高考数学一轮复习 3.3 等比数列课件 文 新人教A版
列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk; 3.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am·an=ap·aq; 4.若等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,…是 等比数列(q≠-1).
设为 a ,a,aq,四个数可设为 a , a ,aq,aq3.
q
q3 q
三、等比中项
如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项. 即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒G2=a·b.
四、等比数列的判定方法
an1
1.定义法: an =q(n∈N+,q≠0是常数)⇔{an}是等比数列;
,∴q=1
2
.
【答案】(1)B (2) 1
2
【点评】等比数列基本量的求解关键是利用通项公式,前n 项和公式列方程求解.
变式训练1 (1)设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则 S5 等于 ( )
S2
(A)11. (B)5. (C)-8. (D)-11.
(2)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4 =1,S3=7,则S5等于 ( )
(D)- 25.
4
(2)已知在等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=
5 4
,则该数列的公比
q=
.
【分析】利用等比数列的基本量a1、q等之间的关系,根据条 件,利用合理的公式求解.
【解析】(1)∵a1+a2+a3+a4=10,a5+a6+a7+a8=5,
∴a5+a6+a7+a8=(a1+a2+a3+a4)q4,∴5=10q4,解得q4=
变式:q=
nm
an am
(n,m∈N+,n≥m).
na1(q 1),
2.前n项和Sn公式:Sn=
a1
(1
q
n
1 q
)
a1 anq 1 q
(q
1).
3.若数列{an}是等比数列,则其前n项和为Sn=a·qn+c,且a+c=0.
4.三个数或四个数成等比数列且又知道乘积时,则三个数可
立两式有( 1 +3)( 1 -2)=0,∵{an}是由正数组成的等比数列,∴q
q
q
=
1 2
,所以S5=
4
(1
1 25
1 1
)
= 31.
4
2
【答案】(1)D (2)B
题型2 等比数列性质的应用
例2 (1)已知在等比数列{an}中,a1+a2+a3=1,a4+a5+a6 =8,则a6+a7+a8的值为 ( )
§3.3 等 比 数 列 知识诠释 思维发散
一、等比数列的概念
如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比都等于同 一个常数q(q≠0),这个数列叫做等比数列,常数q称为等比数 列的公比.
二、通项公式与前n项和公式
1.通项公式:an=a1qn-1,a1为首项,q为公比; 推广形式:an=amqn-m;
(2)∵
(A)15 .
2
(B) 31.
4
(C) 33 .
4
(D) 17 .
2
【解析】(1)通过8a2+a5=0,设公比为q,将该式转化为8a2+a2q3 =0,解得q=-2,
S5 = 1 q5 =-11.
S2 1 q2
(2)由a2a4=1可得a12 q4=1,因此a1=q12 ,又因为S3=a1(1+q+q2)=7,联
1.已知x,2x+2,3x+3是一个等比数列的前三项,则其第4项等于 ()
(A)- 27 .
2
(B) 27 .
2
(C)27.
(D)-27.
【解析】由已知,(2x+2)2=x(3x+3),∴x=-4或x=-1(∵2x+2=0,舍
去),∴等比数列的前三项为-4,-6,-9,
∴a4=-
27 2
.
【答案】A
1 2
.
∵a5+a6+a7+a8=5且q4=
1 2
,∴a9+a10+a11+a12=
5 2
,
∴a13+a14+a15+a16=
5 4
,∴S16=a1+a2+a3+…+a16=15+52
+54
=745 .
(2)∵a4+a6=a1q3+a3q3=(a1+a3)q3,∴
5 4
=10·q3,∴q3= 1
8
+
2 a42
+
1 =81⇒ 1 + 2 + 1 =81.
a4a6
a32
a3a5 a52
【解析】(1)设数列{an}的公比为q,则q3=
a4 a1
a5 a2
a6 a3
=8,∴q=2.
又数列{an+an+1+an+2}也是以2为公比的等比数列,
故a6+a7+a8=(a1+a2+a3)·q5=32.
(A)32. (B)48. (C)60. (D)64.
(2)正项等比数列{an}中
1+
a2a4
2 a42
+ 1 =81,则 1 + 1 等于 (
a4a6
a3
a5
)ห้องสมุดไป่ตู้
(A) 1 . (B)3. (C)6. (D)9.
9
【分析】(1)根据等比数列的性质可以解决问题.
