大学物理第5章-角动量守恒定律-刚体的转动
大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律
方向垂直于轴，其效果是改
变轴的方位，在定轴问题中，
第二项
与轴承约束力矩平衡。
M 2rF
方称为向力平对行于轴的轴矩，，其效表果为代是数改变量绕：轴M 转z 动 状r态，F
即： i j k
Mo rFx y z
Fx FyFz
i yFz zFy jzFxxFzk xFyyFx
Mz xFyyFx
由
rc
i
miri M
rc
i
miri M
ri m ivcM rc vc0
i
质心对自己的位矢
L r c m iv ir i m iv c r i m iv i
i
i
i
与 i 有关
第三项：
rimivi 各质点相对于质心角动量的矢量和
i
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关，
o ri
vi
mi
L io 大 方小 向 Lio ： ： rimiv沿 i miri2 即 L iomiri2
在轴上确定正方向，角速度 表示为代数量，则
定义质点对 z 轴的角动量为:
LizLiom iri2
刚体对 z 轴的总角动量为：
Lz Liz ri2mi
i
i
ri2mi
i
对质量连续分布的刚体：
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r，厚 dr 的球壳
dr
R
r
o
为积分元
dV4r2dr
m
m
4 R3
3
dJ3 2dmr22m R3 4rdr
dm dV
J
R
dJ
大学物理第5章刚体的定轴转动
d ctdt
对上式两边积分得
d c td t
0 0
t
1 2 ct 2
2 2 600π π 3 rad s 由给定条件， c 2 t 300 2 75
d π 2 由角速度的定义，则任意 t 时刻的角速度可写为： d t 150
得到： 转子转数：
A M d E K
a b
动能定理
动量定理
A F ds E K
动能定理 角动量定理 角动量 守恒
t 0Fdt P
t
动量守恒
F 0, P 0
t 0 M z dt Lz
t
M 0, L 0
§5.1 刚体、刚体运动
一、一般运动 二、刚体的定轴转动 三、解决刚体动力学问题的一般方法
基本方法： 加
质点系运动定理 刚体特性 平动：动量定理
刚体定轴转动的 动能定理 角动量定理
F mac
可以解决刚体的一般运动（平动加转动）
一、一般运动
1. 刚体 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 2. 自由度 确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z
刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。 例如：车轮的滚动可以看成车轮随轮 轴的平动与绕轮轴的转动的组合。 描述刚体平面运动的自由度：3个
定点转动 刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一 瞬时转轴的转动，称作定点转动。
描述定点转动的自由度：3个
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
z
描述刚体绕定轴转动的角量： 角坐标
大学物理2-1第5章
若质量离散分布：
（质点，质点系）
J i mi ri2
J r2 dm
若质量连续分布：
dm dl
其中： d m d s
d m dV
例题补充 求质量为m，半径为R 的均匀圆环的对中心 轴的转动惯量。 解： 设线密度为λ； d m d l
J R dm
2
2R
0
R dl
2
o
R
dm
R2 2R mR2
例题5-3 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴 的转动惯量。 解： 设面密度为σ。
取半径为 r 宽为d r 的薄圆环,
R
d m d s 2 r d r
J r d m r 2 2r 2 d r
2
3 3g 2L
2)由v r得： v A L
L 3 3 gL 3 3 gL vB 2 8 2
5.2 定轴转动刚体的功和能
一、刚体的动能 当刚体绕Oz轴作定轴转动时，刚体上各质元某一瞬时 均以相同的角速度绕该轴作圆周运动。
2 2 质元mi的动能 E ki mi v i mi ( i ri )2 mi ri 2
2）取C 点为坐标原点。 在距C 点为x 处取dm 。 说明
A
A
x dm
B
L
C
x
x
xd m B
L2
L2
2 mL x 2 d x 12
JC x 2 d m
L 2 L 2
1) 刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、 转轴的位置三个因素共同决定; 2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。
大学物理教程-刚体的定轴转动
大学物理教程
哈尔滨工业大学(威海)
5.1 刚体的运动 Harbin Institute of Technology at Weihai
1.平动:
刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体
中所有质点的位移都是相同的。而且在任何
时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同
5.2.1 对轴的力矩
M ro F (r rz ) F
M z (r F ) z r (F Fz )z r F
M z rF sin r F rF
➢ 说明： ① 只有垂直于轴的分量（或在转动平面内的分量）
才能产生沿轴方向的力矩！ ② 作用点到轴的垂直距离决定对轴的力矩
大学物理教程
例3. 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。
解： 选圆环上dl长度质量微元dm，
设线密度为 m 2 R
dl
m R
Jz R2 d m R2 d l
O
R22 R
mR2
大学物理教程
延伸：
薄壁圆筒： J mR2
哈尔滨工业大学(威海)
5.2 刚体定轴转动定律 Harbin Institute of Technology at Weihai
（A）
（B）
解： （A）
M J
FR 1 mR2
2F mR
2
2F
mR
a R 2F / m
R
R
m
m
（B） m1g T m1a
TR J 1 mR2
2
a R
m1
g
m1
1 2
m
R
a
m1
g
m1
1 2
m
恒力 F
大学物理第5章刚体的定轴转动
Jz Jx Jy
Jc J mC
质心
d
yi
xi
ri
y
x
Δmi
1 2
mR
2
R
1 4
mR
2
6
第六页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
常用的转动惯量
细杆：
J过中点垂直于杆
1 12
mL2
J过一端垂直于杆
1 3
mL2
圆柱体：
J对称轴
1 2
mR 2
薄球壳：
J 直径
2 3
mR
2
球体：
J 直径
2 5
mR
2
7
第七页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
d L Lsin dΘ M d t
旋进角速度： Ω dΘ
dt
Ω d
dL
Lsin L
Ω M M
Lsin J sin
O
当 90 时 ，Ω M J
Ω
1
，
Ω
演示 车轮旋进（KL023) TV 旋进防止炮弹翻转（注2）
M外z 0 ，则 J z const .
大小不变 正、负不变
对刚体系， M外z = 0 时， Jizi const.，
此时角动量可在系统内部各刚体间传递，
而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。
演示 角动量守恒：茹科夫斯基转椅(KL016)
转台车轮 (KL017)
陀螺仪（KL029）
30
第三十页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
5、车轮进动
2
第二页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
§5.1 刚体的定轴转动定律
z
Mz
dLz dt
大学物理课件：刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
r
l 2
mv R l mv R l
1
1
2
2
R l
v 2
R
1 v
l 1
2
R
o
l 1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
M J J d
dt
利用角动量表示 M
dJ
dL
dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
械能守恒。
1 (1 ML2 ma2 ) 2 mga(1 cos60) Mg L (1 cos60)
23
2
3(2ma ML)g 2(3ma2 ML2 )
6(2ma ML)(3ma2 ML2 )
v0
6ma
课后习题 3-9 3-10 3-18
刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量
1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达： 2.角动量
t
0 M dt
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
v
o
r
m
定义质点 m 相对原点的
角L动 量r定义p为 rmvsin
光滑转轴自由转动。今有一质量为m，速度为v0的子弹， 沿水平方向距水平转轴距离为a射入竖直、静止的杆内。
杆能摆起的最大角度θmax=60°，求v0。 解：把子弹与杆作系统。由于子弹入射杆的瞬间，系统合外力
矩为零故角动量守恒。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
m
v0
大学物理第5章-角动量守恒定律-刚体的转动
第5章 角动量守恒定律 刚体的转动5-1 质点的动量守恒与角动量守恒的条件各是什么，质点动量与角动量能否同时守恒？試说明之。
答：质点的动量守恒的条件是：当0F =时，p mv ==恒矢量。
