自动控制理论—频率特性的基本概念
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控制系统的频率特性
频率特性是一个复数，有三种表示：
代数式
极坐标式
G j U jV
G( j ) G( j ) G( j ) A( ) ( )
指数式
G( j ) G( j ) e jG ( j ) A( )e j ( )
A G j U 2 V 2
率特性是系统的固有特性，与输入信号无关，
即当输入为非正弦信号时，系统仍然具有自身的频率特性。
频率特性定义为输出量的Fourier变换与输入量
的Fourier变换之比，即
X 0 j G j X i j
频率特性的矢量图
jv V () A () () 0 U () u G(j)
2T 2 1
相频特性 arctan T 一阶惯性环节的幅相频率特性曲 线是一个半圆。
5. 一阶微分环节
频率特性
G j Tj 1
jv
2 45°
幅频特性 A 1 T 2 相频特性 实频特性
∞ ↑ =0 u
arctan T
r为谐振频率
Mr为谐振峰值
r n 1 2 2
M r A max
0.707
1 2 2
2 1 2
7. 二阶微分环节
jv
=0 0 1 u
8. 延迟环节
频率特性
G j e
A 1
jT
1 1 j T
1 TS 1 S j
定义：
A / 1 2T 2 1 稳态输出幅值 A( ) RC网络幅频 2 2 A 输入幅值 1 T 特性
( ) arctan T 稳态输出相位 输入相位 RC网络相频特性
精品文档-自动控制原理(第二版)(千博)-第5章
24
图 5-5 惯性环节的波德图
25
三、对数幅相图(Nichols图)
对数幅相图是以相角(°)为横坐标, 以对数幅频L(ω)(dB)
为纵坐标绘出的G(jω)曲线。频率ω为参变量。因此它与幅相
频率特性一样, 在曲线的适当位置上要标出ω的值, 并且要用
箭头表示ω增加的方向。
用对数幅频Hale Waihona Puke 性及相频特性取得数据来绘制对数幅相
第五章 频 域 分 析 法
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 关系 第九节 德图
频率特性的基本概念 频率特性的表示方法 典型环节的频率特性 系统开环频率特性 奈奎斯特稳定性判据和波德判据 稳定裕度 闭环频率特性 开环频率特性和系统阶跃响应的
利用MATLAB绘制奈奎斯特图和波
8
图 5-2 频率特性与系统描述之间的关系
9
利用频率特性曲线分析研究控制系统性能的方法称为频域 分析法。频域分析法主要有傅氏变换法和经典法。
(1) 傅氏变换法就是系统在输入信号r(t)的作用下，其输 出响应为
即把时间函数变换到频域进行计算并以此分析研究系统的方法。 (2) 经典法就是先求出系统的开环频率特性G(jω)并绘成
的对数频率
22
(1) 对数幅频特性曲线。通常用L(ω)简记对数幅频特性, 故
ω从0变化到∞时的对数幅频特性曲线如图5-3所示。
23
(2) 相频特性曲线。通常以j(ω)表示相频特性, 即 j (ω)=∠G(jω)。对于惯性环节, 有
j (ω)=-arctanTω 对不同ω值, 逐点求出相角值并绘成曲线即为相频特性曲线, 如图5-5所示。
45
图 5-11 振荡环节近似波德图
图 5-5 惯性环节的波德图
25
三、对数幅相图(Nichols图)
对数幅相图是以相角(°)为横坐标, 以对数幅频L(ω)(dB)
为纵坐标绘出的G(jω)曲线。频率ω为参变量。因此它与幅相
频率特性一样, 在曲线的适当位置上要标出ω的值, 并且要用
箭头表示ω增加的方向。
用对数幅频Hale Waihona Puke 性及相频特性取得数据来绘制对数幅相
第五章 频 域 分 析 法
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 关系 第九节 德图
频率特性的基本概念 频率特性的表示方法 典型环节的频率特性 系统开环频率特性 奈奎斯特稳定性判据和波德判据 稳定裕度 闭环频率特性 开环频率特性和系统阶跃响应的
利用MATLAB绘制奈奎斯特图和波
8
图 5-2 频率特性与系统描述之间的关系
9
利用频率特性曲线分析研究控制系统性能的方法称为频域 分析法。频域分析法主要有傅氏变换法和经典法。
(1) 傅氏变换法就是系统在输入信号r(t)的作用下，其输 出响应为