(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am·an=ap·aq;由已知:a21a4
a10 3
,此时 a20
a10
=q10= 3
2
,当a4
【答案】A
核心突围 技能聚合
题型1 五个基本量的有关计算 例1 (1)等比数列{an}中,已知a1+a2+a3+a4=10,a5+a6+
a7+a8=5,则数列{an}的前16项和S16为 ( )
(A)-50.
(B) 75.
4
(C) 125.
4
2.设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公 比q等于 ( )
(A)3. (B)4. (C)5. (D)6.
【解析】两式相减得,3a3=a4-a3,a4=4a3,∴q=
a4 a3
=4.
【答案】B
3.等比数列{an}中,a7·a11=6,a4+a14=5,则
a20 a10
等于
(
)
(A) 2 或 3 .
32
(C) 2 .
3
(B) 1 或 1 .
32
(D) 3 .
2
【解析】因为a7·a11=a4·a14=6,又a4+a14=5,解得a4=2,a14=3或a4=
3,a14=2,设公比为q,当a4=2,a14=3时,得q10=3
2
=3,a14=2时,同理得 a20 = 2 .
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第六章 数 列第3节 等比数列
.
只有两个同号的数,才有等比中项,并且等比中项有两个.
2.等比数列的有关公式
等比数列{an}的首项为a1,公比为q.
n-1
a
q
(1)通项公式:a = 1
.
n
(2)前n项和公式:
Sn=
( = ),
(- )
-
=
-
-
( ≠ ).
3.等比数列的常用性质
数y=cqx的图象上;当q=1时,{an}为非零常数列.
(- )
-
-
(2) Sn=
=-
n
q+
(q≠1),若设 a=
-
, 则Sn=-aqn+a(a≠0,
-
q≠0,q≠1).由此可知,数列{Sn}的图象是函数y=-aqx+a图象上一
系列孤立的点.
对于常数列的等比数列,即q=1时,因为a1≠0,
[课程标准要求]
1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和
公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有
关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.等比数列的有关概念
(1)定义:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项
(1)等比数列{an}中,所有奇数项之和S奇与所有偶数项之和S偶具有
的性质,设公比为q.
偶
①若共有2n项,则 =q;
奇
②若共有2n+1项,
奇 -
偶
=q.
(2)等比数列{an}中,Sk表示它的前k项和.有Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…也
新高考一轮复习人教A版专题三数列课件(36张)
以 2 为公差的等差数列.
(2)解：由(1)知，an＋bn＝1×12n－1(其中 n∈N*)， ③ an－bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1(其中 n∈N*)， ④ ③＋④得 an＝1×12n－21＋2n－1＝21n＋n－21，(n∈N*)， 即 bn＝12n－1－an＝12n－n＋12，(n∈N*).
[例 2]在①2Sn＝3n＋1－3，②an＋1＝2an＋3，a1＝1 这两 个条件中任选一个，补充在下列问题中并解答.
设数列{an}的前 n 项和为 Sn，若________，bn＝2na－n 6， 求数列{bn}的最大值.
解：若选择条件①，∵2Sn＝3n＋1－3， ∴2Sn＋1＝3n＋2－3， 则 2Sn＋1－2Sn＝3n＋2－3n＋1，得 2an＋1＝3·3n＋1－3n＋1＝ 2×3n＋1，则 an＋1＝3n＋1，an＝3n(n≥2)， 故当 n＝1 时，2S1＝31＋1－3 即 a1＝S1＝3，满足 an＝ 3n，∴an＝3n，bn＝2na－n 6＝2n3－n 6. 令 2n－6>0，得 n>3，bn>0，令 2n－6<0，又 n∈N*， ∴0<n<3，bn<0.
①－②得34
n k 1
c
2k＝41＋422＋423＋…＋42n－24nn－＋11，
∴
n k 1
c
2k ＝
5 9
－
6n＋5 9×4n
，
因
此
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：数列
5.等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝12，则{an}的前 8 项和为
√A.90
B.30( 2＋1)
C.45( 2＋1)
D.72
等比数列{an}中，a1＋a2＝6， a3＋a4＝(a1＋a2)q2＝12， ∴q2＝2，a5＋a6＝(a3＋a4)q2＝24， 同理a7＋a8＝48， 则{an}的前8项和a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝6＋12＋24＋48＝90.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
11.数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则有
√A.Sn＝3n－1
√B.{Sn}为等比数列
C.an＝2·3n－1
√D.an＝12·，3nn－＝2，1n，≥2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8.数列{an}中，a1＝5，a2＝9.若数列{an＋n2}是等差数列，则{an}的最大 值为
A.9
√B.11
45 C. 4
D.12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
令bn＝an＋n2，又a1＝5，a2＝9， ∴b2＝a2＋4＝13，b1＝a1＋1＝6， ∴数列{an＋n2}的首项为6，公差为13－6＝7， 则an＋n2＝6＋7(n－1)＝7n－1， ∴an＝－n2＋7n－1＝－n－722＋445，又 n∈N*， ∴当 n＝3 或 4 时，an 有最大值为－14＋445＝11.
