2019年高考数学试卷分析及2019年高考命题趋势
2019年全国一卷高考数学试题分析
2019年全国一卷高考数学试题分析2019年高考数学试题的一个突出特点是突出学科素养导向，注重能力考查，全面覆盖基础知识，增强综合性和应用性。
试题贴近生活，联系社会实际，落实立德树人的根本任务。
整份试卷站在落实“五育”方针的高度进行整体设计，体现五育要求。
试题考查学生数学知识的同时，引导学生加强体育锻炼，体现了对学生的体育教育。
试题突出重点，灵活考查数学本质，将基础性和创新性作为重点要求，以数学基础知识为载体，重点考查考生的理性思维和逻辑推理能力。
试题情境真实，综合考查应用能力，体现综合性和应用性的考查要求。
试卷设置的情境真实、贴近生活，同时具有深厚的文化底蕴，体现数学原理和方法在解决问题中的价值和作用。
试题设计灵活，有助于考查考生灵活应变的能力和主动调整适应的能力，有助于学生全面研究掌握重点知识和重点内容，同时有助于破解僵化的应试教育。
1.以古代典籍和社会现实为背景，体现数学应用的广阔领域和哲学思想。
2.注重基础知识的拓展和延伸，强调数学思维的培养和阅读理解能力的提升。
3.鼓励广泛覆盖各种题型，避免猜题和缩小范围。
4.概率题地位上升，数列、导数、圆锥曲线等仍是重点。
5.试题改编度适度，主要考察中学数学主干知识和主要思想方法。
建议：1.注重基础知识的巩固和拓展，多做课本和历年真题。
2.提高阅读理解能力，培养数学思维，多做应用题和综合题。
3.广泛覆盖各种题型，不要猜题和缩小范围，模拟考试时要全面模拟各种题型。
4.注意概率题和数列题的练，加强圆锥曲线的计算能力。
5.研究数学文化知识，增强文化素养，提高数学应用价值的认识。
高考数学将继续渗透数学文化，而理科概率统计解答题难度将逐渐增加。
同时，考题也将更加创新，更注重综合能力和数学基本功。
以数学基础知识为载体，对理性思维和逻辑推理能力进一步加强。
以反映我国社会主义建设的成果和优秀传统文化的真实情境为载体，增强综合性、应用性。
因此，备考时需要注意以下几点。
高考数学试卷分析及命题走向
2019年高考数学试卷分析及2019年命题走向一、2019年高考试卷分析2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国卷i)继承2019年的改革方向。
既保持了一定的稳定性，又有创新和发展；既重视考查中学数学知识掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。
1考试内容体现了《考试大纲》的要求。
2试题结构与2019年大体相同。
全卷共22小题，选择题12道，每题5分；填空题4道，每题4 分；解答题6道，前5道每题12分，最后1道14分。
3考试要求与考点分布。
第1小题，(理)掌握复数代数形式的运算法则；(文)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念、符号，能够正确表示简单的集合。
第2小题，掌握对数的运算性质。
第3小题，掌握实数与向量的积，平面向量的几何意义及平移公式。
第4小题，会求一些简单函数的反函数。
第5小题，掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。
第6小题，(理)了解空集和全集，属于、包含和相等关系的意义，掌握充要条件的意义；(文)掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
第7小题，掌握椭圆的标准方程和简单几何性质，理解椭圆的参数方程。
第8小题，掌握直线方程的点斜式，了解线性规划的意义，并会简单的应用。
第9小题，掌握同角三角函数的基本关系式，了解正弦函数、余弦函数的图像和性质。
第10小题，能够画出空间两条直线、直线和平面各种位置关系的图形，根据图形想像它们的位置关系，了解三垂线定理及其逆定理。
第11小题，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。
第12小题，掌握简单方程的解法。
第13 小题，掌握简单不等式的解法。
第14小题，(理)掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程；(文)掌握等比数列的通项公式。
第15小题，(理)了解递推公式是给出数列的一种方法；(文)直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
第16小题，掌握斜线在平面上的射影。
2019高考全国卷数学试题分析(整理版)
2019高考全国卷数学试题分析高考年年有，今年换新说。
2019年的高考数学发生“巨变”，考毕场外一片哀嚎，不是被“一朵云”遮了双眼，就是被“维纳斯”晃慌了神。
这一届考生走了，下一届考生即将到来，分析高考真题有助于新一轮的教学，接下来对全国卷三套试卷文理科试题的细致分析，希望对老师们接下来的工作有帮助！2019年新课标全国卷Ⅰ理科数学试卷分析报告纵观整张试卷，理科数学难度整体有所上升.试卷梯度明显，有良好的区分度。
对考生计算能力的考查是近年来全国卷较为明显的趋势，2019年新增加了对数字估值和近似值的考查。
试卷题型和结构基本稳定，解答题经典位置再次变动，换为概率题压轴，圆锥曲线与导数应用顺序依次提前一位.21题的第二问绕过考生熟悉的同一类知识点仅仅在一道大题中加深考查的特点，第二问出其不意的考查了构造法证明等比数列及求数列特殊项，然后结合题目中所给数据进行数据处理。
2019年试卷的字数为1821，跟2018年的字数2151相比，阅读量减少，图象增多，阅读面宽度扩大，如“断臂维纳斯”、典籍《周易》的“卦”、七场四胜制的篮球比赛、白鼠试药定药效实验.突出数学源于生活用于生活，学生的应用意识和创新意识，渗透数学文化。
知识点宽度明显拓宽，“遗漏”的知识技能再次呈现。
那些看似不考的内容被一部分教师忽视，但这次给了这些教师们一个警示，所谓的“遗漏”知识技能并不是不考了，教学与高考复习中不能存在“侥幸”心理。
重视基础知识落实和数学基本技能、方法的灵活应用依然是当今新课改的主题思想。
增大了文理的共性，进一步缩小了文理数学差距。
对新课程标准中所删减的如三视图、线性规划和程序框图等内容，在试卷中逐年减少，仅在第8题考查了程序框图.但《考纲》对这几部分内容作了要求，到底考查这三部分内容的哪个或哪些，情况扑朔迷离.部分题目似曾相识，对我们十分熟悉的知识换个同源知识点再出现在高考中，考查了同一个知识点的不同的面，且在重要知识点覆盖面上起着很好的补充作用。
2019年高考数学试卷分析
2019年高考数学试卷分析2019年高考数学试卷分析随着2019年高考的结束，作为一名一线教师，我们需要对今年的高考试题进行细致的研究。
陕西省是首次使用全国卷，为下一年的平稳过渡做好了铺垫。
首先，在题型设置上与全国卷保持一致，这让师生们感到很亲切，有老朋友相见的感觉。
今年的全国卷数学试题从试题结构与去年相比变化不大，严格遵守考试大纲说明，五偏题，怪题现象。
试卷难度呈阶梯型分布，试题更灵活。
入口容易出口难，有利于高校选拔新生。
一、总体分析：1.试题的稳定性：从文理试卷整体来看，考查的内容注重基础考查，又在一定的程度上进行创新。
知识覆盖全面且突出重点。
高中知识“六大板块”依旧是考查的重点。
无论大小体目90%均属于常规题型，难度适中。
是学生训练时的常见题型。
其中，5，15，18注重考查了数学在实际中的应用能力。
这就提示我们数学的教学要来源实际，回归生活，既有基础与创新的结合，又能增加学生的自信心，发挥自己的最佳水平。
2.试题的变化：有些复课中的重点“二项式定理”、“线性规划”、“定积分”、“均值不等式”等知识点并没有被纳入，而“条件概率”则出现在大题中，这也对试题的难度进行区分。
在难度方面，选择题的12题、填空题的16题对学生造成较大困扰，这也有利于对人才的选拔。
解答题中的20、21题第一问难度适中，第二问都提高了难度。
这也体现了入口易，出口难，对人才的选拔非常有利。
3.试题的详细分析：选择题部分1）考查复数，注重的是知识点的考查。
对负数的运算量则降低要求，这要求我们不仅要求对运算过关，更强调知识点的全面性。
2）集合的运算：集合的交并补三种运算应是同等对待。
在平时的教学中，出现的交集运算比较多，而并集、补集易被忽略。
（而文科考的常规是交集运算，理科更为灵活。
）3）向量的运算：俩向量的平行、垂直一直是考查重点。
（文科考平行，理科考垂直）4）直线与圆的位置关系：要求学生会用几何法判断直线与圆的位置关系，且熟记点到线的距离公式。
2019高考数学分析
解：
f
(x)
sin(x) x cos(x) (x)2
sin cos
x+x x+x2
f
(x) ，
故函数 f (x) 为奇函数，排除 A．
又
f
( )
1 2
0 ，排除 B，C，
因此选 D．
特点 4：考查数学应用
试题（2019 全国Ⅱ卷文 14、理 13） 我国高铁发展迅速，技术先进．经统计， 在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的 正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经 停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估 计值为__________．
