高三数学二模文
安徽省安庆市2024届高三模拟考试(二模)数学试题含答案
2024年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（答案在最后）命题：安庆市高考命题研究课题组考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.设集合{}213A x x =-≤，集合101x B x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.(1,2]B.[1,2]C.(1,1)- D.(1,2)-【答案】A 【解析】【分析】计算出集合A 、B 后借助交集定义即可得.【详解】由213x -≤，可得12x -≤≤，故{}12A x x =-≤≤，由101x x +>-，可得()()110x x +->，即1x >或1x <-，故{1B x x =>或}1x <-，则{}12A B x x ⋂=<≤.故选：A.2.已知复数2z =，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A.14B.1C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】首先分析题意，对给定复数化简，再利用共轭复数知识求解即可.【详解】221=+i 422z -+-，而1i 22z =--，可得1113(+i)(1222244z z ⋅=---=+=.故选：B.3.设F 是椭圆22:1259x y C +=的一个焦点，过椭圆C 中心的直线交椭圆于P ，Q 两点，则PQF △的周长的最小值为（）A.12B.14C.16D.18【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的定义求出10PF QF +=，再由min 26PQ b ==，即可求解.【详解】由椭圆的对称性可知P ，Q 两点关于原点对称，设椭圆的另一个焦点为1F ，则四边形1PFQF 为平行四边形，由椭圆定义可知：11420PF PF QF QF a +++==，又1PF QF =，1PF QF =，所以10PF QF +=，又PQ 过原点，所以min 26PQ b ==，所以PQF △的周长的最小值为：10616+=.故选：C4.在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩（评分满分为100分），将所有数据按[40,50]，(50,60]，(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为（）A.80B.78C.76D.74【答案】B 【解析】【分析】借助百分位数的定义计算即可得.【详解】由0.005100.015100.020100.4⨯+⨯+⨯=，0.005100.015100.020100.030100.7⨯+⨯+⨯+⨯=，故这次调查数据的第64百分位数位于(70,80]之间，设这次调查数据的第64百分位数为x ，则有700.640.4100.70.4x --=-，解得78x =.故选：B .5.设{}n a 是公比不为1的无穷正项等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由等比数列基本量的计算以及正项等比数列的单调性、充要条件的定义即可得解.【详解】{}n a 是公比不为1的无穷正项等比数列，所以()*0,N n a n >∈，一方面：“{}n a 为递减数列”，等价于101n na q a +<=<，要使得()111,0nn a a q a =<>，只需11nq a <，即1lg lg n q a <-，从而1lg lg a n q>-，所以取10lg max 1,1lg n q a ⎧⎫⎡⎤=-+⎨⎬⎢⎣⎦⎩⎭，其中[]x 是指不超过x 的最大整数，则当0n n >时，有1n a <，另一方面：我们假设1q >，且“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”，则当n 越来越大时，同理可得()111,0nn a a q a =>>，但这与“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”矛盾，综上所述，“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”的充要条件.故选：C.6.已知点(1,0)P，(C ，O 是坐标原点，点B 满足1BC = ，则OP 与PB夹角的最大值为（）A.56π B.23π C.2π D.3π【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得点B的轨迹是以C 为圆心，半径1r =的圆，结合直线与圆相切，求得切线的倾斜角，即可求解.【详解】设点(,)B x y，可得()BC x y =--，因为1BC =，可得22(1x y +-=，即点B的轨迹是以C 为圆心，半径1r =的圆，如图所示，设过点P 与圆C 相切的直线PB 的方程为(1)y k x =-，即kx y k 0--=，1=，解得3k =-，设切线的倾斜角为(0π)αα≤<，则tan 3α=-，可得5π6α=，即OP 与PB 夹角的最大值为5π6.故选：A.7.已知函数2()2cos sin 21(0)f x x x ωωω=+->的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的值为（）A.12B.32C.52D.72【答案】B 【解析】【分析】先化简解析式，根据对称性可得12,2k k ω=-∈Z ，再结合最小值点即可求解.【详解】2π()2cos sin 21cos 2sin 224f x x x x x x ωωωωω⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以πππ0424f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故πππ,24k k ω+=∈Z ，即12,2k k ω=-∈Z ，当ππ22π42x k ω+=-+，即3ππ,8k x k ωω=-+∈Z 时，函数()f x 取得最小值，因为()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，所以5ππ83ω≥，即158ω≤，由115228k ω=-≤解得1918k ≤，故1k =，得32ω=.故选：B8.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，点E 是棱AB 上任意一点（端点除外），则（）A.不存在点E ，使得1EC D E⊥B.空间中与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交的直线有且只有1条C.过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有且只有1条D.过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条【答案】D 【解析】【分析】当E 为AB 的中点时判断A ；作图判断B ；利用角平分面的特征判断C ；建立空间直角坐标系，分析判断D.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，对于A ，当E 为AB 的中点时，连接DE ，则45AED BEC ∠=∠= ，即有EC DE ⊥，而1DD ⊥平面ABCD ，EC ⊂平面ABCD ，则1EC DD ⊥，又11,,DE DD D DE DD ⋂=⊂平面1DD E ，因此EC ⊥平面1DD E ，而1D E ⊂平面1DD E ，则1EC D E ⊥，A 错误；对于B ，连接11,BD B D ，设BD EC K ⋂=，111////BB CC DD ，则平面11BDD B 与直线EC 交于K ，点K 在线段BD 上，不含端点，则直线1D K 与直线1BB 相交，同理直线1A E 与直线1BB 相交,因此直线1D K 、1A E 分别与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交，B 错误；对于C ，AB ⊥平面11ADD A ，而1AD ⊂平面11ADD A ，则1AB AD ⊥，又AB AD ⊥，于是1DAD ∠是二面角1D AE D --的平面角，且1π4DAD ∠=，显然1DAD ∠的平分线与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8，过点E 与此直线平行的直线符合要求，这样的直线只有1条；半平面1D AE 与半平面DAEC 的反向延长面所成二面角的角平分面与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于3π8，在此角平分面内过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有2条，因此过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有3条，C 错误；对于D ，建立如图所示的空间直角坐标系，直线1,,AB AD AA 的方向向量分别为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，设过点E 的直线l 方向向量为(,,)a x y z =，由直线l 分别与直线1,,AB AD AA 所成角都相等，==||||||x y z ==，不妨令||1x =，有(1,1,1)a =r 或(1,1,1)a =- 或(1,1,1)a =- 或(1,1,1)a =- ，显然使得||||||1x y z ===成立的向量a有8个，其余4个分别与上述4个向量共线，所以过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条，D 正确.故选：D【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，利用线线夹角的求法是求解选项D 的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知定义在R 上的函数()f x ，满足对任意的实数x ，y ，均有()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时，()1f x <，则（）A.(0)1f = B.(1)(1)1f f +-=C.函数()f x 为减函数 D.函数()y f x =的图象关于点()0,1对称【答案】ACD 【解析】【分析】对A ：借助赋值法令0x y ==计算即可得；对B ：借助赋值法令1x =，1y =-计算即可得；对C ：结合函数单调性的定义及赋值法令0y >计算即可得；对D ：结合函数对称性及赋值法令y x =-计算即可得.【详解】对A ：令0x y ==，则有()()()0001f f f =+-，故(0)1f =，故A 正确；对B ：令1x =，1y =-，则有()()()0111f f f =+--，故()()112f f +-=，故B 错误；对C ：令0y >，则有()()()1f x y f x f y +-=-，其中x y x +>，()10f y -<，令1x x y =+，2x x =，即有对1x ∀、2x ∈R ，当12x x >时，12())0(f x f x -<恒成立，即函数()f x 为减函数，故C 正确；对D ：令y x =-，则有()()()1f x x f x f x -=+--，又(0)1f =，故()()2f x f x +-=，故函数()y f x =的图象关于点()0,1对称，故D 正确.故选：ACD.10.抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，经过点F 且倾斜角为α的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，分别过点A 、点B 作抛物线C 的切线，两切线相交于点E ，则（）A.当16AB =时，π3α=B.AOB 面积的最大值为2C.点E 在一条定直线上D.设直线EF 倾斜角为β，αβ-为定值【答案】CD 【解析】【分析】由焦点为(0,1)F 可得抛物线方程，联立直线与曲线方程，可得关于x 的一元二次方程，即可得与x 有关韦达定理，对A ：利用韦达定理与弦长公式计算即可得；对B ：利用韦达定理与弦长公式及面积公式计算即可得；对C ：借助导数的几何意义可得AE l 与BE l 的方程，即可得点E 坐标，即可得解；对D ：由tan tan 1αβ⋅=-，故可得2παβ-=.