高考数学一轮总复习 第32讲 等比数列的概念及基本运算课件 理 新人教A版
(2)由(1)知，q＝f(c)＝c＋c 1， 又 bn＝f(bn－1)，所以 bn＝bnb－n1－＋1 1， 所以b1n＝bnb－n1－＋1 1＝bn1－1＋1， 即b1n－bn1－1＝1， 故{b1n}是以首项为b11＝3，公差为 1 的等差数列， 所以b1n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即 bn＝n＋1 2.
第二十页，共62页。
① ，
【点评】运用等比数列的基本公式，将已知条件转化为关 于等比数列特征量 a1 和 q 的方程是求解等比数列问题的常 用方法，同时应注意，在使用等比数列前 n 项和公式时， 应讨论公比 q 是否等于 1.
第二十一页，共62页。
素材 (sùcái )1
已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2 是 a2 和 a4 的等差中 项，求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn.
第二十二页，共62页。
【解析】设数列{an}的公比为 q. 由题意知，2(a3＋2)＝a2＋a4， 所以 q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0， 所以 q＝2，即 an＝2·2n－1＝2n. Sn＝211－－22n＝2n＋1－2.
第二十三页，共62页。
二 等比数列(děnɡ bǐ shù liè)的判 定及证明
第四十三页，共62页。
＝22sin2α2＋si2ncαocso2sαα－cos2α ＝2sisni2nαα＋cocsoαs2α＝2tatna2nαα＋1 ＝2x2x＋1， 即 f(x)＝2x2x＋1.
第四十四页，共62页。
(2)因为 a2n＋1＝2anf(an)＝2an·2a2na＋n 1＝2a22na＋2n 1， 所以a2n1＋1＝2a22na＋2n 1＝1＋21a2n. 当 n≥2 时，a12n－2＝1＋2a1n2－1－2＝2a1n2－1－1＝12(a2n1－1－2)， 而a121－2＝2， 所以数列{a12n－2}是以 2 为首项，12为公比的等比数列．
高考第一轮复习数学：3.3 等比数列 高考数学第一轮复习教案集 新课标 人教版 高考数学第一轮复习
3.3 等比数列●知识梳理数列{a n }从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.常数叫公比.2.通项公式：a n =a 1q n －1， 推广形式：a n =a m q n －m .变式：q =mn mna a -（n 、m ∈N *）. n 项和S n =⎪⎩⎪⎨⎧≠≠--=--=).10(11)1(),1(111q q q qa a q q a q na n n 或注：q ≠1时，m n S S =mnq q --11.4.等比中项：若a 、b 、c 成等比数列，则b 为a 、c 的等比中项，且b =±ac .5.三个数或四个数成等比数列且又知积时，则三个数可设为q a 、a 、aq ，四个数可设为3qa、qa、aq 、aq 3为好. 6.证明等比数列的方法：（1）用定义：只需证nn a a 1+=常数；（2）用中项性质：只需a n +12=a n ·a n +2或n n a a 1+=12++n n a a . ●点击双基1.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是215-215-251-251-解析：设Rt △ABC 中，C =2π，则A 与B 互余且A 2B =sin A ，即cos 2A =sin A ，1－sin 2A =sin A ，解之得sin A =215-或sin A =215--（舍）.答案：B2.设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q =2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于10B.2201615解析：由等比数列的定义，a 1·a 2·a 3=（q a 3）3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30=（1030963qa a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅）3.又q =2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30=220. 答案：B3.某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为B.10解析：由题意列式（1－20%）n ＜5%，两边取对数得n ＞2lg 3112lg -+≈n ≥14.答案：C4.（2004年全国，文14）已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 10=384，则该数列的通项a n =___________________.解析：由已知得q 7=aa 10=128=27，故q =2.∴a n =a 3·q n －3=3·2n －3. 答案：3·2n －35.