椭圆基础训练题(学生版)
高三椭圆练习题及答案
高三椭圆练习题及答案1. 技术背景在二维几何中，椭圆是一种重要的图形，具有许多应用。
高三学生需要掌握椭圆的基本概念、性质和相关的计算方法。
为了帮助高三学生巩固椭圆的知识，以下是一些椭圆练习题及答案。
2. 填空题(1) 如果椭圆E的长半轴和短半轴分别为a和b，则椭圆的离心率为________。
(2) 椭圆的焦点和直径的关系是________。
(3) 椭圆的离心率小于1，原点(0,0)在椭圆的________。
(4) 椭圆的离心率等于1，原点(0,0)在椭圆的________。
(5) 椭圆的离心率大于1，原点(0,0)在椭圆的________。
答案：(1) 椭圆的离心率为c/a；(2) 椭圆的焦点和直径的关系是焦点到椭圆周上任意一点的距离之和等于该点到椭圆的两个直径的距离之和；(3) 原点(0,0)在椭圆的右焦点所在的象限；(4) 原点(0,0)在椭圆的焦点所在的象限；(5) 原点(0,0)在椭圆的左焦点所在的象限。
3. 选择题(1) 下列各图中，哪个是椭圆？A. B. C. D. 答案：C. (2) 椭圆的离心率等于1，这个椭圆的形状是________。
A. 长圆B. 倍圆C. 圆D. 短圆答案：C. 圆4. 计算题已知椭圆的焦点为F1(-3, 0)和F2(3, 0)，离心率为2/3，求椭圆的方程。
答案：椭圆的焦距为2ae = 6，离心距为2c = 2/3 * 2a，解得a = 9，所以椭圆的方程为(x^2)/81 + (y^2)/36 = 1。
5. 应用题小明要设计一个椭圆形的游泳池，他希望池子的长半轴为8米，短半轴为6米。
假设池子的边界是一个完整的椭圆，求池子的周长和面积。
答案：椭圆的周长为2π * √((a^2 + b^2)/2) = 2π * √((8^2 + 6^2)/2) ≈ 39.97米。
椭圆基础训练题(含答案提示)
椭圆基础训练题1．已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（ ）（A ）5x 2＋3y 2＝1（B ）25x 2＋9y 2＝1（C ）3x 2＋5y 2＝1 （D ）9x 2＋25y 2＝12．椭圆5x 2＋4y 2＝1的两条准线间的距离是（ ）（A ）52 （B ）10 （C ）15（D ）3503．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）（A ）21（B ）22（C ）23（D ）334．椭圆25x 2＋9y 2＝1上有一点P ，它到右准线的距离是49，那么P 点到左准线的距离是（ ）。
（A ）59（B ）516（C ）441（D ）5415．已知椭圆x 2＋2y 2＝m ，则下列与m 无关的是（ ） （A ）焦点坐标（B ）准线方程（C ）焦距 （D ）离心率6．椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是23，则它的长半轴的长是（ ）（A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）21或17．椭圆的中心为O ，左焦点为F 1，P 是椭圆上一点，已知△PF 1O 为正三角形，则P 点到右准线的距离与长半轴的长之比是（ ） （A ）3－1（B ）3－3 （C ）3 （D ）18．若椭圆my 12m 3x 22-+=1的准线平行于y 轴，则m 的取值X 围是。
9．椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方程是。
10. 椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x －y －4=0被此椭圆所截得的弦长为354，求此椭圆的方程。
11．证明：椭圆上任意一点到中心的距离的平方与到两焦点距离的乘积之和为一定值。
12. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e =32，长轴长为6，那么椭圆的方程是（）。
（A ）36x 2+20y 2=1 （B ）36x 2+20y 2=1或20x 2+36y 2=1（C ）9x 2+5y 2=1 （D ）9x 2+5y 2=1或5x 2+9y 2=113. 椭圆25x 2＋16y 2=1的焦点坐标是（）。
椭圆基础题(含答案)
4．设 P 是椭圆 2 +
3
A．2√2
= 1上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（
B．2√3
5．椭圆:
2
+
4
2
2
C．2√5
B．−2
2
100
+
D．4√2
= 1的左、右焦点分别为1 , 2 ，点在椭圆上，已知|1 | = 3，则|2 | =（
A．−1
6．如果椭圆
）
2
）
D．不能确定
3．已知△ 的周长为 20，且顶点(0, −4), (0,4)，则顶点的轨迹方程是（
2
2
2
2
2
2
2
）
2
A．36 + 20 = 1( ≠ 0) B．20 + 36 = 1( ≠ 0) C． 6 + 20 = 1( ≠ 0) D．20 + 36 = 1
2
√6
A． 3
B．−
2
2
= 1有且只有一个交点，则的值是(
√6
3
C．±
2
33．直线 y＝k（x﹣2）+1 与椭圆
16
A．相离
+
2
9
2
A．相交
2
4
= 1的位置关系是（
2
A． + 3 − 4 = 0
36．已知椭圆:
2
4
+
2
2
D．无法判断
）
C．相离
D．不确定
= 1交于点 A、B,线段的中点为(1,1),则直线 l 的方程为(
(2)焦点在轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为8, = √3.
