初中九年级数学 圆 1、圆的认识
2024-2025学年华师版初中数学九年级(下)教学课件27.1.1圆的基本元素
圆中，大的半圆的弧长小于小的半圆的周长.
①
其中正确的是____.(填序号)
.
5.如图，点A，B，C，E在⊙O上，点A，O，
D与点B，O，C分别在同一直线上，图中有
几条弦？分别是哪些？
解：图中有3条弦，分别是弦AB，BC，CE.
随堂训练
6． 一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一
人都公平吗？如果不公平，你认为他们应排成什么样的队形才公平？
不公平，应该站成圆形.
随堂训练
7.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或
等于3cm的点组成的图形.
·
O
2cm
课堂小结
同心圆
定
义
有
概
等圆
关
念
弦（直径）
弧
圆心角
等弧
同 圆 半 径 相 等
集 合 定 义
圆
同圆
要素：圆心和半径
旋 转 定 义
离等于定长r的所有点的集合．
D
A
E
知识讲解
（3）确定一个圆的要素
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
同心圆
圆心相同，半径不同
无数个圆
等圆
半径相同，圆心不同
无数个圆
知识讲解
（4）圆的基本性质
同圆的半径相等.
• o
知识讲解
例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.求证：A、B、C、D四个点在以点
O
●
经过圆心的弦（如图中的AC）叫做直径．
注意：
（1）弦和直径都是线段.
C
（2）直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦
苏科版九年级上册圆知识点精讲
苏科版九年级上册圆知识点精讲圆是几何学中最基础的概念之一，不仅在数学中有着广泛的应用，而且在生活中也随处可见。
今天我们就来精讲苏科版九年级上册关于圆的知识点，深入了解圆的性质和相关定理。
1. 圆的定义圆是由在同一平面内离该平面一定距离的所有点组成的集合。
其中，距离被定义为圆心到圆上任意点的距离，称为半径。
2. 圆的性质(1) 圆心：圆心是圆上任意两点间的线段的中点，用字母O表示。
(2) 半径：半径是从圆心到圆上任意一点的线段，用字母r表示。
(3) 直径：直径是通过圆心且在圆上的线段，直径的长度是半径的两倍，用字母d表示。
(4) 弦：弦是圆上两点之间的线段。
(5) 弧：弧是圆上的一段弯曲部分。
(6) 弧长：弧长是弧的长度，在计算时用字母L表示。
(7) 圆周：围绕圆形的线段，它的长度用字母C表示。
3. 圆的相关定理(1) 圆的半径相等性质：在同一圆中，任意两条半径相等。
(2) 弧对应角相等定理：在同一圆中，对应于同一弧的两个交角相等。
(3) 弧的度数：一个弧所对应的圆心角的度数等于这个扇形所占的整个圆所对应的度数。
(4) 弧长公式：弧长L等于弧所对应的圆心角的度数除以360度再乘以圆的周长C。
(5) 弦切定理：如果一条切线与一条弦相交，那么它的切点到圆心的线段是弦的中垂线。
(6) 切线与半径的垂直性：当半径和切线相交时，相交点处的半径垂直于切线。
通过对这些圆的性质和相关定理的理解，我们可以在解决几何问题时灵活运用，进一步推导和分析。
同时，这也为我们理解更高级的几何知识打下了基础。
4. 应用示例(1) 例题一：已知圆的半径是3cm，求圆的面积。
解答：圆的面积公式为A = πr²，其中r是半径。
代入已知条件，即可求得圆的面积为A = 3.14×(3)² = 28.26cm²。
(2) 例题二：已知圆的周长是10π，求圆的半径。
解答：圆的周长公式为C = 2πr，其中r是半径。
九年级数学人教版(上册)24.1.1圆课件
D
F
O
B
I
E
A
⌒ ⌒ ACD ACF
⌒⌒
AC AE
C
⌒⌒
ADE ADC
⌒
AF
⌒
A
D
课堂小结
课堂小结
1.圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本要素. 2.掌握圆的相关概念： （1）弦、直径；（2）弧及其表示方法；(3)等圆、等弧.
