锐角三角函数应用题训练(全)
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)应用题综合训练(含解析)
初中三角函数应用题综合一．解直角三角形的应用（共10小题）1．如图，小明同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADM＝30°，在E处测得∠AFM ＝60°，CE＝10米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）2．如图，小明家A和地铁口B两地恰好处在东西方向上，且相距3km，学校C在他家A正北方向的4km处，公园D与地铁口B和学校C的距离分别5km和km．（1）若∠BDA＝10°，求∠ADC的大小；（2）计算公园D与小明家A的距离．3．如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经折线ACB绕山行驶．为加快城乡对接，建立全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，在这座山打一条隧道，使汽车可以直接沿AB行驶．已知AC＝80千米，∠A＝30°，∠B＝45°．求：（1）开通隧道前，汽车从A地到B地需要行驶多少千米；（2）开通隧道后汽车从A地到B地大约少行驶多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）4．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△DEF来测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB．5．如图是小朋友玩的“滚铁环”游戏的示意图，⊙O向前滚动时，铁棒DE保持与OE垂直．⊙O与地面接触点为A，若⊙O的半径为25cm，∠AOE＝53°．（1）求点E离地面AC的距离BE的长；（2）设人站立点C与点A的距离AC＝53cm，DC⊥AC，求铁棒DE的长．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）6．某中学数学活动小组设计了如图检测公路上行驶的校车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于30米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．7．为了测量旗杆AB的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD，EF是两个长度为2m的标杆．（1）如果现在测得∠DEC＝30°，EG＝4m，求旗杆AB的高度；（参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）如果CE的长为x，EG的长为y，请用含x，y的代数式表示旗杆AB的高度．二．解直角三角形的应用−坡度坡角问题（共7小题）8．如图所示，斜坡的坡比i＝h：l＝1：，则斜坡的坡度是（ ）A．30°B．60°C．1：D．：19．如图，要测量山高CD，可以把山坡“化整为零”地划分为AB和BC两段，每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡长AB＝600m，BC＝800m，测得坡角∠BAD＝30°，∠CBE＝45°，则山高CD为（ ）A．（300+800）m B．700mC．（300+400）m D．（400+300）m10．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC为4m，则AC的长度为（ ）A．8m B．4m C．8m D．m11．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，背水坡CD的坡度i＝1：，则背水坡的坡长CD为（ ）米．A．20B．20C．10D．2012．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE ＝10m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度是 米．（结果精确到0.01m，参考数据：≈1.732，≈4.123）13．某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°．（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；（2）求DB的长度（结果保留根号）．14．某居民楼MN后有一个坡度为i＝1：2.4的小山坡，小区物业准备在小山坡上加装一广告牌PQ （如图所示），已知QA＝5.2米，水平地面上居民楼MN距坡底A点的距离AN＝1.2米．当太阳光线与水平线成53°角时，测得广告牌PQ落在居民楼上的影子EN长为3米，求广告牌PQ的高．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）三．解直角三角形的应用−仰角俯角问题（共8小题）15．若从楼顶A点测得点C的俯角为31°，测得点D的俯角为42°，则∠ADC的度数为（ ）A．31°B．42°C．48°D．59°16．如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝10米，AE＝15米，则宣传牌CD的高度是（ ）A．B．C．D．17．某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（ ）（参考数据：，，）A．米B．米C．56米D．66米18．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，则建筑物的高度为 米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）19．如图，某校数学兴趣小组要测量楼房DC的高度．在点A处测得楼顶D的仰角为30°，再往楼房的方向前进30m至B处，测得楼顶D的仰角为45°，则楼房DC的高度为 m．20．如图，小马同学在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对山坡一棵树的高度进行测量，先测得小马同学离底部C的距离BC为10m，此时测得对树的顶端D的仰角为55°，已知山坡与水平线的夹角为20°，小马同学的观测点A距地面1.6m，求树木CD的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）．