函数含参问题
函数中一类含参问题的探究
一热身练习
1已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数的取值范围是 A (][)∞+?
-∞-,33, B ]3,3[- C ()()∞+?-∞-,33, D )3,3(-
二.利用导数探究三次函数，)0(23≠+++=a d cx bx ax
y 图像
2若32
()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 上是增函数，则,,a b c 的关系式为是
3函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为________ 4 已知函数x ax x x f 3)(23-+=
（1）若0)1('=f ,当b x ax x x g +-+=3)(2
3恰有1个零点，求b 的取值范围.
（2）若0)1('=f ,关于x 的方程 k x f =)(有3个不等实根，求 k 的取值范围.
三 拓展作业
5、设函数321(),3
f x x ax ax =--2()24
g x x x c =++ （1）试问函数()f x 能否在1x =-是取得极值？说明理由； （2）若1a =-，当[3,4]x ∈-
时，函数()f x 与()g x 的图像有两个公共点，求c 的取值范围。
6、已知函数ax x x x f ++=1
ln )(（a 为实数）.
（I ）当0=a 时， 求)(x f 的最小值；
（II ）若)(x f 在),2[+∞上是单调函数，求a 的取值范围.
谈含参函数零点问题的解题策略
谈含参函数零点问题的解题策略 摘要：含参函数零点问题一直是高考热点和难点，全国卷中常常均导数压轴题 形式出现，对大部分学生而言有一定的难度。本文主要针对此类问题举例说明两 种方法：直接法和参变分离法，让学生有迹可循，进而达到落实数学核心素养的 目的。 关键词：直接法参变分离法导数零点问题含参函数 导数及其应用一直是高考的重点与难点，尤其是含参函数的零点问题[1-3]，一般 以基本初等函数为载体，考察函数的单调性，函数的零点存在性定理及指数函数、幂函数、对数函数的增长速度，难度较大，解题时要熟练运用导数与函数单调性 的关系，注重函数与方程化归、分类讨论及数形结合等思想方法的应用。 针对导数压轴题中的含参函数零点问题，本文将用两道例题来说明两种常用方法：直接法和参变分离法，例一是已知零点情形求参数范围，例二是直接求解函数零 点个数，其中例一选自2018年全国卷理科Ⅱ卷21题第二问，例二选自2018年 广一模理科21题第一问。直接法是通过对参量进行分类讨论直接分析所求函数 的单调性、极值、最值和极限，大致确定函数的图象进而分析函数的零点个数。 参变分离法则是利用函数与方程思想把参数和变量进行分离，得到一个不含参的 函数和常函数，通过分析不含参函数的大概走势，进而确定不含参函数与常函数 交点个数，从而解决原函数的零点问题。在采用这两种方法求解时，我们利用极 限思想降低计算复杂度。虽然在高中数学没有涉及极限的计算方法，但是人教A 版选修2-2中提到了极限的思想，所以我们根据指数函数、幂函数、对数函数增 长速度来求一些简单函数的极限来确保函数在某些区间满足零点存在性定理。本 文将通过对这两道例题讨论分析说明两种求解方法，让学生有迹可循，进而达到 落实数学核心素养的目的。 通过上述两个例题的详细解析，我们可以直观感受到两种方法的特点。直接法解 决零点问题时，是直接对所研究函数进行分析，求其单调性、极值、最值，并且 根据指数函数、幂函数、对数函数增长速度求函数的极限，从而大致确定函数的 图象，进而分析函数的零点。采用直接法可以对所求函数有更全面的认识，如果 零点问题作为导数压轴题第一问，采用直接法在回答第二问时就避免再次分析函数，相比参变分离法就有较大优势。参变分离法求解含参函数零点问题时，首先 根据函数与方程思想，把问题转化成直线与不含参数的函数图象交点问题，然后 通过分析不含参函数的单调性、极值、最值和极限确定它的大致图象，从而判断 直线与其交点个数。根据上述例题可以发现参变分离后只需分析不含参函数的性质，相比直接法在分析函数时更简单，所以单纯求解零点问题时参数分离法更具 优势。在采用这两种方法求解时，我们采用了极限的思想分析函数的走势，避免 了对含参函数取点判断函数值正负以使其满足函数零点存在性定理，从而大大降 低了计算复杂度。 综上所述，针对含参函数零点问题，本文采用了直接法和参变分离法进行解决， 对于不同的情况，两种方法各有优势。如果零点问题作为第一问，优先采用直接法；如果零点问题为第二问，优先采用参变分离法会更简单些。针对不同情况， 采用不同方法，可以取得事半功倍的效果。 参考文献 [1] 段伟军.一道含参零点问题课堂教学展示与拓展[J].中学数学研究,2018(03):15-17.