高二数学椭圆专项训练基础(含解析)
高二数学椭圆专项训练（基础）1、已知椭圆的方程为x 2 y 2 y 的最大值是。
41 ，则 2x9、椭圆 x2y 21 ( a b0)上两点 A, B 与中心 O 的连线相互垂直，1 21 2 值为（ ）2b 2OA OB a 2A 、1b 2 B、 1C 、 a 2 b 2D、 a 2b 2a2a 2b 2a 2b 2a 2b 223、（ 2016 松江二中高三月考 12,1-14 填空）设 F 1 是椭圆xy 2 1 的左焦点， O 为坐标原4点，点 P 在椭圆上，则 PF 1 PO 的最大值为 。
4、设椭圆x 2y 222 1 a b 0 的左、右焦点分别是 F 1 , F 2 , 过 F 2 作直线与椭圆交于两点 A,B ，ab则 ABF 1 的周长为（ ） A 、 2mB 、 4aC 、 2m 4aD 、 2m 4b千锤百炼，不停超越，成就学生，成就梦想 第 1页/第5页5、已知圆 O 1: （22圆O 2:（22动圆M与圆O1 外切，与圆O2 内切.求：动））x+1+y =1 ,x-1+y =9 ,圆圆心 M 所在的曲线方程 .6、椭圆x2y21上的点A, B知足OA OB ，若点 A 在第一象限，且 OA3OB ，322求点 A 的坐标。
7、（ 2017 上海高考 20（ 2）改，17-21 解答）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆:x2y2 1 ，4A 为的上极点， P 为上异于上、下极点的动点， M 为 x 正半轴上的动点。
设 P(8,3) ，55若以 A, P, M 为极点的三角形是直角三角形，则 M 的横坐标能够是。
千锤百炼，不停超越，成就学生，成就梦想第 2页/第5页8、已知椭圆x2y21，直线l : 4 x 5 y 400 ，椭圆上能否存在一点，使得它到直线l 的259距离最小？最小距离是多少？9、已知椭圆x2y2 1 a b 0 ，P为椭圆上任一点， F1PF2, 求 F1 PF 的面积．a2b210、已知椭圆C :x2y2 1 ，上极点为A，右极点为B，直线y kx k0 与 AB 订交于点4D ，与椭圆订交于E、F两点。
人教版高中数学选修一3.1.2 椭圆的简单几何性质(二)-A基础练(学生版)
3.1.2椭圆的简单几何性质（2） -A 基础练一、选择题1．（2020·河北桃城衡水中学期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，若长轴长为8，离心率为12，则此椭圆的标准方程为( )A ．2216448x y +=B ．2216416x y +=C ．221164x y +=D ．2211612x y +=2.（2020全国高二课时练）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为22143x y +=，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．83．（2020·金华市曙光学校月考）无论k 为何值，直线2y kx =+和曲线22194x y +=交点情况满足（ ） A ．没有公共点B ．一个公共点C ．两个公共点D ．有公共点4. （2019·安徽安庆月考）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．2C 1D 15．（多选题）（2020广东濠江高二月考）椭圆22116x y m+=的焦距为，则m 的值为（ ）A ．9B ．23C ．16D ．16+6．（多选题）（2020全国高二课时练）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（ ）A ．焦距长约为300公里B ．长轴长约为3988公里C ．两焦点坐标约为()1500±，D ．离心率约为75994二、填空题7. （2020·全国课时练习）若直线2y kx =+与椭圆22132x y +=有且只有一个交点，则斜率k 的值是_______.8．光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图,一个光学装置由有公共焦点1F ,2F 的椭圆Γ与双曲线'Γ构成,现一光线从左焦点1F 发出,依次经'Γ与Γ反射,又回到了点1F ,历时1t 秒;若将装置中的'Γ去掉,此光线从点1F 发出,经Γ两次反射后又回到了点1F ,历时2t 秒;若214t t =,则Γ与'Γ的离心率之比为______.9. （2020·福建漳州高二月考）已知1F ，2F 是椭圆222:1(04)16x y C b b+=<<的左、右焦点，点P 在C 上，线段1PF 与y 轴交于点M ，O 为坐标原点，若OM 为12PF F △的中位线，且||1OM =，则1PF =________.10．（2020上海华师大二附中月考）已知点F 为椭圆22:143x y Γ+=的左焦点，点P 为椭圆Γ上任意一点，点O 为坐标原点，则OP FP ⋅的最大值为________三、解答题11．我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径3400km =R ）的中心F 为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A 到火星表面的距离为800km ，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B 到火星表面的距离为80000km ．假定探测器由近火星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O 时进行变轨，其中,a b 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到100km ）．12. （2020全国高二课时练习）已知椭圆C:()222210x y a b a b +=>>经过点(1,2M , 12,F F 是椭圆C 的两个焦点，12||F F =，P 是椭圆C 上的一个动点. (1)求椭圆的标准方程；(2)若点在第一象限，且1214PF PF ⋅≤,求点的横坐标的取值范围；。
(完整版)椭圆基础练习题
