八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第3课时利用勾股定理证明与作图课件新版新人教版
归类探究
类型之一 利用勾股定理表示无理数 分别作长为 2， 3， 5的线段．
解：由勾股定理，直角边长为 1 的等腰直角三角形，斜边长就是 2，直角边 长为 2，1 的直角三角形的斜边长就是 3.类似地，也可作出 5.
例 1 答图
作法：(1)作直角边长为 1(单位长度)的等腰直角三角形 ACB(如答图)； (2)以斜边 AB 为一直角边，作另一直角边长为 1 的直角三角形 ABB1； (3)顺次这样作下去，最后作到直角三角形 AB2B3，这时斜边 AB，AB1，AB3 的长度分别就是 2， 3， 5.
∴BC＝BE＋EG＋GC＝2 3＋2 3＋6＝(4 3＋6) cm.
6．细心观察图 17－1－33，认真分析各式，然后解答下列问题． ( 1)2＋1＝2，S1＝ 21；
( 2)2＋1＝3，S2＝ 22；
( 3)2＋1＝4，S3＝ 23；
图 17－1－33
……
(1)请用含有 n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出 OA10 的长； (3)求 S21＋S22＋S23＋…＋S210的值． 解：(1)在 Rt△OA1A2 中，OA2＝ 12＋1＝ 2， 在 Rt△OA2A3 中，OA3＝ 22＋1＝ 3， …… 由此可知，第一列算式表示的是 OAn(n＝2,3，…)的平方， ∴OA2n＝( n－1)2＋1＝n.
知识管理
1．直角三角形全等的证明(斜边、直角边定理) 证法一：拼图法 已知 AB＝A′B′，AC＝A′C′， ∠ACB＝∠A′C′B′＝90°， 如图 17－1－22.求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
图 17－1－22
证明：∵AB＝A′B′， ∴∠B＝∠B′(等边对等角)． 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，
➢ ② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
➢ ③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些用语往往 体现了老师的思路。来自：学习方法网
➢ ④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
➢ ⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
【解析】 连接 AE，由作图可知 MN 为线段 AC 的垂直平分线，∴AE＝CE ＝3，在 Rt△ADE 中，AE2＝AD2＋DE2，∴AD＝ AE2－DE2＝ 5，在 Rt△ADC 中，AC2＝AD2＋CD2，∵CD＝DE＋CE＝5，∴AC＝ 52＋52＝ 30.
当堂测评
1．[2018·凉山州]如图 17－1－25，数轴上点 A 对应的数为 2，AB⊥OA 于点 A，
➢ ⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2020/3/21
最新中小学教学课件
28
谢谢欣赏！
2020/3/21
最新中小学教学课件
边长均为 1，则在△ABC 的边长中，是无理数的有( C )
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
4．如图 17－1－28，要建一个蔬菜大棚，棚宽 3.2 m，高 2.4 m，长 15 m，请 你计算覆盖在顶上的塑料薄膜的面积为 60 m2.
【解析】 由勾股定理知棚顶长方形的宽＝ 2.42＋3.22＝4(m)，塑料薄膜的面 积为 4×15＝60(m2)．
A∠CA＝CBA′ ＝C∠′A， ′C′B′＝90°， ∠B＝∠B′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(AAS)．
证法二：勾股定理法 证明：如图 17－1－23，根据勾股定理可得，这两个三角形的各边对应相等， 所以两个三角形全等．
图 17－1－23
2．利用勾股定理表示无理数 方 法：如果长为 n的线段是直角边长为正整数 a，b 的直角三角形的斜边， 则依照下面的画法，在数轴上可以画出表示 n的点． 画 法：在数轴正半轴上找到点 A，使 OA＝a，过点 A 作直线 l 垂直于 OA， 在 l 上取点 B，使 AB＝b，以原点 O 为圆心，以 OB 为半径作弧，弧与数轴正半 轴的交点 C 即为表示 n的点.
第二列算式表示的是△OAnAn＋1(n＝1,2,3，…)的面积，Sn＝12·|OAn|·1＝ 2n，即
Sn＝
n 2.
