第五讲：圆的切线与三角函数(2014)
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质在数学中，三角函数是一种基本的函数类型，其中的很多图像和性质对理解数学十分重要。
它们有助于理解各种模型的表示和应用，增强数学思维的能力和加深数学知识。
本文就三角函数的图像与性质做一些简单的介绍。
I、三角函数图像1、正弦曲线：正弦曲线是由参数从0到2π（2π是将一个周期跨越两次）形成的空间曲线。
它是圆的切线，有一定的规律性，并且把圆分为一个完整的一个周期，表现的曲线是一个“s”字形，形成有节奏的变化形式。
2、余弦曲线：余弦曲线是一条由参数从0到2π（2π是将一个周期跨越两次）形成的空间曲线，它也是圆的切线，有一定的规律性，但是它把圆分为两个半周期，比较起来更加缓和，表现的曲线是一个“v”字形，形成有节奏的变化形式。
3、正切曲线：正切曲线可以由参数0到π（π是将一个周期跨越一次）形成的曲线。
它也是一个椭圆的切线，有一定的规律性，把椭圆分为一完整周期，表现的曲线是一个“z”字形，形成有节奏的变化形式。
II、三角函数的性质1、周期性：三角函数的周期性就是说其值的变化是有如左图5000式的一个循环周期，在实际应用中可以利用该性质进行参数估计。
2、增减性：三角函数具有明显的增减性，具体表现为当参数逐渐增加时，函数值会自动增大，而当参数逐渐减小时，函数值则会自动减小。
3、几何性：三角函数有一个令人惊讶的性质，即在几何上其值就等于一定参数的弧度，而且参数的变化也不会影响该弧度。
4、极限性：参数π/2处的正切函数的值无穷大，表示非常接近的范围内函数的变化是接近无穷大的，而参数为0处的余弦函数为1，表示函数在某一点的取值趋势没有了变化，变成一个规定值。
总结来说，三角函数可以说是数学之中一个基本的概念，其图形和性质极其重要，可以帮助我们更深入的理解数学，增进数学的应用能力，因此，值得我们认真好好的学习。
《圆的切线》课件1-1
我用量角器量得切线l 与半径OA所成的角为90°， 即切线l 与半径OA 垂直.
下面我们用反证法来证明这个结论. 假设直线l 与半径OA 不垂直. 过圆心O 作OB⊥l 于点B. 由于垂线段最短， 可得OB＜OA， 那么圆心O 到直线l 的距离小于 半径， 即直线l 与⊙O 相交. 这与已知直线l 是 ⊙O 的切线相矛盾.
圆的切线
观察 观察下图， 工人用砂轮磨一把刀， 在接 触的一瞬间， 擦出的火花是沿着砂轮的什 么方向飞出去的？
生活中， 我们常常看到切线的实 例， 如何判断一条直线是不是⊙O 的 切线呢？
探究 如图，OA是⊙O的半径， 经过OA 的外端 点A， 作一条直线l⊥OA，圆心O 到直线l 的距 离是多少？ 直线l 和⊙O有怎样的位置关系？ l
因此直线l⊥OA.
结论
由此，我们得出下面的结论： 圆的切线垂直于过切点的半径.
例3 如图所示，AB 是⊙O的直径，C 为⊙O上一 点，BD 和过点C 的切线CD 垂直，垂足为D. 求证： BC 平分∠ABD.
证明 连接OC. ∵ CD是⊙O的切线， ∴ OC⊥CD . 又 ∵ BD⊥CD ， ∴ BD∥OC . ∴ ∠ 1 =∠ 2. 又 OC = OB ， ∴ ∠ 1 = ∠ 3. ∴ ∠2 = ∠3，即BC平分∠ABD.
例2 已知：如图所示，AD是圆O的直径，直线 BC经过点D，并且AB=AC，∠BAD=∠CAD. 求证：直线BC是圆O的切线.
D
证明 因为 AB=AC，∠BAD=∠CAD， 所以 AD⊥BC.
又因为OD是圆O的半径，且BC经过点D，
所以直线BC是圆O是圆O的切线，切点 为A，切线l与半径OA 垂直吗？
例4 证明：经过直径两端点的切线互相平行. 已知：如图所示，AB是圆O的直径，l1， l2 分别是经过点A，B的切线. 求证：l1∥l2.