若顾客每一笔订单至少订购 2 盒，则总价至 少是 120 元（两盒草莓）．
要保证李明每笔订单得到的金额均不低于促 销前总额的七折，两盒水果的总价应该最低，总 价总价是 120 元（两盒草莓）．由题意，得
(120 x)80% 12070% ，解得 x 15 ．
即 x 的最大值为15 ．
特点 5：考查核心素养
故 BM EN ，因此选 B．
试题（2019 全国Ⅰ卷理 17）
△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，
设 (sin B sin C)2 sin2 A sin Bsin C ． （Ⅰ）求 A ；
（Ⅱ）若 2a b 2c ，求sin C ．
解：（Ⅰ）已知式展开并整理，
所以sin C 60 2 ， 2
故 sin C sin C 60 60 sin C 60 cos 60 cos C 60 sin 60
2 1 ( 2 ) 3 6 2 ．
22 2 2
4
由于 0 C 120 ，
2019年高考(全国卷)理科数学试题评价与质量分析报告
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题评价与质量分析报告一．对2019年高考理科数学试题(全国新课标Ⅱ卷)的分析2019年甘肃省高考数学理科试题(全国新课标Ⅱ卷)（新课标全国卷Ⅱ卷适用地区：甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、西藏、陕西、重庆；海南）遵循《课程标准》的基本理念，严格依据《2019年全国(新课标卷)考试说明》的基本要求，全面贯彻新时代党的教育方针和全国教育大会精神，鲜明体现“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”的教育目标，以落实立德树人、服务高校人才选拔、导向中学教学为命题出发点，较好地坚持了“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，在以能力立意的命题思想指导下，注重了数学的学科特点和育人功能，体现了知识的基础性和综合性，着意将知识、能力与素质融为一体，既全面考查了必备知识和基本技能，又着重考查了核心考点、数学思想、核心素养、数学应用、创新意识、传统文化、“五育”精神以及考生进入高校继续学习的潜能．与2018年相比，主观题在各部分内容的布局和考查难度上进行了适当的调整和动态设计，这在一定程度上有助于考查考生灵活应变的能力以及自我调整心态的素质，有助于学生全面学习和掌握重点知识和重点内容，同时也有助于破解僵化的应试教育.试卷的结构保持了全国卷高考数学试卷稳健的一贯风格，试题设计体现了“大稳定、小创新”的成熟设计理念，科学灵活地确定试题的内容和顺序,难度适中，结构合理，有较好的区分度.表1 2019年高考理科数学试题(全国卷Ⅱ)试卷结构及考点分布表解答20题)，圆锥曲线占22分（选择8题、选择11题、解答21题），概率统计占22分（选择5题、填空13题、解答18题），立体几何占22分（选择7题、填空16题、解答17题），三角函数与解三角形15分（选择9题、选择10题、填空15题），数列12分（解答19题），不等式及应用20分（选择1题、选择6题、选修4-5含绝对值的不等式），选考题10分(极坐标方程、不等式)，集合5分（选择1题），复数5分(选择2题)，数学运算5分(选择4题)，平面向量5分(选择3题).从主干知识的分布不难看出:试题难度结构合理，提高了区分层次，由易到难，循序渐进，具有一定梯度，能较好区分不同程度的学生，有利于高校选拔.如选择题第1--3题，5--8题，第10题，填空题第13、14、15题、解答题第17、18、19题都属于基础题，对于运算能力较强的学生都能较顺利解答；选择题第4、9、10、11题，填空题第16题，选考题第22、23题难度中等，对中档程度学生不会构成太大困难；选择题第12题，解答20题，21题这部分试题的设置虽是由浅入深，题目看似熟悉但上手并不容易，要完整解答更非易事.我们注意到2019年甘肃省高考数学理科试题(全国新课标Ⅱ卷)的一些非重点知识点没有考查，如命题的否定、数学归纳法、合情推理、二项式定理、三视图、基本不等式、定积分、程序框图、线性规划、统计图表、随机事件的分布列及期望、独立性检验和回归分析,尤其是以往常考的线性规划、程序框图是首次未考查，我们知道，程序框图、线性规划、二项式、三视图、定积分等内容在即将到来的新教材中被删除.同时，解答题的题目设置的顺序较以往有了很大的变化，立体几何解答题近几年来首次调整到第一道大题，数列连续考查，导数和圆锥曲线的第二问难度加大.所以相对于2018年(全国新课标Ⅱ卷)总体难度略有上升.具体来说有以下几个特点：1．试题整体稳定，结构略有调整2019年高考全国数学Ⅱ卷试题仍然延续了全国高考数学新课标卷稳中求变的风格，与2017年和2018年相比较，试题整体难度介于两者之间，个别题目有较大的难度.试卷最明显的变化是部分解答题的排列顺序有较大改变，变化幅度之大是前几年都没有的.立体几何位置提前到第17题，题目难度有一定下降，数列解答题放在了第19题，这是一个很明显的变化，但是立体几何和数列的难度和考察方向都与往年区别不大，只要掌握基本知识和方法就可以完整地解答；概率的难度也有一定的降低，回归到课本基础，只要学生掌握基本概念和基本公式，会对实际问题进行分析，就能较轻松的拿到分数；导数与往年相比运算量减小，难度略有降低，但本题第二问需要掌握“隐零点替换”技巧，对学生思维要求较高，体现了函数与方程、整体代换思想，总之本题入手容易，满分难；解析几何作为压轴题形式出现，第一问较为简单，但容易遗漏特殊情况，学生需逻辑严密，第二问有一定计算量，需要学生有扎实的运算能力和条件分析能力，拿到满分有较大的的难度；极坐标与参数方程考察形式跟以往相比有所改变，考察了学生读题审题能力，不等式考查的内容较为稳定，没有大的变化.尽管在试题排列顺序上有变化，但依然是由易到难，循序渐进，注重固本强基，夯实发展基础，稳中有变，助力破解应试教育.2．体现基础考查，重难点有所倾斜2019年高考数学试题，仍然注重对基础知识、基本方法、基本技能及高中数学主干知识的考查.在内容上，考察内容方面注重基础的考察，重点突出考察“三角函数”、“数列与不等式”、“立体几何”、“概率统计”、“解析几何”、“函数与导数”，这六大板块依旧是考察的重点，依然体现了“以学生为本”，“在基础中考察能力”的要求.试题起点较低，以集合、复数、向量、数学运算、数字特征等多道容易题开始，便于考生的心理稳定和思维的展开.但是考察的重难点开始往新课改的方向有所倾斜，前几年必考题型在今年的高考中有所删减，尤其是线性规划和算法程序框图的删减，删减的方向恰好体现了新课改改革方向，也侧面传递了一个信号，今后的教学和教研中要结合新课程教学理念所呈现出的科学性、先进行以及学习理念、学习方式，促使新课改革的不断深入.3．重视通性通法，深入考查数学思想方法今年的试题还淡化特殊技巧，注重通性通法的考查和对数学思想的考查.尤其是选择题和填空题大部分都比较基础和常规，解答题的17、18、19题都是常规的考查，和往年考题类似，体现了通性、通法，学生只要掌握基本概念，又扎实的基本功和运算能力，解答这些题目应该会比较轻松.同时，试题以数学基础知识、基本能力、基本思想方法、基本活动经验为考查重点，加强针对性，有效地检测考生对数学知识中所蕴含的数学思想方法的掌握，如12题函数考察了函数图像的平移和伸缩变换，体现了数形结合思想，并没有涉及特殊函数等更综合的内容，整个试卷还考查了函数与方程思想、分类讨论思想、化归思想等重要数学思想方法，掌握了数学思想方法，就能透彻的理解数学知识，有助于创造能力的培养.4．结合生活实际，重视数学应用能力考查2019年高考数学试题中出现了很多与时事发展的交汇处寻找创新点的题目，与国家经济社会发展、科学技术进步、生产生活实际紧密联系起来，通过设置真实的问题情境，考查考生灵活运用所学知识分析解决实际问题的能力.如第4题体现了嫦娥四号探测器实现人类历史上首次月球背面软着陆，第13题体现了我国高速发展的高铁事业等，这样加强了数学与时事之间的内在联系，反映了当前国家对基础设施建设的高度重视，体现“立德树人”的教育理念，考查更加立体；考查学生的阅读理解能力与运用数学模型解决实际问题的能力，也较好的考查学生的知识迁移水平，同时对推理步骤的严谨性，答题过程的条理性，解题过程的探索性都有较高的要求，具有浓厚的时代气息，体现了数学与社会的密切联系.5．渗透数学文化，培养数学精神考纲特别强调对于数学文化的考查，今年的考题仍然延续了这一点，如第16题，考察了中国悠久的金石文化与立体几何的联系.数学素养不仅涵盖了数学的基础知识、基本技能和它们所体现的数学思想方法与能力，还有在此基础上的应用意识和创新意识，还渗透到其他学科和领域.总之，综观今年的数学卷，稳中有新，紧扣大纲,注重基础和能力，更注重学生的数学核心素养的考查，很好的体现了高考的选拔功能.2019年高考数学Ⅱ卷试题对中学数学教学起到了很好的导向作用，明确体现在回归课本，夯实基础，重视数学思想方法等，培养学生搜集和处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力，实现从重视结果教育到重视过程教育的转变.