∴用含有 n 的等式表示上述变化规律为：
(
n)2＋1＝n＋1，Sn＝
n 2.
(2)∵OA210＝( 9)2＋1＝10，∴OA10＝ 10.
(3)S21＋S22＋S23＋…＋S210＝14＋24＋34＋…＋140＝545.
2．勾股定理的综合运用 此内容为本节的重点，也是难点．为此设计了【归类探究】中的例 2；【当堂 测评】中的第 4 题；【分层作业】中的第 2,4,5,6 题． ★教学目标★ 1．会运用勾股定理在数轴上画出并表示无理数； 2．了解利用勾股定理证明 HL 定理．
★情景问题引入★ 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出 表示 13的点吗？
图 17－1－32
【解析】 如图，过点 E 作 EM⊥AG 于点 M，则由 AE＝EG，得 AG＝2MG.
∵∠AGE＝30°，EG＝2 3 cm，
∴EM＝12EG＝ 3 cm.
在 Rt△EMG 中，由勾股定理，得
MG＝ 2 32－ 32＝3(cm)， ∴AG＝6 cm.
第 5 题答图
折叠可知，BE＝AE＝2 3(cm)，GC＝AG＝6 cm.
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理 第3课时 利用勾股定理证明与作图
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
学习指南
★本节学习主要解决以下问题★ 1．利用勾股定理表示无理数 此内容为本节的重点．为此设计了【归类探究】中的例 1；【当堂测评】中的 第 1,2,3 题；【分层作业】中的第 1,3 题．
编后语
➢ 老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
➢ ① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
类型之二 勾股定理的综合运用 [2018·成都]如图 17－1－24，在矩形 ABCD 中，按以下步骤作图：①分 1
别以点 A 和 C 为圆心，以大于2AC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N；②设 直线 MN 交 CD 于点 E，若 DE＝2，CE＝3，则矩形的对角线 AC 的长为 30 .
图 17－1－30
3．在数轴上作出表示 17的点． 解：(1)如答图，在数轴上找到点 A，使 OA＝4，作直线 l⊥OA； (2)在直线 l 上取点 B，使 AB＝1； (3)以原点 O 为圆心，以 OB 长为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点 C，点 C 就是表示 17的点．
第 3 题答图
4．[2018·黄冈]如图 17－1－31，圆柱形玻璃杯高为 14 cm，底面周长为 32 cm， 在杯内壁离杯底 5 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上 沿 3 cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 20 cm(杯壁厚度不计)
分层作业
1．如图 17－1－29，图中小正方形的边长为 1，△ABC 的周长为( B )
A．16
B．12＋4 2
C．7＋7 2
D．5＋11 2
图 17－1－29
2．[2018·荆州]为了比较 5＋1 与 10的大小，可以构造如图 17－1－30 所示 的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，点 D 在 BC 上，且 BD＝AC＝1.通过计 算可得 5＋1 ＞ 10.(填“＞”“＜”或“＝”)
且 AB＝1，以 O 为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴于点 C，则 OC 长为( D )
A．3
B． 2
C． 3
D． 5
2．如图 17－1－26，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B 都在格
点上，则线段 AB 的长度为( A )
A．5
B．6
C．7
D．25
3．[2017 春·上杭县期末]如图 17－1－27，在正方形网格中，每个小正方形的
图 17－1－31
【解析】 如答图，点 E 与点 A 关于直线 l 对称，连接 EB，即为蚂蚁爬行的 最短路径，过点 B 作 BC⊥AE 于点 C，在 Rt△EBC 中，BC＝32÷2＝16 cm，EC ＝3＋14－5＝12 cm，所以 EB＝ EC2＋BC2＝20 cm.
第 4 题答图
5．[2018·重庆]如图 17－1－32，把三角形纸片折叠，使点 B，C 都与点 A 重 合，折痕分别为 DE，FG，得到∠AGE＝30°，若 AE＝EG＝2 3 cm，则△ABC 的边 BC 的长为 4 3＋6 cm.
