2017-2018海淀区高三第一学期理科数学期末试卷
2017-2018年北京市海淀区高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
14． （5 分）对任意实数 k，定义集合
．
①若集合 Dk 表示的平面区域是一个三角形，则实数 k 的取值范围是
；
②当 k=0 时，若对任意的（x，y）∈Dk，有 y≥a（x+3）﹣1 恒成立，且存在（x， y）∈Dk，使得 x﹣y≤a 成立，则实数 a 的取值范围为 ．
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15 ． （ 13 分 ） 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， 点 D 在 AC 边 上 ， 且 AD=3BC ， AB= （Ⅰ）求 DC 的值； （Ⅱ）求 tan∠ABC 的值． ．
18． （13 分）已知椭圆 C：x2+2y2=9，点 P（2，0） （Ⅰ）求椭圆 C 的短轴长和离心率； （Ⅱ）过（1，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于两点 M，N，设 MN 的中点为 T，判 断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论． 19． （14 分）已知函数 f（x）=2ex﹣ax2﹣2x﹣2． （Ⅰ）求曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （Ⅱ）当 a≤0 时，求证：函数 f（x）有且仅有一个零点；
7． （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中： ①三棱锥的体积为 ②三棱锥的四个面全是直角三角形 ③三棱锥的四个面的面积最大的是 所有正确的说法是（ ）
A．① B．①②
C．②③
D．①③
8． （5 分）已知点 F 为抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点，点 K 为点 F 关于原点 的对称点，点 M 在抛物线 C 上，则下列说法错误的是（ A．使得△MFK 为等腰三角形的点 M 有且仅有 4 个 B．使得△MFK 为直角三角形的点 M 有且仅有 4 个 C．使得 D．使得 的点 M 有且仅有 4 个 的点 M 有且仅有 4 个 ）
海淀区2018高三数学(理)期末试题及答案
数学（理）答案及评分参考
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）C （5）B （2）D （6）A （3）B （7）C
2017.1
（4）C （8）B
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。有两空的小题，第一空 2 分，第二空 3 分） （9） 15 （12） （10） 2 3 （13） （11） 3 （14） A1 , B1 , D
………………10 分
因为 x [
1 1 , ]， 2 3 π π 2π 所以 πx . 6 3 3 π 1 所以 当 πx 0 ，即 x 时， g ( x) 取得最大值 3 ； 3 3
当 πx
π 2π 1 3 ，即 x 时， g ( x) 取得最小值 . 3 3 3 2
BB1C1C BB1 ， AB Ì 平面 ABB1 A1 ，
所以 AB ^ 平面 BB1C1C . 因为 B1C Ì 平面 BB1C1C ， ………………1 分
C
C1
B A A1
B1
所以 AB ^ B1C .
………………Βιβλιοθήκη 分在菱形 BB1C1C 中， BC1 ^ B1C . 因为 BC1 Ì 平面 ABC1 ， AB Ì 平面 ABC1 ， BC1 AB = B ， 所以 B1C ^ 平面 ABC1 . 因为 AC1 Ì 平面 ABC1 ， ………………4 分
………………6 分
3 2 1， 10 5
………………8 分
1 . 5
所以 EX 3
2 2 （Ⅲ） s1 . s2
1 1 3 2 2 1 0 1 . 10 5 10 5
北京市海淀区2018届高三第一学期期末理科数学试题(Word版含答案)
海淀区高三年级第一学期期末练习第一部分〔选择题 共40分〕一、选择题共8小题，每题5分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
〔1〕复数12ii+= A. 2i - B. 2i + C. 2i -- D. 2i -+〔2〕在极坐标系中Ox ，方程2sin ρθ=表示的圆为A. B. C. D.〔3〕执行如下列图的程序框图，输出的k 值为A.4B.5C.6〔4〕设m 是不为零的实数，则“0m”是“方程221x y m m-=表示的曲线为双曲线”的〔5〕已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，且AOB ∆为正三角形，则实数m 的值为A. 2B. 2C. 22-D. 22-〔6〕从编号分别为1,2,3,4,5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为A. 15B. 25C. 35D. 45〔7〕某三棱锥的三视图如下列图，则以下说法中：①三棱锥的体积为16②三棱锥的四个面全是直角三角形③三棱锥的四个面的面积最大的是2所有正确的说法是A. ①B. ①②C. ②③D. ①③〔8〕已知点F为抛物线2:2(0)C y px p=的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则以下说法错误的选项是．．．．．．∆为等腰三角形的点M有且仅有4个MFKMFK ∆为直角三角形的点M 有且仅有4个C. 使得4MKF π∠=的点M 有且仅有4个D. 使得6MKF π∠=的点M 有且仅有4个第二部分〔非选择题 共110分〕二、填空题共6小题，每题5分，共30分。
〔9〕点(2,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 . 〔10〕已知公差为1的等差数列{}n a 中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项和为 . 〔11〕设抛物线2:4C y x =的顶点为O ，经过抛物线C 的焦点且垂直于x 轴的直线和抛物线C 交于,A B 两点，则OA OB += .〔12〕已知(51)n x -的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则n = .〔13〕已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11AC 上，假设1PM =，则PQ 长度的最小值为 .〔14〕对任意实数k ，定义集合20(,)20,0k x y D x y x y x y R kx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪=+-≤∈⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≤⎩⎩⎭.①假设集合k D 表示的平面区域是一个三角形，则实数k 的取值范围是 ；②当0k =时，假设对任意的(,)k x y D ∈，有(3)1y a x ≥+-恒成立，且存在(,)k x y D ∈，使得x y a -≤成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题共6小题，共80分。
北京市海淀区2017届高三上学期期末考试数学(理)试题(全Word版,含答案)
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）2017.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．32．在极坐标系中，点π(1,)4与点3π(1,)4的距离为A ．1B ．2C ．3D ．53．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为 A ．6B ．7C ．8D ．94．已知向量,a b 满足2+=0a b ，()2+⋅=a b a ，则⋅=a bA ．12-B ．12C ．2-D ．25．已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是A ．1522y x =-+B ．152y x =- C ．322y x =- D ．23y x =-+6．设,x y 满足0,20,2,x y x y x -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则22(1)x y ++的最小值为A ．1B ．92C ．5D ．97．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不．都．涂成红色．．．．，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为 A ．14 B ．16 C ．18 D ．20 8．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱AD ，B 1C 1上的动点，设1,AE x B F y ==．若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是 A ．[0,1]B ．13[,]22C ．[1,2]D ．3[,2]2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足(1i)2z +=，则z =________．ABCD1D 1A 1B 1C E F开始是否是否a a b=-b b a=-a输出结束,a b输入a b≠a b>10．在261()x x+的展开式中，常数项为________．（用数字作答）11．若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为________．12．已知圆C :2220x x y -+=，则圆心坐标为_____；若直线l 过点(1,0)-且与圆C 相切，则直线l 的方程为____13．已知函数2sin()y x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><.