21．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC 的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）22．如图，某人在D处测得山顶C的仰角为37°，向前走100米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i＝1：0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．参考答案与试题解析一．解直角三角形的应用（共10小题）1．如图，小明同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADM＝30°，在E处测得∠AFM ＝60°，CE＝10米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）【解答】解：由题意知，四边形CDBM、CDEF、EFMB是矩形，∴BM＝CD＝1.5米，CE＝DF＝10米．在Rt△ADM中，∵tan∠ADM＝，∴DM＝＝AM．在Rt△AFM中，∵tan∠AFM＝，∴FM＝＝AM．∵DF＝DM﹣FM，∴AM﹣AM＝10．∴AM＝10．AM＝5．∴AB＝AM+MB＝5+1.5≈5×1.73+1.5＝8.65+1.5＝10.15＝10.2（米）．答：这棵树AB的高度为10.2米．2．如图，小明家A和地铁口B两地恰好处在东西方向上，且相距3km，学校C在他家A正北方向的4km处，公园D与地铁口B和学校C的距离分别5km和km．（1）若∠BDA＝10°，求∠ADC的大小；（2）计算公园D与小明家A的距离．【解答】解：（1）由题意得：BD＝5km，CD＝5km，∠BAC＝90°，AB＝3km，CA＝4km，∴BC＝＝＝5（km），∴BC＝BD，∵BC2+BD2＝52+52＝50，CD2＝（5）2＝50，∴BC2+BD2＝CD2，∴△BCD是等腰直角三角形，∴∠CBD＝90°，∴∠BDC＝45°，∴∠ADC＝∠BDC﹣∠BDA＝45°﹣10°＝35°；（2）过D作DE⊥AB，交AB的延长线于E，如图所示：则∠DEB＝90°，∴∠BDE+∠DBE＝90°，由（1）得：∠CBD＝90°，∴∠DBE+∠CBA＝90°，∴∠BDE＝∠CBA，在△BDE和△CBA中，，∴△BDE≌△CBA（AAS），∴DE＝BA＝3km，BE＝CA＝4km，∴AE＝BE+AB＝7（km），∴AD＝＝＝（km）．∴公园D与小明家A的距离为km．3．如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经折线ACB绕山行驶．为加快城乡对接，建立全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，在这座山打一条隧道，使汽车可以直接沿AB行驶．已知AC＝80千米，∠A＝30°，∠B＝45°．求：（1）开通隧道前，汽车从A地到B地需要行驶多少千米；（2）开通隧道后汽车从A地到B地大约少行驶多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【解答】解：（1）如图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°＝，AC＝80千米，∴CD＝AC•sin30°＝80×＝40（千米），BC＝＝＝40（千米），∴AC+BC＝80+40≈1.41×40+80＝136.4（千米）．∴开通隧道前，汽车从地到地大约要走136.4千米．（2）∵cos30°＝，AC＝80千米，∴AD＝AC•cos30°＝80×＝40（千米），∵tan45°＝，CD＝40（千米），∴BD＝＝＝40（千米），∴AB＝BD+AD＝40+40≈40+40×1.73＝109.2（千米）．∴汽车从A地到B地比原来少走的路程为：AC+BC﹣AB＝136.4﹣109.2＝27.2（千米）．∴开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2千米．4．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△DEF来测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB．【解答】解：方法一：在Rt△EDF中，DE＝1m，EF＝0.6m，∴tan∠EDF＝＝＝，在Rt△BCD中，CD＝6m，∵tan∠BDC＝tan∠EDF，∴＝，∴BC＝3.6m，∵AC＝0.8m，∴AB＝AC+BC＝3.6+0.8＝4.4（m），答：树高AB为4.4m；方法二：由题意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF，∴△DCB∽△DEF，∴，∵DE＝1m，EF＝0.6m，CD＝6m，∴＝，解得：BC＝3.6，∵AC＝0.8m，∴AB＝AC+BC＝3.6+0.8＝4.4（m），答：树高AB为4.4m．5．如图是小朋友玩的“滚铁环”游戏的示意图，⊙O向前滚动时，铁棒DE保持与OE垂直．⊙O与地面接触点为A，若⊙O的半径为25cm，∠AOE＝53°．（1）求点E离地面AC的距离BE的长；（2）设人站立点C与点A的距离AC＝53cm，DC⊥AC，求铁棒DE的长．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）【解答】解：过E作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．（1）在Rt△OHE中，∠OHE＝90°，OE＝25cm，∠AOE＝53°，∴HO＝OE×cos53°＝15cm，EH＝20cm，EB＝HA＝25﹣15＝10（cm），所以铁环钩离地面的高度为10cm；（2）∵铁环钩与铁环相切，∴∠EOH+∠OEH＝∠OEH+∠DEN＝90°，∠DEN＝∠EOH，∴DE＝＝，在Rt△DEN中，∠DNE＝90°，EN＝BC＝AC﹣AB＝53﹣20＝33（cm），DE＝＝＝55（cm），∴铁环钩的长度DE为55cm．6．某中学数学活动小组设计了如图检测公路上行驶的校车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于30米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．