《走向高考》2013 高三数学(人教A版)总复习同步练习11-4数学归纳法(理)
11-4数学归纳法(理)基础巩固强化1.(2011·威海模拟)在用数学归纳法证明“2n>n2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0等于( )A．1 B．3 C．5 D．7[答案] C[解析] n的取值与2n，n2的取值如下表：n123456…2n248163264…n2149162536…由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度，故当n>4时恒有2n>n2.2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于( )A．1 B．2 C．3 D．4[答案] C[解析] 因为凸n边形的边数最少为3，故验证的第一个值n0＝3.3．若f(n)＝1＋＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(1)为( )A．1 B.C．1＋＋＋＋ D．非以上答案[答案] C[解析] 注意f(n)的项的构成规律，各项分子都是1，分母是从1到6n －1的自然数，故f(1)＝1＋＋＋＋.4．数列{a n}中，已知a1＝1，当n≥2时，a n－a n－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是( )A．a n＝3n－2 B．a n＝n2C．a n＝3n－1 D．a n＝4n－3[答案] B[解析] a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想a n＝n2.5．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )A．f(n)中共有n项 B．f(n)中共有n＋1项C．f(n)中共有n2－n项 D．f(n)中共有n2－n＋1项[答案] D[解析] f(n)的分母从n开始取自然数到n2止，共有n2－(n－1)＝n2－n＋1项．6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去……则第n个图共挖去小正方形( )A．(8n－1)个 B．(8n＋1)个C.(8n－1)个D.(8n＋1)个[答案] C[解析] 第1个图挖去1个，第2个图挖去1＋8个，第3个图挖去1＋8＋82个……第n个图挖去1＋8＋82＋…＋8n－1＝个．7．(2011·徐州模拟)用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，x n ＋y n能被x＋y整除”，第二步假设n＝2k－1(k∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．[答案] 2k＋18．(2012·长春模拟)如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来的(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n≥3，n∈N*)个图形共有________个顶点．[答案] n(n＋1)[解析] 当n＝1时，顶点共有3×4＝12(个)，当n＝2时，顶点共有4×5＝20(个)，当n＝3时，顶点共有5×6＝30(个)，当n＝4时，顶点共有6×7＝42(个)，故第n－2图形共有顶点(n－2＋2)(n－2＋3)＝n(n＋1)个．9．已知点列A n(x n,0)，n∈N*，其中x1＝0，x2＝a(a>0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…A n是线段A n－2A n－1的中点，…，(1)写出x n与x n－1、x n－2之间的关系式(n≥3)；(2)设a n＝x n＋1－x n，计算a1，a2，a3，由此推测数列{a n}的通项公式，并加以证明．[解析] (1)当n≥3时，x n＝.(2)a1＝x2－x1＝a，a2＝x3－x2＝－x2＝－(x2－x1)＝－a，a3＝x4－x3＝－x3＝－(x3－x2)＝a，由此推测a n＝(－)n－1a(n∈N*)．证法1：因为a1＝a>0，且a n＝x n＋1－x n＝－x n＝＝－(x n－x n－1)＝－a n－1(n≥2)，所以a n＝(－)n－1a.证法2：用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，a1＝x2－x1＝a＝(－)0a，公式成立．(2)假设当n＝k时，公式成立，即a k＝(－)k－1a成立．那么当n＝k＋1时，a k＋1＝x k＋2－x k＋1＝－x k＋1＝－(x k＋1－x k)＝－a k＝－(－)k－1a＝(－)(k＋1)－1a，公式仍成立，根据(1)和(2)可知，对任意n∈N*，公式a n＝(－)n－1a成立．10．已知函数f(x)＝x3－x，数列{a n}满足条件：a1≥1，a n＋1≥f ′(a n＋1)．试比较＋＋＋…＋与1的大小，并说明理由．[解析] ∵f′(x)＝x2－1，a n＋1≥f′(a n＋1)，∴a n＋1≥(a n＋1)2－1.∵函数g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a1≥1，及a2≥(a1＋1)2－1得，a2≥22－1，进而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1，由此猜想：a n≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想：①当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立；②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时结论成立，即a k≥2k－1，则当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，a k2－1≥22k－1≥2k＋1－1，＋1≥(a k＋1)即n＝k＋1时，结论也成立．由①、②知，对任意n∈N*，都有a n≥2n－1.即1＋a n≥2n.∴≤.∴＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝1－()n<1.能力拓展提升11.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边的项是( )A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3[答案] C[解析] 左边项的指数规律是从第2项起指数为正整数列，故n＝1时，应为1＋a＋a2.12．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.[答案] π[解析] 将k＋1边形A1A2…A k A k＋1的顶点A1与A k连接，则原k＋1边形分为k边形A1A2…A k与三角形A1A k A k＋1，显见有f(k＋1)＝f(k)＋π.13．已知：(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a n(x－1)n(n≥2，n∈N*)．(1)当n＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．(2)设b n＝，T n＝b2＋b3＋b4＋…＋b n.试用数学归纳法证明：当n≥2时，T n＝.[解析] (1)当n＝5时，原等式变为(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243.(2)因为(x＋1)n＝[2＋(x－1)]n，所以a2＝C·2n－2，b n＝＝2C＝n(n－1)(n≥2)．①当n＝2时．左边＝T2＝b2＝2，右边＝＝2，左边＝右边，等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，即T k＝成立那么，当n＝k＋1时，左边＝T k＋b k＋1＝＋(k＋1)[(k＋1)－1]＝＋k(k＋1)＝k(k＋1)＝＝＝右边．故当n＝k＋1时，等式成立．综上①②，当n≥2时，T n＝.14．已知f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋a n x n(n为正偶数)且{a n}为等差数列，f(1)＝n2，f(－1)＝n，试比较f与3的大小，并证明你的结论．[解析] 由f(1)＝n2，f(－1)＝n得，a1＝1，d＝2.∴f＝＋32＋53＋…＋(2n－1)· n，两边同乘以得，f＝2＋33＋…＋(2n－3)n＋(2n－1)n＋1，两式相减得，f＝＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)n＋1＝＋－(2n－1).∴f＝3－<3.15．证明：当n∈N*时，1＋＋＋…＋>ln(n＋1)．[证明] (1)当n＝1时，由于ln2<ln e＝1，故不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立．则1＋＋＋…＋>ln(1＋k)．则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋>＋ln(k＋1)．要证不等式成立，只需证明ln(k＋2)<＋ln(k＋1)成立．要证明此不等式成立只需证明>ln()＝ln(1＋)．下面构造函数f(x)＝ln(1＋x)－x(x>0)．∵f′(x)＝－1＝<0，∴f(x)＝ln(1＋x)－x在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x)<f(0)，即ln(1＋x)<x.令x＝得ln(1＋)<.即不等式ln(k＋2)<＋ln(1＋k)成立，所以1＋＋＋…＋＋>ln(k＋2)成立．由(1)、(2)可知对n∈N*，不等式1＋＋＋…＋>ln(n＋1)成立．[点评] 利用数学归纳法证明涉及与指数式、对数式有关的不等式时，在由n＝k证明n＝k＋1时，可以通过构造函数，利用函数的单调性得到需要证明的不等式，这是近年来函数、不等式、数学归纳法结合在一起综合考查的热点问题，要加深对此法的理解与应用．1．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，第四个图有37个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数，则f(6)＝( )A．53 B．73C．91 D．97[答案] C[解析] f(1)＝1×6－6＋1；f(2)＝2×6－6＋f(1)；f(3)＝3×6－6＋f(2)；f(4)＝4×6－6＋f(3)；…f(n)＝n×6－6＋f(n－1)．以上各式相加得f(n)＝(1＋2＋3＋…＋n)×6－6n＋1＝3n2－3n＋1，∴f(6)＝3×62－3×6＋1＝91.2．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取( )A．7 B．8 C．9 D．10[答案] B[解析] 等式左端＝1＋＋＋…＋＝＝2－，将选项中的值代入验证可知n的最小值为8.3．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)>k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立[答案] D[解析] 对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误．对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误．对于C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误．对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D.4．已知点P n(a n，b n)满足a n＋1＝a n·b n＋1，b n＋1＝(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点P n都在(1)中的直线l上．[解析] (1)由P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.∴b2＝＝，a2＝a1·b2＝.∴点P2的坐标为(，)．∴直线l的方程为2x＋y＝1.(2)证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，2a k＋b k＝1成立，则当n＝k＋1时，2a k＋1＋b k＋1＝2a k·b k＋1＋b k＋1＝·(2a k＋1)＝＝＝1，∴当n＝k＋1时，命题也成立．由①②知，对n∈N*，都有2a n＋b n＝1，即点P n在直线l上．5．(2011·湖南理，22)已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x＋.(1)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数，并说明理由；(2)设数列{a n}(n∈N*)满足a1＝a(a>0)，f(a n＋1)＝g(a n)，证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M.[解析] (1)由h(x)＝x3－x－知，x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，且h(1)＝－1<0，h(2)＝6－>0，则x＝0为h(x)的一个零点，且h(x)在(1,2)内有零点．因此h(x)至少有两个零点．解法1：h′(x)＝3x2－1－x，记φ(x)＝3x2－1－x，则φ′(x)＝6x＋x.当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ()<0，则φ(x)在(，1)内有零点，所以φ(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x1，则当x∈(0，x1)时，φ(x)<φ(x1)＝0；当x∈(x1，＋∞)时，φ(x)>φ(x1)＝0.所以当x∈(0，x1)时，h(x)单调递减，而h(0)＝0，则h(x)在(0，x1]内无零点；当x∈(x1，＋∞)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h(x)有且只有两个零点．解法2：由h(x)＝x(x2－1－x)，记φ(x)＝x2－1－x，则φ′(x)＝2x＋x.当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，从而φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．因此h(x)在(0，＋∞)内也至多只有一个零点．综上所述，h(x)有且只有两个零点．(2)记h(x)的正零点为x0，即x＝x0＋.①当a<x0时，由a1＝a，即a1<x0.而a＝a1＋<x0＋＝x，因此a2<x0，由此猜测：a n<x0，下面用数学归纳法证明．a．当n＝1时，a1<x0显然成立．b．假设当n＝k(k≥1)时，a k<x0成立，则当n＝k＋1时，由a＝a k＋<x0＋＝x知，a k＋1<x0.因此，当n＝k＋1时，a k＋1<x0成立．故对任意的n∈N*，a n<x0成立．②当a≥x0时，由(1)知，h(x)在(x0，＋∞)上单调递增，则h(a)≥h(x0)＝0，即a3≥a＋，从而a＝a1＋＝a＋≤a3，即a2≤a.由此猜测：a n≤a，下面用数学归纳法证明．a．当n＝1时，a1≤a显然成立．b．假设当n＝k(k≥2)时，a k≤a成立，则当n＝k＋1时，由a＝a k＋≤a＋≤a3知，a k＋1≤a.因此，当n＝k＋1时，a k＋1≤a成立．故对任意的n∈N*，a n≤a成立．综上所述，存在常数M＝max{x0，a}，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M.。
【走向高考】2013年高考数学总复习 11-4 数学归纳法(理)但因为测试 新人教B版
【走向高考】2013年高考数学总复习 11-4 数学归纳法(理)但因为测试 新人教B 版1.(2011·威海模拟)在用数学归纳法证明“2n >n 2对从n 0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n 0等于( )A ．1B ．3C ．5D ．7 [答案] C[解析]n 的取值与2n，n 2的取值如下表：2．(2011·某某月考、日照模拟)用数学归纳法证明：“(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n －1)”，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1[答案] B[解析]n ＝k 时，左端为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )；n ＝k ＋1时，左端为[(k ＋1)＋1]·[(k ＋1)＋2]…[(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )·(k ＋k ＋1)·(k ＋k ＋2)＝2(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)，故左端增加了2(2k ＋1)．3．若f (n )＝1＋12＋13＋14＋…＋16n －1(n ∈N ＋)，则f (1)为( )A ．1 B.15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案[答案] C[解析] 注意f (n )的项的构成规律，各项分子都是1，分母是从1到6n －1的自然数，故f (1)＝1＋12＋13＋14＋15.4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )A．n＝6时该命题不成立 B．n＝6时该命题成立C．n＝4时该命题不成立 D．n＝4时该命题成立[答案] C[解析]∵“若n＝k(k∈N*)时命题成立，则当n＝k＋1时，该命题也成立”，故若n＝4时命题成立，则n＝5时命题也应成立，现已知n＝5时，命题不成立，故n＝4时，命题也不成立．[点评] 可用逆否法判断．5．观察下式：1＋3＝221＋3＋5＝321＋3＋5＋7＝421＋3＋5＋7＋9＝52……据此你可归纳猜想出的一般结论为( )A．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)B．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝n2(n∈N*)C．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝(n＋1)2(n∈N*)D．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2(n∈N*)[答案] D[解析]观察可见第n行左边有n＋1个奇数，右边是(n＋1)2，故选D.6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去……则第n个图共挖去小正方形( )A．(8n－1)个 B．(8n＋1)个C.17(8n －1)个D.17(8n＋1)个 [答案] C[解析] 第1个图挖去1个，第2个图挖去1＋8个，第3个图挖去1＋8＋82个……第n 个图挖去1＋8＋82＋…＋8n －1＝8n－17个．7．(2011·某某模拟)用数学归纳法证明命题“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”，第二步假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．[答案]n ＝2k ＋18．(2010·某某市检测、某某某某十校联考)观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……，则可以猜想：当n ≥2时，有__________________． [答案] 1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n(n ≥2)[解析] 观察式子左边都是自然数的平方的倒数求和，右边分母为左边的项数，分子为项数的2倍减1，故右边表达式为2n －1n.9．已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…A n 是线段A n －2A n －1的中点，…，(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1，a 2，a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明． [解析] (1)当n ≥3时，x n ＝x n －1＋x n －22.