即把时间函数变换到频域进行计算并以此分析研究系统的方法。 (2) 经典法就是先求出系统的开环频率特性G(jω)并绘成
的对数频率
22
(1) 对数幅频特性曲线。通常用L(ω)简记对数幅频特性, 故
ω从0变化到∞时的对数幅频特性曲线如图5-3所示。
23
(2) 相频特性曲线。通常以j(ω)表示相频特性, 即 j (ω)=∠G(jω)。对于惯性环节, 有
j (ω)=-arctanTω 对不同ω值, 逐点求出相角值并绘成曲线即为相频特性曲线, 如图5-5所示。
45
图 5-11 振荡环节近似波德图
自控 邹伯敏第05章1
0 ≤ ξ ≤ 0.707
图5-16 Mr与ζ 的关系曲线
2010-12-27 第五章 频率响应 14
自动控制理论 5. 滞后因子
e −τjω
G ( jω ) = e −τjω = 1
ϕ (ω ) = −τω
图5-17 滞后因子的相频特性
2010-12-27 第五章 频率响应 15
自动控制理论
二、开环系统的伯德图
例5-2 G ( s ) H ( s ) =
10 (1 + 0.1s ) 绘制Bode图。 s (1 + 0.5 s )
解： （1）幅频特性
G ( jω ) =
10 (1 + j
ω
10 2
) )
16
jω (1 + j
ω
2010-12-27
第五章 频率响应
自动控制理论
L (ω ) = 20 lg 10 − 20 lg ω − 20 lg 1 − ( ) 2 + 20 lg 1 + ( ) 2 2 10
图5-9
2010-12-27
1 (1 + jωT ) −的对数幅频曲线、渐近线和相角曲线
第五章 频率响应
9
自动控制理论
由于(1 + jωT )与(1 + jωT ) −1 互为倒数,则有
20 lg 1 + jωT = −20 lg arg(1 + jωT ) = − arg( 1 1 + jω T
试绘制系统的幅频和相频特性曲线。 解：令
S ， jq =
10( j 2 + 1) ( j 2 + 2 + j 3)( j 2 + 2 − j 3)
自动控制原理与系统控制系统的频率特性
如图4-6所示。
12
四、惯性环节 传递函数 ： G(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
频率特性 ： G( j) C( j) 1
R( j) jT 1
对数频率特性 ： L() 20lg
1
20lg
(T)2 1
(T)2 1
Bode图 ： arctanT
▪对数幅频特性L(ω)是一条曲线,逐点描绘很烦琐,通常采用近似的 绘制方法,用两条渐进线近似表示.
（极坐标表示法）
U () jV ()
（直角坐标表示法）
（A指(数表)e示j法 (）)
图4-2
A() G(j) U 2 () V 2 ()
() G( j) arctan 1 V () U ()
6
例4-1 写出惯性环节的幅频特性、相频特性和频率特性。
解：惯性环节的传递函数为
G(s) 1 Ts 1
2
• 系统（或环节）输出量与输入量幅值之比为幅值频率特性， 简称幅频特性，它随角频率ω变化，常用M(ω)表示。
A()
A c
A r
• 输出量与输入量的相位差为相位频率特性，简称相频特性，它 也随角频率ω变化，常用φ(ω)表示，
c r
幅频特性和相频特性统称为频率特性，用G( jω)表示
3
频率特性就是线性系统(或环节)在正弦输入信号 作用下稳态时输出相量与输入相量之比。
G (j) G(j) G(j)
A() G(j)
() G(j)
幅频特性是输出量与输入量幅值之比M(ω),描述系统 对不同频率正弦输入信号在稳态时的放大（或衰减） 特性。
相频特性是输出稳态相对于正弦输入信号的相位差 φ(ω),描述系统稳态输出时对不同频率正弦输入信号 在相位上产生的相角迟后（或超前）的特性。
自动控制理论-频率特性性能指标
力越强，鲁棒性越好。
改善动态性能ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法
增加开环增益
提高系统对误差的敏感性，加 快响应速度，但可能导致系统
不稳定。
增加相位补偿环节
改善系统相位特性，提高稳定 性和阻尼比，但可能降低响应 速度。
采用串联校正网络
在系统中串联校正网络以改善 频率特性，提高动态性能指标 。
采用并联校正网络
在系统中并联校正网络以改善 幅相特性，提高抗干扰能力和
鲁棒稳定性分析
通过分析系统在不同频率 下的稳定性裕度，评估控 制系统的鲁棒稳定性。
