2020-2021学年福建省安溪一中三校联考高三(上)期中数学(文科)试题Word版含解析
福建省2020届高三上学期三校联考数学(文)试题Word版含解析
福建省2020届高三上学期三校联考数学（文）试题（考试时间：120分钟总分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】,故选C.点睛:集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目2. 已知，，，则A. B. C. D.【答案】A3. 已知等比数列的前项和为，且则A. B. C. D.【答案】C【解析】由等比数列可得, ,解得q=2,故选C.4. 下列说法正确的是A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”B. 命题“”的否定是“”C. 命题“若函数有零点，则“或”的逆否命题为真命题D. “在处有极值”是“”的充要条件【答案】C【解析】选项A, 命题“若，则”的否命题是“若，则”,错误;选项B, 命题“”的否定是“”,错误;选项C, 命题“若函数有零点，则“或”的逆否命题与原命题同真假, 函数有零点,即方程有解, 解得或,故原命题正确; 选项D, “在处有极值”是“”的既不充分也不必要条件,如y=在x=0处有极值,但不可导,y=在x=0处满足,但在定义域内单调递增;综上可知,选C.5. 在中，角对应的边分别为,若，，则为A. B. C. D.【答案】A6. 若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】，即,,故选D.7. 若命题“，使得”是假命题，则实数取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】命题“，使得”是假命题，则为真命题, ，解得，故选C.8. 已知,则=A. B. C. D.【答案】B【解析】由二倍角公式:= ,故选B.9. 要得到函数的图象，只需将函数的图象A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】函数,又= ,所以需将函数向右平移个单位长度,故选D.10. 函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】D【解析】函数是偶函数排除A.当时, ,可得： ,令，作出与图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点，故选：D.11. 定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则A. B.C. D.【答案】B【解析】构造函数,则,即g(x)在上单调递增,所以,即,故选B.12. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】由题意,所以周期为2, 当时，，且偶函数,即函数图象关于y轴对称,分别画出y=和y=的图象,观察可得交点个数为4个,即函数的零点个数是4个,故选C.点睛:本题考查指数函数的图象,函数的性质应用,函数零点问题,属于中档题目.解决本题的关键是要根据题中给出的奇偶性和周期性,以及部分的函数解析式画出函数在R上的图象,再把函数的零点个数问题转化为和的交点个数,考查了转化思想和数形结合思想的综合应用.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知等差数列中，是方程的两根，则_____【答案】3【解析】等差数列中, ,,故填3.14. 已知函数，则__________【答案】【解析】点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.15. 在，内角,,的对边分别为，若，且，则＝__________【答案】【解析】由正弦定理得, ,又,所以,即B为锐角, 则＝,故填.16. 已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】,解得在上恒成立,构造函数,解得x=1, 在上单调递增,在上单调递减,g(x)的最大值为g(1)=1, ,,故填.点睛:本题考查函数导数与单调性.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列中，是数列的前项和，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，求．【答案】（I）， . （II）.【解析】试题分析: （I）设等差数列的首项为，公差为，利用等差数列的通项公式和前n项和公式代入计算,求出求出首项和公差以及通项公式; （II）化简数列的通项公式,利用裂项相消法求出．试题解析:（I）设等差数列的首项为，公差为，因为所以得数列的通项公式是，（II）,，.18. 已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若在区间上的最大值与最小值的和为，求的值．【答案】（Ⅰ）．单调递增区间是（）．（Ⅱ）．【解析】试题分析: （Ⅰ）根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简函数,求出函数的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）由x的范围,求出的范围,画出正弦函数的图象,求出函数的最大值与最小值的和等于1,解出a的值.试题解析:（Ⅰ）所以．由，得．故，函数的单调递增区间是（）．（Ⅱ）因为，所以．所以．因为函数在上的最大值与最小值的和为，所以．19. 设函数，若函数在处的切线方程为．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求函数在上的最大值．【答案】(I)和. (II).【解析】试题分析: (I)根据导数的几何意义,可知函数在处的导数即为切线的斜率,又点(1, )为切点,列出方程解出a,b的值; (II)把a,b的值代入解析式,对函数求导判断单调性,根据单调区间写出函数的最值.试题解析:(I)，∵函数在处的切线方程为.∴解得所以实数的值分别为和.(II)由(I)知，，，当时，令，得，令，得,∴在[，2)上单调递增，在(2，e]上单调递减，在处取得极大值这个极大值也是的最大值. 又，所以，函数在上的最大值为.20. 如图，在四边形中，,平分,，,的面积为，为锐角.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求 .【答案】(I). (II) .【解析】试题分析: (I)在中,由三角形的面积公式可求得,再利用余弦定理求出；（Ⅱ）在中，由正弦定理求出和,根据题意平分，,在和中分别写出正弦定理,得出比例关系,求出.试题解析:(I)在中，.因为，所以.因为为锐角，所以.在中，由余弦定理得所以CD的长为.(II)在中，由正弦定理得即，解得,也为锐角..在中，由正弦定理得即①在中，由正弦定理得即②平分，由①②得，解得因为为锐角，所以 .点睛: 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.21. 已知函数 ,其中 (为自然对数的底数).（Ⅰ）讨论函数的单调性,并写出相应的单调区间；（Ⅱ）设,若函数对任意都成立,求的最大值.【答案】(I)见解析 (II) .【解析】试题分析: (I)求出,对和分别讨论单调性,求出单调区间; (II)先对参数和时分别讨论,利用特殊值检验不能恒成立,在时，由函数对任意都成立，得,即,,构造关于a的新函数,求导判断单调性求出最大值,即的最大值.试题解析:(I)因为，①当时，在恒成立，函数在上单调递增；②当时，由得，所以当时，此时单调递减；当时，此时单调递增.综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为；单调递减区间为 .(II) 由(I)知，当时，函数在R上单调递增且时， .所以不可能恒成立；当时，；当时，由函数对任意都成立，得 .因为，所以 .所以，设所以，由于，令，得.当时，，单调递增；当)时，，单调递减.所以，即，时，的最大值为.请考生从22、23两题任选1个小题作答，满分10分．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线过点且斜率为1，以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线的交点为、，求的值.【答案】（Ⅰ）为参数），（Ⅱ）．【解析】试题分析: （Ⅰ）由直线l过的点和斜率写出参数方程,根据极坐标方程和普通方程的互化公式,求出曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程与曲线的普通方程联立,根据根与系数的关系以及t的几何意义,求出的值.试题解析:（Ⅰ）直线的普通方程为为参数）∵，∴曲线C的直角坐标方程为（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程得∴，∴．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）已知函数的最小值为，若实数且，求的最小值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）9.【解析】试题分析: （Ⅰ）利用零点分段将函数去掉绝对值化简, 进而求出不等式的解集；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质求出函数的最小值,再根据基本不等式求出的最小值．试题解析:（Ⅰ），或，或解得或不等式的解集为（Ⅱ）函数的最小值为当且仅当时等号成立故的最小值为9.点睛: 含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2020-2021学年高三数学(文科)三校联考高考模拟试题及答案解析
三校联考高考数学模拟试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．34．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A ．在[，]上是增函数B ．其图象关于直线x=﹣对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[0，]时，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]10．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形△AF 1F 2的顶点A在y 轴上，边AF 1与双曲线左支交于点B ，且=4，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A ．+1 B ．C ．+1 D ．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O （重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（ ） A ．π B ．π C ．π D ．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．设i 为虚数单位，则复数= ．14．已知函数f （x ）=2x 2﹣xf ′（2），则函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程是 ． 15．若x ，y 满足若z=x+my 的最大值为，则实数m= ．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列； （2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率． 19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB=4，CD=2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．（1）求证：DE ∥平面PBC ； （2）求三棱锥A ﹣PBC 的体积．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．21．设函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+ablnx （其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R ），曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣e 2． （1）求b ；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；故函数f（x）=loga故¬p∧q真是真命题；故选：C．【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可．【解答】解：∵|+2|=2，∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12，解得||=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．