① 若(0)1f =，则ϕ=________；② 若x ∃∈R ，使(2)()4f x f x +-=成立，则ω的最小值是__． 14．已知函数||()e cos πx f x x -=+，给出下列命题：①()f x 的最大值为2；②()f x 在(10,10)-内的零点之和为0； ③()f x 的任何一个极大值都大于1. 其中所有正确命题的序号是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在∆ABC 中，2c a =，120B =，且∆ABC 面积为32． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求tan A 的值．16．（本小题满分13分）诚信是立身之本，道德之基.某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一．．．．周期．．，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计：第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期95% 98% 92% 88% 第二个周期94% 94% 83% 80% 第三个周期85%92%95%96%（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x ；（Ⅱ）分别从上表每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望；（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动．根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．17．（本小题满分14分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=，224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点．将三俯视图2左视图211主视图角形AOD 绕边OD 所在直线旋转到1A OD 位置，使得1120AOB ∠=，如图2．设m 为平面1A DC 与平面1A OB 的交线．（Ⅰ）判断直线DC 与直线m 的位置关系并证明； （Ⅱ）若直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，求出1A G 的长； （Ⅲ）求直线1A O 与平面1A BD 所成角的正弦值．18．（本小题满分13分）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点．（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．19. （本小题满分14分）已知函数()ln 1af x x x=--． （Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值．20．（本小题满分13分）对于无穷数列{}n a ,{}n b ，若1212max{,,,}min{,,,}(1,2,3,)k k k b a a a a a a k =-=，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．其中，12max{,,,}k a a a ,12min{,,,}k a a a 分别表示12,,,k a a a 中的最大数和最小数．已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．(Ⅰ)若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； (Ⅱ)证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ；(Ⅲ)若121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =，求所有满足该条件的{}n a ．海淀区AOBCD1图ODCB2图1A高三年级第一学期期末练习数学（理科）答案及评分标准2017.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.B2.B3. C4.C5.A6. B7.D8.C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分，9. 1i -10.15 11.16312.（1,0）；3(1)3y x =+和3(1)3y x =-+13.π6，π214.①②③三、解答题（共6小题，共80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由∆ABC 面积公式及题设得1sin 2S ac B ==1332222a a ⨯⨯=，解得1,2,a c ==由余弦定理及题设可得2222cos b a c ac B =+-114212()72=+-⨯⨯⨯-=，又0,7b b >∴=. (不写b>0不扣分) （Ⅱ）在∆ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B =得：1321sin sin 2147a A B b ==⨯=， 又120B =，所以A 是锐角（或：因为12,a c =<=） 所以217557cos 1sin 19614A A =-==， 所以sin 213tan .cos 557A A A === 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）十二周“水站诚信度”的平均数为x =95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96=91%12100⨯（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3三个周期“水站诚信度”超过91%分别有3次，2次，3次1212(0)44464P X ==⨯⨯=32112112314(1)44444444464P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32132132330(2)44444444464P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32318(3)44464P X ==⨯⨯=随机变量X的分布列为X0 1 2 3P 1327321532932171590123232323232EX=⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下三个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.标准1:会用主题活动前后的百分比变化进行阐述标准2：会用三个周期的诚信度平均数变化进行阐述标准3：会用主题活动前后诚信度变化趋势进行阐述可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：情况一：结论：两次主题活动效果均好.（1分）理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%→85%看出，后继一周都有提升.（2分）情况二：结论：两次主题活动效果都不好.（1分）理由：三个周期的“水站诚信度”平均数分别为93.25%，87.75%，92%(平均数的计算近似即可)，活动进行后，后继计算周期的“水站诚信度”平均数和第一周期比较均有下降.（2分）情况三：结论：第一次主题活动效果好于第二次主题活动.（1分）理由：第一次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（94%-88%=6%）高于第二次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（85%-80%=5%）.（2分）情况四：结论：第二次主题活动效果好于第一次主题活动.（1分）理由：第一次活动后“水站诚信度”虽有上升，但两周后又有下滑，第二次活动后，“水站诚信度”数据连续四周呈上升趋势. （2分）（答出变化）情况五：结论：两次主题活动累加效果好.（1分）理由：两次主题活动“水站诚信度”均有提高，且第二次主题活动后数据提升状态持续周期好.（2分）情况六：以“‘两次主题活动无法比较’作答，只有给出如下理由才给3分：“12个数据的标准差较大，尽管平均数差别不大，但比较仍无意义”.给出其他理由，则结论和理由均不得分（0分）.说明：①情况一和情况二用极差或者方差作为得出结论的理由，只给结论分1分，不给理由分2分.②以下情况不得分.情况七：结论及理由“只涉及一次主题活动，理由中无法辩析是否为两次活动后数据比较之结果”的.例：结论：第二次主题活动效果好.理由：第二次主题活动后诚信度有提高.③其他答案情况，比照以上情况酌情给分，赋分原则是：遵循三个标准，能使用表中数据解释所得结论.17. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）直线DC //m .证明：由题设可得//,CD OB 1CD AOB ⊄平面，1OB AOB ⊂平面， 所以//CD 平面1A OB .又因为CD ⊂平面1A DC ，平面1ADC 平面1A OB m =所以//CD m .法1：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠=，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O =，所以1DO AOB ⊥平面. 在平面AOB 内作OM 垂直OB 于M ，则DO OM ⊥. 如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则1(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D -，所以1(3,1,2)A D =-.设(3,,0)G m ，则由1OG A D ⊥可得10A D OG ⋅=，即(3,1,2)(3,,0)30m m -⋅=-+=解得3m =.