必修五2-2第2课时等差数列的性质及其应用
{an＋an＋k}
{pan＋qbn}
公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
(3){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为 递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．
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名师点睛
1． 等差数列的公差与斜率的关系 (1) 一次函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，斜率
第2课时 等差数列的性质及其应用
【课标要求】 1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律． 2．理解等差数列的性质． 3．掌握等差数列的性质及其应用． 【核心扫描】 1．等差数列的性质及证明．(重点) 2．运用等差数列定义及性质解题．(难点)
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自学导引
1． 等差数列的项与序号的关系 两项关系 多项关系
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解 (1)法一 设等差数列的等差中项为a，公差为d， 则这三个数分别为a－d，a，a＋d. 依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24， 化简得d2＝16，于是d＝±4， 故三个数为－2,2,6或6,2，－2. 法二 设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d， 依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24， 所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24， 得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12， 即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2. (2)法一 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
项的运算性质： 通项公式的推广： n ＝ p ＋ q(m ， n ， p ， (n－m)d m，n∈N*) 若 m ＋ an＝am＋_______( am＋an ＝ap＋aq q∈N*)，则_______
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Байду номын сангаас
：在等差数列{an}中，如果m＋n＝2w(m，n，w∈N＋)， 那么am＋an＝2aw是否成立？反过来呢？ 提示：若m＋n＝2w(m，n，w∈N＋)，则 am＋an＝[a1＋(m－1)d]＋[a1＋(n－1)d] 1 ＝2a1＋ m＋n－2d 2 ＝2[a1＋(w－1)d]＝2aw，显然成立； 在等差数列{an}中，若am＋an＝2aw， 不一定有m＋n＝2w，如常数列．
64 4 故 a75＝a1＋74d＝ ＋74× ＝24. 15 15
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法二 ∵a60＝a15＋(60－15)d 20－8 4 ∴d＝ ＝ ， 60－15 15 4 ∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15× ＝24. 15
法三 ∵{an}为等差数列， ∴a15，a30，a45，a60，a75成等差数列，设公差为d， 则a15为首项，a60为第4项． ∴a60＝a15＋3d，即20＝8＋3d， ∴d＝4. 从而a75＝a60＋d＝20＋4＝24. 答案 (1)15 (2)24
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题型一
等差数列性质的应用
【例1】 已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8. [思路探索] 分析题目，可利用等差数列性质，也可利用通 项公式求解． 解 法一 根据等差数列性质 a2＋a10＝a4＋a8＝2a6. 1 由 a2＋a6＋a10＝1，得 3a6＝1，解得 a6＝ ， 3
2 ∴a4＋a8＝2a6＝ . 3
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法二 根据等差数列的通项公式，得 a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d. 1 由题意知，3a1＋15d＝1，即 a1＋5d＝ . 3
2 ∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝ . 3 法一运用了等差数列{an}的性质：若m＋n＝ p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都 是正整数)；法二利用通项公式转化为数列的首项与公 差的结构完成运算属于通性通法．两种方法都运用了 整体代换与方程的思想．
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题型二
等差数列的设法与求解
【例2】 (1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个 数； (2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项 的积为－8，求这四个数． [思路探索] (1)根据三个数成等差数列，可设这三个数为 a－d，a，a＋d(d为公差)； (2)四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设 为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．
fx2－fx1 (2) k＝ (x1≠x2)． x2－x1 当k＝0时，对于常数函数f(x)＝b，上式仍然成立． (2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率． 如am，an是等差数列{an}的任意两项，由an＝am＋(n－m)d， an－am 类比直线方程的斜率公式得 d＝ . n－m
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2． 等差数列的性质 (1)等差数列的项的对称性 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于 首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…… (2)若{an}、{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数 {c· an} 列 结 论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
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2． 等差数列的“子数列”的性质 若数列{an}是公差为d的等差数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数 列； (2)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列； 偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列； (3)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列； (4)从等差数列{an}中等距离抽取项，所得的数列仍为等差 数列，当然公差也随之发生变化．
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【变式1】 在等差数列{an}中： (1)若a3＝5，则a1＋2a4＝________； (2)若a15＝8，a60＝20，则a75＝________. 解析 (1)a1＋2a4＝a1＋(a3＋a5)＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝ 3a3＝15. (2)法一 设首项为a1，公差为d. ∵a15＝8，a60＝20， 64 a1＝15， a1＋14d＝8， 解得 a1＋59d＝20， d＝ 4 . 15
高中数学第二章数列2.2.1等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教B版必修5
第二十三页，共42页。
【解】 由题意可知，，(n≥2，n∈N＋)，每年获利构成等差数列{an}，且首项 a1＝200，公差 d ＝－20.