椭圆的定义与标准方程一．选择题（共 19 小题）1．若 F 1（ 3， 0）， F 2（﹣ 3，0），点 P 到 F 1， F 2 距离之和为 10，则 P 点的轨迹方程是（）A ．B ．C ．D ．或2．一动圆与圆 x 2+y 2+6x+5=0 及圆 x 2+y 2﹣6x ﹣ 91=0 都内切，则动圆圆心的轨迹是（ ） A ．椭 圆 B ． 双曲线 C ． 抛物线D ．圆3．椭圆上一点P 到一个焦点的距离为5，则 P 到另一个焦点的距离为（）A ．4B ． 5C ． 6D ．104．已知坐标平面上的两点A （﹣ 1，0）和B （ 1，0），动点P 到A 、B 两点距离之和为常数2，则动点 P 的轨迹是（）A ．椭 圆B ． 双曲线C ． 抛物线D ．线 段5．椭圆上一动点 P 到两焦点距离之和为（）A ．10B ． 8C ． 6D ．不 确定6．已知两点 121 2 12P 的轨迹方程是（）F （﹣ 1， 0）、 F （1， 0），且 |F F |是 |PF |与 |PF |的等差中项，则动点A ．B ．C ．D ．7．已知F 1、F 2 是椭圆=1的两焦点，经点F 2 的直线交椭圆于点A 、B ，若 |AB|=5 ，则 |AF 1|+|BF 1|等于（）A ．16B ． 11C ． 8D ．38．设会集A={1， 2，3， 4， 5} ， a ， b ∈A ，则方程表示焦点位于y 轴上的椭圆（）A ．5 个B ． 10 个C ． 20 个D ．25 个9．方程=10 ，化简的结果是（）A ．B ．C ．D ．10．平面内有一长度为 2 的线段 AB 和一动点P，若满足 |PA|+|PB|=8，则 |PA|的取值范围是（）A ．[1， 4]B ． [2， 6]C． [3， 5] D ．[3， 6]11．设定点 F1（ 0，﹣ 3）， F2（0， 3），满足条件 |PF1|+|PF2|=6，则动点P 的轨迹是（）A ．椭圆 B ．线段C．椭圆或线段或不存在 D ．不存在12．已知△ABC 的周长为A．（ x≠0）C．（ x≠0）13．已知 P 是椭圆A．20，且极点 B （ 0，﹣ 4）， C （0， 4），则极点 A 的轨迹方程是（）B．（ x≠0）D．（ x≠0）上的一点，则P 到一条准线的距离与P 到相应焦点的距离之比为（）B ．C． D ．14．平面内有两定点 A 、B 及动点 P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以 A ．B 为焦点的椭圆”，那么（）A ．甲是乙成立的充足不用要条件B ．甲是乙成立的必要不充足条件C．甲是乙成立的充要条件 D ．甲是乙成立的非充足非必要条件15．若是方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（）A ．3＜ m＜ 4B ．C． D ．16．“mn＞ 0”是“mx 2+ny2=mn 为椭圆”的（）条件．A ．必要不充足B ．充足不用要C．充要 D ．既不充足又不用要17．已知动点P（ x、 y）满足 10=|3x+4y+2| ，则动点 P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．双曲线C．抛物线 D ．无法确定18．已知 A （﹣ 1， 0）， B（ 1， 0），若点 C（ x， y）满足=（）A ．6 B ． 4C． 2 D ．与 x， y 取值有关19．在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）A ．B ．C． D ．二．填空题（共7 小题）20．方程+=1 表示椭圆，则k 的取值范围是_________．21．已知 A （﹣ 1， 0）， B（ 1， 0），点 C（ x， y）满足：，则|AC|+|BC|=_________．22．设P 是椭圆上的点．若F1、 F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2=_________．23．若 k∈Z，则椭圆的离心率是_________．24．P 为椭圆2222上的点，则 |PM|+|PN|的取值范围=1 上一点， M 、N 分别是圆（ x+3 ） +y=4 和（ x﹣ 3） +y =1是_________ ．25．在椭圆+=1 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标是_________．26．已知⊙Q：（x﹣ 1）2+y2=16 ，动⊙M 过定点 P（﹣ 1，0）且与⊙Q 相切，则M 点的轨迹方程是：_________．参照答案与试题剖析一．选择题（共 19 小题）1．若 F （ 3， 0）， F （﹣ 3，0），点 P 到 F ， F 距离之和为10，则 P 点的轨迹方程是（）1212A ．B ．C ．D ．或解答： 解：设点 P 的坐标为（ x ，y ），∵ |PF 1|+|PF 2|=10＞ |F 1F 2 |=6，∴ 点 P 的轨迹是以 F 1、 F 2 为焦点的椭圆，其中，故点 M 的轨迹方程为，应选A ．2．一动圆与圆 A ．椭 圆x 2+y 2+6x+5=0 及圆 x 2+y 2 ﹣6x ﹣ 91=0B ． 双曲线都内切，则动圆圆心的轨迹是（C ． 抛物线 ）D ．圆解答： 解： x 2+y 2+6x+5=0 配方得：（ x+3） 2+y 2=4；x 2+y 2﹣ 6x ﹣ 91=0 配方得：（ x ﹣3） 2+y 2=100；设动圆的半径为r ，动圆圆心为 P （ x ， y ），由于动圆与圆 A ： x 2+y 2+6x+5=0 及圆 B ：x 2+y 2﹣ 6x ﹣91=0 都内切， 则 PA=r ﹣ 2，PB=10 ﹣ r ． ∴ PA+PB=8 ＞ AB=6 因此点的轨迹是焦点为 A 、 B ，中心在（ 0， 0）的椭圆．应选 A ．3．椭圆上一点P 到一个焦点的距离为5，则 P 到另一个焦点的距离为（）A ．4B ． 5C ． 6D ．10解答：解： ∵， ∴a=5，由于点 P 到一个焦点的距离为 5，由椭圆的定义知， P 到另一个焦点的距离为 2a ﹣ 5=5．应选 B ．4．已知坐标平面上的两点A （﹣ 1，0）和B （ 1，0），动点 P 到 A 、 B 两点距离之和为常数 2，则动点（ ）A ．椭 圆B ． 双曲线C ． 抛物线D ．线 段P 的轨迹是解答： 解：由题意可得：又由于动点 P 到A （﹣ 1， 0）、B （ 1，0）两点之间的距离为 A 、 B 两点距离之和为常数 2，2，因此 |AB|=|AP|+|AP| ，即动点 P 在线段 AB 上运动， 因此动点 P 的轨迹是线段． 应选 D ．5．椭圆 上一动点 P 到两焦点距离之和为（）A ．10B ． 8C ． 6D ．不 确定解答： 解：依照椭圆的定义，可知动点P 到两焦点距离之和为2a=8，应选 B ．6．已知两点 F 1（﹣ 1， 0）、 F 2（ 1， 0），且 |F 1F 2|是 |PF 1|与 |PF 2|的等差中项，则动点 P 的轨迹方程是（ ）A ．