(企业形象)多阶段决策过程(

第七部分 最短路径
（Shortest-paths ）
7．1 问题描述
在一个带权的无向或者有向图中，如果从图中某顶点（称源点）到达另顶点（称为终点）的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径上各边上的权值总和达到最小。

实际应用中，有把交通运输网络作为一个图，图中顶点表示城市，图中各边表示城市之间的交通运输线。

边上的权值就根据具体需要，可以用各种代价表示，比如路程，运费，时间。

同时，可以用有向图表示往返代价的不一致。

计算机网络中，把网络结构看成带权图，路由选择的时候采用的固定路由算法其中有使用最短路径算法。

此外，最短路径算法还应用于电子导航中，根据已知地理网络，得出合适的航线；应用于电力、通讯等各种管网、管线的布局设计，城市规划等等。

由于应用的需要，最短路径算法问题成为计算机科学、运筹学、地理信息系统和交通诱导、导航系统等领域研究的一个热点。

在最短路径问题中，给出的是一个带权有向图G ＝(V , E )，加权函数w:E →R 为从边到实型权值的映射。

路径p=(v0,v1,v2,…,vk)的权是指组成边的所有权值之和：
w(p)=∑w(vi-1,vi) i=1—k;
定义从u 到v 间的最短路径的权为：
()(){}⎩⎨⎧∞−→−=otherelse v u v u p w v u p
:min ,存在一条通路到若从δ 从顶点u 到v 的最短路径定义为权w(p)=&(u,v)的任何路径.
不带权图的最短路径问题是一个特例，可将图视为没条边的权值均为1的带权图。

两种最常见的最短路径问题：
● 从某个源点到其余各顶点的最短路径
● 每对顶点间的最短路径
7．2 松弛技术Relaxation
在后面介绍的几个算法中都用到了松弛技术，现在就来看看松弛技术。

对于每个顶点v∈V，都设置一个属性d[v]，用来描述从源点s到v的最短路径上权值的上界，称为最短路径估计（shortest-path estimate）。

我们用下面的Θ(V)时间的过程来对最短路径估计和前趋进行初始化。

INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)
1 for each vertex v∈V[G]
2 do d[v]←∞
3 π[v]←NIL
4 d[s]←0
经过初始化以后，对所有v∈V，π[v]=NIL，对v∈V-{s}，有d[s]=0以及d[v]=∞。

在松弛一条边(u,v)的过程中，要测试是否可以通过u，对迄今找到的v的最短路径进行改进；如果可以改进的话，则更新d[v]和π[v]。

一次松弛操作可以减小最短路径估计的值d[v]，并更新v的前趋域π[v]。

下面的伪代码对边(u,v)进行了一步松弛操作。

RELAX(u, v, w)
1 if(d[v]>d[u]+w(u,v))
2 then d[v]←d[u]+w(u,v)
3 π[v]←u
在Bellman-Ford algorithm和Dijkstra’s algorithm都会调用到INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)，然后重复对边进行松弛的过程。

另外松弛是改变最短路径和前趋的唯一方式，在两个算法之间的区别在于对每条边进行的松弛操作的次数，以及对边执行松弛操作的次序不同。

在Dijkstra’s algorithm 以及关于有向无回路图的最短路径算法中，对每条边执行情况一次松弛操作。

而在Bellman-Ford算法中，对每条边要执行多次松弛操作。

7．3 Bellman-Ford algorithm
思想：运用松弛技术，对每一个结点v∈V，逐步减少从源s到v的最短路径的权的估计值d[v]，直至其达到实际最短路径的权δ(s,v)。

算法返回布尔值TURE 当且仅当图中没有源结点可达的负权回路。

优点：解决更一般情况的单源最短路径问题。

且边的权值可以为负，可检测
出图中是否存在一个从源结点可达的负权回路，如果存在负权回路则无解；否则将产生最短路径及其权。

BELLMAN-FORD（G,w,s）
1 INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)
2 for i←1 to |V[G]|-1
3 do for each edge(u,v)∈E[G]
4 do RELAX(u,v,w)
5 for each edge(u,v) ∈E[G]
6 do if d[v]>d[u]+w(u,v)
7 then return false;
8 return true
引理 7.3.1 设为带权有向图，其源点为s，权函数为w：E→R，并且假定G中不包含从s点可达的负权回路。

