函数的含参零点问题

函数的含参零点问题

根据函数的零点情况，讨论参数的范围是高考的重点和难点．对于此类题目，我们常利用零点定理、数形结合、函数单调性与分离参数等思想方法来求解．

[典例] (2014·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( )

A ．(2，＋∞)

B ．(－∞，－2)

C ．(1，＋∞)

D ．(－∞，－1) [答案] B [思路点拨]

本题的实质是函数f (x )存在唯一的零点x 0∈(0，＋∞)，因此可利用其代数特征转化为方程有唯一的正根来构思解析，也可以从零点本身的几何特征入手，将其转化为曲线的交点问题来突破，还可以利用选项的唯一性选取特例求解．

[方法演示]

法一 单调性法：利用函数的单调性求解

由已知得，a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2

a

.

当a >0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a ，f ′(x )<0；x ∈2

a ，＋∞，f ′(x )>0.所以函数f (x )在(－∞，0)和2a ，＋∞上单调递增，在0，2

a 上单调递减，且f (0)＝1>0，故f (x )有小于零的零点，不

符合题意．

当a <0时，x ∈－∞，2a ，f ′(x )<0；x ∈2

a ，0，f ′(x )>0；x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0.所以函数f (x )在

－∞，2a 和(0，＋∞)上单调递减，在2

a ，0上单调递增，所以要使f (x )有唯一的零点x 0且x 0>0，只需

f 2

a

>0，即a 2>4，解得a <－2. 法二 数形结合法：转化为直线与曲线的位置关系求解

由ax 3－3x 2＋1＝0可知x ≠0，可得ax ＝3－1x 2，作出y ＝3－1

x 2的图

象如图所示，转动直线y ＝ax ，显然a >0时不成立；当a <0，直线y ＝ax 与左边的曲线相切时，设切点为t,3－1

t 2，其中t <0，则切线方程为y

－3－1t 2＝2t 3(x －t )．又切线过原点，则有0－3－1t 2＝2

t

3(0－t )，解得t ＝－

1(t ＝1舍去)，此时切线的斜率为－2，由图象可知a <－2符合题意．

法三 数形结合法：转化为两曲线的交点问题求解

令f (x )＝0，得ax 3＝3x 2－1.问题转化为g (x )＝ax 3的图象与h (x )＝3x 2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．

当a ＝0时，函数g (x )的图象与h (x )的图象存在两个的交点； 当a >0时，如图(1)所示，不合题意；

当a <0时，由图(2)知，可先求出函数g (x )＝ax 3与h (x )＝3x 2－1的图象有公切线时a 的值．由g ′(x )＝h ′(x )，g (x )＝h (x )，得a ＝－2.由图形可知当a <－2时，满足题意．

法

四 分离参

数法：参变分离，演绎高效

易知x ≠0，令f (x )＝0，则a ＝3x －1x 3，记g (x )＝3x －1x 3，g ′(x )＝－3x 2＋3x 4＝－3(x 2－1)x 4

，可知g (x )

在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g (－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y ＝a ，结合图象，可知a <－2.

法五 特例法：巧取特例求解

取a ＝3，则f (x )＝3x 3－3x 2＋1.由于f (0)＝1，f (－1)<0，从而f (x )在(－∞，0)上存在零点，排除A 、C. 取a ＝－43，则f (x )＝－4

3x 3－3x 2＋1.由于f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫－32<0，从而f (x )在(－∞，0)上存在零点，排除D ，故选B.

[解题师说]

函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考查函数、导数、方程与不等式等基础知识，又能考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思维能力，所以此类题往往能较好地体现试卷的区分度．

由本题的五种方法，可知破解含参零点问题常有“三招”. 第一招

当我们无法通过等价转化的思想将原问题转化为相对容易的问题时，我们

带参讨论

要根据题设要求直接研究函数的性质．由于函数含有参数，通常需要合理地对参数的取值进行分类，并逐一求解．(如本题解法一)

第二招 数形结合

由两个基本初等函数组合而得的超越函数f (x )＝g (x )－h (x )的零点个数，等价于方程g (x )－h (x )＝0的解的个数，亦即g (x )＝h (x )的解的个数，进而转化为基本初等函数y ＝g (x )与y ＝h (x )的图象的交点个数．(如本题解法二和解法三)

第三招 分离参数 通过将原函数中的变参量进行分离后变形成g (x )＝l (a )，则原函数的零点问题化归为与x 轴平行的直线y ＝l (a )和函数g (x )的图象的交点问题．(如本题解法四)

[应用体验]

1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －

1＋e

－x ＋1

)有唯一零点，则a ＝( )

A ．－12 B.13 C.1

2 D ．1

解析：选C 法一：由函数f (x )有零点，得x 2－2x ＋a (e x －

1＋e －x ＋1

)＝0有解，

即(x －1)2－1＋a (e x －

1＋e

－x ＋1

)＝0有解，令t ＝x －1，则上式可化为t 2－1＋a (e t ＋e －

t )＝0，

即a ＝1－t 2e t ＋e －t . 令h (t )＝1－t 2

e t ＋e －t ，易得h (t )为偶函数，又由

f (x )有唯一零点得函数h (t )的图象与直

线y ＝a 有唯一交点，则此交点的横坐标为0，所以a ＝

1－02＝1

2

，故选C. 法二：由f (x )＝0⇔a (e x －

1＋e －x ＋1

)＝－x 2＋2x .

e x －

1＋e

－x ＋1

≥2e x －

1·e

－x ＋1

＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．

－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a >0，则a (e x －

1＋e

－x ＋1

)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝1

2

.

若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 综上所述，a ＝1

2

.

2．设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x ＋10存在整数零点，则符合条件的m 的个数为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解析：选C 令f (x )＝0，得m ＝2x ＋10

10－x . 又m ∈N ，因此有⎩

⎪⎨⎪⎧

10－x ＞0，

2x ＋10≥0，解得－5≤x ＜10，x

∈Z ，∴0＜10－x ≤15.

当2x ＋10＝0，即x ＝－5时，m ＝0；当2x ＋10≠0时，要使m ∈N ，则需10－x ∈N ，当10－x ＝1，即x ＝9时，m ＝28；当10－x ＝2，即x ＝6时，m ＝11；当10－x ＝3，即x ＝1时，m ＝4，所以符合条件的m 的个数为4.