二．考生答卷质量分析（一）数据统计（省考试院提供）表2 2019年甘肃省高考理科数学试卷分析统计表样本量: 133286 题号平均分标准差难度区分度T1_1 4.68 1.23 0.94 0.17T1_2 3.99 2.01 0.80 0.26T1_3 3.71 2.19 0.74 0.39T1_4 2.76 2.48 0.56 0.40T1_5 4.54 1.44 0.91 0.15T1_6 4.34 1.70 0.88 0.23T1_7 3.91 2.06 0.78 0.29T1_8 4.22 1.81 0.84 0.39T1_9 2.86 2.47 0.57 0.50T1_10 3.93 2.05 0.79 0.39T1_11 2.25 2.49 0.45 0.41T1_12 1.53 2.30 0.31 0.21样本量: 133286 题号平均分标准差难度区分度T2_13 4.14 1.88 0.83 0.20T2_14 1.48 2.28 0.30 0.47T2_15 3.75 2.17 0.75 0.41T2_16 1.87 1.65 0.37 0.30T2 11.23 4.85 0.56 0.34T3_17 8.17 3.15 0.68 0.37T3_18 4.77 4.14 0.40 0.45T3_19 7.42 4.01 0.62 0.51T3_20 1.39 1.55 0.12 0.13T3_21 2.91 1.91 0.24 0.21总分82.67 24.94 0.55样本量：110010 题号平均分标准差难度区分度T3_22 4.32 1.82 0.43 0.30样本量：23276 题号平均分标准差难度区分度T3_23 2.76 2.45 0.28 0.46 表3 2019年甘肃省高考理科数学客观题分析（单位：人）（二）考生答卷情况分析1．选择题选择题主要考查基础知识和基本运算能力.第1题到第10题几乎是历年高考的必考考点，涉及内容是集合运算、共轭复数、平面向量、数学运算、样本的数字特征、函数的单调性、点线面的位置关系、圆锥曲线、三角函数、三角恒等变换等，题型常规，考生对题型熟悉，能较好解决.第11、12题综合性、运算量加大，注重对学生数学素养、数学思想方法的考查.主要失分在第4、9、11、12题，第4题结合“嫦娥”四号实现人类历史首次月球背面软着陆的技术突破考查近似估算的能力，明确考查数学核心素养中的数学运算，学生一看题就蒙了，乍一看像是考物理，题目文本较长，信息较多，学生感觉无从下手，不能理解清楚题意而失分.第9题主要考查三角函数的图像与性质，三角函数的周期性与单调性，本题以三角函数为载体，考查了三角函数的图像及图像的变换，三角函数的周期性，数形结合的思想，有一定的综合度，难度不算大，但是学生的综合能力较弱，导致失分.第11题考查了双曲线和圆的综合应用，求解双曲线的离心率问题，可从方程的角度入手，根据题目给定的等量关系列出齐次式求解，也可利用数形结合，由等量关系直接得出，从得分率看到，学生分析能力、运算能力明显不足，导致失分.第12题是函数问题考查递推函数，函数的图像，根据函数的值域，类似函数的周期性寻找满足条件的自变量的取值，综合性较强，很多考生综合分析问题、解决问题的能力较弱而失分.表4 选择题各题满分率统计表2．填空题填空题依然考查基础知识和基本运算能力.第13、14题的平均分分别为4.14分、3.75分，得分情况较好，第13题考查了样本的数学期望的理解与计算，第14题考查了余弦定理和三角形面积的计算，都属于基本问题，绝大部分考生都能顺利完成.第14题是函数的奇偶性与指数、对数运算的综合应用问题，难度不大，但是平均分仅有1.48分，甚至比第16题得分都低，是填空题得分情况最差的一题，反映出学生对于综合性稍强的函数性质与指数、对数运算的应用不熟练，逻辑关系分析不到位.第16题考查了半正多面体的面与棱长的计算，对空间想象能力及综合思维能力要求较高，是考生失分的主要原因.3．解答题第17题属于立体几何问题，是长方体中关于线面垂直的证明以及二面角的正弦值的求解，此题与2018年第20题题型设置基本相似，难度降低，考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、基本运算能力等.第一问是线面垂直的证明，可以用线面垂直的判定定理来证明，定理的正确使用及规范的表述是关键.第二问先利用题设条件推出侧棱长与底面长的关系，再建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的正弦值，从学生答卷情况看，基本上大部分考生都可以正确建系，准确找点，有效计算，属于考生比较熟悉的题型.抽样统计300份答卷的得分情况来看，满分34份，占11.3%，得分10分以上166份，占55.3%,超过了半数.考生答卷中主要存在的问题有：①第一问中考生不能准确找到关键的线线垂直，不能进行有效的证明；②考生对于线面垂直定理记忆不准确，应用不熟练，只凭自己感觉写出结果；③建系后未能找对点的坐标；④未能找到侧棱长和底面边长之间的关系；⑤法向量的求解有误，主要错误在于计算失误；⑥夹角公式使用错误，将余弦错用为正弦；⑦同角三角函数基本关系的运用出现错误.第18题属于概率问题，是以乒乓球比赛为实际背景，考查随机事件的概率，相互独立事件同时发生的概率，互斥事件有一个发生的概率，并且考查对实际问题的分析能力，理解离散型随机变量取值的实际意义等.这样的背景与学生的日常活动密切相关，但实际情况并不一定是这样，此题是近些年高考指挥棒为倡导素质教育给出的明显的信号，学生应该去做一些有益于身体健康的活动，并且在活动中要注意对规则的学习和研究.学生获取知识的渠道是多种多样的，而不是仅仅在教室里和书本上.但从答题情况来看，考生总体答题情况并不理想，抽样统计500份答卷的得分情况来看，满分卷仅60份，占12%，而0分多达94份，占18.8%，其余分值占比都较小，均未超过9%，明显两极分化严重，反映出学生对概率相关概念还是比较模糊，对实际问题的分析不到位.考生答卷中主要存在的问题有：①不明确题目信息，对题意理解不清；②概念模糊，概率计算公式记忆不到位；③未能明确变量所代替数值的含义；④答非所问，有不少考生求了分布列和期望；⑤计算出现错误.第19题属于数列问题，是以数列为载体设置的考题，考查了数列的递推公式的应用，等差、等比数列的定义，并利用等差、等比数列的定义进行证明，以及等差、等比数列通项公式的求解.考查考生的观察能力、分析能力、解决问题的能力和整体意识，首先要观察证明的数列的通项形式和已知条件中的递推式的关系，其次要明确等差、等比数列的定义，要记清等差、等比数列的通项公式，还有方程思想的应用.抽样统计600份答卷的得分情况来看，满分卷达116份，占19.3%，占比最高，但0分卷有44份，占7.3%.此外，专门抽查了100份0分答卷，其中43份未做达，交了白卷，其余57份答卷主要是仅仅计算了数列的前几项等.考生答卷中主要存在的问题有：①对题意理解不清；②考生对于如何利用定义证明等差、等比数列不清楚；③没有明确表述等差、等比数列的基本量，未能说明数列的首项及公差、公比；④考生对于等差、等比数列的通项公式记忆不清；⑤运算化简出现严重失误.第20题属于导数与函数综合问题，考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题，切线问题，以函数为载体考查考生的基本运算能力、分析问题和解决问题的能力以及应用意识.第一问是求具体函数的单调区间的问题，并且利用零点存在性定理证明函数的零点个数，属于常规问题，但是零点的找取要能根据函数解析式的特点，有效的选择自变量，计算得出对应的函数值出现异号，要具备一定的观察和探索能力，同时，还要能迁移得出另一零点，对很多考生来讲就出现了困难.第二问是证明切线与另一曲线也相切，关键是切线与另一曲线的切点并不清楚，需要找到那个切点，并且转化为证明两切点连线的斜率和切线斜率相等，有一定的难度.抽样统计500份答卷的得分情况来看，满分仅1人，10分以上仅5人，仅占1%，主要得分集中在2分及以内，共427分答卷，占85.4%，其中0分有104份，占20.8%，1分有149份，占29.8%，基本上是仅求导正确而得分.考生答卷中主要存在的问题有：①导函数求解错误；②未考虑函数的定义域；③未能找到使函数值有正负变化的自变量；④不会求切线方程；⑤未能找到与另一曲线的切点.第21题属于解析几何问题，是高考的传统难题，考查利用直接法求动点的轨迹方程，椭圆的基本性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，证明两直线的垂直，求三角形面积的最大值，考查转化问题的能力和基本运算能力.第一问设计了直接法求动点轨迹方程，并说明所得曲线形状；第二问设计了在第一问的条件下利用椭圆的基本性质和直线与椭圆的位置关系证明两直线的垂直，求解三角形面积的最大值，综合性强，难度大，重点考查思维的灵活性、运算能力以及综合应用知识解决问题的能力.本题满分卷共计53份，仅占0.04%，得6分以上共计1663份，占1.24%，而得0分的多达30118份，占22.6%，其中一半的学生是空白卷，其余的进行了作答但未答对任何关键点.