重点： 1.直径是最长的弦！ 2.等圆：两个圆能够完全重合 3.等弧：能够完全重合的弧。（所在的圆的半径相等！） 4.劣弧长度<半圆长度<优弧长度 5.圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r） 6.到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
圆的概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋
转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
Oo rr AA
固定的端点O叫做圆 心 线段OA叫做半径
确定圆心 确定半径大小
以点O为圆心的圆，记“⊙O”， 读作“圆O”．
确定一个圆的 两个要素
从画圆的过程可以看出：
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都 AA
作业布置
如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C=90°， ∠D=90°， 点O是AB的中点.
求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的 同一圆上.
A O
C
BDBiblioteka 等于定长（半径r）；r
（2）到定点的距离等于定长的点
都在同一个圆上．
r OO r
BC
CB
判断几个点是否在同一个圆上。
归纳：圆心为O、半径为r的圆可以看成是: 所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．
圆的两种定义
华东师大版九年级下册：圆的认识
圆的认识教学目标1.理解圆的定义；理解半径、直径、等圆的概念；2.理解圆的对称性；3.并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；学习内容知识梳理一、圆的定义1.圆的定义如图，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．总结：⊙圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；⊙圆是平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹.2. 等圆的概念圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：⊙定点为圆心，定长为半径；⊙圆指的是圆周，而不是圆面；⊙强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.3.弦（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.注意：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD⊙AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)⊙直径AB是⊙O中最长的弦.4.弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.总结：⊙半圆是弧，而弧不一定是半圆；⊙无特殊说明时，弧指的是劣弧.5. 等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.总结：⊙等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；⊙圆中两平行弦所夹的弧相等.二、圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．注：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．（一）圆心角与弧的定义1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，⊙AOB 就是一个圆心角. 要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB ，所对的弧为弧AB. 2．1°的弧的定义1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。
九年级圆的知识点总结
九年级圆的知识点总结圆作为数学中的基本图形之一，是九年级数学教学中的重要内容之一。
在九年级的学习中，学生将会接触到圆的相关定义、性质、定理等知识点。
以下是对九年级圆的知识点的总结。
一、圆的定义与性质圆是由平面上与一个定点的距离相等于定长的点构成的图形。
在平面直角坐标系中，圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
圆的性质包括以下几个方面：1. 圆心：圆心为圆上任意两点的中点。
2. 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，用r表示。
3. 直径：通过圆心的一条线段，且两端点在圆上的线段称为直径，直径的长度等于半径的两倍。
4. 弦：连接圆上两点的线段称为弦，弦的长度小于等于直径。
5. 弧：由圆上两点之间的部分所构成的曲线称为弧。
6. 周长：圆的周长为2πr，其中π=3.14或22/7。
二、圆的相关定理在九年级的学习中，我们会接触到一些和圆相关的定理，这些定理可以用于解题，并且进一步拓展我们对圆的认识。
1. 切线的性质：过圆外一点，有且仅有一条直线与圆相切，且切线垂直于半径。
2. 弦切角定理：两条弦交于圆内一点，两个交角之和等于它们所对的弧所对圆心角的一半。
3. 切线切圆定理：圆的切线与半径的垂直线段所构成的直角三角形，直角边上的两条线段相乘等于切点到圆心的距离的平方。
4. 弧切角定理：连接弧上两点与圆心的线段所夹的角等于这两个弧所对圆心角的一半。
5. 直径的性质：两个相互垂直的割线所对的圆心角之和等于180度，其中一个割线与圆的直径重合。
三、圆和其他几何图形之间的关系圆与其他几何图形之间存在着一些重要的关系，这些关系能帮助我们解题，进一步掌握几何知识。