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第3课时应用勾股定理解数学问题课件新版新人教版
出它的面积；
【解】△ABC如图①，S△ABC＝ .
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，请利
用图③中的正方形网格(每个小正方形的边长均为a)画出相
应的△ABC，并求出它的面积；
【解】△ABC如图②，可得
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵∠AOB＝90°，
∴OB＝ a，
∴OF＝OB＋BF＝ ，OA＝OC＝ .
∴AC＝CE＝ a.
易得∠PFO＝∠OEM＝90°.
∵点P的坐标为(－2 ，3)，
∴ ＝3，即a＝2.
∴OE＝OC＋CE＝
＝3
（ − ） + 的最小值.
【解】如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.则AE的长
即为代数式 + ＋ （ − ） + 的最小值.
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得到长方形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5.
∴AE＝ ＋ ＝13，即 +
＋ （ − ） + 的最小值为13.
利用勾股定理探求格点三角形面积
11.[新考法 构图求面积法]问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ，
，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个
∴∠CAD＝45°＝∠ACD.
∴AD＝CD＝2 cm.
《勾股定理》PPT(第3课时利用勾股定理作图和计算)
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
- .
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
2
2
D
∵ = 12 + 22 = 5，
CD
3
5
3 5
.
5
课程讲授
2
勾股定理与网格
归纳：1.勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放
在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.
2.网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格
求面积，再用面积法求高.
课程讲授
3
勾股定理与几何图形
两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，
115.2
PH＝6，则长方形ABCD的面积为________．
课堂小
结
在数轴上表示出无理数
的点
利用勾股定理
作图或计算
在网格中利用勾股定理
解决问题
勾股定理在几何图形中
的应用
如图所示．作法：
解：
(1)在数轴上找出表示4的点A，则OA＝4；
(2)过A作直线l垂直于OA；
O
(3)在直线l上取点B，使AB＝1；
(4)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴的交点C即为表示
B
17 的点．
0
1 2
•
3 4
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
八年级下册《17.1 勾股定理的应用》课件
A
D
E
B
FC
RtΔABC中,AB比BC多2,AC=6,如图折 叠,使C落到AB上的E处,求CD的长度,
C D
B
A
E
例5（1）已知直角三角形的两边长分别是3和4,
则第三边长为 5 或. 7
（2）三角形ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的 高线AD=8,求BC 21 或9
8
6
15
A
8
17
10
如果梯子的顶端A沿墙
C
下滑0.5m,那么梯子底
端B也外移0.5m吗?
从题目和图形中， 你能得到哪些信息？
O
B
D
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火， 了 解 到 每 层 楼 高 3.5m ， 消 防 队 员 取 来 7.3m 长的云梯，若梯子的底部离墙基的水平距离 是4m，请问消防队员能否进入三楼灭火？
6
DB
C
15
练习5（1）已知直角三角形两边的长分别
是3cm和6cm，则第三边的长是
.
（2）△ABC中，AB=AC=2，BD是AC边 上的高，且BD与AB的夹角为300，求CD 的长.
A
D
A
D
B
CB
C
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长,求第三边 时,应分类讨论。
2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
课前练习： （1）求出下列直角三角形中未知的边
ห้องสมุดไป่ตู้
10 6
8
4
8
2
2
30°
45°
23
2
在解决上述问题时,每个直角三角形需已知几个条件?