利用导数解决函数零点问题
利用导数解决函数零点问题(第二轮大题) 这是一类利用导数解决函数零点的问题,解决这类问题的一般步骤是:转化为所构造函数的零点问题(1)求导分解定义域(2)导数为零列表去,(先在草稿纸进行)(3)含参可能要分类 (4)一对草图定大局(零点判定定理水上水下，找端点与极值点函数值符号) 目标:确保1分,争取2分,突破3分. (一)课前测试 1.(2015年全国Ⅰ卷,21)设函数x a e x f x ln )(2-=. (1)讨论)(x f 的导函数)(x f '零点的个数; (二)典型例题 2.(2017年全国Ⅰ卷,21)已知函数 e a ae x f x x -+=)2()(2(2)若0>a 且)(x f 有两个零点,求a 的取值范围. 注： ①求导分解定义域，这1分必拿， )0)(2(1 )(2>-= 'x a xe x x f x ②草稿纸上令0)(='x f ，构造函数)0(2)(>-=x a xe x g x ，重复上面步骤， 042)(22>+='x x xe e x g ， )(x g 在),0(+∞递增 ③草图 a g -=)0(， +∞→+∞→)(x g x 时。 一定要用零点判定定理确定零点个数 ④综上所述送1分. )(x f ' )(x f
(三)强化巩固 3.(2017年全国Ⅱ卷,21)(2)证明:x x x x x f ln )(2 --=存在唯一 的极大值点0x ,且202 2)(--< 函数与方程的含参零点问题 ?方法导读 函数与方程问题常以基本初等函数或分段函数为载体,考查函数零点的存在区间、确定零点的个数、参数的取值范围、方程的根或函数图象的交点等问题.函数与方程不仅考查考生计算、画图等方面的能力,还考查考生函数与方程、数形结合及转化化归等数学思想的综合应用.在解决函数零点问题时,既要注意利用函数的图象,也要注意根据函数的零点存在性定理、函数的性质等进行相关的计算,把数与形紧密结合起来. ?高考真题 【·天津卷理·】已知,函数,若关于的方程 恰有个互异的实数解,则的取值范围是______. ?解题策略 本题属于分段函数的零点问题,所以需要分类讨论: 当时,由,推出, 当时,由,推出, 再分别画出它们的图象,由图象可知, 当直线和的图象有两个不同的交点,而直线和 的图象无交点时满足条件. ?解题过程 当时,由,得, 当时,由,得, 令,作出直线,函数的图象如图所示, 的最大值为,由图象可知,若恰有个互异的实数解,则 ,得. ?解题分析 1.求函数零点问题,是高考试卷中的热点问题,这类问题要通过学生的直观想 象能力,画出函数图象求解比较直观、易理解; 2.本题由求解问题,通过变形转化为求和 的问题,然后通过图象可以顺利求解; 3.分类讨论思想贯穿整个高中阶段的数学学习中,在每年的高考试卷做题中都 会出现,尤其是解决综合题型时,很多学生不知道该如何分类讨论,所以学生在 平时的训练中要有意识的加以培养和应用. ?拓展推广 1.判断函数零点个数的常见方法 (1)直接法:解方程,方程有几个解,函数就有几个零点; (2)图象法:画出函数的图象,函数的图象与轴的交点个数即为函数的零点个数; (3)将函数拆成两个常见函数和的差,从而 ,则函数的零点个数即为函数与函数 的图象的交点个数; (4)二次函数的零点问题,通过相应的二次方程的判别式来判断. 2.判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 (1)解方程,当对应方程易解时,可通过解方程,看方程是否有根落在给定区间 上; (2)利用零点存在性定理进行判断; (3)画出函数图象,通过观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断. 3.已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 (1)把函数零点问题转化为方程根的问题 利用函数的零点方程的根,把求函数零点的相关问题转化为求方程根的问题,通过方程的根所满足的条件建立不等式来解决问题. (2)把函数零点问题转化为函数图象与坐标轴的交点问题 利用函数的零点函数的图象与轴的交点,把函数零点的相关问题转化为图象与坐标轴的交点问题,再利用数形结合的思想方法来解决问题. (3)把零点问题分离变量后转化为函数值域问题 将函数零点问题先转化为方程根的问题,然后进行变量分离,将参数分离出来转化为求函数值域问题,这种方法思路简洁,学生容易想到. (4)把函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题 2020高考数学热点难点微专题含参函数的零点问题 含参函数的零点问题常以超越方程、分段函数等为载体，达到考察函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的．要注意函数的零点、方程的根、不等式的解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键，等价转化是这类问题的难点．解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用． 例1 已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，g (x )＝????? f (x )， x ≥0，f ′(x )， x <0.若方程 g (f (x ))＝0有4个不等的实根，则a 的取值范围是________． 