1. 圆与直线的关系：直线与圆的交点可以有0个、1个或2个。
当直线不与圆相交时，称为直线和圆之间无关系；当直线与圆相切时，称为直线切圆；当直线穿过圆时，称为直线截圆。
2. 圆与角的关系：圆心角是指以圆心为顶点的角，它的大小等于所在的弧所对圆心角的一半。
数学九年级下册圆的知识点
数学九年级下册圆的知识点圆是数学几何中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在九年级的数学学习中，我们将更加深入地学习圆的相关知识。
本文将围绕圆的定义、性质、公式和应用等方面展开详细介绍。
一、圆的定义在数学中，圆是由平面上到一个固定点距离相等的所有点组成的图形。
其中，距离固定点最远的点称为圆的半径，固定点称为圆心。
圆心与圆上任意一点之间的线段称为半径。
二、圆的性质1. 圆的半径相等性质：圆上任意两点间的线段都是半径，且长度相等。
2. 圆的直径性质：圆的直径是圆上任意两点的连线，且长度是半径的两倍。
3. 圆的弦性质：圆上的弦分为等弦和不等弦两种。
等弦对应的弦长相等，而不等弦对应的弦长不相等。
4. 圆的切线性质：过圆上一点可以作无数条切线，这些切线与以该点为顶点的两条切线相等，且相互垂直。
三、圆的公式1. 圆的周长公式：圆的周长称为圆周长，通常用C表示，公式为C = 2πr，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。
2. 圆的面积公式：圆的面积称为圆面积，通常用A表示，公式为A = πr²，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。
四、圆的应用1. 圆的运动学应用：在物理学中，圆的运动学应用非常广泛，例如机械运动中的回转运动、行星围绕太阳的椭圆轨道等。
2. 圆的建筑应用：在建筑学中，圆被广泛应用于设计和构建中，例如建筑物中的圆形窗户、圆形拱门等。
3. 圆的电子应用：在电子工程中，圆被广泛应用于电路板设计、天线设计等领域。
4. 圆的地理应用：在地理学中，圆被用于表示地球的形状，地球是近似于一个球体。
总结：在数学九年级下册中，我们系统学习了圆的定义、性质、公式和应用等知识点。
掌握了这些知识，我们能够更好地理解圆的特性，应用于各种实际问题中。
通过灵活运用圆的相关知识，我们可以提高解决问题的能力和思维能力，为今后的数学学习打下坚实的基础。
初三数学圆——圆的认识及垂径定理(教案)
圆的认识及垂径定理【知识导图】知识梳理知识点一 圆的认识（弦，弧）1、什么叫弦？直径与弦的关系？弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径.2、什么叫弧？什么叫优弧？什么叫劣弧？什么是等弧？弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，大于半圆的叫优弧，小于半圆的叫劣弧，能够完全重合的两条弧叫等弧.3、圆的对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？圆即是轴对称图形也是中心对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.知识点二 垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M求证：，⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD.分析：要证，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、BM AM=BM AM =OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB在和中∴∴∴点A 和点B 关于CD 对称∵⊙O 关于直径CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，⌒AC 与⌒BC 重合，⌒AD 与⌒BD 重合．∴⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理推论：1、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论扩展推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
2、垂径定理及其推论可概括为OAM Rt ∆OBM Rt ∆⎩⎨⎧==OM OM OB OA OBM Rt OAM Rt ∆≅∆BM AM=考点解析类型一圆的认识（弦、弧）【例题1】下列五个命题：（1）平分弦的直径必垂直于弦（2）圆是轴对称图形，对称轴是直径（3）圆中两点之间的部分叫做弧（4）长度相等的两条弧叫等弧（5）直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】（1）平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，故原命题是假命题，（2）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题是假命题，（3）圆上两点之间的部分叫做弧，故原命题是假命题，（4）能够完全重合的两条弧叫等弧，故原命题是假命题，（5）直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，原命题是真命题，其中真命题有1个．故选；A．【总结与反思】本题考查圆的相关概念及垂径定理，理解概念及定理即可解决，要求学生掌握圆的相关概念及垂径定理内容。
上册圆的认识人教版九年级数学全一册ppt课件
第二十四章 圆
第1课时 圆的认识
上册圆的认识人教版九年级数学全一 册ppt课 件
学习目标
1．理解圆及其相关概念，熟知圆的定义． 2．运用圆的定义解决四点共圆的问题.
知识要点
知识点一：圆的定义 (1)圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O 旋转一周， 另一个端点A所形成的图形叫做圆．以O为圆 心的圆记作 ⊙O . (2)理解：圆上各点到圆心O的距离等于半径；到定点距离等 于定长的点都在同一圆上． (3)注意：圆心决定圆的位置；半径决定圆的大小.