鲁棒性能设计
根据系统性能指标和不确 定性范围，设计鲁棒控制 器以提高系统鲁棒性能。
灵敏度分析
通过灵敏度函数分析系统 对不同频率扰动的敏感程 度，指导鲁棒控制器的设 计。
PART 06
实验与案例分析
实验目的和原理介绍
调节时间
系统响应从初始状态 到达并保持在设定值 附近所需时间。
频率特性对动态性能影响
截止频率
01
影响系统响应速度和带宽，截止频率越高，系统响应速度越快，
带宽越宽。
相位裕度
02
影响系统稳定性和阻尼比，相位裕度越大，系统越稳定，阻尼
比越小。
幅值裕度
03
影响系统抗干扰能力和鲁棒性，幅值裕度越大，系统抗干扰能
不稳定系统频率特性分析
幅频特性
不稳定系统的幅频特性曲线可能在某些频率范围内出现峰值，表明系统对某些频率的信号具有放大作用。这可能 导致系统产生振荡或不稳定行为。
相频特性
不稳定系统的相频特性曲线可能出现较大的相位滞后，使得系统在特定频率下的输出与输入之间存在较大的相位 差。这可能导致系统无法及时响应输入信号的变化，从而影响系统的稳定性。
第四章 控制系统的频率特性PPT课件
一·乃氏图的一般作图法
1·写出 G ( j w ) 和G( jw)表达式； 2·分别求出 w 0 和 w时的 G ( j w ) ；
3·求乃氏图与实轴的交点，交点可利用 ImG(jw)0或 G(jw)n180o
的关系式求出；
4·求乃氏图与虚轴的交点，交点可利用 ReG(jw)0或 G(jw)n90o
K;
(T 1s1 )(T 2s1 )
K ,T 1,T 20
试概略绘制系统开环幅相曲线。
解：由于惯性环节的角度变化为 ～-900，故该系统开环幅
相曲线中
起点为：
终点为：
系统开环频率特性
A (0)K,
(0)00
A ( ) 0 , ( )2 ( 90) 0 10 80
G (j)K [1 (1 T 1 T T 12 2 2 2) 1 (j (T T 1 22 T 22 ))]
即多环节传递函数的幅频特性是各环节模的乘积，相频特性是各环节 相位角之和。
7
自动控制原理
§4-2频率响应的极 频率响应G(jw)是输入频率w的复变函数，是一种变换，当w从0逐渐增长至
时，G(jw)作为一个矢量，其端点在复平面相对应的轨迹就是频率响
应的极坐标图，亦叫坐做乃标氏图图（（Nyq乃uist氏曲线图） ）
传递函数G(s)
S=jw
频率特性G(jw)
注：系统频率特性分析法是一种用“稳态”的方法（即输出稳态时 的正弦信号，不考虑过度过程）来分析系统的动态特性（稳，准， 快）
5
自动控制原理
二·频率特性的一些概念
G (jw ) U (w )jV (w )
幅频特性 A (w ) G (jw )[U (w )]2 [V (w )]2
(jw K)(j(wjw1T11)1()j(wjw2T21).1..)...
1·写出 G ( j w ) 和G( jw)表达式； 2·分别求出 w 0 和 w时的 G ( j w ) ；
3·求乃氏图与实轴的交点，交点可利用 ImG(jw)0或 G(jw)n180o
的关系式求出；
4·求乃氏图与虚轴的交点，交点可利用 ReG(jw)0或 G(jw)n90o
K;
(T 1s1 )(T 2s1 )
K ,T 1,T 20
试概略绘制系统开环幅相曲线。
解：由于惯性环节的角度变化为 ～-900，故该系统开环幅
相曲线中
起点为：
终点为：
系统开环频率特性
A (0)K,
(0)00
A ( ) 0 , ( )2 ( 90) 0 10 80
G (j)K [1 (1 T 1 T T 12 2 2 2) 1 (j (T T 1 22 T 22 ))]
即多环节传递函数的幅频特性是各环节模的乘积，相频特性是各环节 相位角之和。
7
自动控制原理
§4-2频率响应的极 频率响应G(jw)是输入频率w的复变函数，是一种变换，当w从0逐渐增长至
时，G(jw)作为一个矢量，其端点在复平面相对应的轨迹就是频率响
应的极坐标图，亦叫坐做乃标氏图图（（Nyq乃uist氏曲线图） ）
传递函数G(s)
S=jw
频率特性G(jw)
注：系统频率特性分析法是一种用“稳态”的方法（即输出稳态时 的正弦信号，不考虑过度过程）来分析系统的动态特性（稳，准， 快）
5
自动控制原理
二·频率特性的一些概念
G (jw ) U (w )jV (w )
幅频特性 A (w ) G (jw )[U (w )]2 [V (w )]2
(jw K)(j(wjw1T11)1()j(wjw2T21).1..)...
