2020届河北省衡水中学高三下学期七调考试数学(理)试题
绝密★启用前
2020届河北省衡水中学高三下学期七调考试数学（理)试题
一、单选题
1．已知集合{0,}M x =，{1,2}N =，若{2}M N =，则M N È的子集个数为（
）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
2．已知复数121i
z i
-=+，则z 对应的点位于复平面的（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．设()f x 为奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则116f f æö
æö=ç÷ç÷èøèø
（）
A ．2
-B ．
1
2
C ．4
-D ．
14
4．设{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且n S 为数列{}n b 的前n 项和若21a =，
1016a =，且66a b =，则11S =（
）
A ．20
B ．30
C ．44
D ．88
5．设,a b 是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（）
A ．若a b ^，m a
b =，m n ^，则n b
^B ．若a b ^，//n a ，则n b ^C ．若//m a ，//m b ，则//a b D ．若m a ^，m b ^，n a ^，则n b
^6．如图是数学界研究的弓月形的一种，,,AC CD DB 是以AB 为直径的圆的内接正六边形的三条邻边，四个半圆的直径分别是,,,AB AC CD DB ，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（
）
A B C D 7．已知函数()2sin()(0,0)f x x w j w j p =+><<的部分图象如图所示，则()y f x =的解析式可以为（
）
A ．7
2sin 56y
x p æö=+ç÷
èøB ．7
2sin 106y
x p æö=+ç÷
èøC ．7
52sin 10
6y x p æö=+ç÷
èøD ．7
52sin 5
6y
x p æö=+ç÷
èø8．已知向量()
1,3b =，向量a 在b 方向上的投影为6-，若()a b b l +^，则实数l 的值为（）
A ．
1
3B ．13
-
C ．
23
D ．3
9．已知双曲线22
22:1(0,0)x y M a b a b -=>>的一条渐近线与y 轴所形成的锐角为
30°，则双曲线M 的离心率为（
）
A B C ．2D 210．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1DD 的中点，M 为直线1BD 上一点，
N 为平面AEC 内一点，则M ，N 两点间距离的最小值为（
）
A B C D 11．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段
AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||AB =，则||PA PB +的最大
值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．2
12．已知不等式3ln 1ln x x m x n -++…（,m n R Î，且3m ¹-）对任意实数0x >恒成立，则
3
3
n m -+的最大值为（）
A ．2ln 2-
B ．ln 2
-C ．ln 21
-D ．ln 22
-二、填空题
13．已知1
tan 2
a =
，则2cos sin 2a a +的结果为____.14．设样本数据122019,,,x x x 的方差是5，若213(1,2,
,2019)i i y x i =-=，则
122019,,,y y y 的方差为_______
15．某单位在庆祝新年的联欢晚会中，要安排一个有6个节目的节目单，要求歌曲A 和舞蹈A 相邻，且歌曲A 要排在舞蹈A 的前面；歌曲B 和舞蹈B 不相邻，且歌曲B 和舞蹈B 均不排在最后，则这6个节目的排法有____种.
16．在边长为ABCD 中，60A °=，沿对角线BD 折起，使二面角A BD C --的大小为120°，这时点,,,A B C D 在同一个球面上，则该球的表面积为___.三、解答题
17．已知向量3cos
,12x m æ
ö=ç÷ø，2sin ,cos 22x x n æ
ö=-ç÷è
ø，设函1()2f x m n =+×.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1
()2
f A =
.（1）求A 的大小；
（2）若3a =，2cos()cos 4sin B C A C -+=，求c 的大小.
18．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除点,A B 外的一个动点，DC 垂直于
O 所在的平面，垂足为C ，//DC EB ，且1DC EB ==，4AB =.
（1）证明：平面ADE ^平面ACD ；
（2）当C 为半圆弧的中点时，求二面角D AE B --的余弦值.
19．2018年是中国改革开放的第40周年，为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：
[)[)[)20,30,30,40,,70,80,¼，并绘制了如图所示的频率分布直方图.
（1）现从年龄在[)[)[)20,30,30,40,40,50内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X 表示年龄在[)30,40内的人数，求X 的分布列和数学期望；
（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k 名市民的年龄在[)30,50的概率为()()0,1,2,,20P X k k ==¼.当()P X k =最大时，求k 的值.
20．已知椭圆22
162
x y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆于P Q 、两点(直线l 与
坐标轴不垂直)，若PQ 的中点为N ，O 为坐标原点，直线ON 交直线3x =于M .(Ⅰ)求证：MF PQ ^；(Ⅱ)求
PQ MF
的最大值.
21．已知函数
()2()4x f x x x e -=+-.
（1）若不等式
()f x m …在区间[1,3]上有解，求实数m 的取值范围；
（2）已知函数()()F x f x ax =-，a R Î，若0x 是()F x 的极大值点，求()0F x 的取值范围.
22．在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为a
的直线2cos :sin x t l y t a
a
=+ìïí=ïî（t 为参数）与曲
线2cos :sin x C y q
q =ìí
=î
（q 为参数）相交于不同的两点,A B .（1）若3
p
a =
，求线段AB 中点M 的坐标；（2）若2
PA PB OP ×=
，其中(2P ，求直线l 的斜率.23．已知函数
()|2||1|()f x x m x m R =+--Î.
（1）若2m =-，解不等式()5f x …
；（2）若
()|5|f x m x +…，求m 的最小值.。
2020届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学(理)试题(解析版)
2020届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{0,}M x =，{1,2}N =，若{2}M N =I ，则M N ⋃的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】先求出集合M ，再求出M N ⋃，即可得解. 【详解】Q {2}M N =I ，∴2M ∈即{0,2}M =，∴{}0,1,2M N =U ，∴M N ⋃子集个数为328=个.故选：D. 【点睛】本题考查了集合的运算和子集的概念，属于基础题. 2．已知复数121iz i-=+，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】转化条件得1322iz =--，即可得解. 【详解】 由题()()()()121121311122i i i iz i i i ---===--++-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的概念和运算，属于基础题.3．设()f x 为奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则116f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．2-B ．12C ．4-D ．14【答案】A【解析】先计算1416f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用奇函数的性质()()44f f -=-即可得解. 【详解】 由题意()()2211log 44log 421616f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查了复合函数函数值的求法和函数奇偶性的应用，属于基础题.4．设{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且n S 为数列{}n b 的前n 项和若21a =，1016a =，且66a b =，则11S =（ ） A ．20 B ．30C ．44D ．88【答案】C【解析】利用等差数列的性质可求出6a ，再利用11611S a =即可得解. 【详解】Q {}n a 为等比数列，∴2621016a a a =⋅=且4620a a q =⋅>，∴664b a ==，又 {}n b 为等差数列，∴1111161111442a a S a +=⨯==. 故选：C. 【点睛】本题考查了等差、等比数列性质的应用以及等差数列的求和，属于基础题.5．设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n β⊥ B ．若αβ⊥，//n α，则n β⊥ C ．若//m α，//m β，则//αβD ．若m α⊥，m β⊥，n α⊥，则n β⊥ 【答案】D【解析】根据线面、面面关系的性质和判定逐一判断即可. 【详解】若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故A 错误；若αβ⊥，//n α，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故B 错误； 若//m α，//m β，则α与β可能平行也可能相交，故C 错误； 若m α⊥，m β⊥，则//αβ，又 n α⊥，则n β⊥，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了线面、面面位置关系的性质和判定，属于基础题.6．如图是数学界研究的弓月形的一种，,,AC CD DB 是以AB 为直径的圆的内接正六边形的三条邻边，四个半圆的直径分别是,,,AB AC CD DB ，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A 63633ππ-+B 63633ππ++C 2323π+D 632633ππ-+【答案】A【解析】由题意分别算出阴影部分的面积和总面积后即可得解. 【详解】不妨设六边形的边长为1，由题意得21+231163+3=222S ππ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭总63+363==828S S S πππ--=阴影总半圆， ∴6363863+3633S P S ππππ--===+阴影总故选：A. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，属于基础题.7．已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则()y f x =的解析式可以为（ ）A ．72sin 56y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．72sin 106y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．752sin 106y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．752sin 56y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】D【解析】由图可得()()0100f f ⎧=⎪⎨<'⎪⎩即可求出ϕ，图像过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭即可求出ω，即可得解. 【详解】由图像可知()()0100f f ⎧=⎪⎨<'⎪⎩即2sin 12cos 0ϕωϕ=⎧⎨<⎩，Q 0>ω，0ϕπ<<，∴56πϕ=. 又 图像过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭即552sin()066ππω+=，∴()5566k k Z ππωπ+=∈， ∴()615k k Z ω=-+∈， 当2k =时，75ω=.则75()2sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数()sin y A ωx φ=+解析式的确定和导数的应用，属于中档题.8．已知向量(3b =r ，向量a r 在b r方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥r r r ，则实数λ的值为（ ）A ．13B ．13-C ．23D ．3【答案】A【解析】设(),a x y =r 36x y+=-，()34x λ=-，整体代换即可得解.【详解】设(),a x y =r，Q a r 在b r方向上的投影为6-，∴62a b x b ⋅+==-r rr 即12x =-.又 ()a b b λ+⊥r r r，∴()0a b b λ+⋅=r r r 即130x y λ+++=，∴()4x λ=-即124λ-=-，解得13λ=. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.9．已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，则双曲线M的离心率为（ ）A B C ．2 D 或2 【答案】C【解析】转化条件得b a =e =即可得解.【详解】由题意可知双曲线的渐近线为by x a=±， 又 渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，∴tan 60ba==o∴双曲线离心率2e ==. 故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题.10．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1DD 的中点，M 为直线1BD 上一点，N 为平面AEC 内一点，则M ，N 两点间距离的最小值为（ ）A B C ．4D 【答案】B【解析】本道题结合直线与平面平行判定，证明距离最短即为计算1BD 与OE 的距离，计算，即可。
河北省衡水中学2019-2020学年度高三下学期七调考试理科数学试题(3.22)及答案
（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为 47，求 a 、b 的值，并分别求出甲、乙在 1 分钟内
解开密码锁的频率； （2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概 率，并且丙在 1 分钟内解开密码锁的概率为 0.5，各人是否解开密码锁相互独立. ①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小.
③若
A1DM
的面积为
S
，则
S
2
3 3
,
2
3 ；
④若 S1 、 S2 分别是 A1DM 在平面 A1B1C1D1 与平面 BB1C1C 的正投影的面积，则存在点 M ，
使得 S1 S2 .
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
12. 已知函数 f (x) xex ln x x 2, g(x) ex2 ln x x 的最小值分别为 a, b ，则（
②试猜想：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目 X 的数学期望达到
最小，不需要说明理由.