(2)a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝x 2＋x 12－x 2＝－12(x 2－x 1)＝－12a ，a 3＝x 4－x 3＝x 3＋x 22－x 3＝－12(x 3－x 2)＝14a ，由此推测a n ＝(－12)n －1a (n ∈N *)．证法1：因为a 1＝a >0，且a n ＝x n ＋1－x n ＝x n ＋x n －12－x n ＝x n －1－x n 2＝－12(x n －x n －1)＝－12a n －1(n ≥2)，所以a n ＝(－12)n －1a .证法2：用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，a 1＝x 2－x 1＝a ＝(－12)0a ，公式成立．(2)假设当n ＝k 时，公式成立，即a k ＝(－12)k －1a 成立．那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋1＋x k 2－x k ＋1＝－12(x k ＋1－x k )＝－12a k ＝－12(－12)k －1a ＝(－12)(k ＋1)－1a ，公式仍成立，根据(1)和(2)可知，对任意n ∈N *，公式a n ＝(－12)n －1a 成立．10．已知正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n ≤a n －a n ＋1成立． (1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1； (2)探究a n 与1n的大小，并证明你的结论．[解析] (1)由a 2n ≤a n －a n ＋1得a n ＋1≤a n －a 2n . ∵在数列{a n }中a n >0，∴a n ＋1>0， ∴a n －a 2n >0，∴0<a n <1，故数列{a n }中的任何一项都小于1. (2)解法1：由(1)知0<a n <1＝11，那么a 2≤a 1－a 21＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－122＋14≤14<12，由此猜想：a n <1n .下面用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N 时猜想正确． ①当n ＝2时，显然成立；②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N)时，有a k <1k ≤12成立．那么a k ＋1≤a k －a 2k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k －122＋14<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －122＋14＝1k －1k 2＝k －1k 2<k －1k 2－1＝1k ＋1，∴当n ＝k ＋1时，猜想也正确． 综上所述，对于一切n ∈N *，都有a n <1n.解法2：由a 2n ≤a n －a n ＋1， 得0<a k ＋1≤a k －a 2k ＝a k (1－a k )， ∵0<a k <1，∴1a k ＋1≥1a k1－a k ＝1a k ＋11－a k，∴1a k ＋1－1a k ≥11－a k>1. 令k ＝1,2,3，…，n －1得： 1a 2－1a 1>1，1a 3－1a 2>1，…，1a n －1a n －1>1，∴1a n >1a 1＋n －1>n ，∴a n <1n.11.用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－an ＋21－a(a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1成立时，左边的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] C[解析] 左边项的指数规律是从第2项起指数为正整数列，故n ＝1时，应为1＋a ＋a 2. 12．凸k 边形内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋________. [答案] π[解析] 将k ＋1边形A 1A 2…A k A k ＋1的顶点A 1与A k 连接，则原k ＋1边形分为k 边形A 1A 2…A k与三角形A 1A k A k ＋1，显见有f (k ＋1)＝f (k )＋π.13．(2010·某某调研)已知：(x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n(n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值． (2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n n ＋1n －13.[解析] (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243. (2)因为(x ＋1)n＝[2＋(x －1)]n，所以a 2＝C 2n ·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C 2n ＝n (n －1)(n ≥2)①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2， 右边＝22＋12－13＝2，左边＝右边，等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立， 即T k ＝k k ＋1k －13成立那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k k ＋1k －13＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k k ＋1k －13＋k (k＋1)＝k (k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫k －13＋1＝k k ＋1k ＋23 ＝k ＋1[k ＋1＋1][k ＋1－1]3＝右边．故当n ＝k ＋1时，等式成立． 综上①②，当n ≥2时，T n ＝n n ＋1n －13.14．已知f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n(n 为正偶数)且{a n }为等差数列，f (1)＝n 2，f (－1)＝n ，试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12与3的大小，并证明你的结论．[解析] 由f (1)＝n 2，f (－1)＝n 得，a 1＝1，d ＝2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －1)· ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， 两边同乘以12得，12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，两式相减得，12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n－1)12n ＋1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－2n ＋32n <3. 15．证明：当n ∈N *时，1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．[证明] (1)当n ＝1时，由于ln2<ln e ＝1，故不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立． 则1＋12＋13＋…＋1k>ln(1＋k )．则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1>1k ＋1＋ln(k ＋1)．要证不等式成立，只需证明ln(k ＋2)<1k ＋1＋ln(k ＋1)成立． 要证明此不等式成立只需证明 1k ＋1>ln(k ＋2k ＋1)＝ln(1＋1k ＋1)．下面构造函数f (x )＝ln(1＋x )－x (x >0)． ∵f ′(x )＝11＋x －1＝－x 1＋x<0， ∴f (x )＝ln(1＋x )－x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (x )<f (0)， 即ln(1＋x )<x . 令x ＝1k ＋1得ln(1＋1k ＋1)<11＋k. 即不等式ln(k ＋2)<1k ＋1＋ln(1＋k )成立， 所以1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1>ln(k ＋2)成立．由(1)、(2)可知对n ∈N *，不等式1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)成立．[点评] 利用数学归纳法证明涉及与指数式、对数式有关的不等式时，在由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，可以通过构造函数，利用函数的单调性得到需要证明的不等式，这是近年来函数、不等式、数学归纳法结合在一起综合考查的热点问题，要加深对此法的理解与应用．1．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，第四个图有37个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 幅图的蜂巢总数，则f (6)＝( )A ．53B ．73C ．91D ．97 [答案] B[解析]f (1)＝1×6－6＋1；f (2)＝2×6－6＋f (1)； f (3)＝3×6－6＋f (2)；f (4)＝4×6－6＋f (3)；… f (n )＝n ×6－6＋f (n －1)．以上各式相加得f (n )＝(1＋2＋3＋…＋n )×6－6n ＋1＝3n 2－3n ＋1，∴f (6)＝3×62－3×6＋1＝73.2．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 因为凸n 边形的边数最少为3，故验证的第一个值n 0＝3.3．(2010·某某某某质检)用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10 [答案] B[解析] 等式左端＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，将选项中的值代入验证可知n 的最小值为8.4．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )>k 2成立 D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立 [答案] D[解析] 对于A ，f (3)≥9，加上题设可推出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 错误． 对于B ，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B 错误． 对于C ，没有奠基部分，即没有f (8)≥82，故C 错误．对于D ，f (4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D.5．(2011·某某模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22时，当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2C.k ＋14＋k ＋122D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2[答案] D6．(2011·某某理，22)已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x ＋x . (1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数，并说明理由；(2)设数列{a n }(n ∈N *)满足a 1＝a (a >0)，f (a n ＋1)＝g (a n )，证明：存在常数M ，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .[解析] (1)由h (x )＝x 3－x －x 知，x ∈[0，＋∞)，而h (0)＝0，且h (1)＝－1<0，h (2)＝6－2>0，则x ＝0为h (x )的一个零点，且h (x )在(1,2)内有零点．因此h (x )至少有两个零点．解法1：h ′(x )＝3x 2－1－12x － 12 ，记φ(x )＝3x 2－1－12x － 12 ，则φ′(x )＝6x ＋14x － 32.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ(33)<0，则φ(x )在(33，1)内有零点，所以φ(x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x 1，则当x ∈(0，x 1)时，φ(x )<φ(x 1)＝0；当x ∈(x 1，＋∞)时，φ(x )>φ(x 1)＝0.所以当x ∈(0，x 1)时，h (x )单调递减，而h (0)＝0，则h (x )在(0，x 1]内无零点；当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )单调递增，则h (x )在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h (x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．解法2：由h (x )＝x (x 2－1－x － 12)，记φ(x )＝x 2－1－x－12，则φ′(x )＝2x ＋12x － 32.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，从而φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)内也至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．(2)记h(x)的正零点为x0，即x30＝x0＋x0.①当a<x0时，由a1＝a，即a1<x0.而a32＝a1＋a1<x0＋x0＝x30，因此a2<x0，由此猜测：a n<x0，下面用数学归纳法证明．a．当n＝1时，a1<x0显然成立．b．假设当n＝k(k≥1)时，a k<x0成立，则当n＝k＋1时，由a3k＋1＝a k＋a k<x0＋x0＝x30知，a k＋1<x0.因此，当n＝k＋1时，a k＋1<x0成立．故对任意的n∈N*，a n<x0成立．②当a≥x0时，由(1)知，h(x)在(x0，＋∞)上单调递增，则h(a)≥h(x0)＝0，即a3≥a ＋a，从而a32＝a1＋a1＝a＋a≤a3，即a2≤a.由此猜测：a n≤a，下面用数学归纳法证明．a．当n＝1时，a1≤a显然成立．b．假设当n＝k(k≥2)时，a k≤a成立，则当n＝k＋1时，由a3k＋1＝a k＋a k≤a＋a≤a3知，a k＋1≤a.因此，当n＝k＋1时，a k＋1≤a成立．故对任意的n∈N*，a n≤a成立．综上所述，存在常数M＝max{x0，a}，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M.。
高三数学第一轮总复习 114数学归纳法配套训练(含解析)
【走向高考】（2013春季发行）高三数学第一轮总复习 11-4数学归纳法配套训练（含解析）新人教B 版基础巩固强化1.用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<3[答案] B[解析] ∵n ∈N *，n >1，∴n 取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.2．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )A ．n ＝6时该命题不成立B ．n ＝6时该命题成立C ．n ＝4时该命题不成立D ．n ＝4时该命题成立[答案] C[解析] ∵“若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则当n ＝k ＋1时，该命题也成立”，故若n ＝4时命题成立，则n ＝5时命题也应成立，现已知n ＝5时，命题不成立，故n ＝4时，命题也不成立．[点评] 可用逆否法判断．3．(2012·深圳市明德外语实验学校测试)用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n 2＋…＋22＋12＝n 2n 2＋13，第二步证明由“k 到k ＋1”时，左边应加( )A ．k 2B ．(k ＋1)2C ．k 2＋(k ＋1)2＋k 2D ．(k ＋1)2＋k 2[答案] D[解析] 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋…＋22＋12，∴选D.4．已知S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋ (12)(k ＝1,2,3，…)，则S k ＋1等于( ) A ．S k ＋12k ＋1B ．S k ＋12k ＋2－1k ＋1C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2[答案] C [解析] S k ＋1＝1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋12k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12k ＋2. 5．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2、a 3、a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －2B ．a n ＝n 2C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝4n －3[答案] B[解析] a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 6．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项B ．f (n )中共有n ＋1项C ．f (n )中共有n 2－n 项 D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项[答案] D[解析] f (n )的分母从n 开始取自然数到n 2止，共有n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1项． 7．如果不等式2n>n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立，则n 0的最小值为________． [答案] 5[解析] 当n ＝1时，2>2不成立， 当n ＝2时，4>5不成立． 当n ＝3时，8>10不成立 当n ＝4时，16>17不成立 当n ＝5时，32>26成立当n ＝6时，64>37成立，由此猜测n 0应取5. 8．用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n 3n ＋12(n ∈N *)的第二步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时等式左边的差等于________．[答案] 3k ＋2[解析] [(k ＋1)＋1]＋[(k ＋1)＋2]＋…＋[(k ＋1)＋(k ＋1)]－[(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(k ＋k )]＝[(k ＋1)＋k ]＋[(k ＋1)＋(k ＋1)]－(k ＋1) ＝3k ＋2.9．(2012·长春模拟)如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来的(n ＝1,2,3，…)，则第n －2(n ≥3，n ∈N *)个图形共有________个顶点．[答案] n (n ＋1)[解析] 当n ＝1时，顶点共有3×4＝12(个)， 当n ＝2时，顶点共有4×5＝20(个)， 当n ＝3时，顶点共有5×6＝30(个)， 当n ＝4时，顶点共有6×7＝42(个)，故第n －2图形共有顶点(n －2＋2)(n －2＋3)＝n (n ＋1)个．