求最大值和最小值的分治算法
正方形中最值问题10种求法
正方形中最值问题10种求法
问题描述：
在一个正方形中，有n个正整数，求其中的最大值max和最小值min。
解决方法：
1.暴力枚举：遍历整个正方形中的所有元素，找到其中的最大值和最小值。
2.排序：先将正方形中的所有元素进行排序，然后取第一个和最后一个即可得到最小值和最大值。
3.分治算法：将正方形分成四个子正方形，递归求解每个子正方形的最大值和最小值，然后取出所有子正方形中的最小值和最大值。
4.扫描算法：扫描正方形的每一列和每一行，分别求出每一列和每一行中的最大值和最小值，然后取出所有值中的最小值和最大值。
5.分块算法：将正方形分成若干块，对每一块单独求解最大值和最小值，然后取出所有块的最小值和最大值。
6.二分查找：对正方形中的所有元素进行二分查找，找到其中的最大和最小值。
7.动态规划：使用动态规划算法，计算正方形中的最大值和最小值。
8.贪心算法：使用贪心算法，从正方形的左下角开始依次遍历所有元素，每次选择当前可选元素中的最大值和最小值。
9.最大最小树算法：使用最大最小树算法，计算正方形中的最大值和最小值。
10.线段树算法：使用线段树算法，计算正方形中的最大值和最小值。
总结：
不同的求解方法适用于不同的情况。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的算法来求解。
一般情况下，暴力枚举法效率最低，而分治算法、扫描算法、分块算法、二分查找、动态规划、贪心算法、最大最小树算法、线段树算法效率较高，但也需要考虑算法的实现难度和空间复杂度等因素。
maxmin(分治法)
用分治法（二分法）可以用较少的比较次数解决上述问题。
问题可简化为如下三个步骤：（1）将数据等分为两组（两组数据可能差1），目的是分别选取其中的最大和最小值。
（2）递归分解直到每组元素的个数≤2，可简单地找到最大和最小值。
（3）回溯时合并子问题的解，在两个子问题的解中大者取大，小者取小，即合并为当前问题的解。
递归求取数组a中最大和最小元素的算法如下：maxmin（i, j , fmax, fmin）float A[n];maxmin（i, j, fmax, fmin）//最大和最小元素赋给fmax和fmin{ if (i==j){ fmax = A[i];fmin =A[i];}// 每组元素的个数=1时else if (i==j-1)if (A[i]<A[j]){ fmax ← A[j]；fmin ← A[i]}// 每组元素的个数=2时else{ fmax ← A[i]; fmin ← A[j]; }else{ mid ← (i+j)/2;maxmin(i，mid，lmax，lmin)maxmin(mid+1，j，rmax，rmin）if (lmax > rmax)fmax = lmax;elsefmax = rmax;if (lmin > rmin)fmin = rmin;elsefmin = lmin;}}例2.3.3.2在下述9个元素上模拟递归求最大和最小元素的过程。
数组A[1..9]的各个元素如下:如果用T （n ）表示maxmin 中元素比较次数，则所导出的递归关系式是： 0 n=1=)n (T 1 n=22)2n (T )2n (T +⎥⎥⎤⎢⎢⎡+⎥⎦⎥⎢⎣⎢ n>2 在最坏情况下，递归求最大最小元素比第一种算法要好一些，平均情况下两者差不多。
当n 是2的幂时，即对于某个正整数k ，k 2n =，可以证明，任何以元素比较为基础的找最大和最小元素的算法，其元素比较下界均为22n 3－⎥⎥⎤⎢⎢⎡次。
分治法求最大值最小值
分治法求最大值最小值a.为一个分治算法编写伪代码，该算法同时求出一个n元数组的最大元素和最小元素的值。
b.假设n=2k,为该算法的键值比较次数建立递推关系式并求解。
c.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较。
解答：a.同时求出原数组最大值和最小值，先将原数组一分为二，再找出划分的两个部分的最值，然后再合并最值，找划分的两个部分的最值就递归地在这两个部分中用同样的方法找最大值和最小值，然后只需要给出最小规模的确切解法作为递归出口就可以了。
算法MaxMin(A[f…l],Max,Min)//该算法利用分治法求得数组A中的最大值和最小值//输入：数值数组A[f..l]//输出：最大值Max和最小值Minif l−f=0 //只有一个元素时Max←A[f]；Min←A[f];elseif l－f=1 //有两个元素时if A[f]>A[l] //基本操作是作比较Max←A[f] ,Min←A[l]else Max←A[l] ,Min←A[f]else //有大于两个元素时MaxMin(A[f…(f+l2)],Max1,Min1);//递归解决前一部分MaxMin(A[(f+l2)…l],Max2,Min2); //递归解决后一部分Max←max {Max1,Max2};//从两部分的两个最大值中选择大值Min←min {Min1,Min2};//从两部分的两个最小值中选择小值 return Max,Min;b.假设n=2k,比较次数的递推关系式:C(n)=2C(n2)+2 ,n>2C(1)=0, C(2)=1C(n)=C(2k)=2C(2k-1)+2=2[2C(2k-2)+2]+2=22C(2k-2)+22+2=23C(2k-3)+23+22+2...=2k-1C(2)+2k-1+2k-2+...