如下图，在杨辉三角中，从上往下数共有n （n ∈N *）行，在这些数中非1的数字之和是___________________.1 1 1 12 11 3 3 1 1 4 6 4 1……解析：观察可知，第n （n ∈N *）行中有n 个数，从左向右依次是二项式系数C 01-n ，C 11-n ，C 21-n ，…，C 11--n n ，故当n ≥3时，除了1外，第n 行各数的和为a n =C 11-n +C 21-n +…+C 21--n n =2n －1－2.又前两行全部为数字1，故前n 行非1的数字之和为a 3+a 4+…+a n =21)21(42---n －2（n －2）=2n －2n .答案：2n －2n ●典例剖析【例1】 已知等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=7，a 1a 2a 3=8，求a n . 剖析：利用等比数列的基本量a 1，q ，根据条件求出a 1和q . 解：设{a n }的公比为q ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=++,8,721112111q a q a a q a q a a 解得⎩⎨⎧==2,11q a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.21,41q a ∴a n =2n －1或a n =23－n .评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.思考讨论用a 2和q 来表示其他的量好解吗？该题的{a n }若成等差数列呢？【例2】 已知数列｛a n ｝为等差数列，公差d ≠0，｛a n ｝的部分项组成下列数列：a 1k ，a 2k ，…，a n k ，恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n .剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得a n k ，然后列方程求得k n .解：设｛a n ｝的首项为a 1，∵a 1k 、a 2k 、a 3k 成等比数列，∴（a 1＋4d ）2＝a 1（a 1＋16d ）. 得a 1＝2d ，q ＝12k k a a ＝3.∵a n k ＝a 1＋（k n －1）d ，又a n k ＝a 1·3n －1， ∴k n ＝2·3n －1－1.∴k 1＋k 2＋…＋k n ＝2（1＋3＋…＋3n －1）－n＝2×3131--n－n ＝3n －n －1.评述：运用等差（比）数列的定义转化为关于k n 的方程是解题的关键，转化时要注意：a n k 是等差数列中的第k n 项，而是等比数列中的第n 项.【例3】 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足5n a ，5n b ，51+n a 成等比数列，lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列，且a 1=1，b 1=2，a 2=3，求通项a n 、b n .剖析：由等比中项、等差中项的性质得a n +1=1+⋅n n b b 递推出a n =n n b b ⋅-1（n ≥2）. 解：∵5n a ，5n b ，51+n a 成等比数列， ∴（5n b ）2=5n a ·51+n a ，即2b n =a n +a n +1.① 又∵lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列， ∴2lg a n +1=lg b n +lg b n +1，即a n +12=b n ·b n +1.② 由②及a i ＞0，b j ＞0（i 、j ∈N *）可得 a n +1=1+⋅n n b b .③ ∴a n =n n b b 1-（n ≥2）.④将③④代入①可得2b n =n n b b ⋅-1+1+⋅n n b b （n ≥2）， ∴2n b =1-n b +1+n b （n ≥2）. ∴数列{n b }为等差数列. ∵b 1=2，a 2=3，a 22=b 1·b 2，∴b 2=29. ∴n b =2+（n －1）（29－2） =21（n +1）（n =1也成立）.∴b n =2)1(2+n .∴a n =n n b b ⋅-1=2)1(222+⋅n n =2)1(+n n （n ≥2）. 又当n =1时，a 1=1也成立. ∴a n =2)1(+n n . 评述：由S n 求a n 时要注意验证a 1与S 1是否一致.特别提示1.{a n }为等比数列是a n +12=a n ·a n +2的充分但不必要条件.2.若证{a n }不是等比数列，只需证a k 2≠a k －1a k +1（k 为常数，k ∈N ，且k ≥2）. ●闯关训练 夯实基础1.若等比数列{a n }的公比q ＜0，前n 项和为S n ，则S 8a 9与S 9a 8的大小关系是 A.S 8a 9＞S 9a 8B.S 8a 9＜S 9a 8 C.S 8a 9=S 9a 8解析：由等比数列通项公式和前n 项和公式得 S 8·a 9－S 9·a 8=－q q a --1)1(81·a 1q 3－qq a --1)1(91·a 1q 7 =q a q q q a ----1)]()[(16716821=qq q a --1)(7821=－a 12q 7.又q ＜0，则S 8·a 9－S 9·a 8＞0，即S 8·a 9＞S 9·a 8. 