谈含参函数零点问题的解题策略
例析解答含参零点问题的两种路径
思路探寻含参零点问题通常较为复杂，零点一般会随着参数的变化而变化.此类问题不仅考查了函数的零点、图象、性质，还考查了方程、不等式等知识的应用.在解题时，我们需从参数入手，灵活运用各类数学思想、方法来寻找解题的思路.下面，笔者谈一谈求解含参零点问题的两种路径.一、数形结合函数f (x )的零点即为函数f (x )图象与x 轴的交点.在遇到含参函数零点问题时，可作出相对应的函数图象，将数与形结合起来，把函数零点问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，结合函数的图象来研究交点的位置、取值范围等.例1.已知函数f (x )=ae 2x+(a -2)e x-x ，若f (x )有2个零点，求a 的取值范围.解：对f (x )=ae 2x +(a -2)e x -x 求导，可得f ′(x )=()2e x+1()ae x-1，当a ≤0时，f ′(x )≤0在R 上恒成立，故f (x )在R 上单调递减，所以函数图象与x 轴最多只有一个交点，故不合题意.当a >0时，由f ′(x )=0，得x =ln 1a，当x >ln 1a 时，f ′(x )>0，当x <ln 1a时，f ′(x )<0，所以f (x )在æèöø-∞,ln 1a 上单调递减，在æèöøln 1a ,+∞上单调递增，其图象如图所示.由图可知，要使f (x )=ae 2x +(a -2)e x -x 与x 轴有2个交点，需使a >0，且f (x )min =f (ln 1a )=1-1a +ln a <0，令g (1a )=1-1a +ln a ，则g ′(a )=1a2+1a >0，故g (a )在()0,+∞上单调递增，又g (1)=0，所以0<a <1，故a 的取值范围是()0,1.解答本题，我们首先要对函数求导，讨论出函数的单调性并绘制出相应的图象，再利用数形结合思想，结合图象来讨论函数图象与x 轴的交点的情况，便可建立满足条件的不等式，求得a 的取值范围.二、利用零点存在性定理若函数y =f (x )在区间[]a ,b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且f (a )∙f (b )<0，那么函数y =f (x )在区间()a ,b 内有零点，即存在c ∈(a ,b )，使得f (c )=0，该定理为零点存在性定理.在解答含参零点问题时，需要先根据题意确定零点所在的区间或大概范围；然后将端点值代入函数式中，判断f ()a ∙f ()b 是否小于0，若小于0，则函数在该区间上存在零点.利用零点存在性定理，可快速解答含参零点的取值范围问题、判断含参零点的个数问题以及判断在某区间上是否存在零点.例2.已知函数f (x )=ax 2-2x +1在区间(-1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点，求实数a 的取值范围.解：因为函数f (x )=ax 2-2x +1在区间(-1,1)和区间（1,2）上分别存在一个零点，根据零点存在性定理可知，{f (-1)∙f (1)<0,f (1)∙f (2)<0,解得34<a <1.零点存在性定理是判断函数在某个区间上是否存在零点的重要工具.运用零点存在性定理解题，可快速建立关于参数的关系式，进而求得参数的取值或范围.可见，利用零点存在性定理和数形结合法，能快速解答含参零点问题，但在解题时需注意，第一种途径的适用范围较窄，第二种途径的适用范围较广.在解答函数问题时，都可以运用数形结合法来解题，这样有助于提升解题的效率.（作者单位：江苏省如东县马塘中学）47。
含参的零点问题解题技巧
含参的零点问题解题技巧含参的零点问题通常是函数在特定区间内求解的问题，其中函数的零点指的是使函数值为零的自变量取值。
这类问题在数学、物理等领域具有广泛的应用。
为了解决这类问题，我们可以遵循以下步骤和技巧：1.确定变量范围首先，我们需要确定自变量（即参数）的取值范围。
这可以通过观察函数的定义域、值域或者已知条件来确定。
确定范围后，我们可以更好地分析问题，并为后续的求解奠定基础。
2.化简函数式在含参的零点问题中，函数式往往较为复杂。
为了便于求解，我们需要对其进行化简。
化简的方法包括因式分解、合并同类项等。