【解答】解：（1）由题意得：在Rt△ADC中，AD＝＝≈51.9（米），在Rt△BDC中，BD＝＝＝30（米），∴AB＝AD﹣BD≈51.9﹣30＝21.9（米），答：AB的长为21.9米；（2）不超速，理由：∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为21.9÷2＝10.95（米/秒），∵10.95×3600＝39420（米/时），∴该车速度为39.42千米/小时，∵39.42千米/小时＜40千米/小时，∴这辆校车在AB路段不超速．7．为了测量旗杆AB的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD，EF是两个长度为2m的标杆．（1）如果现在测得∠DEC＝30°，EG＝4m，求旗杆AB的高度；（参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）如果CE的长为x，EG的长为y，请用含x，y的代数式表示旗杆AB的高度．【解答】解：（1）由题意得：∠ABC＝∠DCE＝∠FEG＝90°，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2m，∵∠DEC＝∠AEB，∴△DEC∽△AEB，∴＝，∴＝，∵∠FGE＝∠AGB，∴△FGE∽△AGB，∴＝，∴＝，∴＝，∴EB＝（8+12）m，∴＝，∴AB＝8+4≈14.92m，答：旗杆AB的高度为14.92米；（2）由（1）得：△DEC∽△AEB，∴＝，∴＝，由（1）得：△FGE∽△AGB，∴＝，∴＝，∴＝，∴EB＝，∴＝，∴AB＝，答：旗杆AB的高度为m．二．解直角三角形的应用−坡度坡角问题（共7小题）8．如图所示，斜坡的坡比i＝h：l＝1：，则斜坡的坡度是（ ）A．30°B．60°C．1：D．：1【解答】解：∵斜坡的坡比i＝h：l＝1：，∴斜坡的坡度为1：，故选：C．9．如图，要测量山高CD，可以把山坡“化整为零”地划分为AB和BC两段，每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡长AB＝600m，BC＝800m，测得坡角∠BAD＝30°，∠CBE＝45°，则山高CD为（ ）A．（300+800）m B．700mC．（300+400）m D．（400+300）m【解答】解：由题意可知，四边形BFDE为矩形，∴DE＝BF，在Rt△BAF中，∠BAF＝30°，AB＝600m，则BF＝AB＝300（m），∴DE＝300m，在Rt△CBE中，∠CBE＝45°，BC＝800m，∴CE＝BC＝400（m），∴CD＝CE+DE＝（300+400）m，故选：C．10．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC为4m，则AC的长度为（ ）A．8m B．4m C．8m D．m【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：＝，BC＝4m，∴AC＝BC＝4（m），故选：B．11．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，背水坡CD的坡度i＝1：，则背水坡的坡长CD为（ ）米．A．20B．20C．10D．20【解答】解：由题意得：四边形AEFD是矩形，∴DF＝AE，∵迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，∴DF＝AE＝10×sin45°＝10（米），∵背水坡CD的坡度i＝1：，∴tan C＝i＝＝＝，∴∠C＝30°，∴CD＝2DF＝2AE＝20（米），故选：A．12．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE ＝10m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度是 20.62 米．（结果精确到0.01m，参考数据：≈1.732，≈4.123）【解答】解：∵DE的坡度为i1＝1：，∴tan∠DEC＝＝，∴∠DEC＝30°，∴DC＝DE＝5（m），∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝5m，∵斜坡AF的坡度为i2＝1：4，AB＝5m，∴BF＝4AB＝20（m），在Rt△ABF中，AF＝＝≈20.62（m），∴斜坡AF的长度约为20.62米，故答案为：20.62．13．某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°．（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；（2）求DB的长度（结果保留根号）．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝2m，∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝AB•sin45°＝2×＝（m），答：舞台的高AC为m；（2）在Rt△ADC中，∠ADC＝30°，则CD＝＝＝，∴BD＝CD﹣BC＝（﹣）m，答：DB的长度为（﹣）m．14．某居民楼MN后有一个坡度为i＝1：2.4的小山坡，小区物业准备在小山坡上加装一广告牌PQ （如图所示），已知QA＝5.2米，水平地面上居民楼MN距坡底A点的距离AN＝1.2米．当太阳光线与水平线成53°角时，测得广告牌PQ落在居民楼上的影子EN长为3米，求广告牌PQ的高．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）【解答】解：过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，则QG⊥BA，∴设QG＝x米，∵山坡的坡度为i＝1：2.4，∴AG＝2.4x米，由勾股定理得：x2+（2.4x）2＝5.22，解得：x＝2，则QG＝2米，AG＝2.4x＝4.8米，∴EF＝NG＝4.8+1.2＝6（m），在Rt△PEF中，∠PEF＝53°，EF＝6m，则PF＝EF•tan∠PEF＝6×tan53°≈6×＝8（m），∵FQ＝EN﹣QG＝3﹣2＝1（m），∴PQ＝8+1＝9（m）．答：信号塔PQ的高约为9m．三．解直角三角形的应用−仰角俯角问题（共8小题）15．若从楼顶A点测得点C的俯角为31°，测得点D的俯角为42°，则∠ADC的度数为（ ）A．