自动控制系统—— 第5章-1 频率特性及其表示法
Mod5_1_1.mdl Mod5_1_1Prg.m
7
(1)输入为 ui (t) sin t 相对输入，输出有相位差，幅度不同
8
(2)输入为 ui (t) sin 2t 输出有相位差，峰值衰减，输入峰值不变
9
(3)输入为 ui (t) sin 3t 输出有相位差，初始段峰值衰减，之后峰值稳定
2
引言
频域分析法:应用频率特性研究线性系统的经典 方法称为频域分析法 引入频域模型：频率特性函数
线性定常系统的数学模型： 时域模型： 常微分方程
复数域模型： 传递函数 频域模型： 频率特性函数
3
频域分析的内容: 1.频率特性及其表示:幅相曲线，Bode图 2.典型环节的频率特性：一阶环节，二阶环节 3.Nyquist稳定判据：基于幅相曲线、Bode图 4.稳定裕度：幅值稳定裕度，相位稳定裕度 5.频域指标：带宽、谐振频率、谐振峰值等
cs (t) Kce jt K ce jt
K c 和 K c 可以由留数计算得到
Kc
G(s)
(s
A j)(s
j)
(s
j)
s j
G( j)A
2j
Kc
G(s)
(s
A j)(s
j)
(s
j)
s j
G( j)A
2j
22
由于 G( j) A()e j()
G( j) 与 G( j) 是共轭的
所以 G( j) A()e j()
Kc
G( j，) A
2j
A 2j
A()e j()
Kc
G( j)A
2j
A 2j
A()e
j ( )
代入 cs (t) Kce jt K ce jt
7
(1)输入为 ui (t) sin t 相对输入，输出有相位差，幅度不同
8
(2)输入为 ui (t) sin 2t 输出有相位差，峰值衰减，输入峰值不变
9
(3)输入为 ui (t) sin 3t 输出有相位差，初始段峰值衰减，之后峰值稳定
2
引言
频域分析法:应用频率特性研究线性系统的经典 方法称为频域分析法 引入频域模型：频率特性函数
线性定常系统的数学模型： 时域模型： 常微分方程
复数域模型： 传递函数 频域模型： 频率特性函数
3
频域分析的内容: 1.频率特性及其表示:幅相曲线，Bode图 2.典型环节的频率特性：一阶环节，二阶环节 3.Nyquist稳定判据：基于幅相曲线、Bode图 4.稳定裕度：幅值稳定裕度，相位稳定裕度 5.频域指标：带宽、谐振频率、谐振峰值等
cs (t) Kce jt K ce jt
K c 和 K c 可以由留数计算得到
Kc
G(s)
(s
A j)(s
j)
(s
j)
s j
G( j)A
2j
Kc
G(s)
(s
A j)(s
j)
(s
j)
s j
G( j)A
2j
22
由于 G( j) A()e j()
G( j) 与 G( j) 是共轭的
所以 G( j) A()e j()
Kc
G( j，) A
2j
A 2j
A()e j()
Kc
G( j)A
2j
A 2j
A()e
j ( )
代入 cs (t) Kce jt K ce jt
自动控制原理--第五章-频率特性法
2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外 界因素无关。
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有 “低通滤波”与“相位滞后”作用。
2024年5月3日
2024年5月3日
若用一个复数G（jω）来表示，则有 G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej 指数表示法
G（jω）=A(ω)∠ (ω) 幅角表示法
G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。
当ω是一个特定的值时，可以 在复平面上用一个向量去表示G （jω）。向量的长度为A(ω)，向量
频率特性的数学意义
频率特性是描述系统固有特性的数学模型,与微分方程、 传递函数之间可以相互转换。
微分方程
（以t为变量）
d s
dt
传递函数
（以s为变量）
s j 频率特性
（以ω为变量）
控制系统数学模型之间的转换关系
以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运 动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经 典控制理论中最常用的数学模型。
R() A()cos()
I () A()sin()
2024年5月3日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
并且A(ω)与R（ω）为ω的偶函数， (ω)与I
（ω）是ω的奇函数。
2024年5月3日
三、频率特性的实验求取方法
css(t) =Kce-jωt+K-cejωt
系数Kc和K-c由留数定理确定，可以求出
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有 “低通滤波”与“相位滞后”作用。
2024年5月3日
2024年5月3日
若用一个复数G（jω）来表示，则有 G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej 指数表示法
G（jω）=A(ω)∠ (ω) 幅角表示法
G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。
当ω是一个特定的值时，可以 在复平面上用一个向量去表示G （jω）。向量的长度为A(ω)，向量
频率特性的数学意义
频率特性是描述系统固有特性的数学模型,与微分方程、 传递函数之间可以相互转换。
微分方程
（以t为变量）
d s
dt
传递函数
（以s为变量）
s j 频率特性
（以ω为变量）
控制系统数学模型之间的转换关系
以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运 动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经 典控制理论中最常用的数学模型。
R() A()cos()
I () A()sin()
2024年5月3日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
并且A(ω)与R（ω）为ω的偶函数， (ω)与I
（ω）是ω的奇函数。
2024年5月3日
三、频率特性的实验求取方法
css(t) =Kce-jωt+K-cejωt
系数Kc和K-c由留数定理确定，可以求出