通过化简，我们可以将问题简化，从而更容易找到零点。
3.寻找可能的零点在化简后的函数式中，我们需要寻找可能的零点。
这可以通过观察函数的图像、分析函数的性质或利用数值方法（如二分法、牛顿法等）来实现。
寻找可能的零点有助于缩小搜索范围，提高求解效率。
4.判断零点个数找到可能的零点后，我们需要判断这些零点的个数。
这可以通过分析函数的性质、计算函数的导数或者应用一些判别准则来实现。
判断零点个数有助于确定后续的求解策略，如使用逐一检验法、区间排除法等。
5.实例分析下面我们来看一个实例，以加深对含参的零点问题的理解。
例：求函数f(x) = x - 2x + 1 在区间[0, 2] 内的零点。
解：（1）确定变量范围：x ∈ [0, 2]；（2）化简函数式：f(x) = (x - 1)；（3）寻找可能的零点：x - 1 = 0，即x = 1；（4）判断零点个数：只有一个零点x = 1。
通过以上步骤，我们可以轻松地求解含参的零点问题。
在实际应用中，根据问题的具体情况，可以灵活运用这些步骤和技巧。
【总结与建议】解决含参的零点问题，关键在于掌握解题步骤和技巧。
在求解过程中，注意分析问题、化简函数式、寻找可能的零点以及判断零点个数。
此外，多做练习题、了解相关领域的知识也是提高解题能力的重要途径。
例析含参零点问题的解法
含参零点问题较为复杂，变化而变化，因此在解题时，运用分类讨论思想来辅助解题.解答含参零点问题的方法，类问题的效率.一、数形结合法我们知道，函数f (x )的零点即为函数f x 轴的交点.因此在解答含参零点问题时，函数的零点问题转化为函数图象与x 运用数形结合法，点，从而解答问题.例1.已知函数f ()x =ae 2x +()a -2e x-有2个零点，求a 的取值范围.解：对f ()x =ae 2x +()a -2e x-x ()2e x +1()ae x -1，当a ≤0时，f '()x ≤0在R R 上单调递减，函数图象与x 不合题意.当a >0时，由f '()x =0得x =ln 1a.当x >ln 1a 时f '()x >0，当x <ln 1a时，f 所以f ()x 在æèöø-∞,ln 1a 上单调递减，在上单调递增.由图可知，要使f ()x =ae 2x +()a -2e x-x 个交点，需使a >0，且f ()x min =f æèöøln 1a =1-1a 令g ()a =1-1a +ln a ，则g '()x =1a2+1a >0，故g ()a 在()0，+∞上单调递增，又g ()1=0，所以0<a <1，故a 的取值范围是()0,1.与x 轴有两个交点问题来求解.出函数的单调性并绘制出相应的图象，论函数图象与x 轴的交点的情况，的不等式，求得a 的取值范围.二、利用方程思想函数f (x )的零点也为f (x )=0的根.含参零点问题时，我们可以运用方程思想来解题，首先将函数y =f ()x 的零点问题转化为求方程f ()x =0的解，通过解方程或者借助零点存在性定理来讨论函数的零点.例2.已知定义在R 上的函数f ()x ，满足以下条件：（1）f ()4=0；（2）y =f ()x +1关于点()-1,0对称；（3）当x ∈()-4,0时，f ()x =log 2æèçöø÷x e ||x +e x-m .当y =f ()x 在x ∈[]-4，4上有7个零点，则实数m 的取值范围为_______.解：∵y =f ()x +1是关于点()-1，0对称的曲线，∴y =f ()x 关于()0，0对称.∴f ()x 在R 上为奇函数，∴f ()0=0.又∵f ()4=0，∴f ()-4=0.因y =f ()x 在x ∈[]-4，4上有7个零点，∴当x ∈()-4，0时，f ()x =log 2æèçöø÷x e ||x +e x-m 有2个零点.又∵当x ∈()-4，0时，f ()x =log 2()xe x +e x-m ，∴当x ∈()-4，0时，f ()x =log 2()xe x +e x-m 有2个零点等价于xe x +e x -m =1有2个不相等的解，即xe x +e x -1=m 有2个解.令g ()x =xe x +e x-1，∴g '()x =e x +xe x +e x =e x()x +2，∴g ()x 在()-4,-2上单调递减，在()-2,0上单调递增，又g ()-2=-1-1e 2，g ()-4=-1-3e 4，g ()0=0，要使g ()x =xe x +e x-1=m 有2个解，需满足-1-1e2<m <-1-3e 4.