所以 an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20) ＝－20n＋220. 若 an<0，则该公司经销这一产品将亏损， 由 an＝－20n＋220<0，解得 n>11， 即从第 12 年起，该公司经销这一产品将亏损.
解得
a1＝1， d＝3
或
a1＝16， d＝－3，
∴d＝3 或－3.
第三十一页，共42页。
法二：(1)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48，及 a2＋a24＝a3＋a23＝2a13. 得 4a13＝48，∴a13＝12. (2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34，及 a3＋a4＝a2＋a5 得 2(a2＋a5)＝34， 即 a2＋a5＝17. 解aa22＋·a5a＝5＝521，7， 得aa25＝ ＝41， 3 或aa52＝＝41.3， ∴d＝a55－－2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－－2a2＝4－313＝－3.
第十九页，共42页。
【自主解答】 由题图可知，从第 1 年到第 6 年平均每个养鸡场出产的鸡
数成等差数列，记为{an}，公差为 d1，且 a1＝1，a6＝2；从第 1 年到第 6 年的养 鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为 d2，且 b1＝30，b6＝10；从第 1 年到 第 6 年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则 cn＝anbn.
第九页，共42页。
4.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12＝________. 【解析】 在等差数列{an}中，由于 a7＋a9＝a4＋a12，所以 a12＝(a7＋a9)－ a4＝16－1＝15. 【答案】 15
高中数学人教A版必修5《等差数列》PPT课件
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*） 一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想 一个概念： A=a+b/2
方法二
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得:
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
列。 这也是判断，证明一个数列是等差数列的一种方 法。 等差中项法
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
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5.证明数列为等差数列的方法： (1)定义法： an an1 d (n 2) (2)等差中项法：2an an1 an1(n 2)
解法一
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
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证明： 1 , 1 , 1 成等差数列 abc
2 11 b ac
bcba bcabac2
ac
a
c
(a b c)(1 1) 2 ac
(a b c) 2 2 b
2(a c) 2b 2 bb
4
4 an1
(n
1)记bn
1 an 2
（1）求证：数列bn 是等差数列；
（2）求数列an 的通项公式
构造法
解：（2）由（1）知，b n
1 2
(n 1)
1 2
n 2
bn
1 an 2
an
1 bn
2
2 n
2
求数列通项公式的方法：
（1）公式法；
（2）累加法；an1 an f (n)
（3）累乘法；an1 f (n)
人教版高中数学必修五 2.2 等差数列
知识2：等差中项 问题导思：
如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么它们之间有怎样的 数量关系？ 答：因为 A－a＝b－A，所以 a＋b＝2A.
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．它 们之间的关系式是 a＋b＝2A .
4．已知等差数列{an}：－1,2,5,8，…，求公差 d 和 a10. 解：∵a1＝－1， ∴d＝a2－a1＝2－(－1)＝3， ∴a10＝a1＋(10－1)×d＝－1＋9×3＝26.
变式训练 3：《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹
子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，
下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为( )
A．1 升
B.6676升
C.4474升
D.3373升
【解析】设所构成数列为{an}，且其首项为 a1，公差为 d， 依题意得aa17＋＋aa28＋＋aa39＋＝a44，＝3， 即43aa11＋＋62d1＝d＝3，4，
2．等差数列的通项公式可以解决以下三类问题： (1)已知 an，a1，n，d 中的任意三个量，可求出第四个量； (2)已知数列{an}的通项公式，可以求出等差数列{an}中的 任一项，也可以判断某一个数是否是该数列中的项； (3)若已知{an}的通项公式是关于 n 的一次函数或常数函 数，则可判断{an}是等差数列．
∴an＝a1＋(n－1)×5＝5n－4， ∴a80＝5×80－4＝396.