所以14AG =. （Ⅲ）设平面1A BD 的法向量(,,)x y z =n ，则110,0,A D A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即320,330,x y z x y ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则3,1x z ==， 所以(3,1,1)=n ，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=1115cos ,5A O n A O n A O n⋅<>==⋅.法2：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠=，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O =，ODCBG1A zxy M所以1DO AOB ⊥平面. 又因为1OG AOB ⊂平面，所以DO OG ⊥. 若在直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，又1OD A D D =，所以1OG AOD ⊥平面， 所以1OG OA ⊥，因为11120,//AOB OB AG ∠=，所以160OAG ∠=， 因为12OA =，所以14A G =.（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分） （Ⅲ）由（II ）可知1OD OA OG 、、两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则10,0,0),(2,0,0),(1,3,0),(0,0,2)O A B D -（， 所以11(2,0,2),(3,3,0,)A D A B =-=- 设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =，则110,0,n A D n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,330,x z x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1x =，则3,1y z ==，所以(1,3,1)n =，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则 sin θ=1115cos ,5AO n AO n AO n ⋅<>==⋅.18. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=， 解得212,23a a ==.所以2228,22c a b c =-==， 所以椭圆G 的离心率是6.3c e a == （Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，O DCBG1A zxy由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=② 将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+所以22361,31C k k y k --+=+因为以BC 为直径的圆经过点A ， 所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++2236128031k k k --=+，即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-.19. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由()ln 1af x x x =--得221'()(0)a x af x x x x x+=+=>.由已知曲线()y f x =存在斜率为1-的切线， 所以'()1f x =-存在大于零的实数根， 即20x x a ++=存在大于零的实数根， 因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围0∞（-，）.（Ⅱ）由2'()x af x x+=，0x >，a ∈R 可得 当0a ≥时，'()0f x >，所以函数()f x 的增区间为(0,)+∞； 当0a <时，若(,)x a ∈-+∞，'()0f x >，若(0,)x a ∈-，'()0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(,)a -+∞，减区间为(0,)a -.（Ⅲ）由()ln x a g x x+=及题设得22ln 1('()(ln )(ln )a x f x x g x x x --==）， 由10a -<<可得01a <-<，由(Ⅱ)可知函数()f x 在(,)a -+∞上递增， 所以(1)10f a =--<，取e x =，显然e 1>，(e)lne 10e a af e=--=->， 所以存在0(1,e)x ∈满足0()0f x =，即存在0(1,e)x ∈满足0'()0g x =，所以(),'()g x g x 在区间(1,)+∞上的情况如下：x0(1,)x 0x 0(,)x +∞'()g x-0 +()g x极小所以当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值. （本题所取的特殊值不唯一，注意到0(1)ax x->>），因此只需要0ln 1x ≥即可）20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列， 所以12121max{,,,}min{,,,}21322n n n n b a a a a a a a a n n =-=-=+-=-，故{}n b 的前n 项和为22(1)2n n n n -⨯=-.- （Ⅱ）因为12121max{,,,}max{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≤=，12121min{,,,}min{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≥=，所以1211211212max{,,,}min{,,,}max{,,,}min{,,,}n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≥-所以1(1,2,3,)n n b b n +≥=. 又因为1110b a a =-=， 所以12121max{,,,}min{,,,}n n n n b b b b b b b b b -=-=，所以{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b .（Ⅲ）由121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =可得 当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即3213132()()b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <矛盾；若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得32133()a a a a -=-，--所以3213a a a a --与同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =. 猜想：满足121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =的数列{}n a 是： 1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.经验证，左式=121212(1)[12(1)]2n n n S S S na n a na a -+++=++++-=+， 右式=112112(1)(1)(1)(1)(1)()22222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--+=+-=+.下面证明其它数列都不满足（Ⅲ）的题设条件.法1：由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩是成立的.假设k a 是首次不符合1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠，由题设条件可得2212(1)(1)222k k k k k k k k a a a b ----+=+（*）， 若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得21(1)()2k k k k a a a a --=- 所以21k k a a a a --与同号，这与12k a a a <≤矛盾； 所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =.这与假设2k a a ≠矛盾.所以不存在数列不满足1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的{}n a 符合题设条件.法2：当i n ≤时，11212max{,,,}min{,,,}i i i i a a a a a a a a b -≤-=，所以1121()ki k i a a b b b =-≤+++∑，(1,2,3,,)k n =即112()k k S ka b b b ≤++++，(1,2,3,,)k n =由1(1,2,3,)n n b b n +≥=可得(1,2,3,,)k n b b k n ≤=又10b =，所以可得1(1)k n S ka k b ≤+-(1,2,3,)k =， 所以12111(2)[02(1)]n n n n n S S S a a na b b b n b +++≤++++⨯++++-，--即121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 所以121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++≤+等号成立的条件是1(1,2,3,,)i i n a a b b i n -===，所以，所有满足该条件的数列{}n a 为1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.（说明：各题的其他做法，可对着参考答案的评分标准相应给分）精品文档考试教学资料施工组织设计方案。
2017-2018学年北京市海淀区高三上学期理科期末数学试卷
15.