【详解】由抛物线的焦点为(0,1)F ，故2p =，即2:4C x y =，由题意可知，直线l 斜率存在，设():1tan AB l y kx k α=+=，()11,A x y ，()22,B x y ，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，有2440x kx --=，216160k ∆=+>，124x x k +=，124x x =-，对A：()241AB k ===+，当16AB =时，即有()24116k +=，故k =，即tan α=，即π3α=或2π3α=，故A 错误；对B：()2114122AOB S d AB k =⨯=+= ，故2AOB S ≥ ，故B 错误；对C ：由()11,A x y ，2:4C x y =，即24x y =，有2x y '=，故()111:2AE x l y x x y =-+，又2114x y =，故211:24AE x x l y x =-，同理可得222:24BE x x l y x =-，设点(),E m n ，则有2112222424x x n m x xn m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，有22121212242x x x x m x x -+=⨯=-，21121122244x x x x x x n +=⨯-=，由124x x k +=，124x x =-，故2m k =，1n =-，故点E 在一条定直线上且该直线为1y =-，故C 正确；对D ：由()2,1E k -，(0,1)F ，则111tan 2k kβ+==--，故有1tan tan 1k k αβ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭，即π2αβ-=，故αβ-为定值且该定值为π2，故D 正确.故选：CD.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.11.满足12a =，21a =，()*21n n n a a a n ++=+∈N 的数列{}na 称为卢卡斯数列，则（）A.存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等差数列B.存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等比数列C.()*243n n n a a a n ++=+∈ND.()20242023113ii i a a =-=-∑【答案】BCD 【解析】【分析】对A 、B ：借助等差数列与等比数列定义计算即可得；对C ：借助21n n n a a a ++=+代入即可得；对D ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N ，得到()()()2121111n n nn n n a a a ++++-=--+-，从而将()202411ii i a =-∑展开后借助该式裂项相消即可得.【详解】对A ：若数列{}()*1n n a ta n ++∈N为等差数列，则有211n n n n ad ta a ta +++-+=-，即()211n n n a t a ta d ++=-++，由()*21n n n a a a n ++=+∈N，故有()111n n n n a a t a ta d +++=-++恒成立，即有1110t t d -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，无解，故不存在这样的实数t ，故A 错误；对B ：若数列{}()*1n n a ta n ++∈N为等比数列，则有211n n n na q ta a ta ++++=+，即()21n n n a q t a qta ++=-+，由()*21n n n a a a n ++=+∈N，故有()11n n n n a a q t a qta +++=-+恒成立，即有11q t qt -=⎧⎨=⎩，即210t t +-=，解得12t -±=，此时21110a ta +=-=≠，故存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等比数列，故B 正确；对C ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N，则32214223n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++++=++=+++=，即有()*243n n n a a a n ++=+∈N，故C 正确；对D ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N ，故()()()()()222121111111n n n n nn n n n n a a a a a +++++++-=-+-=--+-，故()()()()()20242320241232024111111ii i a a a a a =-=-+-+-+-=∑ ()()()()()()()()()()2232432023202221324320232022121111111111a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⨯+-⨯+--+-+--+-+--+-++--+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()202312023202321113a a a ⎡⎤=-++---=-⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：D 选项中关键点在于由()*21n n n a a a n ++=+∈N，得到()()()2121111n n nn n n a a a ++++-=--+-，从而将()202411ii i a =-∑展开后可借助该式裂项相消.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.在二项式10的展开式中，常数项为__________．【答案】210【解析】【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.【详解】对10，有10151536211010C C kkk k k k T x x x ---+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令5506k -=，则6k =，则有655671010C C 210T x -===.故答案为：210.13.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为M ，底面直径2AB =．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，则该圆锥的全面积为__________．【答案】3π【解析】【分析】画出圆锥的截面PAB ，由圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，可得PAB 为等边三角形，借助圆锥的表面积公式计算即可得.【详解】画出圆锥的轴截面如图所示，由O 为圆锥的内切球球心，则有BO 为PBA ∠的角平分线，由O 为圆锥的外接球球心，则OB OP =，故PBO OPB ∠=∠，故APB PBA ∠=∠，又PA PB =，故PAB 为等边三角形，故PM =，2PB =，则22πππ1π123πS r rl =+=⨯+⨯⨯=全.故答案为：3π.14.剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为222333(0)x y a a +=>的曲线C （称为星形线），则曲线C 的内切圆半径为__________；以曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于__________．【答案】①.2a②.a【解析】【分析】由曲线C 的方程可得，该曲线关于x 轴、原点对称，故只需研究第一象限即可，求出第一象限上的点到曲线C 的最短距离即可得其内切圆半径；当0x >，0y >时，曲线可为函数322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点()00,x y 的切线方程，即可得该直线被坐标轴截得的线段长.【详解】设点(),P x y 在曲线222333(0)x y a a +=>上，则(),x y -、(),x y -、(),x y --亦在曲线222333(0)x y a a +=>上，故曲线222333(0)x y a a +=>关于x 轴、y 轴、原点对称，故只需研究第一象限内部分，当0x >，0y >时，由(),P x y 曲线222333(0)x y a a +=>上，故有222333x y a +=，即有2211331x y a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，则可设13cos x a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，13sin y a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即3cos x a α=，3sin y a α=，则OP ======，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则(]2sin 20,1α∈，则min2a OP ==，即曲线C 的内切圆半径为2a ；当0x >，0y >时，222333(0)x y a a +=>可化为322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11221122223333333223y a x x x a x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-='-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则曲线上的点()00,x y 的切线方程为：()3122122223333300y a x xa x x x -⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0x =，则有()13122222233333000y xa x x a x -⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11222222222122333333333300a x x a x a a x a y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令0y =，则有1222133333000x x a x x a x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，则AB a ====.即曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于a .故答案为：2a；a .【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助曲线的对称性，得出只需研究第一象限部分，若点(),P x y 曲线222333(0)x y a a +=>上，可设13cos x a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，13sin y a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而计算出点P 到曲线的最短距离即可得曲线C 的内切圆半径，当0x >，0y >时，曲线可为函数322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点()00,x y 的切线方程，即可计算得该直线被坐标轴截得的线段长.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在平面凸四边形ABCD 中，2sin tan tan cos BADABD ADB ABD∠∠+∠=∠.（1）求ADB ∠；（2）若4AD BD ==，6ACB BDC π∠=∠=，求CD .【答案】（1）3π（2）4【解析】【分析】（1）借助三角恒等变换将所给式子化简计算即可得；（2）结合题意，借助正弦定理与余弦定理计算即可得.【小问1详解】由已知得：sin sin 2sin cos cos cos ABD ADB BADABD ADB ABD∠∠∠+=∠∠∠，故sin cos cos sin 2sin cos cos cos ABD ADB ABD ADB BADABD ADB ABD∠∠+∠∠∠=∠∠∠，所以sin()2sin cos cos cos ABD ADB BADABD ADB ABD∠+∠∠=∠∠∠．