等差数列综合应用

第六课时 等差数列综合应用
【知识与技能】进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n 项和公式研究S n 的最值，初步体验函数思想在解决数列问题中的应用；掌握裂项相消法求数列的和． 【重点难点】
重点：等差数列前n 项和公式的掌握与应用，裂项相消法求数列的和． 难点：灵活运用求和公式解决问题． 【教学过程】 一、要点梳理
1．等差数列通项公式：
*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a
变形公式：d m n a a m n )(-+=；m
n a a d m
n --=；
2．等差数列的前n 项和公式：
1()2n n n a a S +=
1(1)2n n na d -=+211
()22
d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A B 、是常数，当0d ≠时，n S 是二次项系数为d
2
，图象过原点的二次函数．）
3．等差数列的性质
（1）等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；
（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列；
（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有
2m n p a a a +=；
（4）等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…构成等差．．
数列； （5）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和.
若当项数为偶数n 2时，
()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇，11
n n n n S na a S na a ++==奇偶 若当项数为奇数12+n 时，
21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨
-==⎪⎪⎩⎩
n+1n+1
奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为21n +的等差数列的中间项）；
（6）{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n A f n B =，则()2121
=21n n n n a A
f n b B --=-；
（7）若m S n =()n S m m p =≠，则m n S += ；
（8）若(),m p m p S S m p S +=≠=则 . 4．求n S 的最值
法一：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*
n N ∈。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和。

即当
，
，001<>d a 由⎩⎨⎧≤≥+0
1n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值．（2）“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。

即 当，，001><d a 由⎩⎨⎧≥≤+00
1
n n a a 可得n S 达到最小
值时的n 值．或求{}n a 中正负分界项。

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n
取离二次函数对称轴最近的整数时，n S 取最大值（或最小值）。

若p q S S = 则其对称轴为
2
p q
n +=。

5．等差数列的判定方法
（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*
∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2）等差中项：数列{}n a 是等差数)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． （3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

二、合作探究
类型1 等差数列前n 项和的性质
【例1】(1)在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝________． (2)有一个共有100项的等差数列，其奇数项与偶数项之和分别为100和200，则公差d ＝________．
【练习1】等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求它的前3m 项的和．
【练习2】若n S 表示等差数列的前n 项和，481
3S S =，则816
S S = ．
【练习3】在等差数列{}n a 中，10100100,10,S S ==则110S = ．
【练习4】在等差数列{}n a 中，10100,S S =则110S = ．
【练习5】已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，且
745
3
n n A n B n +=
+，则
使得n
n
a b 为整数的正整数n 的个数为 ．
【练习6】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95
S
S = ． 类型2 等差数列前n 项和的最值问题 【例2】数列{a n }是等差数列，a 1＝50，d ＝－0.6. (1)从第几项开始有a n <0； (2)求此数列的前n 项和的最大值．
【练习】等差数列{a n }中，a 1<0，S 9＝S 12，该数列前多少项和最小？
类型3 裂项相消法求数列的和
【例3】等差数列{a n }中，a 1＝3，公差d ＝2，S n 为前n 项和，求1S 1＋1S 2＋…＋1
S n .
小结：1．若数列{a n }是等差数列，公差为d (d ≠0)，则和式T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋
1
a n －1a n 可用裂项法求和，具体过程如下：∵1a n －1·a n ＝1d (1a n －1－1a n )，∴T n ＝1d [(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1
a 3)＋…＋
(1a n －1－1a n )]＝1d (1a 1－1a n )＝n －1a 1a n ；2．常用到的裂项公式有如下形式：(1)1n (n ＋k )＝1k (1n －1
n ＋k )；
(2)
1n ＋k ＋n ＝1
k
(n ＋k －n )．
【练习】本例中若把条件改为“a 1＝1，d ＝1”，其他都不变，试求解之．
类型4 等差数列的综合应用
【例4】在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋
1(n ≥2，n ∈N *)．
(1)若b n ＝a n
2
n ，求证：{b n }是等差数列；
(2)在(1)的条件下，设C n ＝1
b n b n ＋1，求{C n }的前n 项和T n .
三、课时小结与作业
1．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( )
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
2．(2013·西安高二检测)已知等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若S 16>0，S 17<0，则当S n 最大时n 的值为( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．16 3．(2013·郑州高二检测)已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d >0，则使得前n 项和S n 取得最小值时的正整数n 的值是( )
A ．4和5
B ．5和6
C ．6和7
D ．7和 8 4．已知数列{a n }是通项a n 和公差都不为零的等差数列，设S n ＝1a 1a 2＋1
a 2a 3＋…＋
1
a n a n ＋1，则S n 等于( ) A.
n a 1a n ＋1 B.n
a 1a n C.n －1a 1a n
D.n －1a 1a n ＋15．已知一个等差数列{a n }的前12项的和为354，前12项中偶数项的和S 偶与前12项中奇数项的和S 奇之比为32
27，求此数列的公差d . 6．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？ 7．设数列{a n }满足a 1＝0，且11－a n ＋1－1
1－a n
＝1.
(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝
1－a n ＋1
n
，记S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n . 证明：S n <1.。