解答本题的关键是，将零点问题转化为方程的根的问题来求解.我们根据已知条件求得各个区间上函数的解析式，并讨论使各个区间上的方程有解的参数的取值，从而确定参数的取值范围.含参零点问题具有多种形式，同学们在解答这一类型的问题时，首先要“吃透”函数的性质以及零点存在性定理，然后根据题中的已知条件准确辨别问题的类型，巧妙使用数形结合法、方程思想来解题，以提高解答含参零点问题的效率.（作者单位：河北省顺平中学）探索与研究49。
2020高考数学热点难点微专题含参函数的零点问题(3页)
2020高考数学热点难点微专题含参函数的零点问题含参函数的零点问题常以超越方程、分段函数等为载体，达到考察函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的．要注意函数的零点、方程的根、不等式的解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键，等价转化是这类问题的难点．解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用．例1 已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )， x ≥0，f ′(x )， x <0.若方程g (f (x ))＝0有4个不等的实根，则a 的取值范围是________．点评：例2 (1) 若关于x 的方程|x 4－x 3|＝ax 在R 上存在4个不同的实根，则实数a 的取值范围为________．(2) 已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |，g (x )＝(2a －1)x ＋a ln x ，若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象恰好有2个不同的交点，则实数a 的取值范围为________．点评：【思维变式题组训练】1. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1， x ≥2，2， 1≤x <2.若方程f (x )＝ax ＋1恰有一个解时，则实数a 的取值范围为________．2. 设函数f (x )＝⎩⎨⎧ x －1e x ， x ≥a ，－x －1， x <a ，g (x )＝f (x )－b .若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为________．3. 已知函数f (x )＝⎝ ⎛ x －1， 1≤x <2，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， x ≥2，如果函数g (x )＝f (x )－k (x －3)恰有2个不同的零点，那么实数k 的取值范围是________.4. 已知k 为常数，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2x ＋1， x ≤0，|ln x |， x >0，若关于x 的方程f (x )＝kx＋2有且只有4个不同解，则实数k 的取值构成的取值集合为________．。
含参导函数零点问题的几种处理方法
含参导函数零点问题的几种处理方法杭州市余杭第二高级中学（浙江省杭州市余杭区人民大道1501号） 马先锋摘要：函数的导数也是一个函数，称为导函数。
导函数的零点决定着原函数的很多重要性质，如单调性，极值，最值等。
因此研究导函数的零点有着极其重要的意义，本文主要就含参导函数中零点的几种处理方法作一阐述。
导数进入中学数学教材之后，给传统的中学数学内容注入了生机与活力，它具有深刻的内涵与丰富的外延。
以函数为载体，以导数为工具，是近年高考中函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向。
导数在求函数的单调性及极、最值等方面有着重要的应用，而这些问题都离不开一个基本点——导函数的零点，因为导函数的零点，既是原函数单调区间的分界点，也可能是原函数的极值点或最值点，可以说如果能把握导数的零点，就可以抓住原函数的性质要点，因此，导函数的零点问题对研究函数与导数的综合问题意义重大。