当x=﹣时，g （x ）=0，故g （x ）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B ．当x ∈[0，]时，2x ∈[0，]，cos2x ∈[﹣，1]，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]，故选：D ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．【分析】由题意得（1+2d ）2=1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a 1=1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴（1+2d ）2=1+12d ． 得d=2或d=0（舍去）， ∴a n =2n ﹣1， ∴S n ==n 2， ∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A ．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]【分析】由题意，方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根，等价于y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又a 表示直线y=ax 的斜率，求出a 的取值范围． 【解答】解：∵方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根， ∴y=f （x ）与y=ax 有2个交点， 又∵a 表示直线y=ax 的斜率， ∴y ′=，设切点为（x 0，y 0），k=，∴切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0），而切线过原点，∴y 0=1，x 0=e ，k=， ∴直线l 1的斜率为， 又∵直线l 2与y=x+1平行， ∴直线l 2的斜率为，∴实数a 的取值范围是[，）． 故选：B ．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．【分析】不妨设△AF1F2的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理求得|BF2|=，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．由，可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，解得a=，则e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4， ∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a ，则=， ∴a=2，设小球的半径为r ，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C ．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015B ．2016C ．4030D ．4032【分析】特殊值法：令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．根据条件x ＞0时，有f （x ）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，∴令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032． 设x 1＜x 2，x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，则x 2﹣x 1＞0，f （x 2﹣x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设i为虚数单位，则复数= i ．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故答案为：i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= 2 ．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．【分析】先利用余弦定理求得A ，进而通过正弦定理表示出c ，代入面积公式求得S+cosBcosC 的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】解：∵a 2=b 2+c 2+bc ， ∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理 c=a ==2sinC ， ∴S===sinBsinC ∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos （B ﹣C ）≤，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（1）由题意得2a n =S n +，易求，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n ﹣2，从而可得b n ，进而有=，利用裂项相消法可得T n ；【解答】解：（1）证明：由S n ，a n ，成等差数列，知2a n =S n +， 当n=1时，有，∴，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣， 两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），即a n =2a n ﹣1， 由于{a n }为正项数列，∴a n ﹣1≠0，于是有=2（n ≥2），∴数列{a n }从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2， ∴数列{a n }是以为首项，以2为公比的等比数列． （2）解：由（1）知==2n ﹣2，∴b n =log 2a n +3==n+1，∴==，∴T n =（）+（）+…+（）==．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数，再求出甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，由此能求出a，b，c．（Ⅱ）利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，乙部门数据的中位数是78.5；∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，∴a=0.05，在80～90的频率为0.2，∴b=0.02在60～70的频率为0.1，∴c=0.01．（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），…，（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）共有16种，故所求的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．【分析】（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC 的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．【分析】（1）通过|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a 、b ，即可求椭圆E 的方程；（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），结合x 1x 2+y 1y 2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB 的斜率不存在，设A （x 1，y 1），则B （x 1，﹣y 1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F 1F 2|=|MF 1|+|MF 2|， 即2×2c=2a ，得a=2c ．①又由，得②且a 2=b 2+c 2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E 的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，r 2=，①消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣3）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．【解答】解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BDBE=BABF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即ABAF=AEAC（2分）∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB（BF﹣AF）=AB2（2分）【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．【分析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，，，，，．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．【分析】（Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，可化为，解得m≤﹣2；或，无解；或，解得m≥3；综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，，…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。
福建省安溪一中、南安一中、养正中学高三数学上学期期中联考(文)新人教版
福建省安溪一中、南安一中、养正中学2010届高三上学期期中联考 数学（文）第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案填在题目后面的括号内。
1．已知集合{}{}01|,0)1)(2(|<+=<-+=x x N x x x M ，则N M ⋂ =（ ） A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 2．已知{}n a 是等比数列，22=a ,415=a ，则公比q =( ） A ．21- B ．2- C ．2 D ．213．已知锐角ABC △的面积为43BC CA ==，，则角C 的大小为（ ） A ．75° B ．60° C ．120 D ．30° 4.已知函数3(0)()2(0)xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩ 则((2))f f -的值为( )A ． 2B ．41C ．-1D ．4 5.已知,135)2cos(=+x π且x 是第四象限角，则x cos 的值等于（ ）A ．1312-B ．135- C ．1312 D ．1356. 函数y=Asin(ωx+φ)图象的一部分如图所示，则此函数的解析式可以写成( )A ．y =sin(2x+4π) B ．y =sin(x+8π)C ．y=sin(2x+8π) D ．y =sin(2x-4π)7.ABC ∆的三个内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，设向量(,),(,p a c b q ba c a =+=--．若//p q ，则角C 的大小为（ ）A ．6π B ．23π C ．2π D ．3π8.如图是一个空间几何体的主视图（正视图）、侧视图、俯视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为（ ） A ．1 B ．21 C ．31 D ．61 9．使不等式230x x -<成立的必要不充分条件是（ ）俯视图侧视图正视图A.03x <<B.04x <<C. 02x <<D.0x <或3x > 10．关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题：①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ；②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ； 其中正确命题的序号是( )A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④ 11. 下列结论正确的是( ).120.21221,0;2lg 1lg 10无最大值时，．当的最小值为时，．当时．当时，且．当xx x D x x x C xx x B xx x x A -≤<+≥≥+>≥+≠>12. 已知()x f 是偶函数，且()x f 在),0(+∞上是增函数，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,,21x 时，不等式 ()()21-≤+x f ax f 恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．]2,2[- B. [2,0]- C. ]2,0[ D. )2,2(-第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．共16分．请把正确答案填在题目后面的横线上．13.点(3,1)在直线023=+-a y x 的上方，则a 的取值范围是 . 14.设,a b 都是单位向量，且a 与b 的夹角为60︒，则||a b += .15.已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤322x x y x y ，则2z x y =-的最小值是 ．16.观察下表： 12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10 …………则第 行的各数之和等于22009。