点评： 例2 (1) 若关于x 的方程|x 4－x 3|＝ax 在R 上存在4个不同的实根，则实数a 的取值范围为________． (2) 已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |，g (x )＝(2a －1)x ＋a ln x ，若函数y ＝f (x )与函数 y ＝g (x )的图象恰好有2个不同的交点，则实数a 的取值范围为________． 点评： 【思维变式题组训练】 1. 已知函数f (x )＝????? 2x －1， x ≥2，2， 1≤x < 2.若方程f (x )＝ax ＋1恰有一个解时，则实数a 的取值范围为________． 2. 设函数f (x )＝??? x －1e x ， x ≥a ，－x －1， x 含参函数的零点问题 含参函数的零点问题常以超越方程、分段函数等为载体，达到考察函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的．要注意函数的零点、方程的根、不等式的解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键，等价转化是这类问题的难点．解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用． 例1已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R)，g (x )＝????? f (x )， x ≥0，f ′(x )， x <0.若方程g (f (x ))＝0有4 个不等的实根，则a 的取值范围是________． 例2(1) 若关于x 的方程|x 4－x 3 |＝ax 在R 上存在4个不同的实根，则实数a 的取值范围为________． (2) 已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |，g (x )＝(2a －1)x ＋a ln x ，若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象恰好有2个不同的交点，则实数a 的取值范围为________． 思维变式题组训练 1. 已知函数f (x )＝??? 2x －1， x ≥2，2， 1≤x < 2. 若方程f (x )＝ax ＋1恰有一个解时，则实数 a 的取值范围为________． 2. 设函数f (x )＝????? x －1e x ， x ≥a ，－x －1， x 0，若关于x 的方程f (x )＝kx ＋2有且只 有4个不同解，则实数k 的取值构成的取值集合为________． 强化训练 1. 若方程ln x ＋x －4＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a 的值为________． 函数的含参零点问题 根据函数的零点情况，讨论参数的范围是高考的重点和难点．对于此类题目，我们常利用零点定理、数形结合、函数单调性与分离参数等思想方法来求解． [典例] (2014·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－1) [答案] B [思路点拨] 本题的实质是函数f (x )存在唯一的零点x 0∈(0，＋∞)，因此可利用其代数特征转化为方程有唯一的正根来构思解析，也可以从零点本身的几何特征入手，将其转化为曲线的交点问题来突破，还可以利用选项的唯一性选取特例求解． [方法演示] 法一 单调性法：利用函数的单调性求解 由已知得，a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2 a . 当a >0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )>0；x ∈????0，2a ，f ′(x )<0；x ∈2 a ，＋∞，f ′(x )>0.所以函数f (x )在(－∞，0)和2a ，＋∞上单调递增，在0，2 a 上单调递减，且f (0)＝1>0，故f (x )有小于零的零点，不 符合题意． 当a <0时，x ∈－∞，2a ，f ′(x )<0；x ∈2 a ，0，f ′(x )>0；x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0.所以函数f (x )在 －∞，2a 和(0，＋∞)上单调递减，在2 a ，0上单调递增，所以要使f (x )有唯一的零点x 0且x 0>0，只需 f 2 a >0，即a 2>4，解得a <－2. 法二 数形结合法：转化为直线与曲线的位置关系求解 由ax 3－3x 2＋1＝0可知x ≠0，可得ax ＝3－1x 2，作出y ＝3－1 x 2的图 象如图所示，转动直线y ＝ax ，显然a >0时不成立；当a <0，直线y ＝ax 与左边的曲线相切时，设切点为t,3－1 t 2，其中t <0，则切线方程为y －3－1t 2＝2t 3(x －t )．又切线过原点，则有0－3－1t 2＝2 t 3(0－t )，解得t ＝－ 2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破专题02“三招五法”轻松破解含参零点问题学案练习“三招五法”轻松破解含参零点问题 一．方法综述 函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考查函数、导数、方程与不等式等基础知识，又能考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想方法，所以此类题往往能较好地体现试卷的区分度，往往出现在压轴题的位置.正因为如此，根据函数的零点情况，讨论参数的范围成为高考的难点．