但引入导数之后，高中阶段可处理的函数类型大大增加，特别是含有参数的函数问题，导函数的零点也变得更为复杂，有些函数的零点甚至是不易求出的，基于此，本文就含参数的导函数的零点问题，谈谈几种基本的处理方法。
方法一：直接求出，代入应用对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。
（1）因式分解求零点例1 讨论函数)(12)21(31)(23R a x x a ax x f ∈+++-=的单调区间 解析：即求)('x f 的符号问题。
由)2)(1(2)12()('2--=++-=x ax x a ax x f 可以因式分解，（Ⅰ）当0=a 时，不等式即为02<+-x ，此时不等式的解集为),2(+∞（Ⅱ）当0>a 时不等式可以化为0)2)(1(<--x a x ，只需比较a1与2的大小 ①若210<<a ，则21>a ，则不等式的解集为)1,2(a②若21=a ，则不等式为0)2(2<-x ，不等式的解集为φ ③若21>a ，则21<a ，此时不等式的解集为)2,1(a（Ⅲ）当0<a 时，不等式可化为0)2)(1(>--x a x ，由于21<a ，故不等式的解集为),2()1,(+∞-∞ a 综上得：略（2）求根公式求零点例2 （2006全国Ⅰ文）设ax x x x f 22131)(23++-= （1）若函数)(x f 在)32(∞+，上存在单调递增区间，求a 的取值范围；（2）当20<<a 时，)(x f 在[1，4]上的最小值为316-，求)(x f 在该区间上的最大值 解析：（1）先求出带参数的增区间，令02)('2=++-=a x x x f ，无法因式分解，讨论a 81+=∆的符号，0≤∆时，无单调增区间，不合题意。
导数隐零点问题处理的8大技巧(附30道经典题目)
导数隐零点问题处理的8大技巧(附30道经典题目)导数隐零点问题处理的8大技巧如下：1.分类讨论：对于含参数的零点问题，常常需要根据参数的不同取值范围进行分类讨论。
2.构造函数：利用导数研究函数的单调性，进而研究不等式恒成立问题。
3.分离参数：通过分离参数将参数与变量分开，转化为求最值问题。
4.数形结合：利用数形结合思想，将函数图像与x轴的交点问题转化为求函数的最值问题。
5.转化与化归：将复杂问题转化为简单问题，将陌生问题转化为熟悉问题。
6.构造法：通过构造新的函数或方程，将问题转化为已知的问题进行求解。
7.放缩法：通过对不等式进行放缩，将问题转化为易于处理的形式。
8.判别式法：通过引入判别式，将方程问题转化为二次方程的判别式问题。
以下是30道经典题目，以供练习：1.已知函数f(x)=x3−3x2+5，则f(x)的单调递增区间为( )A.(−∞,1)和(2,+∞)B.(−∞,−1)和(1,+∞)C.(−∞,−1)和(2,+∞)D.(−∞,2)和(1,+∞)2.已知函数f(x)=x3−3x2+5，则f(x)在区间[−2,3]上的最大值是____．3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1和x=−21时取极值．(1)求a，b的值；(2)求函数极值．4. 已知函数f(x)=x3−3ax2+4，若x∈[0,2]时，f(x)的最大值为417，求实数a的取值范围．5. 已知函数f(x)=ln x−mx+m有唯一的零点，则实数m的取值范围是____．6. 已知函数 f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3x + 1，若 x ∈ [0,1] 时，f(x) ≤ f(0) 恒成立，则 m 的取值范围是 _______．7. 已知函数 f(x) = ax^3 + bx^2 - 3x (a、b ∈ Z) 在 x = ±1 和x = ±2 时取极值．(1) 求 f(x) 的解析式；(2) 求 f(x) 的单调区间和极值；8. 已知函数 f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 在 x = ±1 和 x = ±3时取极值．(1) 求 a，b 的值；(2) 求 f(x) 的单调区间和极值．