高三数学理科试题 第5页(共 8 页)
高三数学理科试题 第6页(共 8 页)
2019—2020 学年度下学期高三年级
组编人：王战普 审核：孙卫权
21. （本题满分 12 分）已知函数 f x ln x ax b a, b 0 ，对任意 x 0 ，都有
2．B【解答】解：∵
＝
＝
，
∴复数
的共轭复数为
．∴复数
的共轭复数的虚部为 ．
3. . A 解：∵从散点图可分析得出：只有 D 点偏离直线远， 去掉 D 点，变量 x 与变量 y 的线性相关性变强，∴相关系数变大， 相关指数变大，残差的平方和变小，故选：A．
河北省衡水中学2020届高三数学下学期七调试题 理(含解析)
河北省衡水中学2020届高三数学下学期七调试题 理(含解析）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合{}{}10,1A x R x B x Z x =∈+>=∈≤，则AB =(） A 。
{}01x x ≤≤ B. {}11x x -<≤C. {}0,1D. {}1【答案】C【解析】【分析】先分别求出集合A ,B ，由此利用交集定义能求出A ∩B ． 【详解】∵集合{}10A x R x =∈+>＝{}1A x x =>-，{}1B x Z x =∈≤＝{1，0，—1,—2，… }， ∴{}0,1A B ⋂=．故选C ．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，注意条件x Z ∈，属于易错题．2.复数1122i i ++的虚部为( ） A. 110 B. 110- C. 310 D 。
310- 【答案】A【解析】分析】 化简复数111122510i i i +=++，结合复数的概念,即可求解复数的虚部，得到答案，.【详解】由题意,复数()()1121112212122510i i i i i i i -+=+=+++-，所以复数1122i i ++的虚部为110.故选:A.【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。
3。
有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ )A 。
残差平方和变小B. 相关系数r 变小 C 。
相关指数2R 变小 D 。
解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱【答案】A【解析】【分析】由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强,由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项.【详解】∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远,去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A.【点睛】该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数,相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.4。
2020届河北衡水中学高三理科数学试卷及答案
2020届河北衡水中学高三年级期中考试理科数学试卷本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合S={1，2}，T={x|x2＜4x﹣3}，则S∩T=（）A．{1} B．{2} C．1 D．22．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于（）A．2 B． C．1 D．33．设正数x，y满足x+y=1，若不等式对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是（）A．a≥4 B．a＞1 C．a≥1 D．a＞44．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A． B．C．D．5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜206．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，] B．（，2]C．（，2] D．（2，4]7．数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B． C． D．9．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（）A．f（﹣）＜f（）＜f（）B．f（﹣）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣）D．f（）＜f（﹣）＜f（）10．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．611．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣，﹣1] C．（﹣，﹣2）D．（﹣，﹣2]12．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且f（x）=x2﹣f（0）x+f′（1）e x﹣1，若g（x）=f（x）﹣x2+x，则方程g（﹣x）﹣x=0有且仅有一个根时，a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪{1} B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．[1，+∞）第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．14．设数列{a n}的n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则{a n}的通项公式a n= ．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是．X ﹣2 0 4f（x） 1 ﹣1 116. 已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）△ABC中，已知，记角A，B，C 的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．18. （本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．19. （本小题满分12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．20. （本小题满分12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．21. （本小题满分12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．（1）求直线AB的极坐标方程；（2）若过点C（2，0）的直线C2：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．理科数学参考答案一．选择题1-5 B C C DA 6-10 A D B D C 11-12 D A．二．填空题13．﹣8 14.．16.．三．解答题17．解：（1）依题意：，即，又0＜A+B＜π，∴，∴，................4分（2）由三角形是锐角三角形可得，即由正弦定理得∴，，，======，∵，∴，∴，即...............12分18. ．解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，b n+1=2（3n+1+1），故b n=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴数列{c n}的前n项和…（12分）19.解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，即，解得：a=﹣1或a=3，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．-- -------6分（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，∴由，可得故所求点P的坐标为．--12分20.证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…........................................（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）21.解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；.........2分（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min==．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．......................7分（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x ∈[1，e]），又，当x ∈[1，e]时，x ﹣1≥0，lnx ≤1，x+2﹣2lnx ＞0，从而g'（x ）≥0（仅当x=1时取等号），所以g （x ）在[1，e]上为增函数，故g （x ）的最小值为g （1）=﹣1，所以a 的取值范围是[﹣1，+∞）．.......12分22.解：（1）在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，极坐标与直角坐标有如下关系 x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线C 1：ρ=﹣sinθ，∴ρ2=﹣4ρsinθ，∴x 2+y 2=﹣4y ， ∴曲线C 1：x 2+y 2+y=0，∴直线AB 的普通方程为：（x 2+y 2﹣4x ）﹣（x 2+y 2+4y ）=0， ∴y=﹣x ，∴ρsinθ=﹣ρcosθ，∴tanθ=﹣， ∴直线AB 极坐标方程为：)(61R ∈-=ρθ．.............5分 （2）根据（1）知，直线AB 的直角坐标方程为y=﹣x ， 根据题意可以令D （x 1，y 1），则，又点D 在直线AB 上，所以t 1=﹣（2+t 1），解得 t 1=﹣，根据参数方程的定义，得|CD|=|t 1|=，同理，令交点E （x 2，y 2），则有，又点E 在直线x=0上，令2+t 2=0，∴t 2=﹣，∴|CE|=|t 2|=，∴|CD|：|CE|=1：2．............................10分23.解：（1）∵f （x ）=m ﹣|x ﹣3|，∴不等式f （x ）＞2，即m ﹣|x ﹣3|＞2，∴5﹣m ＜x ＜m+1，而不等式f （x ）＞2的解集为（2，4），∴5﹣m=2且m+1=4，解得：m=3；........5分（2）关于x 的不等式|x ﹣a|≥f （x ）恒成立⇔关于x 的不等式|x ﹣a|≥3﹣|x ﹣3|恒成立 ⇔|x ﹣a|+|x ﹣3|≥3恒成立⇔|a ﹣3|≥3恒成立，由a ﹣3≥3或a ﹣3≤﹣3，解得：a ≥6或a ≤0．..............10分。
河北省衡水中学2020届高三下学期七调试题理(数学解析)
一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合{}{}10,1A x R x B x Z x =∈+>=∈≤，则A B =（）A. {}01x x ≤≤ B. {}11x x -<≤C. {}0,1D. {}1答案：C 【分析】先分别求出集合A ，B ，由此利用交集定义能求出A ∩B ． 解：∵集合{}10A x R x =∈+>＝{}1A x x =>-，{}1B x Z x =∈≤＝{1，0，-1，-2，… }，∴{}0,1A B ⋂=． 故选C ．点评：本题考查交集的求法，是基础题，注意条件x Z ∈，属于易错题．2.复数1122ii ++的虚部为（ ） A. 110 B. 110-C.310D. 310-答案：A 【分析】 化简复数111122510i i i +=++，结合复数的概念，即可求解复数的虚部，得到答案，. 解：由题意，复数()()1121112212122510i i i i i i i -+=+=+++-， 所以复数1122ii ++的虚部为110.故选：A.点评：本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3.有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A. 残差平方和变小B. 相关系数r 变小C. 相关指数2R 变小D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱答案：A 【分析】由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项.解：∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A.点评：该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.4.已知双曲线22:1124x y C -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,P Q ．若POQ ∆为直角三角形，则PQ =（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8答案：C 【分析】由题意不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒，解三角形即可.解：不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒.则易知30POF ∠=︒，4OF =，∴OP =POQ 中，60POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，OP =∴6PQ ==. 故选C点评：本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P ，Q 位置，以及POQ 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.5.一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A. 12E E ξξ<，12D D ξξ< B. 12E E ξξ=，12D D ξξ> C. 12E E ξξ=，12D D ξξ< D. 12E E ξξ>，12D D ξξ>答案：B 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 解：1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=.()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯，故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=,故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B.点评：离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.6.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）A. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和B. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和C. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和D. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和答案：A【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量n的初值为1，终值为2019，步长为2，故循环共执行了1009次由S中第一次累加的是21﹣1＝1，第二次累加的是23﹣1＝4，……故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和，故选A．点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7.如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q-BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为A. 2B. 1C.32 D.52答案：C 【分析】判断俯视图的形状，利用三视图数据求解俯视图的面积即可．解：由正视图可知：M 是1AD 的中点，N 在1B 处，Q 在11C D 的中点， 俯视图如图所示：可得其面积为：1113222111122222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选C ． 点评：本题主要考查三视图求解几何体的面积与体积，判断它的形状是解题的关键，属于中档题. 8.如图直角坐标系中，角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭、角02πββ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的终边分别交单位圆于A 、B 两点，若B 点的纵坐标为513-，且满足3AOBS=，则1sin 3cos sin 2222ααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值为( )A. 513-B. 1213-C.1213D.513答案：C 【分析】 由AOBS，可得()3sin αβ-=，结合β的范围可得3παβ-=，化简1sin3cos sin cos 2222αααβ⎫-+=⎪⎭，利用点B 的坐标即可得解.