因为()()sin sin πsin 0ABD ADB BAD BAD ∠+∠=-∠=∠≠，故1cos 2ADB ∠=，由三角形内角范围知π3ADB ∠=；【小问2详解】由4AD BD ==，π3ADB ∠=，故ABD △为边长为4的等边三角形，在ABC 中，π6ACB ∠=，由正弦定理得sin sin BC AB BAC ACB=∠∠，故sin 8sin sin AB BACBC BAC ACB∠==∠∠，由于πBAC BCA ABD CBD ∠+∠+∠+∠=，所以π2BAC CBD ∠+∠=，故8cos BC CBD =∠，在BCD △中，由余弦定理得2222cos CD BD BC BD BC CBD =+-⨯⨯∠，即22248cos 16CD BC BC CBD =+-⨯⨯∠=，得4CD =.16.已知函数()2ln ()mf x x x m x=-+∈R ．（1）当3m =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()0f x ≤对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）递增区间为(0,3)，递减区间为(3,)+∞（2）(,1]-∞【解析】【分析】（1）求出导函数后借助导函数的正负即可得原函数的单调性；（2）可借助(1)0f ≤，得到1m £，在1m £的情况下，借助1()2ln 2ln m f x x x x x x x=-+≤-+，从而构造函数1()2ln g x x x x=-+，结合该函数的单调性及最值即可得解；亦可通过参变分离，得到22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，通过研究2()2ln h x x x x =-得解.【小问1详解】当3m =-时，3()2ln f x x x x=--，其定义域为(0,)+∞，()()2222312323()1x x x x f x x x x x--+-++='=-+=，令()0f x '=，得3x =（=1x -舍去），当03x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当3x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(3,)+∞；【小问2详解】方法1：由条件可知(1)0f ≤，于是10m -≤，解得1m £．当1m £时，1()2ln 2ln m f x x x x x x x=-+≤-+，构造函数1()2ln g x x x x=-+，1x ≥，()222121()10x g x x x x-=---'=≤，所以函数()g x 在[1,)+∞上单调递减，于是()(1)0g x g ≤=，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．方法2：由条件可知22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，令2()2ln h x x x x =-，1x ≥，只需min [()]m h x ≤即可．()()()22ln 12ln 1h x x x x x =-+=--'，令()ln 1x x x μ=--，则()10x x xμ-'=≥，所以函数()h x '在[1,)+∞上单调递增，于是()()10h x h ''≥=，所以函数()h x 在[1,)+∞上单调递增，所以()()min 11h x h ⎡⎤==⎣⎦，于是1m £，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．17.如图，将边长为2的菱形ABDC 沿其对角线BC 对折，使得点A 、D 分别位于边长为2的等边PBC 所在平面的两侧，且PA PD =．设E 是PA 的中点．（1）证明：平面PBC ⊥平面ABC ；（2）求平面EBD 与平面ABC 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）取BC 的中点O ，根据题意，分别证得OP BC ⊥和OP OA ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得OP ⊥平面ABC ，进而证得平面PBC⊥平面ABC ．（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，根据题意，分别求得平面ABC 和EBD 得到法向量(0,0,1)m =和()3,2n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取BC 的中点O ，连接OA 、OP ，如图所示．因为四边形ABDC 是边长为2的菱形，PBC 是边长为2的等边三角形，所以ABC 也是边长为2的等边三角形，在等边PBC 中，O 是BC 的中点，可得OP BC ⊥且3OA OP ==又因为6PA =222PA OA OP =+，所以OP OA ⊥，因为⋂=OA BC O ，且,OA BC ⊂平面ABC ，所以OP ⊥平面ABC ；又因为OP ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面ABC ．【小问2详解】解：由（1）知，OP BC ⊥，OP OA ⊥．因为O 是等边ABC 的BC 边中点，可得OA BC ⊥．所以，以O 为原点，分别以,,OA OB OP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则3,0,0),,(0,1,0)(0,1,0)3),A B C -，可得33,0,22E ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，因为DBC △是边长为2的等边三角形，故OD OP PD ===，所以60POD ∠=︒，且OD BC ⊥，又因为OP BC ⊥，OD OP O ⋂=，故BC ⊥平面DOP ，则D 在平面xOz 内，可得3,0,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以,1,22BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,1,22BD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ABC 的法向量为(,,)m a b c = ，显然可令(0,0,1)m =；设平面EBD 的法向量为(,,)n x y z =，则0223022n BE x y z n BE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩，令2z =，则0x =，y =()2n =，所以cos ,7m mm n m n ⋅===，设平面EBD 与平面ABC 的夹角为θ，则sin 7θ==，故平面EBD 与平面ABC 的夹角的正弦值为217．18.树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动．第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值12.2ξ≥时体能指标合格；第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A ，B 两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束．经过统计，该校学生身体体能指标ξ服从正态分布(9,2.56)N ．参考数值：()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=．（1）请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）；（2）学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A 类试题，每次测试合格的概率为13，作答B 类试题，每次测试合格的概率为14，且每次测试相互独立．①在解答A 类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率．②若解答A 、B 两类试题测试合格的类数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）68（2）①34；②分布列见解析，115()144E X =.【解析】【分析】（1）首先分析题意，利用正态分布的性质求解即可.（2）进行分类讨论，求解出分布列，再求出期望即可.【小问1详解】10.9545(12.2)(2)0.022752P P ξξμσ-≥=≥+==．所以符合该项指标的学生人数为：30000.0227568.2568⨯=≈人．【小问2详解】①记1A 表示解答A 类试题第一次测试合格，1B ，2B 分别表示解答B 类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M ，则()113P A =，()()()1121213113313443444P A M P AB B P AB B =+=⨯⨯+⨯⨯=．()()()()()112112111134().143P A B B P A B B P A M P M A P A P A +====∣②设X 的取值为0，1，2，224(0)339P x ==⨯=，13321335(1)344334416P x ==⨯⨯+⨯⨯⨯=，35(2)1(0)(1)144P x P x P x ==-=-==，所以X 的分布列为X12P4951635144数学期望4535115()012916144144E X =⨯+⨯+⨯=．19.取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设x ∈R ，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，函数[]y x =称为取整函数．另外也称[]x 是x 的整数部分，称{}[]x x x =-为x 的小数部分．（1）直接写出[]ln π和34⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的值；（2）设a ，*b ∈N ，证明：a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，且01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，并求在b 的倍数中不大于a 的正整数的个数；（3）对于任意一个大于1的整数a ，a 能唯一写为1212k aaak a p p p =⨯⨯⨯ ，其中i p 为质数，i a 为整数，且对任意的i j <，i j p p <，i ，{1,2,3,,}j k ∈⋯，称该式为a 的标准分解式，例如100的标准分解式为2210025=⨯．证明：在!n 的标准分解式中，质因数i p （i p n ≤，1n >，*n ∈N ）的指数231i r r i i i i n n n n a p p p p ∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ ．【答案】（1）1，0.25（2）证明见解析，a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个（3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合定义计算即可得；（2）由题意可得a a ab b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，等式两边同时乘b ，即可得证a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，由a ，b 都为整数，结合定义可证得0a b b b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，即可得证01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，假设b ，2b ，…，nb 都小于等于a ，可得a a nb a b b b b ⎡⎤⎧⎫≤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，即有a a n b b ⎡⎤⎧⎫≤+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，又01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，即可得a n b ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，即可得解；（3）利用（2）中结论可得i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为2i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为3i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，依次进行下去，可得123r i r i i i i n n n n a p p p p ∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=∑⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即得证.