1.已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 在 [0,3] 上的最大值和最小值分别为 M, N，则 M + N = _______．2.设f(x)=x3−3x2+4，则f(−x)+f(x)的值等于____3.已知函数f(x)=x3−3x2+4，则f(x)在(−3,2)上的最大值是____．4.已知函数f(x)=x3−3x2+4，则f(x)在区间[−1,3]上的最大值是____．5.已知函数f(x)=x3−3ax2+bx+c在x=±1时取极值，且函数y=f(x)图象过原点．(1) 求函数y=f(x)的表达式；(2) 求函数的单调区间和极值；14. 已知函数 f(x) = x^3 - 3ax^2 + bx 在 x = -1 和 x = 3 时取极值．(1) 求 a，b 的值；(2) 求 f(x) 在区间 [-2,4] 上的最大值和最小值．15. 已知函数 f(x) = ax^3 + bx^2 + c 在 x = ±1 和 x = ±2 时取极值．(1) 求 a，b 的值；(2) 若 f(x) 的最大值为 8，求 c 的值．16. 已知函数 f(x) = ax^3 + bx^2 + c 在 x = ±1 和 x = ±√2 时取极值，且 f(-2) = -4．(1) 求 a，b，c 的值；(2) 求 f(x) 在区间 [-3,3] 上的最大值和最小值．17. 已知函数 f(x) = x^3 - 3ax^2 + b (a > 0)，若 f(x) 在区间[-1,0] 上是减函数，则 a 的取值范围是 _______．18. 若关于 x 的方程 x^3 - 3ax + a^3 = 0 有实根，则实数 a 的取值范围是 _______．19. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有三个不同的实根，则 a，b 应满足的条件是 _______．20. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有三个不同的实根，则 b应满足的条件是 _______．1.函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 在区间 [-1,3] 上的最大值和最小值分别为 _______．2.已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 4，若实数 x，y 满足 f(x) +3x^2 ≤ f(y) + 3y^2，则 x + y 的取值范围是 _______．3.已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 4，若实数 x，y 满足 f(x) ≤f(y) + 3，则 x + y 的取值范围是 _______．4.若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有三个不同的实根，则a，b 应满足的条件是 _______．5.已知函数 f(x) = x^3 - 3ax^2 + b 在 x = -1 和 x = 3 时取极值．(1) 求 a，b 的值；(2) 求 f(x) 在区间 [-3,3] 上的最大值和最小值．26. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有三个不同的实根，则 b 应满足的条件是 _______．27. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有两个不同的实根，则 a，b 应满足的条件是 _______．28. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有两个不同的实根，则 a，b 应满足的条件是 _______．29. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有两个相等的实根，则 a，b 应满足的条件是 _______．30. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有三个相等的实根，则 a，b 应满足的条件是 _______．。