解：由()13sin 24AOBSOA OB αβ=-=，得()3sin 2αβ-=. 根据题意可知125B(,1313-)，所以512sin ,cos 1313ββ=-=， 可知06πβ-<<，203παβ<-<.所以3παβ-=.131112sin3cos sin sin sin sin cos 222222636213cos sin ααααππππααβββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+=+=++=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选C.点评：本题主要考查了任意角三角函数的定义及二倍角公式和诱导公式，属于中档题.9.已知函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=->，若集合()(){}0,1x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ） A. 35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 35,22⎛⎤⎥⎝⎦C. 725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦答案：D 【分析】化简f （x ）的解析式，作出f （x ）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间． 解：f （x ）=2sin （ωx﹣3π）， 作出f （x ）的函数图象如图所示：令2sin （ωx﹣3π）=﹣1得ωx﹣3π=﹣6π+2kπ，或ωx﹣3π=76π+2kπ，∴x=6πω+2k πω，或x=32πω+2k πω，k∈Z ， 设直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 则x A =322ππωω+，x B =46ππωω+， ∵方程f （x ）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根， ∴x A ＜π≤x B ， 即322ππωω+＜π≤46ππωω+，解得72526ω≤＜． 故选B ．点评：本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．10.已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，则ABC ∆的重心坐标为（ ） A. 14,19⎛⎫⎪⎝⎭B. 14,09⎛⎫⎪⎝⎭C. 14,027⎛⎫⎪⎝⎭D. 14,127⎛⎫⎪⎝⎭答案：C 【分析】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解.解：设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 则1212221212124344AB y y y y k y y x x y y --====-+-，得1243y y +=， 同理234263y y +==，31422y y +==--，三式相加得1230y y y ++=， 故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，22214y x ==，233449y x ==，则12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫⎪⎝⎭，故选C. 点评：本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点（点M 与A 、1C 不重合），则下列结论正确的个数为（ ）①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得//DM 平面1BC D ；③若1A DM 的面积为S ，则23,233S ⎛∈ ⎝；④若1S 、2S 分别是1A DM 在平面1111D C B A 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S .A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：C 【分析】平面1A DM 与平面11A B CD 为同一平面,证明1B C ⊥平面11A B CD 即可判断①；由证明平面1//A BD 平面11B D C 判断②；连接1AD 交1A D 于点O ,当1OM AC ⊥时可得1AD OM ⊥,利用相似可得111OM OAC D AC =,进而求得1A DM 的最小面积,即可判断③；分别判断点M 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中,1S 、2S 的范围,进而判断④. 解：连接1B C ,1BC ,设平面11A B CD 与对角线1AC 交于M ,由11B C BC ⊥,1DC BC ⊥可得1B C ⊥平面11A B CD ,即1B C ⊥平面1A DM ,所以存在点M ,使得平面1A DM ⊥平面1BC D ,所以①正确；连接BD ,11B D ,由11//BD B D ,11//A D B C ,利用平面与平面平行的判定,可证得平面1//A BD 平面11B D C ,设平面1A BD 与1AC 交于M ,可得//DM 平面11B D C ,所以②正确； 连接1AD 交1A D 于点O ,过O 点作1OM AC ⊥,在正方体1111ABCD A B C D -中,1AD ⊥平面11ABC D ,所以1AD OM ⊥,所以OM 为异面直线1A D 与1AC的公垂线,根据11AOM AC D ∽,所以111OM OA C D AC =,即1113OA C D OM AC ⋅===, 所以1A DM的最小面积为111122A DMSA D OM =⨯⨯=⨯=所以若1A DM 的面积为S ,则S ∈⎣,所以③不正确； 在点M 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中,1S 从1减少趋向于0,即1(0,1)S ∈,2S 从0增大到趋向于2,即2(0,2)S ∈,在此过程中,必存在某个点M 使得12S S ,所以④是正确的,综上可得①②④是正确的, 故选:C点评：本题考查面面垂直的判断,考查线面垂直的判断,考查空间中线面关系的判断,考查空间想象能力.12.已知函数2()ln 2,()ln x xe f x xe x x g x x x x-=---=+-的最小值分别为,a b ，则（ ）A. a b =B. a b <C. a b >D. ,a b 的大小关系不确定 答案：A 【分析】分别对()f x ，()g x 求导，求出其最小值,a b ，可得其大小关系.解：由题意得：2'11(1)(1)()1x x x xxxe x e x x xe f x e xe x x x+--+-=+--==， 易得0,10x x >+>，设'()0f x =，可得10x xe -=，可得1xe x=，由xy e =与1y x =图像可知存在0(0,1)x ∈，使得001xe x =，可得当0(0,)x x ∈，'()0f x <，当0(,)x x ∈+∞，'()0f x >，可得()f x 得最小值为0()f x ，即000001()ln 21x a f x x e x x -==⋅---=-； 同理：2222'2221(1)(1)(1)()()1x x x x xe e e x x x x e x g x x x x x------+---=+-==，设'()0g x =，可得1x =或者2x e x -=，由2x y e-=与y x =得图像可知，存在1(0,1)x ∈，使得121x ex -=，可得当1(,)x x x ∈时，'()0g x <，当1(,1)x x ∈时，'()0g x >，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，可得1()g x 即为()g x 得最小值，可得1112211112()ln 121x x x e b g x e x x x e ---==+-=+--=-，故1a b ==-，故选：A.点评：本题主要考查利用导数求函数得最值，综合性大，属于难题. 二、填空题（共4题，每题5分）13.已知二项式2nx ⎛ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则3x 的系数为__________. 答案：240 【分析】先由题意利用二项式系数的性质求得n 的值，可得通项公式，在通项公式中，令x 的幂指数等于3，求得r 的值，可得3x 的系数.解：二项展开式的第1r +项的通项公式为1(2)rrn r r n T C x -+⎛= ⎝，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5， 可得：12:2:5n n C C =，解得：6n =.所以1(2)rr n r r n T C x -+⎛= ⎝366262(1)r r r r C x --=-，令3632r -=，解得：2r ，所以3x 的系数为262262(1)240C --=，故选C.点评：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项式系数，二项展开式的通项公式，展开式中特定项的系数，属于简单题目.14.数学老师给出一个函数()f x ，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在(]0-∞， 上函数单调递减；乙：在[)0+∞，上函数单调递增；丙：在定义域R 上函数的图象关于直线1x =对称；丁：()0f 不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为____说的是错误的． 答案：乙 【分析】根据四位同学的回答，不妨假设其中的任何三个同学回答正确，然后推出另一位同学的回答是否正确来分析，体现了反证法的思想.解：如果甲、乙两个同学回答正确，因为在[)0+∞，上函数单调递增， 所以丙说：在定义域R 上函数的图象关于直线1x =对称是错误的，此时()0f 是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，与四个同学中恰好有三个人说的正确矛盾， 所以应该是甲、乙两个同学有一个回答错误， 此时丙正确，则乙就是错误的. 故答案为乙.点评：本题利用函数的性质考查逻辑推理能力和反证法思想，考查数形结合思想的运用. 15.已知ABC ∆的一内角3A π=，10AB =，6AC =，O 为ABC ∆所在平面上一点，满足OA OB OC ==，设AO mAB nAC +=，则3m n +的值为__________.答案：45【分析】由OA OB OC ==可知O 为三角形ABC 的外心，根据向量数量积可得AO AB AO AC ⋅⋅、的值，代入AO mAB nAC =+可的m 、n 的方程组，即可求得m 、n 的值，进而求得3m n +的值．解：因为OA OB OC ==可知O 为三角形ABC 的外心 所以1cos 502AO AB AB AO BAO AB AB ⋅=∠=⨯= 1cos 182AO AC AC AO CAO AC AC ⋅=∠=⨯=而AO mAB nAC =+，且1cos1063032AB AC AB AC π⋅==⨯⨯= 即()()5018AO AB mAB nAC AB AO AC mAB nAC AC ⎧⋅=+⋅=⎪⎨⋅=+⋅=⎪⎩化简得1003050303618m n m n +=⎧⎨+=⎩解得71519m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以714331595m n +=+⨯= 点评：本题考查了向量线性运算及向量数量积的应用，关键是找到各向量间的关系，属于难题． 16.已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若2A B =，则2c bb a+的取值范围为__________． 答案：()2,4由正弦定理可知．()sin 2sin 2sin 2sin sin cos 2sin cos sin sin sin sin sin sin A B c b C B B A B BA b aB A B A B A++=+=+=++，又2A B=，则22sin cos sin 2cos 2sin cos 2cos sin sin sin A B B B B B B B B B ===，2sin 2sin 1sin sin 2cos B B A B B ==，从而2214cos 1cos c b B b a B +=-+，又2A B =，知3πA B B +=<，所以π03B <<，则1cos 12B <<，换元可令cos t B =，则2211min max 2212141|2,41|4t t c b c b t t a a t a a t ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>+-=+<+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故本题应填()2,4．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.数列{}n a 中，12a =，112pn n n a a ++=（p 为常数）.（1）若1a -，212a ，4a 成等差数列，求p 的值； （2）是否存在p ，使得{}n a 为等比数列？并说明理由.答案：（Ⅰ）p=1；（Ⅱ）存在实数2p =，使得{a n }为等比数列 【分析】（Ⅰ）由已知求得a 2，a 4，再由-a 1，21a2，a 4成等差数列列式求p 的值； （Ⅱ）假设存在p ，使得{a n }为等比数列，可得2213a a a ，求解p 值，验证得答案．解：（Ⅰ）由a 1=2，112pn n n a a ++=，得p 122a 2+=，p2a 2=，则p 2p 132a 2+=，p 13a 2+=，p 13p 142a 2++=，2p 4a 2=．由1a -，21a 2，a 4成等差数列，得a 2=a 4-a 1， 即2222p p =-，解得：p=1； （Ⅱ）假设存在p ，使得{a n }等比数列，则2213a a a =，即2122222p p p ++=⋅=，则2p=p+2，即p=2． 此时121122pn n n n a a +++==， 23122n n n a a +++=，∴2n 2n24a a +==， 而3122a a =，又12a =，所以24a =，而21a 2a 42==，且242=， ∴存在实数2p =，使得{a n }为以2为首项，以2为公比的等比数列． 点评：本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的性质，是中档题．18.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD F --为60︒，//DE CF ，CD DE ⊥，2AD =，3DE DC ==，6CF =.（1）求证：//BF 平面ADE ； （2）G 为线段CF 上的点，当14CG CF =时，求二面角B EG D --的余弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）14. 【分析】（1）根据四边形ABCD 是矩形，得到//BC AD ，根据线面平行的判定定理得到//BC 平面ADE ，进而得到//CF 平面ADE ，利用面面平行的判定定理证得平面//BCF 平面ADF ，利用面面平行的性质得到//BF 平面ADE ，证得结果；（2）根据题意，证得平面CDEF ⊥平面ADE ，作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF ，建立空间直角坐标系O xyz -，写出相应点的坐标，利用空间向量求得二面角的余弦值. 解：（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以//BC AD ， 又因为BC ⊄平面ADE ，所以//BC 平面ADE ，因为//DE CF ，CF ⊄平面ADE ，所以//CF 平面ADE ， 又因为BCCF C =，所以平面//BCF 平面ADF ，而BF ⊂平面BCF ，所以//BF 平面ADE .（2）解：因为CD AD ⊥，CD DE ⊥，所以60ADE ∠=︒， 因为CD ⊥平面ADE ，故平面CDEF ⊥平面ADE ， 作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF ，以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由2AD =，3DE =，60ADE ∠=︒，得1DO =，2EO =， 则(0,0,3)A ，(3,1,0)C -，(0,1,0)D -，(0,2,0)E ，所以OB OA AB OA DC =+=+=， 由已知1(3,,0)2G，所以(3,2,BE =-，10,,2BG ⎛= ⎝， 设平面BEG 的一个法向量为(,,)m x y z =，则32012m BE x y m BG y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩， 取3x =，6y =，z =m =，又平面DEG 的一个法向量为(0,0,1)n =，所以31cos ,||||4936m n m n m n ⋅<>===⋅+，即二面角B EG D --的余弦值为14.点评：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，面面平行的判定和面面平行的性质，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题目.19.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量120BF BF ⋅=.（1）若(2,0)A ，求椭圆的标准方程；（2）设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过1F，问是否存在过2F 的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由.