答案：Ar ，三年定期的年利率为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于A.1)1(3-+rB.31［（1+r ）3－1］C.（1+r ）3－1D.r解析：由题意得（1+r ）3＜1+3q ，故q ＞31［（1+r ）3－1］. 答案：B3.（2003年某某，8）若首项为a 1，公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）=___________.解析：由题意知q q a n --1)1(1＜qa-11且|q |＜1对n ∈N 都成立，∴a 1＞0，0＜q ＜1.答案：（1，21）（a 1＞0，0＜q ＜1的一组数） 4.设{a n }是首项为1的正项数列，且（n +1）a n +12－na n 2+a n +1a n =0（n ∈N *），则它的通项公式a n =___________________.解析：分解因式可得［（n +1）a n +1－na n ］·［a n +1+a n ］=0，又a n ＞0，则（n +1）a n +1－na n =0，即n n a a 1+=1+n n .又a 1=1，由累积法可得a n =n1. 答案：n1“*”对于任意非零自然数n 满足以下运算性质： （1）1*1=1；（2）（n +1）*1=3（n *1）. 试求n *1关于n 的代数式.解：“n *1”是一个整体，联想数列通项形式，设n *1=a n ，则a 1=1，a n +1=3a n ，得a n =3n－1，即n *1=3n －1.6.等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n项之和为S n ，且S n =80，S 2n =6560，求：（1）前100项之和S 100. （2）通项公式a n .解：设公比为q ，∵S 2n －S n =6480＞S n ， ∴qa n =a 1q n －1（∵a n ＞0）.①又S n =q q a n --1)1(1=80，②S 2n =qq a n --1)1(21=6560，③由①②③解得a 1=2，q =3，则（1）前100项之和S 100=13)13(2100--=3100－1.（2）通项公式为a n =2·3n －1. 培养能力7.数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1=a 1，b n =a n －a n －1（n ≥2），若a n +S n =n . （1）设=a n －1，求证：数列{}是等比数列； （2）求数列{b n }的通项公式.（1）证明：∵a 1=S 1，a n +S n =n ，∴a 1+S 1=1，得a 1=21. 又a n +1+S n +1=n +1，两式相减得2（a n +1－1）=a n －1，即111--+n n a a =21，也即n n c c 1+=21，故数列{}是等比数列.（2）解：∵c 1=a 1－1=－21， ∴=－n 21，a n =+1=1－n 21，a n －1=1－121-n . 故当n ≥2时，b n =a n －a n －1=121-n －n 21=n 21.又b 1=a 1=21，即b n =n 21（n ∈N *）.8.设数列｛a n ｝、｛b n ｝（b n ＞0，n ∈Ｎ*），满足a n ＝nb b b nlg lg lg 21+⋅⋅⋅++（n ∈Ｎ*），证明：｛a n ｝为等差数列的充要条件是｛b n ｝为等比数列.证明：充分性：若｛b n ｝为等比数列，设公比为q ，则a n ＝n q q q b n n )lg(lg 121-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+＝nq b n n n 2)1(1lg lg -+＝lg b 1＋（n －1）lg q 21，a n ＋1－a n ＝lg q 21为常数，∴｛a n ｝为等差数列. 必要性：由a n ＝nb b b nlg lg lg 21+⋅⋅⋅++得na n ＝lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n ，（n ＋1）a n ＋1＝lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n ＋1，∴n （a n ＋1－a n ）＋a n ＋1＝lg b n ＋1. 若｛a n ｝为等差数列，设公差为d ， 则nd ＋a 1＋nd ＝lg b n ＋1，∴b n ＋1＝10nd a 21+，b n ＝10d n a )1(21-+. ∴nn b b 1+＝102d 为常数. ∴｛b n ｝为等比数列. 探究创新 9.有点难度哟！ 设数列｛a n ｝，a 1＝65，若以a 1，a 2，…，a n 为系数的二次方程：a n －1x 2－a n x ＋1＝0（n ∈Ｎ*且n ≥2）都有根α、β满足3α－αβ＋3β＝1.（1）求证:｛a n －21｝为等比数列； （2）求a n ；（3）求｛a n ｝的前n 项和S n . （1）证明：∵α＋β＝1-n n a a ，αβ＝11-n a 代入3α－αβ＋3β＝1得a n ＝31a n －1＋31， ∴21211---n n a a ＝2121313111--+--n n a a ＝31为定值. ∴数列｛a n －21｝是等比数列. （2）解：∵a 1－21＝65－21＝31，∴a n －21＝31×（31）n －1＝（31）n .