函数零点问题解答分析与思考
函数零点问题解答分析与思考函数零点问题是数学中一个常见且重要的问题，它涉及到了函数图像的特征、方程的解、数值计算等多个方面。
在数学学习中，零点问题往往是一个绕不过去的坎，因此对于零点问题的解答分析与思考具有重要的意义。
本文将围绕函数零点问题展开讨论，分析其解答方法和思考路径，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
一、函数零点的定义我们来看一下函数零点的定义。
在数学中，函数的零点指的是函数取零值的自变量的值。
也就是说，对于函数f(x)，如果存在一个值x0，使得f(x0)=0，那么我们就说x0是函数f(x)的一个零点。
函数的零点在函数图像上对应的便是函数与x轴的交点，它是函数的一个重要特征。
二、零点问题的解答方法1. 代数法：对于一些简单的函数，我们可以通过代数方法求解其零点。
比如一元一次函数f(x)=ax+b，其零点就可以通过求解方程ax+b=0来得到，结果为x=-b/a。
对于一元二次函数f(x)=ax^2+bx+c，我们可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来得到其零点，当然这需要使用一些二次方程的求解方法。
2. 图像法：对于一些复杂的函数，我们可以通过画出函数的图像来寻找其零点。
通过观察函数的图像，我们可以大致找到函数的零点所在的区间，并进一步使用数值计算方法来精确求解。
3. 数值计算法：对于一些难以用代数法或图像法求解的函数，我们可以借助数值计算方法来获取函数的零点。
比如二分法、牛顿迭代法等都可以用来求解函数的零点，这些方法在计算机程序中也得到了广泛的应用。
以上提到的几种方法是我们在解答零点问题时常用到的方法，每种方法都有其适用的范围和局限性，需要根据具体的函数和问题来选择合适的方法。
三、零点问题的思考路径除了使用合适的方法来解答零点问题，我们在面对零点问题时还需要进行一些思考和分析。
下面就是一些解答零点问题时的思考路径：1. 函数的特征：首先我们需要了解函数的特征，比如函数的单调性、凹凸性、导数的符号等。
函数零点问题的求解路径分析
２０２３年８月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀函数零点问题的求解路径分析◉江苏省溧阳中学㊀韩㊀俊㊀㊀摘要:含参的函数零点讨论问题,是近些年来函数压轴的常见题型,本文中借此题型分享了几个含参函数零点问题的解题感悟,找到了使得函数值异号的点大致的三种路径．路径一,分离出代数式中已经能判定符号的式子,将剩余部分视作零 ,通过解方程找到所需定号的 点 ;路径二,利用自变量取值范围将某些超越式放缩为常数;路径三,利用y ＝e x 在x ＝０处的切线进行放缩,也即利用e x ȡx ＋１及其变形式进行放缩．关键词:函数找 点 ;定号;放缩㊀㊀众所周知,极限与导数(微积分)紧密相关,很多导数问题与极限思想都息息相关．苏教版教材在高中数学课程中不涉及极限的知识,这给很多涉及导数的函数问题的求解带来了重重困难．例如,含参的函数零点讨论问题,这是近些年来函数压轴的常见题型,笔者就借此题型来分享几个含参函数零点问题的解题感悟．１引例讨论f (x )＝xex －a x ＋１的零点个数．１．１分析初见此题,感觉数形结合较为容易．由于x ＝０不是函数的零点,故分离参数之后,问题等价转化为方程的根的个数问题．令xex －a x ＋１＝０,则有１e x ＋１x＝a ．①图１数形结合,如图１我们发现:当a ɤ０时,方程①仅有一解,即f (x )＝xex －a x ＋１有一个零点;当a ＞０时,方程①有两解,即f (x )＝xex －a x ＋１有两个零点．再细想,一来学生对函数图象的趋势(极限思想)不一定能准确把握,二来作为解答题,这样的解答似乎略显苍白,因此,需要用文字和数学表达式来准确证明上面的结论,即用零点存在定理来证明零点的存在性．那么,如何取点就变成了学生解决此题的难点．许多学生 为题消得人憔悴 ,但依旧不得．重新审视此题,笔者略谈一二,希望能够给此类题型提供一些解题思路．１．