如图，在△ABC 中，点D在AC 边上，且AD = ， 3DC AB = ， √7 ∠ADB =
， π ∠C
=
π．
3
6
（1） 求DC 的值． （2） 求tan ∠ABC的值．
康 智 16. 据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据
数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价．
17.
如图 ，梯形 中， ， ， 1
ABC D
AD//BC C D⊥BC BC
=
CD
=
， 1 AD
=
2，E为AD中点．将△ABE沿BE翻折到△A1BE的位
置，使A1E = A1D如图2．
（1） 求证：平面A1ED⊥平面BC ． DE （2） 求A1B与平面A1CD所成角的正弦值． （3） 设M 、N分别为A 和 1E BC 的中点，试比较三棱锥M − A1CD和三棱锥N − A1CD（图中未画出）的体积大小，
并说明理由．
18.
已知椭圆C
：2 x
+
2 2y
=
，点 ． 9
P (2, 0)
（1） 求椭圆C的短轴长与离心率．
康 （2） 过(1, 0)的直线l与椭圆C相交于M 、N两点，设MN的中点为T ，判断|T P 与 | |T M|的大小，并证明你的结论．
智
爱 19. 已知函数 ． x
2
f (x) = 2e − ax − 2x − 2
品牌A
3
6
9
10
4
1
12
17
4
6
6
2018年北京市海淀区高三第一学期期末数学(理)试题及标准答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理科)ﻩﻩ 20１8． 1ﻩ本试卷共4页,150分。
考试时长１２0分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分(选择题，共４０分）一、选择题共8小题,每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)复数12+=iiﻩﻩﻩ ﻩﻩ ﻩﻩ（A ）2-i ﻩ ﻩ(B)2+i ﻩ （C ）2--iﻩ(D ）2-+i（2）在极坐标系Ox 中，方程2sin ρθ=表示的圆为 ﻩﻩﻩ(A ）ﻩ ﻩ （Ｂ)（Ｃ）ﻩ(D)(３）执行如图所示的程序框图,输出的k 值为(Ａ） 4 （B ） 5 （C) ６ (D) 7 ﻩﻩ ﻩ ﻩ ﻩﻩ(4)设m 是不为零的实数，则“0m >”是“方程221x y m m-=表示双曲线”的ﻩ（A ）充分而不必要条件(B ）必要而不充分条件(C ）充分必要条件ﻩﻩﻩ(D ）既不充分也不必要条件(5)已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ,B 两点，且OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为ﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ ﻩ（Aﻩﻩﻩ（Bﻩﻩ（C或 ﻩ（6)从编号分别为1，２，3,4,５,６的六个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,则恰有两个小球编号相邻的概率为 ﻩ ﻩ ﻩ（A ）15ﻩ ﻩ （B ）25ﻩﻩﻩ （C)35ﻩﻩ （D)45（7)某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中:① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形③所有正确的说法是 ﻩ ﻩ （A)① (Ｂ）①② (C ）②③ （Ｄ)①③ ﻩﻩ ﻩ ﻩ ﻩﻩﻩﻩ ﻩ ﻩﻩ ﻩﻩﻩﻩ ﻩ ﻩﻩ ﻩﻩﻩ （8）已知点F 为抛物线C :()220ypx p =>的焦点，点K 为点F 关于原点的对称点,点M 在抛物线C 上,则下列说法错误．．的是 (A)使得MFK ∆为等腰三角形的点M 有且仅有４个 (Ｂ)使得MFK ∆为直角三角形的点M 有且仅有4个（C)使得4MKF π∠=的点M 有且仅有４个 （D)使得6MKF π∠=的点M 有且仅有4个第二部分（非选择题，共1１0分)二、填空题共6小题,每小题5分，共３0分。
2018北京市海淀区高三数学(理科)(上)期末(K12教育文档)
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2018北京市海淀区高三数学（理科)（上)期末 2018. 1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分(选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）复数12+=ii（A ）2-i （B ）2+i（C ）2--i（D)2-+i （2)在极坐标系Ox 中，方程2sin ρθ=表示的圆为（A ）(B)（C ）（D ）（3）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ） 4 （B) 5 （C) 6 （D ） 7（4）设m 是不为零的实数，则“0m >"是“方程221x y m m-=表示双曲线”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C)充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，且OAB ∆为正三角形，则实数m的值为（A（B（C或（或 （6）从编号分别为1，2，3,4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为（A ）15（B ）25（C ）35（D)45（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形 ③所有正确的说法是(A)①（B)①②（C ）②③ （D ）①③（8）已知点F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，点K 为点F 关于原点的对称点,点M 在抛物线C 上，则下列说法错误．．的是 （A ）使得MFK ∆为等腰三角形的点M 有且仅有4个 （B ）使得MFK ∆为直角三角形的点M 有且仅有4个（C)使得4MKF π∠=的点M 有且仅有4个 （D)使得6MKF π∠=的点M 有且仅有4个主视图左视图俯视图二、填空题共6小题，每小题5分,共30分。
2017-2018年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷和参考答案(理科)
2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）复数=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i2．（5分）在极坐标系中Ox，方程ρ=2sinθ表示的圆为（）A．B．C．D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．4 B．5 C．6 D．74．（5分）设m是不为零的实数，则“m＞0”是“方程表示的曲线为双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知直线x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则实数m的值为（）A．B．C．或D．或6．（5分）从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：①三棱锥的体积为②三棱锥的四个面全是直角三角形③三棱锥的四个面的面积最大的是所有正确的说法是（）A．①B．①②C．②③D．①③8．（5分）已知点F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法错误的是（）A．使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个B．使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个C．使得的点M有且仅有4个D．使得的点M有且仅有4个二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）点（2，0）到双曲线的渐近线的距离是．