2021届福建省安溪一中高三期中考试数学文试题Word版含解析
2021届福建省安溪一中高三期中考试数学文试题满分：150分考试时间：120分钟一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的。
1. 已知为虚数单位，则复数Z=( )A. 1+B. 1-C. -1+D. -1-【答案】D【解析】由已知故选D2. 命题“”的否定是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：“，成立”的否定是：“，成立”，故选C．考点：特称命题的否定．3. 实数的大小关系正确的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】根据指数函数和对数函数的性质，知，，，即，，，∴，故选C.4. 一个几何体的三视图如图，其正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )【答案】D【解析】试题分析：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是腰长为2的等腰三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为为2，故圆锥的底面半径为1，高为，代入圆锥体积公式即可得到答案．由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是腰长为2的等腰三角形,∴r=1，h=,所以,故选D考点：由三视图求体积点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何的形状及相关几何量（底面半径，高等）的大小是解答的关键．5. 已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由得，解得.考点：等差数列.6. 定义在R上的函数满足时，则( )A. 1B.C.D.【答案】C【解析】由已知定义在R上的函数满足，故，故选C7. 已知点A的坐标为，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为( ).【答案】D【解析】，即点的纵坐标为考点：复数几何意义8. 已知函数的图像在点处的切线方程是，若，则= ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：：∵函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x-2y+1=0，∴f（1）=1，f′（1）=，∵，∴，则考点：利用导数研究曲线上某点切线方程9. 在平行四边形中，，，，点在边上，且，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，，，故选D10. 等比数列中，，，函数，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为函数，，则．故选C．考点：导数的运算.11. 已知O为坐标原点，A(1,2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件, 则z＝的最大值为( )A. －2B. －1C. 1D. 2【答案】D【解析】问题转化为求在约束条件下z＝x＋2y的最大值．约束条件可分为和两部分，可判断z＝x＋2y过点(0，1)时取到最大值212. 已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为，则球0的表面积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，，由正弦定理可得平面截球所得圆的半径（即的外接圆半径），又∵球心到平面的距离∴球的半径，故球O的表面积故选D【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13. 函数的定义域为__________.【答案】【解析】函数的定义域需满足解得故函数的定义域为14. 我国古代数学名著《张邱健算经》有“分钱问题”如下：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱。
福建省泉州市安溪县高三数学上学期期中联考试题 文 新人教A版
侧视图正视图一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集U=N ，{}2|7100,U A x N x x C A =∈-+≥=则（ ）A ．{}2,3,4,5B ．{}3,4,5C ．{}2,3,4D ．{}3,42．命题“R x ∈∃0，使20log 0x ≤成立”的否定为（ ）A ．R x ∈∃0，使20log 0x >成立B ．R x ∈∃0，使20log 0x ≥成立C ．R x ∈∀0，均有20log 0x ≥成立D ．R x ∈∀0，均有20log 0x >成立3．设()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件4． 已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（ ） A m n m ,,αα⊂⊂∥β，n ∥βα⇒∥βB α∥β，βα⊂⊂n m ,m ⇒∥nC m n l m l n αα⊂⊂⊥⊥⇒，，，α⊥lD m ∥n ，⊥n αm ⇒α⊥5．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为（ ）A ．2B ． 1C ．2-D ．3-6．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，3521,21,a a =-=+则2326372a a a a a ++=（ ）A ．4B ．6C ．8D ．842-8．平面上有一个△ABC 和一点O ，设OA a =，OB b =,OC c =，又OA 、BC 的中点分别为D 、E ，则向量DE 等于（ ）A.()12a b c ++ B. ()12a b c -++ C. ()12a b c -+ D. ()12a b c +-9．如图，为了得到这个函数的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）A ． 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ． 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ． 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ． 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变10．在ABC ∆中，5=a ，7=c ，︒=120C , 则三角形的面积为（ ）A. 215B. 415C. 4315D. 231512．在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”。
、安溪一中联考高三数学上学期期中试卷 文(含解析)-人教版高三全册数学试题
某某省惠安一中、养正中学、安溪一中联考2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|y=lg（1﹣x）}，则A∩B等于( )A．{x|0＜x≤1}B．{x|0≤x＜1} C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x＜2}考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：利用二次不等式求出集合A，对数函数的定义域求出集合B，然后求解它们的交集．解答：解：集合A={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，B={x|y=lg（1﹣x）}={x|x＜1}，所以集合A∩B={x|0≤x＜1}．故选：B．点评：本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，对数函数的定义域，考查计算能力．2．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，k），若与共线，则|3+|=( )A．3 B．4 C．D．5考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由与共线，求出k的值，从而计算出3+及其模长．解答：解：∵向量=（1，2），=（﹣2，k），且与共线，∴k﹣2×（﹣2）=0，解得k=﹣4，∴=（﹣2，﹣4）；∴3+=（3×1﹣2，2×2﹣4）=（1，2），∴|3+|==；故选C．点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．3．已知等差数列{a n}满足a2=3，a n﹣1=17，（n≥2），S n=100，则n的值为( )A．8 B．9 C．10 D．11考点：等差数列的前n项和；等差数列．专题：计算题．分析：根据等差数列的前n项和的公式，写出求和等于100时的公式，整理出关于n的方程，写出n的值．解答：解：∵等差数列{a n}满足a2=3，a n﹣1=17，（n≥2），S n=100，∵100=，∴n=10故选C．点评：本题考查等差数列的前n项和公式，是一个基础题，题目的解决关键是看出数列中所给的两项恰好是前n项和的两项．4．给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1考点：命题的否定；正弦函数的单调性．专题：阅读型．分析：①若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得；③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论即可；④在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可进行判断．解答：解：①若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；故错；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得，故命题“若a＞b，则2a＞2b ﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；正确；③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论：“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1；故错；④在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可得：“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．故正确．其中不正确的命题的个数是：2．故选C．点评：本题考查的是复合命题的真假问题、命题的否定、正弦函数的单调性等．属于基础题．5．已知0＜a＜1，b＞1且ab＞1，则M=log a，N=log a b，P=log a．三数大小关系为( ) A．P＜N＜M B．N＜P＜M C．N＜M＜P D．P＜M＜N考点：对数值大小的比较．专题：计算题．分析：本题利用排除法解决．0＜a＜1，b＞1知M＞0．N＜0，P=﹣1＜0代入选择支检（C），（D）被排除；又ab＞1通过对数运算可知（A）被排除．从而得出正确选项．解答：解：0＜a＜1，b＞1知M＞0．N＜0，P=﹣1＜0代入选择支检（C），（D）被排除；又ab＞1⇒log a ab＜0⇒log a b+log a a＜0log a b＜﹣1，即log a b＜log b（A）被排除．故选B．点评：本题考查对数值的大小，考查对数的运算法则，考查指数函数和对数函数的性质是一个知识点比较综合的题目，注意分析题目中的大小关系．6．对于平面α，β，γ和直线a，b，m，n，下列命题中真命题是( ) A．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥αB．若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b C．若a∥b，b⊂α，则a∥αD．若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥α．考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：A．利用线面垂直的判定定理即可判断出；B．利用两个平面平行的性质定理即可判断出；C．利用线面平行的判定定理即可判断出；D．利用面面平行的判定定理即可得出．解答：解：A．由a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，只有当m与n相交时，才能得到a⊥α，因此A不正确；B．由α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，利用两个平面平行的性质定理即可得出a∥b，因此正确；C．由a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α；D．由a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，只有a与b相交时，才能得出β∥α．故选：B．点评：本题综合考查了空间中的线面、面面平行于垂直的位置关系，属于基础题．7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是( )A．πB．6πC．πD．π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据三视图的数据求半圆柱与半圆锥的体积，再相加．解答：解：由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据图中数据可知圆柱与圆锥的底面圆半径为2，圆锥的高为2，圆柱的高为1，∴几何体的体积V=V半圆锥+V半圆柱=××π×22×2+×π×22×1=．故选C．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量．8．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，对角线AC、DB相交于点O．若=，=，=( )A．﹣B．+C．+D．﹣考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：先证明△DOC∽△BOA，然后根据AB=2CD得到AO与AD的比例关系，最后转化成用基底表示即可．解答：解：∵AB∥CD，AB=2CD，∴△DOC∽△BOA且AO=2OC，则=2=，∴=，而=+=+=，∴==（）=，故选B．点评：本题主要考查了向量加减混合运算及其几何意义，解题的关键是弄清AO与AD的比例关系，属于基础题．9．函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点( )个单位长度．A．向右平移B．向右平移C．向左平移D．向左平移考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先利用函数的图象求出周期，进一步利用函数周期公式求出ω，利用在x=函数的值求出Φ的值，最后通过平移变换求出答案．解答：解：根据函数的图象：求得：T=π进一步利用：当x=|φ|＜所以：φ=即函数f（x）=要得到f（x）=sin2x的图象只需将函数f（x）=向右平移个单位即可．故选：A点评：本题考查的知识点：利用函数的图象求函数的解析式，主要确定A、ω、Φ的值，函数图象的平移变换问题．10．函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是( )A．f（x）=x+sinx B．C．f（x）=xcosx D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过函数的图象的奇偶性、定义域、验证函数的表达式，排除部分选项，利用图象过（，0），排除选项，得到结果．解答：解：依题意函数是奇函数，排除D，函数图象过原点，排除B，图象过（，0）显然A不正确，C正确；故选C点评：本题是基础题，考查函数的图象特征，函数的性质，考查学生的视图能力，常考题型．11．已知函数，则使方程x+f（x）=m有解的实数m的取值X围是( )A．（1，2）B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，1]∪12．定义域为的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈，已知向量，若不等式恒成立，则称函数f（x）在上“k阶线性近似”．若函数在上“k阶线性近似”，则实数k的取值X围为( )A．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：易得此人一共走了8次，由等比数列的前n项和公式可得．解答：解：∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，∴此人一共走了8次∵第n次走n米放2n颗石子∴他投放石子的总数是2+22+23+…+28==2×255=510故答案为：510点评：本题考查等比数列的求和公式，得出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．15．设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，则f（1）+f （2）+f（3）+f（4）+f（5）=0．考点：奇偶函数图象的对称性．专题：常规题型；计算题；压轴题．分析：先由f（x）是定义在R上的奇函数，结合对称性变形为，f（﹣x）=f（1+x）=﹣f（x）f（2+x）=﹣f（1+x）=f（x），再由f（0）=0求解．解答：解：f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，∴f（﹣x）=﹣f（x），，∴f（﹣x）=f（1+x）=﹣f（x）f（2+x）=﹣f（1+x）=f（x），∴f（0）=f（1）=f（3）=f（5）=0，f（0）=f（2）=f（4）=0，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0故答案为：0点评：本题主要考查函数的奇偶性及对称性以及主条件的变形与应用．16．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为9．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．解答：解：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M （2，）．设N（x，y），N为菱形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为菱形ABCD及其内部区域．因为，=（x，y），则=2x+y，令z=2x+，则，由图象可得当目标函数z=2x+y 过点C（3，）时，z=2x+y取得最大值，此时=9．故答案为9．点评：本题主要考查向量在几何中的应用，以及数形结合思想的应用和转化思想的应用，是对基础知识和基本思想的考查，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，T n＜m恒成立，某某数m的取值X围．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1即可得出；（II）由于==．可得数列{}的前n项和为T n=，由于任意n∈N*，T n，对任意的n∈N*，T n＜m恒成立，可得．解答：解：（I）当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，当n=1时适合上式，∴a n=2n﹣1．（n∈N*）．（II）∵==．∴数列{}的前n项和为T n=+…+=，∵任意n∈N*，T n，对任意的n∈N*，T n＜m恒成立，∴．∴实数m的取值X围是．点评：本题考查了递推式的意义、“裂项求和”、恒成立问题的转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，=（cosA，cosC），=（c﹣2b，a），且⊥．（1）求角A的大小；（2）若a=b，且BC边上的中线AM的长为，求边a的值．考点：余弦定理的应用；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（1）通过向量的数量积以及正弦定理两角和与差的三角函数，求出A的余弦函数值，即可求角A的大小；（2）通过a=b，利用余弦定理，结合BC边上的中线AM的长为，即可求出边a的值解答：（本题12分）解：（1）由⊥，∴•=0（2b﹣）cosA=…所以（2sinB﹣）cosA=…∴2sinBcosA=，则2sinBcosA=sinB …所以cosA=，于是A=…（2）由（1）知A=，又a=b，所以C=设AC=x，则MC=， AM=，在△AMC中，由余弦定理得AC2+MC2﹣2AC•MCcosC=AM2…即x2+（）2﹣2x•，解得x=2，即a=2…点评：本题考查余弦定理的应用，向量的数量积的应用，三角形的解法，考查计算能力．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若，AB=BC=2，P为AC的中点，求三棱锥P﹣A1BC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：证明题．分析：（Ⅰ）欲证BC⊥A1B，可寻找线面垂直，而A1A⊥BC，AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AB，问题得证；（Ⅱ）根据直三棱柱的性质可知A1A⊥面BPC，求三棱锥P﹣A1BC的体积可转化成求三棱锥A1﹣PBC的体积，先求出三角形PBC的面积，再根据体积公式解之即可．解答：解：（Ⅰ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC∵AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AB，又A1B⊂平面A1BC，∴BC⊥A1B；（Ⅱ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．在Rt∠△ABD中，，AB=BC=2，，∠ABD=60°，在Rt∠△ABA1中，．由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB，从而BC⊥AB，．∵P为AC的中点，∴=．点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．20．二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0，且最小值是．（1）求f（x）的解析式；（2）实数a≠0，函数g（x）=xf（x）+（a+1）x2﹣a2x，若g（x）在区间（﹣3，2）上单调递减，某某数a的取值X围．考点：二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意可设f（x）=ax（x﹣1）（a≠0），又由最小值是，联合解之即可；（2）表示出g（x），求导数，令导函数小于0得到函数的单调减区间，让区间（﹣3，2）为函数的单调递减区间的子集即可．解答：解：（1）由二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0．设f（x）=ax（x﹣1）（a≠0），则．又f（x）的最小值是，故．解得a=1．∴f（x）=x2﹣x；…（2）g（x）=xf（x）+（a+1）x2﹣a2x=x3﹣x2+ax2+x2﹣a2x=x3+ax2﹣a2x．∴g'（x）=3x2+2ax﹣a2=（3x﹣a）（x+a）．__________…由g'（x）=0，得，或x=﹣a，又a≠0，故．…当，即a＞0时，由g'（x）＜0，得．…∴g（x）的减区间是，又g（x）在区间（﹣3，2）上单调递减，∴，解得，故a≥6（满足a＞0）；…当，即a＜0时，由g'（x）＜0，得．∴g（x）的减区间是，又g（x）在区间（﹣3，2）上单调递减，∴，解得，故a≤﹣9（满足a＜0）．…综上所述得a≤﹣9，或a≥6．∴实数a的取值X围为（﹣∞，﹣9]∪点评：本题考查已知三角函数的模型的应用问题，解题的关键是根据所研究的问题及图形建立三角函数关系，再利用三角函数的知识求最值，得出实际问题的解，本题第二小问求面积的最值，利用到了三角函数有界性，本题考查了函数的思想及转化的思想，本题运算量较大，计算时要严谨．22．已知函数f（x）=﹣x2+2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，（i）某某数a的值；（ii）若对于“x1，x2∈，不等式≤1恒成立，某某数k的取值X围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的最大值；（Ⅱ）（ⅰ）求导函数，利用函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，可得x=1是函数g（x）的极值点，从而可求a的值；（ⅱ）先求出x1∈时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1；x2∈时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=，再将对于“x1，x2∈，不等式≤1恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k的取值X围．