２解析首先考虑特值:当a ＝０时,若x ȡ０,则f (x )＞０恒成立,故f (x )无正数零点;若x ＜０,则f ᶄ(x )＝１－xex＞０恒成立,即f (x )在(－ɕ,０)上单调增,又f (－１)＝１－e＜０,f (－１２)＝－e２＋１＞０,所以f (x )在(－ɕ,０)上仅有一个零点．故a ＝０时,f (x )＝xex －a x ＋１有一个零点．再考虑非特值:由于x ＝０不是函数f (x )的零点,故分离参数后可等价转化为g (x )＝１e x ＋１x －a 的零点个数问题．因为g ᶄ(x )＝－１e x －１x２＜０恒成立,所以函数g (x )在(－ɕ,０),(０,＋ɕ)上单调递减．(i )a ＜０时,若x ＞０,则g (x )＞０恒成立,故g (x )无正零点;若x ＜０,则g(１a )＝１e１a＞０．取x ０＝m a x {－１,１a －e },则g (x ０)ɤe －a ＋１x ０ɤ０．故g(１a)g (x ０)ɤ０,此时g (x )在定义域内仅有一个零点,即f (x )仅有一个零点．１７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年８月上半月㊀㊀㊀(ⅱ)a ＞０时,g (x )＝１e x ＋１x－a ．若x ＞０,则g(１a )＝１e１a＋a －a ＝１e１a＞０,g(２a )＝１e２a ＋a ２－a ＜a ２＋a２－a ＝０．故g (１a ) g (２a)＜０,此时g (x )在(０,＋ɕ)内仅有一个零点,即f (x )在(０,＋ɕ)内仅有一个零点．若x ＜０,g (－１２)＝e－２－a ＜０,且g (－a ＋a ２＋４２)＞－(－a ＋a ２＋４２)＋１－a ＋a ２＋４２－a ＝０．故g (－１２)g (－a ＋a ２＋４２)＜０,此时g (x )在(－ɕ,０)内仅有一个零点,即f (x )在(－ɕ,０)内仅有一个零点．综上:当a ɤ０时,f (x )＝xex －a x ＋１有一个零点;当a ＞０时,f (x )＝x ex －a x ＋１有两个零点．１．３总结从上述解题过程看,找到使得函数值异号的点大致可以选择以下三种路径．路径一:把代数式中已经能判定符号的式子取出,再将剩余部分视作 零 ,通过解方程找到所需定号的 点 ．例如上例中,在a ＜０时,若x ＜０,则g (x )＝１e x ＋１x －a 中１e x 的符号已经能够判定为正,则只需将剩余的 １x －a 视为零,从而找到所需的 点 ,即g(１a )＝１e＋a －a ＝１e１a＞０．路径二:利用自变量取值范围将某些超越式放缩为常数,将超越式不等式放缩为分式不等式或多项式不等式,通过解不等式找到所需定号的 点 ．例如上例中,在a ＜０时,若x ＜０,则g (x )在(－ɕ,０)上单调递减,在g (x )＝１e x ＋１x －a 中,当x ɪ[－１,０)时,１ex ɪ(１,e ],不妨取x ０＝m a x {－１,１a －e},则g (x ０)ɤe －a ＋１x ０ɤ０．路径三:利用y ＝e x在x ＝０处的切线进行放缩(即利用e xȡx ＋１及其变形式进行放缩),将所有的超越式放缩为分式或多项式,将所求不等式转化为分式不等式或多项式不等式进行求解,找到所需定号的 点 ．例如上例中,a ＞０时,g (x )＝１e x ＋１x－a ,当x ＞０时,利用e xȡx ＋１进行放缩,即由e x＞x 得到e ２a＞２a ,又因为e ２a＞２a ＞０,则１e ２a ＜a ２,故g (２a )＝１e２a ＋a ２－a ＜a ２＋a ２－a ＝０;a ＞０时,g (x )＝１e x ＋１x－a ,当x ＜０时,利用e x ȡx ＋１进行放缩,即由e x＞x 得e －x＞－x ,则g (x )＞－x ＋１x －a ＝－x ２＋a x －１x＝－(x －－a ＋a ２＋４２)(x －－a －a ２＋４２)x,故不妨取x ＝－a ＋a ２＋４２,有g (－a ＋a ２＋４２)＞０．２三种路径在压轴题中应用经过上题的研究,笔者有些 众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在,灯火阑珊处 之感．下面利用这三种路径来解决如下高考压轴题．[２０２２ 全国乙卷(文)２０题]已知函数f (x )＝a x －１x－(a ＋１)l n x ．若f (x )恰有一个零点,求a 的取值范围．解析:由f (x )＝a x －１x－(a ＋１)l n x ,x ＞０,得f ᶄ(x )＝a ＋１x ２－a ＋１x ＝(a x －１)(x －１)x２．