答案：（1）22142x y +=；（2）存在满足条件的直线，斜率12k =-±. 【分析】（1）由题易知a 2=，因为120BF BF =，所以12BF F 为等腰三角形所以b=c ，由此可求b ，即可得到椭圆的标准方程;（2）由（1）可得22b c =．222212x y c c+=，P 的坐标为()00,x y则()()1001,,,F P x c y F B c c =+=由题意得120BF BF =,即000x c y ++=，又因为P 在椭圆上，所以22002212x y c c+=,联立可得41P ,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭设圆心为()11,x y ，则1122,33x c y c =-=，利用两点间的距离公式可得圆的半径r ．设直线的方程为：()k y x c =-．利用直线与圆相切的性质即可得出．解：（1）易知a 2=，因为120BF BF =所以12BF F 为等腰三角形所以b=c ，由222a b c -=可知b 2=故椭圆的标准方程为：22142x y +=（2）由已知得22b c =,222a c =设椭圆的标准方程为222212x y c c+=，P 的坐标为()00,x y因为()()1,0,0,F c B c -,所以()()1001,,,F P x c y F B c c =+= 由题意得120BF BF =,所以000x c y ++=又因为P 在椭圆上，所以22002212x y c c +=,由以上两式可得200340x cx +=因为P 不是椭圆的顶点，所以0041,33x c y c =-=，故41P ,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭设圆心为()11,x y ，则1122,33x c y c =-= 圆的半径r 3c ==假设存在过2F 的直线满足题设条件，并设该直线的方程为()k y x c =-r =,3c =即2202010k k +-=，解得12k =- 故存在满足条件的直线．点评：本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 20.由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人.3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局.根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图.（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立.①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小.②试猜想：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X 的数学期望达到最小，不需要说明理由.答案：（1）0.024a =；0.026b =；甲在1分钟内解开密码锁的频率是0.9；乙在1分钟内解开密码锁的频率是0.7（2）①按乙丙甲派出的顺序期望更小②先派出甲，再派乙，最后派丙 【分析】（1）根据甲解开密码锁所需时间的中位数求得b ，根据频率求得a ，由此求得甲在1分钟内解开密码锁的频率.通过频率分布直方图求得乙在1分钟内解开密码锁的频率. （2）①分别求得两个不同顺序的方法对应的数学期望，由此求得期望更小的安排方法.②按照解锁概率大的人员排前面，期望值最小.通过计算前两位、后两位人员交换时，期望值的变化情况，来确定最优的排法.解：（1）甲解开密码锁所需时间的中位数为47，∴0.0150.014550.0345b ⨯+⨯+⨯+⨯()0.0447450.5+⨯-=，解得0.026b =； ∴0.0430.032550.010100.5a ⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.024a =；∴甲在1分钟内解开密码锁的频率是10.01100.9f =-⨯=甲；乙在1分钟内解开密码锁的频率是10.03550.02550.7f =-⨯-⨯=乙；（2）由（1）知，甲、乙、丙在1分钟内解开密码锁的概率分别是10.9p =，20.7p =，30.5p =且各人是否解开密码锁相互独立；设按乙丙甲的顺序对应的数学期望为()1E X ，按丙乙甲的顺序对应的数学期望为()2E X 则()121P X p ==，()()23112P X p p =-=，()()()231131p p P X =--=，()()()()21332223111E X p p p p p +-+--=232332p p p p =--+，∴()()1232323E X p p p p p =-++-， ①∴()()1232323 1.45E X p p p p p =-++-= 同理可求得()()2232333 1.65E X p p p p p =-++-= 所以按乙丙甲派出的顺序期望更小. ②答案：先派出甲，再派乙，最后派丙， （下面是理由，给老师和学生参考）设按先后顺序自能完成任务的概率分别为1p ，2p ，3p ，且1p ，2p ，3p 互不相等， 根据题意知X 的取值为1，2，3；则()11P X p ==，()()1221P X p p ==-，()()()12131p P p X =--=，()()()()1221121311E X p p p p p +-+--=121232p p p p =--+，∴()()121213E p p p p p X =-++-，若交换前两个人的派出顺序，则变为()121223p p p p p -++-，由此可见，当12p p >时，交换前两人的派出顺序会增大均值，故应选概率最大的甲先开锁； 若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，∵交换前()()()121211123321p p p p p E p X p p =-++-=---， ∴交换后的派出顺序则期望值变为()113321p p p ---，当23p p >时，交换后的派出顺序可增大均值；所以先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值（教学期望）达到最小.点评：本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查频率分布直方图频率、中位数有关计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.21.已知函数()()ln ,02x bf x ax a b x =-+>，对任意0x >，都有()40f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ()1讨论()f x 的单调性；()2当()f x 存在三个不同的零点时，求实数a 的取值范围.答案：(1) 当14a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当104a <<时，()f x在10,2a ⎛ ⎪⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，()f x在⎝⎭上单调递增.；(2) 104a << 【分析】（1）根据()40f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭可得4b a =，得到()4ln 2x a f x ax x =-+，求导后，分别在0∆≤和>0∆两种情况下讨论导函数符号，得到单调性；（2）根据（1）中所求单调性，否定14a ≥的情况；在104a <<时，首先求得2x =为一个零点；再利用零点存在性定理求解出221,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭中存在一个零点0x ；根据()0040f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可确定另一个零点04x ，从而可知104a <<满足题意.解：（1）由()424ln ln 024x b a xb f x f ax x x x x ⎛⎫+=-++-+= ⎪⎝⎭，得4b a = 则()4ln 2x a f x ax x =-+，()222144(0)a ax x af x a x x x x-+-'=--=> 若21160a ∆=-≤时，即14a ≥时，()f x 在()0,∞+单调递减 若21160a ∆=->，即104a <<时，()24h x ax x a =-+-有两个零点零点为：10x =>，20x =>又()24h x ax x a =-+-开口向下 当10x x <<时，()0h x <，()0f x '<，()f x 单调递减当12x x x <<时，()0h x >，()0f x '>，()f x 单调递增当2x x >时，()0h x <，()0f x '<，()f x 单调递减综上所述，当14a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当104a <<时，()f x 在10,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，()f x 在⎝⎭上单调递增 （2）由（1）知当14a ≥时，()f x 单调递减，不可能有三个不同的零点； 当104a <<时，()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递减，()f x 在()12,x x 上单调递增 ()22ln 2202f a a =-+=，又124x x =，有122x x << ()f x ()12,x x 上单调递增，()()120f x f <=，()()220f x f >=()4ln 2x a f x ax x=-+ 23211ln24f a a a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭令()231ln24g a a a a =--+，()42222411221'122a a a g a a a a a -+=-++= 令()41221h a a a =-+，()3482h a a ='-单调递增 由()34820h a a -'==，求得014a => 当104a <<时，()h a 单调递减，()131104642h a h ⎛⎫>=-+> ⎪⎝⎭ ()23211ln24f g a a a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 故()21113ln240416f g a g a ⎛⎫⎛⎫=<=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()20f x >，221x a > 由零点存在性定理知()f x 在区间221,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个根，设为：0x 又()0040f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得040f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1040x x <<，04x 是()f x 的另一个零点 故当104a <<时，()f x 存在三个不同的零点04x ，2，0x 点评：本题考查讨论含参数函数的单调性问题、利用导数研究函数零点的问题.解决零点个数问题的关键是能够选取合适的区间，利用零点存在性定理证得在区间内存在零点，从而使得零点个数满足题目要求；难点在于零点所在区间的选择上，属于难题.22.在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数，0a >）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值；（2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.答案：（1）（2）(0,.【分析】（1）将直线l 极坐标方程转化成直角坐标，设出P 点坐标，利用点到直线的距离公式及辅助角公式，根据余弦函数的性质，即可求得点P 到直线l 的距离的最大值；（2）由题意可知：t R ∀∈，cos 2sin 40a t t -+>4<，即可求得a 的取值范围.解：（1）由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭(cos sin )2ρθρθ-=-)x y -=-, ∴直线l 的方程为40x y -+=，依题意，设,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离d ==)6t π=++， 当26t k ππ+=，即26t k ππ=-，k Z ∈时，max d =故点P 到直线l的距离的最大值为（2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t R ∀∈，cos 2sin 40a t t -+>)40t ϕ++>（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故a取值范围(0,. 点评：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，利用参数方程求曲线上的点到直线距离的最值，恒成立问题的转化，属于简单题目.23.已知a ，b ，c 均为正实数，求证：（1）()2()4a b ab c abc ++≥；（2）若3a b c ++=答案：证明过程详见解析【分析】⑴将求证的不等式进行化简，经历移项、提取公因式、配方后，要证明其成立只需要证明化简后的不等式成立123222a a +++≤=，同理可得另外两个也是成立，结合已知条件即可求证结果解：证明：(1)要证()()24a b ab c abc ++≥，可证222240a b ac ab bc abc +++-≥，需证()()2222b 220a c ac a c b bc +-++-≥，即证()()220b a c a c b -+-≥，当且仅当a b c ==时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式()()24a b ab c abc ++≥成立．(2)因,,a b c均为正实数，123222a a+++≤=，当且仅当12a+=时，取等号，123222b b+++≤=当且仅当12b+=时123222c c+++≤=当且仅当12c+=时，取等号，62a b c d+++≤=1a b c===时，取等号．点评：本题考查了不等式的证明问题，在求解过程中可以运用基本不等式、对要证明的不等式进行化简等方法来求证，关键是要灵活运用基本不等式等方法求证结果．。
2020届河北省衡水金卷高三第七次联考数学(理)试题
2020届河北省衡水金卷高三第七次联考理科数学试题 ★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．复数2z i =+，其中i 是虚数单位，则=zA ．1 C ． 3 D ．5 2．设集合{}2,1,0,1,2M =--，{}220N x x x =--<，则MN =A ．{}2,1--B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,2 3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为A ．23B ． 43C ．83 D 4．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a 的值是 A ．1-B ．12C ．1D ．25．在△ABC 中，6B π=，c=4，cosC =，则b= A．B ．3C ．32 D ．436．设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得a b λ=”是“a b a b +=+”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点，则线段BC 的长为 A ．83B ．3C ．163D ．68．五名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革：庆祝改革开放40周年大型展览”，参观结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有 A ．36种B ．48种C ．72种D ．120种9．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为 A.125B ．340C ．18D ．3510．在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在棱1BB 上，动点F 在线段11A C 上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O AEF -的体积A ．与,x y 都有关B ．与,x y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关11．已知数列{}n a 满足：1a a =，11()2n n na a n a *+=+∈N ，则下列关 于{}n a 的判断正确的是 A ．0,2,a n∀>∃≥使得n aB ．0,2,a n ∃>∃≥使得1n n a a +<C ．0,,a m *∀>∃∈N 总有()m n a a m n <≠D ．0,,a m *∃>∃∈N 总有m n n a a +=12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足2(01),2()1(1)x xx x f x x x e ⎧-≤<⎪⎪=⎨-⎪≥⎪⎩，若函数()()F x f x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是A ．211(,)16e -B ．211(,0)(0,)16e - C ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．21[0,)e第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值是 .14．