【小问1详解】由e π2e <<，故12ln π<<，故[]1ln π=，()3333110.2544444⎧⎫⎡⎤-=---=---==⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦；【小问2详解】因为a a a b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，等式两边同时乘b ，得a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，因为a ，b 都为整数，所以a a b a b b b⎧⎫⎡⎤=-⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦也为整数，又01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以0a b b b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，即得证，假设b ，2b ，…，nb 都小于等于a ，*n ∈N ，因为a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以a a nb a b b b b ⎡⎤⎧⎫≤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以a a n b b⎡⎤⎧⎫≤+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，因为01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以a n b ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，所以b 的倍数中不大于a 的正整数的个数为a b⎡⎤⎢⎥⎣⎦个；【小问3详解】!123n n =⨯⨯⨯⨯ ，将2，3，…，n 每一个数都分解为质因数的乘积．对于质因数i p ，利用（2）中结论，i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为1n ，将这些数都提取i p 出来，此时p 的倍数中还有可以提取出i p 的数，注意到2i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为2i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为2n ，将这些数提取i p 出来；同理，3i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为3i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为3n ，依此这样进行下去，则质因数i p的指数112323ri ri i i in n n na n n np p p p∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=∑⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即得证．。
江苏省南京市盐城市2014届高三数学二模试题-文(含解析)苏教版
江苏省南京市盐城市2014届高三数学二模试题文（含解析）苏教版一、填空题1。
【题文】函数f （x)＝lnx＋错误!的定义域为．【结束】2。
【题文】已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i（i为虚数单位，a错误!R）．若z1z2为实数，则a的值为．【结束】3.【题文】某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩,并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在［300,350)内的学生人数共有．【解析】4.【题文】盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．【结束】5。
【题文】已知等差数列｛an}的公差d不为0,且a1，a3，a7成等比数列,则错误!的值为．【结束】6。
【题文】执行如图所示的流程图,则输出的k的值为．7。
【题文】函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）(A,ω,φ为常数，A＞0,ω＞0,0＜φ＜π）的图象如下图所示,则f（错误!)的值为．考点:三角函数解析式【结束】8。
【题文】在平面直角坐标系xOy中，双曲线错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线相交于A，B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为．【结束】9。
【题文】表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为．【结束】的夹角大小为．【结束】11.【题文】在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为．【结束】12。
【题文】已知f（x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时,f(x)＝x2,当x＞0时，f(x＋1）＝f(x）＋f(1)，且． [来源:］若直线y＝kx与函数y＝f（x)的图象恰有5个不同的公共点,则实数k的值为．02)2(2=++-x k x ，因为相切，所以,08)2(2=-+=∆k 又,0>k 所以.222-=k考点：分段函数图像【结束】［来源:Zxxk 。
安徽省马鞍山市2021届高三第二次教学质量监测(二模)文科数学试题(word含答案)
马鞍山市2021年高三第二次教学质量监测文科数学试题本试卷4页，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U=R,集合A={x|x2≤x},B={-1,0,1,2},则（C U A)∩B=A.{2}B.{1,2}C.{-1,2}D.{-1,0,1,2}2.已知复数z满足iz=z+2i,则复数z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.相传在17世纪末期，莱布尼兹在太极八卦图的启示下，发明了二进制的记数方法．他发现，如果把太极八卦图中“连续的长划”（阳爻：）看作是1,把“间断的短划”（阴爻：）看作是0,那么，用八卦就可以表示出从0到7这八个整数．后来，他又作了进一步的研究，最终发明了二进制的记数方法。
下表给出了部分八卦符号与二进制数的对应关系：请根据上表判断，兑卦对应的八卦符号为4.函数f(x)=xcosx-1x在(－π,π)上的图象大致为5.已知变量x,y满足约束条件10,30,310.x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩,则目标函数z=2x-3y的最小值为A. -7B.-4C.-1D.16. 5.已知sin(3π-α3，则cos(3π＋2α)的值为 A. 23 B. 13 C.- 13 D.- 237.某同学计划暑期去旅游，现有A,B,C,D,E,F 共6个景点可供选择，若每个景点被选中的可能性相等，则他从中选择4个景点且A 被选中的概率是 A.15 B. 16 C. 35 D. 258. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, 0≤φ≤π)的部分图象如图所示．则函数f(x)的图象可由函数 y=sinx 的图象经过下列哪种变换得到A.向左平移3π个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）B.向左平移6π个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）D.向左平移3π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）9.已知双曲线C: 2224x y b+＝1(b>0),以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是A.(1,3213) C.( 32, 131310.3,底面半径为1,O 为底面圆心，OA,OB 为底面半径，且∠AOB=2,3πM 是母线PA 的中点。
北京朝阳区2002届高三文科数学二模试卷
朝阳区高三数学第二次统一练习试卷 （文史类）2002．5（考试时间120分钟，满分150分） 参考公式：三角函数积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βββ-++=a a a)]sin()[sin(21sin cos βββ--+=a a a)]cos()[cos(21cos cos βββ-++=a a a)]cos()[cos(21sin sin βββ--+-=a a a正棱锥、圆锥侧面积公式：cl S 21=锥侧 其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上将该选项涂黑。
（1）设全集 I={-2，-1，21-，31，21，1，2，3}， A={31，21，1，2，3}， B={-2，2}则集合{-2}等于（）（A ）B A ⋂ （B ）A ∩B (C)B A ⋂ (D)B A ⋃（2）直线0153:1=+-y x l 与直线044:2=--y x l 所成的角的大小是（） （A ）32π （B ）3π（C ）4π （D ）6π（3）11->a是a<-1成立的（） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分且必要条件 （D ）既不充分不必要条件 （4）已知圆锥的体积为π316，中截面面积为π，则圆锥的侧面积为（） （A ）π54 （B ）π52 （C ）π62 （D ）π172（5）函数12+-=x y )02(≤<-x 的反函数是（） （A ）x y +=1 （-2<x ≤0） （B ）x y +-=1 （-3<x ≤1） （C ）x y -=1 （-3<x ≤-1） (D) x y --=1 （-3<x ≤1）(6)若幂函数ax x f =)(满足f(2)=4，那么函数|)1(log |)(+x x g a 的图象为（）（7）如图，正四面体S —ABC 中，D 为SC 的中点，则BD 与SA 所成角的余弦值是（）（A ）33 （B ）32 （C ）63 （D ）62 （8）函数)4cos()4cos(2)(ππ-+=x x x f 周期为（）（A ）π (B)23π （C ）2π （D ）3π（9）某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙。
2018北京西城区高三数学(文)(二模)
（ A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（ C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
7．设不等式组
x ≥ 1, x y ≥ 3, 表示的平面区域为 D ．若直线 ax y 0 上存在区域 D 上的点， 2x y ≤ 5
则实数 a 的取值范围是
（ A） [ 1 ,2] 2
（B） [ 1 ,3] 2
2018 北京西城区高三数
学（文）（二模）
第Ⅰ卷 （选择题 共 40 分）
2018.5
一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的 四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1．若集合 A { x | 0 x 1} ， B { x | x 2 2x 0} ，则下列结论中正确的是
中点． CD DA AF FE 2 ， AB 4 ． （Ⅰ）求证： DF // 平面 BCE ；
（Ⅱ）求证：平面 BCF 平面 GCE ； （Ⅲ）求多面体 AFEBCD 的体积．
19．（本小题满分 13 分）
3/9
已知函数 f ( x) ln x ax ，曲线 y f ( x) 在 x 1 处的切线经过点 (2, 1) ． x
2/9
已知函数 f ( x)
cos2 x ．
sin x cos x
（Ⅰ）求 f (x) 的定义域；
（Ⅱ）求 f (x) 的取值范围．
17．（本小题满分 13 分）
在某地区，某项职业的从业者共约 8.5 万人，其中约 3.4 万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体