对于此类题目，我们常利用零点存在定理、函数的性质，特别是函数单调性（可借助于导数）探寻解题思路，或利用数形结合思想、分离参数方法来求解．具体的，（1）分类讨论参数的不同取值情况，研究零点的个数或取值；（2）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（3）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（4）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 二．解题策略 类型一“第一招”带参讨论 f(x)=,如果函数】【一中【例12018届一轮第一次检测】已知函数．m的取值范围为_____）恰有两个零点，那么实数f（x【答案】【解析】 0，和4的零点个数即可得出结论．的大小关系逐一判断分析：根据与-2 ，在上无零点，个零点若0，则在上有2符合题意； 或．∴ ．故答案为： 【指点迷津】 1 / 20． 1.根据题设要求研究函数的性质，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； 2.由于函数含有参数，通常需要合理地对参数的取值进行分类讨论，并逐一求解． 上的函数可以月月考】已知定义在【举一反三】【扬州中学2019届高三10 与一个奇函数表示为一个偶函数之和，设 无实根，则实数的取值范围是若方程_________ 【答案】【解析】 =t+2mt+m﹣m+1∴p（t）22，（t）+m﹣m+1+2mp（p（pt））=[p（t）]22m+1①无实根，（[p（t）]+2mpt）22． +m﹣=0p若p（（t））无实根，即22）．（m﹣1）（方程①的判别式△=4m﹣4m﹣m+1=4 1时，方程①无实根．＜1°当方程①的判别式△＜0，即m 时，2°当方程①的判别式△≥0，即m≥1 方程①有两个实根，②， 即只要方程②无 实根，故其判别式，③，且即得④，∵m≥1，③恒成立，由④解得m＜2，∴③④同时成立得1≤m＜2． 最全函数零点问题处理 函数中的赋值问题 ........................................... 1 第一讲 赋值的意义 ........................................ 1 第二讲 赋值的依据和方法 ................................... 4 第三讲 赋值的若干经典问题 ............................... 10 导数大题的常用找点技巧和常见模型 .......................... 15 常用的放缩公式（考试时需给出证明过程） ..................... 17 第一组：对数放缩 .......................................... 17 第二组：指数放缩 .......................................... 17 第三组：指对放缩 .......................................... 17 第四组：三角函数放缩 ...................................... 18 几个经典函数模型 .......................................... 18 导数零点不可求的四种破解策略 .............................. 22 法一:利用零点存在性定理 ................................... 22 法二:利用函数与方程思想 ................................... 23 法三:构造新的函数 ......................................... 24 法四:利用极限思想 ......................................... 25 导数压轴题之隐零点问题 .................................... 26 直击函数压轴题中零点问题 . (41) 函数中的赋值问题 第一讲 赋值的意义 函数赋值是一个热门的话题，赋值之所以“热”，是因为它涉及到函数领域的方方面面： 讨论函数零点的个数(包括零点的存在性，唯一性)；求含参函数的极值或最值；证明一类超越不等式；求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等等． 然而时下，在相当一部分学生的答卷中，甚或在一些地区的模拟试卷的标准解答中，一种以极限语言或极限观点替代赋值论证的“素描式”解题现象应予关注和纠正． 1.从一道调研试题的标准解答说起 题目1 已知函数2()e (,)x f x a x bx a b =+-∈R ． （1）略；（3）略； 《含参函数的单调性》分类讨论问题 分类讨论的三大基本点： （Ⅰ）方程0)(='x f 是否有根； （Ⅱ）若方程0)(='x f 有根，判断根是否在定义域内； （Ⅲ）若根在定义域内且有两个，需要比较根的大小。 1.讨论函数()1ln (0)2 f x ax x x a =-+≠的单调性. 2.（2015新课标2卷理科21题第一问）设函数mx x e x f m x -+=2)(，证明：)(x f 在)0,(-∞单调递减，在),0(+∞单调递增. 3.（2012年新课标文科21题第一问）讨论函数()2x f x e ax =--，a R ∈的单调性. 4.（2014年四川高考题文理第一问改编）讨论函数()[]2,0,1x f x e ax x =-∈，a R ∈的单调性. 5.