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2yx =，则离心率等于 .15．在6)x 的展开式中，2x 的系数是 .（用数字作答）16．已知平面内两个定点(3,0)M 和点(3,0)N -，P 是动点，且直线PM ,PN 的斜率乘积为常数(0)a a ≠，设点P 的轨迹为C .① 存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离之和为定值； ② 存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离之和为定值； ③ 不存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离差的绝对值为定值； ④ 不存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离差的绝对值为定值. 其中正确的命题是 .（填出所有正确命题的序号）三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（12分）已知ABC ∆中，4A π=，3cos 5B =，8AC =.（Ⅰ）求ABC∆的面积；（Ⅱ）求AB边上的中线CD的长.18．（12分）为降低空气污染，提高环境质量，政府决定对汽车尾气进行整治.某厂家生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器，为保证净化器的质量，分别从甲、乙两种型号的净化器中随机抽取100件作为样本进行产品性能质量评估，评估综合得分m都在区间[70,95].已知评估综合得分与产品等级如下表：根据评估综合得分，统计整理得到了甲型号的样本频数分布表和乙型号的样本频率分布直方图（图表如下）.甲型乙型（Ⅰ）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，估计这件产品为二级品的概率；（Ⅱ）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取3件，设随机变量X为其中二级品的个数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较. 19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD,2AB=,1BC=，PC PD==E为PB中点．（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE；（Ⅱ）求二面角E AC D--的余弦值；（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求PMPD的值；若不存在，说明理由．20．（12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，长轴长为 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）过点()0,1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点M 满足0MA MB MO ++=，求证：由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称．21．（12分）已知函数()ln 1f x x x ax a =++-. （Ⅰ）求证：对任意实数a ，都有min [()]1f x ≤；（Ⅱ）若2a =，是否存在整数k ，使得在(2,)x ∈+∞上，恒有()(1) 2 1f x k x k >+--成立？若存在，请求出k 的最大值；若不存在，请说明理由.（ 2.71828e =）（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l：112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数), 曲线1:x cos C y sin θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．（Ⅰ）设l 与C 1相交于AB 两点,求|AB |； （Ⅱ）若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12倍,,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值．23．已知函数()21(0)f x x x m m =+-->.（Ⅰ）当2m =时，求不等式()1f x ≤的解集；（Ⅱ）令()()2g x f x =-，()g x 的图象与两坐标轴的交点分别为A ，B ， C ，若三角形ABC的面积为12，求m 得值.理科数学试题参考答案1．A 2．C3．C4．A5．B6．B7．C8．C9．B10．B11．D 12．C13．2 1415．6016．②④17．解：（1）3cos ,5B =且(0,)B π∈，∴4sin 5B ==．sin sin()sin()C A B A B π∴=--=+34sin cos cos sin 252510A B A B =+=⋅+⋅=在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin AC ABB C=，即84510=AB = 所以ABC ∆的面积为11sin 828222S AB AC A =⋅⋅=⋅⋅= （2）在ACD ∆中，2AD =， 所以由余弦定理得222658()282222CD =+-⨯⨯⨯=，所以2CD =． 18．（Ⅰ）设“从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，这件产品为二级品”为事件A 由图可得()(0.020.03)50.25P A =+⨯= （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3()003313270()()4464P X C ===，()112313271()()4464P X C ===()22131392()()4464P X C ===，()33031313()()4464P X C ===所以X 的分布列为方法一：()27279130123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 方法二：X 服从二项分布(3,0.25)XB 所以()30.250.75E X np ==⨯=（Ⅲ）答案不唯一，只要有数据支撑，言之有理可得分（下面给出两种参考答案） 1可根据三级品率进行比较，由图表可知甲型产品三等品概率为0，乙型三等品概率0.05.所以可以认为甲型产品的质量更好；2可根据一级品率进行比较，由图表可知甲型产品一等品概率为0.6，乙型一等品概率为0.7.所以可以认为乙型产品的质量更好； 19．（I ）设BD 交AC 于点F ，连结EF . 因为底面ABCD 是矩形,所以F 为BD 中点 . 又因为E 为PB 中点 , 所以EF ∥PD .因为PD ⊄平面,ACE EF ⊂平面ACE ,所以PD ∥平面ACE .（II ）取CD 的中点O ，连结PO ，FO . 因为底面ABCD 为矩形,所以BC CD ⊥.因为PC PD =，O CD 为中点,所以,PO CD OF ⊥∥BC ，所以OF CD ⊥. 又因为平面PCD ⊥平面ABCD ,PO ⊂平面,PCD 平面PCD ∩平面ABCD =CD . 所以PO ⊥平面ABCD ，如图，建立空间直角坐标系O xyz -,则111(1,1,0)(0,1,0)(1,1,0),(0,0,1),(,,)222A CB P E -，,，设平面ACE 的法向量为(,,)m x y z =， 131(1,2,0),(,,)222AC AE =-=-所以20,2,0,131.00222x y x y AC m z y x y z AE m -+=⎧⎧=⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨=--++=⋅=⎩⎩⎪⎩ 令1y =，则2,1x z ==-，所以2,11m =-（，）. 平面ACD 的法向量为(0,0,1)OP =，则cos ,m OP m OP m OP⋅<>==-⋅||如图可知二面角E AC D --为钝角，所以二面角E AC D --的余弦值为6-. （Ⅲ）在棱PD 上存在点M , 使AM BD ⊥. 设([0,1]),(,,)PMM x y z PD=∈λλ,则,01,0PM PD D =-λ（，）. 因为(,,1)(0,1,1)x y z -=--λ,所以(0,,1)M --λλ.(1,1,1),(1,2,0)AM BD =---=--λλ.因为AM BD ⊥,所以0AM BD ⋅=.所以121=0--λ（），解得1=[0,1]2∈λ. 所以在棱PD 上存在点M,使AM BD ⊥，且12PM PD =. 20．（Ⅰ）由已知，得1a c ==，所以3c ea ===， 又222a b c =+，所以b =所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=，离心率3e =. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),m mM x y ，①直线l 与x 轴垂直时，点,A B 的坐标分别为(0,，(． 因为()0,m m MA x y =-，()0m mMB x y =-，()0,0m mMO x y=--，所以()3,30m m MA MB MC x y ++=--=uuu r uuu r uuu r r ．所以0,0m m x y ==，即点M 与原点重合;②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1y kx =+，由221321x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2232630k x kx ++-=，()22236123272240k k k ∆=++=+>． 所以122632k x x k -+=+.，则1224032y y k +=>+， 因为()11,m m MA x x y y =--，()22,m m MB x x y y =--，(),m m MO x y =--，所以()121203,030m m MA MB MO x x x y y y ++=++-++-=uuu r uuu r uuu r r．所以123m x x x +=，123m y y y +=．2232m kx k -=+，243032m y k =>+， 消去k 得()2223200m m m m x y y y +-=>．综上，点M 构成的曲线L 的方程为222320x y y +-=对于曲线L 的任意一点(),M x y ，它关于直线13y =的对称点为2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭． 把2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭的坐标代入曲线L 的方程的左端：2222222244232243223203333x y y x y y y x y y ⎛⎫⎛⎫+---=+-+-+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以点M '也在曲线L 上．所以由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称. 21．解：（1）证明：由已知易得()(1)ln 1f x a x x x =-++，所以()1ln f x a x '=++令()1ln 0f x a x '=++=得：(1)a x e -+= 显然，(1)(0,)a x e-+∈时，()f x '<0，函数f （x ）单调递减；(1)(,)a x e -+∈+∞时，()f x '>0，函数f （x ）单调递增所以min [()]f x (1)(1)()1a a f ea e -+-+==--令min ()[()]t a f x =，则由(1)()10a t a e-+'=-+=得1a =-(,1)a ∈-∞-时，()t a '>0，函数t （a ）单调递增；(1,)a ∈-+∞时，()t a '<0，函数t （a ）单调递减，所以max [()](1)1111t a t =-=+-=，即结论成立.（2）由题设化简可得ln (2)x x x k x +>-令()ln (1)2t x x x k x k =+-+，所以()ln 2t x x k '=+-由()ln 2t x x k '=+-=0得2k x e -=①若22k e -≤，即2ln2k ≤+时，在(2,)x ∈+∞上，有()0t x '>，故函数PCD S ∆=递增所以()(2)22ln 20t x t >=+>②若22k e ->，即2ln 2k >+时，在2(2,)k x e -∈上，有()0t x '<，故函数PCD S ∆=2(2,)k x e -∈上单调递减在2(,)k x e -∈+∞上，有()0t x '>.故函数PCD S ∆=2(,)k x e -∈+∞上单调递增所以，在(2,)x ∈+∞上，22min ()()2k k t x t e k e --==-故欲使ln (2)x x x k x +>-，只需22min ()()20k k t x t e k e--==->即可 令22()2,()2k k m k k e m k e --'=-∴=-，由2()20k m k e -'=-=得2ln2k =+ 所以，2ln 2k >+时，()0m k '<，即()m k 单调递减又422(4)2480m e e -=⨯-=->，423(5)25100m e e -=⨯-=-<，故max 4k =22.（1）的普通方程为)1y x =-，1C 的普通方程为221x y +=联立方程组)2211y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩解得与1C 的交点为()1,0A,1,2B ⎛ ⎝⎭,则1AB =. （2）2C的参数方程为122x cos y sin θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数).故点P的坐标是1cos 2θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,从而点P 到直线24πθ⎤⎛⎫=-+ ⎪⎥⎝⎭⎦, 由此当sin 14πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时, d 取得最小值,且最小值为)14. 23．(1)当2m =时，不等式()1f x ≤可化为2121x x +--≤，①当1x <-时，不等式化为50x +≥，解得：51x -≤<-；②当12x -≤≤时，不等式化为31x ≤，解得：113x -≤≤； ③当2x >时，不等式化为30x +≤，解集为φ，综上，不等式的解集为{153x x ⎫-≤≤⎬⎭. (2)由题设得41()31x m x g x x mx m x m x m ---<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪+>⎩， 所以()g x 的图象与两坐标轴的交点坐标分别为(4,0)A m --，(0,)B m -，(,0)3m C ， 于是三角形ABC 的面积为2(3)123S m m =+=， 得3m =，或6m =-（舍去），故3m =.。
2020届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学(理)试题(带答案)