指标（检测值为不超过 6 的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了
1/9
（ C） [1,2]
2021届江西省南昌市高三二模文科数学试题扫描版附答案
NCS20210607项目第二次模拟测试卷「’ 文科数学木试卷共4页，23小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准•考证号填涂在答题卡上.并在相应位置贴好条形码.2•作答选择题时.选出每小題答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后•再选涂其它答案.3•非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液•不按以上要求作答无效.4•考生必须保证答题卡整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.选择番本题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数Z = l + V3i，则z2在复平面上所对应的点在A・第一彖限B・第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 己知集合/ = {(XJ)|(X + y + l)(2x_y + l) = 0},则集合/中元素个数是A.0个B.1个C.2个D无数个’3. 从编号依次为01,02,…，20的20人中选取5人，现从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始,由左向右依次选取两个数字，则_______________________________5308 3395 5502^ 6215 2702 4369 3218826^ 099£_7846_i充莎刁?莎乙丽巧両亍9527 _肓匕_药方_而厂'A709B^of C^l'5 D. 184. 在平面直角坐标系x®中，若点/与点8(2,1)关于直线y = x对称，则血乙46等于A.15. 己知/⑴二竺二1，则5+勺=：0"是“/(州)+ /(兀)二0”的e” + 1A・充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.坯不充分也不必要条件6 •函数/(x) = sin伽+讣⑺＞0)部分图象如图所示, 若厶ABC的面积为?则血二7. 己知F是抛物线y2=4x的焦点，P是抛物线上的一个动点, 值为A. 2 + 275B. 4 +亦C. 3 + V?8. 直线l:y = k(x±2)上存在两个不同点到原点距离等丁1,则斤的取值范围是D.2龙川3,1),则AJPF周长的最小D・6+7勺A. (-2,2)B. (-73,73) 'C. (-1J)—高三文科数学（模拟二）第2页（共4页）一B9.已知/（x ） = F" ，"（（）」），若/（x ）= 1有两解，则a 的取值范圈是 log, AXE [L2） -A. （0,—）B.（0,才C.（1,2]D.（1,2）10・如图是默默无"蚊”的广告创意图，图中网格是单位正方形，阴影部分由若干个牡两迈首尾相连组成的图形.最外层的半圆弧与矩形相切• 从矩形屮任取一点，则落在阴影部分的概率是 TCB. 3rr28A.C.5TID ・71567H •如图，正四棱锥P —ABCD 的高为12, AB = 6近• 分别为PA 、PC 的中点，过点B.E.F二.填空题：本题共4小题，每小题5分■共20分.13. 已知7 = （—1、2）,乙=（3,—1）,则与a-b 同方向的单位向疑足 ________ • Y 2 1 14. 若曲线y = J — 在X = 处的切线的斜率为三，则勺二 ______________ ・‘ 4 215. 四面体 A BCD 中，Z.ABC = Z.BCD = 90°, AB = BC = CD = 2,AD= 2^3，则该四面体的 外接球表面积为 ________ •16. 如图，平面凹四边形A BCD ,其中力〃 =5, BC = &ZMBC = 60°, AZ.ADC = 120°则四边形A BCD 血积的最小值为―__・12. 将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图彖，例如将双曲线--^1 = 1的图象22绕原点逆时针旋转45°后，能得到反比例函数尹=丄的图象x（其渐近线分别为X 轴和y 轴）：同样的，如图所示，常见 的“对勾函数° =加：+巴（加> 0〃 > 0）也能由双曲线的x 图象绕原点旋转得到（其渐近线分别为『=加兀和y 轴）・ 设m 二写小二屈・则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为A.価B. 4C. 2&D. 2^7的截面交PD 于点A/ , 将四棱锥分成上下两个部分, 规定丽为主视图方向，则几何体CDAB — FME 的俯视图为A B三.解答题：共70分.解答应写出文•字说明、证明过程或演算步骤.第17il21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22. 23题为选考题.考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. （12 分〉己知数列何｝中，=2,a2=l（we N*）.（1 ）求鸟，兔的值；（H）求｛%｝的前2021项和S?⑵.18. （12分）春节期间，防疫常态化要求减少人员聚集，某商场为了应对防疫要求，但又不影响群众购物.采取推广使用••某某到家'•线上购物APP,再由物流人员送货到家.下左图为从某区随机抽取100位年龄在卩0,70）的人口年龄段的频率分布直方图，下右图是该样本中使用了柱某某到家"线上购物APP人数占抽取总人数比的频率柱状图•（1 ）从年龄段在［60,70）的样本中，随机抽取两人•估计都不使用••某某到家"线上购物APP的概率；：U1）若把年龄低于40岁（不含）的人称为^青年人S为确定是否有99.9%的把握认为••青年人” 更愿童使用"某某到家"线上购物APP,填写下列2x2联表，并作出判断.参考数据:-bc\（a 4 6）（c + 〃）（a + c）（b + 〃）其中n-a^b^c^d・19. (12分)如图，菱形ABCD 的边长为6,对角线交于点E, ZABC =芒~,将△/4DC 沿FC 折起得到三棱锥D - ABC ，点D 在底面ABC 的投影为点O ・20. (12分)已知椭圆E:-^- + ^- = l(a>6>0)的离心率,椭圆£与“轴交干人B 两点, 与夕轴交于C,D 两点，四边形ACBD 的面积为4.(I )求椭圆E 的方程；(H)若P 是椭圆E 上一点(不在坐标轴上)，直线PC.PD 分别与乂轴相交于两点，设 PC,PD,OP 的斜率分别为人也扎,过点P 的直线/的斜率为且k& = kk 、,直线/与x 轴 交于点Q,求|M0 — |N0|的值.21. (】2分)已知函数f(x) = e\g(x) = x 9直线y = a(a> 0)分别与函数y = f(x).y = g(x)的 图象交于儿B 两点，O 为坐标原点. (I )求I FBI 长度的最小值；(H)求最大整数使得k<OA OB 对*(0,xo)恒成立.(二)选考题：共10分请考生在第22. 23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. (10分)选修4-4：坐标系与参数方程x = 2 cos 0r-在直角坐标系xOr 中，曲线G 的参数方程为彳 — a(。
江西省南昌市2023届高三二模数学(文)试题(含答案)
江西省南昌市2023届高三二模数学〈文〉试题学校姓名：班级－考号：一、单选题l.己知集合A={xl ι4x-5豆叶，B = {xjlog 2 x ＜牛则A r B =( ) A.(-1,4)B.[-1,4]c.[-l,5]D.(0,4)2.己知复数z满足（z+i)i=l+z ，则复数z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C 第三象限D.第四象限7π3.执行如l到所示的程序框图，若输入x ＝τ，则输出y的值为（）开始每�d－2A ..fj B.－一－l－2C D.24已知数列｛a 小若a ,+a zn ”I =4n-6，则。
7= ()A.9B.l lc.13 D.155.己知α＝log, 0.4, b = l og 0., 0.2, c = 0.4°·2，则（〉A.C>a>bB.c>b ＞。
C.b>c>aD.a>c>b6.己知函数f（对＝2•;n，，命题p :3码，与ε（0，π），使得f (x,)+ f （毛）＝2，命题q:Vx,,Xz el －�，.＇.： I，当引〈乓时，都有！（，飞）＜f(x 2），则下列命题中为真命趣的是（〉飞Z 2)A.pvqB.p,-...qC.pA （「q)D.(-p )A(-q)7.己知抛物线C:y 2=4x 的准线为l，点Mf是抛物线上一点，若因M过点A(3,0）且与革线l相切，则因M与y轴相交所得弦长是（A. 2../2B. 2./3c.4 D.2./5P-ABC 的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，贝I]三棱锥P-ABC 的体积为（〉’...＋ (7)A／主视BA..!_B.14－3户UD.豆39.己知如t J ｛饨，｝的前峭的积为T,，，若a.＝＿＿！！＿＿，则汇的最大值为〈〉2n-5A.豆3B.2c .1D . .!_310.在“ABC 中，角A,8, C所对的边分别为α，b,c ，若a 2,b 2,C 2成等差数列，且J JJC 的丽积为号，则叫＝（A.tB. 2A吨－qJCD.三411.己知函数f(x)= X 3＋旷＋bx+c 的三个零点分别为1，抖，毛（O<x,＜与），若函数/(x + I）为奇函数，则／（2）的取值范围为（〉A. [0,1]B.(0,1)c.(0,2)D.[0,2J12.己知M是因C : (x-1)2 + y 2= 4上的动点，以点M为圆心，IOMI为半径作圆M,设圆M 与圆C 交于A,B 两点，则下列点中，直线AB 一定不经过（）、飞’EE，，／AU4－5／fa『B’飞、A、、It－－／l －2 ， －A －qtM fttlk口υc肚子）、、IBEE－J 5－4AU／FIll－－、D二、填空题13.f(x）是以2为周期的函数，若xe[O,I J时，I＜心＝2‘，则／（3）＝一一一一··14.某红绿灯十字路口早上9点后的某分钟内10辆汽车到达路口的时间依次为（单位：在n,l, 2, 4, 7, I L 16, 21, 29, 37, 46，令A(i)(i = I, 2, 3, · ·, 10）表示第i辆车到达路口的时间，记B(i)= A(i)-A (i-l)(i = 2, 3, ·, 10），则B (i ）的方差为－15.圆锥曲线都具有光学性质，女日双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发敞的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点．如图，一镜面的轴截而因是一条双曲线的部分，AP 是它的一条对称轴，F 是它的FBC 90？，贝I]1亥双曲线的离心率等于一一一一··A16.己知正四面体的棱长为2币，现截去四个金等的小正四面体，得到如图的八丽体，若这个八面体能放进半径为J6的球形容！击cl才，则截去的小正四面体的楼长最小值为．三、解答题17.如｜因是瞅f(x）＝叫叫（仙O叫司的部分图象己知AB·A印y, 步BA x(1）求ω：（�）＝子求伊创胖.r18.如阂，在四棱锥P-ABCD中，已知底iii ABCD是边长为4的菱形，平面PABJ_平π面ABCD，且ζPAB=LDAB＝一，PAJ_PB，点E在结段附上，BE=2PE.3c(1）求证：AB.LDE;(2）求点E jlj平丽PAD 的距离19.一地质探测队为探测一矿中金属键的分布悄况，先设了l个原点，再确定了5个采样点，这5个采样点到原点距离分别为儿，其中x = i (i = 1,2,3,4,5），并得到了各采样点金属锐的含量Y ；，得到一组数据（码，只），i =1,2,3,4,S ，经计算得到如下统计量的值：主只＝62，主（λ；-x ）（川）＝47，主li;""4.烈主（川)2,::: l饥�：（u, -u)(y, -y) "'19.38，其中问＝I叫，（i = 1,2,3,4,5).(1）利用相关系数判断y =a+bx 与y ＝α＋blnxl!)J l l 一个更适宣作为y关于x的回归模型：(2）建立y关于x的回归方程．参考公式：回归方程y ＝α＋bf 中斜率、截距的最小二乘估计公式、相关系数公式分别为艺（t,－η（y;-y) 艺以－f 冯工（t;-T)(y, -y)b = .l=• " ＝牛一一－,a= y-bt ,三（，，-r )'L r? -n,-2 19.382参考数据：－一一＝232.56l .615，＝i（卜，')120.己失u椭困C ：兰＋t =l （α＞b >O ）的焦距为2♂，左、右］页，奇分别为A ，’Az，上顶α0 为8，且t a nLA,B O =2.(1）求椭圆C的方程：(2）若过A，且斜率为k的直线l与椭圆C在第一象限相交干点Q ，与Z主线A,B 相交于点P,与y辅相交子点M ，旦IPAillMQI = 3IQAzllM叫．求k的值．21.己知函数f （巾。