当a ɤ０时,a x －１ɤ０．所以,当x ɪ(０,１)时,f ᶄ(x )＞０,f (x )单调递增;当x ɪ(１,＋ɕ)时,f ᶄ(x )＜０,f (x )单调递减．故f (x )m a x ＝f (１)＝a －１＜０,此时函数f (x )无零点,不合题意．当０＜a ＜１时,１a ＞１,f (x )在(０,１),(１a,＋ɕ)上单调递增;f (x )在(１,１a)上单调递减．又因为f (１)＝a －１＜０,所以存在m ＝a ＋１＋(a ＋１)２＋aa＞１,使得f (m )＞０．(下转封三)２７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
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谈含参函数零点问题的解题策略
摘要：含参函数零点问题一直是高考热点和难点，全国卷中常常均导数压轴题
形式出现，对大部分学生而言有一定的难度。
本文主要针对此类问题举例说明两
种方法：直接法和参变分离法，让学生有迹可循，进而达到落实数学核心素养的
目的。
关键词：直接法参变分离法导数零点问题含参函数
导数及其应用一直是高考的重点与难点，尤其是含参函数的零点问题[1-3]，一般
以基本初等函数为载体，考察函数的单调性，函数的零点存在性定理及指数函数、幂函数、对数函数的增长速度，难度较大，解题时要熟练运用导数与函数单调性
的关系，注重函数与方程化归、分类讨论及数形结合等思想方法的应用。
针对导数压轴题中的含参函数零点问题，本文将用两道例题来说明两种常用方法：直接法和参变分离法，例一是已知零点情形求参数范围，例二是直接求解函数零
点个数，其中例一选自2018年全国卷理科Ⅱ卷21题第二问，例二选自2018年
广一模理科21题第一问。
直接法是通过对参量进行分类讨论直接分析所求函数
的单调性、极值、最值和极限，大致确定函数的图象进而分析函数的零点个数。
参变分离法则是利用函数与方程思想把参数和变量进行分离，得到一个不含参的
函数和常函数，通过分析不含参函数的大概走势，进而确定不含参函数与常函数
交点个数，从而解决原函数的零点问题。
在采用这两种方法求解时，我们利用极
限思想降低计算复杂度。
虽然在高中数学没有涉及极限的计算方法，但是人教A
版选修2-2中提到了极限的思想，所以我们根据指数函数、幂函数、对数函数增
长速度来求一些简单函数的极限来确保函数在某些区间满足零点存在性定理。
本
文将通过对这两道例题讨论分析说明两种求解方法，让学生有迹可循，进而达到
落实数学核心素养的目的。
通过上述两个例题的详细解析，我们可以直观感受到两种方法的特点。
直接法解
决零点问题时，是直接对所研究函数进行分析，求其单调性、极值、最值，并且
根据指数函数、幂函数、对数函数增长速度求函数的极限，从而大致确定函数的
图象，进而分析函数的零点。
采用直接法可以对所求函数有更全面的认识，如果
零点问题作为导数压轴题第一问，采用直接法在回答第二问时就避免再次分析函数，相比参变分离法就有较大优势。
参变分离法求解含参函数零点问题时，首先
根据函数与方程思想，把问题转化成直线与不含参数的函数图象交点问题，然后
通过分析不含参函数的单调性、极值、最值和极限确定它的大致图象，从而判断
直线与其交点个数。
根据上述例题可以发现参变分离后只需分析不含参函数的性质，相比直接法在分析函数时更简单，所以单纯求解零点问题时参数分离法更具
优势。
在采用这两种方法求解时，我们采用了极限的思想分析函数的走势，避免
了对含参函数取点判断函数值正负以使其满足函数零点存在性定理，从而大大降
低了计算复杂度。
综上所述，针对含参函数零点问题，本文采用了直接法和参变分离法进行解决，
对于不同的情况，两种方法各有优势。
如果零点问题作为第一问，优先采用直接法；如果零点问题为第二问，优先采用参变分离法会更简单些。
针对不同情况，
采用不同方法，可以取得事半功倍的效果。
参考文献
[1] 段伟军.一道含参零点问题课堂教学展示与拓展[J].中学数学研究,2018(03):15-17.
[2] 张慧.函数零点变化多端妙借导数巧解无忧[J].高中数理化,2018(03):19-20.
[3] 吴志鹏.两类函数零点问题的解答策略[J].数理化学习(高中版),2018(01):28-30.。