人教版八年级下册 课件 17.1 勾股定理(共46张PPT)
b c b c b cb c
a
a
a
a
勾股定理的证明方法很多，这里重点的介绍面积 证法。
勾股定理的证法（一）
∵( a+b)2=c2+4 ab a2+b2=c2
勾股定理的证法（二）
∵4× ab= c2－(b－a)2 a2+b2=c2
• 学习目标： 1．能运用勾股定理求线段的长度，并解决一些简单的实 际问题； 2．在利用勾股定理解决实际生活问题的过程中，能 从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型， 利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联 系，并进一步求出未知边长．
以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形， 把两个正方形如图（左）连在一起，通过剪、拼把它拼成 图（右）的样子。你能做到吗？试试看。
b
a
练习1 求图中字母所代表的正方形的面积．
225 A
144
80 A
24 Ｂ
A 8
17
练习2 求下列直角三角形中未知边的长度．
C
A
4
x
5
A
10
C
6
B
x
B
通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干 个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一 棵美丽的勾股树．
通过解方程可得．
B
C
A
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸， 适与岸齐．问水深、葭长各几何？
利用勾股定理解决实际问题 的一般思路：
（1）重视对实际问题题意的 正确理解；
（2）建立对应的数学模型， 运用相应的数学知识；
（3）方程思想在本题中的运 用．
B
C
A
如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端 3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计 算树折断前的高度吗？
人教版八年级数学下册17.1勾股定理的证明(比较全的证明方法)ppt课件
b
a
∵ S梯 形 AB CD = = 1
1 2
B
a+b 2
2 又 ∵S梯 形 AB CD =S AED +S EBC+S 1 1 1 1 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2) 2 2 2 2 比 较上 面 二 式得 c2=a2+b2
(a2+2ab+b2)
CED
向常春的证明方法
S梯形ABCD 1 1 2 1 ( a b b )( a b ) a ab 2 2 2
那么：
朱实 中 黄实 b a
返回
( b- a) 2
ab c 4 ( b a )2 2
2
得： c2 =a2+ b2．
证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
a c b
a
2 c 大正方形的面积可以表示为 ； 1 2 (b a ) 4 ab 也可以表示为 2 c 1 2 ∵ c2= (b a ) 4 ab 2 2 2 =b -2ab+a + 2ab b =a2+b2
G
已知：如图，以在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，分别以a、b、c为边向外作 正方形．
K
H C b A c a B
F
求证：a2 +b2=c2．
D E
传说中毕达哥拉斯的证法
证明：从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形（如图），作CN⊥DE交AB于M，那么正方形 ABED被分成两个矩形．连结CD和KB． ∵由于矩形ADNM和△ADC同底（AD），等高(即平行线AD和CN间的距离)，
八年级下册数学人教版习题课件第十七章 勾股定理作图与计算
第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理
第3课时 勾股定理作图与计算
1．小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一 步进行练习：如图，首先画出数轴，设原点为点O，在数轴上距原点2个单位 长度的位置找一个点A，然后过点A作AB⊥OA，且AB＝3.以点O为圆心， OB长为半径作弧，与数轴右侧的交点记为点P，则点P表示的实数在( C )
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
2．如图所示，在正方形ODBC中，OC＝1，OA＝OB，
死犹未肯输心去，贫亦其能奈我何! 石看纹理山看脉，人看志气树看材。
心则随点朗 C的月坐高则标，为数志_与_轴_秋__霜上__洁__点。． A表示的数是_－____2___．
以点O为圆心，OB长为半径作弧，与数轴右侧的交点记为点P，则点P表示的实数在( ) 雄鹰必须比鸟飞得高，因为它的猎物就是鸟。 则点C的坐标为_________． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－6，0)，(0，8). 第3课时 勾股定理作图与计算
14．图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案 是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的， 其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1. 细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
(
1
)2＋1＝2，S1＝
1 2
；(
2
)2＋1＝3，S2＝
2 2
；
(
3
)2＋1＝4，S3＝
3 2
；….