10．（5分）已知公差为1的等差数列{a n}中，a1，a2，a4成等比数列，则{a n}的前100项和为．11．（5分）设抛物线C：y2=4x的顶点为O，经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线C交于A，B两点，则=．12．（5分）已知（5x﹣1）n的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64：1，则n=．13．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，点M是棱BC的中点，点P在底面ABCD内，点Q在线段A1C1上，若PM=1，则PQ长度的最小值为．14．（5分）对任意实数k，定义集合．①若集合D k表示的平面区域是一个三角形，则实数k的取值范围是；②当k=0时，若对任意的（x，y）∈D k，有y≥a（x+3）﹣1恒成立，且存在（x，y）∈D k，使得x﹣y≤a成立，则实数a的取值范围为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，点D在AC边上，且AD=3BC，AB=．（Ⅰ）求DC的值；（Ⅱ）求tan∠ABC的值．16．（13分）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是MIPS）（Ⅰ）从品牌A的12次测试中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率；（Ⅱ）从12次测试中，随机抽取三次，记X为品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数，求X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件．请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价．17．（14分）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD=1，AD=2，E为AD中点．△A1ED为正三角形，将△ABE沿BE翻折到△A1BE的位置，如图2，△A1ED为正三角形．（Ⅰ）求证：平面△A1DE⊥平面BCDE；（Ⅱ）求直线A1B与平面A1CD所成角的正弦值；（Ⅲ）设M，N分别为A1E和BC的中点，试比较三棱锥M﹣A1CD和三棱锥N﹣A1CD（图中未画出）的体积大小，并说明理由．18．（13分）已知椭圆C：x2+2y2=9，点P（2，0）（Ⅰ）求椭圆C的短轴长和离心率；（Ⅱ）过（1，0）的直线l与椭圆C相交于两点M，N，设MN的中点为T，判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论．19．（14分）已知函数f（x）=2e x﹣ax2﹣2x﹣2．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当a≤0时，求证：函数f（x）有且仅有一个零点；（Ⅲ）当a＞0时，写出函数f（x）的零点的个数．（只需写出结论）20．（13分）无穷数列{a n}满足：a1为正整数，且对任意正整数n，a n+1为前n项a1，a2，…，a n中等于a n的项的个数．（Ⅰ）若a1=2，请写出数列{a n}的前7项；（Ⅱ）求证：对于任意正整数M，必存在k∈N*，使得a k＞M；（Ⅲ）求证：“a1=1”是“存在m∈N*，当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立”的充要条件．2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）复数=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【解答】解：=．故选：A．2．（5分）在极坐标系中Ox，方程ρ=2sinθ表示的圆为（）A．B．C．D．【解答】解：方程ρ=2sinθ，整理得：ρ2=2ρsinθ，转化为：x2+y2﹣2y=0，即：x2+（y﹣1）2=1．根据圆在极坐标系中的位置，只有D符合．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，k=1不满足条件a＞10，执行循环体，a=2，k=2不满足条件a＞10，执行循环体，a=4，k=3不满足条件a＞10，执行循环体，a=8，k=4不满足条件a＞10，执行循环体，a=16，k=5满足条件a＞10，退出循环，输出k的值为5．故选：B．4．（5分）设m是不为零的实数，则“m＞0”是“方程表示的曲线为双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：方程表示的曲线为双曲线⇔m≠0．∴“m＞0”是“方程表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）已知直线x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则实数m的值为（）A．B．C．或D．或【解答】解：直线x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则：△AOB的边长为1，则：圆心（0，0）到直线x﹣y+m=0的距离d=，解得：m=±．故选：D．6．（5分）从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，基本事件总数n==20，恰有两个小球编号相邻包含的基本事件个数m=12个，∴恰有两个小球编号相邻的概率为p==．故选：C．7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：①三棱锥的体积为②三棱锥的四个面全是直角三角形③三棱锥的四个面的面积最大的是所有正确的说法是（）A．①B．①②C．②③D．①③【解答】解：依据三视图，可得该几何体，如图三棱锥P﹣ABC，AC=BC=1，AB=．PA=PB，面PC⊥面ABC，P到面ABC的距离为1．①三棱锥的体积为=，正确；②三棱锥的面PAB不是直角三角形，错；③三棱锥的四个面的面积最大的是△PAB，PA=BP═AB=，其面积S=，故错．故选：A8．（5分）已知点F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法错误的是（）A．使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个B．使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个C．使得的点M有且仅有4个D．使得的点M有且仅有4个【解答】解：由△MFK为等腰三角形，若KF=MF，则M有两个点；若MK=MF，则不存在，若MK=FK，则M有两个点，则使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个；由△MFK中∠MFK为直角的点M有两个；∠MKF为直角的点M不存在；∠FMK为直角的点M有两个，则使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个；若的M在第一象限，可得直线MK：y=x+，代入抛物线的方程可得x2﹣px+=0，解得x=，由对称性可得M在第四象限只有一个，则满足的M有且只有2个；使得的点M在第一象限，可得直线MK：y=（x+），代入抛物线的方程，可得x2﹣5px+=0，△=25p2﹣p2=24p2＞0，可得点M有2个；若M在第四象限，由对称性可得也有2个，则使得的点M有且只有4个．故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）点（2，0）到双曲线的渐近线的距离是．【解答】解：双曲线的渐近线为：y=，点（2，0）到双曲线的渐近线的距离是：=．故答案为：．10．（5分）已知公差为1的等差数列{a n}中，a1，a2，a4成等比数列，则{a n}的前100项和为5050．【解答】解：在公差为1的等差数列{a n}中，由a1，a2，a4成等比数列，得：（a1+1）2=a1（a1+3），即a1=1．∴S100=100×=5050．故答案为：5050．11．