（2015年新课标Ⅱ卷文科21题第一问）讨论函数，a R ∈的单调性. 6.（2014新课标2卷理科21题）已知函数x e e x f x x 2)(--=- （1）讨论)(x f 的单调性； （2）设)(4)2()(x bf x f x g -=，当0>x 时，0)(>x g ，求b 的最大值. 7（2007高考山东理科卷改编） 设函数()()2 ln 1f x x a x =++，其中a R ∈，求函数()f x 的单调区间. 8.（2007新课标卷理科21题）设函数2)ln()(x a x x f ++= （1）讨论)(x f 讨论的单调性 （2）若)(x f 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于2 ln e ()()ln 1f x x a x =+- 函数零点个数问题赏析 近年高考试卷中的N型函数零点个数问题赏析 近些年来，有不少的N型函数零点个数问题出 现在不同年份、不同省区与全国的高考试卷中，这不能不成为高考的热门话题和需要我们研究并指导高三学生进行科学备考的一个重点内容。什么是N型函数零点个数问题呢，就是含参函数() =在其定义 y f x 域内连续可导，有两个极值点 x、2x并将其定义域分 1 成三个单调区间，通常是“增减增”或“减增减”， 在此条件的基础上，方程()0 =的根的个数与 f x m f x=或() 参数取值范围相关的问题。这里注意：函数() =在 y f x 其靠近定义域两端点时，函数值会很大或很小（即一端足够大，大于极大值；一端足够小，小于极小值）。 N型函数有哪些呢？一可能是三次函数32 =+++(0) f x ax bx cx d () a≠，二可能是函数2 =+++(0) f x ax bx x t ()ln() a≠，它们在定义域内都必须有两个极值点。 例1、（2006年福建高考卷）已知函数2 f x x x =-+， ()8 =+。 g x x m ()6ln （Ⅰ）求f(x)在区间[,1] t t+上的最大值()h t； （Ⅱ）是否存在实数m，使得() = y f x y g x =的图象与()的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。 解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）构作函数 2()()()86ln x f x g x x x x m ?=-=-++，0x >； 求导得： 22862(1)(3) '()x x x x x x x ?-+--== ，0x >，函数单调 性与极值列表如下： x (0,1) 1 (1,3) 3 (3,)+∞ '()x ? + 0 - 0 + ()x ? Z 7m ?=-极大 ] 6ln 315m ?=+-极小 Z 依题意，转化为函数()x ?图象与x 轴的交点为3时 情形，当x 充分接近0时，()0x ?<，当x 充分大时，()0x ?>，为此有：70 7156ln 3 6ln 3150 m m m ?? =->??<<-? =+- 1 / 21 2021高考数学压轴题命题区间探究与突破专题 第一篇 函数与导数 专题02 “三招五法”，轻松破解含参零点问题 一．方法综述 函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考查函数、导数、方程与不等式等基础知识，又能考查分类讨论、数的性质，特别是函数单调性（可借助于导数）探寻解题思路，或利用数形结合思想、分离参数方法来求解．具体的，（1）分类讨论参数的不同取值情况，研究零点的个数或取值；（2）利用零点存在的判定定理构建不等式形结合、转化与化归等思想方法，所以此类题往往能较好地体现试卷的区分度，往往出现在压轴题的位置.正因为如此，根据函数的零点情况，讨论参数的范围成为高考的难点．对于此类题目，我们常利用零点存在定理、函数求解；（3）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（4）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 二．解题策略 类型一 “第一招”带参讨论 【例1】【2020·福建福州期末】已知函数()()2224x x f x x x a e e --+=--+有唯一零点， 则a =（ ） A ．12 - B ．-2 C ．12 D ．2 【答案】B 【解析】因为函数()()222 4x x f x x x a e e --+=--+有唯一零点， 2 / 21 等价于方程()222 4x x x x a e e --+-=+有唯一解， 等价于函数24y x x =-的图像与()2 2x x y a e e --+=+的图像只有一个交点. 当0a =时，()2 24244y x x x =-=--≥-，此时有两个零点，矛盾； 当0a >时，由于()2 2424y x x x =-=--在(),2-∞单调递减，在()2,+∞单调递增， 且()2 2x x y a e e --+=+在(),2-∞单调递减，在()2,+∞单调递增， 所以函数24y x x =-的图像最低点为()2,4-， ()22x x y a e e --+=+的图像的最低点为()2,2a ，由于204a >>-， 故两函数图像有两个交点，矛盾， 当0a <时，由于()2 2424y x x x =-=--在(),2-∞单调递减，在()2,+∞单调递增， 且()2 2x x y a e e --+=+在(),2-∞单调递增，在()2,+∞单调递减， 所以函数24y x x =-的图像最低点为()2,4-， ()22x x y a e e --+=+的图像的最高点为()2,2a ， 若两函数只有一个交点，则24a =-，即2a =-.