(2)a1＝a2－d＝12＋2＝14， ∴an＝14＋(n－1)×(－2)＝－20， ∴n＝18.
类型3：等差数列的实际应用问题 例 3：梯子的最高一级宽 33 cm，最低一级宽 110 cm，中间还有 10 级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．
2021年高中数学人教A版必修五第二章数列第二课时 等差数列的前n项和的最值及应用
5
课前预习
课堂互动
课堂小结
@《创新设计》
知识点2 裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求和.
常见的拆项方法：
(1)n（n1＋k）＝_1k__1n_－__n_＋1__k__；
(2)
1 n＋k＋
＝_1k___n_＋___k_－___n__；
n
(3)（2n－1）1（2n＋1）＝_12_2_n__1－__1_－__2_n_1＋__1__.
绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次
增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向
外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中
层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A.3 699块
B.3 474块
C.3 402块
D.3 339块
@《创新设计》
18
课前预习
课堂互动
7
课前预习
课堂互动
@《创新设计》 课堂小结
@《创新设计》
2.数列{an}的通项公式 an＝
1 n＋
n＋1，其前
n
项和
Sn＝9，则
n＝________.
解析
an＝
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n，
∴Sn＝( 2－1)＋( 3－ 2)＋…＋( n＋1－ n)
＝ n＋1－1＝9，∴n＝99. 答案 99
8
课前预习
25
课前预习
课堂互动
课堂小结
(1)若{an}是等差数列，则ana1n＋1＝1da1n－an1＋1，ana1n＋2＝21da1n－an1＋2.
(2)n（n1＋k）＝1k1n－n＋1 k.
高中数学必修5课件：第2章2-2-2等差数列的性质
(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
数学 必修5
第二章 数列
1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析： a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6. 答案： C
数学 必修5
第二章 数列
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5
＋a6等于( )
A．40
B．42
C．43
D．45
解析： ∵a2＋a3＝2a1＋3d，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝a1 ＋a2＋a3＋3×3d＝42.
答案： B
数学 必修5
第二章 数列
3 ． 已知 {an} 为等差数列 ， a3＋ a8＝22 ，a6＝ 7， 则a5＝ ________.
解析： ∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝ 15.
答案： 15
数学 必修5
第二章 数列
4．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解析： 方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1＋d) ＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48，∴a13＝12.
数学 必修5
第二章 数列
利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化 计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时， 可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a －d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两 项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a －d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
等差数列第二课时教案
2.2等差数列第二课时人教A版必修五教学目标1.知识与技能在理解等差数列定义及如何判定等差数列, 学习等差数列通项公式的基础上, 掌握等差中项的定义及应用, 明确等差数列的性质, 并用其进行一些相关等差数列的计算.2.过程与方法以等差数列的通项公式为工具, 探究等差数列的性质, 同时进一步培养学生归纳, 总结的一些数学探究的方法.3.情感、态度与价值观在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值.教学重点（1）明确等差中项的定义及应用.（2）理解并掌握等差数列的性质.教学难点理解等差数列的性质的应用.教辅手段PPT,多媒体投影幕布教学过程一、复习引入——温故知新【内容设置与处理方式】借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识1. 等差数列的定义2. 等差数列的通项公式与公差二、 新知探究（一） 等差中项【内容设置与处理方式】直接给出等差中项的定义: 由三个数 组成的等差数列是最简单的等差数列, 此时 叫做 和 的等差中项.同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立.等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.（二） 等差数列的性质列举几个数列, 观察数列的特点, 研究公差与数列单调性的关系.问题1: 数列1: 1,3,5,7,9,11, ……数列2: 30, 25,20, 15,10,5, ……数列3: 8,8,8,8,8,8, ……引导学生观察, 得到等差数列的一个性质.性质1：若数列 是等差数列, 公差为 .若 >0,则是 递增数列；若 <0,则 是递减数列；若 =0,则 是常数列.2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:d m n a a m n )(-+=参考证明: 由等差数列的通项公式 得d m a a m )1(1-+=∴d m n d m a d n a a a m n )(])1([])1([11-=-+--+=-即等式成立由此也可得到公差的另一种表示:mn a a d m n --=性质2: d m n a a m n )(-+=;m n a a d m n --= 问题3: 在等差数列 中, 若 ,则 一定成立吗?特别地, ,则 成立?启发学生应用等差数列的通项公式来证明该问题。
苏教版数学必修五2《等差数列的概念及通项公式》ppt课件
aa11＋＋（（nm－－11））dd＝＝mn，，解得ad1＝＝－m1＋. n－1，
∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝m＋n－1－(m＋n－1)＝0.