B ．C ．D ．解解： ∵ F 1 （﹣ 1， 0）、 F 2（ 1， 0）， ∴ |F 1F 2|=2，∵ |F 1F 2|是 |PF 1|与 |PF 2|的等差中项， ∴ 2|F 1F 2 |=|PF 1|+|PF 2|， 即 |PF 1|+|PF 2|=4，∴ 点 P 在以 F 1， F 2 为焦点的椭圆上，∵ 2a=4， a=2 c=1∴ b 2=3，∴ 椭圆的方程是应选C ．7．已知F 1、F 2 是椭圆=1的两焦点，经点F 2 的直线交椭圆于点A 、B ，若 |AB|=5 ，则 |AF 1|+|BF 1|等于（）A ．16B ． 11C ． 8D ．3解答： 解： ∵ 直线交椭圆于点 A 、 B ，∴ 由椭圆的定义可知： |AF 1|+|BF 1|+|AB|=4a ，∴ |AF 1 |+|BF 1|=16﹣5=11，应选 B8．设会集A={1， 2，3， 4， 5} ， a ， b ∈A ，则方程表示焦点位于y 轴上的椭圆（）A ．5 个B ． 10 个C ． 20 个D ．25 个解答： 解：焦点位于 y 轴上的椭圆则， a ＜ b ，当 b=2 时， a=1； 当 b=3 时， a=1， 2； 当 b=4 时， a=1， 2， 3； 当 b=5 时， a=1， 2， 3， 4； 共 10 个应选 B ．9．方程=10 ，化简的结果是（）A ．B ．C． D ．解答：解：依照两点间的距离公式可得：表示点 P（x， y）与点 F1（ 2， 0）的距离，表示点P（x，y）与点F2（﹣ 2， 0）的距离，因此原等式化简为|PF1|+|PF2|=10，由于 |F1F2|=2＜ 10，因此由椭圆的定义可得：点 P 的轨迹是椭圆，并且 a=5，c=2，因此b 2=21．因此椭圆的方程为：．应选D．10．平面内有一长度为A ．[1， 4]2 的线段 AB 和一动点B ． [2， 6]P，若满足|PA|+|PB|=8，则 |PA|的取值范围是（C． [3， 5] D ．[3， 6]）解答：解：动点P 的轨迹是以 A ， B 为左，右焦点，定长2a=8 的椭圆∵2c=2，∴c=1，∴ 2a=8，∴a=4∵P 为椭圆长轴端点时， |PA|分别取最大，最小值∴ |PA|≥a﹣ c=4﹣1=3 ， |PA|≤a+c=4+1=5∴|PA|的取值范围是： 3≤|PA|≤5应选 C．11．设定点 F1（ 0，﹣ 3）， F2（0， 3），满足条件 |PF1|+|PF2|=6，则动点 P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C．椭圆或线段或不存在 D ．不存在解答：解：由题意可得：动点P 满足条件 |PF1|+|PF2|=6，又由于 |F1F2|=6，因此点 P 的轨迹是线段 F1F2．应选 B ．12．已知△ABC 的周长为20，且极点 B （ 0，﹣ 4）， C （0， 4），则极点 A 的轨迹方程是（）A ． B ．（ x≠0）（ x≠0）C． D ．（ x≠0）（ x≠0）解答：解：∵ △ABC的周长为20，极点 B （ 0，﹣ 4）， C （ 0， 4），∴BC=8 ， AB+AC=20 ﹣ 8=12，∵12＞ 8∴点 A 到两个定点的距离之和等于定值，∴点 A 的轨迹是椭圆，∵ a=6， c=42∴ b =20，∴ 椭圆的方程是应选 B ．13．已知P 是椭圆上的一点，则P 到一条准线的距离与P 到相应焦点的距离之比为（）A ． B ．C． D ．解答：解：依照椭圆方程可知a=4， b=3， c==∴ e= =由椭圆的定义可知P 到焦点的距离与 P 到一条准线的距离之比为离心率故 P 到一条准线的距离与P 到相应焦点的距离之比为=应选 D．14．平面内有两定点 A 、B 及动点的椭圆”，那么（）A ．甲是乙成立的充足不用要条件C．甲是乙成立的充要条件P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以B ．甲是乙成立的必要不充足条件D ．甲是乙成立的非充足非必要条件A ．B为焦点解答：解：命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点 P 的轨迹是以 A ． B 为焦点的椭圆∵ 当一个动点到两个极点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以获取动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不用然推出，而点 P 的轨迹是以 A ．B 为焦点的椭圆，必然可以推出∴ 甲是乙成立的必要不充足条件应选 B ．|PA|+|PB|是定值，15．若是方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（）A ．3＜ m＜ 4B ．C． D ．解答：解：由题意可得：方程表示焦点在y 轴上的椭圆，因此 4﹣ m＞ 0， m﹣ 3＞ 0 并且 m﹣ 3＞ 4﹣m，解得：．应选 D．22 A ．必要不充足C．充要）条件．B ．充足不用要D ．既不充足又不用要解答：解：当 mn ＞ 0 时．方程 mx 2+ny 2=mn 可化为=1，当 n ＜ 0，m ＜ 0 时方程不是椭圆的方程， 故 “mn ＞0”是 “mx 2+ny 2=mn 为椭圆 ”的不充足条件；22=1，则 m ＞ 0， n ＞ 0，故 mn ＞ 0 成立，当 mx +ny =mn 为椭圆时，方程可化为综合可知 “mn ＞ 0”是 “mx 2+ny 2=mn 为椭圆 ”的必要不充足条件．应选 A17．已知动点 P （ x 、 y ）满足 10=|3x+4y+2| ，则动点 P 的轨迹是（ ）A ．椭 圆B ． 双曲线C ． 抛物线D ．无 法确定解答：解： ∵ 10=|3x+4y+2| ，，即，其几何意义为点 M （x ， y ）到定点（ 1， 2）的距离等于到定直线3x+4y+2=0 的距离的 ，由椭圆的定义，点 M 的轨迹为以（ 1， 2）为焦点，以直线3x+4y+2=0 为准线的椭圆，应选 A ．18．已知 A （﹣ 1， 0）， B （ 1， 0），若点 C （ x ， y ）满足=（ ）A ．6B ． 4C ． 2D ．与 x ， y 取值有关解答：解： ∵ 点 C （ x ，y ）满足，∴ 两边平方，得2 2 22 24（x ﹣ 1） +4y =（ x ﹣ 4） ，整理得： 3x +4y =12 ．∴ 点 C （x ， y ）满足的方程可化为：．因此点 C 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆，满足a 2=4，b 2=3，得 c=．