解答：解：（Ⅰ）求导函数可得：f′（x）=﹣2x+=﹣（x＞0）由f′（x）＞0且x＞0得，0＜x＜1；由f′（x）＜0且x＞0得，x＞1．∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．∴函数f（x）的最大值为f（1）=﹣1．（Ⅱ）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．（ⅰ）由（Ⅰ）知，x=1是函数f（x）的极值点，又∵函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，∴x=1是函数g（x）的极值点，∴g′（1）=1﹣a=0，解得a=1．（ⅱ）∵f（）=﹣﹣2，f（1）=﹣1，f（3）=﹣9+2ln3，∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即f（3）＜f（）＜f（1），∴x1∈时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1由（ⅰ）知g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．当x∈时，g′（x）＞0．故g（x）在上为增函数．∵，g（1）=2，g（3）=，而2＜＜，∴g（1）＜g（）＜g（3）∴x2∈时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=①当k﹣1＞0，即k＞1时，对于“x1，x2∈，不等式≤1恒成立，等价于k≥max+1∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣1﹣2=﹣3，∴k≥﹣2，又∵k＞1，∴k＞1．②当k﹣1＜0，即k＜1时，对于“x1，x2∈，不等式≤1恒成立，等价于k≤min+1∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣，∴k≤．又∵k＜1，∴k≤．综上，所求的实数k的取值X围为（﹣∞，]∪（1，+∞）．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。
福建省六县(市区)2020届高三上学期期中考联考(文数)
福建省六县（市区）2020届高三上学期期中考联考数学（文科）（考试时间：120分钟 总分：150分）试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分第I 卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。
)1.已知集合{}062≤--=x x x A ，{}2>=x x B ，则（ ）A.)(3,2B.](3,2C.)(2,3-D.)[2,3-2.若复数z 满足5)21(=+i z ,其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数=z （ ） A.i 21- B ．i 21+ C ．i 21+- D ．i 21--3.“在()b a ,内0)(<'x f ”是“)(x f 在()b a ,内单调递减”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件4.已知在平面直角坐标系xoy 中，()1,2A ，()1,-m B ，若//，则=m（ ）A.2B. 2-C. 21D.21-5.设变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥-+10202y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若352a a =，则=59S S ( )A.109B.1815C. 59D. 5187.设5tan,2log ,25.05.0π===c b a ，则（ ）A.c a b <<B.c b a <<C.b c a <<D.c a b << 8．我们知道：在平面内，点),(00y x 到直线0=++C By Ax 的距离公式2200B A C By Ax d +++=，通过类比的方法，可求得：在空间中，点)3,4,2(到直线0222=+++z y x 的距离为( )A ．3B ．5 C.6 D ．55189.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A.π)53(+B. π)15(-C.π)15(+D.π)53(-10.函数)62sin(2)(π-=x x f 的图像为C ，以下结论错误．．的是（ ） A.图像C 关于直线65π=x 对称 B.图像C 关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,127π对称C.函数)(x f 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,6ππ内是增函数D.由x y 2sin 2=图像向右平移6π个单位长度可以得到图像C11．已知直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，2,11===CC BC AB ，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．53B ．53-C ．54D ．54-12.已知实数b a ,满足0ln 42=--b a a ，R c ∈，则22)2()(c b c a ++-的最小值为( )A ．553 B ．59 C ．55 D ．51第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,请将正确答案填入答题卷中。
【试卷】福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2021届高三期中联考数学试题及答案
福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2020年秋季高三期中联考数学试卷考试科目：数学 满分150分 考试时间：120分钟一、单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请把答案填在答题卡的相应位置．1．已知集合{|08}U x x =∈<<N ，{2,3,6}A =，{1,2,3,7}B =，则()UA B ⋃=（ ）A ．{2,3,4,5}B ．{3,4,5,6}C ．{2,3,4,5,6}D ．{3,4,5,6,7} 2．若复数11miz i+=+（i 为数单位）在复平面内对应的点在第三象限、，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,1)- B ．(1,0)- C ．(1,)+∞ D ．(,1)-∞- 3．在ABC 中，“03A π<<”是“1cos 2A >”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图像特征．如函数函数()()22221ln 21x y x x +=-⋅+的部分图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．5．已知数列{}n a 为等比数列，且45664a a a =-，则37tan 3a a π⋅⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A B ． C ． D ．3-6．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos (2)cos c a B a b A -=+，则ABC 为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形7．已知函数(()ln 1f x x =++，若正实数a ，b 满足：(2)(1)2f a f b +-=，则1b a b+的最小值为（ ）A ．4B ．5 C．1+ D．3+8．已知数列{}n a 的前n 项之和为n S ，123a =，()12(24)5626n n nn a a n n a n ++=++++，则9S =（ ） A ．1011 B ．111 C ．8255 D ．7255二、多项选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部答对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请把答案填在答题卡的相应位置．9．已知下图为2020年1月10日到2月21日我国新型冠状肺炎累计确诊人数及现有疑似人数趋势图，则下面结论正确的是（ ）A ．截至2020年2月15日，我国新型冠状肺炎累计确诊人数已经超过65000人B ．从1月28日到2月3日，现有疑似人数超过累计确诊人数C ．从2020年1月22日到2月21日一个月的时间内，累计确诊人数上升幅度一直在增加D ．2月15日与2月9日相比较，现有疑似人数减少超过50%10．已知向量(1,1)a b +=，(3,1)a b -=-，(2,2)c =，设,a b 的夹角为θ，则（ ） A ．a c ⊥ B ．||||a b = C ．//b c D ．135θ=︒ 11．对于实数a 、b 、c ，下列命题中正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc < B ．若a b >，11a b>，则0a >，0b < C ．若0c a b >>>，则a b c a c b >-- D ．若0a b <<，则2a b b a+≥12．已知函数22()2sin cos 2cos f x x x x x =+⋅-，x ∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．函数3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象关于原点对称 B ．在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()f x 的最大值为4 C ．将()f x 的图象向左平移4π个单位，得到()g x 的图象，若A ，B ，C 为两个函数图象的交点，则ABC 面积的最小值为D ．若将函数()f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数()g x的图象，则函数()y g x =-6三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，其中第16题为多填题，第一空2分，第二空3分，满分20分请把答案写在答题卡的相应位置．13．设变量x ，y 满足约束条件5211x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩，则y z x =的最小值为_______．14．已知5(1)ax +的展开式的所有项系数之和为1-，则展开式中含x 的项的系数是________．15．在梯形ABCD 中，//AD BC ，222BC AB AD ===，90BAC ∠=︒，若2BD BE =，则AE BC ⋅的值为______．16．已知函数()y g x =的图像与函数()xf x a -=（其中0a >且1a ≠）的图像关于y x =对称，则g =_______；若方程()()f x g x =有解，则实数a 的取值范围是______． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题10分）在ABC 中，已知角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知222sin sin sin sin sin B C A B C +=+⋅．（1）求角A ；（2）若2AB =，D 为BC 边的中点，且ABC的面积为AD ．18．（本小题12分）从条件①2(1)n n S n a =+(2)n a n =≥，③0n a >，22n n n a a S +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，__________． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n na b +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90DAB ∠=︒，M 为侧棱PD 上一点，已知11122AB AD CD DP ====．（1）证明：平面PBC ⊥平面PBD ； （2）若12DM DP =，求二面角A BM C --的大小． 20．（本小题12分）已知函数2()ln 1,f x x mx m R =-+∈． （1）若1m =，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的零点个数．21．（本小题12分）2019年女排世界杯（第13届女排世界杯）是由国际排联（FIVB ）举办的赛事，比赛于2019年9月14日至9月29日在日本举行，共有12支参赛队伍．