第五讲：圆的切线与三角函数(2014)
第五讲：圆的切线与三角函数—2015年中考数学一、知识点睛1 . 锐角三角函数定义：在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为cosA=∠A的正切：tanA= ，它们统称为∠A的锐角三角函数二、例题专讲【例1】(2014 贵州省黔南州) 如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为．9. （2013年北京市）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=12∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，求BC和BF的长．相应专练11．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC=6，sinA=53s in =∠A ，则⊙O 的半径为 .2．如图，梯形PCEN 中， P C ∥ME ，∠P=90º，PM=ME ，以CE 为直径的⊙O 与PM 切于D ，若CE=20，PM=16，则tan ∠PCD 的值为 .4．如图，⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于C ，若AD=CD ，则sin ∠OCA 的值是 .6．如图，PA,、PB 分别切⊙O 于A 、B ，PA 、BO 的延长线交于点Q ，连AB ，若sin ∠AQO ＝54sin =∠AQO ， 则tan ∠ABP 的值为（ ）A ．2 B ．3 C ．3 D ．32三、解答题部分【例2】已知线段长求三角函数值1．如图，AB 为⊙O 的直径，CD=CB ，CE ⊥AD 于E ，连BE.（1）求证：CE 为⊙O 的切线；（2）若AE=6，⊙O 的半径为5，求tan ∠BEC 的值.相应专练28．如图，AB 为⊙O 的直径，CA 、CD 分别切⊙O 于A 、D ，CO 的延长线交⊙O 于M ，连BD 、DM.（1）求证：B D ∥CM ；（2）若sin ∠MCD ＝53s i n =∠MCD ，求cos ∠BDM 的值.9. (2013 陕西省) 如图，直线l 与⊙O 相切于点D ，过圆心O 作EF ∥l 交⊙O 于E 、F 两点，点A 是⊙O 上一点，连接AE 、AF ，并分别延长交直线l 于B 、C 两点.（1）求证：∠ABC +∠ACB=90°；（2）当⊙O 的半径R=5,BD=12时，求tan ∠ACB 的值.10. (2014 四川省攀枝花市) 如图，△ABC 的边AB 为⊙O 的直径，BC 与圆交于点D ，D 为BC 的中点，过D 作DE ⊥AC 于E ．（1）求证：AB=AC ；（2）求证：DE 为⊙O 的切线；（3）若AB=13，sinB=，求CE 的长．11. (2014 四川省甘孜州) 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 的中点O 为圆心，OA 为半径的圆交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接DE ，OE ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2＝2CD ·OE（3）若cos ∠BAD ＝53，BE ＝314，求OE 的长．。
《圆的切线》PPT课件
.
4
问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的 什么方向飞出去的?
.
5
动手做一做
• 画一个圆O及半径OA，画一条直线l经过⊙O的半 径OA的外端点A，且垂直于这条半径OA，这条直 线与圆有几个交点？
●O
┐
l
思考：直线l一定是圆O的A切线吗？
由此，你知道如何画圆的切线吗？
.
6
〖想一想〗
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有怎样的位置关系？ 过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，
∴∠PEC=90°
∴ ∠OPE=∠PEC=90°
∴PE⊥OP。
.
11
∴PE为⊙0的切线。
〖拓展例题〗 ：如图所示，等腰△ABC，BC边过圆
心O,且满足OB=OC,AB边交⊙O于点D，连结AO,并且满足
OD⊥AB。求证：AC与⊙O相切。
A
证明：过点O作OE⊥AC于E。
∵△ABC是等腰△ABC
O l
r
O
r l
O l
r
A
A
A
Байду номын сангаас
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
〖想一想〗
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?
切线判定有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是
圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的
.
1
圆的切线
授课教师：邹春雨
图形
直线与圆的 位置关系
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r的关系
第五讲+三角函数的图象与性质课件-2025届高三数学一轮复习
y＝tan x R π
奇函数
kπ－π2，kπ＋π2
(续表) 函数 递减 区间 对称 中心 对称轴 方程
y＝sin x
2kπ
π 2
,
2kπ+
3π 2
(kπ，0)
x＝kπ＋π2
y＝cos x [2kπ，2kπ＋π]
kπ＋π2，0 x＝kπ
y＝tan x 无
k2π，0 无
【常用结论】 (1)三角函数的对称性与周期性 ①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间
考点二 三角函数的周期性、奇偶性与对称性 考向 1 三角函数奇偶性、周期性 [例 1](1)已知函数 f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( ) A.f(x)的最小正周期为π，最大值为 3 B.f(x)的最小正周期为π，最大值为 4 C.f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 3 D.f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 4
2025年高考一轮总复习
第三章 三角函数、解三角形
第五讲 三角函数的 图象与性质
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是 (0，0)，π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0). (2)余弦函数 y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是 (0，1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1).
答案：B
2.函数 y＝ 16－x2＋ sin x的定义域是______________.
解析：由题意可得1si6n－x≥x2≥0，0，
∴－ 2kπ4≤≤xx≤≤24k，π＋π，k∈Z. 如图 D17， 由图可知定义域为[－4，－π]∪[0，π].