解：AE的长是78
桐山万里丹山路，雄风清于老风声 才自清明志自高。 桐山万里丹山路，雄风清于老风声 心随朗月高，志与秋霜洁。 让自己的内心藏着一条巨龙，既是一种苦刑，也是一种乐趣。 学做任何事得按部就班，急不得。 谁不向前看，谁就会面临许多困难。 雄心志四海，万里望风尘。 丈夫志气薄，儿女安得知? 死犹未肯输心去，贫亦其能奈我何! 顶天立地奇男子，要把乾坤扭转来。 困，你是人类艺术的源泉，你将伟大的灵感赐予诗人。 志不真则心不热，心不热则功不贤。 志高山峰矮，路从脚下伸。 心随朗月高，志与秋霜洁。 强行者有志。 人无志向，和迷途的盲人一样。 雄鹰必须比鸟飞得高，因为它的猎物就是鸟。 石看纹理山看脉，人看志气树看材。 贫穷是一切艺术职业的母亲。 人无志向，和迷途的盲人一样。 经典励志短句(二) 志，气之帅也。 褴褛衣内可藏志。 谁不向前看，谁就会面临许多困难。 无钱之人脚杆硬，有钱之人骨头酥。
人教版八下数学17.1 课时3 利用勾股定理作图或计算教案+学案
人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时3 利用勾股定理作图或计算教案【教学目标】1．会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；2．灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【教学重点】会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.【教学难点】灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【教学过程设计】一、情境导入[过渡语] 上一节课,我们学会了利用勾股定理解决生活中的实际问题.本节课我们将继续研究勾股定理的综合运用.我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上找到表示的点吗?表示的点呢?[设计意图] 在七年级时,学生只能找到数轴上的表示有理数的点,而对于表示像,这样的无理数的点却找不到.学习了勾股定理后,这样的问题就可以得到解决.由旧入新,开门见山导入新课.[过渡语]同学们,我们一起来欣赏一幅图片:这个美丽的图案是怎么画出来的呢?它依据的是什么数学知识?[设计意图] 以图案导入,在直观形象的图案欣赏中吸引了学生的注意力,加上巧妙设问,为新课的展开做好了铺垫.二、合作探究1.利用勾股定理证明HL定理[过渡语]让我们一起来探究下面的问题:在八年级上册中,我们曾经通过画图得到结论:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后,你能证明这一结论吗?师生共同画图,写出已知、求证.引导学生关注画图的过程,思考哪些元素相等.已知:如图所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.〔解析〕要证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C',难以找到锐角对应相等,只有找第三边相等,发现可以根据勾股定理得到BC=,B'C'=,容易得到BC=B'C'.证明:在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,根据勾股定理,得:BC=,B'C'=.又AB=A'B',AC=A'C',∴BC=B'C'.∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).2.利用勾股定理在数轴上表示无理数思路一[过渡语]下面我们回到导入一的问题,一起来看:我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上找到表示的点吗?表示的点呢?学生回忆以前的作法,并运用勾股定理计算,长为的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边.学生尝试在数轴上找到表示的点.OB是以数轴的单位长度为边的正方形的对角线,以数轴的原点为圆心、OB长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是.小组交流讨论:找到长为的线段所在的直角三角形.教师可指导学生寻找长为,……这样的包含在直角三角形中的线段.逐步引导学生得出,由于在数轴上表示的点到原点的距离为,所以只需画出长为的线段即可.设c=,两直角边为a,b,根据勾股定理得a2+b2=c2,即a2+b2=13,若a,b为正整数,则13必须分解为两个平方数的和,即13=4+9,a2=4,b2=9,则a=2,b=3.所以长为的线段是直角边长为2,3的直角三角形的斜边.学生在数轴上画出表示的点.教师根据巡视情况指导步骤如下:(1)在数轴上找到点A,使OA=3;(2)作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB=2;(3)连接OB,以原点O为圆心、以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点C即为表示的点.学生自由作图,教师适当指导.利用勾股定理作出长为,,……的线段,按照同样方法,在数轴上画出表示,,……的点.[设计意图]利用勾股定理和数轴上的点表示实数,将数与形进一步联系在一起,渗透数形结合思想,加深对勾股定理、数轴和实数的理解.思路二引导学生观察图案发现:图形由若干个直角三角形形成,是根据我们所学的勾股定理来完成的.最后教师总结画图的方法:先构造出直角边长为1的等腰直角三角形,并以前一个三角形的斜边及长度为1的线段为直角边,以此向外画直角三角形,就可以得到问题中的图案了.提问:我们知道是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边的长,可是在数轴如何表示出?如何表示出呢?学生根据观察的结果思考在数轴上如何表示出,.教师根据情况指点.追问:你能在数轴上找出表示的点吗?学生讨论:利用勾股定理把长为的线段看成一个直角三角形的斜边,那么两条直角边长分别是哪两个正整数?学生发现()2=22+32后,尝试作图,教师讲解,师生再共同完成.作法:在数轴上找到点A,使OA=3;过点A作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB=2,连接OB,以原点O为圆心、以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点C 即为表示的点.[设计意图]通过观察感知,讨论分析,规范作图,一步紧扣一步,让学生明白如何利用勾股定理在数轴上找到表示无理数的点.[知识拓展]在数轴上表示无理数时,将在数轴上表示无理数的问题转化为画长为无理数的线段问题.