（5分）设抛物线C：y2=4x的顶点为O，经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线C交于A，B两点，则=2．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点坐标（1，0），经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线C交于A，B两点，则A（1，2），B（1，﹣2）；=（2，0）；则=2．故答案为：2．12．（5分）已知（5x﹣1）n的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64：1，则n=6．【解答】解：由题意可得=2n=64，∴n=6，故答案为：6．13．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，点M是棱BC的中点，点P在底面ABCD内，点Q在线段A1C1上，若PM=1，则PQ长度的最小值为．【解答】解：如图，点P在以M为圆心，1以半径的位于平面ABCD内的半圆上，连结A1C1、B1D1，交于点O，取B1C1中点N，OC1中点Q，连结QN，取QN中点E，连结PE，PQ，此时PQ长度取最小值，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，点M是棱BC的中点，点P在底面ABCD 内，点Q在线段A1C1上，PM=1，∴PM=EN=1，∵ON=OB1=B1D1==2，∴QE=2﹣1=1，又PE=CC1=4，∴PQ长度的最小值为：==．故答案为：．14．（5分）对任意实数k，定义集合．①若集合D k表示的平面区域是一个三角形，则实数k的取值范围是（﹣1，1）；②当k=0时，若对任意的（x，y）∈D k，有y≥a（x+3）﹣1恒成立，且存在（x，y）∈D k，使得x﹣y≤a成立，则实数a的取值范围为[﹣2，] ．【解答】解：①作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，观察图形可得只要满足﹣1＜k＜1时满足条件，②对任意的（x，y）∈D k，有y≥a（x+3）﹣1恒成立，则a≤恒成立，因为表示与定点（﹣3，﹣1）的斜率，当过点B（2，0）时，此时有最小值，最小值为，即a≤，存在（x，y）∈D k，使得x﹣y≤a成立，则a≥（x﹣y）min，平移目标函数y=x﹣a，当直线和y=x+2重合时，此时x﹣y最小，最小值为﹣2，则a≥﹣2，综上所述a的取值范围为[﹣2，]故答案为：①（﹣1，1）②三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，点D在AC边上，且AD=3BC，AB=．（Ⅰ）求DC的值；（Ⅱ）求tan∠ABC的值．【解答】（本小题13分）解：（Ⅰ）如图所示，，…．（1分）故∠DBC=∠C，DB=DC…．（2分）设DC=x，则DB=x，DA=3x．在△ADB中，由余弦定理AB2=DA2+DB2﹣2DA•DB•cos∠ADB…．（3分）即，…．（4分）解得x=1，即DC=1．…．（5分）（Ⅱ）方法一．在△ADB中，由AD＞AB，得∠ABD＞∠ADB=60°，故…．（6分）在△ABC中，由正弦定理…．（7分）即，故，…．（9分）由，得，…．（11分）…（13分）方法二．在△ADB中，由余弦定理…．（7分）由∠ABD∈（0，π），故…．（9分）故…．（11分）故…（13分）16．（13分）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是MIPS ）（Ⅰ）从品牌A 的12次测试中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率； （Ⅱ）从12次测试中，随机抽取三次，记X 为品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件．请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价． 【解答】（本小题13分）解：（Ⅰ）从品牌A 的12次测试中，测试结果打开速度小于7的文件有： 测试1、2、5、6、9、10、11，共7次 设该测试结果打开速度小于7为事件A ，因此…．（3分）（Ⅱ）12次测试中，品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数有： 测试1、3、4、5、7、8，共6次 随机变量X 所有可能的取值为：0，1，2，3…．（7分）随机变量X 的分布列为…．（8分）…．（10分）（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分．给出明确结论，（1分）；结合已有数据，能够运用以下8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，（2分）．…（13分）．标准1：会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）标准2：会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）标准3：会用品牌A前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A前6次测试结果的平均值大于品牌B前6次测试结果的平均值，品牌A后6次测试结果的平均值小于品牌B后6次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）标准4：会用品牌A前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述（品牌A前6次测试结果的方差大于品牌B前6次测试结果的方差，品牌A后6次测试结果的方差小于品牌B后6次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B）标准5：会用品牌A这12次测试结果的平均值与品牌B这12次测试结果的平均值进行阐述（品牌A这12次测试结果的平均值小于品牌B这12次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于B）标准6：会用品牌A这12次测试结果的方差与品牌B这12次测试结果的方差进行阐述（品牌A这12次测试结果的方差小于品牌B这12次测试结果的方差，品牌A打开文件速度的波动小于B）标准7：会用前6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A小于品牌B的有2次，占1/3．后6次测试中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3．故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于B）标准8：会用这12次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（这12次测试结果中，品牌A小于品牌B的有6次，占1/2．故品牌A和品牌B打开文件的速度相当）参考数据17．（14分）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD=1，AD=2，E为AD中点．△A1ED为正三角形，将△ABE沿BE翻折到△A1BE的位置，如图2，△A1ED为正三角形．（Ⅰ）求证：平面△A1DE⊥平面BCDE；（Ⅱ）求直线A1B与平面A1CD所成角的正弦值；（Ⅲ）设M，N分别为A1E和BC的中点，试比较三棱锥M﹣A1CD和三棱锥N﹣A1CD（图中未画出）的体积大小，并说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵BE⊥A1E，BE⊥DE，且A1E∩DE=E，A1E，DE⊂平面A1DE，∴BE⊥平面A1DE，∵BE⊂平面BCDE，∴平面A1DE⊥平面BCDE；（Ⅱ）解：在平面A1DE内过E作ED的垂线，由BE⊥平面A1DE，建系如图．则，B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，0）．，，，设平面A 1CD的法向量为，则，即，令z=1，得，∴．∴A1B与平面A1CD所成角的正弦值为；（Ⅲ）解：三棱锥M﹣A1CD和三棱锥N﹣A1CD的体积相等．理由如：方法一、由，，知，则．