10．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)．试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由． [解析] ∵f ′(x )＝x 2－1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1.∵函数g (x )＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x 在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a 1≥1，及a 2≥(a 1＋1)2－1得，a 2≥22－1，进而得a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1>23－1，由此猜想：a n ≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时结论成立，即a k ≥2k－1，则当n ＝k ＋1时，由g (x )＝(x ＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k－1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①、②知，对任意n ∈N *，都有a n ≥2n－1.即1＋a n ≥2n.∴11＋a n ≤12n . ∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a 3＋…＋11＋a n ≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－(12)n<1. 能力拓展提升11.若f (x )＝f 1(x )＝x1＋x，f n (x )＝f n －1[f (x )](n ≥2，n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝( )A ．n B.9n ＋1C.nn ＋1D ．1[答案] A[解析] 易知f (1)＝12，f (2)＝23，f (3)＝34，…，f (n )＝nn ＋1；由f n (x )＝f n －1(f (x ))得，f 2(x )＝x 1＋2x ，f 3(x )＝x 1＋3x ，…，f n (x )＝x 1＋nx ，从而f 1(1)＝12，f 2(1)＝13，f 3(1)＝14，…，f n (1)＝1n ＋1，， 所以f (n )＋f n (1)＝1，故f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝n . 12.如图，一条螺旋线是用以下方法画成的：△ABC 是边长为1的正三角形，曲线CA 1、A 1A 2，A 2A 3是分别以A 、B 、C 为圆心，AC 、BA 1、CA 2为半径画的圆弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线旋转一圈．然后又以A 为圆心，AA 3为半径画圆弧……这样画到第n 圈，则所得螺旋线的长度l n 为( )A ．(3n 2＋n )π B ．(3n 2－n ＋1)π C.3n 2＋n π2D.3n 2－n ＋1π2[答案] A[解析] 由条件知CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n －1A n 对应的中心角都是2π3，且半径依次为1,2,3,4，…，故弧长依次为2π3，2π3×2，2π3×3…，据题意，第一圈长度为2π3(1＋2＋3)，第二圈长度为2π3(4＋5＋6)，第n 圈长度为2π3[(3n －2)＋(3n －1)＋3n ]，故L n ＝2π3(1＋2＋3＋…＋3n )＝2π3·3n1＋3n 2＝(3n 2＋n )π. 13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S n 、S n ＋1、2S 1成等差数列，则S 2、S 3、S 4分别为________，由此猜想S n ＝________.[答案] 32，74，158 S n ＝2n－12n －1[解析] ∵S n 、S n ＋1、2S 1成等差数列， ∴2S n ＋1＝S n ＋2S 1，∵S 1＝a 1＝1，∴2S n ＋1＝S n ＋2. 令n ＝1，则2S 2＝S 1＋2＝1＋2＝3， ∴S 2＝32.同理，分别令n ＝2、n ＝3， 可求得S 3＝74，S 4＝158，由S 1＝1＝21－120，S 2＝32＝22－121，S 3＝74＝23－122，S 4＝158＝24－123，猜想S n ＝2n－12n －1.14．(2012·温州一模)已知n ∈N *，设平面上的n 个椭圆最多能把平面分成a n 部分，则a 1＝2，a 2＝6，a 3＝14，a 4＝26，…，则a n ＝________.[答案] 2n 2－2n ＋2[解析] 观察规律可知a n －a n －1＝(n －1)×4，利用累加法可得a n ＝2n 2－2n ＋2. 15．用数学归纳法证明下面的等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n n ＋12.[证明] (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·1×1＋12＝1， ∴原等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立， 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k －1k k ＋12.那么，当n ＝k ＋1时，则有 12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k ·(k ＋1)2＝(－1)k －1k k ＋12＋(－1)k·(k ＋1)2＝(－1)k·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)]＝(－1)kk ＋1k ＋22，∴n ＝k ＋1时，等式也成立， 由(1)、(2)得对任意n ∈N ＋有 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n n ＋12.16．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n1－4a 2n(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． [解析] (1)由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1. ∴b 2＝b 11－4a 21＝13，a 2＝a 1·b 2＝13. ∴点P 2的坐标为(13，13)．∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立， 则当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1 ＝b k1－4a 2k ·(2a k ＋1)＝b k 1－2a k ＝1－2a k1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n∈N*，都有2a n＋b n＝1，即点P n在直线l上．1．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某人的证明过程如下：1°当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立.2°假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，即k2＋k<k＋1，则n＝k＋1时，k＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋2＋k＋2＝k＋22＝(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立.上述证法( )A．过程全都正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[答案] D[解析]上述证明过程中，在由n＝k变化到n＝k＋1时，不等式的证明使用的是放缩法而没有使用归纳假设．故选D.2．观察下式：1＋3＝221＋3＋5＝321＋3＋5＋7＝421＋3＋5＋7＋9＝52……据此你可归纳猜想出的一般结论为( )A．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)B．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝n2(n∈N*)C ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝(n ＋1)2(n ∈N *) D ．1＋3＋5＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)2(n ∈N *) [答案] D[解析] 观察可见第n 行左边有n ＋1个奇数，右边是(n ＋1)2，故选D.3．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为( )A ．190B ．715C ．725D ．385 [答案] B[解析] 由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n 项和，通项a n ＝4n －3.由此可归纳出第n 件首饰的珠宝数为n [1＋4n －3]2＝2n 2－n .则前n 件首饰所用的珠宝总数为2(12＋22＋…＋n 2)－(1＋2＋…＋n )＝4n 3＋3n 2－n6.当n ＝10时，总数为715.4．已知正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n ≤a n －a n ＋1成立． (1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1； (2)探究a n 与1n的大小，并证明你的结论．[解析] (1)由a 2n ≤a n －a n ＋1得a n ＋1≤a n －a 2n .∵在数列{a n }中a n >0，∴a n ＋1>0， ∴a n －a 2n >0，∴0<a n <1，故数列{a n }中的任何一项都小于1. (2)解法1：由(1)知0<a n <1＝11，那么a 2≤a 1－a 21＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－122＋14≤14<12，由此猜想：a n <1n .下面用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N 时猜想正确． ①当n ＝2时，显然成立；②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N )时，有a k <1k ≤12成立．那么a k ＋1≤a k －a 2k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k －122＋14<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －122＋14＝1k －1k 2＝k －1k 2<k －1k 2－1＝1k ＋1，∴当n ＝k ＋1时，猜想也正确． 综上所述，对于一切n ∈N *，都有a n <1n.解法2：由a 2n ≤a n －a n ＋1， 得0<a k ＋1≤a k －a 2k ＝a k (1－a k )， ∵0<a k <1，∴1a k ＋1≥1a k1－a k ＝1a k ＋11－a k，∴1a k ＋1－1a k ≥11－a k>1. 令k ＝1,2,3，…，n －1得： 1a 2－1a 1>1，1a 3－1a 2>1，…，1a n －1a n －1>1，∴1a n >1a 1＋n －1>n ，∴a n <1n.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 都在函数f (x )＝x ＋a n2x 的图象上．(1)求a 1、a 2、a 3的值，猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明；(2)将数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a 1)，(a 2，a 3)，(a 4，a 5，a 6)，(a 7，a 8，a 9，a 10)；(a 11)，(a 12，a 13)，(a 14，a 15，a 16)，(a 17，a 18，a 19，a 20)；(a 21)，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n }，求b 5＋b 100的值．[分析] (1)将点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 代入函数f (x )＝x ＋a n2x 中，通过整理得到S n 与a n 的关系，则a 1，a 2，a 3可求；(2)通过观察发现b 100是第25组中第4个括号内各数之和，各组第4个括号中各数之和构成首项为68、公差为80的等差数列，利用等差数列求和公式可求b 100.[解析] (1)∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在函数f (x )＝x ＋a n2x 的图象上，∴S n n ＝n ＋a n 2n ，∴S n ＝n 2＋12a n . 令n ＝1得，a 1＝1＋12a 1，∴a 1＝2；令n ＝2得，a 1＋a 2＝4＋12a 2，∴a 2＝4；令n ＝3得，a 1＋a 2＋a 3＝9＋12a 3，∴a 3＝6.由此猜想：a n ＝2n . 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，由上面的求解知，猜想成立． ②假设n ＝k (k ≥1)时猜想成立，即a k ＝2k 成立， 则当n ＝k ＋1时，注意到S n ＝n 2＋12a n (n ∈N *)，故S k ＋1＝(k ＋1)2＋12a k ＋1，S k ＝k 2＋12a k .两式相减得，a k ＋1＝2k ＋1＋12a k ＋1－12a k ，所以a k ＋1＝4k ＋2－a k .由归纳假设得，a k ＝2k ，故a k ＋1＝4k ＋2－a k ＝4k ＋2－2k ＝2(k ＋1)． 这说明n ＝k ＋1时，猜想也成立． 由①②知，对一切n ∈N *，a n ＝2n 成立．(2)因为a n ＝2n (n ∈N *)，所以数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)；(22)，(24,26)，(28,30,32)，(34,36,38,40)；(42)，….每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b 100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以b 100＝68＋24×80＝1988， 又b 5＝22，所以b 5＋b 100＝2010.[点评] 由已知求出数列的前几项，做出猜想，然后利用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法．证明的关键是根据已知条件和假设寻找a k与a k＋1或S k与S k＋1间的关系，使命题得证．11。
2013年走向高考·高考数学文理总复习(新人教A版)课后练习+单元测试阶段性测试题十二(综合素质能力测试)
阶段性测试题十二(综合素质能力测试)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2011～2012·重庆市期末)若集合M ＝{x |log 2(x －1)<1}，N ＝{x |14<(12)x<1}，则M ∩N ＝( )A ．{x |1<x <2}B ．{x |1<x <3}C ．{x |0<x <3}D ．{x |0<x <2}[答案] A[解析] 由log 2(x －1)<1得0<x －1<2，∴1<x <3， 由14<(12)x<1得0<x <2， ∴M ∩N ＝{x |1<x <2}．(理)(2011～2012·泉州五中模拟)若复数(m 2－1)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数m 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1[答案] C[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0m ＋1≠0，∴m ＝1.2．(文)(2011～2012·陕西师大附中模拟)若复数z ＝3＋i1－i ，则复数z 在复平面上的对应点在( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限[答案] D[解析] z ＝3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋4i2＝1＋2i ，其对应点(1,2)在第一象限．(理)(2011～2012·浙江宁波市期末)已知f (x )是定义在实数集R 上的增函数，且f (1)＝0，函数g (x )在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，且g (4)＝g (0)＝0，则集合{x |f (x )g (x )≥0}＝( )A ．{x ≤0或1≤x ≤4}B ．{x |0≤x ≤4}C ．{x |x ≤4}D ．{x |0≤x ≤1或x ≥4}[答案] A[解析] 由条件知，当x ≥1时，f (x )≥0，当x ≤1时，f (x )≤0；当0≤x ≤4时，g (x )≥0，当x ≤0或x ≥4时，g (x )≤0，∵f (x )g (x )≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )≥0g (x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )≤0g (x )≤0， ∴1≤x ≤4或x ≤0.3．(文)(2011～2012·延边州质检)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(4，12)，则f (14)的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] C[解析] 设f (x )＝x α，则4α＝12，∴α＝－12，∴f (14)＝(14)－12＝2.(理)在圆x 2＋y 2＝5x 内，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32有n 条弦的长度成等差数列，最短的弦长为数列的首项a 1，最长的弦长为a n ，若公差d ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤16，13，那么n 的取值集合为( )A ．{4,5,6}B ．{6,7,8,9}C ．{3,4,5}D ．{3,4,5,6}[答案] A[解析] 由题意得a 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝4，a n ＝5， ∴d ＝a n －a 1n －1＝1n －1，∵16<d ≤13，∴16<1n －1≤13，∴3≤n －1<6，∴4≤n <7， ∵n ∈N *，∴n ＝4,5,6.故选A.4．(文)(2011～2012·北京四中期末)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )A.x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 216＝1C.x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1 D ．以上都不对 [答案] C[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝182c ＝6a 2＝b 2＋c2a >b >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3a ＝5b ＝4，故选C.(理)(2011～2012·淄博一模)一天有语文、数学、英语、政治、生物、体育六节课，体育不排在第一节上，数学不排在第六节上，这天课程表的不同排法种数为( )A ．288B ．480C ．504D ．696[答案] C[解析] 体育排在第一节的有5！种，数学排在第六节的有5！种，体育排在第一节且数学排在第六节的有4！种，故这天课程表的不同排法数为－2×＋＝504.5．