+2 //C(2)=2 =2k-1+2k-1+2k-2+...+2 //等比数列求和=2k-1+2k-2 //2k=n， 2k-1=n2=3n−22b.蛮力法的算法如下：算法ForceMaxMin(A[l..r])//用蛮力法得到数组A的最大值和最小值//输入：数值数组A[l…r]//输出：最大值Max和最小值MinMax=Min=A[l];for i=l+1 to r doif A[i]>Max Max←A[i];else if A[i]<MinMin←A[i]return Max,Minc.作比较ForceMaxMin的时间复杂度T(n)=2n−2算法MaxMin的时间复杂度为3n−2，ForceMaxMin的时间复杂度为2n-2，都属于Θ(n)，2但MaxMin的速度要比ForceMaxMin的稍快一点。
分治法寻找数组最大的两个数和最小的两个数
分治法寻找数组最⼤的两个数和最⼩的两个数分治法寻找数组最⼤的两个数和最⼩的两个数这个程序实现的结果：假如有两个并列最⼤或并列最⼩数，他们两个是有可能⼀起作为最⼤和次⼤（最⼩和次⼩）。
所以，应该尽量保证没有相同⼤⼩的数据。
但程序对相同的数据不是返回同⼀个下标的数，⽽是不同下标的数据本程序旨在练习分治法，其他的请参看最⼤和最⼩值的求法。
1 #include<stdio.h>2 #include<time.h>3 #include<stdlib.h>4int maxMin2(int *a,int i,int j,int *max1,int *max2,int *min1,int *min2);5int max(int a,int b);6int min(int a,int b);7int main()8 {9int *a;10int i,n;11int max1,max2,min1,min2;1213 scanf("%d",&n);14 a=(int *)malloc(sizeof(int)*n);15 srand((unsigned int)time(0));16for(i=0;i<n;i++) a[i]=rand()%91+10;17for(i=0;i<n;i++)18 {19 printf("%d ",a[i]);20if((i+1)%5==0) printf("\n");21 }22 printf("\n\n");23 maxMin2(a,0,n-1,&max1,&max2,&min1,&min2);24 printf("%d %d\n%d %d\n",max1,max2,min1,min2);/**/25return0;26 }27int maxMin2(int *a,int i,int j,int *max1,int *max2,int *min1,int *min2)28 {29int mid,t;30int lmax1,lmax2,lmin1,lmin2,rmax1,rmax2,rmin1,rmin2;31if(j-i==2)32 {33 *max1=max(a[j],max(a[i],a[i+1]));34 *min1=min(a[j],min(a[i],a[i+1]));35 t=a[i]+a[j]+a[i+1];36 *max2=t-*max1-*min1;37 *min2=*max2;38return0;39 }40else if(j-i==1)41 {42if(a[i]>a[j]){*max1=a[i];*max2=a[j]; *min1=a[j];*min2=a[i];return0;}43else{*max1=a[j];*max2=a[i]; *min1=a[i];*min2=a[j];return0;}44 }45else46 {47 mid=i+(j-i)/2;48 maxMin2(a,i,mid,&lmax1,&lmax2,&lmin1,&lmin2);49 maxMin2(a,mid+1,j,&rmax1,&rmax2,&rmin1,&rmin2);50if(lmax1>rmax1)51 {52 *max1=lmax1;53if(lmax2>rmax1) *max2=lmax2;54else *max2=rmax1;55 }56else57 {58 *max1=rmax1;59if(lmax1>rmax2) *max2=lmax1;60else *max2=rmax2;61 }62if(lmin1<rmin1)63 {64 *min1=lmin1;65if(lmin2<rmin1) *min2=lmin2;66else *min2=rmin1;67 }68else69 {70 *min1=rmin1;71if(lmin1<rmin2) *min2=lmin1;72else *min2=rmin2;73 }74 }75return0;76 }77int max(int a,int b)78 { return a>b?a:b; } 79int min(int a,int b)80 { return a<b?a:b; } View Code。
分治算法（实现求最大最小值和快速排序）
分治算法（实现求最大最小值和快速排序）实验一分治算法一、实验目的1)掌握分治算法的设计思想与分析方法，2)能够按题目要求编程实现分治算法。
二、方法原理将一个规模为n的原问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同；递归地求解这些子问题，然后将子问题的解合并为原问题的解。