圆的切线、切线长、线切角
lOD BCAODCOOQ CDPOBA圆的切线､切线长定理与弦切角定理一､圆的切线: 1.切线的判定:2.切线的性质:【运用举例】例1.如图,已知⊙O 所内接△ABC,过点B 作直线BD,∠DBC=∠A,试说明,BD 与⊙O 相切｡例2.如图,已知CB 是⊙O 的切线,C 是切点,OB 交⊙O 于点D,∠B=30,BD=6㎝,求BC ｡例3､如图,PA ､PB 切⊙O 于点A ､B ,点C 是⊙O 上一点,且∠ACB =65°,求∠P 的度数.例4､已知:如图AB 是⊙O 的直径,P 是AB 上的一点(与A ､B 不重合),QP ⊥AB,垂足为P,直线QA 交⊙O 于点C 点,过C 点作⊙O 的切线交直线QP 于点D,求证:△CDQ 是等腰三角形.当P 点在AB 的延长线上时,其他条件不变,这个结论还成立吗?试说明.二､切线长定理1､切线长:我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 2､切线长定理:符号语言:∵PA ､PB 是O⊙的切线,A ､B 是切点,∴,PA=PB 【运用举例】例1.在△ABC 中,AB=5cm BC=7cm AC=8cm, ⊙O 与BC ､AC ､ AB 分别相切于 D ､ E ､F,则 AF=_____, BD=_______ ､CF=________例2､如图,PA ､PB 是⊙O 的切线,切点分别是A ､B,直线EF 也是⊙O 的切线,切点为Q,交PA ､PB 为E ､F 点,已知12PA cm ,求△PEF 的周长.例3､已知:如图,P 为⊙O 外一点,PA,PB 为⊙O 的切线,A 和B 是切点,BC 是直径. 求证:AC∥OP.例4.如图,AB ､CD 分别与半圆O 切于点A ､D,BC 切⊙O 于点E,若AB=4,CD=9,求⊙O 的半径｡三､弦切角定理及其推论OCB AP1､弦切角:________________________________________________________________｡问题: 以下各图中的角哪个是弦切角?2､弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半｡3､弦切角定理的推论:若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等｡【运用举例】例1､如图,四边形ABCD为圆内接四边形,AB是直径,MN切⊙O于C点,∠BCM=38°,那么∠ABC 的度数是( )A.38°;B.52°;C.68°;D.42°.例2.已知:如图,PA切⊙O于点A,割线PBC交⊙O于B和C两点,∠P=15°,∠ABC=47°,求∠C的度数.例3､已知:如图7-179,OA是⊙O半径,B是OA延长线上一点,BC切⊙O于C,CD⊥OA于D.求证:CA平分∠BCD.例4､如图,AB是⊙O的弦,CD是经过⊙O上的点M的切线.求证:(1)如果AB//CD,那么AM=MB;(2)如果AM=BM,那么AB//CD.例5.如图,AD是ΔABC中∠BAC的平分线,经过点A的⊙O与BC切于点D,与AB,AC分别相交于E,F.求证:EF∥BC.例6､如图,Rt ABC∆中,90BAC∠=︒,以AB为直径的⊙O交BC于点D,切线DE交AC于E.求证:12DE AC=.例7､如图,AB是⊙O的直径,AD､BC､CD是⊙O的切线,切点分别为A､B､C､DO交AE于F,OC交BE 于G.求证:(1)CO DO⊥(2)四边形EFOG是矩形.·AODBBBCE。
《圆和锐角三角函数》课件
信号处理
圆形三角函数应用于信号处 理和调频调相等领域。
用圆形三角函数解题实例
角度求解
通过已知条件与圆形三角函数求 解角度。
边长计算
通过已知条件与圆形三角函数计 算三角形的边长。
导航应用
利用圆形三角函数在导航中确定 方向与距离。
圆形三角函数扩展应用
波的传播
圆形三角函数应用于描述波 的传播性质，如声波和电磁 波。
周期性现象
通过圆形三角函数可以描述 周期性现象，如天文学中的 行星运动。
《圆和锐角三角函数》 PPT课件
三角函数是数学中重要的概念，涉及到圆、锐角以及它们的相互关系。本课 件将带您深入了解圆和锐角三角函数的相关知识。
三角函数简介Leabharlann 什么是三角函数？它们描述了圆中锐角的特性，通过角度与圆上点的坐标之间的关系，提供了对角度的度量和 计算方法。
正弦、余弦、正切函数
1 正弦函数
描述锐角对应的圆上点的纵坐标与半径之比。
2 余弦函数
描述锐角对应的圆上点的横坐标与半径之比。
3 正切函数
描述正弦和余弦函数值的商，即纵坐标与横坐标之比。
常用三角函数值表
角度
0°
正弦值
0
余弦值
1
正切值
0
30° 1/2 √3/2 √3/3
45° √2/2 √2/2 1
60° √3/2 1/2 √3
90° 1 0 undefined
平面直角坐标系与三角函数关系
坐标系
二维平面上的点由横纵坐标表 示。
正弦
纵坐标与半径之比，描述角的 正弦值。
余弦
横坐标与半径之比，描述角的 余弦值。
圆形三角函数定义
1
两圆公切线的求法
两圆公切线的求法
两个圆的公切线可以分为内公切线和外公切线。