(2011～2012·会昌中学月考)下图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是( )A.12B.23C.34D.45[答案] C[解析] 程序运行过程为：第一次循环i ＝2，m ＝1，n ＝11×2；第二次循环i ＝3，m ＝2，n ＝11×2＋12×3；第三次循环i ＝4，m ＝3，n ＝11×2＋12×3＋13×4，此时i <4不成立，输出n 的值，∵n ＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＝1－14＝34，∴选C.6．(文)(2011～2012·豫南九校联考)若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(－1,0)∪(0,1][答案] B[解析] ∵f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2－a 2在[1,2]上单调递减，∴a ≤1，又函数g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上单调递减，∴a ＋1>1，∴a >0，∴0<a ≤1.(理)(2011～2012·安徽名校联考)已知x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4x －y －k ≥0y ≥－1，且2x －y 的最小值为1，则k ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] C[解析] 令u ＝2x －y ，则y ＝2x －u ，作出可行域如图，当直线y ＝2x －u 过点(k －1，－1)时，u min ＝2(k －1)＋1＝2k －1.由2k －1＝1得k ＝1.故选C.7．(2011～2012·长安一中、西安中学、交大附中、师大附中、高新一中模拟)角α的终边经过点A (－3，a )，且点A 在抛物线y ＝－14x 2的准线上，则sin α＝( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32[答案] B[解析] A (－3，a )在抛物线x 2＝－4y 的准线y ＝1上，∴a ＝1，∴A (－3，1)，∴sin α＝1(－3)2＋12＝12. 8．(2011～2012·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A ．2＋ 3B ．1＋ 3C ．2＋2 3D ．4＋ 3[答案] D[解析] 由“高平齐”知，侧视图中CD ＝2，由“宽相等”知侧视图中，BC ＝2，AB ＝22－12＝3，∴侧视图的面积S ＝2×2＋12×3×2＝4＋ 3.9．(2011～2012·吉林延吉市一模)设α、β、γ是三个互不重合的平面，m 、n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB ．若α∥β，m ⊄β，m ∥α则m ∥βC ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥βD ．若m ∥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥n [答案] B[解析] 由条件知，m ⊄α，m ⊄β，过m 作平面与α、β相交，设交线依次为a 、b ，则∵α∥β，∴a ∥b ，∵m ∥α，∴m ∥a ，∴m ∥b ，∵b ⊂β，m ⊄β，∴m ∥β，故B 正确．[点评] A 中由正方体交于同一顶点的三个面两两垂直知A 错误；C 中可能有m ⊂β；D 中当m 与n 都与α、β的交线平行时，m ∥n ，故D 错．10．(文)(2011～2012·淄博一模)记集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}和集合B ＝{(x ，y )|x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1、Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2内的概率为( )A.12πB.1π C.14 D.π－24π[答案] A[解析] 如图，由题意知Ω1为⊙O 及其内部，Ω2为△OAB 及其内部，⊙O 的面积S 1＝4π，△OAB 的面积S 2＝2，∴所求概率P ＝S 2S 1＝12π.(理)(2011～2012·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)存在两条直线x ＝±m 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)相交于A 、B 、C 、D 四点，若四边形ABCD 为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2)B ．(1，3)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)[答案] C[解析] 由条件知，直线y ＝±x 与双曲线相交于四个点，由于等轴双曲线的离心率e ＝2，∴e >2，故选C.11．(文)(2011～2012·厦门市质检)如图，已知|OA →|＝3，|OB →|＝1，OA →·OB →＝0，∠AOP ＝π6，若OP→＝tOA →＋OB →，则实数t 等于( )A.13B.33C. 3 D ．3[答案] B[解析] 由向量加运的运算法则可知，过B 作OA 的平行线交OP 于点P ，过P 作OB 的平行线交OA 于Q ，则OP →＝OB →＋OQ →，∵|OB →|＝1，〈OB →，OP →〉＝π3，∴|OP →|＝2， 又〈OP →，OA →〉＝π6，∴|OQ →|＝3，又|OA →|＝3， ∴OQ →＝33OA →，即OP →＝33OA →＋OB →. ∴t ＝33.(理)(2011～2012·泉州五中模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，若O 为△ABC 内部一点，且满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则AO →·BC→＝( ) A.12 B.25 C.13 D.14[答案] C[解析] ∵OA→＋OB →＋OC →＝0，∴OB →＋OC →＝AO →， ∴O 为△ABC 的重心，∴AO →＝23×12(AC →＋AB →)＝13(AC →＋AB →)， ∴AO →·BC →＝13(AC →＋AB →)·(AC →－AB →) ＝13(|AC →|2－|AB →|2)＝13×(4－3)＝13.12．(文)(2011～2012·黄冈市期末)下列四种说法中，错误．．的个数是()①A＝{0,1}的子集有3个；②“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件；④命题“∀x∈R，均有x2－3x－2≥0”的否定是：“∃x∈R，使得x2－3x－2≤0”．A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] D[解析]A＝{0,1}的子集有∅，{0}，{1}，{0,1}共4个，故①错；∵am2<bm2且m2≥0，∴m2>0，∴a<b，原命题为真命题，但a<b⇒/ am2<bm2，∴逆命题为假命题，②错误；p∨q为真⇒p真或q真⇒/p ∧q为真，p∧q为真⇒p真且q真⇒p∨q为真，故③正确；全称命题的否定为存在性命题，“≥”的否定为“<”，故④错误，故选D.(理)(2011～2012·绥化市一模)下列命题中是假命题的是()A．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·x m2－4m＋3是幂函数B．∀a>0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点C．∃α，β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋cosβD．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(x＋φ)都不是偶函数[答案] D[解析]m＝2时，f(x)＝x－1是幂函数，∴A真；∵ln x∈R，∴ln2x＋ln x＝(ln x＋12)2－14≥－14，即t＝ln2x＋ln x的值域为[－14，＋∞)，因此对任意a>0，存在x0>0，使a＝ln2x0＋ln x0，即f(x)有零点，∴B真；当α＝π2，β＝－π4时，cos(α＋β)＝cos(π2－π4)＝22，cos α＋cos β＝cos π2＋cos(－π4)＝22，∴C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin(x ＋φ)＝sin(x ＋π2)＝cos x 为偶函数，∴D 假．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(文)(2011～2012·大庆铁人中学期末)双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率是________．[答案] 53或54[解析] 由条件知，b a ＝34或43，由⎩⎨⎧ b a ＝34a 2＋b 2＝c 2得2516a 2＝c 2，c 2a 2＝2516，∴e ＝c a ＝54， 同理由b a ＝43可得e ＝53.(理)(2011～2012·江苏无锡辅仁中学模拟)已知平面上三点A ，B ，C ，若|AB →|＝5，|BC →|＝12，|CA →|＝13，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →|BA →－BC →|＝________.[答案] －13[解析] ∵52＋122＝132，∴AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，BC →·CA→＋CA →·AB →＝CA →·(AB →＋BC →)＝CA →·AC →＝－|CA →|2，|BA →－BC →|＝|CA →|，∴原式＝－|CA→|＝－13.14．(文)(2011～2012·深圳市一调)某中学组织了“迎新杯”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出若干名学生，并将其成绩绘制成频率分布直方图如图，其中成绩的范围是[50,100]，样本数据分组为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，已知样本中成绩小于70分的个数是36，则样本中成绩在[60,90)内的学生人数为________．[答案] 90[解析] 由条件知：(0.010＋0.020)×10n ＝36，∴n ＝120，∴成绩在[60,90)内的学生人数为120×(0.020＋0.030＋0.025)×10＝90.(理)(2011～2012·绥化市一模)若a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则二项式(a x －1x)6展开式中含x 的项的系数是________． [答案] 240[解析] a ＝⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x )|π0＝2，二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6·x 3－r ，令3－r ＝1得r ＝2， ∴系数为(－1)2·24·C 26＝240.15．(文)(2011～2012·吉林省延边市质检)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π3，则正数ω＝________.[答案] 32[解析] ∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，满足f (α)＝A ，f (β)＝0，∴(α，f (α))为其最高点或最低点，∴|α－β|的最小值为周期T 的14，即T 4＝π3，∴T＝4π3，又T ＝2πω，∴ω＝32.(理)(2011～2012·兰州一中期末)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是该区间上的单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)[答案] ②③④[解析] 由x 21＝x 22，x ∈R ⇒/ x 1＝x 2，故①假；假设f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈A ，由单函数定义，必有x 1＝x 2，与x 1≠x 2矛盾，故②真；由映射定义知③真；∵单调函数是一一对应的函数，故若f (x )为单调函数，则f (x )一定为单函数，故④真．16．(文)(2011～2012·平顶山、许昌、新乡调研)已知函数f (x )＝xx ＋2(x >0)．观察下列计算：f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 7x ＋8，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x 15x ＋16，…，根据以上事实，由归纳推理猜想：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.[答案] f n (x )＝x (2n －1)x ＋2n[解析] 观察f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )，f 4(x )的分母可以发现，每一项的常数是2n ，x 的系数是2n －1，故f n (x )＝x (2n －1)x ＋2n. (理)(2011～2012·台州市质评)若{b n }是等比数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有正确的结论：⎝ ⎛⎭⎪⎫b p b n m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b m b p n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b n b m p ＝1，类比上述性质，相应地，若{a n }是等差数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有正确的结论：________________.[答案] m (a p －a n )＋n (a m －a p )＋p (a n －a m )＝0[解析] 将等比数列的项轮换相除所得商的幂的乘积类比为等差数列项的轮换相减所得差的倍数相加．[点评] 可将通项公式代入按幂的运算法则(或多项式乘法运算法则)进行验证．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(文)(2011～2012·南通市调研)在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且b cos B 是a cos C ，c cos A 的等差中项．(1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝10，b ＝2，求△ABC 的面积．[解析] (1)由题意得，a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，由正弦定理得，sin A cos C ＋cos A sin C ＝2sin B cos B ，即sin(A ＋C )＝2sin B cos B .∵A ＋C ＝π－B,0<B <π，∴sin(A ＋C )＝sin B ≠0.∴cos B ＝12，∴B ＝π3.(2)由B ＝π3得，a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即(a ＋c )2－2ac －b 22ac＝12， ∵a ＋c ＝10，b ＝2，∴ac ＝2.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝32.(理)(2011～2012·安徽六校教育研究会联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝12c .(1)求tan A tan B 的值；(2)求tan(A －B )的最大值，并判断当tan(A －B )取最大值时△ABC 的形状．[解析] (1)由a cos B －b cos A ＝12c 可得，sin A cos B －sin B cos A ＝12sin C ，∴2sin A cos B －2sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin A cos B ＝3sin B cos A ，∴tan A tan B ＝3.(2)设tan B ＝t ，则tan A ＝3t 且t >0tan(A －B )＝3t －t 1＋3t 2＝2t 1＋3t 2＝23t ＋1t ≤33， 此时t ＝33⇒B ＝π6⇒A ＝π3，故C ＝π2，△ABC 为直角三角形．18．(本小题满分12分)(文)(2011～2012·河北衡水中学调研)如图，三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM ∥平面APC ；(2)求证：平面ABC ⊥平面APC ；(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D －BCM 的体积．[解析] (1)由已知得，MD 是△ABP 的中位线，∴MD ∥AP ，∵MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，∴MD ∥平面APC .(2)∵△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点，∴MD ⊥PB ，∴AP ⊥PB ，又∵AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，∴AP ⊥平面PBC ，∵BC ⊂平面PBC ，∴AP ⊥BC ，又∵BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ，∴BC ⊥平面APC ，∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC .(3)由题意可知，MD ⊥平面PBC ，∴MD 是三棱锥M －DBC 的高，在Rt △BCP 中，BC ＝4，BD ＝PD ＝5，∠BCP 为直角， ∴S △BCD ＝221，又MB ＝10，∴MD ＝MB 2－BD 2＝53，∴V D －BCM ＝V M －DBC ＝13S △BCD ·MD ＝107.(理)(2011～2012·台州市质评)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x .(1)当a ＝3时，求函数f (x )的极大值；(2)若函数f (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．[解析] (1)f (x )＝ln x －32x 2－2x ，f ′(x )＝－3x 2＋2x －1x(x >0)， 由f ′(x )>0，得0<x <13，由f ′(x )<0，得x >13.所以y ＝f (x )存在极大值f (13)＝－56－ln3.(2)f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)， 依题意f ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，即ax 2＋2x －1>0在(0，＋∞)上有解．当a ≥0时，显然有解；当a <0时，由方程ax 2＋2x －1＝0至少有一个正根，得－1<a <0.所以a >－1.另解：依题意f ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，即ax 2＋2x －1>0在(0，＋∞)上有解．∴a >1－2x x 2在(0，＋∞)上有解，即a >(1－2x x 2)min .∵x >0时，1－2x x 2＝1x 2－2x ＝(1x －1)2－1≥－1，∴a >－1.19．(本小题满分12分)(文)(2011～2012·安徽省东至县一模)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2在x ＝1处取得极值－1.(1)求b 、c 的值；(2)若关于x 的方程f (x )＋t ＝0在区间[－1,1]上有实根，求实数t 的取值范围．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2b ＋c ＝0f (1)＝3＋b ＋c ＝－1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1c ＝－5， ∴f (x )＝x 3＋x 2－5x ＋2.