三、实验设备PC机一台，C语言、PASCAL语言、Matlab任选四、掌握要点将原问题分解为若干规模较小、互相独立、与原问题形式相同的子问题；求解子问题；将子问题的解合并为原问题的解。
五、实验内容1)采用分治算法求10个实数{ 9,3,6,2,1,8,4,5,7,23 }序列中的最大元素和最小元素，并分析算法的时间复杂度。
2)编程实现：采用分治算法方法实现快速排序算法。
要求：输入数组为{9,4,6,2,5,8,4,5,6,22 }；限定数组排序范围；输出显示为递增顺序排序的数组。
六、实验要求1)认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的解决方案和算法；2)编写上机实验程序，作好上机前的准备工作；3)上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结果）；4)分析和解释计算结果；5)按照要求书写实验报告；源代码：1.分治算法求10个实数{ 9,3,6,2,1,8,4,5,7,23 }序列中的最大元素和最小元素#include#includeint* getmaxmin(int a, int b) {int* t = new int[2];//动态if (a < b) {t[0] = a;t[1] = b;}else {t[0] = b;t[1] = a;}return t;}int * maxmin(int a[], int low, int high) {if (high - low <= 1) {int* t = new int[2];return getmaxmin(a[low], a[high]);}else {int mid = (high + low) / 2;int* m1 = maxmin(a, low, mid);int* m2 = maxmin(a, mid + 1, high);printf("前半部分得到的值：%d, %d\n", m1[0], m1[1]);printf("后半部分得到的值：%d, %d\n", m2[0], m2[1]);int*r= new int[2];if (m1[0] < m2[0]) {r[0] = m1[0];}else {r[0] = m2[0];}if (m1[1] < m2[1]) {r[1] = m2[1];}else {r[1] = m1[1];}return r;}}int main() {int a[10] = { 8,3, 6, 2, 1, 8, 4, 5, 7,23 };int* r = maxmin(a, 0, 9);printf("最大值为：%d，最小值为：%d\n", r[1], r[0]); system("pause");}结果：2.采用分治算法方法实现快速排序算法#include#includevoid swap(int &x, int &y) {int t;t = x;x = y;y = t;}int divide_and_conquer(int a[], int low, int high) {//按枢点元素划分序列int split int k, i = low;int x = a[low];for (k = low + 1; k <= high; k++) {if (a[k] <= x) {i += 1;if (i != k)swap(a[i], a[k]);}}swap(a[low], a[i]);return i;}void quick_sort(int a[], int low, int high) {int k;if (low < high) {k = divide_and_conquer(a, low, high);quick_sort(a, low, k - 1);quick_sort(a, k + 1, high);}}void main() {int a[] = { 9,4,6,2,5,8,4,5,6,22 }; quick_sort(a, 0, 9);for (int i = 0; i < 10; i++) printf("%d ", a[i]);system("pause");}结果：。
最大值最小值的求法
最大值最小值的求法在数学中，求解一个数据集中的最大值和最小值是一项基本的操作。
通过找到数据集中的最大值和最小值，我们可以更好地了解数据的范围和分布情况。
在本文中，我们将介绍几种常见的方法来求解最大值和最小值，以帮助读者更好地理解这一概念。
一、遍历法最简单直接的方法是通过遍历整个数据集来找到最大值和最小值。
具体步骤如下：1. 初始化最大值和最小值为数据集中的第一个元素；2. 从第二个元素开始，依次与当前的最大值和最小值进行比较；3. 如果找到比当前最大值还大的元素，则更新最大值；4. 如果找到比当前最小值还小的元素，则更新最小值；5. 继续遍历完整个数据集，直到找到最大值和最小值。
这种方法简单直接，但是需要遍历整个数据集，时间复杂度为O(n)，其中n为数据集的大小。
二、排序法另一种常见的方法是先对数据集进行排序，然后直接取第一个元素作为最小值，取最后一个元素作为最大值。
具体步骤如下：1. 对数据集进行排序，可以使用快速排序、归并排序等方法；2. 排序完成后，第一个元素即为最小值，最后一个元素即为最大值。
这种方法的时间复杂度取决于排序算法的复杂度，通常为O(nlogn)，其中n为数据集的大小。
三、分治法分治法是一种高效的方法，通过将数据集分成若干个子集，然后递归地求解子集的最大值和最小值，最终得到整个数据集的最大值和最小值。