栏 目
链
故选 B.
接
方法二 设 am＋n＝y，则由三点共线有mn－－mn＝（my＋－nm）－n
⇒y＝0.
方法三 由 am＝n，an＝m 知，在直角坐标平面上的 A(m，n)、 B(n，m)两点关于直线 y＝x 对称，又∵A、B、C(m＋n，am＋n)是等 差数列中的项，∴A、B、C 在同一直线上且斜率为－1.∴mam＋＋nn－－mn＝
苏教版数学必修五
2．2.1 等差数列的概念及通项公式
情景导入
栏 目 链
接
相信同学们都听说过天才数学家高斯小时候计算1＋2＋3 ＋…＋100的故事，不过，这很可能是一个不真实的传说， 据对高斯素有研究的数学史家E.T.贝尔(E.T.Bell)考证，高斯 的老师布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81 297＋81 495＋81 693＋…＋100 899.当布特纳刚写完这道题 时，高斯也算完了，并把答案写在了小石板上．你知道高 斯是如何计算的吗？
个常数叫做等差数列的公差．应当注意的是：
栏
(1)在定义中，之所以说“从第2项起”，首先是因为首项 没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，
目 链 接
而是从第3项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数
(an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数 列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个
(7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋
栏 目
2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
人教版高中数学必修五《数列》2.2等差数列(2)
等差数
第二课时
2012年3月28日星期三
1、等差数列的定义 从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 2、等差中项的概念 公差
3、等差数列的通项公式 4、等差数列的第二通项公式 5、等差数列的性质1
2012年3月28日星期三
探究：
请看图
2012年3月28日星期三
探究：
结论：
4
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（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
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等差数列的性质
第三通项公式
性质2
性质3
课时作业9
2012年3月28日星期三
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1
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（1）数列：-2，0，2，4，6，8，…
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1
（2）数列：7，4，1，-2，…
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2
3
2012年3月28日星期三
结论： 点评：
2012年3月28日星期三
思考：
点评：
2012年3月28日星期三
探究：
结论：
2012年3月28日星期三
结论：
注意：在该性质应用时，要使得等号两边的项数相同 并且是所有项的和。
2019-2020学年数学人教A版必修5课件：2.2 第2课时等差数列的性质
4．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－ a10的值为________．
【答案】30
【解析】∵a2 ＋a14＝2a8，∴a2 ＋2a8＋a14＝4a8＝120， ∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.
利用等差数列的通项公式或性质解题
【例1】 在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝ ()
在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋
a13＝118，则a4＋a10＝( )
A．45
B．50
C．75
D．60
【答案】B
【解析】∵a1＋a2＋a3＝3a2＝32，a11＋a12＋a13＝3a12＝ 118，∴3(a2＋a12)＝150，即a2＋a12＝50.∴a4＋a10＝a2＋a12＝ 50.故选B．
(2019 年陕西西安模拟)《莱因德纸草书》是世
界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 100
个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大
的三份之和的17等于较小的两份之和，问最小的 1 份为多少？这
个问题的答案为( )
A．53
B．130
C．56 【答案】A
D．161
【解析】设五个人分得的面包为 a－2d，a－d，a，a＋d， a＋2d(d>0)，则(a－2d)＋(a－d)＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝100， ∴a＝20.由17(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，得 3a＋3d＝7(2a －3d)，∴24d＝11a.∴d＝565.∴最小的一份为 a－2d＝20－2×565 ＝53.故选 A．
【方法规律】常见设元技巧： (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这 两个数为a－d，a＋d，公差为2d； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a ＋d，公差为d； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋ d，a＋3d，公差为2d.