(2)设g (x )＝f (x )＋t ＝x 3＋x 2－5x ＋2＋t ，则g ′(x )＝3x 2＋2x －5＝(3x ＋5)(x －1)，由g ′(x )>0得，x <－53或x >1，由g ′(x )>0得－53<x <1，∴g (x )的单调增区间是(－∞，－53)，(1，＋∞)，g (x )的单调减区间是(－53，1)，∴函数g (x )在[－1,1]上单调递减，要使关于x 的方程f (x )＋t ＝0在区间[－1,1]上有实根，只需⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≥0g (1)≤0，∴－7≤t ≤1. (理)(2011～2012·深圳市调研)如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，AB ＝2，BD ＝2，沿BD 将△BCD 折起，使二面角A －BD －C 是大小为锐角α，设C 在平面ABD 上的射影为O .(1)当α为何值时，三棱锥C －OAD 的体积最大？最大值为多少？(2)当AD ⊥BC 时，求α的大小．[解析] (1)由题知OD 为CD 在平面ABD 上的射影．∵BD ⊥CD ，CO ⊥平面ABD ，∴BD ⊥OD ，∴∠ODC ＝α，V C －AOD ＝13S △AOD ·OC ＝13·(12·OD ·BD )OC ＝26·OD ·OC ＝26·CD ·sin α·CD ·cos α ＝23·sin2α≤23.当且仅当sin2α＝1，即α＝45°时取等号，∴当α＝45°时，三棱锥O －ACD 的体积最大，最大值为23.(2)法一：连接OB ，∵CO ⊥平面ABD ，AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面BOC ，∴AD ⊥OB ， ∴∠OBD ＋∠ADB ＝90°，又∵AB ⊥BD ，故∠OBD ＝∠DAB ， ∴Rt △ABD ∽Rt △BDO ，∴OD BD ＝BD AB ， ∴OD ＝BD 2AB ＝(2)22＝1，在Rt △COD 中，cos α＝OD CD ＝12，得α＝60°.法二：过O 作OE ⊥AB 于E ，则OEBD 为矩形，以O 为原点，OE ，OD ，OC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，D (0,2cos α，0)，A (2，2cos α－2,0)，B (2，2cos α，0)，C (0,0,2sin α)，于是AD→＝(－2，2,0)，BC →＝(－2，－2cos α，2sin α)， 由AD ⊥BC ，得AD →·BC→＝0， ∴(－2)×(－2)＋2×(－2cos α)＋0×2sin α＝0， 得cos α＝12，又α为锐角，∴α＝60°.20．(本小题满分12分)(2011～2012·开封市模拟)甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120,150]内为优秀，甲校：(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，若按是否优秀来判断，是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.为概率，现从乙校学生中任取3人，求优秀学生人数ξ的分布列和数学期望．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )；[解析] (1)从甲校抽取学生1100×1051100＋1000＝55人，从乙校抽取学生105－55＝50人．∴x ＝6，y ＝7. (2)K 2＝30×75×50×55≈6.109>5.024，故有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．(3)甲校优秀率为211，乙校优秀率为25，ξ＝0,1,2,3，ξ～B (3，25)， P (ξ＝0)＝C 03(25)0(1－25)3＝27125；P (ξ＝1)＝C 13(25)1(1－25)2＝54125；P (ξ＝2)＝C 23(25)2(1－25)1＝36125；P (ξ＝3)＝C 33(25)3(1－25)0＝8125，分布列期望：E (ξ)＝3×25＝65.21．(本小题满分12分)(文)(2011～2012·陕西师大附中模拟)已知数列{a n }，{b n }，其中a 1＝12，数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1＝2b n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)是否存在自然数m ，使得对于任意n ∈N ＋，n ≥2，有1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n －1<m －84恒成立？若存在，求出m 的最小值．[解析] (1)因为S n ＝n 2a n (n ∈N ＋)． 当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2a n －1； 所以a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1. 所以(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1.即a n a n －1＝n －1n ＋1.又a 1＝12，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13·12＝1n (n ＋1).当n ＝1时，上式成立．因为b 1＝2，b n ＋1＝2b n ，所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，故b n ＝2n .∴a n ＝1n (n ＋1)，b n ＝2n .(2)由(1)知，b n ＝2n .则1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n －1＝1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－12n －1，假设存在自然数m ，使得对于任意n ∈N ＋，n ≥2，有1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n －1<m －84恒成立，即2－12n －1<m －84恒成立，∵当n ∈N *，n ≥2时，2－12n －1<2，∴m －84≥2，解得m ≥16，所以存在自然数m ，使得对于任意n ∈N ＋，n ≥2，有1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n －1<m －84恒成立，此时，m 的最小值为16.(理)(2011～2012·台州市质检)已知数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a n }满足a n ＝log 2b n －3n ＋11，S n 是{a n }的前n 项和．(1)求S n ；(2)设同时满足条件：①c n ＋c n ＋22≤c n ＋1(n ∈N *)；②c n ≤M (n ∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{c n }叫做“特界”数列．判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由．[解析] (1)b n ＝b 1q n －1＝2n －1，a n ＝log 2b n －3n ＋11＝log 22n －1－3n ＋11＝10－2n ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋9n .(2)由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )2＝a n ＋2－a n ＋12＝d 2＝－1<0，得S n ＋S n ＋22<S n ＋1，故数列{S n }适合条件①； 又S n ＝－n 2＋9n ＝－(n －92)2＋814(n ∈N *)，故当n ＝4或5时，S n 有最大值20， 即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②. 综上，数列{S n }是“特界”数列．22．(本小题满分14分)(文)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．[解析](1)由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意直线l 2的方程为y ＝kx ＋1， 与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0. 记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.∵直线PQ 的斜率k ≠0，易得点R 的坐标为(－2k ，－1)， RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1) ＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4＝4(k 2＋1k 2)＋8，∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取到等号．RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ→的最小值为16. (理)(2011～2012·浙江六校联考)如图，过点D (0，－2)作抛物线x 2＝2py (p >0)的切线l ，切点A 在第二象限．(1)求切点A 的纵坐标；(2)若离心率为32的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)恰好经过切点A ，设切线l 交椭圆的另一点为B ，记切线l ，OA ，OB 的斜率分别为k ，k 1，k 2，若k 1＋2k 2＝4k ，求椭圆方程．[解析] (1)设切点A (x 0，y 0)，则y 0＝x 202p ， 由切线l 的斜率为k ＝x 0p ， 得l 的方程为y ＝x 0p x －x 202p ， 又点D (0，－2)在l 上，∴x 202p ＝2， 即点A 的纵坐标y 0＝2.(2)由(1)得A (－2p ，2)，切线斜率k ＝－2p ，设B (x 1，y 1)，切线方程为y ＝kx －2， 由e ＝32，得a 2＝4b 2，所以椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1，且过A (－2p ，2)， ∴b 2＝p ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2x 2＋4y 2＝4b 2⇒(1＋4k 2)x 2－16kx ＋16－4b 2＝0， ∴⎩⎨⎧x 0＋x 1＝16k1＋4k 2x 0x 1＝16－4b 21＋4k2，∴k 1＋2k 2＝y 0x 0＋2y 1x 1＝x 1y 0＋2x 0y 1x 0x 1＝x 1(kx 0－2)＋2x 0(kx 1－2)x 0x 1＝3k －2x 1＋4x 0x 0x 1＝3k －2(x 1＋x 0)＋2x 0x 0x 1＝3k －32k1＋4k 2－4p 16－4b 21＋4k 2 ＝3k －32k －4p (1＋4k 2)16－4b 2＝4k将k ＝－2p，b 2＝p ＋4代入得：p ＝32， 所以b 2＝36，a 2＝144， ∴椭圆方程为x 2144＋y 236＝1.1．(2011～2012·深圳市一调)“2012”含有数字0,1,2，且有两个相同数字2.则含有数字0,1,2，且有两个相同的数字的四位数的个数为( )A ．18B ．24C ．27D ．36[答案] B[解析] 1°含有2个0时，先排首位有2种排法，剩下的非零数字，可排在其余3个位置中的任何一个位置上，∴共有2×3＝6种，2°含有两个1时，若首位排1，有6种不同排法，若首位排2，有3种不同排法，∴共有6＋3＝9种不同排法，3°含有两个2的四位数与含有两个1的一样多，∴共有不同的四位数字6＋9×2＝24个．2．(2011～2012·厦门市质检)若x 、y ∈R ，则“x ＝y ”是“|x |＝|y |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]x＝y时，|x|＝|y|；但|x|＝|y|时，x＝±y⇒/x＝y，故选A.3．(2011～2012·大庆铁人中学期末)若命题甲：x≠2或y≠3；命题乙：x＋y≠5，则甲是乙的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] B[解析]解法一：綈甲：x＝2且y＝3，綈乙：x＋y＝5，綈甲⇒綈乙，綈乙⇒/綈甲，∴綈乙是綈甲的必要不充分条件，∴甲是乙的必要不充分条件．解法二：x＝5，y＝0满足“x≠2或y≠3”，但x＋y＝5；x＋y≠5时，若x＝2，则y≠3，若y＝3，则x≠2，因此必有x≠2或y≠3，∴甲是乙的必要不充分条件．4．(2011～2012·浙江六校联考)已知函数f(x)＝－x3＋3f′(2)x，令n＝f′(2)，则二项式(x＋2x)n展开式中常数项是第________项．[答案] 5[解析]f′(x)＝－3x2＋3f′(2)，则f′(2)＝－12＋3f′(2)，∴f′(2)＝6，∴n＝6，设二项式(x＋2x)6展开式的通项为T r＋1＝C r6x6－r(2x)r＝2r C r6x 6－3r2，令6－3r2＝0得r＝4，∴常数项为第5项．5．(2011～2012·滨州市沾化一中期末)已知{a n}为等差数列，a3＝7，a1＋a7＝10，S n为其前n项和，则使S n达到最大值的n等于________．[答案] 6[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝7a 1＋a 7＝10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝72a 1＋6d ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2a 1＝11， ∴a n ＝13－2n ，由a n ≥0得，n ≤132，∵n ∈Z ，∴使S n 取到最大值的n 等于6.6．(2011～2012·绥化市一模)如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．(1)求证：平面BDE ⊥平面SAC ；(2)当二面角E －BD －C 的大小为45°时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由．[解析] (1)由已知可得，SB ＝SD ，O 是BD 的中点，所以BD ⊥SO ，又因为四边形ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC ，因为AC ∩SO ＝O ，所以BD ⊥平面SAC .又因为BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面SAC .(2)易知，SO ⊥平面ABCD ，AC ⊥BD .建立如图所示的空间直角坐标系．设四棱锥S －ABCD 的底面边长为2，则O (0,0,0)，S (0,0，2)，B (0，2，0)，D (0，－2，0)．所以BD→＝(0，－22，0)， 设CE ＝a (0<a <2)，由已知可求得∠ECO ＝45°，则E (－2＋2a 2，0，2a 2)，BE →＝(－2＋2a 2，－2，2a 2)． 设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ·BD →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎨⎧ y ＝0，(－2＋22a )x －2y ＋22az ＝0，令z ＝1，得n ＝(a 2－a，0,1)，因为SO ⊥底面ABCD ，所以OS→＝(0,0，2)是平面BDC 的一个法向量，因为二面角E －BD －C 的大小为45°， 所以22·(a 2－a)2＋1＝22，解得a ＝1， 所以点E 是SC 的中点．。
《走向高考》2013(春季发行)高三数学(人教A版)总复习11-12章课件12-1几何证明选讲
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
三、不等式选讲(理) 1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式． 2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几 何意义证明以下不等式： (1)|a＋b|≤|a|＋|b|； (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；
第十二章 选考部分
夯实基础 稳固根基 一、平行线分线段成比例定理 1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上 截得线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． ⇒1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分 第三边． ⇒2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一 腰．
第十二章 第一节
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第十二章 选考部分
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(4)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极 点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系 和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选 择适当坐标系的意义．
(5)借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬 度等)了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方 法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会 它们的区别．
第十二章 选考部分
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二、坐标系与参数方程 1．坐标系 (1)回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐 标系的作用． (2)通过具体例子，了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用 下平面图形的变化情况． (3)能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标 系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和 直角坐标的互化．
第十二章 选考部分
《走向高考》2013(春季发行)高三数学(人教A版)总复习1-2章课件2-8函数与方程、函数模型及其应用
第二章
第八节
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() 若f(x0)＝0，则x0就是方程f(x)＝0的 个 ， 算 1 一根计终 止； () 若f(a0)· 0)0 ， 方 2 f(x < 则 程 f(x)＝0的 个 位 区 一根于间 x0)中，令a1＝a0，b1＝x0； () 若f(x0)· 0)0 ， 方 3 f(b < 则 程 f(x)＝0的 个 位 区 一根于间 b0)中，令a1＝x0，b1＝b0. 1 第四步：取区间(a1，b1)的中点x1＝ 2 (a1＋b1)，重复第 二、第三步，„„直到第n次，方程f(x)＝0的 个 总 区 一根在间 (an，bn)中．
(文)01 ( 1· 2 在区为 的间
温一 州 模 )已 函 知 数 f(x)＝lnx－x＋2有 个 点 一零所 (k，k＋1 k∈N*)， k的 为 ____ ) ( 则 值 ____ ．
第二章
第八节
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解析：由题意知，f() ＝l3 －10 ，f() ＝l4 －20 ，所以 3 n > 4 n < 该函数在区间(4 3) , 内有零点，所以k＝3.