质点的角动量守恒的条件是：当0M =时，即000,F r θπ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩时，L =恒矢量。
可见，当0F =时，质点动量与角动量能同时守恒。
5-2 质点在有心力场中的运动具有什么性质？答：质点在有心力场中运动时，0,0F M ≠=，则角动量守恒，即：当0M =时，L =恒矢量。
又因为有心力是保守力，则机械能守恒，即：当0ex in nc A A +=时，K P E E E =+=恒量。
5-3 人造地球卫星是沿着一个椭圆轨道运行的，地心O 是这一轨道的一个焦点。
卫星经过近地点和远地点时的速率一样吗？卫星在近地点和远地点时的速率与地心到卫星的距离有什么关系？答：卫星经过近地点和远地点时的速率不一样，由角动量守恒定律得：a ab b r mv r mv = a b b av r v r ∴= 可见，速率与距离成反比。
5-4 作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量是否守恒？对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？答：作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量不守恒；对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量不守恒；对于圆心定点，它的角动量守恒。
5-5 以初速度0v 将质量为m 的小球斜上抛，抛射角为θ，小球运动过程中，相对于抛射点的角动量如何变化？小球运动到轨道最高点时，相对于抛射点的角动量为多少？答：取抛射点为坐标原点，取平面直角坐标系Oxy ，y 轴正方向向上，则质点的运动方程和速度表达式为：020cos 1sin 2x v ty v t gt θθ=⎫⎪⎬=-⎪⎭ ， 00cos sin x y v v v v gt θθ=⎫⎬=-⎭ 对于抛射点的角动量：()()x y y x L r mv xi y j mv i mv j xmv k ymv k =⨯=+⨯+=- 将,,,x y x y v v 代入得：201cos 2L mgv t k θ=- 当小球到达最高点时，时刻为：0sin v t gθ=，代入上式得： 小球相对于抛射点的角动量为：320sin cos 2mv L k gθθ=-。
第五章 刚体的转动
0
x
2. 角速度和角加速度 d d d 2 2
dt
dt dt
3. 线量与角量的关系
y
s r
a t r
v 方向垂直 于
v r a n r 2
和 r 组成的平面
0
v r △θ
△s
x
v r
转 轴
转动的轴线可变也可不 变，若轴线固定不动， 则称定轴转动。作定轴 转动的刚体上的各点， 在运动中都绕同一转轴 作不同半径的圆周运动。 而且，刚体上各点在相 同时间内转过相同的角 度。
刚体的一般运动 可以当作由一平动和一绕瞬时轴的转动组合而成
绕轴转动 车轮绕 轴转动
转轴平动
转轴 轮轴平动
平动和转动（转轴位置变）
M
T
T m mg v0
对物体有： 对滑轮有：
T - mg = m a
①
-TR = J = M R2 /2 ② ③ ④
角量和线量的关系： a = R 运动学关系： v = v0 + at = 0
设一刚体绕定轴转动，某质元受内力 f i内 和 外力 Fi外 作用
矢量式：
m i
ri
法向式：
切向式： 以 遍乘切向式两端： 转轴
将遍乘
后的切向式求和得：
m i
刚体所受的合外力矩
ri
定义：
M J
J mi ri
2
刚体的转动惯量 转动定律
其中M为刚体所受的合外力矩
说明：（1）M, J, 均对同一轴而言，且具有瞬时性； （2）改变刚体转动状态的是力矩； （3）转动惯量是刚体转动惯性的度量。
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第5章 角动量守恒定律 刚体的转动
5-1 质点的动量守恒与角动量守恒的条件各是什么，质点动量与角动量能否同时守恒？試说明之。
答：质点的动量守恒的条件是：
当0F =时，p mv ==恒矢量。
质点的角动量守恒的条件是：
当0M =时，即000,F r θπ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
时，L =恒矢量。
可见，当0F =时，质点动量与角动量能同时守恒。
5-2 质点在有心力场中的运动具有什么性质？
答：质点在有心力场中运动时，0,0F M ≠=，则角动量守恒，即：
当0M =时，L =恒矢量。
又因为有心力是保守力，则机械能守恒，即：
当0ex in nc
A A +=时，K P E E E =+=恒量。
5-3 人造地球卫星是沿着一个椭圆轨道运行的，地心O 是这一轨道的一个焦点。
卫星经过近地点和远地点时的速率一样吗？卫星在近地点和远地点时的速率与地心到卫星的距离有什么关系？
答：卫星经过近地点和远地点时的速率不一样，由角动量守恒定律得：
a a
b b r mv r mv = a b b a
v r v r ∴= 可见，速率与距离成反比。
5-4 作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量是否守恒？对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？