高考数学必修五 第二章 2.2 第2课时等差数列的性质
第2课时等差数列的性质学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题.知识点一等差数列的性质思考还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？答案利用1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝….梳理在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.m＋n＝2p，则a n＋a m＝2a p.知识点二由等差数列衍生的新数列思考若{a n}是公差为d的等差数列，那么{a n＋a n＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？答案∵(a n＋1＋a n＋3)－(a n＋a n＋2)＝(a n＋1－a n)＋(a n＋3－a n＋2)＝d＋d＝2d.∴{a n＋a n＋2}是公差为2d的等差数列.梳理若{a n}，{b n}分别是公差为d，d′的等差数列，则有1.已知等差数列任意两项求公差的实质是已知直线上任意两点求斜率.(√)2.等差数列{a n }中，若l ，m ，n ，p ，q ，r ∈N *，且l ＋m ＋n ＝p ＋q ＋r ，则a l ＋a m ＋a n ＝a p ＋a q ＋a r .(√)3.等差数列{a n }中，若m ＋n 为偶数，且m ，n ∈N *，则a m ＋a n2＝2m n a +.(√)类型一 等差数列推广通项公式的应用例1 在等差数列{a n }中，已知a 2＝5，a 8＝17，求数列的公差及通项公式. 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题解 因为a 8＝a 2＋(8－2)d ，所以17＝5＋6d ，解得d ＝2. 又因为a n ＝a 2＋(n －2)d ，所以a n ＝5＋(n －2)×2＝2n ＋1. 反思与感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.跟踪训练1 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )A.0B.3C.8D.11考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题 答案 B解析 ∵{b n }为等差数列，设其公差为d ， 则d ＝b 10－b 310－3＝12－(－2)7＝2，∴b n ＝b 3＋(n －3)d ＝2n －8.∴a 8＝(a 8－a 7)＋(a 7－a 6)＋(a 6－a 5)＋(a 5－a 4)＋(a 4－a 3)＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝b 7＋b 6＋…＋b 1＋a 1＝(b 7＋b 1)＋(b 6＋b 2)＋(b 5＋b 3)＋b 4＋a 1 ＝7b 4＋a 1＝7×0＋3＝3.类型二 等差数列与一次函数的关系例2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？ 考点 等差数列的判定 题点 判断数列是否为等差数列解 取数列{a n }中任意相邻两项a n 和a n －1(n >1)， 求差得a n －a n －1＝(pn ＋q )－[p (n －1)＋q ] ＝pn ＋q －(pn －p ＋q )＝p .它是一个与n 无关的常数，所以{a n }是等差数列. 由于a n ＝pn ＋q ＝q ＋p ＋(n －1)p ， 所以首项a 1＝p ＋q ，公差d ＝p .反思与感悟 根据等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，可知{a n }为等差数列⇔a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)，此结论可用来判断{a n }是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质. 跟踪训练2 若数列{a n }满足a 1＝15,3a n ＋1＝3a n －2(n ∈N *)，则使a k ·a k ＋1<0的k 值为________. 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题 答案 23解析 由3a n ＋1＝3a n －2，得a n ＋1－a n ＝－23，又a 1＝15，∴{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝15＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－23 ＝－23n ＋473.令a n ＝0，解得n ＝472＝23.5，∵d ＝－23，数列{a n }是递减数列，∴a 23>0，a 24<0，∴k ＝23. 类型三 等差数列性质的应用例3 已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式. 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题解 方法一 因为a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15， 所以a 4＝5.又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，a n＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，a n＝a4＋(n－4)d＝13－2n.方法二设等差数列的公差为d，则由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5，①由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，将①代入上式，得(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，即(5－2d)(5＋2d)＝9，②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，即a n＝－1＋2(n－1)＝2n－3或a n＝11－2(n－1)＝－2n＋13.引申探究1.在例3中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{a n}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*，是否有a m＋a n＋a p＝a q＋a r＋a s?解设公差为d，则a m＝a1＋(m－1)d，a n＝a1＋(n－1)d，a p＝a1＋(p－1)d，a q＝a1＋(q－1)d，a r＝a1＋(r－1)d，a s＝a1＋(s－1)d，∴a m＋a n＋a p＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，a q ＋a r ＋a s ＝3a 1＋(q ＋r ＋s －3)d ， ∵m ＋n ＋p ＝q ＋r ＋s ， ∴a m ＋a n ＋a p ＝a q ＋a r ＋a s .2.在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案 20解析 ∵a 3＋a 8＝10，∴a 3＋a 3＋a 8＋a 8＝20. ∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7， ∴a 3＋a 3＋a 8＋a 8＝a 5＋a 5＋a 5＋a 7， 即3a 5＋a 7＝2(a 3＋a 8)＝20.