证明：∵OA，OB 是⊙O 的两条半径，∴AO＝BO，
∵C，D 分别是半径 OA，OB 的中点，∴OC＝OD，
AO＝BO
在△ODA 和△OCB 中，∠O＝∠O ，
OD＝OC
∴△ODA≌△OCB(SAS)，∴AD＝BC.
6.【例2】如图，点A，B，C是⊙O上的三点，BO平分∠ABC. 求证：BA＝BC.
证明：如图，连接OA，OC， ∵OA＝OB，OB＝OC，
∴∠ABO＝∠BAO， ∠CBO＝∠BCO， ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠CBO， ∴∠BAO＝∠BCO， ∴△OAB≌△OCB(AAS)，
∴BA＝BC.
小结：将点在圆上转化为该点到圆心O的距离等于半径.
9.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长 线交于点E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°，求∠AOC的度 数．
3.如图，AB为⊙O的直径，以点A为端点的优弧有 2 条，分
︵︵
别是 ABD，ABC ；以点A为端点的劣弧有 2 条，分别是
︵︵
__A_D__，__A_C____.
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AC 2.如图,弦有:_A_B_、__B__C__、_____
C
在圆中有长度不等的弦，
直径是圆中最长的弦。
与圆有关的概念
弧
圆 C为上端任点意的两弧点记间作的⌒ A部C，分读叫作做“圆圆弧弧，A简C”弧或。“以弧A、
AC”．
B
半圆:圆的任意一条直径两个端点把
圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
E
D 弦有：AB ， CD
圆心角有： ∠DOE ， ∠COE
想一想 判断下列说法的正误：
(1)弦是直径；( )
(2)半圆是弧； (
)
(3)过圆心的线段是直径； ( )
(4)过圆心的直线是直径；( )
(5)半圆是最长的弧；( )
(6)直径是最长的弦；( )
直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段。
画一画
端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心
线段OA叫做半径
要确定一个圆,必须确定圆的_圆__心_和_半__径_ 圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小. 半径相等的圆叫做等圆.
O●
这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为 “⊙O”.
与圆有关的概念
弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。
O·
劣弧与优弧: 小于半圆的弧叫做劣弧； 如：A⌒C
A
C
B
⌒ 大于半圆的弧叫做优弧. （用三个字母表示 ） 如：ABC
O·
在同圆（等圆）能够互相重合两条弧， A
C
叫等弧
A
1.如图,弧有:____⌒ A_B____⌒B_C____
B A⌒BC A⌒CB B⌒AC 它们一样么？
O●
2 .劣弧有： A⌒B B⌒C
如图,一
根 3m 长 的 绳 子 ,
一端栓在柱子
上,另一端栓
着一只羊,请
5
画出羊的活动
区域.
例如：图中线段AB叫做弦。CD呢？ A
D
思考：一个圆上可画出多少条弦？ E
B
这些弦的长度有范围吗？
C
你能画出一条最长的弦吗？
F
它与其它的弦有何不同？
直径：经过圆心的弦
如图中的线段EF，注：圆中有无数条直径。
A O●
1.如图,半径有:_O_A_、__O_B__、__O_C___ B 若∠AOB=60°，
第28章 圆
1.圆的基本元素
观察下列图形，从中找出共同特点：
一石激起千层浪
乐在其中
观察下列图形，从中找出共同特点：
祥子
小憩片刻
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.
在小学，我们已经学过一些
A
圆的知识。你能说说什么是
圆吗？ B
O●
你能找出圆中的直径
和半径吗？：
C
A
r
O·
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
C
优弧有： A⌒CB B⌒AC
判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.( )
圆心角
A O●
与圆有关的概念
圆心角是顶点在圆心的角。
圆心角有: ∠AOB、 ∠AOC、∠BOC
B
B
●
A
o
C
∠ABO是不是圆心角
活动& 探索
F
C
M
A
O
问：
B （1）FC是弦吗？为什么？ （2）∠CMB， ∠CMA是不是 圆心角？