因此该椭圆的焦点坐标为 A （﹣ 1， 0）， B （ 1， 0），依照椭圆的定义，得 |AC|+|BC|=2a=4 ．应选 B19．在椭圆中， F 1，F 2 分别是其左右焦点，若|PF 1|=2|PF 2|，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．解答：解：依照椭圆定义 |PF 1212，|+|PF |=2a ，将设 |PF |=2|PF |代入得依照椭圆的几何性质，|PF 2 |≥a ﹣ c ，故，即 a ≤3c，故 ，即，又 e ＜ 1，故该椭圆离心率的取值范围是．应选 B ．二．填空题（共7 小题）20．方程+=1 表示椭圆，则k 的取值范围是k＞ 3．解答：解：方程+=1 表示椭圆，则，解可得k＞3，故答案 ]为 k＞ 3．21．已知 A （﹣ 1， 0）， B（ 1， 0），点 C（ x， y）满足：，则|AC|+|BC|=4．解答：解：由条件即点 C（x， y）到点点 C（ x， y）在以点，可得B（ 1， 0）的距离比上到x=4 的距离，等于常数B 为焦点，以直线x=4 为准线的椭圆上，故c=1，，，依照椭圆的第二定义，=，∴a=2，|AC|+|BC|=2a=4 ，故答案为：4．22．设 P 是椭圆上的点．若F1、 F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2= 10．解答：解：椭圆中 a 2=25， a=5， 2a=1023．若∵ P 是椭圆∴ 依照椭圆的定义，k∈Z，则椭圆上的点， F1、 F2是椭圆的两个焦点，PF1+PF2=2a=10 故答案为： 10的离心率是．解答：解：依题意可知解得﹣ 1＜k＜且k≠1(完满版)椭圆基础练习题 11 / 11 ∵ k ∈Z ，∴ k=0∴ a=，c= = ， e= = 故答案为24．P 为椭圆=1 上一点， M 、N 分别是圆（ x+3 ）2+y 2=4 和（ x ﹣ 3）2+y 2=1 上的点，则 |PM|+|PN|的取值范围是 [7， 13] ．解答：解：依题意，椭圆 的焦点分别是两圆（ x+3） 2+y 2=4 和（ x ﹣ 3） 2+y 2=1 的圆心，因此（ |PM|+|PN|） max =2×5+3=13 ，（ |PM|+|PN|）min =2×5﹣ 3=7 ，则 |PM|+|PN|的取值范围是 [7， 13]故答案为： [7， 13] ．25．在椭圆 + =1 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点 P 的横坐标是 ．解：解：由椭圆 + =1 易得椭圆的左准线方程为： x= ，右准线方程为： x=∵ P 点到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则 P 点到左准线的距离是它到右准线距离的二倍，即 x+ =2（ ﹣ x ）解得： x= 故答案为：26．已知 ⊙Q ：（x ﹣ 1） 2+y 2=16 ，动 ⊙M 过定点 P （﹣ 1，0）且与 ⊙Q 相切，则 M 点的轨迹方程是：=1 ．解答： 解： P （﹣ 1， 0）在 ⊙ Q 内，故 ⊙M 与 ⊙ Q 内切，记： M （ x ，y ），⊙ M 的半径是为 r ，则： |MQ|=4 ﹣ r ，又 ⊙ M 过点 P ，∴ |MP|=r ，∴ |MQ|=4 ﹣ |MP|，即 |MQ|+|MP|=4 ，可见 M 点的轨迹是以 P 、 Q 为焦点（ c=1）的椭圆， a=2．∴ b= =∴ 椭圆方程为： =1故答案为： =1。
椭圆基础练习题(包含答案)
椭圆基础练习题一、选择题2．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是( )A ．5B ．3或8C ．3或5D ．20 3．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是()A ．(±a －b ，0)B ．(±b －a ，0)C ．(0，±a －b )D ．(0，±b －a ) 4．中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是( )A.x 281＋y 245＝1 B ．x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 272＝1 D ．x 281＋y 236＝15．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( )A ．(－233，233)B ．(233，＋∞)∪(－∞，－233)C ．(43，＋∞)D ．(－∞，－43)6．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 216＝1 C.x 220＋y 25＝1 D ．x 25＋y 220＝1 7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14 B ．55 C.12D ．5－2 8．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )A ．m <2B ．1<m <2C ．m <－1或1<m <2D ．m <－1或1<m <329．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1 B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D ．x 225＋y 29＝1(y ≠0) 10．已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．射线D ．直线 二、填空题11．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．12．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32.则长轴长的取值范围为________． 13．如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.14．若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________________________．椭圆基础练习题答案2．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是( )A ．5B ．3或8C ．3或5D ．