反思与感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{a n }的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.跟踪训练3 在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，求a 3＋a 6＋a 9的值. 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题解 方法一 ∵(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7)＝3d ， (a 3＋a 6＋a 9)－(a 2＋a 5＋a 8)＝3d ，∴a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9成等差数列. ∴a 3＋a 6＋a 9＝2(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7) ＝2×33－39＝27.方法二 ∵a 1＋a 4＋a 7＝a 1＋(a 1＋3d )＋(a 1＋6d ) ＝3a 1＋9d ＝39， ∴a 1＋3d ＝13，①∵a 2＋a 5＋a 8＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＋(a 1＋7d ) ＝3a 1＋12d ＝33. ∴a 1＋4d ＝11，②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2，a 1＝19.∴a 3＋a 6＋a 9＝(a 1＋2d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋8d ) ＝3a 1＋15d ＝3×19＋15×(－2)＝27.1.在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( ) A.3 B.－6 C.4 D.－3考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题 答案 B解析 由等差数列的性质得a 8－a 3＝(8－3)d ＝5d ， 所以d ＝－20－105＝－6.2.在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于( ) A.32 B.－32 C.35 D.－35 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 求等差数列的项 答案 C解析 由a 8－a 4＝(8－4)d ＝4d ＝14－2＝12，得d ＝3， 所以a 15＝a 8＋(15－8)d ＝14＋7×3＝35.3.等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( ) A.3 B.－3 C.32D.－32考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 A解析 由数列的性质，得a 4＋a 5＝a 2＋a 7， 所以a 2＝15－12＝3. 4.下列说法中正确的是( )A.若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列B.若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列C.若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列D.若a ，b ，c 成等差数列，则2a ,2b ,2c 成等差数列考点 等差数列的判定 题点 判断数列是否为等差数列 答案 C5.在等差数列－5，－312，－2，－12，…中，每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为( ) A.a n ＝34n －234B.a n ＝－5－32(n －1)C.a n ＝－5－34(n －1)D.a n ＝54n 2－3n考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题 答案 A1.在等差数列{a n }中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.2.在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a 1，d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.一、选择题1.已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( ) A.12 B.8 C.6 D.4 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 B解析 由等差数列的性质，得 a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10) ＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.2.设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( ) A.－182 B.－78 C.－148 D.－82 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 D解析 a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33 ＝50＋2×(－2)×33 ＝－82.3.下面是关于公差是d (d ＞0)的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列. 其中的真命题为( ) A.p 1，p 2 B.p 3，p 4 C.p 2，p 3D.p 1，p 4考点 等差数列的性质 题点 两个等差数列的性质问题 答案 D解析 对于p 1：a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0， ∴a n －a n －1＝d ＞0，则p 1正确； 对于p 2：na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小关系和a 1的取值情况有关. 故数列{na n }不一定递增，则p 2不正确； 对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋dn (n －1)，当d －a 1＞0，即d ＞a 1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列，但d ＞a 1不一定成立，则p 3不正确； 对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ， 则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0.高中数学 高考数学∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确. 综上，正确的命题为p 1，p 4.4.在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A.4B.6C.8D.10 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 C解析 ∵a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16， ∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.5.