∴a n ＝（31）n ＋21.（3）解：S n ＝（31＋231+…+n 31)+2n ＝311)311(31--n +2n ＝21+n －n 321⨯. ●思悟小结1.深刻理解等比数列的定义，紧扣从“第二项起”和“比是同一常数”这两点.2.运用等比数列求和公式时，需对q =1和q ≠1进行讨论.3.证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法是： （1）利用定义，证明1-n na a （n ≥2）为常数； （2）利用等比中项，即证明a n 2=a n －1·a n +1（n ≥2）. ●教师下载中心 教学点睛1.等比数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应让学生熟练掌握、灵活运用.2.解决等比数列有关问题的常见思想方法：（1）方程的思想：等比数列中五个元素a 1、a n 、n 、q 、S n 可以“知三求二”； （2）分类讨论的思想：当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时为递增数列，当a 1＜0，q ＞1或a 1＞0，0＜q ＜1时为递减数列；当q ＜0时为摆动数列；当q =1时为常数列.“基本量”是解决问题的基本方法. 拓展题例【例1】 数列{a n }中，a 1=1，a n =21a n －1+1（n ≥2），求通项公式a n . 解：由a n =21a n －1+1，得a n －2=21（a n －1－2）. 令b n =a n －2，则b n －1=a n －1－2，∴有b n =21b n －1. ∴b n =21b n －1=21·21b n －2=21·21·21b n －3 =…=b 1=（21）n －1·b 1. ∵a 1=1，∴b 1=a 1－2=－1. ∴b n =－（21）n －1.∴a n =2－121-n .【例2】 已知数列{a n }中，a 1=65，a 2=3619并且数列log 2（a 2－31a ），log 2（a 3－32a ），…，log 2（a n +1－3n a ）是公差为－1的等差数列，而a 2－21a ，a 3－22a，…，a n +1－2n a 是公比为31的等比数列，求数列{a n }的通项公式. 分析：由数列{log 2（a n +1－3n a）}为等差数列及等差数列的通项公式，可求出a n +1与a n的一个递推关系式①；由数列{a n +1－2n a}为等比数列及等比数列的通项公式，可求出a n +1与a n 的另一个递推关系式②.解两个关系式的方程组，即可求出a n .解：∵数列{log 2（a n +1－3na ）}是公差为－1的等差数列， ∴log 2（a n +1－3n a ）=log 2（a 2－31a 1）+（n －1）（－1）=log 2（3619－31×65）－n +1=－（n +1），于是有a n +1－3n a =2－（n +1）.① 又∵数列{a n +1－21a n }是公比为31的等比数列，∴a n +1－21a n =（a 2－21a 1）·3－（n －1）=（3619－21×65）·3－（n －1）=3－（n +1）.于是有a n +1－21a n =3－（n +1）.②由①－②可得61a n =2－（n +1）－3－（n +1），∴a n =n 23－n 32.。
高考数学一轮复习等比数列精品课件文新人教A版
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由A1=2,A1qn+A1q2n=12, q2n+qn-6=0,则qn=2或qn=-3. 由得A1q3n+A1q4n+A1q5n =A1q3n(1+qn+q2n)=2·q3n·7=14·q3n
112 (qn=2) =
学案3 等 比 数 列
考纲解读
考向预测
填填知学情
课内考点突破
规律探究
考纲解读
1.理解等比数列的概念.
等比数列
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比 数列,并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.
{an}成等比数列，则Sm，S2m-Sm，S3m-
S2m 成等比数列 ，公比为
qm
.
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考点1 等比数列基本量的计算
［和2,80a120+年a5高=0考,则浙SS江52 卷=］设Sn为等比数列{an}的( 前n)项
A.11
B.5
C.-8
D.-11
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【分析】建立关于a1,q的方程求解.
-378 (qn=-3).
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在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条 件,利用性质,可以减少运算量,提高解题速度,常用的性 质有(1)若m+n=p+q,m,n,p,q∈N*，则aman=apaq; (2)an=amqn-m;(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比数列.