2020届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学（理)试题第I 卷（选择题)一、单选题1．已知集合{0,}M x =，{1,2}N =，若{2}M N =I ，则M N ⋃的子集个数为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8 2．已知复数121i z i -=+，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．设()f x 为奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则116f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2- B ．12 C ．4- D ．14 4．设{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且n S 为数列{}n b 的前n 项和若21a =，1016a =，且66a b =，则11S =（ ）A ．20B ．30C ．44D ．88 5．设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n β⊥B ．若αβ⊥，//n α，则n β⊥C ．若//m α，//m β，则//αβD ．若m α⊥，m β⊥，n α⊥，则n β⊥6．如图是数学界研究的弓月形的一种，,,AC CD DB 是以AB 为直径的圆的内接正六边形的三条邻边，四个半圆的直径分别是,,,AB AC CD DB ，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）AB C D 7．已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则()y f x =的解析式可以为（ ）A ．72sin 56y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．72sin 106y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．752sin 106y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．752sin 56y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8．已知向量(b =r ，向量a r 在b r 方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥r r r ，则实数λ的值为（ ）A ．13B ．13- C ．23 D ．39．已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，则双曲线M 的离心率为（ ）A B C ．2 D 或2 10．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1DD 的中点，M 为直线1BD 上一点，N 为平面AEC 内一点，则M ，N 两点间距离的最小值为（ ）A B C D 11．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||AB =，则||PA PB +u u u r u u u r 的最大值为（ ）12．已知不等式3ln 1ln x x m x n -++…（,m n R ∈，且3m ≠-）对任意实数0x >恒成立，则33n m -+的最大值为（ ） A ．2ln2-B ．ln 2-C ．ln21-D ．ln 22-第II 卷（非选择题)二、填空题13．已知1tan 2α=，则2cos sin 2αα+的结果为____. 14．设样本数据122019,,,x x x L 的方差是5，若213(1,2,,2019)i i y x i =-=L ，则122019,,,y y y L 的方差为_______15．某单位在庆祝新年的联欢晚会中，要安排一个有6个节目的节目单，要求歌曲A 和舞蹈A 相邻，且歌曲A 要排在舞蹈A 的前面；歌曲B 和舞蹈B 不相邻，且歌曲B 和舞蹈B 均不排在最后，则这6个节目的排法有____种.16．在边长为ABCD 中，60A ︒=，沿对角线BD 折起，使二面角A BD C --的大小为120︒，这时点,,,A B C D 在同一个球面上，则该球的表面积为____.三、解答题17．已知向量,12x m ⎫=⎪⎭u r ，2sin ,cos 22x x n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，设函1()2f x m n =+⋅u r r .在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1()2f A =. （1）求A 的大小； （2）若3a =，2cos()cos 4sin B C A C -+=，求c 的大小.18．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除点,A B 外的一个动点，DC 垂直于O e 所在的平面，垂足为C ，//DC EB ，且1DC EB ==，4AB =.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当C 为半圆弧的中点时，求二面角D AE B --的余弦值.19．2018年是中国改革开放的第40周年，为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：[)[)[)20,30,30,40,,70,80,⋯，并绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）现从年龄在[)[)[)20,30,30,40,40,50内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X 表示年龄在[)30,40内的人数，求X 的分布列和数学期望；（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k 名市民的年龄在[)30,50的概率为()()0,1,2,,20P X k k ==⋯.当()P X k =最大时，求k 的值. 20．已知椭圆22162x y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆于P Q 、两点(直线l 与坐标轴不垂直)，若PQ 的中点为N ，O 为坐标原点，直线ON 交直线3x =于M . (Ⅰ)求证：MF PQ ⊥；(Ⅱ)求PQ MF 的最大值.21．已知函数()2()4x f x x x e -=+-.（1）若不等式()f x m …在区间[1,3]上有解，求实数m 的取值范围；（2）已知函数()()F x f x ax =-，a R ∈，若0x 是()F x 的极大值点，求()0F x 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线2cos :sin x t l y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）与曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）相交于不同的两点,A B . （1）若3πα=，求线段AB 中点M 的坐标；（2）若2PA PB OP ⋅=，其中(2P ，求直线l 的斜率.23．已知函数()|2||1|()f x x m x m R =+--∈.（1）若2m =-，解不等式()5f x …； （2）若()|5|f x m x +„，求m 的最小值.参考答案1．D【解析】【分析】先求出集合M ，再求出M N ⋃，即可得解.【详解】Q {2}M N =I ，∴2M ∈即{0,2}M =，∴{}0,1,2M N =U ，∴M N ⋃子集个数为328=个.故选：D.【点睛】本题考查了集合的运算和子集的概念，属于基础题.2．C【解析】【分析】 转化条件得1322i z =--，即可得解. 【详解】 由题()()()()121121311122i i i i z i i i ---===--++-. 故选：C.【点睛】本题考查复数的概念和运算，属于基础题.3．A【解析】【分析】先计算1416f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用奇函数的性质()()44f f -=-即可得解. 【详解】 由题意()()2211log 44log 421616f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】 本题考查了复合函数函数值的求法和函数奇偶性的应用，属于基础题.4．C【解析】【分析】利用等差数列的性质可求出6a ，再利用11611S a =即可得解.【详解】Q {}n a 为等比数列，∴2621016a a a =⋅=且4620a a q =⋅>，∴664b a ==， 又 {}n b 为等差数列，∴1111161111442a a S a +=⨯==. 故选：C.【点睛】本题考查了等差、等比数列性质的应用以及等差数列的求和，属于基础题. 5．D【解析】【分析】根据线面、面面关系的性质和判定逐一判断即可.【详解】若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故A 错误； 若αβ⊥，//n α，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故B 错误；若//m α，//m β，则α与β可能平行也可能相交，故C 错误；若m α⊥，m β⊥，则//αβ，又 n α⊥，则n β⊥，故D 正确.故选：D.【点睛】本题考查了线面、面面位置关系的性质和判定，属于基础题.6．A【解析】【分析】由题意分别算出阴影部分的面积和总面积后即可得解.【详解】不妨设六边形的边长为1，由题意得21+211=+3=22228S ππ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭总，=2S S S π--=阴影总半圆∴S P S ===阴影总故选：A.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，属于基础题.7．D【解析】【分析】由图可得()()0100f f ⎧=⎪⎨<'⎪⎩即可求出ϕ，图像过点5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭即可求出ω，即可得解. 【详解】由图像可知()()0100f f ⎧=⎪⎨<'⎪⎩即2sin 12cos 0ϕωϕ=⎧⎨<⎩，Q 0>ω，0ϕπ<<，∴56πϕ=. 又 图像过点5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭即552sin()066ππω+=，∴()5566k k Z ππωπ+=∈， ∴()615k k Z ω=-+∈， 当2k =时，75ω=.则75()2sin 56f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了三角函数()sin y A ωx φ=+解析式的确定和导数的应用，属于中档题. 8．A【解析】【分析】设(),a x y =r 6=-，()4x λ=-，整体代换即可得解. 【详解】设(),a x y =r ，Qa r 在b r 方向上的投影为6-，∴6a b b⋅==-r r r 即12x +=-.又 ()a b b λ+⊥r r r ，∴()0a b b λ+⋅=r r r 即130x y λ+++=，∴()4x λ=-即124λ-=-，解得13λ=. 故选：A.【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.9．C【解析】【分析】转化条件得b a =e =.【详解】由题意可知双曲线的渐近线为by x a=±， 又 渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，∴tan 60ba==o∴双曲线离心率2e ==. 故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题. 10．B 【解析】 【分析】本道题结合直线与平面平行判定，证明距离最短即为计算1BD 与OE 的距离，计算，即可。
(理+文)2020届衡水中学高三七调数学试题
球．当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为 ξ1；当无放回依次取出两个小球时，
记取出的红球数为 ξ2，则（ ）
A．Eξ1＜Eξ2，Dξ1＜Dξ2
B．Eξ1＝Eξ2，Dξ1＞Dξ2
C．Eξ1＝Eξ2，Dξ1＜Dξ2
D．Eξ1＞Eξ2，Dξ1＞Dξ2
6.已知某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是 A．求首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 2017 项的和 B．求首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 2018 项的和 C．求首项为 1,公比为 4 的等比数列的前 1009 项的和 D．求首项为 1,公比为 4 的等比数列的前 1010 项的和
不负众望荣膺十冠王.将 12 支队伍的积分制成茎叶图如图所
示，则这组数据的中位数和平均数分别为
A. 17.5 和 17
B. 17.5 和 16
C. 17.5 和 16.5
D. 17 和 16.5
6、条件
，条件
，则 是 的（ ）
A. 充分非必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要的条件
y
1
2t 2
点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（I）写出曲线 C 与圆 M 的极坐标方程；
（II）在极坐标系中，已知射线 l : 0 分别与曲线 C 及圆 M 相交于 A, B ，当
0,
2
时，求
SOMB SOMA
的最大值.
21、已知 x 1 是函数 f (x) ax2 x x ln x 的极值点. 2
f (x1) g(x2 ) ，则 x1 x2 的最小值为
A.2
B. ln 2 -1
C. 1 ln 2
河北省衡水中学2019-2020学年度高三下学期七调考试理数试题及答案
2019—2020学年度高三下学期七调考试理数试题（3.22）一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合{|10}A x R x =∈+>，{|1}B x Z x =∈„，则A B =I （ ） A ．{}01x x ≤„ B ．{}11x x -<„ C ．{}0,1 D ．{}12．复数1122ii ++的共轭复数的虚部为（ ） A ．110 B ．110- C ．310 D ．310-3．有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A ．残差平方和变小B ．相关系数r 变小C ．相关指数2R 变小 D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱4．已知双曲线22:1124x y C -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为P ，Q ，若POQ △为直角三角形，则PQ =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ），则（ ）A ．12E E ξξ<，12D D ξξ<B ．12E E ξξ=，12D D ξξ>C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ> 6．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）A ．求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和B ．求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和C ．求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和D ．求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和7．如图1，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N ，Q 分别是线段1AD ，BC ，11C D 上的动点，当三棱锥Q BMN -的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为（ ）A ．2B ．1C ．32D ．528．如图直角坐标系中，角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭、角02πββ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的终边分别交单位圆于A 、B 两点，若B 点的纵坐标为513-，且满足AOB S =△，则1sin sin 2222ααα⎫-+⎪⎭的值（ ）A ．513-B ．1213C ．1213- D ．5139．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=->，若集合{(0,)|()1}x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ） A ．35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．35,22⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦10．已知抛物线24y x =上有三点A ，B ，C ，AB ，BC ，CA 的斜率分别为3，6，-2，则ABC △的重心坐标为（ ） A ．14,19⎛⎫⎪⎝⎭ B ．14,09⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．14,027⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．14,127⎛⎫⎪⎝⎭11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中点M 是对角线1AC 上的点（点M 与A 、1C 不重合），则下列结论正确的个数为（ ）①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得DM ∥平面1BC D ；③若1A DM △的面积为S ，则S ∈⎝；④若1S 、2S 分别是1A DM △在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S =． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个12．已知函数()ln 2xf x xe x x =---，2()ln x e g x x x x-=+-的最小值分别为a ，b ，则（ ） A ．a b = B ．a b < C ．a b > D ．a ，b 的大小关系不确定 二、填空题（共4题，每题5分）13．已知二项式2nx⎛ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则3x 的系数为________． 14．数学老师给出一个定义在R 上的函数()f x ，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质： 甲：在(],0-∞上函数单调递减；乙：在[)0,+∞上函数单调递增； 丙：函数()f x 的图象关于直线1x =对称；丁：(0)f 不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是________． 15．已知ABC △的一内角3A π=，10AB =，6AC =，O 为ABC △所在平面上一点，满足OA OB OC ==，设AO mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r，则3m n +的值为________．16．已知ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为、b 、c ，若2A B =，则2c bb a+的取值范围为________． 三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本题满分12分）数列{}n a 中，12a =，112pn n n a a ++=（p 为常数）（Ⅰ）若1a -，212a ，4a 成等差数列，求p 的值； （Ⅱ）是否存在p ，使得{}n a 为等比数列？