若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.1或2 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用 答案 D解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2.6.在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A.45 B.75 C.180 D.300 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝(a 3＋a 7)＋(a 4＋a 6)＋a 5＝5a 5＝450，∴a 5＝90. ∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.7.已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B.±3 C.－33D.－ 3 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 D高中数学 高考数学解析 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π， ∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan8π3＝tan 2π3＝－ 3. 8.若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |等于( )A.1B.34C.12D.38考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 C解析 设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2， 再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d ＝2， ∵a 1＝14，∴d ＝12，∴a 2＝14＋12＝34，a 3＝14＋1＝54，a 4＝14＋32＝74，∴|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3|＝⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12 二、填空题9.设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________. 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 105解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5. ∵a 1a 2a 3＝(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝5(25－d 2)＝80， 又d 为正数，∴d ＝3.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3(5＋30)＝105.10.若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________. 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列对称设项问题 答案 －21解析 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝59，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴这三个数的积为－21.11.在等差数列{a n }中，已知a m ＝n ，a n ＝m ，则a m ＋n 的值为________.考点 等差数列基本量的计算问题题点 等差数列公差有关问题答案 0解析 方法一 设等差数列的公差为d ，则d ＝a m －a n m －n ＝n －m m －n＝－1， 从而a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ·(－1)＝0. 方法二 设等差数列的通项公式为a n ＝an ＋b (a ，b 为常数)，则⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝am ＋b ＝n ，a n ＝an ＋b ＝m ，得a ＝－1，b ＝m ＋n . 所以a m ＋n ＝a (m ＋n )＋b ＝0.三、解答题12.已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＋a 5＝18，a 2＋a 4＋a 6＝24.(1)求a 20的值；(2)若b n ＝32a n －412，试判断数列{b n }从哪一项开始大于0. 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题解 (1)因为a 1＋a 3＋a 5＝18，a 2＋a 4＋a 6＝24，所以a 3＝6，a 4＝8，则公差d ＝2，所以a 20＝a 3＋17d ＝40.(2)由(1)得a n ＝a 3＋(n －3)d ＝6＋(n －3)×2＝2n ，所以b n ＝32×2n －412＝3n －412.由b n >0，即3n －412>0，得n >416，所以数列{b n }从第7项开始大于0. 13.看看我们生活中的挂历：横看、竖看、斜看，都是天然的等差数列.随意框选9个数，如图，可以发现12等于周围8个数之和的八分之一.请用所学数学知识对此给出简要的说明.考点 等差数列的应用题题点 等差数列的应用题解 由题意，在等差数列中，若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .因为12＝4＋202＝5＋192＝6＋182＝11＋132， 所以12＝(4＋20)＋(5＋19)＋(6＋18)＋(11＋13)8. 四、探究与拓展14.若等差数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3，则{a n }的通项公式为__________________. 考点 等差数列的通项公式题点 求通项公式答案 a n ＝2n －52解析 由题意得a n ＋1＋a n ＝4n －3，①a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1，②②－①，得a n ＋2－a n ＝4.∵{a n }是等差数列，设公差为d ，∴d ＝2.∵a 1＋a 2＝1，∴a 1＋a 1＋d ＝1，∴a 1＝－12. ∴a n ＝2n －52. 15.正项数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n .(1)数列{a n }是否为等差数列？说明理由；(2)求a n .考点 等差数列的判定题点 证明数列是等差数列解 (1)数列{a n }是等差数列.∵a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n ，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋1＋a n ，∴(a n ＋1＋a n )·(a n ＋1－a n )＝a n ＋1＋a n ，∴a n＋1－a n＝1，∴{a n}是等差数列，公差为1.(2)由(1)知{a n}是等差数列，且d＝1，∴a n＝a1＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×1＝n，∴a n＝n2.。