本次比赛启用了新的排球用球MIKASA -V200W ，已知这种球的质量指标ξ（单位：g ）服从正态分布()2270,10N ．比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军．积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分．9轮过后，积分榜上的前3名分别为中国队、美国队和塞尔维亚队，中国队积26分，美国队积22分，塞尔维亚队积20分（1）如果比赛准备了10000排球，估计质量指标在(260,290)内的排球个数；（2）第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为34，解决下列问题． （ⅰ）在第10轮比赛中，设中国队所得积分为X ，求X 的分布列及期望；（ⅱ）已知第10轮美国队积2分，判断中国队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，中国队积分最多且不可以积分相同）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由． 参考数据：()2~,X Nμσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈，(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈．22．（本小题12分）已知函数()sin f x x =，2()21g x x =-．（1）求函数()2()2F x f x g x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的单调区间； （2）当0x ≥时，若22xx g e ax ⎛⎫≤+-⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当0x ≥时，证明：21(2)2()()2xx e f x f x f x ⋅+≥+． 福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学 2020年秋季高三数学期中联考试卷参考答案一、单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．D 3．C 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D二、多项选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．9．ABD 10．AD 11．BCD 12．BC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，其中第16题为多填题，第一空2分，第二空3分，满分20分．13．23 14．10- 15．12 16．12 1,1(1,)ee -⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）因为222sin sin sin sin sin B C A B C +=+⋅， 由正弦定理可得222b c a bc +=+ 2分由余弦定理可得，2221cos 22b c a B bc +-== 4分 ∵(0,)A π∈，∴3A π=． 5分 （2）因为3A π=，2AB =，所以11sin 22222ABCS AB AC A AC AC =⋅⋅⋅=⨯⨯⋅=， 6分又ABCS=4AC =． 7分由已知可得2222()244AB AC AB AC AB ACAD +++⋅==2212422424++⨯⨯⨯=7=，所以AD =10分注：该题方法较多，答案没有问题都给满分． 18．解：若选择①，因为2(1)n n S n a =+，*n N ∈，所以112(2)n n S n a ++=+，*n N ∈， 1分 两式相减得112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，整理得1(1)n n na n a +=+． 2分即11n na a n n+=+，*n N ∈． 3分 所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列．111n a a n ==，所以n a n =． 6分 （或由11n n a n a n++=，利用相乘相消法，求得n a n =） 若选择②，(2)n a n +=≥1n n S S -=-， 1分=， 2分易知0n S >1=， 3分所以11a ==n =，2n S n =， 4分∴121(2)n n n a S S n n -=-=-≥， 5分 又1n =时，11a =也满足上式， 所以21n a n =-． 6分 若选择③，因为()2*2n n n a a S n N+=∈，所以21112(2)n n n aa S n ---+=≥， 1分两式相减得22111222(2)n n n n n n n a a a a S S a n ----+-=-=≥， 2分 整理得()()111(2)n n n n n n a a a a a a n ----+=+≥， 4分 因为0n a >，11(2)n n a a n --=≥，所以{}n a 是等差数列， 5分 所以1(1)1n a n n =+-⨯=， 6分 （2）选择①，③，因为数列1122n n n n a n b ++==， 7分 所以231111234(1)2222nn S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 8分234111111234(1)22222n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 9分则2311111111(1)222222nn n n n S S S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==++++-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111111133421(1)122212n n n n n +-+⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭=+-+⋅=- ⎪⎝⎭-， 11分故332n nn S +=-． 12分选择②，12122n n n n a n b ++==，同理可得12352n n n S ++=-． 19．解：（Ⅰ）证：易得222BD BC CD +=，∴BC BD ⊥ 2分 又PD ⊥平面ABCD ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴BC PD ⊥， 3分而PD BD D ⋂=故，BC ⊥平面PBD 4分 ∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD 5分（Ⅱ）以,,DA DC DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)D A B C M 6分(0,1,0)AB =，(1,1,0)BC =-，(1,1,1)BM =--，设平面ABM 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111110000n AB y x y z n BM ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨--+=⋅=⎩⎪⎩ 令11x =，则11z =，∴1(1,0,1)n =是平面AMB 的一个法向量 8分 设平面BMC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，22222220000n BC x y x y z n BM ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨--+=⋅=⎩⎪⎩令21x =，则21y =，22z =， ∴2(1,1,2)n =是平面BMC 的一个法向量 10分1212212cos ,1n n n n n n ⋅<>===11分 又二面角A BM C --为钝二面角，其大小为56π． 12分 20．解：（1）当1m =时，函数2()ln 1f x x x =-+，可得函数1()2f x x x'=-， 1分 所以(1)1f '=-，又1x =时，(1)0f =， 3分 曲线()y f x =则1x =处的切线方程；1y x =-+； 4分（2）由2()ln 10f x x mx =-+=得2ln 1(0)x m x x +=>， 5分 设2ln 1()(0)x g x x x +=>，则32ln 1()x g x x+'=-， 6分 令()0g x '=，则x=， 则当00x<<时，32ln 1()0x g x x +'=->，所以()g x 在⎛ ⎝上为增函数．则当x >时，32ln 1()0x g x x +'=-<，所以()g x 在⎫+∞⎪⎭上为减函数． 8分 又因为0x →时，()g x →-∞，x →+∞时，()0g x →， 9分又2eg =，结合图像（如图），可知 ①当2em >时，函数()f x 无零点； ②当2em =时，函数()f x 有且仅有一个零点； ③当02em <<时，函数()f x 有两个零点；④0m ≤时，函数()f x 有且只有一个零点； 11分综上所述，当2e m >时，函数()f x 无零点；当2em =或0m ≤时，函数()f x 有且仅有一个零点；当02em <<时，函数()f x 有两个零点． 12分 注：函数2()ln 1f x x mx =-+直接求导，然后分类讨论也按步给分． 21．解：∵()2~270,10N ξ，∴0.95450.6827(260290)(2)0.95450.81862P P ξμσξμσ-<<=-<≤+≈-=所以质量指标在(260,290)内的排球个数约为100000.81868186⨯= 3分 （2）（ⅰ）X 的可能取值为3，2，1，0．3223189(3)(1)256P X p C p p p ==+-=，222481(2)(1)512P X C p p p ==-=， 223427(1)(1)512P X C p p ==-=，313313(0)(1)(1)256P X p C p p ==-+-=， X 的分布列为1898127131323()3210256512512256512E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 8分 （ⅱ）若3X =，则中国队10轮后的总积分为29分，美国队即便第11轮积3分，则11轮过后的总积分是27分，2927>，中国队如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为189(3)256P X ==． 若2X=，则中国队10轮后的总积分为28分，美国队即便第11轮都积3分，则11轮过后的总积分是27分，2827>，中国队如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为81(2)512P X ==．所以提前一轮夺得冠军概率为：18981459(3)(2)256512512P X P X =+==+=． 12分 22．解：（1）由已知可得2()cos221F x x x =+-，则()2sin24F x x x '=-+， 1分令()()x F x ϕ'=，则()4cos240x x ϕ'=-+≥，所以()x ϕ在R 上单调递增，又(0)0ϕ=，所以0x <时，()(0)0x ϕϕ<=，函数()F x 单调递减；0x >时，()(0)0x ϕϕ>=，函数()F x 单调递增．所以，()F x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞． 3分（2）由条件可得21102x e x ax -+-≥恒成立，令21()1(0)2x G x e x ax x =-+-≥， 则()x G x e x a '=-+，又()1x G x e ''=-，所以0x ≥时，()0G x ''≥，函数()G x '单调递增，所以，()(0)1G x G a ''≥=+ 5分①当1a ≥-时，()(0)10G x G a ''≥=+≥，所以函数()G x 单调递增，()(0)0G x G ≥=，不等式显然成立．②当1a <-时，函数()G x '单调递增，又(0)10G a '=+<，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得()00G x '=成立， 当00x x <<时，()0G x '<，函数()G x 单调递减，又(0)0G =，显然()0G x ≥不恒成立．所以综上所述[1,)a ∈-+∞． 7分（3）证明：要证21sin 22sin sin 2x xe x x x +≥+，即证2sin (2cos )sin x xe x x x ≥-+． ①当x π≥时，3x xe e ππ≥>，而2sin (2cos )sin 3x x x -+≤（以[,2]x ππ∈为例，sin 0,2cos [1,3]x x ≤-∈，故sin (2cos )0x x -≤，所以2sin (2cos )sin 3x x x -+≤）所以不等式成立． 8分②当0x π<<时，sin 0x >，由（1）知：0x ≥时，2cos212x x ≥-，所以221cos 12122x x x ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭，212cos 12x x -≤+所以只需证221sin 1sin 2x xe x x x ⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭． 8分令()sin (0)p x x x x =-≥，则()cos 10p x x '=-≤，所以()p x 在[0,)+∞单调递减，所以()(0)0p x p ≤=，即sin x x ≤． 故只需证22112x xe x x x ⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭， 即证：2112x e x x ≥++．由（2）知，上述不等式成立． 11分③当0x =时，不等式等号显然成立，综上，当0x ≥时，21sin 22sin sin 2x xe x x x +≥+． 12分。