故选B 【指点迷津】 1.根据题设要求研究函数的性质，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； 2.由于函数含有参数，通常需要合理地对参数的取值进行分类讨论，并逐一求解． 【举一反三】【2020河北邯郸期末】已知函数()2x f x me x m --=有两个零点，则m 的取值范围是( ) A ．(0,)+∞ B ．(,0)-∞ C ．(0,1) D ．1 (0,)e 【答案】A 第 10 炼函数零点的个数问题 一、知识点讲解与分析： 1、零点的定义：一般地，对于函数y f x x D ，我们把方程f x 0的实数根x 称 为函数y f x x D 的零点 2、函数零点存在性定理：设函数f x 在闭区间a,b 上连续，且f a f b 0 ， 那么在开区间a,b 内至少有函数f x 的一个零点，即至少有一点x0a,b ，使得 f x 0 。 （1）f x 在a,b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （ 2）零点存在性定理中的几个“不一定” （假设f x 连续） ① 若f a f b 0 ，则f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若f a f b 0 ，那么f x 在a,b 不一定有零点 ③ 若f x 在a,b 有零点，则 f a f b 不一定必须异号 3、若f x 在a,b 上是单调函数且连续，则f a f b 0 f x 在a,b 的零点唯一 4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系 设函数为y f x ，则f x 的零点即为满足方程f x 0的根，若f x g x h x , 则方程可转变为g x h x ，即方程的根在坐标系中为g x ,h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。 由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵 活转化。（详见方法技巧） 二、方法与技巧： 1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构 造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。例如：对 函数隐性零点问题 近年高考压轴题中，用导数研究函数的单调性、极值、最值及不等式问题成为命题趋势。用导数解决函数综合问题，最终都会归结于函数的单调性的判断，而函数的单调性又与导函数的零点有着密切的联系，可以说函数的零点的求解或估算是函数综合问题的核心。 函数的零点是高中数学中的一个极其重要的概念，经常借助于方程、函数的图象等加以解决。根据函数的零点在数值上是否可以准确求出，我们把它分为两类：一类是在数值上可以准确求出的， 不妨称之为显性零点；另一类是依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点。 1.不含参函数的隐性零点问题 已知不含参函数)(x f ，导函数方程0)('=x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则：①有关系式0)('0=x f 成立，②注意确定0x 的合适范围. 2.含参函数的隐性零点问题 已知含参函数),(a x f ，其中a 为参数，导函数方程0),('=a x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则：①有关系式0)('0=x f 成立，该关系式给出了a x ,0的关系，②注意确定0x 的合适范围，往往和a 的范围有关. 题型一 求参数的最值或取值范围 例1（2012年全国I 卷）设函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣2． （1）求f （x ）的单调区间； （2）若a=1，k 为整数，且当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x+1＞0，求k 的最大值． 解析：（1）（略解）若a≤0，则f ′（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增； 若a ＞0，则f （x ）的单调减区间是（﹣∞，lna ），增区间是（lna ，+∞）． （2）由于a=1，所以（x ﹣k ）f′（x ）+x+1=（x ﹣k ）（e x ﹣1）+x+1． 故当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x+1＞0等价于k ＜1 1-+x e x +x （x ＞0）（*）， 令g （x ）=1 1-+x e x +x ，则g′（x ）=2)1()2(---x x x e x e e ，而函数f （x ）=e x ﹣x ﹣2在（0，+∞）上单调递增，①f （1）＜0，f （2）＞0，所以f （x ）在（0，+∞）存在唯一的零点．故g ′（x ） 在（0，+∞）存在唯一的零点．设此零点为a ，则a①（1，2）．当x∈（0，a ）时， 二 次函数零点问题 【探究拓展】 探究1：设21,x x 分别是实系数一元二次方程02=++c bx ax 和02 =++-c bx ax 的一个根，且 ,0,2121≠≠x x x x 求证：方程 02 2 =++c bx x a 有且仅有一根介于21,x x 之间. 