第一步:利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方,注意一般其中两条线段的长是整数;第二步:以数轴原点为直角三角形斜边的顶点,构造直角三角形;第三步:以数轴原点为圆心,以斜边长为半径画弧,即可在数轴上找到表示该无理数的点.3.例题讲解(补充)如图所示,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求四边形ABCD的面积.学生讨论:如何构造直角三角形?比较发现:可以连接AC,或延长AB,DC交于F,或延长AD,BC交于E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单.解:延长AD,BC交于E,如图所示.∵∠A=60°,∠B=90°,∴∠E=30°.∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==4.DE2=CE2-CD2=42-22=12,DE==2.∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= AB·BE- CD·DE=6.[解题策略]不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差.三、课堂小结师生共同回顾本节课所学主要内容:1.用勾股定理在数轴上表示无理数,构造长为无理数的线段放在直角三角形中,有时是直角边,有时是斜边.2.求不规则图形的面积,应用割补法把图形分解为特殊图形,四边形中常常通过作辅助线构造直角三角形,以利用勾股定理.【板书设计】17.1 勾股定理课时3 利用勾股定理作图或计算1．利用勾股定理证明HL定理2.利用勾股定理在数轴上表示无理数3.例题讲解例题．【教学反思】在课堂教学中注重数学与生活的联系,注重数学知识的应用,从学生认知规律和接受水平出发,循序渐进地引入新课,成功地引导学生会将长为无理数的线段看成一个直角三角形的斜边,再按照尺规作图的要求,在数轴上找出表示无理数的点.由于学生尺规作图的能力较差,学生在确定了作图思路之后,却难以按照尺规作图的步骤完成作图.教师指导在数轴上找出表示无理数的点,示范作图步骤.教学中,根据学生的基础情况,适当进行复习,帮助学生解决学习中的困难.人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时3 利用勾股定理作图或计算学案【学习目标】1．会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【学习重点】会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.【学习难点】灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【自主学习】一、知识回顾1.我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？2.求下列三角形的各边长.二、合作探究知识点1：勾股定理与数轴呢？(提示：可以构造直角三角形想一想 1.你能在数轴上表示出2的点吗？2作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.)2.长为13的线段能是这样的直角三角形的斜边吗,即是直角边的长都为正整数？3.13.(1)在数轴上找到点A,使OA=______;(2)作直线l____OA,在l上取一点B，使AB=_____;(3)以原点O为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示______的点.要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法:（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.类似地，利用勾股定理可以作出长2,3,5为线段,形成如图所示的数学海螺.【典例探究】例1如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.易错点拨:求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长.【跟踪检测】1.如图，点A表示的实数是（）A. 3B. 5C. 3D.5--2.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（）A.2B.5 1C.10 1D.53.你能在数轴上画出表示17的点吗？知识点2：勾股定理与网格综合求线段长【典例探究】第1题图第2题图例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC 各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.例3 如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的高.方法总结:此类网格中求格点三角形的高的题，常用方法是利用网格求面积，再用面积法求高.【跟踪检测】1.如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为5的线段？2.如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形的长分别为2,2,10.知识点3：勾股定理与图形的计算【典例探究】例4 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.方法总结:折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；(2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.变式题如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长.【跟踪检测】1.如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD 的面积．三、知识梳理利用勾股定理作图或计算在数轴上表示出无理数的点利用勾股定理解决网格中的问题通常与网格求线段长或面积结合起来利用勾股定理解决折叠问题及其他图形的计算通常用到方程思想四、学习中我产生的疑惑【学习检测】1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A.5B.6C.7D.25BA2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位第1题图第2题图第3题图长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为_______.4．