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2020-2021学年福建省安溪一中三校联考高三（上）期中考试数学（文科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数z满足z=+3i，则|z|=（）A．B．2 C．D．2．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充要条件是（）A．|a|＞|b| B．＞C．a2＞b2D．2a＞2b3．（5分）已知cos2α=，则sin4α﹣cos4α的值为（）A．B．C．D．4．（5分）设函数y=log3x与y=3﹣x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）已知x，y满足，则z=mx+y（0＜m＜1）的最大值是（）A．﹣1 B．5 C．7 D．2m+37．（5分）为得到的图象，可将函数y=sinx的图象向左平移A1个单位长度或者向右平移A2个单位长度，A1，A2均为正数，则|A1﹣A2|的最小值为（）A． B． C．D．2π8．（5分）在R上的函数f（x）满足：f（x）•f（x+2）=13，若f（3）=4，则f（22017）=（）A．4 B．C．26 D．529．（5分）函数f（x）=sin3x+cos2x﹣cos2x﹣sinx的最大值等于（）A．B．C．D．10．（5分）若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5=+3，则△MBC与△ABC的面积比为（）A．B．C．D．11．（5分）在等差数列{a n}中，若，且它的前n项和S n有最小值，那么当S n取得最小正值时，n=（）A．18 B．19 C．20 D．2112．（5分）已知实数a，b满足2a2﹣5lna﹣b=0，c∈R，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（+1）2，则a5= ．14．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B={x|log2x＞1}，则A∩B= ．15．（5分）平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，•，点P在边CD上，则•的最大值是．16．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设p：关于x的不等式x+≥a2﹣a对任意的x∈（0，+∞）恒成立；q：关于x的方程x+|x﹣1|=2a有实数解．若p∧q为真，求实数a的取值范围．18．（12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（a2+b2﹣c2）tanC=ab．（1）求角C的大小；（2）求sinBcosB+cos2B的取值范围．19．（12分）在等比数列{a n}中，a3=，S3=．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=log2，且{b n}为递增数列，若C n=，求证：C1+C2+C3+…C n＜．20．（12分）扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x（米），外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y（米）．（1）求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；（2）要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？（3）当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1，（1）当a＜时，讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）=x2﹣2bx+，当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，3]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=（2x﹣1）e x，g（x）=ax﹣a（a∈R）．（1）若y=g（x）为曲线y=f（x）的一条切线，求实数a的值；（2）已知a＜1，若关于x的不等式f（x）＜g（x）的整数解只有一个x0，求实数a的取值范围．2020-2021学年福建省安溪一中三校联考高三（上）期中考试数学（文科）试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数z满足z=+3i，则|z|=（）A．B．2 C．D．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z=+3i=+3i=﹣i+1+3i=1+2i，则|z|==．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充要条件是（）A．|a|＞|b| B．＞C．a2＞b2D．2a＞2b【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：A．若a=1，b=﹣2，满足a＞b，但|a|＞|b|不成立，B．若a=2，b=1，满足a＞b，但＞不成立，C．若a=1，b=﹣2，满足a＞b，但a2＞b2不成立，D．若2a＞2b，则a＞b，即使a＞b成立的充要条件是2a＞2b，故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系和性质是解决本题的关键．3．（5分）已知cos2α=，则sin4α﹣cos4α的值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由余弦的二倍角公式可得cos2α=cos2α﹣sin2α=，将sin4α﹣cos4α变形可得sin4α﹣cos4α=﹣（cos2α﹣sin2α），两者联立即可得答案．【解答】解：∵cos2α=，∴cos2α=cos2α﹣sin2α=，∴sin4α﹣cos4α=﹣（cos2α+sin2α）（cos2α﹣sin2α）=﹣（cos2α﹣sin2α）=﹣，故选：A．【点评】本题考查余弦二倍角公式以及同角三角函数基本关系式的运用，关键是将sin4α﹣cos4α恒等变形，与cos2α建立关系．4．（5分）设函数y=log3x与y=3﹣x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】方程的解所在的区间，则对应的函数的零点在这个范围，把原函数写出两个初等函数，即两个初等函数的交点在这个区间，结合两个函数的草图得到函数的交点的位置在（1，3），再进行进一步检验．【解答】解：∵方程log3x=﹣x+3的解，根据两个基本函数的图象可知两个函数的交点一定在（1，3），因m（x）=log3x+x﹣3在（1，2）上不满足m（1）m（2）＜0，方程 log3x+x﹣3=0 的解所在的区间是（2，3），即则x0所在的区间是（2，3），故选：C．【点评】本题考查函数零点的检验，考查函数与对应的方程之间的关系，是一个比较典型的函数的零点的问题，注意解题过程中数形结合思想的应用．属基础题．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件2n＞n2，跳出循环，确定输出的n值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=1，21＞1；第二次循环n=2，22=4．不满足条件2n＞n2，跳出循环，输出n=2．故选：B．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．6．（5分）已知x，y满足，则z=mx+y（0＜m＜1）的最大值是（）A．﹣1 B．5 C．7 D．2m+3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】作出不等式组对于的平面区域如图：由z=mx+y，得y=﹣mx+z，∵0＜m＜1，∴﹣1＜﹣m＜0，即目标函数y=﹣mx+z的斜率k=﹣m∈（﹣1，0），平移直线y=﹣mx+z，则当y=﹣mx+z经过点C（0，5）时，y=﹣mx+z的截距最大时，z也取得最大值，此时z=0+5=5，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）为得到的图象，可将函数y=sinx的图象向左平移A1个单位长度或者向右平移A2个单位长度，A1，A2均为正数，则|A1﹣A2|的最小值为（）A． B． C．D．2π【分析】依题意得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），于是有|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|，从而可求得|m﹣n|的最小值．【解答】解：由条件可得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），则|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|，易知（k1﹣k2）=1时，|m﹣n|min=．故选：B．【点评】本题以三角函数图象变换为载体，考查诱导公式，考查图象的变换，属于基础题．8．（5分）在R上的函数f（x）满足：f（x）•f（x+2）=13，若f（3）=4，则f（22017）=（）A．4 B．C．26 D．52【分析】利用题中条件：“f（x）•f（x+2）=13”得出函数f（x）是周期函数，从而利用f（3）的值求出f （22017）即可【解答】解：∵f（x）•f（x+2）=13∴f（x+2）•f（x+4）=13，∴f（x+4）=f（x），∴f（x）是一个周期为4的周期函数，∴f（22017）=f（4×5504+1）=f（1）==．故选：B．【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．函数的周期性是高考函数题的重点考查内容，几个重要的周期公式要熟悉，如：（1）f（x+a）=f（x﹣a），则T=2a；（2）f（x+a）=﹣，则T=2a等．9．（5分）函数f（x）=sin3x+cos2x﹣cos2x﹣sinx的最大值等于（）A．B．C．D．【分析】通过三角函数的平方关系式化简函数的表达式，利用换元法通过函数的导数求解函数在闭区间上的最大值即可．【解答】解：y=sin3x+cos2x﹣cos2x﹣sinx=sin3x+1﹣2sin2x﹣cos2x﹣sinx=sin3x﹣sin2x﹣sinx，令sinx=t ∈[﹣1，1]，∴y=t3﹣t2﹣t，∴y′=3t2﹣2t﹣1，令3t2﹣2t﹣1=0，可得t=1或t=﹣，当t∈[﹣1，﹣]时，函数y是减函数，t∈[﹣，1]时函数是增函数，∴函数y的最大值为：（﹣）3﹣（）2+=．故选：B．【点评】本题考查函数在闭区间上的最大值的求法，三角函数的化简与求值，考查转化思想以及计算能力．10．（5分）若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5=+3，则△MBC与△ABC的面积比为（）A．B．C．D．【分析】连接AM，BM，延长AC至D使AD=3AC，延长AM至E使AE=5AM，连接BE，则四边形ABED是平行四边形，利用S△ABC=S△ABD，S△AMB=S△ABE，三角形ABD面积=三角形ABE面积=平行四边形ABED面积一半，即可求得结论．【解答】解：M是△ABC所在平面内一点，连接AM，BM，延长AC至D使AD=3AC，延长AM至E使AE=5AM，如图示：∵5=+3，∴=5﹣3=，连接BE，则四边形ABED是平行四边形（向量AB和向量DE平行且模相等）由于=3，所以S△ABC=S△ABD，=，所以S△AMB=S△ABE，在平行四边形中，三角形ABD面积=三角形ABE面积=平行四边形ABED面积一半故△ABM与△ABC的面积比==，故选：C．．【点评】本题考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，解题的关键是确定三角形的面积，属于中档题．11．（5分）在等差数列{a n}中，若，且它的前n项和S n有最小值，那么当S n取得最小正值时，n=（）A．