考生答卷中主要存在的问题有：①很多考生因计算速度问题，没有时间完成本题；②斜率公式记忆不清；③有很多考生一开始就设定曲线为椭圆，先入为主，还有考生利用双曲线和抛物线的方程进行求解；④化简运算错误，计算能力不过关；⑤未考虑曲线方程的限制条件；⑥未能说明曲线形状或是将椭圆的“椭”写错；⑦思路不清晰，基本方法不熟悉，第二问基本上没有明确的解题思路；⑧最值求解困难.第22题是选作题，考察4-4极坐标与参数方程，选做此题作答的考生有110010人，占总人数的82.5%，与2018年选做此题的比例相比略有上升，这也反映出我省大部分高三教师在复习备考过程中对选做题的导向.本题重点考查极坐标方程的应用.第一问根据点在曲线上，已知极角求极径，根据已知条件求直线的极坐标方程，第二问求动点轨迹的极坐标方程.考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力，可以利用极坐标直接求解，也可以转化为直角坐标求解之后再转化，方法灵活.考生答卷中主要存在的问题有：①考生对于特殊角的三角函数值的记忆出错；②不会求直线方程；③化简运算错误，计算能力不过关；④未考虑曲线方程的限制条件.第23题是选做题，考察选修4-5不等式，选做此题作答的考生有23276人，占总人数的17.5%，与2018年选做此题的比例相比略有下降，第一问考查含绝对值不等式的解法，第二问考查含绝对值不等式中的含参问题，难度与2018年的试题相当.由于平时练习的少，所以此题的得分率与22题相比并未显示出过多的优势.考生答卷中主要存在的问题有：①考生对绝对值的概念不清楚，不会利用定义法去掉绝对值；②考生对于集合的运算没有掌握；③逻辑思维能力弱，表述能力欠缺.三．与2018高考理科数学全国Ⅱ卷对比表5 2019年与2018年高考理科数学试卷各题均分统计表四．教学及备考建议2019年高考理科数学全国Ⅱ卷的试题稳中有变，在题目的顺序与重难点上有所调整，为2020年的高考改革预热.再纵观近几年的高考试题，可以看出命题的基本方向变化不大，关注对过程性知识的考查，关注对应用知识和创新意识的考查，注重检测学生的探究能力和学科素养.因此，考点、试卷结构、难度依然会保持稳定，内容不会有太大变化.所以，在2020年的高考数学复习中需要注意以下几个方面的问题:1．认真研读《课程标准》、《考试大纲》和《考试说明》，关注时事热点，把握方向根据以往的惯例，2020年的《考试大纲》会在2019年《考试大纲》的基础上有所变化，教师更应关注到这些变化对高考命题走向的影响，要认真研读《课程标准》、《考试大纲》和《考试说明》．同时，热点问题不仅仅在语文、文科综合中体现，已经开始逐渐渗透到了数学的考试中，如选择题第4题体现的嫦娥四号探测器实现人类历史上首次月球背面软着陆，第13题体现的我国高速发展的高铁事业等，加强了数学与时事之间的内在联系，反映了当前国家对基础设施建设的高度重视，体现“立德树人”的教育理念，教师应当把这些融入到自己的课堂教学中．2．构建知识网络，立足基础，注重回归课本学生所学和复习过的知识虽然很多，但是学生是否已经掌握，能否有效地运用，这才是关键，所以需要对知识点进行梳理，把所学知识连成线、构成面、形成网，从而使知识系统化，层次分明，条理清楚，便于记忆，确保基本概念、公式等牢固掌握，运用自如.由于试题突出对基础知识考查，以中等难度的题为主，易、中、难的试题比例合理，容易题和中等题占120分左右.因此必须对基础知识进行全面复习，重点掌握.“源于课本，高于课本”是高考命题的基本原则，每年高考结束后，我们都会发现高考题中有许多题目都是课本中的例题、习题的改编或重新组合，特别是选择题与填空题，其解题思路往往遵循课本中的习题或定理中的思想方法，真可谓“题在书外，根在书内”.实践表明，以课本为素材组织好高考复习是提高高考成绩的有效途径.因此建议在有限的复习时间内注意回归课本，吃透课本上的典型习题、例题，以不变应万变．3．研究高考试题，关注命题特点，把握命题趋势高考数学试题是命题专家根据考试大纲和课程标准，立足教材而科学设计的典型题，所以高考试题是备考的风向标，具有明确的指导性和重要的示范性．虽然主干知识每年重点考，知识点轮回考，但是每年高考试题都有创新.因此要重点研究试题的考点、试题的题型、试题的立意、试题的解法、试题的推广、试题的变化等问题，找准高考数学命题的特点，综合高考数学命题的规律，把握高考数学命题的方向，使备考落实到考点上，让高考备考更具有针对性与实效性，做到有的放矢，避免“题海战术”，对学生的复习起到事半功倍的作用．4．注重数学思想方法，重视通解通法，关注社会生活数学思想方法是对数学知识最高层次的抽象与概括，属于思维和能力的范畴，它是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁.数学思想方法可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，它是解数学题寻找思路与方法的抓手.纵观历年的高考试题，都突出了对数学思想方法的考查，以知识为载体，把对数学思想方法的考查寓于对各部分知识的考查之中，着重考查学生的能力和方法.近几年高考数学以数学基础知识、基本能力、基本思想方法为考查重点，无怪题与偏题，注重对数学通性通法的考查，试题淡化了特殊的解题技巧，很多试题的解答都是用常规解法，有利于学生正常发挥水平.近几年高考数学通过贴近生活实际的问题为背景设置试题，考查学生的阅读理解能力与建模能力，体现了数学在解决实际问题中的作用，体现了新课标的教育理念.预测2020年的高考数学中，对数学思想的考查、通解通法的考查、解决实际问题的能力的考查不会削弱，只会加强.所以在复习过程中一定要注重数学思想方法，重视通解通法，关注社会生活，培养数学建模能力．5．强化定时训练，重视模拟考试，提高应试技巧高考是选拔性考试，是以考生的解题能力高低论英雄，解题能力高，考分就高，所以高考备考的最终目标是提高学生的解题能力.由于考生运算能力差、答题不规范，造成考生在高考中经常出现会而不对的情况，由于解题速度和精确度不高，思维不严密，心理负担过重，造成考生高考成绩不理想.因此考前进行强化定时训练和模拟考试是非常必。
2019年全国1卷高考数学（理科）试题评析
2019年全国1卷高考数学（理科）试题评析一、总体评价2019年高考数学命题严格依据考试大纲，重点考察数学的基础知识和应用，试题稳中求新，稳中求变，较2018年题有较大变化，整体难度合理。
二、试题特点1.突出主干，强调本质2019年高考全国卷Ⅰ理科数学试卷突显了主干知识的价值，强化了对三角函数和函数与导数（39分）、数列（10分）、立体几何（17分）、解析几何（22分）、统计与概率（17分）等核心主干知识的考查力度。
这与新高考改革所倡导“突出独立思考、逻辑推理、数学应用、数学阅读和表达等关键能力的考查，突出对数学思想方法的理解，重视数学核心素养考查”的思想是契合的。
2.强化思维，有效区分不同思维层次的考生今年试题非常侧重对逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力的考查。
命题从知识立意到能力立意，再从能力立意发展到学科素养立意，目的就是以数学知识为载体，培养学生的理性思维和数学精神，考查考生理性思维的广度和深度，满足了高校对人才选拔的需求（如题20和21题）。
3. 强调数学理论与实践相结合通过设置真实的问题情境，引导学生从“解题”到“解决问题”能力的培养，使得学生能灵活应用所学知识进行分析问题与解决问题，提高学生学习数学兴趣（如21题）。
同时增强数学文化浸润，试题注意吸收世界数学文化的精华，引导学生热爱数学文化。
4. 注重基础，突出能力2019年高考数学卷Ⅰ理科数学命题严格遵循了《考试大纲》和《数学课程标准》的要求。
试题总体难度平缓，背景公平，容易题、中档题和难题的比例基本是3：5：2。
试卷注重基础，解题思路常规，大多数试题都是以往高考和课本作业题适度拓展改编，即使是高区分度试题也是以中学数学主干知识和主要思想方法为载体的，较对比2018，选填变换增加：1道数学文化，1道概率；减少：排列组合和二项式定理模块，三视图；解答题题由以往的导数调整为概率数列综合，而导数作为第二题；选做题由解绝对值调整为不等式的证明。
2019年高考全国Ⅰ卷数学试题特点分析与教学思考
不等式选讲
23
条件不等式. 证明不等关系.
说明 (1) 2019 年全国高考数学 I 卷考查的覆盖面广, 每 个模块的内容都有涉及, 且基本与教学课时的比例相当. 除 了考查了《考试说明》中界定的“数学基础知识”(包括函数 和导数、数列、不等式、三角函数、平面向量、立体几何、解析 几何、统计与概率、算法) 外, 还考查了集合、复数等数学基础 知识, 并根据《考试大纲》修订的要求, 考查了数学文化.
11 选择题 5
15 填空题 5
平面向量的夹角. 解三角形 (正、余弦定理). 三角函数的最值.
一、2019 年全国高考数学 I 卷试题特点分析
(一) 考查内容分布 2019 年全国高考数学 I 卷试题考查的知识点涉及集合,
概率与统计 立体几何
6 选择题 5 系统抽样. 17 解答题 12 服务质量评价. (1) 概率; (2) 2×2 列联表. 16 填空题 5 空间点到平面的距离.
(2) 为了与新一轮课程改革对接, 有些知识点的考查作 了适应的调整, 如 2019 年全国高考数学 I 卷文理科都没有考 查“三视图”和“线性规划”这两个往年的常考问题; 必考解 答题的顺序作了一定的调整, 如概率统计题, 文科放在第 17 题, 理科放在第 21 题; 选考题的考查方向有所调整、难度有 所加大.