边长分别为2cm和3cm的长方形的一条对角线长为_______cm．5．如果等腰直角三角形的斜边长为_______cm，那么这个三角形的面积是_______cm2．6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为_______．7. 如图，A是数轴上一点，以OA为边长作正方形ABCO，以OB为半径作半圆交数轴于P1、P2两点．(1)当点A表示的数是1时，P1表示的数是_______，P2表示的数是_______；(2) 当点A表示的数是2时，P1表示的数是_______，P2表示的数是_______．8. 边长为3的正方形的一条对角线长是_______．9.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．10. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，求重叠部分△AFC的面积.11.长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角，则梯子的顶端沿墙面升高了多少米?12.问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5103a、、,求这个三角形的面积．王琼同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．(1)求△ABC的面积；a a a(a＞0)，请利用图②的正方形网格（每(2)若△ABC三边的长分别为5,22,17个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．图①图②13.如图所示,以数轴的单位长度线段为边作一个正方形,以表示数2的点为圆心,正方形对角线长为半径画半圆,交数轴于点A和点B,则点A表示的数是,点B表示的数是.14.如图所示,在Rt△AOB中,OB=1,AB=2,以原点O为圆心,OA为半径画弧,交数轴负半轴于点P,则点P表示的实数是.15.如图所示,4×4方格中每个小正方形的边长都为1.(1)直接写出图(1)中正方形ABCD的面积及边长;(2)在图(2)的4×4方格中,画一个面积为8的格点正方形(四个顶点都在方格的格点上),并把图(2)中的数轴补充完整,然后用圆规在数轴上表示实数.。
17.1_第3课时_勾股定理与数轴
17
1
?
0
A 1
2
3
4 C
课堂检测
1.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后， 于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然 后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位 长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧， 交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（ B ） A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间
2.导学方案第42页自主测评第2题 3.导学方案第42页自主测评第3题 4.导学方案第44页基础巩固第3题
13
3
l B
2
也可以使 OA=2，AB=3， 同样可以求 出C点.
O 0
1
A 2
3
C4
归纳总结
利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边
是两个正整数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画
弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无
理数，在原点右边的点表示是正无理数.
问题2 长为 13的线段能是直角边的长都为正整数 的直角三角形的斜边吗？
13
?
13
2
?
13
3
?
1
√
√
思考 根据上面问题你能在数轴上画出表示 13的 点吗？
步骤： 1.在数轴上找到点A,使OA=3; 2.作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2; 3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交 于C点，则点C即为表示 13 的点.
练一练 1.如图，点A表示的实数是
（ D ）
A. 3
B. 5
C. 3
D. 5
人教版八下数学课件17.1.3用勾股定理求几何体中的最短路线长课件(用)
C1 有三种情况(如图①②③),由勾股定
B1
1 C
理可求得图1中AC1爬行的路线最短.
2
B
D1
C1
①
1
D
C
2
A
4
B
AC1=√42+32=√25;
A1
②
A
4
B1
C1
1
B2 C
AC1=√62+12=√37;
D D1
C1
2
③
A 1 A1
4
B1
AC1=√52+22=√29.
例5、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为 20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿 着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距 离是多少？
B 1
6
3
2
A
8
探索与提高：
如图所示，现在已测得长方体木块的长3
厘米，宽4厘米，高24厘米。一只蜘蛛潜
伏在木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这
个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处。
H G
B F
D
A
C
（1）蜘蛛急于想捉住苍蝇，沿着长方体的表面
向上爬，它要从点A爬到点B处，有无数条路线，
它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线
一、台阶中的最值问题
例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和 高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个 相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的 食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面 爬到B点，最短线路是多少？
A
5
A
3
1
5
C
12 B
∵AB2=AC2+BC2=169,