变式1：已知函数f (x )＝ax 2＋4x ＋b (a <0，a 、b ∈R)，设关于x 的方程f (x )＝0的两实根为 x 1、x 2，方程f (x )＝x 的两实根为α、β. （1）若|α－β|＝1，求a 、b 的关系式； （2）若a 、b 均为负整数，且|α－β|＝1，求f (x )的解析式； （3）若α<1<β<2，求证：(x 1＋1)(x 2＋1)<7. 变式2：二次函数2()f x ax bx c =++满足0,0,0,a c a b c ><++=且方程()f x a =-有实根. （1）求证：函数()f x 在(0,)+∞上是增函数. （2）设函数()()g x f x bx =+的零点为1x 和2x ，求证：12||2x x -≥. 变式3：设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a 2，3a >2c >2b ，求证： （1）a >0且－3且(1)2 a f =-. （1）求证：函数()f x 有两个零点； （2）设12,x x 是函数()f x 的两个零点，求 12x x -的取值范围； （3）求证：函数()f x 的零点12,x x 至少有一个在区间()0,2内. 探究2：已知方程x b x a bx =+-21 2有两个不相等的实数根. （1）求 a b 的取值范围； （2）求证：函数1)(2 ++=bx ax x f 在区间()1,1-上是单调函数. 近年高考试卷中的N 型函数零点个数问题赏析 近些年来，有不少的N 型函数零点个数问题出现在不同年份、不同省区与全国的高考试卷中，这不能不成为高考的热门话题和需要我们研究并指导高三学生进行科学备考的一个重点内容。什么是N 型函数零点个数问题呢，就是含参函数()y f x =在其定义域内连续可导，有两个极值点1x 、2x 并将其定义域分成三个单调区间，通常是“增减增”或“减增减”，在此条件的基础上，方程()0f x =或()f x m =的根的个数与参数取值范围相关的问题。这里注意：函数()y f x =在其靠近定义域两端点时，函数值会很大或很小（即一端足够大，大于极大值；一端足够小，小于极小值）。 N 型函数有哪些呢？一可能是三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠，二可能是函数 2()ln()f x ax bx x t =+++(0)a ≠，它们在定义域内都必须有两个极值点。 例1、（2006年福建高考卷）已知函数2()8f x x x =-+，()6ln g x x m =+。 （Ⅰ）求f (x )在区间[,1]t t +上的最大值()h t ； （Ⅱ）是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。 解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）构作函数2()()()86ln x f x g x x x x m ?=-=-++，0x >； 求导得：22862(1)(3) '()x x x x x x x ?-+--==，0x >，函数单调性与极值列表如下： 依题意，转化为函数()x ?图象与x 轴的交点为3时情形，当x 充分接近0时，()0x ?<，当x 充分大时，()0x ?>，为此有：707156ln 36ln 3150m m m ??=->? ?<<-?=+- 函数零点问题 1.(2014课标卷 1.12）已知函数3 2 ()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且 00x >，则a 的取值范围是 （A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞- 2.(2014北京6.）已知函数()26 log f x x x = -，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ 3. （ 2014 重 庆 10. ） 已 知 函 数 ] 1,1)()(,]1,0(,]0,1(,311 )(---=??? ??∈-∈-+=在（且m mx x f x g x x x x x f 内有且仅有两个不同的零 点，则实数m 的取值范围是（ ） A.]21,0(]2,4 9(?-- B.] 21,0(]2,411(?-- C.]32,0(]2,4 9(?-- D.] 32 ,0(]2,411(?-- 4.（2014天津14.）已知函数()?????>-≤++=0,2 20 ,452 x x x x x x f 若函数x a x f y -=)(恰有4个零 点，则实数a 的取值范围为_______ 5.（2014湖北9.）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -. 则函数()()+3g x f x x =-的零点的集合为 A. {1,3} B. {3,1,1,3}-- C. {23} D. {21,3}- 6.（2014福建15.）函数()???>+-≤-=0 ,ln 620 ,22x x x x x x f 的零点个数是_________ 7.（2014湖南21.）已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>. （1）求()f x 的单调区间； （2）记 i x 为()f x 的从小到大的第(*)i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有 2020高考数学压轴题命题区间探究与突破专题 第一篇 函数与导数 专题02 “三招五法”，轻松破解含参零点问题 一．