等差数列的通项与前 n 项和. 等比数列的基本运算.
算法
8 选择题 5 程序框图的运算.
7 选择题 5 平面向量的夹角.
平面向量与三角 11 选择题 5 三角函数的性质.
解三角形. (1) 求角; (2) 求角的函数 17 解答题 12
值.
6 选择题 5 古典概型,《周易》中的卦.
概率与统计
2019年全国一卷高考数学试题分析
2019 年高考数学试题整体分析1.试题突出特色：“突出数学学科特色，着重考查考生的理性思维能力，综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力。
” 2019 年高考数学卷一个突出的特点是，试题突出学科素养导向，注重能力考查，全面覆盖基础知识，增强综合性、应用性，以反映我国社会主义建设的成果和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，在数学教育、评价中落实立德树人的根本任务。
2.试题考查目标：（1）素养导向，落实五育方针2019 年高考数学科结合学科特点，在学科考查中体现五育要求，整份试卷站在落实“五育”方针的高度进行整体设计。
理科Ⅰ卷第 4 题以著名的雕塑“断臂维纳斯”为例，探讨人体黄金分割之美，将美育教育融入数学教育。
文科Ⅰ 卷第 17 题以商场服务质量管理为背景设计，体现对服务质量的要求，倡导高质量的劳动成果。
理科Ⅰ卷第（ 15）题引入了非常普及的篮球运动，以其中普遍存在的比赛结果的预估和比赛场次的安排提出问题，要求考生应用数学方法分析、解决体育问题。
这些试题在考查学生数学知识的同时，引导学生加强体育锻炼，体现了对学生的体育教育。
（2）突出重点，灵活考查数学本质2019 年高考数学试题，突出学科素养导向，将理性思维作为重点目标，将基础性和创新性作为重点要求，以数学基础知识为载体，重点考查考生的理性思维和逻辑推理能力。
固本强基，夯实发展基础。
理科（ 4）题源于北师大版必修五 67 页；理科（ 22）题源于北师大版 4-4 第 53 页；理科（ 16）和华师大附中五月押题卷（14）几乎一模一样。
理科（ 21）题可视为 2011 清华大学七校联考自主招生考试题的第 15题改编。
题稳中有变，助力破解应试教育。
主观题在各部分内容的布局和考查难度上进行动态设计，打破了过去压轴题的惯例。
这些改革释放了一个明显的信号：对重点内容的考查，在整体符合《考试大纲》和《考试说明》要求的前提下，在各部分内容的布局和考查难度上都可以进行调整和改变，这在一定程度上有助于考查考生灵活应变的能力和主动调整适应的能力，有助于学生全面学习掌握重点知识和重点内容，同时有助于破解僵化的应试教育。
2019年全国高考数学一卷总体分析
2019年全国高考数学一卷总体分析与2019年高考备考建议株洲县第五中学阳志长2019年湖南高考数学使用新课标高考全国数学一卷.与往年相比，2019年高考全国一卷数学试题，试卷结构保持不变，考查内容基本一致，体现了高考的稳定性与延续性；注重基础知识，体现数学思想，考查数学运算、应用、创新等能力.突出对数学抽象、逻辑推理、数据分析等核心素养的重视和“回归教材”，以及文理合卷等特点.2019年高考湖南省阅卷结果：文科数学平均分55分，比2019年湖南省文科数学平均分67.96分下降12.96分；理科数学79.9，比去年78.82升了1.08分,这是预料中的事情.今结合2019年高考试题、在权衡2019年上期所做《2019－2019年全国高考数学试卷（I）总体综合分析》（以下简称《分析报告》）报告得失的基础上，我们试图为大家提供备考2019年数学高考的方略，供一线数学教师参考.一、考点分布2019年全国高考数学一卷考点分布是按照所考的主要知识点分类、有交汇，分值不能严格区分时、是按照大题分值标注的.二、考查分析（一）常考知识点在《分析报告》中，我们列出常考知识点：集合运算、复数的代数计算、函数基本性质（单调性、奇偶性、周期性等）、导数及其运用、三角函数（恒等变换、图像及性质、解三角形）、平面向量的计算、数列（等差、等比的相关知识）、线性规划、二项式定理（理）、程序框图、概率（古典概型）、统计的基本知识、立体几何（空间点、线、面的位置关系）、圆锥曲线（定义、性质）等.从上面列表可以看出，2019年高考全国一卷基本上覆盖了高中数学的所有重要的知识点，预测是准确的.2019年高考数学全国一卷命题的基本思路仍然是：以选择题、填空题“小题”的形式覆盖知识点，引导高中数学教师落实《课程标准》的基本要求，做好“保底”工作；以解答题“大题”的形式着重考查综合素养，提高区分度、强化选拔功能；文理同题（同宗题或姊妹题）略有增加，为高考数学文理合卷进一步创造条件.（二）板块分析1.三角函数该知识点在整个试卷中理科占有17分、文科占有20分，文科以四道小题、理科以一道小题一道大题的形式呈现.题目之间互补，形成纵向“问题链”，主要考查三角恒等变换、三角函数图象与性质、解三角形，估计2019年不会有大的变化.2.数列该知识点在整个试卷中理科占有10分、文科占有12分，理科以两道小题，文科以一道大题的形式呈现.以特殊数列（等差数列、等比数列）为载体，考查求解数列的通项公式、前n项和，在解答题中靠前，属于容易题，在小题中靠后，属于较难题.与三角“嵌套”，理科在解答题中考查三角、文科在解答题中考查数列.考查风格与2019年相同，估计2019年也不会有大的变化.3.概率统计该知识点在整个试卷中文理都占有17分的分值，试题以一大一小的形式呈现.文科小题考查古典概型，大题以实际问题为背景，考查函数解析式、频率、数字特征等知识；理科小题考查几何概型，大题与文科同宗同源，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等知识.文理均重统计，考查风格与2019年基本相同，估计2019年会有些变化，具体见后面专项分析.4.立体几何该知识点在整个试卷中文理科都占有22分的分值，试题以一大两小的形式呈现.小题考查三视图、空间线、面关系.大题分两小题设问，文科第1问证明线段相等，第2问求体积；理科第1问证明面面垂直，第二问求二面角的余弦值.理科考查风格与2019年相同，文科考查风格与2019年有点不同，大题“正投影”难住了较多考生，2019年备考还要关注折叠问题.5.解析几何该知识点在整个试卷中文理都占有22分的分值，试题以一大两小的形式呈现.小题考查圆、圆锥曲线定义、标准方程、简单几何性质.大题分两小题设问，文科第1问考查坐标法，求线段的比值；第2问为存在性问题、考查直线与抛物线的位置关系.理科第1问为定值问题，求轨迹方程；第2问考查直线与圆锥曲线的位置关系，与函数、不等式交汇在一起，属于较难题.考查风格与2019年相同，估计2019年不会有大的变化.6. 函数与导数该知识点在整个试卷中理科占有22分，试题以一大两小的形式呈现；文科占有27分，试题以一大三小的形式呈现.与导数相关的知识，小题中有一题也有涉及（理科第7题、文科第9题和12题）.大题分两小题设问，文科第1问考查定义域、单调性；第2问考查函数零点的相关知识；理科题考查函数零点的相关知识；文理科都与不等式等知识交汇在一起，考查分类讨论、综合运用知识的能力，属于难题.文理科此题属于姊妹题，考查风格与2019年相同，估计2019年不会有大的变化.三、热点透视（一）三角问题三角为数学的主干知识之一，一般情况下应该得满分.纵观近5年全国卷，不确定因素较多、难度较大、综合性较强，超出考生的想象.例1（2019高考全国卷1文科第14题）已知θ是第四象限角，且3sin45πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则tan ____4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ .分析1：由tan tansin cos 4tan 4sin cos 1tan tan 4πθπθθθπθθθ--⎛⎫-== ⎪+⎝⎭+，为求tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，可从题目条件出发，求出sin cos θθ+、sin cos θθ-的值.解法1：因为3sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin cos 5θθ+=，且72sin cos 25θθ=- .又因为θ是第四象限角，所以sin cos 0θθ-<，且()()22sin cos sin cos θθθθ-=+－324sin cos 25θθ=，故sin cos θθ-=，结果填43-.本题考查三角函数的定义、符号和同角公式、和差角公式等知识，以及化归与转化、平方与开方等思想方法.考生的思维障碍是不知由sin cos θθ+的值可以求出sin cos θθ-的值；错点是sin cos θθ-的符号.其实，sin cos θθ+、sin cos θθ-、sin cos θθ“知一求二”；由单位圆和三角函数线容易判断sin cos θθ+或sin cos θθ-的符号.