天津市河北区2021届高考数学二模试卷(文科) Word版含解析
天津市河北区2021届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=（）A．﹣1+2i B．1+2i C．1﹣2i D．1+i2．（5分）函数f（x）=tan（2x ﹣）的单调递增区间是（）A．[﹣，+]（k∈Z）B．（﹣，+）（k∈Z）C．（kπ+，kπ+）（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）3．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣84．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，公差d≠0，若S11=132，a3+a k=24，则正整数k的值为（）A．9B．10 C．11 D．125．（5分）已知变量x，y 满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k=（）A．﹣B．C．0D．0或﹣6．（5分）下列命题中错误的是（）A．命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”B．若x，y∈R，则“x=y”是成立的充要条件C．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q必一真一假D．对命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥07．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x=与一条渐近线交于点A，△OAF 的面积为（O为原点），则抛物线y2=x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=﹣2 C．y=﹣1 D．y=﹣2 8．（5分）如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC上的动点，且满足=m ，=n，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点，则||的最小值为（）A．B．C．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．（5分）以下茎叶图记录了某赛季甲、乙两名篮球运动员参与11场竞赛的得分（单位：分）若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a﹣b的值是．10．（5分）某程序框图如图所示，则输出的S的值是．11．（5分）如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°，则AE=．12．（5分）已知集合A={x|x2﹣x≤0}，B={x|f（x）=lg（1﹣|x|）}，则A∩B=．13．（5分）某几何体的三视图都是边长为2的正方形，且此几何体的顶点都在球面上，则球的体积为．14．（5分）已知函数g（x）=ax+1，f（x）=对∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）用分层抽样方法从高中三个班级的相关人员中抽取若干人组成争辩小组，有关数据见表：（单位：人）班级相关人数抽取人数2022-2021学年高一99 x2022-2021学年高二27 y2021届高三18 2（1）求x，y；（2）若从2022-2021学年高二、2021届高三班级抽取的人中选2人，求这二人都来自2022-2021学年高二班级的概率．16．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c ，且=．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若b=4，a=c，求sin（A+）的值．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB=90°，PA=AB=BC=3，AD=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正切值；（Ⅲ）设点E在线段PC 上，若=，求证：DE∥平面PAB．18．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆上任一点与左，右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（+1）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线l1过原点O，直线l2与直线l1相交于点Q，||=1，且l2⊥l1，直线l2与椭圆交于A，B两点，问是否存在这样的直线l2，使•=﹣1成立．若存在，求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，S n=na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）设数列{b n}满足b n =，求证：b1+b2+…+b n ＜．20．（14分）设函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值．天津市河北区2021届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=（）A．﹣1+2i B．1+2i C．1﹣2i D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘法运算化简，然后由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．解答：解：由（a+i）（1+i）=bi，得a﹣1+（a+1）i=bi，∴，即．∴a+bi=1+2i．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件，是基础题．2．（5分）函数f（x）=tan（2x ﹣）的单调递增区间是（）A．[﹣，+]（k∈Z）B．（﹣，+）（k∈Z）C．（kπ+，kπ+）（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）考点：正切函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由正切函数的单调性的性质即可得到结论．解答：解：由＜2x ﹣，即﹣＜x ＜+，（k∈Z），故函数的单调性增区间为（﹣，+）（k∈Z），故选：B．点评：本题主要考查正切函数的单调性的求解，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键．3．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件依据弦长公式求得a的值．解答：解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d==．再由弦长公式可得2﹣a=2+4，∴a=﹣4，故选：B．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，公差d≠0，若S11=132，a3+a k=24，则正整数k的值为（）A．9B．10 C．11 D．12考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出a1+5d=12，2a1+2d+（k﹣1）d=24，从而得到2a1+（2+k﹣1）d=2a1+10d，由此能求出k．解答：解：∵等差数列{a n}中，公差d≠0，S11=132，∴，∴（2a1+10d）×=132，∴a1+5d=12，∵a3+a k=24，∴2a1+2d+（k﹣1）d=24，∴2a1+（2+k﹣1）d=2a1+10d，∴2+k﹣1=10，解得k=9．故选：A．点评：本题考查正整数k的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，留意等差数列的性质的机敏运用．5．（5分）已知变量x，y 满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k=（）A．﹣B．C．0D．0或﹣考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域是直角三角形即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，直线kx﹣y+1=0，过定点A（0，1），当直线kx﹣y+1=0与直线x=0垂直时，满足条件，此时k=0，当直线kx﹣y+1=0与直线y=2x垂直时，满足条件，此时k=﹣，综上k=0或﹣，故选：D点评：本题主要考查一元二次不等式组表示平面区域，以及直线垂直的等价条件，利用数形结合是解决本题的关键．6．（5分）下列命题中错误的是（）A．命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”B．若x，y∈R，则“x=y”是成立的充要条件C．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q必一真一假D．对命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0考点：复合命题的真假．专题：2021届高考数学专题．分析：A命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”．可以推断出A的真假．B由于（x﹣y）2≤0⇔x=y，可推断出B的真假．C．依据p∨q的真假推断规章：当p，q两个命题有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题，据此可以推断出C的真假．D．“命题：∃x∈R，结论p成立”的否定是：“∀x∈R，结论p的反面成立”据此可以推断出D的真假．解答：解：A．据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”．由此可知：命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”．所以A是真命题．B．由实数x，y 满足⇔（x﹣y）2≤0⇔x=y，故当x，y∈R，则“x=y”是成立的充要条件．C．我们知道：只有当p与q皆为假命题时，p∨q才为假命题，既然C中p∨q为假命题，则命题p与q都不行能是真命题，故C是假命题．D．据特称命题的否定规章可知：命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p应是：∀x∈R，则x2+x+1≥0，故D 正确．故选C．点评：本题考查了四种命题间的关系、充要条件、“或”命题、“非”命题及全称命题与特称命题等命题的真假推断，关键是把握其推断方法．7．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x=与一条渐近线交于点A，△OAF 的面积为（O为原点），则抛物线y2=x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=﹣2 C．y=﹣1 D．y=﹣2考点：抛物线的简洁性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线方程求得其渐近线方程，与直线方程联立求得点A的坐标，进而利用△OAF的面积求得a和b的关系式，带入抛物线方程，求得抛物线方程，最终利用抛物线的性质求得准线方程．解答：解：依题意知，双曲线渐近线方程为：y=±，依据对称性可知，A点在x轴上方和下方的解是一样的，故看A在x 轴上方时，联立方程，，求得y=∴S△OAF =•C •=，∴a=b，∴抛物线的方程为y2=4x，即2p=4，p=2∴抛物线的准线方程为x=﹣1，故选：A．点评：本题主要考查了抛物线和双曲线的基本性质．解题的关键是求得a和b的关系．8．（5分）如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC上的动点，且满足=m ，=n，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点，则||的最小值为（）A．B．C．D ．考点：向量的模．专题：平面对量及应用．