第二章
第八节
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二、用二分法求方程近似解 用二分法求方程f(x)＝0近似解的一般步骤： 第一步：确定一个区间[a，b]，使得f(a)· < ，令a0＝ f(b)0 a，b0＝b. 1 第二步：取区间(a0，b0)的中点x0＝2(a0＋b0)． 第三步：计算f(x0)的值，得到下列相关结论．
() 分 函 6 段数
() 幂函数 7
() 三角函数． 8
难点：函数模型在实际问题中的应用和函数应用题．
2013走向高考数学_复习资料_高频考点
2013高考数学总复习资料高三数学第三轮总复习分类讨论押题针对训练复习目标:1．掌握分类讨论必须遵循的原则 2．能够合理，正确地求解有关问题 命题分析:分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.这次的一模考试中，尤其是西城与海淀都设置了解答题来考察学生对分类讨论问题的掌握情况.重点题型分析:例1．解关于x 的不等式:)()(232R a x a a a x ∈+<+解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a 2)<0 （下面按两个根的大小关系分类）（1）当a>a 2⇒a 2-a<0即 0<a<1时，不等式的解为 x ∈(a 2, a). （2）当a<a 2⇒a 2-a>0即a<0或a>1时，不等式的解为:x ∈(a, a 2) （3）当a=a 2⇒a 2-a=0 即 a=0或 a=1时，不等式为x 2<0或(x-1)2<0 不等式的解为 x ∈∅.综上，当 0<a<1时，x ∈(a 2, a) 当a<0或a>1时，x ∈(a,a 2) 当a=0或a=1时，x ∈∅.评述:抓住分类的转折点，此题分解因式后，之所以不能马上写出解集，主要是不知两根谁大谁小，那么就按两个根之间的大小关系来分类.例2．解关于x 的不等式 ax 2+2ax+1>0(a ∈R) 解:此题应按a 是否为0来分类.（1）当a=0时，不等式为1>0, 解集为R. （2）a ≠0时分为a>0 与a<0两类①10)1(00440002>⇒⎩⎨⎧>->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->⇒⎩⎨⎧>>a a a a a a a a ∆时，方程ax 2+2ax+1=0有两根a a a aaa a aa a a x )1(12442222,1-±-=-±-=-±-=.则原不等式的解为),)1(1())1(1,(+∞-+-----∞aa a aa a .②101000440002<<⇒⎩⎨⎧<<>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<->⇒⎩⎨⎧<>a a a a a a a ∆时， 方程ax 2+2ax+1=0没有实根，此时为开口向上的抛物线，则不等式的解为（-∞，+∞）.③ 11000440002=⇒⎩⎨⎧==>⇒⎪⎩⎪⎨⎧=->⇒⎩⎨⎧=>a a a a a a a a 或∆时， 方程ax 2+2ax+1=0只有一根为x=-1，则原不等式的解为(-∞,-1)∪(-1,+∞).④01000440002<⇒⎩⎨⎧><<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<⇒⎩⎨⎧><a a a a a a a a 或∆时， 方程ax 2+2ax+1=0有两根，aa a aa a a x )1(12)1(22,1-±-=-±-=此时，抛物线的开口向下的抛物线，故原不等式的解为: ))1(1,)1(1(aa a aa a ----+-.⑤φ∈⇒⎩⎨⎧≤≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-<⇒⎩⎨⎧≤<a a a a a a a 1000440002∆ 综上:当0≤a<1时，解集为（-∞，+∞）. 当a>1时，解集为),)1(1())1(1,(+∞-+-----∞aa a aa a .当a=1时，解集为(-∞,-1)∪(-1,+∞). 当a<0时，解集为))1(1,)1(1(aa a aa a ----+-.例3．解关于x 的不等式ax 2-2≥2x-ax(a ∈R)(西城2003’一模 理科） 解:原不等式可化为⇔ ax 2+(a-2)x-2≥0, (1)a=0时，x ≤-1，即x ∈(-∞,-1]. (2)a ≠0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0. ① a>0时， 不等式化为0)1)(2(≥+-x ax ，当⎪⎩⎪⎨⎧->>120aa ，即a>0时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a.当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120aa ，此时a 不存在.② a<0时，不等式化为0)1)(2(≤+-x ax ，当⎪⎩⎪⎨⎧-<<120a a ，即-2<a<0时，不等式解为]1,2[-a当⎪⎩⎪⎨⎧-><120aa ，即a<-2时，不等式解为]2,1[a-.当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a=-2时，不等式解为x=-1.综上:a=0时，x ∈(-∞,-1). a>0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a .-2<a<0时，x ∈]1,2[-a .a<-2时，x ∈]2,1[a-.a=-2时，x ∈{x|x=-1}.评述:通过上面三个例题的分析与解答，可以概括出分类讨论问题的基本原则为:10:能不分则不分；20:若不分则无法确定任何一个结果； 30:若分的话，则按谁碍事就分谁.例4．已知函数f(x)=cos 2x+asinx-a 2+2a+5.有最大值2，求实数a 的取值.解:f(x)=1-sin 2x+asinx-a 2+2a+5.6243)2(sin 22++---=a a ax令sinx=t, t ∈[-1,1]. 则6243)2()(22++---=a a at t f (t ∈[-1,1]).(1)当12>a 即a>2时，t=1，2533max =++-=a a y解方程得:22132213-=+=a a 或（舍）.(2)当121≤≤-a 时，即-2≤a ≤2时，2a t =,262432max =++-=a a y ,解方程为:34-=a 或a=4（舍）.(3)当12-<a 即a<-2时， t=-1时，y max =-a 2+a+5=2即 a 2-a-3=0 ∴ 2131±=a , ∵ a<-2, ∴ 2131±-=a 全都舍去.综上，当342213-=+=a a 或时，能使函数f(x)的最大值为2.例5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和，证明:15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S .证明:（1）当q=1时，S n =na 1从而0)1()2(2121211212<-=+-+⋅=-⋅++a a n a n na S S S n n n（2）当q ≠1时，qq a S nn --=1)1(1， 从而.0)1()1()1)(1(2122121221212<-=-----=-⋅++++nn n nn n n qa q qa q q a S S S由（1）（2）得:212++<⋅n n n S S S . ∵ 函数xy 5.0log=为单调递减函数.∴15.025.05.0log2loglog++>+n n n S S S .例6．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率.分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---by a x ，一条渐近线的斜率为2=ab ， ∴ b=2.∴555222==+==a aa b a c e .（2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为2=ba ，此时25=e .综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或.评述:例5，例6，的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的，而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论.例7．解关于x 的不等式 1512)1(<+--x x a .解:原不等式 012)1(55<⇔+--x x a0)]2()1)[(2(022)1(012)1(<----⇔<--+-⇔<+--⇔a x a x x a x a x x a⎪⎩⎪⎨⎧>----<-⎪⎩⎪⎨⎧<---->-⎩⎨⎧<--=-⇔0)12)(2(01)3(0)12)(2(01)2(0)21)(2(01)1(a ax x a a a x x a x a 或或 由(1) a=1时，x-2>0, 即 x ∈(2,+∞). 由(2)a<1时，012>--aa ，下面分为三种情况.①⎩⎨⎧<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<012121a a aa a 即a<1时，解为)12,2(aa --.②012121=⇒⎩⎨⎧=<⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--<a a a aaa 时，解为∅.③ ⎪⎩⎪⎨⎧<--<2121a aa ⇒ ⎩⎨⎧><01a a 即0<a<1时，原不等式解为:)2,12(a a--.由（3）a>1时，aa --12的符号不确定，也分为3种情况.①⎩⎨⎧≤>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-->012121a a aa a ⇒ a 不存在.②⇒⎩⎨⎧>>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-->012121a a aaa 当a>1时，原不等式的解为:),2()12,(+∞---∞ aa .综上:a=1时，x ∈(2,+∞). a<1时，x ∈)12,2(a a --a=0时，x ∈∅. 0<a<1时，x ∈)2,12(a a--a>1时，x ∈),2()12,(+∞---∞ aa.评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤: 10:明确讨论的对象，确定对象的全体； 20:确定分类标准，正确分类，不重不漏； 30:逐步进行讨论，获得结段性结记； 40:归纳总结，综合结记. 课后练习:1．解不等式2)385(log 2>+-x x x 2．解不等式1|)3(log||log|3121≤-+x x3．已知关于x 的不等式052<--ax ax 的解集为M.（1）当a=4时，求集合M:（2）若3∈M ，求实数a 的取值范围.4．在x0y 平面上给定曲线y 2=2x, 设点A 坐标为(a,0), a ∈R ，求曲线上点到点A 距离的最小值d ，并写成d=f(a)的函数表达式.参考答案:1. ），（），（∞+235321 2.]4943[，3. (1) M 为），（），（2452 ∞- (2)),9()35,(+∞-∞∈ a4. ⎪⎩⎪⎨⎧<≥-==时当时当1||112)(a a a a a f d .2006年高三数学第三轮总复习函数押题针对训练复习重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。
2013年走向高考·高考数学文理总复习(新人教A版)课后练习+单元测试阶段性测试题十(算法框图与复数)
阶段性测试题十(算法框图与复数)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2011～2012·宿州市质检、淄博一模)设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．2＋2iD ．2－2i[答案] B[解析] z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i.2．(文)(2011～2012·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学模拟)复数z ＝2－i 2＋i，则z 的虚部是( )A.45 B ．－ 45 C.45i D ．－ 45i [答案] B[解析] z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )2(2＋i )(2－i )＝3－4i5，∴虚部为－45.(理)复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则复数z 1＋1z 2的虚部为( )A ．2B ．2iC.32D.32i[答案] C[解析] z 1＋1z 2＝3＋i ＋11－i＝3＋i ＋1＋i (1－i )(1＋i )＝3＋i ＋1＋i 2＝72＋32i ，∴虚部为32.3．(文)(2011～2012·安徽名校联考)复数2－ii (i 为虚数单位)的共轭复数是( )A ．－1＋2iB ．－1－2iC ．1－2iD ．1＋2i[答案] A[解析] ∵2－i i ＝(2－i )·ii 2＝－1－2i ， ∴共轭复数为－1＋2i ，故选A.(理)(2011～2012·河北五校联盟模拟)已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，z －是z 的共轭复数，且z －＝(2＋i)(3－i)，则a 、b 的值分别为( )A ．7,1B ．6，－1C ．7，－1D ．6,1 [答案] C[解析] (2＋i)(3－i)＝7＋i ，z －＝a －b i ， ∵a －b i ＝7＋i ，a 、b ∈R ， ∴a ＝7，b ＝－1.4．(文)(2011～2012·湄潭中学第一学期期末)若复数(1＋a i)(2＋i)＝3－i ，则实数a 的值为( )A ．1B ．－1C ．±2D ．－2[答案] B[解析] ∵(1＋a i)(2＋i)＝(2－a )＋(2a ＋1)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝32a ＋1＝－1，∴a ＝－1. (理)(2011～2012·延边州质检)已知复数z 的共轭复数z －的实部为－1，虚部为－2，且z i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b ＝( )A ．－4B ．－3C ．－1D ．1[答案] B[解析] 由条件知z －＝－1－2i ，∴z ＝－1＋2i ， ∴z i ＝－i －2，∵z i ＝a ＋b i(a 、b ∈R )， ∴a ＝－2，b ＝－1，∴a ＋b ＝－3.5．(文)(2011～2012·黑龙江绥化市一模)已知复数z ＝(a 2－1)＋(a －2)i ，(a ∈R )，则“a ＝1”是“z 为纯虚数”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 [答案] A[解析] a ＝1时，z ＝－i 是纯虚数；a ＝－1时，z ＝－3i 也是纯虚数，故选A.(理)(2011～2012·北京石景山区期末)已知复数z ＝1＋i 1－i ，则复数z的模为( )A ．2 B. 2 C ．1 D ．0[答案] C[解析] z ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i2＝i ，∴|z |＝1.6．如图所示，输出的n 为( )A ．10B ．11C ．12D ．13[答案] D[解析] 程序依次运行过程为：n ＝0，S ＝0→n ＝1，S ＝S ＋12×1－13＝－111→n ＝2，S ＝S ＋12×2－13＝－111－19，……∴S ＝－111－19－17－15－13－1＋1＋13＋15＋17＋19＋111＋113>0，此时输出n 的值13.7．(文)(2011～2012·河北衡水中学调研)已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出b 的值为16，则循环体的判断框内①处应填的是( )A ．3B ．2C ．4D ．16[答案] A[解析] a ＝1，b ＝1判断后得b ＝21＝2，a ＝1＋1＝2，再次判断后得b ＝22＝4，a ＝2＋1＝3，再次判断后得b ＝24＝16，a ＝3＋1＝4，这时经过判断满足条件，输出b 的值16，∴a >3.