20[答案] C[解析] 2c ＝2，c ＝1，故有m －4＝1或4－m ＝1， ∴m ＝5或m ＝3，故选C.3．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是( ) A ．(±a －b ，0) B ．(±b －a ，0) C ．(0，±a －b ) D ．(0，±b －a ) [答案] D [解析]ax 2＋by 2＋ab ＝0可化为x 2－b ＋y 2－a＝1，∵a <b <0，∴－a >－b >0，∴焦点在y 轴上，c ＝－a ＋b ＝b －a ， ∴焦点坐标为(0，±b －a )．4．中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是( )A.x 281＋y 245＝1 B ．x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 272＝1 D ．x 281＋y 236＝1[答案] C[解析] 由长轴长为18知a ＝9，∵两个焦点将长轴长三等分，∴2c ＝13(2a )＝6，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝72，故选C.5．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A ．95B ．3C ．977D ．94[答案] D[解析] a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7. ∵△PF 1F 2为直角三角形．且b ＝3>7＝c . ∴F 1或F 2为直角三角形的直角顶点， ∴点P 的横坐标为±7，设P (±7，|y |)，把x ＝±7代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94.6．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( c )A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 216＝1 C.x 220＋y 25＝1 D ．x 25＋y 220＝17．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14 B ．55C.12 D ．5－2[答案] B[解析] ∵A 、B 分别为左右顶点，F 1、F 2分别为左右焦点，∴|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|BF 1|＝a ＋c ，又由|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列得(a －c )(a ＋c )＝4c 2，即a 2＝5c 2，所以离心率e ＝55. [答案] C[解析] 由椭圆过点(2,2)，排除A 、B 、D ，选C.8．已知方程x 2|m |－1＋y22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )A ．m <2B ．1<m <2C ．m <－1或1<m <2D ．m <－1或1<m <32[答案] D[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|m |－1>0，2－m >0，2－m >|m |－1.即⎩⎪⎨⎪⎧m >1或m <－1，m <2，m <32.∴1<m <32或m <－1，故选D.9．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1 B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0)C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D ．x 225＋y 29＝1(y ≠0)[答案] D[解析] ∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D.10．已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．射线D ．直线[答案] A[解析] ∵|PQ |＝|PF 2|且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PQ |＋|PF 1|＝2a ， 又∵F 1、P 、Q 三点共线， ∴|PF 1|＋|PQ |＝|F 1Q |，∴|F 1Q |＝2a . 即Q 在以F 1为圆心，以2a 为半径的圆上．二、填空题11．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3，a －c ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1.故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 12．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32.则长轴长的取值范围为________． [答案] (2,4][解析] ∵b ＝1，∴c 2＝a 2－1，又c 2a 2＝a 2－1a 2＝1－1a 2≤34，∴1a 2≥14，∴a 2≤4， 又∵a 2－1>0，∴a 2>1， ∴1<a ≤2，故长轴长2<2a ≤4.13．如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.[答案] 35[解析] 设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性知， |P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，∴原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋12(|P 4F |＋|P 4F ′|)＝7a ＝35.14．若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________________________．[答案] x ＋2y －4＝0[解析] 设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减并把x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入得，y 1－y 2x 1－x 2＝－12，∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.。