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j ) j)
s j
RmG( 2j
j )
kc2
C(s)(s
j )
|s j
G(s) Rm(s (s j)(s
j ) j)
s j
RmG( j )
2j
Saturday, March 07, 2020
5
而 G( j ) G(s) |s j | G( j ) | e jG( j ) A( )e j ()
e j(t ( ))
e j(t ( )) 2j
A()Rm sin(t ()) Cm sin(t ())
式中：Rm 、Cm分别为输入输出信号的幅值。
上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号， 它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入
为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输Rm入信号在稳态时
的放大特性；
定义稳态响应与正弦输入信号的相位差() G( j) 为系统
的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相
位移特性；
幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量G( j), G( j) A()e j() ，它也是 的函数。G( j) 称为频率特性。
Saturday, March 07, 2020
3
一、频率特性的定义： 系统的频率响应定义为系统在正弦作用下稳态响应的振幅、
相位与所加正弦作用的频率之间的依赖关系。
对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为r(t) 和c(t)，系统的传递函数为G(s)。
G(s) C(s)
N (s)
R(s) (s p1)( s p2 )...( s pn )
Saturday, March 07, 2020
8
[结论]：当传递函数中的复变量s用 j代替时，传递函数就转变
为频率特性。反之亦然。
到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下 几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们 之间的关系如下：
sp
传递 函数
微分 方程
系统
j p
P() A() cos()
Q() A() sin()
A() P2 () Q2 ()
( ) tg 1 Q( ) P( )
频率特性与传递函数的关系为：
G( j ) G(s) |s j
由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的时域 法在数学上是等价的。
本章主要内容
频率特性的基本概念 频率特性的对数坐标图 频率特性的极坐标图 奈魁斯特稳定判据 稳定裕度 闭环系统的性能分析
Saturday, March 07, 2020
1
第一节 频率特性的基本概念
Saturday, March 07, 2020
2
考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应 来分析系统的动态性能和稳态性能。
式中， p j , j 1,2,..., n为极点。
若： r(t)
Rm sint,则R(s)
Rm s2 2
(s
Rm j)(s
j )
则：C(s)
N (s)R(s)
N (s)
Rm
(s p1)(s p2 )...(s pn ) (s p1)(s p2 )...(s pn ) (s j )(s j )
有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并 不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率 由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。 因此，这种响应也叫频率响应。
频率响应尽管不如阶跃响应那样直观，但同样间接地表示 了系统的特性。频率响应法是分析和来自计系统的一个既方便又 有效的工具。
若系统稳定，则极点都在s左半平面。当 t ，即稳态时：
e p1t 0, e p2t 0,..., e pnt 0
cs (t) kc1e jt kc2e jt
式中，kc1, kc2 分别为：
kc1
C(s)(s
j )
|s j
G(s) Rm(s (s j)(s
不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了 A() | G( j) | 倍， 相位移动了 () G( j) 。 A( ) 和 ( ) 都是频率的函数。
Saturday, March 07, 2020
6
定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 Cm A( ) | G( j ) |
k1 k2 ... kn kc1 kc2
s p1 s p2
s pn s j s j
Saturday, March 07, 2020
4
拉氏反变换为： c(t) k1e p1t k2e p2t ... kne pnt kc1e jt kc2e jt
还可将 G( j)写成复数形式，即
G( j) P() jQ() 这里 P() Re[G( j)] 和 Q() Im[G( j)] 分别称为系统的实
频特性和虚频特性。
Saturday, March 07, 2020
7
幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列
关系：
G( j ) G(s) |s j | G( j ) | e jG( j ) A( )e j ( )
kc1
Rm 2j
A( )e j ( ) , kc2
Rm 2j
A( )e j ( )
cs (t)
kc1e jt
kc2e jt
A( ) Rm
频率 特性
p d dt
s j
Saturday, March 07, 2020
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从另一方面，若线性系统在正弦信号输入作用下，在稳态 情况下，输入输出都是正弦函数，可用矢量表示：
R( j ) Rme jx ,C( j ) Cme jy C( j ) Cm e j( y x ) A( )e j ( ) R( j ) Rm