＝2＋33y x x y +≥4，当且仅当x ＝12，y ＝16时取等号． 16.关于函数()()4sin 23f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 有下列命题，其中正确的是___________.（填序号）①()y f x =的表达式可改写为()4cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ②()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；③()y f x =的图像关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称； ④()y f x =的图像关于直线6x π=对称.【答案】①③【解析】【分析】 根据诱导公式，周期的公式，对称中心和对称轴的公式，分别判断四个命题的正确性，得到答案. 【详解】因为4sin 24cos 24cos 2366x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以①正确； ()f x 的最小正周期为22ππ=，易得②不正确； 06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭是对称中心，③正确，④不正确. 【点睛】本题考查命题的判断，求三角函数的周期，对称中心和对称轴，属于简单题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知tan 2x =，求：（1）cos sin cos sin x x x x+-的值. （2）222sin sin cos cos x x x x -+的值.【答案】（1）-3；（2）75. 【解析】【分析】（1）原式分子分母除以cos x ，利用同角三角函数间基本关系化简，把tan x 的值代入计算即可求出值；（2）原式分母看做“1”，利用同角三角函数间基本关系化简，把tan x 的值代入计算即可求出值．【详解】（1）∵tan x ＝2， ∴cos sin 1123cos sin 112x x tanx x x tanx +++===----； （2）∵tan x ＝2，∴2sin 2x ﹣sin x cos x +cos 2x 22222222182171415sin x sinxcosx cos x tan x tanx sin x cos x tan x -+-+-+====+++． 【点睛】本题题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，是基础题18.已知40,sin 25παα<<= ． (1)求tan α 的值；(2)求cos 2sin 2παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）43；（2）825【解析】【分析】 （1）根据同角三角函数的基本关系即可求解.（2）由二倍角公式，诱导公式求值即可.【详解】（1）40,sin 25παα<<=，3cos 5α∴==， sin 4tan cos 3ααα∴== （2） 22cos 2sin cos sin cos 2πααααα⎛⎫++=-+ ⎪⎝⎭， 且4sin 5α，3cos 5α=， ∴原式916382525525=-+= 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、诱导公式，需熟记公式，属于基础题.19.已知函数1()f x x x=+. （1）求证：函数()f x 为奇函数；（2）用定义证明：函数()f x 在(1,)+∞上是增函数【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得函数的定义域，然后证得()()f x f x -=-，由此证得()f x 为奇函数.（2）利用函数单调性的定义，计算()()210f x f x ->，由此证得()f x 在()1,+∞上为增函数.【详解】（1）证明：函数()f x 的定义域{|0}x x ≠关于原点对称11()()f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭ 所以函数()f x 为奇函数（2）设12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <，则12212121211211(1)()()()x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵121x x -<<，∴210x x ->，∴121x x >，∴1210x x -> ∴122112(1)()0x x x x x x -->，∴21()()0f x f x ->，即12()()f x f x < ∴()y f x =在(1,)+∞上是增函数【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的证明，考查函数单调性的证明，属于基础题.20.已知()log (1)a f x x =-(a ＞0且a ≠1)（1）求f （x ）的定义域 ;（2）求使f （x ）＞0成立的x 的取值范围.【答案】（1）{x|x<1}（2）见解析【解析】【分析】（1）根据函数的解析式()log (1)a f x x =-，则满足10x ->，即求解函数的定义域；（2）由()0f x >，即log (1)log 1a a x ->，分类讨论即可求解不等式的解集；【详解】（1）依题意得1-x>0，解得x<1故所求定义域{x|x<1}（2）由f （x ）>0得当a>1时，1-x>1即x<0当0<a<1时，0<1-x<1即0<x<1综上，当a>1时，x 的取值范围是{x|x<0},当0<a<1时，x 的取值范围是{x|0<x<1}【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域的求解，以及与对数有关的不等式的求解，其中熟记对数函数的图象与性质是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知函数11sin 322y x x =+，求： （1）函数y 的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数y 的单调递增区间【答案】（1）最大值为2, 最小值为－2最小正周期24T ππω==（2）54,4,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】（1）先根据配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最值以及周期，（2）根据正弦函数求单调递增区间.【详解】解：(1)∵ y=2(1131sin 222x x +) =2(11cos sin sin cos 3232x ππ+) =2sin(123x π+) ∴ 函数y 的最大值为2,最小值为－2最小正周期24T ππω== （2）由122,2232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得函数y 的单调递增区间为：54,4,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点睛】研究三角函数性质，关键先根据三角恒等变换化为基本三角函数形式，再根据正余弦函数或正切函数性质求对应性质.22.某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当t ∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t ∈[14,40]时，曲线是函数()log 583a y t =-+（0a >且1a ≠）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于等于80时听课效果最佳．(1)试求()p f t =的函数关系式；(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．【答案】（1）213112)82,(0,14]4()log (5)83,(14,40]t t p f t t t ⎧--+∈⎪==⎨-+∈⎪⎩（；（2）能，见解析.【解析】【分析】(1)根据所给的函数图像先求出当t ∈(0,14]时的二次函数解析式，再由点14,81（），代入函数()log 583a y t =-+求出t ∈[14,40]时的解析式，用分段函数表达即可.(2)对分段函数，分别解不等式80p ≥，求出t 的取值范围，然后取并集，再计算时间的长度，然后对老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完做出判断.【详解】解：（1）当t ∈(0,14]时，设p ＝f (t )＝c (t －12)2＋82(c <0)，将点(14,81)代入得c ＝－14， ∴当t ∈(0,14]时，p ＝f (t )＝－14 (t －12)2＋82；当t ∈(14,40]时，将点(14,81)代入y ＝log a (t －5)＋83，得a ＝13. 所以p ＝f (t )＝213112)82,(0,14]4()log (5)83,(14,40]t t p f t t t ⎧--+∈⎪==⎨-+∈⎪⎩（(2)当t ∈(0,14]时，－ 14(t －12)2＋82≥80， 解得:1212t -≤≤+所以[1214]t ∈-；当t ∈(14,40]时，log 13(t －5)＋83≥80， 解得5<t ≤32，所以t ∈(14,32]，综上[1232]t ∈-时学生听课效果最佳.此时(32122022t =--=+>所以，教师能够合理安排时间讲完题目.【点睛】本题考查分段函数，函数与方程的思想，用函数解决实际问题的关键是建立数学模型，属于基础题.。