单位圆是三角函数的“原点”，“能力立意”的基本点是回归“原点”，按照数学家当初建构数学概念那样广开思路，备考时需要重建、理解三角公式体系：利用单位圆定义三角函数的坐标表示（数）和几何表示（形）；由它的坐标表示可以概括得到符号规律、特殊角的三角函数值；由它的几何表示可以简单推出同角公式；由单位圆的对称性和它的坐标表示可以直接得到诱导公式；由向量的数量积和它的坐标表示可以简单推导和差角公式、二倍角公式的“母公式”()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+.抓住了单位圆，就等于抓住了三角公式的“命门”：公式记不清时，可以利用单位圆简单推出；符号拿不准时，可以利用单位圆作出判断；特别是由单位圆推导公式的思路和方法，是解决相关问题的思想武器.分析2 ：由()444πππθθ-=+-，为求tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，可从题目条件出发，求出tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.解法2：因为()222k k k Z ππθπ-<<∈ ，所以22444k k ππππθπ-<+<+.又因为3sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以4cos 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且3tan 44πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ .故tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan 42ππθ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝tan 24ππθ⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝1tan 4πθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结果填43-. 这种解法明显优于第一种，更能体现命题者的意图.课本在章头指出：“三角变换包括变换的对象，变换的目标，以及变换的依据和方法等要素”.另解盯住角，从未知与已知关系中寻求突破，用已知角表示未知角、从中寻求三角变换的依据和方法，获得题目的更优解法.“角”是自变量，是三角变换的根本所在，因此三角变换思维起点是角：盯住未知与已知角的关系（互余、互补、和、差、倍、分），以及角的取值范围；三角变换的基本思想是转化与化归思想；三角变换的基本策略是：找“差异”，立足“化异为同”、消除差异找方法，正用、逆用、变用、联用以至活用公式.备考时，要结合具体题目的解答过程，回归课本，把握三角变换的特点和本质，实行方法创新，以“不变”驭“变”.例2 （2019高考全国卷1理科第12题）已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω> ，2πϕ≤），4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 单调，则ω的最大值为A.11B. 9C. 7D. 5分析：为求ω的最大值，可从题目条件出发，得到关于ω、ϕ的方程和不等式，再从特殊值、一个周期内的图象特征出发筛选答案.解法1：因为4,42m m n πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩、n Z ∈，所以()()1242n m n m ωππϕ⎧=+-⎪⎨=++⎪⎩.由2πϕ≤得 10n m -≤+≤.由0ω>得，0n m -≥且ω为奇数.当0n m +=即4πϕ=时，取11ω=，这时()sin 114f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由311242x πππ<+<得，54444x ππ<<.因为55184436πππ<<，所以()f x 在区间5,1844ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减函数、在区间55,4436ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递增函数，不合题意.同理，ω=7、5不合题意，只有9ω=符合题意. 当1n m +=-即4πϕ=-时，验算知11ω=、9、7不合题意，只有5ω=符合题意.综上所述，ω的最大值为9，结果选B .解法2：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z .()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤.接下来用排除法若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故选B ．本题考查正弦函数图象和零点、对称性、单调性等性质，以及数形结合、函数与方程、化归与转化等思想方法.考生的思维障碍不是列方程组、求ω和ϕ的表述式，而是处理整数n m +、n m -，以及验算()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性.其实，确定n m +的取值后，取ω的值验算时，为了减少字母运算带来的不便，可以考查函数在一个周期内的单调增区间或减区间，按照周期进行拓展、作出判断；作为一个选择题，本题只需对0n m +=取11ω=、9和对1n m +=-取11ω=三种情况作出判断就可以作出选择.无论是正弦型函数，还是余弦型、正切型函数，无论是奇偶性、单调性、对称性，还是求最值、解方程、不等式，都可以按照三角函数曲线、从一个周期出发按照周期进行拓展.课本是按照从一个周期出发进行拓展的思路探讨三角函数图象的，但是在后续例题列式、求解中带入了“k ”，备考时，要进行两种解题方式的比照，把握其共性，明确从三角函数图象出发、从一个周期出发思考解决问题的道理，化解难点，达到必要的复习深度.理科第17题考查三角形的内角和、周长、面积和正弦定理、余弦定理、诱导公式等知识，以及配方、函数与方程、化归与转化等思想方法.属于中低档题，思路不是问题，影响考生得分主要是表述规范和隐含条件运用等问题.其实，在三角形中常隐含了“内角和为π”、“两边之和大于第三边”、“大边对大角”等条件，解三角形时要特别注意发掘这些隐含条件，建构相应的“条件反射”.备考时，建议还要关注向量与三角的结合问题，以及建构三角函数模型解决“测量”、“潮汐”等问题.不管是哪一类问题，最终往往归结为“化一”、求三角函数在给定区间的最值问题，而隐含在其中的条件“给定区间”，测量着备考高度.模拟训练 1.已知点33sin,cos 44P ππ⎛⎫⎪⎝⎭是以x 轴正半轴为始边的角α的终边上一点，且[)0,2απ∈，则α=A.4πB. 34πC. 54πD. 74π2. 要得到函数)42sin(3π+=x y 的图象，只需将函数x y 2sin 3=的图象A.向左平移4π个单位B.向右平移4π个单位C.向左平移8π个单位D.向右平移8π个单位3.在ABC ∆中，已知︒=45B ，22=c ，334=b ，则=C _____. 4. 设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.5.如图，平面四边形ABCD中，AB =AD =CD =，30CBD ∠=，120BCD ∠=.求（Ⅰ）ADB ∠；（Ⅱ）四边形ABCD 的面积S . （二）数学思想数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛用于相关学科和社会生活.因此，对数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度.考查时要从学科整体意义和思想价值立意，要有明确的目的，加强针对性，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度.1. 数形结合的思想方法 （1）具体特征从“形”入手，直观助思；从“数”突破，验证直觉. （2）考题解析例 3 （2019高考全国卷1文理科第11题）平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为ABDCA.2B.2C.3D.13解法1：如图所示：因为//α平面11CB D ，设平面11CB D 平面1ABCD m =，则1//m m .又因为平面//ABCD 平面1111A B C D ， 平面11B D C平面111111A B C D B D =，所以111//B D m ，故11//B D m .同理，1//CD n .故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小． 而1111B C B D CD ==，因此113CD B π∠=，即11sin CD B ∠． 解法2：如图，在正方体ABCD －1111A B C D 的下方补两个相同的正方体.因为11//AR B D ，1//AF D C ，可得平面ARF //平面11B CD .