分析：利用向量的运算法则：三角形法则将用三角形的边对应的向量表示，利用向量模的平方等于向量的平方，将||2表示成m的二次函数，求出二次函数的最值解答：解：由于=m ，=n，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点所以=（）﹣（）=（1﹣m ）（1﹣n ），又m+n=1，所以，所以||2+，△ABC是边长为1的等边三角形，所以上式整理得||2==，所以当m=时，||2最小值为，所以||的最小值为；故选C．点评：考查向量的运算的三角形法则；考查向量模的平方等于向量的平方；利用二次函数求最值．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．（5分）以下茎叶图记录了某赛季甲、乙两名篮球运动员参与11场竞赛的得分（单位：分）若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a﹣b 的值是8．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：依据茎叶图，结合中位数和众数的定义进行求解即可．解答：解：甲运动员的中位数为19，即a=19，乙运动员的众数为b=11，则a﹣b=19﹣11=8，故答案为：8；点评：本题考查中位数，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数分别表示一组数据的特征，这样的问题可以消灭在选择题或填空题，考查最基本的学问点．10．（5分）某程序框图如图所示，则输出的S的值是．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化状况，可得答案．解答：解：由已知的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=1+的值，∵S=1+=；故答案为：．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．11．（5分）如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°，则AE=．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；数形结合．分析：连接OA，由AP为圆的切线，得到∠PAO=90°，过A作AM垂直于AC，过O作OF垂直于AE，依据垂径定理得到F为AE的中点，在直角三角形APO中，由AP的长及∠APO的度数，利用正切函数定义及特殊角的三角函数值求出半径OA的长，由D为OC的中点，可求出OD的长，同时得到∠AOD的度数，在三角形AOD中，依据余弦定理求出AD的长，再由OD及边上的高AM求出三角形AOD的面积，此三角形的面积还可以用AD及边上的高OF表示，进而求出OF的长，在直角三角形AOF中，由OA和OF的长，利用勾股定理求出AF的长，进而求出AE的长．解答：解：连接OA，过O作OF⊥AE，过A作AM⊥PC，如图所示，∵PA为圆O的切线，∴∠PAO=90°，又PA=2，∠APB=30°，∴∠AOD=120°，∴OA=PAtan30°=2×=2，又D为OC中点，故OD=1，依据余弦定理得：AD2=OA2+OD2﹣2OA •ODcos∠AOD=4+1+2=7，解得：AD=，∵在Rt△APM 中，∠APM=30°，且AP=2，∴AM=AP=，故三角形AOD 的面积S=OD •AM=，则S=AD•OF=OF=，∴OF=，在Rt △AOF中，依据勾股定理得：AF==，则AE=2AF=．故答案为：点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的学问有锐角三角函数，勾股定理，直角三角形的性质，以及垂径定理，利用了数形结合的思想，直线与圆相切时，经常连接圆心与切点，构造直角三角形解决问题，直线与圆相交时，经常由弦心距，弦的一半及圆的半径构造直角三角形解决问题，同学做此类题应留意帮助线的作法．12．（5分）已知集合A={x|x2﹣x≤0}，B={x|f（x）=lg（1﹣|x|）}，则A∩B=[0，1）．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由A中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即A=[0，1]，由B中f（x）=lg（1﹣|x|），得到1﹣|x|＞0，即|x|＜1．解得：﹣1＜x＜1，即B=（﹣1，1），则A∩B=[0，1），故答案为：[0，1）点评：此题考查了交集及其运算，娴熟把握交集的定义是解本题的关键．13．（5分）某几何体的三视图都是边长为2的正方形，且此几何体的顶点都在球面上，则球的体积为．考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意可知几何体是正方体，球的直径为正方体的对角线，即可求出球的体积．解答：解：一个空间几何体的三视图均是边长为2的正方形，可知几何体是正方体，∵几何体的顶点都在球面上，∴球的直径为正方体的对角线2，∴球的半径为，∴球的体积为π×（）3=4π．故答案为：4．点评：正确推断几何体的特征是解题的关键，考查空间想象力量，计算力量．14．（5分）已知函数g（x）=ax+1，f（x）=对∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是[﹣1，1]．考点：函数恒成立问题．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：作出函数f（x）的图象，依据条件求出两个函数最值之间的关系，结合数形结合即可得到结论．解答：解：作出函数f（x）=的图象如图：则当x∈[﹣2，2]，f（x）的最大值为f（2）=3，最小值f（﹣2）=﹣4，若a=0，g（x）=1，此时满足∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使g（x1）=f（x2）成立，若a≠0，则直线g（x）过定点B（0，1），若a＞0，要使对∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则满足g（x）max≤f（x）max，且g（x）min≥f（x）min，即2a+1≤3且﹣2a+1≥﹣4，即a≤1且a≤，此时满足0＜a≤1，若a＜0，要使对∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则满足g（x）max≤f（x）max，且g（x）min≥f（x）min，即﹣2a+1≤3且2a+1≥﹣4，即a≥﹣1且a≥﹣，此时满足﹣1≤a＜1，综上﹣1≤a≤1，故答案为：[﹣1，1]．点评：本题主要考查函数与方程之间的关系，利用数形结合是解决本题的关键，本题主要考查的是最值之间的关系，综合性较强，有肯定的难度．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）用分层抽样方法从高中三个班级的相关人员中抽取若干人组成争辩小组，有关数据见表：（单位：人）班级相关人数抽取人数2022-2021学年高一99 x2022-2021学年高二27 y2021届高三18 2（1）求x，y；（2）若从2022-2021学年高二、2021届高三班级抽取的人中选2人，求这二人都来自2022-2021学年高二班级的概率．考点：列举法计算基本大事数及大事发生的概率；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）依据分层抽样，抽取人数与相关人员数对应成比例的原则，结合已知中高中三个班级的相关人员数及从2021届高三班级中抽取的人数，易求得x，y的值．（2）设从2022-2021学年高二班级抽取的3人为b1，b2，b3，从2021届高三班级抽取的2人为c1，c2，从中随机选2人，我们用列举法列出全部不同的选取结果的个数，及满足条件选中的2人都来自2022-2021学年高二的结果个数，即可得到答案．解答：解：（Ⅰ）由题意可得，所以x=11，y=3．（Ⅱ）记从2022-2021学年高二班级抽取的3人为b1，b2，b3，从2021届高三班级抽取的2人为c1，c2，则从这两个班级中抽取的5人中选2人的基本大事有：（b1，b2），（b1，b3），（b1，c1），（b1，c2），（b2，b3），（b2，c1），（b2，c2），（b3，c1），（b3，c2），（c1，c2）共10种．设选中的2人都来自2022-2021学年高二的大事为A，则A包含的基本大事有：（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共3种．因此．故选中的2人都来自2022-2021学年高二的概率为0.3．点评：本题考查的学问点是古典概型，及分层抽样，其中用列举法计算基本大事数及大事性质的概率是古典概型最常用的方法．16．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c ，且=．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若b=4，a=c，求sin（A+）的值．考点：正弦定理的应用；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理可得=，化为sinA=3sinAcosB．即可解出．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，由于b=4，a=c，cosB=．可得a2．利用余弦定理可得cosA=，，即可得出．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理可得=，化为sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，∴sin（B+C）=3sinAcosB．又B+C=π﹣A，∴sinA=3sinAcosB．∵sinA≠0，∴cosB=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，∵将b=4，a=c，cosB=．∴a2=24．∴cosA==，∴=．∴==．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、两角和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB=90°，PA=AB=BC=3，AD=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正切值；（Ⅲ）设点E在线段PC 上，若=，求证：DE∥平面PAB．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明BC⊥AB．PA⊥BC．然后证明BC⊥平面PAB．（Ⅱ）说明∠CPB是PC与平面PB所成的角．然后求解tan∠CPB即可．（Ⅲ）在平面PBC内过点E作BC的平行线交PB于点F，连接AF，证明AF∥DE．然后证明DE∥平面PAB．解答：证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，且∠DAB=90°，∴BC⊥AB．…（1分）又PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC．…（2分）又PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．…（4分）解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥平面PAB，∴∠CPB是PC与平面PB所成的角．…（6分）由已知得PB=3，∴tan∠CPB==．∴PC与平面PAB 所成角的正切值为．…（9分）证明：（Ⅲ）在平面PBC内过点E作BC的平行线交PB于点F，连接AF，∵，∴．∴EF=AD，又EF∥AD，∴ADEF是平行四边形．…（10分）∴AF∥DE．…（11分）又AF⊂平面PAB，DE⊄平面PAB，∴DE∥平面PAB．…（13分）点评：本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面平行与垂直的判定定理，考查空间想象力量以及计算力量．18．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆上任一点与左，右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（+1）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线l1过原点O，直线l2与直线l1相交于点Q，||=1，且l2⊥l1，直线l2与椭圆交于A，B两点，问是否存在这样的直线l2，使•=﹣1成立．若存在，求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意，得2a+2c=4（+1），=，求出a，b，c，即可求椭圆的标准方程；（2）分类争辩，依据•=﹣1，||=1进行转化，将直线l2的方程为mx+ny=1代入椭圆方程，利用x1x2+y1y2=0，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）由题意，得2a+2c=4（+1），=，…（2分）∴a=2c=2，b=2．