具体步骤如下：1. 将数据集分成两个子集；2. 分别求解两个子集的最大值和最小值；3. 将子集的最大值和最小值与整个数据集的最大值和最小值进行比较，更新最大值和最小值；4. 递归地继续分割子集，直到子集的大小为1，即找到最大值和最小值。
这种方法的时间复杂度为O(n)，效率较高。
四、优化方法除了上述方法外，还有一些优化方法可以进一步提高求解最大值和最小值的效率，例如使用分支限界法、动态规划等算法。
这些方法在特定情况下可以更快地找到最大值和最小值，但需要根据具体情况选择合适的算法。
综上所述，求解一个数据集中的最大值和最小值是一项基本的数学操作，可以通过遍历法、排序法、分治法等多种方法来实现。
分治算法实验(用分治法查找数组元素的最大值和最小值)
算法分析与设计实验报告第一次实验附录：完整代码（分治法）#include<iostream>#include<time.h>#include<iomanip>using namespace std;//当数组中的元素个数小于3时，处理最大值int compmax(int A[],int start,int end){int max;if(start<end) //有两个元素{if(A[start]<=A[end])max=A[end];elsemax=A[start];}else//有一个元素max=A[start];return max;}//当数组中元素的个数小于2时，处理最小值int compmin(int A[],int start,int end){int min;if(start<end) //有两个元素{if(A[start]<=A[end])min=A[start];elsemin=A[end];}else//有一个元素min=A[start];return min;}//分治法处理整个数组，求最大值与最小值void merge(int a[],int left,int right,int &Max,int &Min) //Max,Min用来保存最大值与最小值//之所以使用&引用，是由于如果只是简单的使用变量，并不会改变Max与Min的值，使用指针也可以{int max1=0,min1=0,max2=0,min2=0;if(right-left>2) //当数组中元素个数大于等于3时，进行分治{int mid=(right+left)/2;merge(a,left,mid,max1,min1); //左半边递归调用自身，求出最大值最小值，分别保存在max1,min1中merge(a,mid+1,right,max2,min2); //右半边递归调用自身，求出最大值最小值，分别保存在max2,min2中if(max1>=max2) //子序列两两合并，求出最大值与最小值，保存在Max与Min中Max=max1;elseMax=max2;if(min1<=min2)Min=min1;elseMin=min2;}else//数组中元素个数小于3时的情况，直接赋值{Max=compmax(a,left,right);Min=compmin(a,left,right);}}void ran(int *input,int n) //随机生成数组元素函数{int i;srand(time(0));for(i=0;i<n;i++)input[i]=rand();input[i]='\0';}int a[1000000]; //定义全局变量用来存放要查找的数组int main(){int n;int i;int max;int min;cout<<"请输入要查找的序列个数："<<endl;for(i=0;i<5;i++){cin>>n;ran(a,n);clock_t start,end,over; //计算程序运行时间的算法start=clock();end=clock();over=end-start;start=clock();merge(a,0,n-1,max,min); //调用分治法算法cout<<max<<" "<<min<<endl;end=clock();printf("The time is %6.3f",(double)(end-start-over)/CLK_TCK); //显示运行时间}system("pause"); //停止运行窗口return 0;}完整代码（非递归方法）#include<iostream>#include<time.h>#include<iomanip>using namespace std;void ran(int *input,int n) //随机生成数组元素函数{int i;srand(time(0));for(i=0;i<n;i++)input[i]=rand();input[i]='\0';}int a[1000000];int main(){int max=a[0],min=a[0];int i,j,n;cout<<"请输入数据规模："<<endl;for(j=0;j<5;j++){cin>>n;ran(a,n);clock_t start,end,over; //计算程序运行时间的算法start=clock();end=clock();over=end-start;start=clock();for(i=1;i<n;i++){if(a[i]>max)max=a[i];if(a[i]<min)min=a[i];}cout<<max<<" "<<min<<endl;end=clock();printf("The time is %6.3f",(double)(end-start-over)/CLK_TCK); //显示运行时间}system("pause");return 0;}。