由题设可知AR 、AF 分别为m 、n .故m 、n 所成的角即为1B C 、11B D 所成的角，其角度为60.故m 、n 所本题考查线线、线面、面面关系，两异面直线所成角等知识，以及数形结合、化归与转化等思想方法.考生的思维障碍在于根据题意作出图形助思.显然，解2的图形更有利于考生思考、解决问题.求空间角包括求两条异面直线所成角、线面角和面面角，求解的基本路径是：“找（作）——说——求”.“找”是关键，没有现成的就需要“作”，作线线角重点是“平移直线”；作线面角重点是“线面垂直”；作面面角重点也是“线面垂直”.（3）基本类型与学生问题按照题目问题状态，可以分为“题给图形”和“自构图形”两种基本类型.学生的主要问题是：一是没有想到数形结合；二是构图马虎，不能达到“助思”效果；三是构图不够“常态”，产生误导.（4）方法分析数形结合是高中数学的核心思想方法之一.从“形”入手、用数形结合的思想方法，是解答选择、111nm SQ PR H G FE D 1C 1B 1A 1DCBA填空题的重要策略；而由“数”联想到“形”，是一种创造、创新，对学生本身是一个“坎”.建议高三复习时选用恰当的问题进行数形结合的思想立意；同时，结合距离、斜率等数式的几何意义，创造机会让学生思“形”，增长数形结合、由“数”思“形”的见识，激活学生的创新思维.（5）模拟训练① 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为 ( ) A.722cm B. 482cm C. ()248122cm + D. ()235122cm +② 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，则二面角A －BC －D 的正切值为______.③函数()222548f x x x x x =-++++的最小值为 .④已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数. 当0x ≥时，5sin()0142()1()14x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ ，若关于的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．59(,)24-- B ．9(,1)4-- C ．59(,)24--9(,1)4-- D ．5(,1)2-- 2. 转化与化归的思想方法 （1）具体特征归是归宿、目标，转化是为了达到目标所调用的一切手段和方法. （2）考题解析例4 （2019年文科12题）若函数()1sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是A.[]1,1-B. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦解法1：()21cos 2cos 3f x x a x '=-+＝245cos cos 033x a x -++≥在(),-∞+∞上恒成立.令cos t x =，则()[]245,1,133h t t at t =-++∈-，只需()h t 的最小值不小于0即可.因为抛物线开口向下，对称轴为38t a =，当308a <时，最小值为()1103h a =+≥，解得103a -≤<；同理可得103a ≤≤.x综上，a 的取值范围是11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.解法2：同解法1，因为抛物线()y h t =开口向下，所以()()1010h h -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得1133a -≤≤，故选C.触发点：①为求a 的取值范围，需要将条件化归为不等式、转化为不等式恒成立问题；②为求函数的导数，需要将sin 2x 转化为2sin cos x x 、运用积的导数法则求导；③可将问题转化为求函数的最小值；④为求函数()y h t =的最小值，运用两种手段：分类讨论、各个击破；“同时限制”、转化为解不等式组.先有化归方向，再有化归方法.（3）基本类型与学生问题为了将生疏问题化归为熟悉问题，常用转化方法有数形转化法，数列中有并项公式法求和、裂项相消法求和、错位相减法求和，恒成立、能成立有更替主元法、分离参变法，转化为求函数的最值等等.学生的主要问题是：一是缺少积累，以致常规的转化方法能够达到什么目标不够清晰；二是审题意识不强，不能预测到目标、找不到方向，转化方法失灵.（4）方法分析转化与化归也是高中数学的核心思想方法之一.归根结底，数学解题就是转化与化归，由题目的初始状态向目标状态转化.转化与化归的思想方法是解答“小题”的利器，特别是一些较难的“小题”，常常转化为利用图形直观去考察，即转化与化归思想方法常与其他数学思想方法结合运用.建议高三复习时，加强预测、估算方面的训练.（5）模拟训练①已知函数12,1()tan(),13x x f x x x π-⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，则1()(2)f f =A .3-3②已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，465=⋅a a ，则数列{}2log n a 的前10项和为 (A)5 (B)6 (C)10 (D)12③若向量b a ,的夹角为3π11==，则向量a 与向量b a -的夹角为（ ） A.6π B.3πC.32πD.65π④由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-≥+1001x y e y x x确定的平面区域为M ，由不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤e y x 010确定的平面区域为N ，在N 内随机的取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为（ ）A.e 231-B. 231e- C. e 11- D. e 21-3. 函数与方程的思想方法： （1）具体特征函数思想集中体现在变量思想、对应与依存关系、运动与变化观点、数形结合观点，函数是特殊的方程；方程不一定是函数，但是大多数方程问题可以转化为函数问题、利用其图象直观求解.（2）考题解析例5 （2019理科21题）已知函数()()2()21xf x x e a x =-+-有两个零点.（I ）求a 的取值范围；（II ）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.解析：（Ⅰ）当1x =时，()10f e =-<，所以1x =不是函数零点.当1x ≠时，由()0f x =得()()221x x e a x -=-.设()()()221x x e g x x -=-，则()()()23451x e x x g x x --+'=-. 当1x <时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<.故函数()g x 在(),1-∞上单调递增、在()1,+∞上单调递减.在同一坐标系中画出函数()y g x =、y a =的图象可知，当0a >时两函数图象必有两个交点，故所求a 的取值范围为()0,+∞.（Ⅱ）设()()()11F x f x f x =+--，则()()()1111x x F x x xex e --=-++，且()()11x x F x x e e --'=-.当0x >时，110x x e e --->，()0F x '>.故函数()F x 在()0,+∞上单调递增.又()00F =，所以当0x >时，()()00F x F >=，即当0x >时，()()11f x f x +>-.设12x x <，由（I ）知函数()f x 的极值点为1，则有121,1x x <>.又()20f a =>，所以212x <<.因为()()()()()1222112f x f x f x f x ==+->-.又121,21x x <-<，由（I ）知函数()f x 的单调递减区间为(),1-∞，所以122x x <-，即122x x +<.触发点：第（I ）中，在函数与方程思想的导引下，“一分为二”、将一个函数分解为两个函数，在同一坐标系中画出函数()y g x =、y a =的图象，通过函数图象直观助思，将图形关系转化为数量关系，得到a 的取值范围为()0,+∞.第（II ）中，由()()112x x ++-=、与所要证明结果结构相似，构造函数()()()11F x f x f x =+--，按照函数单调性的定义，沟通函数值大小与自变量大小的关系， 实现“方程（不等式）——函数——图象——方程（不等式）”的相互转化.（3）基本类型与学生问题学生在学习指、对、幂函数的图象和性质的过程中，利用函数的单调性比较相关函数值的大小，使学生第一次接触到构造函数；在学习“函数与方程”时，为了解决函数零点的相关问题，常需要将一个复杂函数的零点问题，通过方程转化为两个较简单函数图象交点的问题，或将两个函数交点的问题，通过方程转化为一个函数的零点问题；在解答恒成立、能成立、最值等问题时，常需要将问题转化为求函数的最值，函数思想、运用构造函数的方法将问题转化为考查函数的最值就成为常态的方法.