∵MN⊄平面A1CD，∴MN∥平面A1CD．故点M、N到平面A1CD的距离相等，有三棱锥M﹣A1CD和N﹣A1CD同底等高，则体积相等．方法二、如图，取DE中点P，连接MP，NP，MN．∵在△A1DE中，M，P分别是A1E，DE的中点，∴MP∥A1D，在正方形BCDE中，∵N，P分别是BC，DE的中点，∴NP∥CD，∵MP∩NP=P，MP，NP⊂平面MNP，A1D，CD⊂平面A1CD，∴平面MNP∥平面A1CD．∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面A1CD．故点M、N到平面A1CD的距离相等，有三棱锥M﹣A1CD和N﹣A1CD同底等高，则体积相等．18．（13分）已知椭圆C：x2+2y2=9，点P（2，0）（Ⅰ）求椭圆C的短轴长和离心率；（Ⅱ）过（1，0）的直线l与椭圆C相交于两点M，N，设MN的中点为T，判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论．【解答】（本小题13分）解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=9，化为：，故a2=9，，，有a=3，．…..（3分）椭圆C的短轴长为，离心率为．…..（5分）（Ⅱ）结论是：|TP|＜|TM|．…..（6分）设直线l：x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），，整理得：（m2+2）y2+2my﹣8=0…..（8分）△=（2m）2+32（m2+2）=36m2+64＞0故，…..（10分）=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2…..（11分）=（my1﹣1）（my2﹣1）+y1y2=（m2+1）y1y2﹣m（y1+y2）+1==＜0…..（12分）故∠MPN＞90°，即点P在以MN为直径的圆内，故|TP|＜|TM|…..（13分）19．（14分）已知函数f（x）=2e x﹣ax2﹣2x﹣2．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当a≤0时，求证：函数f（x）有且仅有一个零点；（Ⅲ）当a＞0时，写出函数f（x）的零点的个数．（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=2e x﹣ax2﹣2x﹣2，所以f′（x）=2e x﹣2ax﹣2，故f（0）=0，f'（0）=0，曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=0；（Ⅱ）证明：当a≤0时，令g（x）=f′（x）=2e x﹣2ax﹣2，则g′（x）=2e x﹣2a＞0，故g（x）是R上的增函数．由g（0）=0，故当x＜0时，g（x）＜0，当x＞0时，g（x）＞0．即当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．函数f（x）的最小值为f（0）．由f（0）=0，故f（x）有且仅有一个零点．（Ⅲ）当a=1时，f（x）有一个零点；当a＞0且a≠1时，f（x）有两个零点．20．（13分）无穷数列{a n}满足：a1为正整数，且对任意正整数n，a n+1为前n项a1，a2，…，a n中等于a n的项的个数．（Ⅰ）若a1=2，请写出数列{a n}的前7项；（Ⅱ）求证：对于任意正整数M，必存在k∈N*，使得a k＞M；（Ⅲ）求证：“a1=1”是“存在m∈N*，当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立”的充要条件．【解答】解：（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1 …，证明（Ⅱ）假设存在正整数M，使得对任意的k∈N*，a k≤M．由题意，a k∈{1，2，3，…，M}考虑数列{a n}的前M2+1项：a1，a2，a3，…，其中至少有M+1项的取值相同，不妨设此时有：，矛盾．故对于任意的正整数M，必存在k∈N*，使得a k＞M．证明（Ⅲ）充分性：当a1=1时，数列{a n}为1，1，2，1，3，1，4，…，1，k﹣1，1，k，…特别地，a2k﹣1=k，a2k=1故对任意的n∈N*（1）若n为偶数，则a n+2=a n=1（2）若n为奇数，则综上，a n+2≥a n恒成立，特别地，取m=1有当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立必要性：方法一：假设存在a1=k（k＞1），使得“存在m∈N*，当n≥m时，恒有a n+2≥a n 成立”则数列{a n}的前k2+1项为k，1，1，2，1，3，1，4，…，1，k﹣1，1，k2，2，3，2，4，…，2，k﹣1，2，k3，3，4，…，3，k﹣1，3，k…k﹣2，k﹣2，k﹣1，k﹣2，kk﹣1，k﹣1，kk后面的项顺次为k+1，1，k+1，2，…，k+1，kk+2，1，k+2，2，…，k+2，kk+3，1，k+3，2，…，k+3，k…对任意的m，总存在n≥m，使得a n=k，a n+2=1，这与a n≤a n+2矛盾，故若存在m∈N*，当n≥m时，恒有a n≥a n成立，必有a1=1+2≥a n恒成立，记max{a1，a2，…，a m}=s．方法二：若存在m∈N*，当n≥m时，a n+2由第（2）问的结论可知：存在k∈N*，使得a k＞s（由s的定义知k≥m+1）不妨设a k是数列{a n}中第一个大于等于s+1的项，即a1，a2，…，a k均小于等﹣1于s．=1．因为k﹣1≥m，所以a k+1≥a k﹣1，即1≥a k﹣1且a k﹣1为正整数，所以a k 则a k+1=1．﹣1记a k=t≥s+1，由数列{a n}的定义可知，在a1，a2，…，a k﹣1中恰有t项等于1．假设a 1≠1，则可设，其中1＜i1＜i2＜…＜i t=k﹣1，考虑这t个1的前一项，即，因为它们均为不超过s的正整数，且t≥s+1，所以中一定存在两项相等，将其记为a，则数列{a n}中相邻两项恰好为（a，1）的情况至少出现2次，但根据数列{a n}的定义可知：第二个a的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾，故假设a1≠1不成立，所以a1=1，即必要性得证综上，“a1=1”是“存在m∈N*，当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立”的充要条件．。
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海淀区高三年级第一学期期末练习
数学（理科）
2018. 1
本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷 上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题，共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项。
（1）复数 1 2i i
（A） 2 i
（B） 2 i
（C） 2 i
（2）在极坐标系 Ox 中，方程 2 sin 表示的圆为
（D） 2 i
（A）
（B）
（C）
（3）执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为
（A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7
（D）
（4）设 m 是不为零的实数，则“ m 0 ”是“方程 x2 y2 1表示双曲线”的
据中国日报网报道：2017 年 11 月 13 日，TOP500 发布的最新一期全球超级计算机 500 强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席.其中超算全球第一“神威·太湖之光”完全使用了
国产处理器.为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器
进行了 12 次测试，结果如下：（数．值．越．小．，速．度．越．快．，单位是 MIPS）
（20）（本小题 13 分）无穷数列an 满足： a1 为正整数，且对任意正整数 n， an1 为前 n
项 a1, a2 , , an 中等于 an 的项的个数.