最大最小问题的分治算法
最大最小问题的分治算法分治算法是一种解决问题的算法策略，它通过将问题分成更小的子问题，递归地解决这些子问题，最终将子问题的解合并起来得到原问题的解。
分治算法在计算机科学中有着广泛的应用，其中最大最小问题是一种非常经典的问题，也可以通过分治算法来解决。
最大最小问题是指在一个给定的数组中找出最大值和最小值。
这个问题的解决方法有很多种，比如暴力搜索，排序后取首尾元素等。
然而，使用分治算法可以更加高效地解决这个问题。
分治算法的思想是将原问题分解成更小的子问题，然后递归地解决这些子问题，最后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
在最大最小问题中，我们可以将原数组分成两个部分，然后分别求出左右子数组的最大值和最小值，最后将结果合并起来得到整个数组的最大值和最小值。
具体来说，我们可以采用以下的分治算法来解决最大最小问题：1.首先将原数组分成两个部分，分别为左子数组和右子数组。
2.递归地求解左子数组和右子数组的最大值和最小值。
3.将左子数组和右子数组的最大值和最小值合并起来得到整个数组的最大值和最小值。
在实现上述分治算法时，我们需要注意以下几点：1.基本情况的处理：当数组中只有一个元素时，最大值和最小值都是这个元素本身。
2.如何将问题分解成更小的子问题：我们可以将数组均匀地分成两个部分，然后分别求解左右子数组的最大值和最小值。
3.如何将子问题的解合并起来：我们可以通过比较左右子数组的最大值和最小值，然后得到整个数组的最大值和最小值。
分治算法在解决最大最小问题时的时间复杂度为O(n)，其中n为数组的长度。
这是因为在每一层递归中，我们需要对数组进行一次分割和一次合并操作，而对一个包含n个元素的数组进行分割和合并的时间复杂度均为O(n)。
总的来说，分治算法是一种非常高效的解决问题的方法，它将原问题分解成更小的子问题，然后递归地解决这些子问题，最后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
在解决最大最小问题时，分治算法可以通过将数组分成两个部分，然后分别求解左右子数组的最大值和最小值，最后将结果合并起来来得到整个数组的最大值和最小值，时间复杂度为O(n)。
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分析：
由于顺序表的结构没有给出，作为演示分治法这里从简顺序表取一整形数组数组大小由用户定义，数据随机生成。
我们知道如果数组大小为 1 则可以直接给出结果，如果大小为 2则一次比较即可得出结果，于是我们找到求解该问题的子问题即: 数组大小 <= 2。
到此我们就可以进行分治运算了，只要求解的问题数组长度比 2 大就继续分治，否则求解子问题的解并更新全局解以下是代码。
*/
/*** 编译环境TC ***/
#include <>
#include <>
#include <>
#define M 40
/* 分治法获取最优解 */
void PartionGet(int s,int e,int *meter,int *max,int *min){
/* 参数:
* s 当前分治段的开始下标
* e 当前分治段的结束下标
* meter 表的地址
* max 存储当前搜索到的最大值
* min 存储当前搜索到的最小值
*/
int i;
if(e-s <= 1){ /* 获取局部解，并更新全局解 */
if(meter[s] > meter[e]){
if(meter[s] > *max)
*max = meter[s];
if(meter[e] < *min)
*min = meter[e];
}
else{
if(meter[e] > *max)
*max = meter[s];
if(meter[s] < *min)
*min = meter[s];
}
return ;
}
i = s + (e-s)/2; /* 不是子问题继续分治,这里使用了二分，也可以是其它 */ PartionGet(s,i,meter,max,min);
PartionGet(i+1,e,meter,max,min);
}
int main(){
int i,meter[M];
int max = INT_MIN; /* 用最小值初始化 */
int min = INT_MAX; /* 用最大值初始化 */
printf("The array's element as followed:\n\n");
randomize(); /* 初始化随机数发生器 */
for(i = 0; i < M; i ++){ /* 随机数据填充数组 */
meter[i] = rand()%10000;
if(!((i+1)%10)) /* 输出表的随机数据 */
printf("%-6d\n",meter[i]);
else
printf("%-6d",meter[i]);
}
PartionGet(0,M - 1,meter,&max,&min); /* 分治法获取最值 */ printf("\nMax : %d\nMin : %d\n",max,min);
system("pause");
return 0;
}。