(理)(2011～2012·温州市一测)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12012的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．i ≤1005B ．i >1005C ．i ≤1006D ．i >1006[答案] C[解析] i ＝1时，S ＝0＋12， i ＝2时，S ＝12＋14， ……i ＝1006时，S ＝12＋14＋16＋…＋12012，故当i ＝1007时，跳出循环，故条件为i ≤1006.8．(文)(2011～2012·龙岩一中月考)在复平面内，复数2i1－i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析]2i1－i＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝i(1＋i)＝－1＋i，对应点(－1,1)在第二象限．(理)(2011～2012·开封市二模)已知复数a－ii－i在复平面内对应的点在二、四象限的角平分线上，则实数a＝() A．－2 B．－1C．0 D．2[答案] A[解析]a－ii－i＝i(a－i)i2－i＝－a i－1－i＝－1＋(－1－a)i，由条件知，－1＋(－1－a)＝0，∴a＝－2.9．(2011～2012·陕西师大附中模拟)若输入数据n＝6，a1＝－2，a2＝－2.4，a3＝1.6，a4＝5.2，a5＝－3.4，a6＝4.6，执行下面如图所示的算法程序，则输出结果为()A．0.6 B．0.7C ．0.8D ．0.9[答案] A[解析] 由程序框图知，i ＝1时，S ＝0×0＋a 11＝a 1， i ＝2时，S ＝(2－1)·a 1＋a 22＝a 1＋a 22， i ＝3时，S ＝(3－1)·a 1＋a 22＋a 33＝a 1＋a 2＋a 33，…… 由此可见最后输出的S 的值是输入的6个数a 1，a 2，…，a 6的平均数，∵16(a 1＋a 2＋…＋a 6)＝16(－2－2.4＋1.6＋5.2－3.4＋4.6)＝0.6， ∴输出S 的值为0.6.10．(2011～2012·陕西师大附中模拟)设i 是虚数单位，则复数(3＋i 1－3i)2012＝( ) A ．－i B ．－1 C ．1 D ．i[答案] C[解析] ∵3＋i 1－3i ＝(3＋i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝4i4＝i ，∴原式＝i 2012＝i 4＝1.11．(2011～2012·开封市二模)执行下面的程序框图，若输入n ＝6，m ＝4，那么输出的值等于( )A．720 B．360C．240 D．120[答案] B[解析]程序运行过程依次为：n＝6，m＝4，k＝1，p＝1，p＝1×(6－4＋1)＝3，k<4满足→k＝2，p＝3×(6－4＋2)＝12，k<4满足→k＝3，p＝12×(6－4＋3)＝60，k<4满足→k＝4，p＝60×(6－4＋4)＝360，此时k<4不成立，输出p的值360后结束．12．(2011～2012·平顶山、许昌、新乡二调)如果执行下面的框图，输入N＝12，则输出的数等于()A.2425B.1327C.1225D.1123[答案] B[解析] 程序运行过程依次为：N ＝12，k ＝1，S ＝0，S ＝0＋11×3，k ≤12满足→k ＝2时，S ＝11×3＋13×5，k ≤12满足→……→k ＝12时，S ＝11×3＋13×5＋…＋123×25，k ≤12满足→k ＝13时，S ＝11×3＋13×5＋…＋125×27，k ≤12不成立，此时输出S 的值应为S ＝11×3＋13×5＋…＋125×27＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(125－127)]＝12×(1－127)＝1327，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(2011～2012·南通市调研)下图是求函数值的程序框图，当输入值为2时，则输出值为________．[答案] －3[解析] ∵输入值x ＝2>0，∴y ＝5－4×2＝－3，故输出y 的值为－3.14．(2011～2012·湖北八市联考)已知i 是虚数单位，计算(2＋i )23－4i 的结果是________．[答案] －725＋2425i[解析] ∵(2＋i)2＝4＋4i －1＝3＋4i ，∴原式＝3＋4i 3－4i＝(3＋4i )2(3－4i )(3＋4i )＝9＋24i －1625＝－725＋2425i. 15．(文)(2011～2012·安徽名校联考)如图是某程序框图，则最后输出的S的值为________．[答案]30[解析]程序运行过程为：S＝0，i＝1，S＝0＋12＝1，i＝1＋1＝2；判断i>4不满足，返回进行第二次循环，S＝1＋22＝5，i＝2＋1＝3，i>4仍不满足，再循环，S＝5＋32＝14，i＝3＋1＝4，i>4仍不满足，再循环，S＝14＋42＝30，i＝4＋1＝5，此时满足i>4输出S的值30后结束．(理)(2011～2012·襄阳调研)阅读下图所示的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S的值是________．[答案]5049[解析]第一次循环，S＝100，n＝99，第二次循环，S＝100＋99，n＝98，第三次循环，S＝100＋99＋98，n＝97，……，n＝2时，不满足n<2，再进行一次循环，S＝100＋99＋…＋2，n＝1，此时满足n<2，输出S的值，这时S＝100＋99＋…＋2＝99×(100＋2)2＝5049.16．(文)(2011～2012·江西赣州市高三期末)在如图所示的算法框图中，若输入m＝4，n＝3，则输出a＝________.[答案]12[解析]运行过程为：开始→m＝4，n＝3，i＝1a＝4×1＝4,3不能整除4→i＝2a＝4×2＝8,3不能整除8→i＝3，a＝4×3＝12,3能整除12→输出a的值12后结束．(理)(2011～2012·浙江宁波市期末)执行如图所示的程序框图，其输出的结果是________．[答案] －54[解析] 程序运行过程为：y ＝4，x ＝4，y ＝12×4－1＝1，|y －x |＝3<1不成立→x ＝1，y ＝12×1－1＝－12，|y －x |＝32<1不成立→x ＝－12，y ＝12×(－12)－1＝－54，|y －x |＝34<1成立→此时跳出循环，输出y 的值－54后结束．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)已知复数z ＝a 2－4a ＋3a ＋2＋(a 3＋a 2－2a )i(a ∈R )，试求实数a 分别取何值时，(1)z 为实数；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数．[解析] (1)∵z 为实数，∴a 3＋a 2－2a ＝0，∴a ＝0，－2或1，又a ＋2≠0，∴a ＝0或1.(2)∵z 为虚数，∴a 3＋a 2－2a ≠0，∴a ≠0，－2,1.(3)∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4a ＋3a ＋2＝0a 3＋a 2－2a ≠0，∴a ＝3.18．(本小题满分12分)画程序框图(1)计算并输出1,1＋2,1＋2＋3，…，1＋2＋3＋…＋100各项的值；(2)计算1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋…＋(1＋2＋3＋…＋100)的值．[分析] (1)和(2)都要依次计算1＋2,1＋2＋3,1＋2＋…＋100的值，(1)中要求每计算一个值输出一个，(2)中要求把各值计算出来后，相加，把最后结果输出，故(1)中须在循环体中加输出框，(2)只要最后加一个输出框即可．[解析] (1)(2)19．(本小题满分12分)(文)试分析方程x 2－(4－2i)x ＋3－2i ＝0是否有实根？并解方程．[解析] 设x 0是方程x 2－(4－2i)x ＋3－2i ＝0的实根，则x 20－(4－2i)x 0＋3－2i ＝0.整理得(x 20－4x 0＋3)＋(2x 0－2)i ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20－4x 0＋3＝02x 0－2＝0，解得x 0＝1. 因此方程有实数根x ＝1，将原方程分解因式得(x －1)(x －3＋2i)＝0，∴方程的两个解为x 1＝1，x 2＝3－2i.(理)设关于x 的方程x 2－(tan θ＋i)x －(2＋i)＝0.(1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根．(2)证明：对任意θ≠k π＋π2(k ∈Z )，方程无纯虚数根．[解析] (1)设实数根为a ，则a 2－(tan θ＋i)a －(2＋i)＝0即a 2－a tan θ－2－(a ＋1)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a tan θ－2＝0a ＋1＝0，∴a ＝－1，tan θ＝1， ∵0<θ<π2，∴θ＝π4.(2)设方程存在纯虚数根b i(b ∈R ，b ≠0)则(b i)2－(tan θ＋i)b i －(2＋i)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＋b －2＝0b tan θ＋1＝0此方程组无实数根， 所以对任意θ≠k π＋π2(k ∈Z )，方程无纯虚数根．20．(本小题满分12分)设S 是如图所示程序框图输出的数x 为元素的集合，m ，n ∈S .(1)记“使得m ＋n ＝0成立的有序数组．．．．(m ，n )”为事件A ，试列举A 包含的基本事件，并求A 的概率．(2)(理)设ξ＝m 2，求ξ的分布列及其数学期望E (ξ)．[解析] ∵x ＝－2时，x 2－x －6＝0，∴程序框图输出的数x 是不等式x 2－x －6≤0的整数解．∵x 2－x －6≤0，∴－2≤x ≤3，∴S ＝{－2，－1,0,1,2,3}．(1)由于m ，n ∈S ，且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)，m ，n ∈S 的所有基本事件(m ，n )，共有6×6＝36个，∴事件A 的概率P (A )＝536.(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝26＝13，P (ξ＝4)＝26＝13，P (ξ＝9)＝16.故ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝196.21．(本小题满分12分)有一个均匀的正四面体，它的四个面上分别标有数字0,1，－1,2，现随机投掷两次，记第一次向下一面上的数字为a ，第二次向下一面上的数字为b ，记z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)．(1)求z 为纯虚数的概率．(2)求z 在复平面内的对应点在第二象限的概率．(3)若|z |＝2，称z 为“好数”，求所有好数的和与积．[解析]a的可能取值有4个，b的可能取值也有4个，所有(a，b)的取法，共有4×4＝16种．(1)记“z为纯虚数”为事件A，z为纯虚数时，a＝0，b≠0，这样的(a，b)有(0,1)，(0，－1)，(0,2)共3个，∴所求概率P(A)＝316.(2)设“z在复平面内的对应点在第二象限”为事件B，则事件B包含的基本事件有：(－1,1)，(－1,2)共2个，∴P(B)＝216＝1 8.(3)满足|z|＝2的复数有：1＋i,1－i，－1＋i，－1－i，它们的和为(1＋i)＋(1－i)＋(－1＋i)＋(－1－i)＝0，它们的积为(1＋i)(1－i)(－1＋i)(－1－i)＝2×2＝4.22．(本小题满分14分)已知数列{a n}的各项全为正数，观察流程图，当k＝2时，S＝14；当k＝5时，S＝4 13.(1)写出k＝4时，S的表达式；(用a1，a2，a3，a4，…表示)(2)求{a n}的通项公式；(3)令b n ＝2n a n ，求b 1＋b 2＋…＋b n .[解析] (1)当k ＝4时，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4. (2)由流程图中a i ＋1＝a i ＋d 提供的信息知，{a n }是一个等差数列， 设其公差为d ，依题意d ≠0.当k ＝2时，S ＝1a 1a 2＝14； 当k ＝5时，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋1a 4a 5＝1d (1a 1－1a 5)＝413， 所以⎩⎨⎧ a 1a 2＝41d (a 5－a 1a 1a 5)＝413，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(a 1＋d )＝4，a 1(a 1＋4d )＝13， 解得a 1＝1，d ＝3，即a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2.(3)设T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，则T n ＝1·21＋4·22＋7·23＋…＋(3n －2)·2n ， ①2·T n ＝1·22＋4·23＋7·24＋…＋(3n －2)·2n ＋1， ②①－②，得－T n ＝1·21＋3·22＋3·23＋…＋3·2n －(3n －2)·2n ＋1＝2＋12(1－2n －1)1－2－(3n －2)·2n ＋1， 所以T n ＝(3n －5)·2n ＋1＋10.1．(2011～2012·南昌一模)已知程序框图如图所示，若曲线E 的方程为ax 2＋by 2＝ab (a ，b ∈R )，该程序输出的结果为s ，则( )A ．当s ＝1时，E 是椭圆B ．当s ＝－1时，E 是双曲线C ．当s ＝0时，E 是抛物线D ．当s ＝0时，E 是一个点[答案] B[解析] 当S ＝1时，c ＝ab >0，∴若a ，b 同为正且a ≠b ，则方程ax 2＋by 2＝ab 表示椭圆，否则E 不是椭圆；当S ＝－1时，c ＝ab <0，∴方程x 2b ＋y 2a ＝1表示双曲线；当S ＝0时，c ＝ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0，无论哪种情形，E 都不是抛物线，当a ＝0，b ≠0时，方程化为by 2＝0，∴y ＝0，它表示一条直线，故A 、C 、D 都错，选B.2．(2011～2012·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)某程序框图如图所示，则输出的结果是________．[答案] － 13[解析] 程序运行过程依次为S ＝2，n ＝1，S ＝1－21＋2＝－13，n ＝1＋1＝2，判断n ≥100不成立→S ＝1－(－13)1＋(－13)＝2，n ＝2＋1＝3，判断n ≥100不成立→S ＝1－21＋2＝－13，n ＝3＋1＝4，…，可见S 的值成周期出现，周期为2，n 为奇数时，计算得到S ＝－13，n 为偶数时，计算得到S ＝2，n ＝99时n ≥100不成立，计算得S ＝－13，n ＝100，此1时满足n≥100，输出S＝－3.。
2013走向高考(全国版)数学A本精品文档33页
考
》
课
高
堂
考
题 型 设 计
总 复 习
·
数 学
规 律 方 法 提 炼
课
解析：∵N＝{0，－1}，M＝{－1,0,1}，∴N M⊆U.
后
集合M∩N中元素的个数是
()
《 走 向 高
考
课 堂
A．0
B．1
》 高 考
题
型 设
C．2
计
D．多个
总 复 习
·
答案：A
数
学
规 律
4．下列集合中恰有2个元素的集合是
()
方
法 提
A．{x2－x＝0}
B．{y|y2－y＝0}
炼
C．{x|y＝x2－x}
D．{y|y＝x2－x}
课 后 强
答案：B
化
作
业
19.05.2020
炼
用符号 ∈ 和 ∉ 表示．
课 后
2．集合与集合之间的关系有：包含、不包含关系，分
强
化 作
别用符号 ⊆ 和表示．
业
19.05.2020
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1
第1章 集合与简易逻辑
知
3．若A含有n个元素，则A的子集有 2n 个，A的非空
识
梳 理
子集有 2n－1 个，A的非空真子集有 2n－2 个．
《 走 向
法
提 炼
7＜x＜3.因此S∩T＝{x|－5＜x＜3}，选C.