18 B．19 C．20 D．21【分析】由题意可得等差数列{a n}递增，结合题意可得a11＞0＞a10，进而可得a10+a11＞0，由等差数列的性质结合求和公式可得答案．【解答】解：∵S n有最小值，∴d＞0，故可得a10＜a11，又：S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＞0，S19=19a10＜0∴S20为最小正值故选C【点评】本题为等差数列性质的应用，涉及项的最值问题，属基础题．12．（5分）已知实数a，b满足2a2﹣5lna﹣b=0，c∈R，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】x代换a，y代换b，则x，y满足：2x2﹣5lnx﹣y=0，即y=2x2﹣5lnx（x＞0），以x代换c，可得点（x，﹣x），满足y+x=0．因此求的最小值即为求曲线y=2x2﹣5lnx上的点到直线y+x=0的距离的最小值．利用导数的几何意义，研究曲线与直线y+x=0平行的切线性质即可得出．【解答】解：x代换a，y代换b，则x，y满足：2x2﹣5lnx﹣y=0，即y=2x2﹣5lnx（x＞0），以x代换c，可得点（x，﹣x），满足y+x=0．因此求的最小值即为求曲线y=2x2﹣5lnx上的点到直线y+x=0的距离的最小值．设直线y+x+m=0与曲线y=2x2﹣5lnx=f（x）相切于点P（x0，y0），f′（x）=4x﹣，则f′（x0）==﹣1，解得x0=1，∴切点为P（1，2）．∴点P到直线y+x=0的距离d==．∴则的最小值为．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究曲线的切线性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（+1）2，则a5= 25 ．【分析】a1=1，a n+1=（+1）2＞0，可得：=1．再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a1=1，a n+1=（+1）2＞0，∴=1．∴数列是等差数列，公差为1．∴=1+（n﹣1）=n，∴a n=n2．则a5=25．故答案为：25．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B={x|log2x＞1}，则A∩B= （2，3] ．【分析】求出集合A，B，然后求解交集即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，集合B={x|log2x＞1}={x|x＞2}，则A∩B=（2，3]．故答案为：（2，3]．【点评】本题考查不等式的解法，集合的交集的求法，是基础题．15．（5分）平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，•，点P在边CD上，则•的最大值是8 ．【分析】先根据向量的数量积的运算，求出A=60°，再建立坐标系，得到•=x（x﹣4）+3=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，构造函数f（x），利用函数的单调性求出函数的值域m，问题得以解决．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，•，点P在边CD上，∴||•||•cos∠A=4，∴cosA=，∴A=60°，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，∴A（0，0），B（4，0），D（1，），设P（x，），则1≤x≤5，∴=（﹣x，﹣），=（4﹣x，﹣），∴•=x（x﹣4）+3=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，设f（x）=（x﹣2）2﹣1，则f（x）在[1，2）上单调递减，在[2，5]上单调递增，∴f（x）min=f（2）=﹣1，f（x）max=f（5）=8，∴•的取值范围是[﹣1，8]，则•的最大值是8，故答案为：8．【点评】本题考查了向量的数量积运算和向量的坐标的数量积和函数的最值问题，关键是建立坐标系，属于中档题．16．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是（2，] ．【分析】作函数f（x）的图象，从而可得方程x2﹣bx+1=0有2个不同的正解，且在（0，4]上，从而解得．【解答】解：作函数f（x）的图象如右图，∵关于x的函数y=f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，∴方程x2﹣bx+1=0有2个不同的正解，且在（0，4]上；∴，解得，2＜b≤；故答案为：（2，]．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设p：关于x的不等式x+≥a2﹣a对任意的x∈（0，+∞）恒成立；q：关于x的方程x+|x﹣1|=2a有实数解．若p∧q为真，求实数a的取值范围．【分析】先求出使命题p，q为真命题的实数a的取值范围，再由p∧q为真，等价于p和q都为真，求出交集可得答案．【解答】解：对于p，当x∈（0，+∞）时，，当且仅当x=1时取等号，…（2分）所以2≥a2﹣a，得﹣1≤a≤2．…（4分）对于q，由，函数的值域是[1，+∞），…（6分）所以2a≥1，得．…（8分）因为p∧q为真，等价于p和q都为真．所以，得…（10分）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了恒成立问题和存在性问题，难度中档．18．（12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（a2+b2﹣c2）tanC=ab．（1）求角C的大小；（2）求sinBcosB+cos2B的取值范围．【分析】（1）根据题意，利用余弦定理即可求出sinC以及C的值；（2）利用三角恒等变换化简代数式，利用B的取值范围再计算即可．【解答】解：（1）由（a2+b2﹣c2）tanC=ab得，，…（1分）即；…（2分）∴，…（3分）又锐角△ABC，∴C=；…（4分）（2）==，…（7分）又△ABC为锐角三角形，且，∴B∈（，），∴2B+∈（，），…（10分）∴sin（2B+）∈（﹣，1），∴．…（12分）【点评】本题考查了余弦定理以及三角恒等变换的应用问题，是基础题目．19．（12分）在等比数列{a n}中，a3=，S3=．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=log2，且{b n}为递增数列，若C n=，求证：C1+C2+C3+…C n＜．【分析】（Ⅰ）讨论q=1，q≠1，由等比数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到q，和a1，进而得到通项公式；（Ⅱ）由对数的运算性质，求得b n=2n，化C n===（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，预计不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）∵a3=，S3=，∴当q=1时，S3=3a1=，满足条件，∴q=1．当q≠1时，a1q2=，=，解得a1=6，q=﹣．综上可得：a n=或a n=6•（﹣）n﹣1；（Ⅱ）证明：由题意可得b n=log2=log2=log222n=2n，则C n===（﹣），即有C1+C2+C3+…C n=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=﹣＜．故原不等式成立．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式，考查了分类讨论方法、和不等式的证明，注意运用裂项相消求和和不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x（米），外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y（米）．（1）求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；（2）要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？（3）当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值．【分析】（1）先由横断面积用x表示BC，从建立y关于x的函数关系式，定义域由线段必须大于零和高度不低于米求解；（2）解y≤10.5分式不等式；（3）求函数y的最小值，根据函数特点及条件可选用不等式解决．【解答】解：（1），其中，，∴，得，由，得2≤x＜6∴；（6分）（2）得3≤x≤4∵[3，4]⊂[2，6）∴腰长x的范围是[3，4]（10分）（3），当并且仅当，即时等号成立．∴外周长的最小值为米，此时腰长为米．（15分）【点评】本题主要考查利用平面图形建立函数模型以及解模的能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1，（1）当a＜时，讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）=x2﹣2bx+，当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，3]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．【分析】（1）首先求导得，再对a进行分类讨论，分别解不等式即可求出单调区间；（2）将条件对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，3]，使f（x1）≥g（x2）转化为g（x2）≤f（x）min在x2∈[1，3]有解，再参变量分离，即2b在x2∈[1，3]有解，利用基本不等式可知，故b．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，当a=0时，f'（x）＞0得x＞1，∴f（x）的递增区间为（1，+∞），f'（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x）的递减区间为（0，1）；当a＜0时，f'（x）＞0得x＞1，∴f（x）的递增区间为（1，+∞），f'（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x）的递减区间为（0，1）；当时，f'（x）＞0得，∴f（x）的递增区间为f'（x）＜0得0＜x＜1或，∴f（x）的递减区间为（0，1）和．（2）当时，由（1）知，f（x）在（0，1）递减，在（1，2）递增，∴，依题意有在x2∈[1，3]有解在x2∈[1，3]有解，又当且仅当时等号成立，∴．【点评】本题考查函数的单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题的关键是利用导数性质将条件进行合理转化．22．（12分）已知函数f（x）=（2x﹣1）e x，g（x）=ax﹣a（a∈R）．（1）若y=g（x）为曲线y=f（x）的一条切线，求实数a的值；（2）已知a＜1，若关于x的不等式f（x）＜g（x）的整数解只有一个x0，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，设出切点，可得切线的斜率和切线的方程，代入（1，0），解方程可得切线的横坐标，进而得到a的值；（2）令F（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，x∈R，求出导数，对a讨论，分①当0≤a＜1时，②当a＜0时，判断F（x）的单调性，由不等式即可解得a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=e x（2x+1），设切点，则切线的斜率，∴切线为：，∵y=g（x）恒过点（1，0），斜率为a，且为y=f（x）的一条切线，∴，∴，由，得a=1或；（2）令F（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，x∈R，F'（x）=e x（2x+1）﹣a，当x≥0时，∵e x≥1，2x+1≥1，∴e x（2x+1）≥1，又a＜1，∴F'（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上递增，∵F（0）=﹣1+a＜0，F（1）=e＞0，则存在唯一的整数x0=0使得F（x0）＜0，即f（x0）＜g（x0）；当x＜0时，为满足题意，F（x）在（﹣∞，0）上不存在整数使F（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，﹣1]上不存在整数使F（x）＜0，∵x≤﹣1，∴e x（2x+1）＜0，①当0≤a＜1时，F'（x）＜0，∴F（x）在（﹣∞，﹣1]上递减，∴当x≤﹣1时，，得，∴；②当a＜0时，，不符合题意．综上所述，．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和方程，以及单调区间，考查单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，属于中档题．。