并说明理由．18．（本题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD F --为60°，DE CF ∥，CD DE ⊥，2AD =，3DE DC ==，6CF =．（1）求证：BF ∥平面ADE ； （2）G 为线段CF 上的点，当14CG CF =时，求二面角B EG D --的余弦值．19．（本题满分12分）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量120BF BF ⋅=u u u r u u u u r．（1）若(2,0)A ，求椭圆的标准方程；（2）设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过1F ，问是否存在过2F 的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由．20．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图．（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小．②试猜想：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X 的数学期望达到最小，不需要说明理由．21．（本题满分12分）已知函数()ln (,0)2x bf x ax a b x=-+>，对任意0x >，都有4()0f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当()f x 存在三个不同的零点时，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一个做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本题满分10分）在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数，0a >）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上所有的点均在直线/的右下方，求a 的取值范围． 23．（本题满分10分）已知a ，b ，c 均为正实数，求证： （1）()2()4a b ab c abc ++…；（2）若3a b c ++= 2019-2020高三下学期第四次线上周测理科数学参考答案 一、选择题（共2小题）1．C 【解答】解：{|1}A x x =>-；∴{|11}{0,1}A B x Z x =∈-<=I „．故选：C ．2．B 【解答】解：∵1121211122(12)(12)2552510i i i i i i i i i -+=+=-+=+++-，∴复数1122ii ++的共轭复数为11510i -．∴复数1122i i ++的共轭复数的虚部为110-． 3．A 解：∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强，∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选：A ．4．C 解：双曲线22:1124x y C =中，右焦点(4,0)F ，则双曲线C 的两条渐近线方程为y x =，即3y x =±；由过点F 的直线交两渐近线于点P ，Q ，不妨设点P 在第一象限点Q 在第四象限，90OPQ ∠=︒，如图所示；则Rt POQ △中，60POQ ∠=︒，又30POF ∠=︒，4OF =，∴OP =，∴|||6PQ OP ==．故选：C ．5．B 解：一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球．当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ，则1ξ的可能取值为0，1，2，11~2,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()112233E ξ=⨯=，()11242339D ξ=⨯⨯=，当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则2ξ的可能取值为0，1，()22110323P ξ==⨯=，()221122132323P ξ==⨯+⨯=，∴()212201333E ξ=⨯+⨯=，()2222122012/93333D ξ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴12E E ξξ=，12D D ξξ>．故选：B ．6．C 【详解】解：由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量n 的初值为1，终值为2019，步长为2，故循环共执行了1009次．由S 中第一次累加的是1121-=，第二次累加的是3124-=，……故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和，故选：C ．7．C 【详解】由正视图可知：M 是1AD 的中点，N 在1B 处，Q 是11C D 的中点，俯视图如图所示：可得其面积为：1113222111122222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选C ． 8．【详解】由图易知xOA α∠=，xOB β∠=-知．由题可知，5sin 13β=-，由AOB S =△知3AOB π∠=，即3παβ-=，即3παβ=+，则112111sinsin cos sin (1cos )222222222222αααααααα⎫-+=-+=--+⎪⎭1cos sin sin sin 226362ππππαααββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12cos 13β===． 故答案为：B ．9．【解答】解：函数1()sin (0)2sin 2sin 23f x x x x x x πωωωωωω⎛⎫⎛⎫-=->=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由集合{}(0,)()1x f x π∈=-含有4个元素，得2sin 13x πω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1sin 32x πω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即236x k ππωπ-=-+，或7236x k ππωπ-=+，即26k x ππωω=+或322k x ππωω=+，k Z ∈，设1y =-与()y f x =在(0,)+∞上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ，则322A x ππωω=+，46B x ππωω=+，∵()1f x =-在(0,)π上有且只有四个交点，则A B x x π<„，即32426πππππωωωω+<+„，得72526ω<„，故选：D ．10．【解答】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，则1212221212124344AB y y y y k y y x x y y --====-+-，得1243y y +=，同理234263y y +==，31422y y +==--，三式相加得1230y y y ++=，故与前三式联立，得123y =-，22y =，343y =-，211149y x ==，22214y x ==，233449y x ==，则12314327x x x ++=．故所求重心的坐标为14,027⎛⎫⎪⎝⎭，故选：C ． 11．【详解】连接1B C ，设平面11A B CD 与对角线1AC 交于M ，由11B C BC ⊥，1DC BC ⊥，可得1B C ⊥平面11A B CD ，即1B C ⊥平面1A DM ，所以存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ，所以①正确； 由11BD B D ∥，11A D B C ∥，利用平面与平面平行的判定，可得证得平面1A BD ∥平面11B D C ， 设平面1A BD 与1AC 交于M ，可得DM ∥平面11B D C ，所以②正确； 连接1AD 交1A D 于点O ，过O 点作1OM AC ⊥，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AD ⊥平面11ABC D ，所以1AD OM ⊥，所以OM 为异面直线1A D 与1AC 的公垂线，根据11AOE AC D ∽△△，所以111OM OA C D AC =，即111OA C D OM AC ⋅===． 所以1A DM △的最小面积为111122A DM S A D OM =⨯⨯=⨯=△． 所以若1A DM △的面积为S，则,3S ⎡∈⎢⎣，所以③不正确； 再点P 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中，1S 从1减少趋向于0，即1(0,1)S ∈，2S 从增大到趋向于2，即2(0,2)S ∈，在此过程中，必存在某个点P 使得12S S =，所以④是正确的． 综上可得①②④是正确的，故选：C ． 12．【详解】由题意得：()2(1)111()1x x x x xx xe xe x e x f x e xe x x x+-+--'=+--==易得0x >，10x +>，设0()f x '=，可得10x xe -=，可得1x e x =，由xy e =与1y x=图像可知存在0(0,1)x ∈，使得001x e x =，可得当()00,x x ∈，()0f x '<，当()0,x x ∈+∞，()0f x '>，可得()f x 得最小值为0()f x ，即()000001ln 21x a f x x e x x -==⋅---=-； 同理：()2222222(1)1(1)(1)()1x x x x x ex xe e e x x x g x x x x x --------+-'=+-==．设0()g x '=，可得1x =或者2x e x -=，由2x y e-=与y x =得图像可知，存在1(0,1)x ∈，使得121x e x -=，可得当()1,x x x ∈时，0()g x '<，当()1,1x x ∈时，0()g x '>，当(1,)x ∈+∞时，0()g x '>，可得1()g x 即为()g x 得最小值，可得()1112211112ln 121x x x e b g x e x x x e ---==+-=+--=-，故1a b ==-，故选：A ．13．【答案】240 二项展开式的第1r +项的通项公式为1(2)rr n r r n T C x -+⎛= ⎝ 由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，可得，12:2:5n n C C =，解得：6n =．所以366216(2)2(1)rr r n rr r r r nT C x C x ---+⎛==- ⎝，令3632r -=，解得：2r =， 所以3x 的系数为262262(1)240C --=，故选：C ．14．解：假设甲，乙两个同学回答正确，∵在[)0,+∞上函数单调递增；∴丙说“在定义域R 上函数的图象关于直线1x =对称”错误．此时(0)f 是函数的最小值，∴丁的回答也是错误的，这与“四个同学中恰好有三个人说的正确”矛盾，∴只有乙回答错误． 15．4516【答案】(2,4) 【解析】2sin 2sin sin 32sin sin cos 2cos sin 21sin sin sin sin 2sin cos c b C B B B B B B B b a B A B B B B++=+=+=+2211cos 22cos 4cos 1cos cos B B B B B=++=+-，又2(0,)B π∈，且3(0,)A B B π+=∈，所以0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设1cos ,12B t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，令22141()c b t f t b a t +=+-=，则322181'()80t f t t t t -=-=>，故()f t 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以2()4f t <<． 17．（Ⅰ）由12a =，121n n a a pn +=+，得1223,222p p a a +==，42a h =， 则21322p p a +=，132p a +=，131422p p a ++=，242pa =，由1a -，212a ，4a 成等差数列，得241a a a =-，即2222p p -=，解得：1p =；（Ⅱ）假设存在p ，使得{}n a 为等比数列，则2213a a a =，即2122222p p p ++=⋅=，则22p p =+，即2p =，此时211212n n n a a pn ++=+=，23122n n n a a +++=，∴24n na a +=，当n 为奇数时2nn a =，当n 为偶数，2n n a =． ∴故存在实数2p =，使得{}n a 为等比数列．18．【解答】（1）证明：因为ABCD 是矩形，所以BC AD ∥，又因为BC ⊄平面ADE ，所以BC ∥平面ADE ，因为DE CF ∥，CF ⊄平面ADE ，所以CF ∥平面ADE ，又因为BC CF C =I ，所以平面BCF ∥平面ADF ，而BC ⊂平面BCF ，所以BF ∥平面ADE ．（5分）（2）解：因为CD AD ⊥，CD DE ⊥，所以60AE ∠=︒，因为CD ⊥平面ADE ，故平面CDEF ⊥平面ADE ，作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF ，以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 由2AD =，3DE =，60ADE ∠=︒，得1DO =，2FO =，则A ，(3,1,0)C -，(0,1,0)D -，(0,2,0)E ，所以OB OA AB OA DC =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，由已知13,,02G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以(3,2,BE =-u u u r，10,,2BG ⎛= ⎝u u u r ，设平面BEG 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，则320102m BE x y m BG y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅==⎪⎩u r u u u r u r u u u r 取3x =，6y =，z =m =u r ，又平面DEG 的一个法向量为(0,0,1)n =r，所以1cos ,4m nm n m n ⋅<>===⋅u r ru r r u r r ，即二面角B EG D --的余弦值为14．（12分） 19．【详解】（1）易知2a =，因为120BF BF ⋅=，所以12BFF △为等腰三角形． 所以b c =，由222a b c -=可知b =22142x y +=． （2）由已知得22b c =，222a c =，设椭圆的标准方程为222212x y c c+=，P 的坐标为()00,x y因为1(,0)F c -，(0,)B c ，所以()100,F P x c y =+，1(,)F B c c =， 由题意得120BF BF ⋅=，所以000x c y ++=．又因为P 在椭圆上，所以22002212x y c c+=，由以上两式可得200340x cx +=因为P 不是椭圆的顶点，所以043x c =-，013y c =，故41,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭设圆心为()11,x y ，则123x c =-，123y c = 圆的半径r ==假设存在过2F 直线满足题设条件，并设该直线的方程为()y k x c =-r =，=，即21202010k k +-=，解得1210k =-±，故存在满足条件的直线． 20．【详解】（1）甲解开密码锁所需时间的中位数为47，∴0.0150.014550.03450.04(4745)0.5b -⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得0.026b =．∴0.0430.032550.010100.5a ⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.024a = ∴甲在1分钟内解开密码锁的频率是10.01100.9f =-⨯=甲；乙在1分钟内解开密码锁的频率是10.03550.02550.7f =-⨯-⨯=乙；（2）由（1）知，甲、乙、丙在1分钟内解开密码锁的概率分别是10.9p =，20.7p =，30.5p =． 且各人是否解开密码锁相互独立；设按乙丙甲的顺序对应的数学期望为()1E X ，按丙乙甲的顺序对应的数学期望为()2E X ． 则()121P X p ==，()()12321P X p p ==-，()()()123311P X p p ==--，()()()()12232323232131132E X p p p p p p p p p =+-+--=--+，∴()()1232323E X p p p p p =-++-， ①∴()()1232323 1.45E X p p p p p =-++-= 同理可求得()()2232333 1.65E X p p p p p =-++-= 所以按乙丙甲派出的顺序期望更小． ②答案：先派出甲，再派乙，最后派丙， （下面是理由，给老师和学生参考）设按先后顺序自能完成任务的概率分别为1p ，2p ，3p ，且1p ，2p ，3p 互不相等， 根据题意知X 的取值为1，2，3；则1(1)P X p ==，()12(2)1P X p p ==-，()()12(3)11P X p p ==--()()()112121212()2131132E X p p p p p p p p p =+-+--=--+，∴()12121()3E X p p p p p =-++-，若交换前两个人的派出顺序，则变为()121223p p p p p -++-，由此可见，当12P P >时，交换前两人的派出顺序会增大均值，故应选概率最大的甲先开锁； 若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，∵交换前()()12121112()3321E X p p p p p p p p =-++-=---， ∴交换后的派出顺序则期望值变为()111321p p p ---，当23p p >时，交换后的派出顺序可增大均值；所以先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值（教学期望）达到最小． 