（Ⅰ）若 a1 2 ，请写出数列an 的前 7 项；
（Ⅱ）求证：对于任意正整数 M，必存在 k N ，使得 ak M ；
故 tan ABD 3 3
……………………….11 分
故 tan ABC
tan(ABD
)
6
tan ABD tan
1
tan
ABD
6 tan
6
3 3
13 33 3 3 32 33
………………………13 分
方法三： BC 2 BD2 CD2 2BD CD cos BDC 3 ， BC 3
解得 x 1 ，即 DC 1.
……………………….3 分 ……………………….4 分 ……………………….5 分
（Ⅱ）方法一. 在 ADB 中，由 AD AB ，得 ABD ADB 60 ，故
ABC ABD DBC 36 2
……………………….7 分
（Ⅲ）设 M 、N 分别为 A1E 和 BC 的中点，试比较三棱锥 M A1CD 和三棱锥 N A1CD
（图中未画出）的体积大小，并说明理由.
图1
图2
（18）（本小题 13 分）
已知椭圆 C ： x2 2y2 9 ，点 P(2, 0) .
（Ⅰ）求椭圆 C 的短轴长与离心率；
（Ⅱ）过（1，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 M 、 N 两点，设 MN 的中点为 T ，
在 ABC 中，由正弦定理
AC AB sin ABC sin ACB
即4 sin ABC
7 1
，故 sin
ABC
2
，
7
2
……………………….10 分
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由
ABC
(
,
)
，得
cos
ABC
3
，
．
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题 13 分）
如图，在ABC 中，点 D 在 AC 边上，且 AD 3DC ，AB
（Ⅰ）求 DC 的值；
（Ⅱ）求 tan ABC 的值.
7 ，ADB ，C= .
3
6
（16）（本小题 13 分）
mm
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
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（5）已知直线 x y m 0 与圆 O ：x2 y2 1相交于 A ，B 两点，且 OAB 为正三角形，
2
7
tan ABC 2 2 3 33
……………………….11 分 ………………………13 分
方法二. 在 ADB 中，由余弦定理
cos ABD AB2 BD2 AD2 7 1 9 1
2AB BD
2 7 1 2 7
……………………….8 分
由 ABD (0, ) ，故 sin ABD 3 3 27
和
为
．
（11）设抛物线 C ： y2 4x 的顶点为 O ，经过抛物线 C 的焦点且垂直于 x 轴的直线和抛
物线 C 交于 A，B 两点，则 OA OB
．
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（12）已知 5x 1n 展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64：1，
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16. （本小题 13 分）
（Ⅰ）从品牌 A 的 12 次测试中，测试结果打开速度小于 7 的文件有：
测试 1、2、5、6、9、10、11，共 7 次
设该测试结果打开速度小于 7 为事件 A ，因此 P( A) 7 12
……………………….3 分
（Ⅱ）12 次测试中，品牌 A 的测试结果大于品牌 B 的测试结果的次数有：
2 （9）
5
5
（13） 33
（10）5050 （14）① (1,1)
（11）2 ② [2, 1]
5
（12）6
三、解答题: 本大题共 6 小题，共 80 分.
15. （本小题 13 分）
解：（Ⅰ）如图所示， DBC ADB C ，…………………….1 分 36 6
① 三棱锥的体积为 1 6
② 三棱锥的四个面全是直角三角形
③ 三棱锥四个面的面积中最大的值是 3 2
所有正确的说法是
（A）① （C）②③
（B）①② （D）①③
（8）已知点 F 为抛物线 C ： y2 2 px p 0 的焦点，点 K 为点 F 关于原点的对称点，
点 M 在抛物线 C 上，则下列说法错．误．的是 （A）使得 MFK 为等腰三角形的点 M 有且仅有 4 个 （B）使得 MFK 为直角三角形的点 M 有且仅有 4 个 （C）使得 MKF 的点 M 有且仅有 4 个
X
0
1
P
1
9
11
22
E(X ) 1 0 9 1 9 2 1 3 3 11 22 22 11 2
……………………….7 分
2
3
9
1
22
11
……………………….8 分
……………………….10 分
（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况， 阅卷时按照标准酌情给分.
cos ABC BA2 BC 2 AC 2
3
…………………………8 分
2BA BC
7
因为 ABC (0, ) ，所以 sin ABC 2 ……………………11 分 7
所以 tan ABC 2 2 3 …………………………………13 分 33
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2018.1
数 学（理科）
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项 A
D
B
A
D
C
D
C
二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.(有两空的小题第一空 3 分)
（17）（本小题 14 分）
如图 1，梯形 ABCD 中，AD // BC ，CD BC ，BC CD 1 ，AD 2 ，E 为 AD 中点.将 ABE 沿 BE 翻折到 A1BE 的位置， 使 A1E A1D 如图 2. （Ⅰ）求证：平面 A1ED 平面 BCDE ；
（Ⅱ）求 A1B 与平面 A1CD 所成角的正弦值；
的次数，求 X 的分布列和数学期望 E( X ) ；
（Ⅲ）经过了解，前 6 次测试是打开含有文字与表格的文件，后 6 次测试是打开含有文字 与图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器
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打开文件的速度进行评价.
则n
．
（13）已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 4 2 ， M 是棱 BC 的中点，点 P 在底面
ABCD
内，点 Q 在线段 A1C1 上.若 PM 1，则 PQ 长度的最小值为
．
x y 2 0
（14）对任意实数 k
，定义集合
Dk
(x,
y)
x
4 （D）使得 MKF 的点 M 有且仅有 4 个
6
第二部分（非选择题，共 110 分）