那么BELLMAN-FORD第2—4行循环的|V|-1次迭代后，对任何s可达的顶点v，有d[v]=∮(s,v)。

推论：设G=（V，E）为带权有向图，源顶点为s，加权函数为w:E→R，对每个顶点v(v∈V)，从s到v存在一条通路，当且仅当对G运行BELLMAN-FORD（G,w,s）算法，算法终止时，有d[v]<∞。

定理：设G=（V，E）为带权有向图，源顶点为s，加权函数为w:E→R，对该图运行BELLMAN-FORD（G,w,s）算法，若G不包含s可达的负权回路，则算法返回TRUE，对所有顶点v(v∈V)，有d[v]=∮(s,v)成立。

前趋子图G是以s为根的最短路径树。

如果G包含从s可达的负权回路，则算法返回FALSE。

7．4Dijkstra’s algorithm
目的：解决有向加权图的最短路径问题。

条件：该图的所有边的权值非负。

算法思想：设置一个结点集合S，从源点s到集合中结点的最终最短路径的权均已确定。

算法反复挑选出其最短路径估计为最小的结点u∈V-S，把u插入到集合S中，并对离开u的所有边进行松弛。

Dijkstra算法总是在集合V-S中选择“最近”的结点插入集合S中，它使用了贪心策略。

Dijkstra(G,w,s)
Init-Singlesource(G,s)
s = empty
Q = V[G]
while ( Q != empty)
do u = extract-min(Q)
s = s and {u}
for 每个顶点v属于Adj[u]
do Relax(u,v,w) Dijkstra执行过程：
定理7.1：Dijkstra算法的正确性证明
证明：将证明对每一结点u属于V，当u被插入集合S时有d[u]＝Q(s,u)成立，且此后该等式一直保持成立。

设u为插入集合S中的第一个满足d[u]!=Q(s,u)的结点。

可知u!=s，可知u被插入集合S前S!=空。

从s到u必存在某条通路，否则
d[u]=Q(s,u)＝inf，与
d[u]!=Q(s,u)矛盾。

因为存在一条通路，所以存在一条最短路p。

路径p联结集合S中的结点S 到V-S的结点u。

考察沿路径p的第一个属于V-S的结点y。

设x属于V是y的
先辈。

路径p可以分解为s~p->x和y~p2->u。

（若第一个点为u，则d[u]=Q(s,u)，已得证）
因为s到u的最短路径上y出现在y之前且所有边的权均为非负，我们有
Q(s,y)<=Q(s,u),因而d[y] = Q(s,y) <= Q(s,u) <=d[u],但因为在第5行选择u 时结点u和y都属于V-S，所以有d[u]<=d[y]。

因此d[u]=d[y]。

最后得出结论d[u]=Q(s,u)，这与我们对u的假设矛盾。

Dijkstra算法效率：若用线性数组实现优先队列：每次Extract_Min为O(v)，存在V次，则为O(v^2)。

for中有E次迭代。

所以整个算法运行时间O(V^2)。

稀疏图用二叉堆比较合适。

Extract_Min需要O(lgv)，建立需要O(V)。

更改权值用Decrease_key。

总时间为O((V+E)lgV)。

如果用斐波那契堆可以进一步提高效率至O(VlgV+E)。

7．5总结
根据各种教材介绍，还有几种经典的算法，所有顶点之间的最短路径（Floyed 算法）、特定两个顶点之间的最短路径（A*算法）等。

在上述介绍的算法，当减低问题规模时，为了降低算法的时间复杂度，应该想办法缩小搜索范围。

而缩小搜索范围，都用到了一个思想——尽可能的向接近最后结果的方向搜索，这就是贪婪算法的应用。

比如Dijkstra算法总是在V-S中选择“最轻”或“最近”的顶点插入到集合S中，所以我们说它用了贪心策略。

两种算法中用到的松弛技术就是通过缩小最短路径的估计值，尽可能的向接近最后结果的方向搜索。