课
答案：C
后
强
化
作
业
19.05.2020
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10
第1章 集合与简易逻辑
《走向高考》2013(春季发行)高三数学(人教A版)总复习11-12章课件12-2坐标系与参数方程
人教A版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
第十二章
选考部分
第十二章
选考部分
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第十二章
第二节 坐 系 参 方 标 与 数 程
第十二章
选考部分
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
() 空 点 P 的 角 标 2 间 直坐
(x，y，z)与 坐 球 标 (r，φ，θ)之 间
的换系 变关为
n o i x＝rs φcs θ， n n i i y＝rs φs θ， z＝rcs φ. o
第十二章
第二节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
二参方 、数程 1．参 方 的 念 数程概 在面角标中如曲上意点坐 平直坐系，果线任一的标 都某变 是个数 值由 程 ，方 组 t的 数 函
第十二章
第二节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
() 化 通 程 参 方 ： 入 数 即 定 适 参 2 普 方为数 程引参， 选 合的 数 t， 确 一 关 先定个系 F(x，y)＝0， 得 一 系 求另关 x＝f(t)〔 y＝φ(t)〕再 入 通 程 或 ，代普方 y＝φ(t)〔 x＝f(t)〕 或 ．
许 ρ<0 时 θ＝θ1 才 示 条 线 ， 表一直．
第十二章
第二节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
4． 有 只在 参 t才 示 数 表由
a2＋b2＝1 时 直 ，线
x＝x ＋at 0 y＝y0＋bt
(t 为 数 )中 参 的
M(x0，y0)指 N(x，y)的 向 段 数 ， 向 有线的量而
《走向高考》2013 高三数学(人教A版)总复习同步练习11-1算法与框图
11-1算法与框图基础巩固强化1.(文)(2011·北京西城区高三一模)阅读如图的程序框图，如果输出的函数值在区间[14，12]内，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．[－2，－1]C ．[－1,2]D ．[2，＋∞)[答案] B[解析] 若x ∉[－2,2]，则f (x )＝2∉[14，12]，不合题意；当x ∈[－2,2]时，f (x )＝2x∈[14，12]，得x ∈[－2，－1]，故选B.(理)(2011·江南十校二模)某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1x C ．f (x )＝ln x ＋2x －6 D ．f (x )＝sin x[答案] D[解析] 第一个判断框的目的是判断输入的函数是否为奇函数，第二个判断框的目的是判断输入的函数是否存在零点．结合选项知，函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在零点，故选D.2．若下面框图所给的程序运行结果为S ＝20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．k ＝9B ．k ≤8C ．k <8D ．k >8[答案] D[解析] 运行过程依次为k ＝10，S ＝1→S ＝11，k ＝9→S ＝20，k ＝8→输出S ＝20，此时判断框中的条件不满足，因此应是k >8.3．(2011·山西太原模拟)如图所示的流程图，若输入的x ＝－9.5，则输出的结果为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] B[解析] ∵x ＝－9.5<0，∴x ＝x ＋2＝－7.5， ∵x ＝－7.5<0，∴x ＝x ＋2＝－5.5， ∵x ＝－5.5<0，∴x ＝x ＋2＝－3.5， ∵x ＝－3.5<0，∴x ＝x ＋2＝－1.5， ∵x ＝－1.5<0，∴x ＝x ＋2＝0.5.∵x ＝0.5>0，∴c ＝2×0.5＝1，输出c ＝1.4．(2011·陕西宝鸡质检)定义某种运算S ＝a ⊗b ，运算原理如框图所示，则式子2⊗ln e ＋2⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1的值为( )A ．13B ．11C ．8D ．4[答案] A[解析] 由框图知S ＝a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (b ＋1)，a ≥b ，b (a ＋1)，a <b ，∵ln e ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，∴2⊗ln e ＝2⊗1＝2×(1＋1)＝4，2⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝2⊗3＝3×(2＋1)＝9， ∴2⊗ln e ＋2⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝13，故选A.5．(2012·新课标全国，6)如果执行下边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1、a 2、…、a N ，输出A 、B ，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和 B.A ＋B2为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数 [分析] 这是一个循环结构程序框图，有三个判断条件，通过赋值语句x ＝a k ，依次将a i (i ＝1,2，…，N )的值赋给x 后，第一个判断条件“x >A ”，满足时A 取x 的值，因此循环结束后，A 是a 1，a 2，…，a N 中的最大值；第二个判断条件“x <B ”满足时B 取x 的值，因此循环结束后B 取a 1，a 2，…，a N 中的最小值；第三个判断条件“k ≥N ”，控制循环的结束，即当k ＝N 时循环结束，让x 能取遍a 1，a 2，…，a N 中的每一个值．[答案] C[解析]随着k的取值不同，x可以取遍实数a1，a2，…，a N，依次与A、B比较，A始终取较大的那个数，B始终取较小的那个数，直到比较完为止，故最终输出的A、B分别是这N个数中的最大数与最小数，故选C.[点评]在读取循环结构的框图时，要注意每一次循环之后变量的变化，并能通过循环中止的条件确定好循环次数，避免在判断时，出现多一次循环与少一次循环的错误．6．(2012·山东理，6)执行下面的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为()A．2B．3C．4D．5[答案] B[解析]程序运行过程依次为：a＝4，P＝0，Q＝1，n＝0，此时满足P≤Q→P＝0＋40＝1，Q ＝2×1＋1＝3，n＝0＋1＝1，仍满足P≤Q→P＝1＋41＝5，Q＝2×3＋1＝7，n ＝2，P ≤Q 仍然成立→P ＝5＋42＝21，Q ＝2×7＋1＝15，n ＝3，此时P ≤Q 不成立，跳出循环，输出n 的值3后结束．7．(文)已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x ≥2，2－x ， x <2.如图表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图．①处应填写________；②处应填写________．[答案] x <2，y ＝log 2x[解析] 根据分段函数解析式及程序框图知，当满足x <2时，执行y ＝2－x ，故判断框中条件为x <2，不满足条件x <2，即x ≥2时，y ＝log 2x ，故②中为y ＝log 2x .(理)(2012·广东理，13)执行如下图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为________．[答案] 8[解析] 程序运行过程如下：开始→n ＝8，i ＝2，k ＝1，S ＝1，作判断i<n 成立，执行循环体，S ＝11×(1×2)＝2，i ＝2＋2＝4，k ＝1＋1＝2，再判断i<n 仍成立，再执行循环体，S ＝12×(2×4)＝4，i ＝4＋2＝6，k ＝2＋1＝3，此时，i<n 仍然成立，第三次执行循环体，S ＝13×(4×6)＝8，i ＝6＋2＝8，k ＝3＋1＝4，此时不满足i<n ，跳出循环，输出S 的值8后结束．8．(2011·温州三模)已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是________．[答案] 12[解析] 由于i ＝1，a ＝2；i ＝2，a ＝12；i ＝3，a ＝－1；i ＝4，a ＝2；…，由此规律可知，i ＝3k ＋1，a ＝2；i ＝3k ＋2，a ＝12；i ＝3k ＋3，a ＝－1，其中，k ∈N .从而可知当i ＝20时，a ＝12.9．(2011·潍坊模拟)对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i 次观测得到的数据为a i ，具体如下表所示：图(其中a －是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是________．[答案]7[解析]此程序输出的是这组数据的方差．由已知得a－＝44，∴当i＝1时，S＝16，i＝2，S＝25；i＝3，S＝26；…；i＝8，S＝56，这时i≥8，S＝568＝7.10．(文)(2012·浙江理，12)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是________．[答案]1 120[解析]这是一个循环结构程序框图，控制循环的条件i>5，由于i初值为1，故需循环5次．开始→T＝1，i＝1，T＝11＝1，i＝1＋1＝2，此时i>5不成立，第二次执行循环体，T＝12，i＝2＋1＝3，i>5仍不成立，第三次执行循环体，T＝123＝16，i＝3＋1＝4，i>5仍不成立，第四次执行循环体T＝16 4＝124，i＝4＋1＝5，i>5仍不成立，第五次执行循环体，T＝124 5＝1120，i＝5＋1＝6，i>5成立，跳出循环，输出T的值1120后结束．(理)某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x 1，…，x 4(单位：t)．根据如图所示的程序框图，若x 1，x 2，x 3，x 4分别为1,1.5,1.5,2，则输出的结果S 为__________．[答案] 32[解析] 每次循环，S 1与S 的值都在变化，但 S 1的值总是由前一次循环得到的值再加上x i 的值，S 的值却与前一次S 的值无关，只与S 1的值有关，∴四次循环后，S 1＝1＋1.5＋1.5＋2＝6，S ＝14×S 1＝14×6＝32，故输出S 的值为32.能力拓展提升11.(2011·西安市质检)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )A．－1B．2C．3D．4 [答案] D[解析]第一次循环可得S＝－1，n＝2，第二次循环可得S＝12，n＝3，第三次循环可得S＝2，n＝4，此时满足条件，结束循环，输出n＝4，故选D.12．(2012·安徽理，3)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()A．3B．4C．5D．8[答案] B[解析]本题主要考查了程序框图中的循环结构、赋值语句等．由x＝1，y＝1→x＝2，y＝2→x＝4，y＝3→x＝8，y＝4→结束(输出y＝4)．[点评]对循环次数较少的问题可以依次写出，对循环次数较多的应考虑是否具有周期性．13．(2011·德州一中月考)下面的程序框图运行时，依次从键盘输入a＝0.312，b＝55，c＝0.3－2，则输出结果为()A ．0.312B.55C ．0.3－2D ．以上都有可能[答案] B[解析] 此程序框图是比较a ，b ，c 的大小，输出三数中的最小数，∵y ＝0.3x是单调减函数，12>－2，∴0.312 <0.3－2，∵55＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15 12 ＝0.2 12 ，y ＝x12在第一象限内为增函数，0.2<0.3.∴0.212 <0.312，即55<0.312，∴55<0.312 <0.3－2，故输出55.14．(2011·东北三校联考)如图，若依次输入的x 分别为5π6、π6，相应输出的y 分别为y 1、y 2，则y 1、y 2的大小关系是( )A ．y 1＝y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．无法确定[答案] C[解析] 由程序框图可知，当输入的x 为5π6时，sin 5π6>cos 5π6成立，所以输出的y 1＝sin 5π6＝12；当输入的x 为π6时，sin π6>cos π6不成立，所以输出的y 2＝cos π6＝32，所以y 1<y 2.15．(2012·福建理，12)阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于________．[答案] －3[解析] 本题考查了程序框图的应用．依据循环控制条件k <4是否满足得到循环过程如下： 开始，k ＝1，S ＝1，(1)1<4，S ＝2×1－1＝1，k ＝1＋1＝2； (2)2<4，S ＝2×1－2＝0，k ＝2＋1＝3； (3)3<4，S ＝2×0－3＝－3，k ＝3＋1＝4； (4)k ＝4时不满足k <4，输出S ＝－3.[点评] 对于程序框图要看清楚属于哪种循环，是直到型循环，还是当型循环，还要注意跳出循环时各变量的最新状态．1．(2011·天津十二所重点学校联考)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．i>20B ．i<20C ．i<10D ．i>10[答案] D[解析] 由循环体S ＝S ＋1n ，n ＝n ＋2，i ＝i ＋1知，每循环一次n 的值增加2，和S 加上一项，S 共加上10项，故循环体须执行10次，控制循环的条件满足时跳出循环，故应为i>10.2．(2011·浙江名校联盟联考)为求使1＋2＋22＋23＋…＋2n >2011成立的最小正整数n ，如果按下面的程序框图执行，输出框中“？”处应该填入( )A．n－1 B．nC．n＋1 D．n＋2[答案] A[解析]循环体中语句n＝n＋1在S＝S＋2n后面，因此计算得到的S值满足S>2011后n的值又增加了1，故输出时应把n的值减1后才合题意，故选A.3．下面的程序框图，若输入a＝0，则输出的结果为()A ．1022B ．2046C ．1024D ．2048[答案] B[解析] 由程序框图中的循环结构可得到递推公式，a k ＋1＝2a k ＋2，且a 1＝0，由a k ＋1＝2a k ＋2可得，a k ＋1＋2＝2(a k ＋2)，即a k ＋1＋2a k ＋2＝2且a 1＋2＝2，∴{a k ＋2}是以2为公比，2为首项的等比数列，∴a k ＋2＝2×2k －1＝2k ，即a k ＝2k －2，从而a 11＝211－2＝2046，故选B.[点评] 本题的关键是弄清输出的a 的值为数列{a n }的第几项，k ＝1算出的是a 2，k ＝2满足条件得a 3，故k ＝10满足条件计算后得到a 11，k ＝11不满足，故输出的是a 11而不是a 10，有不少人在这里搞不清楚，以为判断条件是k ≤10，故最后输出的是a 10，这是没有完整理解算法的典型表现．因为对同一个判断条件k ≤10，a ＝2a ＋2与k ＝k＋1语句的先后顺序不同输出结果也不同，还与k 的初值有关等等，故应统盘考虑，解决的一个有效途径就是循环几次把握其规律．4．(2012·陕西理，10)下图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入( )A ．P ＝N 1000B ．P ＝4N 1000C ．P ＝M 1000D ．P ＝4M 1000[答案] D[解析] ∵x i ，y i 是0～1之间的随机数，∴点(x i ，y i )构成区域为以O ，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)为顶点的正方形OABC ，当x 2i ＋y 2i ≤1时，点(x i ，y i )落在以原点为圆心，1为半径的圆内及圆上位于第一象限的部分，M 统计落入圆内的点，N 统计落入圆外的点，即图中阴影部分，故NM＝1－π4π4，∴π＝4MM＋N，∵M＋N＝1000，∴π＝4M 1000，∵P是π的估计值，∴赋值语句应为P＝4M1000，故选D.5．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x＝____________.[答案]12[解析]运行过程依次为：①x＝1是奇数，执行x＝x＋1后得x＝2；②再判断x＝2不是奇数，执行x＝x＋2后得x＝4；经判断x>8不成立，执行x＝x＋1后得x＝5；③再判断x＝5是奇数，执行x＝x＋1得，x＝6；④再判断x＝6不是奇数，执行x＝x＋2后得x＝8，经判断x>8不成立，故执行x＝x＋1得x＝9；⑤再判断x＝9是奇数，执行x＝x＋1得x＝10；⑥再判断x＝10不是奇数，执行x＝x＋2得x＝12，经判断x>8成立，故输出x的值12后结束．。