方法综述 函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考查函数、导数、方程与不等式等基础知识，又能考查分类讨论、数的性质，特别是函数单调性（可借助于导数）探寻解题思路，或利用数形结合思想、分离参数方法来求解．具体的，（1）分类讨论参数的不同取值情况，研究零点的个数或取值；（2）利用零点存在的判定定理构建不等式形结合、转化与化归等思想方法，所以此类题往往能较好地体现试卷的区分度，往往出现在压轴题的位置.正因为如此，根据函数的零点情况，讨论参数的范围成为高考的难点．对于此类题目，我们常利用零点存在定理、函数求解；（3）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（4）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 二．解题策略 类型一 “第一招”带参讨论 【例1】【2020·福建福州期末】已知函数()( )2 2 24x x f x x x a e e --+=--+有唯一零点，则a =（ ） A ．1 2 - B ．-2 C ． 12 D ．2 【答案】B 【解析】因为函数()( )2 2 24x x f x x x a e e --+=--+有唯一零点， 等价于方程( )2 2 24x x x x a e e --+-=+有唯一解， 等价于函数2 4y x x =-的图像与( )2 2x x y a e e --+=+的图像只有一个交点. 当0a =时，()2 24244y x x x =-=--≥-，此时有两个零点，矛盾； 当0a >时，由于()2 2424y x x x =-=--在(),2-∞单调递减，在()2,+∞单调递增， 且( )2 2x x y a e e --+=+在(),2-∞单调递减，在()2,+∞单调递增， 所以函数2 4y x x =-的图像最低点为()2,4-， ()22x x y a e e --+=+的图像的最低点为()2,2a ，由于204a >>-， 一种确定含参函数零点区间端点的新方法 摘要 本文讨论了函数的零点问题.以近几年的高考题为例，通过构造不定方程并求其一组解，可以确定含参单调函数零点所在的区间端点. 关键词 零点；单调函数；不定方程 1 问题提出 近几年来，含参函数的零点问题在高考题中常常出现，并且一般出现在压轴题的位置.如2015年高考新课标卷Ⅰ文科第21题，命题组给出的标准答案如下： 引例1 （2015年高考新课标卷Ⅰ文科第21题（节选））已知函数()2ln x f x e a x =-，讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数. 解 ()f x 的定义域为()0,+∞，()22x a f x e x '=-.当0a ≤时，()0f x '>，()f x '没有零点；当0a >时，因为2x e 单调递增，a x -单调递增，所以()f x '在()0,+∞单调递增.又()0f a '>，当b 满足04a b <<且1 4 b <时，()0f b '<，故当0a >时，()f x '存在唯一零点. 特别在所给的“答案”中，区间端点b 是怎么来的，为什么要满足04a b << 且1 4 b <，就像“魔术师帽子里跑出来的兔子”让人摸不着头脑.显然，在规范答题时利用零点定理找到相应的区间端点是束缚学生解题的一个瓶颈.笔者翻阅了一些文献如文[]1-2，查其究竟，大多是利用放缩，把超越函数转化为可解的多项式函数，但是有时候放缩可能会比题目本身 都困难，学生也难以把握. 笔者发现一种新的方法通过构造不定方程，若能给出其一组特殊解，就可以确定零点所在区间端点或者其中一侧端点的取值，仅供大家参考.由于本文主要研究利用零点存在性定理处理问题，故默认所研究的函数均是连续函数. 2 思路来源 引例2 求函数()ln 26f x x x =+-的零点个数[]3. 这是人教A 版必修一第三章“函数的应用”第一节“函数与方程”中的一个例题.由于该函数是单调递增的，故零点至多有一个.该函数的零点问题本质上方程ln 260x x +-=的解，若把该方程看作如下的不定二元方程12ln 260x x +-=，求出一组解1x a =，2x b =，满足a b ≠且(),0,a b ∈+∞.如令11x =，23x =，则不难发现()()130f f <.笔者猜想满足上述条件的情况下，函数的零点0x 必在,a b 之间.原因如下： 不妨令a b <，并且ln 260a b +-=.由于函数()ln x x ?=和函数()26x x ψ=-都是增函数，故()()ln 2620f a a a a b =+-=-<，()ln 26ln ln 0f b b b b a =+-=->.由此可得()0,x a b ∈.函数与方程的含参零点问题
2020高考数学热点难点微专题含参函数的零点问题(3页)
专题 含参函数的零点问题
函数的含参零点问题
2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破专题02三招五法轻松破解含参零点问题学案练习
最全函数零点问题处理74页
含参函数的单调性讨论汇编
函数零点个数问题赏析
【2021高考数学压轴题】2、三招五法破解含参零点问题 (1)
高考数学专题函数零点的个数问题
导数与函数隐性零点问题教师版
二次函数零点问题
函数零点个数问题赏析
函数零点问题
专题02 “三招五法”,轻松破解含参零点问题(第一篇)(解析版)
一种确定含参函数零点区间端点的新方法