∴椭圆的标准方程为．…（4分）（Ⅱ）假设存在直线l2，使•=﹣1成立．设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），Q（m，n），且m2+n2=1，则直线l1的方程为nx﹣my=0，直线l2的方程为mx+ny=1．（1）当n=0时，此时直线l2的方程为x=±1，可得A（1，），B（1，﹣），代入•=﹣1，不符题意；…（5分）（2）当n≠0时，将直线l2的方程为mx+ny=1与椭圆方程联立，又m2+n2=1，得（1+m2）x2﹣4mx+2﹣8n2=0．…（6分）∴x1+x2=，x1x2=．…（7分）又∵•=﹣1，∴x1x2+y1y2+2=m（x1+x2）+n（y1+y2）．又mx1+ny1=1，mx2+ny2=1∴m（x1+x2）+n（y1+y2）=2．∴x1x2+y1y2=0．…（9分）∴n2x1x2+1+m2x1x2﹣m（x1+x2）=0．∴x1x2+1﹣m（x1+x2）=0．…（11分）∴﹣5n2=0．∴n=0这与n≠0冲突．…（12分）综上可知，不存在这样的直线l2，使•=﹣1成立．…（13分）点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类争辩的数学思想，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，S n=na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）设数列{b n}满足b n =，求证：b1+b2+…+b n ＜．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1），a2=11，由此能求出a1．（2）当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1，得a n=na n﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）a n﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），从而得到数列{a n}是首项a1=5，公差为6的等差数列，由此能求出数列{a n}的前n项和S n．（3）由=（），由此能证明b1+b2+…+b n＜．解答：解：（1）∵S n=na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．∴S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1），∵a2=11，解得a1=5．（2分）（2）当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1，得a n=na n﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）a n﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），（4分）∴（n﹣1）a n﹣（n﹣1）a n﹣1=6（n﹣1），∴a n﹣a n﹣1=6，n≥2，n∈N*，（6分）∴数列{a n}是首项a1=5，公差为6的等差数列，∴a n=a1+6（n﹣1）=6n﹣1，（7分）∴．（8分）（3）证明：∵（10分）=，（11分）∴（13分）=，∴b1+b2+…+b n ＜．（14分）点评：本题考查数列的首项的求法，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，留意等差数列的性质和放缩法的合理运用．20．（14分）设函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用导数的运算法则即可得出f′（x），并对a分类争辩即可；（2）由（1）的结论，结合根的存在性原理，可以推断存在a0∈（2，3），h（a0）=0，当a＞a0，h（a）＞0；解答：解：（1）由已知可得f′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣==，（x＞0），①当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．②当a＞0时，由f'（x）＞0，得x ＞；由f'（x）＜0，得0＜x ＜，∴函数的单调增区间为（，+∞），单调减区间为（0，）．（2）由（1）得若函数有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值为f （）＜0，即﹣a2+4a﹣4aln＜0，∵a＞0，∴a+4ln﹣4＞0，令h（a）=a+4ln﹣4，明显h（a）在（0，+∞）上是增函数，且h（2）=﹣2＜0，h（3）=4ln﹣1=ln﹣1＞0，∴存在a0∈（2，3），h（a0）=0，当a＞a0，h（a）＞0；当0＜a＜a0时，h（a）＜0．∴满足条件的最小整数a=3，当a=3时，f（3）=3（2﹣ln3）＞0，f（1）=0，∴a=3时f（x）有两个零点．综上，满足条件的最小值a的值为3．点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间以及根的存在性原理的运用．。
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高三数学文科二模试卷
、选择题
2
1•已知全集u Z，A 0,1,2,3，B x|x 3x，则A C d B （）
A. 1,3
B. 1,2
C. 0,3
D. 3
a
2i
2•已知复数是纯虚数（i为虚数单位），则实数a等于（）
2 i
6，4上为增函数，则的最大值为（）
6.《算法统宗》是我国古代数学明珠，由明代数学家程大位所著。
该著作中的如图所
示的程序框图表示。
执行该程序块框图，若输出的
输出曲
开皓
输人日
A.-4
B.4
C.1
D.-1
3•在区间6,7内任取一实数m ,
2479
A.—
B.-— c.— D.—
13131313
22
4•双曲线
C：
x
2
y_ 1a0,b
a b2
A. 2x 'y 0
B. x2y0
5.将函数 f x2si n x
6
x2 mx m的图象与x轴有公共点的概率为（）
0的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是（）
C. 3x y 0 x 、一3y 0
0的图象向右平移一个单位长度，得到函数y g x的图象。
若
6
A. 3
B. 2
3
C.—
2
12
D.—
5
李白沽酒”问题的思路可以用
m的值为0，则输入的a值为（）
21 45 93 189
A. —
B. —
C. —
D.-----------------------
8 16 32 64
7•已知a n为等比数列，数列b n满足b i 2, b2 5，且a n b n ! b n a n !，则数列b n的前n项和为（）
3n2 n3n2 n
A. 3n 1
B. 3n 1
C. ---------------
D.
22
8•某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）
A. 20 2
B. 24 2 1
C. 24 2 2
D. 20 2 1
9•已知奇函数f x的定义域为R,且对任意x R都有f 2 x f x，若当x 0,1时，f x log2 x 1 ，
则f 1 2 （）
1 1
A. B. — C. 1 D. 1
2 2
10. 已知三棱锥P ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ ABC是边长为2的正三角形，PA,PB,PC两
两垂直，则球O的体积为（）
A. B.彳'3 C.3 D.4J3
2
11. 某传媒大学的甲乙丙丁四位学生分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且选修课程互不相同。
下面是关于他们选课的一些信息：
①甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视；
①乙不选广播电视，也不选公共演讲；」
①如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视。
若这些信息都是正确的，依据以上信息推断丙同学选修的课程是（）
A.影视配音
B. 广播电视
C.公共演讲
D.播音主持
x 1 彳
—厂x 1 23
12. 已知函数fx x ，g x x 2x -，设b为实数，若存在实数a，使得
4
ln x 2 x 1
f a
g b 2成立，则实数a的取值范围为（）
A. 1,3
B. 1,3
C. ,13,
二、填空题
13. 若平面向量a,b满足abb 7 a Q3 , b 2，则向量a与b的夹角为_______________________________
y 1
14. 已知实数x, y满足x y 1 0，则z 2x y的最大值是______________________-
x y 4 0
15•已知在平面直角坐标系中，依次链接点P0 0,0 , R X1,1，F2 X2,2，…，P n X n,n得到折线F0RF2 P n,
1
若折线R i 1F?所在直线的斜率为才T i 1,2, ,n，则数列x n的前n项和为 _____________________ --
2
16.已知抛物线X 4y的焦点为F, M是抛物线C上一点，若FM的延长线交X轴正半轴于点N，交抛物
线C的准线丨于点T,且FM MN，则NT ___________________ -
三、解答题
cos B cosC V 3 si nA
17•在△ ABC中，角A,B,C对的边分别为a, b,c，且。
b c 3sin C
(1 )求b的值；
(2)若cosB 3sin B 2，求△ ABC 的最大值。
18.
如图所示，在五面体
ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且 BAD 60 , EA ED AB 2EF 4
EF // AB , M 为 BC 中点。
(1)求证：FM //平面BDE
19.某中学为调查该校学生美洲参加社会实践活动的情况，随机收集了若干名学生每周参加社会实践活动的 0,2内的学生有1人。
(2)将每周参加社会实践活动时间在
4,12内定义为“经常参加社会实践”，参加活动时间在 0,4内定义
为“不经常参加社会实践”，已知样本中所有学生都参加了青少年科技创新大赛，有 13人成绩等级为“优 秀”，其余成绩为“一般”，其中成绩优秀的 13人中“经常参加社会实践活动”的有
12人，请将2X 2列
联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过
0.05的前提下认为青少年科技创新大赛“优秀”与经常
参加社会实践活动有关；
(3 )在(2 )的条件下，如果从样本中“不经常参加社会实践”的学生中随机选取两人参加学校的科技创新 班，求其中恰有一人成绩优秀的概率。
(2)若平面ADE 平面ABCD ，求点F 到平面BDE 的距离。
时间(单位：小时)，将样本数据绘制如图所示的频率分布直方图，且在
(1)求样本容量n 并根据频率分布直方图估计该校学生每周参加社会实践活动时间的平均值
参考公式和数据：
n ad be
abed abedaebd
1
中点为D ，且直线0D 的斜率为 。
2
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若过左焦点 F 斜率为k 的直线丨与椭圆交于 M , N 两点，P 为椭圆上一点，且满足 OP MN ，问
21.设函数 f x x acosx blnxa,b R
（1 ）若 b 0,且f x 在0, 上为增函数，求a 的取值范围；
（2）设 0
b
a 1，右存在 x 1, x 2 0,
，使得 f %
f x 2 x, x 2，求证：b 0 且.％x 2
a 1
x 3 tcos
22. ［选修4-4:坐标系与参数方程］在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
t 为参数，以
y 2 t sin 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为
2 cos
（1） 求直线I 和圆C 的普通方程；
1 1
（2 ）已知直线l 上一点M 3,2，若直线l 与圆C 交于不同的两点 A 、B ,求 —— ——的取值范围。
MA | |MB
23. ［选修4-5 :不等式选讲］已知函数f x x a 2x 1,a R （1 ）当a 1时，求不等式f x 1的解集。
1
（2） 设关于x 的不等式f x 2x 1解集为P ,且 1,
P ，求a 的取值范围。
4
20.已知椭圆
2 2
C ：；2 b
2 19
L 1
b 0
的焦距为
2 3
，斜率为2的直线与椭圆交于
A,B 两点，若线段AB
1
MN
2是否为定值？若是
OP
求出该定值；若否，说明理由。