答：作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量不守恒；对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量不守恒；对于圆心定点，
它的角动量守恒。
5-5 以初速度0v 将质量为m 的小球斜上抛，抛射角为θ，小球运动过程中，相对于抛射点的角动量如何变化？小球运动到轨道最高点时，相对于抛射点的角动量为多少？
答：取抛射点为坐标原点，取平面直角坐标系Oxy ，y 轴正方向向上，则质点的运动方程和速度表达式为：
020cos 1sin 2x v t y v t gt θθ=⎫⎪⎬=-⎪⎭
， 00cos sin x y v v v v gt θθ=⎫⎬=-⎭ 对于抛射点的角动量：
()()
x y y x L r mv xi y j mv i mv j xmv k ymv k =⨯=+⨯+=- 将,,,x y x y v v 代入得：
201cos 2L mgv t k θ=- 当小球到达最高点时，时刻为：0sin v t g
θ=，代入上式得： 小球相对于抛射点的角动量为：320sin cos 2mv L k g
θθ=-。
5-6 为什么说刚体平动的讨论可归结为对质点运动的研究？
答：由于刚体平动时，各点的运动状态相同，则可取刚体上任意一点运动代表刚体的运动，所以刚体的平动可用质点运动来描述。
5-7如果刚体所受的合外力为零，其合外力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否一定为零？
答：如果0i i F =∑，但力不共轴，则力矩不为零0i i M ≠∑。
如果0i i M =∑，但力方向相同，则力不为零0i i
F ≠∑。
5-8 在某一瞬时，如果刚体受到的合外力矩不为零，其角加速度可以为零吗？其角速度可以为零吗？
答:由刚体的转动定理：M J β=
当0,0M J ≠≠时，则0M J
β=≠ 可见，力矩与角加速度有关，力矩与角速度无关，所以角速度可以为零。
5-9 两个同样大小的轮子，质量也相同。
一个轮子的质量主要集中在轮緣，另一个轮子的质量主要集中在轮轴附近。
问：
（1）如果它们的角速度相同，哪一个飞轮的动能较大？
（2）如果它们的角加速度相等，作用在哪一个飞轮上的力矩较大？
（3）如果它们的角动量相等，哪一个飞轮转得快？
答：质量主要集中在轮緣的轮子的转动惯量用J A 表示，质量主要集中在轮
轴附近的轮子的转动惯量用J B 表示。
由∑=i
i i r m J 2
Δ可知，J A >J B 。
βJ M =
A 轮相当于圆环，转动惯量 2A J mR =
B 轮相当于圆盘， 转动惯量 212
B J mR = （1）当ω一定时，转动动能 2221122
KA A E J mR ωω== 2221124
KB B E J mR ωω== 所以 kB kA E E >
（2）当β一定时，转动定理 2A A M J mR ββ== 212
B B M J mR ββ== 所以 B A M M >
（3）当L 一定时，角动量 2A A A L J mR ωω==
212
B B B L J mR ωω== 2A A L L J mR ω== ， 22B B L L J mR
ω== 所以 B A ωω<
5-10 将一个生鸡蛋和一个熟鸡蛋放在桌子上使其转动，如何判断哪一个是
生的？哪一个是熟的？为什么？
答：转动时，生、熟鸡蛋所受阻力矩相同。
根据角动量定理
00t
Mdt J J ωω=-⎰
停止时，0ω=，则 0J t M
ω∆= 因为熟鸡蛋部凝固，而生鸡蛋部不固定，转动惯量随转动而增大，即J J >生熟，
所以t t ∆>∆生熟
生鸡蛋转动时间较长，熟鸡蛋转动时间较短。
5-11 一半径为r 的均质小球，沿两个高度相同，倾角不同的斜面无滑动地滚下，在这两种情况下，小球到达斜面下端的速率是否相同？
答：因为小球只作滚动，没有滑动，故摩擦力不作功，机械能守恒。
221122
c c mgh mv J ω=
+ 其中：小球的转动惯量225c J mr =，质心的速度c v r ω=，代入上式得：
c v ∴= 可见，只要小球从同一高度滚下，与斜面的夹角无关，则小球到达斜面下端时的速率是相同的。
5-12 一个人将两臂伸平，两手各拿一只重量相等的哑铃坐在角速度为ω的转台上（ω为人与转台共同角速度），突然，他将哑铃丢下，但两臂不动，问角动量是否守恒？它们的角速度是否改变？
答：因为0i i
M =∑，所以角动量守恒。
设人和转台的转动惯量为J ，哑铃的质量为m ，手臂的长为l ，开始时角速度为ω，丢掉哑铃时角速度为ω'，由角动量守恒得：
()2
2J ml J ωω'+= 221ml J ωωω⎛⎫'∴=+> ⎪⎝⎭
可见，丢掉哑铃后，角速度变大。
5-13 你骑自行车前进时，车轮的角动量指向什么方向？当你的身体向左侧倾
斜时，对车轮加了什么方向的力矩？试根据进动原理说明这时你的自行车为什么要向左转弯。
答：当车轮前进时，角动量L方向与角速度ω方向一致，即：L Jω
=。
当你的身体向左侧倾斜时，对车轮施加了一个进动方向的力矩，即:
c d L
M r mg
dt
=⨯=
力矩改变了角动量的方向，所以自行车就向左转弯。