21．【详解】 （1）由424()ln ln 024x b a xb f x f ax x x x x ⎛⎫+=-++-+=⎪⎝⎭，得4b a = 则24()ln xaf x ax x=-+，222144()(0)a ax x a f x a x x x x -+-'=--=>， 若21160a ∆=-≤时，即14a ≥时，()f x 在(0,)+∞单调递减 若21160a ∆=->，即104a <<时，2()4h x ax x a =-+-有两个零点零点为：10x =>，20x => 又2()4h x ax x a =-+-开口向下当10x x <<时，()0h x <，0()f x '<，()f x 单调递减 当21x x x <<时，()0h x >，0()f x '>，()f x 单调递增； 当2x x >时，()0h x <，0()f x '<，()f x 单调递减；综上所述，当14a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当104a <<时，()f x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，()f x 在⎝⎭上单调递增．（2）由（1）知当14a ≥时，()f x 单调递减，不可能有三个不同的零点；当104a <<时，()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递减，()f x 在()12,x x 上单调递增22(2)ln 220f a a =-+=，又124x x =，有122x x <<()f x 在()12,x x 上单调递增，()1(2)0f x f <=，()2(2)0f x f >=+2322411()ln ln 24xa f x ax f a a x a a⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭ 令231()ln 24g a a a a=--+，42222411221()122a a a g a a a a a -+'=-++=令4()1221h a a a =-+，3()482h a a '=-单调递增 由3()4820h a a '=-=，求得014a => 当104a <<时，()h a 单调递减，311)1024(64h a h ⎛⎫>=-+> ⎪⎝⎭23211()ln 24f g a a a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故2111()3ln 240416f g a g a ⎛⎫⎛⎫=<=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故210f a ⎛⎫<⎪⎝⎭，()20f x >，221x a >． 由零点存在性定理知()f x 在区间221,x a ⎛⎫⎪⎝⎭有一个根，设为：0x 又()0040f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，得040f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1040x x <<，04x 是()f x 的另一个零点故当104a <<时，()f x 存在三个不同的零点04x ，2，0x22．【解答】解：（1）由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭(cos sin )2ρθρθ-=-，化成直角坐标方程得)2x y -=- ∴直线l 的方程为40x y -+=，依题意，设,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离6d t π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭当26t k ππ+=，即26t k ππ=-，k Z ∈时，max d =，故点P 到直线l的距离的最大值为（2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t R ∀∈，cos 2sin 40a t t -+>)40t ϕ++>（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故a 取值范围(0,．23．证明：（1）()22222()4a b ab c a b acab bc abc ++=+++==…，当且仅当a b c ==时取等号， （2）∵a ，b ，c 均为正实数，12322a a +++=，当且仅当12a +=，即1a =时取等号，32b +32c +962a b c +++=„．1a b c ===时取等号附加：2．（1）由正弦定理得，sin sin AB BCBCA BAC=∠∠，即sin 4BCA =∠，解得sin 12BCA ∠=． （2）设AC x =，3AD x =，在Rt ACD △中，CD ==，sin 3CD CAD AD ∠==， 在ABC △中，由余弦定理得，2222cos2AB AC BC RAC AB AC +-∠==⋅．又2BAC CAD π∠+∠=，所以cos sin RAC CAD ∠=∠23=整理得23830x x --=，解得3x =或13x =-（舍去），即3AC =2．试题解析：（1）解：由3()(1)f x x ax b =---，可得2()3(1)f x x a '=--． 下面分两种情况讨论：（1）当0a ≤时，有2()3(1)0f x x a '=--≥恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞．（2）当0a >时，令0()f x '=，解得1x =+1x = 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间为133⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递增区间为,13⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭，13⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭． （Ⅱ）证明：因为()f x 存在极值点，所以由（Ⅰ）知0a >，01x =， 由题意，得()()212310f x x a '=--=，即()2013ax -=， 进而()()300002133a af x x ax b x b =---=---， 又()()()()()3000000082322222123333a a a f x x a xb x ax a b x b f x -=----=-+--=---=，且0032x x -=，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数1x 满足()()10f x f x =，且10x x ≠，因此1032x x =-，所以0123x x +=．（Ⅲ）证明：设()g x 在区间[]0,2上的最大值为M ，{}max ,x y 表示x ，y 两数的最大值，下面分三种情况讨论：（1）当3a ≥时，1021≤<≤+，由（Ⅰ）知，，()f x 在区间[]0,2上单调递减，所以()f x 在区间[]0,2上的取值范围为[](2),(0)f f ，因此{}max (2)(0)M f f ={}max 121a b b =----{}max 1(),1()a a b a a b =-++--+1(),01(),0a ab a b a a b a b -+++≥⎧=⎨--++<⎩ 所以12M a a b =-++≥．（2）当334a ≤<时，101121≤<<<≤(0)11f f f ⎛⎛≥=+ ⎝⎭⎝⎭，(2)11f f f ⎛⎛≤+=- ⎝⎭⎝⎭所以()f x 在区间[]0,2上的取值范为1,1f f ⎡⎤⎛⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此max 1|133M f f ⎧⎫⎛⎛⎪⎪=+- ⎨⎬ ⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭max a b a b ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭max ()()a b a b ⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭231||944a b =+≥⨯=． （3）当304a <<时，0112<<+<，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，(0)11f f f ⎛⎛<=+ ⎝⎭⎝⎭，(2)11f f f ⎛⎛>+= ⎝⎭⎝⎭所以()f x 在区间[]0,2上的取值范围为[](2),(0)f f ，因此{}{}max (0)(2)max 1,12M f f b a b ==---- {}max 1(),1()a a b a a b =-++--+ 11||4a ab =-++>综上所述，当0a >时，()g x 在区间[]0,2上的最大值不小于14．。
2020届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学(理)试题(解析版)
2020届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{0,}M x =，{1,2}N =，若{2}M N =I ，则M N ⋃的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】先求出集合M ，再求出M N ⋃，即可得解. 【详解】Q {2}M N =I ，∴2M ∈即{0,2}M =，∴{}0,1,2M N =U ，∴M N ⋃子集个数为328=个.故选：D. 【点睛】本题考查了集合的运算和子集的概念，属于基础题. 2．已知复数121iz i-=+，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】转化条件得1322iz =--，即可得解. 【详解】 由题()()()()121121311122i i i iz i i i ---===--++-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的概念和运算，属于基础题.3．设()f x 为奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则116f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．2-B ．12C ．4-D ．14【答案】A【解析】先计算1416f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用奇函数的性质()()44f f -=-即可得解. 【详解】 由题意()()2211log 44log 421616f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查了复合函数函数值的求法和函数奇偶性的应用，属于基础题.4．设{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且n S 为数列{}n b 的前n 项和若21a =，1016a =，且66a b =，则11S =（ ）A ．20B ．30C ．44D ．88【答案】C【解析】利用等差数列的性质可求出6a ，再利用11611S a =即可得解. 【详解】Q {}n a 为等比数列，∴2621016a a a =⋅=且4620a a q =⋅>，∴664b a ==，又 {}n b 为等差数列，∴1111161111442a a S a +=⨯==. 故选：C. 【点睛】本题考查了等差、等比数列性质的应用以及等差数列的求和，属于基础题.5．设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n β⊥ B ．若αβ⊥，//n α，则n β⊥ C ．若//m α，//m β，则//αβD ．若m α⊥，m β⊥，n α⊥，则n β⊥ 【答案】D【解析】根据线面、面面关系的性质和判定逐一判断即可. 【详解】若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故A 错误；若αβ⊥，//n α，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故B 错误； 若//m α，//m β，则α与β可能平行也可能相交，故C 错误； 若m α⊥，m β⊥，则//αβ，又 n α⊥，则n β⊥，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了线面、面面位置关系的性质和判定，属于基础题.6．如图是数学界研究的弓月形的一种，,,AC CD DB 是以AB 为直径的圆的内接正六边形的三条邻边，四个半圆的直径分别是,,,AB AC CD DB ，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A 63633ππ-+B 63633ππ++C 2323π+D 632633ππ-+【答案】A【解析】由题意分别算出阴影部分的面积和总面积后即可得解. 【详解】不妨设六边形的边长为1，由题意得21+231163+3=222S ππ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭总63+363==828S S S πππ--=阴影总半圆， ∴6363863+3633S P S ππππ--===+阴影总故选：A. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，属于基础题.7．已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则()y f x =的解析式可以为（ ）A ．72sin 56y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．72sin 106y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．752sin 106y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．752sin 56y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】D【解析】由图可得()()0100f f ⎧=⎪⎨<'⎪⎩即可求出ϕ，图像过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭即可求出ω，即可得解. 【详解】由图像可知()()0100f f ⎧=⎪⎨<'⎪⎩即2sin 12cos 0ϕωϕ=⎧⎨<⎩，Q 0>ω，0ϕπ<<，∴56πϕ=. 又 图像过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭即552sin()066ππω+=，∴()5566k k Z ππωπ+=∈， ∴()615k k Z ω=-+∈， 当2k =时，75ω=.则75()2sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数()sin y A ωx φ=+解析式的确定和导数的应用，属于中档题.8．已知向量(3b =r ，向量a r 在b r方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥r r r ，则实数λ的值为（ ） A ．13B ．13-C ．23D ．3【答案】A【解析】设(),a x y =r ，36x y+=-，()34x λ+=-，整体代换即可得解.【详解】设(),a x y =r，Q a r 在b r方向上的投影为6-，∴62a b x b ⋅+==-r rr 即12x =-.又 ()a b b λ+⊥r r r，∴()0a b b λ+⋅=r r r 即130x y λ++=，∴()4x λ=-即124λ-=-，解得13λ=. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.9．已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b -=>>的一条渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，则双曲线M 的离心率为（ ）A ．B C ．2 D 或2 【答案】C【解析】转化条件得b a =e =即可得解.【详解】由题意可知双曲线的渐近线为by x a=±， 又 渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，∴tan 60ba==o∴双曲线离心率2e ==. 故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题.10．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1DD 的中点，M 为直线1BD 上一点，N 为平面AEC 内一点，则M ，N 两点间距离的最小值为（ ）A ．6 B ．66C ．3 D ．36【答案】B【解析】本道题结合直线与平面平行判定，证明距离最短即为计算1BD 与OE 的距离，计算，即可。