学生的主要问题：一是缺少函数思想、看不到问题的本质；二是不能把“方程——函数——不等式”联系起来，缺少解决相关问题的经验积累；三是转化的方向感不强，有时甚至将问题复杂化.（4）方法分析函数与方程的思想方法也是高中数学的核心思想方法之一.既常态又习以为常，建议高三复习时，结合具体问题，从易到难，开展小专题研究，对学生进行函数与方程的思想立意，并且与数形结合、化归与转化等数学思想融会，提高学生运用函数与方程思想的水平.至于其他的思想方法，教师可以根据学生的需求、进行合理提升.（5）模拟训练 ①若函数)()(R b xbx x f ∈+=的导函数在区间（1，2）上有零点，则)(x f 在下列区间上单调递增的是A.(]1,-∞-B. ()0,1-C. ()1,0D. ()+∞,2②定义一种新运算：a ⊗b=，已知函数f （x ）=（1+）⊗x 2log，若函数g （x ）=f （x ）﹣k 恰有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．（1，2]B ．（1，2）C ．（0，2）D ．（0，1） ③已知函数()()()=,ln 24x aa x f x x eg x x e --+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()00-3f x g x =成立，则实数a 的值为（ ）A. -ln 21-B. -1+ln2C. -ln 2D. ln 2④已知函数x e e x f x 2)(-=，方程01)()(2=-++a x af x f 有四个不同的实数根，则a 的取值范围为（ ）A. )1,(2ee +--∞ B. )1,1(2e - C. ),(2e -∞ D. )1,2(22e e -- （三）应用意识与应用能力 1. 考查情况2019年高考数学全国一卷很明显带有注重实际运用的特征.文理的第16题线性规划，以生产利润为模型，考查线性规划；文理的第19题，以成本控制为模型，考查概率统计（分布列）和决策问题；理科的第4题，以乘车上班为模型，考查几何概型.从2019年的全国新课标一卷来看，在数学的应用问题上，试题体现的应用意识大幅增强，除概率统计问题这个常见的实际问题外，在若干个小题中，也都能见到它实际应用的这种意识，在很多的问题中多有体现，考查考生的应用意识，这一点也充分地体现了新课程的理念.另外，对于概率统计的应用问题，全国新课标一卷着重考核统计方面的知识，有注重考查学生“用数据说话”的倾向，这与我们已经进入大数据时代有关.2.考题解析例6（2019高考全国卷1理科第19题）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得柱状图（如图）.以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？解析：（I ）每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11，记事件i A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i =，记事件i B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i =，由题知()()()()()()1341340.2P A P A P A P B P B P B ======，()()220.4P A P B ==.设2台机器共需更换的易损零件数为X ，则X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22，且()()()11160.20.20.04P X P A P B ===⨯=，()()()()()1221170.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=，()()()()()()()132231180.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=，()()()()()()()()()14233241190.20.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=⨯+⨯0.40.2+⨯0.20.40.24+⨯=，()()()()()()()243342200.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=，()()()()()3443210.20.20.20.20.08P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=， ()()()44220.20.20.04P X P A P B ===⨯=.所以X 的分布列为（II ）因为0.04)0.5X n ≤≥知n 的最小值为19.（III ）购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用.当19n =时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040⨯+⨯+⨯+⨯=； 当20n =时，费用的期望为202005000.0810000.044080⨯+⨯+⨯=. 综上所述，应选用19n =比较恰当.本试题为“概率统计”类型，属于中档试题，考查频率、概率、分布列、数学期望等基础知识，以及统计思想的应用和数据处理、分析等方面的能力.本试题背景公平，叙述简明易懂；情境新颖，不落俗套，由文字语言和“柱状图”共同提供数据和信息，考查应用意识和解决实际问题的能力.本试题分小题设问，前问的数据既是解答本问的依据，又是解答后问的依据；密切结合教材，既在情理之中，又有意料之外，考查数学的重点内容，以及基本的数学思想方法.本试题问题所涉及的数学知识和方法有一定的深度和广度.对于随机变量X 的每个取值，事件可以分解为独立事件的“积事件”，以及互斥事件的“和事件”，考生的错误在于缺少“基本事件”意识，概率计算公式列错，考查考生提取有价值数据的意识，以及化繁为简的解题策略；对于费用的期望，考生的错误在于按照思维惯性、列出费用的分布列后按照通常求期望的方法求解，考查考生挖掘数据价值、按照数学期望的本质含义求解的创新意识和能力.本试题立意深刻，突出数学在解决实际问题时的价值取向和应用价值.试题中以“现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图”诱导考生的数据思维，向他们传递面对实际问题时的基本做法、基本态度和基本观点，进行“数学育人”；试题中“以频率代替概率”、“以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据”导引考生的价值取向，引导他们按照数据处理的结果展开分析，用“数学的方式”，用数据说话、作出统计推断、进行科学决策.3.考纲解读应用意识体现在：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.象前面的题目一样，核心在“建模”、“说明”上.应用能力不但强调“建模”、“说明”，而且强调“解模”：如湖南2019年理科第20题“L 路径”问题，建立的函数模型含有多个绝对值，对考生分类整合、解模能力要求相当高，令绝大多数考生望而止步 .4.备考建议：（1）顺应心理诉求，建构数据相关知识.近年来，随着互联网、云计算、手持及移动技术等现代信息技术的飞速发展及应用，人类进入大数据时代.数学高考按照“数学考试的内容和形式都应当有利于中学数学课程改革”的命题思路，2019年高考数学全国新课标试卷加大了“数据分析”的考查力度.上述试题，300多个字符，另加“柱状图”，要求考生能够从给定的大量信息材料中提取有用、有价值的数据，运算求解，分类整合，分析概括一些结论，并能将其应用于解决问题或做出新的判断.“数据分析”是我国高中数学课程标准在修订中提出的六大核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析）之一，它包括“数据获取、数据分析、知识建构”三个维度.“数据”不仅指数字，而且指事实或观察的结果，是信息的表现形式和载体，可以是符号、文字、数字、语音、图像、视频等；数据和信息是不可分离的，数据是信息的表达，信息是数据的内涵.“大数据”是从信息量考虑的，具有规模大 (大量：Volume)、类型多 (多样：Variety)、速度快 (高速：Velocity)、价值密度低 (价值：Value)的“4V”特征.尽管新授课关注不够，但在高考复习中，教师还是应该顺应大数据时代学生的心理诉求，关注象上述试题那样“背景新颖、信息量大”的试题或模考题，让学生有机会经历“从大量数据中抽取对研究问题有用的信息”的全过程，建构数据的相关知识.（2）搭建互动平台，培养数据分析能力.数据分析能力集中体现在会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并做出判断等方面.其中收集、存储数据是基础，抽取、。