(完整版)椭圆基础训练题及答案
椭圆基础训练题姓名____________分数______________一、选择题1 ．方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 （ ）A ．—16〈m 〈25B ．—16〈m 〈29 C ．29〈m<25 D ．m>292 ．已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2B ．3C ．5D ．73 ．椭圆2241x y +=的焦距是（ ）A B ．1C D ．24 ．对于椭圆22525922=+y x ，下列说法正确的是（ ）A ．焦点坐标是()40±，B ．长轴长是5C ．准线方程是425±=yD ．离心率是54 5 ．椭圆2212x y +=的焦距是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．46 ．如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．),0(+∞B ．)2,0(C ．),1(+∞D ．)1,0(7 ．若椭圆221169x y +=上一点P 到它的右焦点是3，那么点P 到左焦点的距离是 （ ）A ．5B ．1C ．15D ．88 ．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于 （ ) A ．4B ．5C ．8D ．109 ．已知F 1、F 2是椭圆192522=+y x 的两个焦点，AB 是过F 2的弦，则△ABF 1 的周长等于 ( ） A ．100 B ．50C ．20D ．1010．椭圆4x 2+2y 2=1的准线方程是( ）A ．x=±1B ．x=±21 C ．y=±1 D ．y=±21 11．已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个点的距离为3，则P 点到另一个焦点距离为 （ ） A ．2B ．3C ．5D ．712．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于学科网( ）A ．12B ．22C ．2D ．32学科网 13．椭圆2216x y m +=的焦距为2，则m 的取值是 ( )A ．7B ．5C ．5或7D ．1014．椭圆161522=+y x 的两条准线方程是 （ )A ．2175-=y ,2175=y B ．2175-=x ，2175=x C ．y=－5,y=5 D ．x=－5,x=5 15．椭圆2214x y +=的长轴长为 （ )A ．16B ．2C ．8D ．416．若椭圆x a 22＋y b22=1的两焦点F 1、F 2三等分它两准线间的距离，则此椭圆的离心率为 ( ）A ．3B ．33C ．63D ．以上均不对17．若椭圆x y b222161+=过点()-23，，则其焦距为 （ ）A ．23B ．25C ．43D ．4518．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为,21它的长轴等于圆0152:22=--+x y x C 的半径,则椭圆的标准方程为 （ ）A ．13422=+y xB ．1121622=+y xC ．1422=+y x D ．141622=+y x 19．若椭圆两准线间的距离是焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（ ）A ．21。
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椭圆基础训练题（学生版）
1．已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（ ）
（A ）5x 2＋3y 2＝1（B ）25x 2＋9y 2＝1 （C ）3x 2＋5y 2＝1 （D ）9x 2＋25y 2
＝1
2．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）
（A ）21（B ）22
（C ）23（D ）33
3．已知椭圆x2＋2y2＝m ，则下列与m 无关的是（ ）
（A ）焦点坐标 （B ）准线方程 （C ）焦距 （D ）离心率
4. 曲线25x 2＋9y 2
=1与曲线k 25x 2－＋k 9y 2-=1 (k<9)，具有的等量关系是（ ）。
（A ）有相等的长、短轴 （B ）有相等的焦距
（C ）有相等的离心率 （D ）一相同的准线
5. P(x, y)是椭圆16x 2＋9y 2
=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线PD ，D 是垂足，M 是PD 的中点，则M 的轨迹方程是（ ）。
（A ）4x 2＋9y 2=1 （B ）64x 2＋9y 2=1 （C ）16x 2＋9y 42=1 （D ）16x 2＋36y 2
=1
6．过椭圆x2a2＋y2b2
＝1(0<b<a)中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F2(c,0)，则△ABF2的最大面积是( )
A ．ab
B ．ac
C ．bc
D ．b2
7. 椭圆4x2＋9y2=144内有一点P(3, 2)，过P 点的弦恰好以P 为中点，那么这条弦所在的直线方程是（ ）。
（A ）3x －2y －12=0 （B ）2x ＋3y －12=0
（C ）4x ＋9y －144=0 （D ）4x －9y －144=0
8. 如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两条准线的距离与焦距的比是（ ）。
（A ）4 : 1 （B ）9 : 1 （C ）12 : 1 （D ）18 : 1
9. 设A(－2, 3)，椭圆3x2＋4y2=48的右焦点是F ，点P 在椭圆上移动，当|AP|＋2|PF|取最小值时P 点的坐标是（ ）。
（A ）(0, 23) （B ）(0, －23) （C ）(23, 3) （D ）(－23, 3)
10. 已知椭圆2x 2
＋y2=1的两焦点为F1, F2,上顶点为B ，那么△F1BF2的外接圆方程为 x2＋y2=1 。
11. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上，和椭圆14y 9x 2