以下是求解两个圆的公切线的方法：
### 内公切线：
步骤：
1. 找到圆心之间的连线：记两个圆的圆心分别为O1和O2，连接O1O2。
2. 计算圆心之间的距离：记为d，即O1O2的长度。
3. 计算圆心之间的夹角：用反三角函数计算夹角θ，其中θ = arccos((r1 + r2) /
d)，其中r1和r2分别是两个圆的半径。
4. 计算公切线的长度：利用三角函数计算公切线的长度，公切线长度L = sqrt(d^2 - (r1 - r2)^2)。
5. 计算公切线与连线的夹角：公切线与连线的夹角等于θ。
6. 确定切点坐标：切点坐标可以通过在O1O2上适当距离O1和O2处作垂直线得到。
### 外公切线：
步骤：
1. 找到圆心之间的连线：同样连接O1O2。
2. 计算圆心之间的距离：记为d，即O1O2的长度。
3. 计算圆心之间的夹角：用反三角函数计算夹角θ，其中θ = arccos((r1 + r2) /
d)。
4. 计算公切线的长度：利用三角函数计算公切线的长度，公切线长度L = sqrt(d^2 - (r1 + r2)^2)。
5. 计算公切线与连线的夹角：公切线与连线的夹角等于θ。
6. 确定切点坐标：切点坐标同样可以通过在O1O2上适当距离O1和O2处作垂直线得到。
需要注意的是，当两个圆相交或包含关系时，可能不存在外公切线或内公切线。
在这种情况下，需要根据具体情况进行讨论。
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第五讲：圆的切线与三角函数—2015年中考数学
一、知识点睛
1 . 锐角三角函数定义：
在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
则∠A的正弦可表示为：sinA= ，
∠A的余弦可表示为cosA=
∠A的正切：tanA= ，
它们统称为∠A的锐角三角函数
二、例题专讲
【例1】(2014 贵州省黔南州) 如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为．
9. （2013年北京市）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC
的延长线上，且∠CBF=1
2
∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，求BC和BF的长．
相应专练1
1．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC=6，sinA=53s in =∠A ，则⊙O 的半径为 .
2．如图，梯形PCEN 中， P C ∥ME ，∠P=90º，PM=ME ，以CE 为直径的⊙O 与PM 切于D ，若CE=20，PM=16，则tan ∠PCD 的值为 .
4．如图，⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于C ，若AD=CD ，
则sin ∠OCA 的值是 .
6．如图，PA,、PB 分别切⊙O 于A 、B ，PA 、BO 的延长线交于点Q ，连AB ，若sin ∠AQO ＝54
sin =∠AQO ， 则tan ∠ABP 的值为（ ）A ．2 B ．3 C ．3 D ．32
三、解答题部分
【例2】已知线段长求三角函数值
1．如图，AB 为⊙O 的直径，CD=CB ，CE ⊥AD 于E ，连BE.
（1）求证：CE 为⊙O 的切线；
（2）若AE=6，⊙O 的半径为5，求tan ∠BEC 的值.
相应专练2
8．如图，AB 为⊙O 的直径，CA 、CD 分别切⊙O 于A 、D ，CO 的延长线交⊙O 于M ，连BD 、DM.
（1）求证：B D ∥CM ；
（2）若sin ∠MCD ＝53s i n =∠MCD ，求cos ∠BDM 的值.
9. (2013 陕西省) 如图，直线l 与⊙O 相切于点D ，过圆心O 作EF ∥l 交⊙O 于E 、F 两点，点A 是⊙O 上一点，连接AE 、AF ，并分别延长交直线l 于B 、C 两点.
（1）求证：∠ABC +∠ACB=90°；
（2）当⊙O 的半径R=5,BD=12时，求tan ∠ACB 的值.
10. (2014 四川省攀枝花市) 如图，△ABC 的边AB 为⊙O 的直径，BC 与圆交于点D ，D 为BC 的中点，过D 作DE ⊥AC 于E ．
（1）求证：AB=AC ；
（2）求证：DE 为⊙O 的切线；
（3）若AB=13，sinB=，求CE 的长．
11. (2014 四川省甘孜州) 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 的中点O 为圆心，OA 为半径的圆交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接DE ，OE ．
（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC2＝2CD ·OE
（3）若cos ∠BAD ＝53，BE ＝314
，求OE 的长．。