2=+共焦点，并经过点P(3, －2)，则椭
圆的方程为 。
12. 在椭圆40x 2＋10y 2
=1内有一点M(4, －1),使过点M 的弦AB 的中点正好为点M ，求弦AB 所在的直线的方程。
13．椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方
程是 9x 2
＋y2=1 。
14. 椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等
于椭圆的焦距，又已知直线2x －y －4=0被此椭圆所截得的弦长为35
4，求此椭圆的方程。
15. 直线l 过点M(1, 1), 与椭圆16x 2＋4y 2=1交于P,Q 两点，已知线段PQ 的中点横坐标为21
, 求直线l 的方程。
16．(12分)已知椭圆x29＋y24
＝1及点D(2,1)，过点D 任意引直线交椭圆于A ，B 两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程．
知识点一 定义和性质的应用
设F1、F2是椭圆x29＋y24
＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P 、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求|PF1||PF2|
的值． 解 由题意知，a ＝3，b ＝2，则c2＝a2－b2＝5，即c ＝ 5.
由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2 5.
(1)若∠PF2F1为直角，则|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2，
|PF1|2－|PF2|2＝20.
即⎩⎪⎨⎪⎧
|PF1|－|PF2|＝103，|PF1|＋|PF2|＝6， 解得|PF1|＝
143，|PF2|＝43
. 所以|PF1||PF2|＝72
. (2)若∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2.
即20＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，
解得|PF1|＝4，|PF2|＝2或|PF1|＝2，|PF2|＝4(舍去)．
所以|PF1||PF2|
＝2.
知识点二 圆锥曲线的最值问题
已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆x225＋y29
＝1内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最值．
解 因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A ′为椭圆的左焦点，则A ′(-4,0)，由椭圆定义知
|MA|+|MA ′|=10.
如图所示，则|MA|+|MB|=|MA|+|MA ′|+|MB|-|MA ′|=10+|MB|-|MA ′|≤10+|A ′B|. 当点M 在BA ′的延长线上时取等号．
所以当M 为射线BA ′与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)max=10+|A ′B|=10+210.
又如图所示，
|MA|+|MB|=|MA|+|MA ′|-|MA ′|+|MB|=10- (|MA ′|-|MB|)≥10-|A ′B|，当M 在A ′B 的延长线上时取等号．
所以当M 为射线A ′B 与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)min=10-|A ′B|=10- 210.
知识点三 轨迹问题
抛物线x2＝4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线交抛物线于不同两点A 、B ，以AF ，BF 为邻边作平行四边形FARB ，求顶点R 的轨迹方程．
解 设直线AB ：y ＝kx －1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(x ，y)，由题意F(0,1)，由⎩
⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －1x2＝4y ，可得x2－4kx ＋4＝0，
∴x1＋x2＝4k.
又AB 和RF 是平行四边形的对角线，
∴x1＋x2＝x ，y1＋y2＝y ＋1.
而y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝4k2－2，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4k y ＝4k2－3，消去k 得x2＝4(y ＋3)． 由于直线和抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k2－16>0，
∴k>1或k<－1，∴x>4或x<－4.
∴顶点R 的轨迹方程为x2＝4(y ＋3)，且|x|>4.
知识点四 直线与圆锥曲线的位置关系
已知直线l ：y ＝kx ＋b 与椭圆x22
＋y2＝1相交于A 、B 两点，O 为坐标原点． (1)当k ＝0,0<b<1时，求△AOB 的面积S 的最大值； (2)OA ⊥OB →，求证直线l 与以原点为圆心的定圆相切，并求该圆的方程．
解 (1)把y ＝b 代入x22＋y2＝1，得x ＝±2－2b2.
∴∴S △AOB=2
1
×
b
2≤
2·
22122b b +-= ， 当且仅当b2 =
21，即b =2 时取等号．
∴△AOB
的面积S 的最大值为2.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0，
∴x1+x2=-241kb k +，x1·x2= 2222
12b k -+.
又∵OA ⊥OB ，
∴(x1，y1)·(x2，y2)=0， 即x1x2+y1y2=0.
又x1x2+ y1y2= x1x2 +( k x1+b)(k x2+b) =(k2+1)·x1x2+kb(x1 + x2) +b2
=(k2+1) 2222
12b k -+-kb 241kb k ++b2
=222322012b k k --=+，
∴3b2 = 2k2+2.
又设原点O 到直线l 的距离为d ，
则
d = 3==.
∴l 与以原点为圆心，以3为半径的定圆相切，
该圆的方程为x2 + y2 = 32
.。