31°B．42°C．48°D．59°【解答】解：由题意得：∠ADB＝42°，∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠BDC﹣∠ADB＝90°﹣42°＝48°，故选：C．16．如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝10米，AE＝15米，则宣传牌CD的高度是（ ）A．B．C．D．【解答】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，AB＝10米，∴BF＝AB＝5（米），AF＝BF＝5（米）．∴BG＝AF+AE＝（5+15）（米），在Rt△BGC中，∠CBG＝45°，∴△BGC是等腰直角三角形，∴CG＝BG＝（5+15）（米），在Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝15米，∴DE＝AE＝15（米），∴CD＝CG+GE﹣DE＝5+15+5﹣15＝（20﹣10）（米），即宣传牌CD的高度是（20﹣10）米，故选：A．17．某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（ ）（参考数据：，，）A．米B．米C．56米D．66米【解答】如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DE⊥AF，E为垂足，连接AC，AD，∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，∴＝＝，设DM＝5k米，则CM＝12k米，在Rt△CDM中，CD＝26米，由勾股定理得，CM2+DM2＝CD2，即（5k）2+（12k）2＝262，解得k＝2，∴DM＝10（米），CM＝24（米），∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，设DE＝12a米，则BE＝5a米，∵∠ACF＝45°，∴AF＝CF＝CM+MF＝（24+12a）米，∴AE＝AF﹣EF＝24+12a﹣10＝（14+12a）米，在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（14+12a）米，∵tan∠ADE＝＝tan53°≈，∴＝，解得a＝，∴DE＝12a＝42（米），AE＝14+12a＝56（米），BE＝5a＝（米），∴AB＝AE﹣BE＝56﹣＝（米），答：基站塔AB的高为米．故选：B．18．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，则建筑物的高度为 14.7 米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）【解答】解：根据题意，得∠ADB＝64°，∠ACB＝48°在Rt△ADB中，tan64°＝，则BD＝≈AB，在Rt△ACB中，tan48°＝，则CB＝≈AB，∴CD＝BC﹣BD，即6＝AB﹣AB，解得：AB＝≈14.7（米），∴建筑物的高度约为14.7米，故答案为：14.7．19．如图，某校数学兴趣小组要测量楼房DC的高度．在点A处测得楼顶D的仰角为30°，再往楼房的方向前进30m至B处，测得楼顶D的仰角为45°，则楼房DC的高度为 （15+15） m．【解答】解：设BC的长为x米．在Rt△CBD中，∠D＝90°，∠CBD＝45°，∴CD＝BC＝x米，在Rt△CAD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，∴tan∠CAD＝＝＝，解得：x＝15+15，答：楼房DC的高度为（15+15）米，故答案为：（15+15）．20．如图，小马同学在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对山坡一棵树的高度进行测量，先测得小马同学离底部C的距离BC为10m，此时测得对树的顶端D的仰角为55°，已知山坡与水平线的夹角为20°，小马同学的观测点A距地面1.6m，求树木CD的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）．【解答】解：延长DC交BF于F，过A作AH⊥DC于H，则HF＝AB＝1.6m，AH＝BF，在Rt△ACF中，∵∠CBF＝20°，BC＝10m，∴CF＝BC•sin20°≈10×0.34＝3.4（m），BF＝BC•cos20°≈10×0.94＝9.4（m），∴AH＝BF＝9.4m，在Rt△ADH中，∵∠DAH＝55°，∴DH＝AH•tan55°≈9.4×1.43≈13.4（m），∴DC＝DH+HF﹣CF＝13.4+1.6﹣3.4＝11.6（m），答：树木CD的高度约为11.6m．21．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC 的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，如图所示：则四边形DHCE是矩形，DH＝EC，DE＝HC＝5，设建筑物BC的高度为xm，则BH＝（x﹣5）m，在Rt△DHB中，∠BDH＝30°，∴DH＝（x﹣5），AC＝EC﹣EA＝（x﹣5）﹣30，在Rt△ACB中，∠BAC＝60°，tan∠BAC＝，∴＝解得：x＝，答：建筑物BC的高为m．四．解直角三角形的应用−仰角俯角问题（共1小题）22．如图，某人在D处测得山顶C的仰角为37°，向前走100米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i＝1：0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．【解答】解：设山高BC＝x，则AB＝x，由tan37°＝＝0.75，得：＝0.75，解得x＝120，经检验，x＝120是原方程的根．答：山的高度是120米．。
河北省中考系统复习：第19讲锐角三角函数（8年真题训练）
第19讲 锐角三角函数命题点 解直角三角形1．(·承德模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8，tanB ＝12，点D 在BC 上，且BD ＝AD ，求AC 的长和cos∠ADC 的值．解：∵在Rt △ABC 中，BC ＝8，tanB ＝AC BC ＝12，∴AC ＝BC ·tanB ＝4.设AD ＝x ，则BD ＝x ，CD ＝8－x ，在Rt △ADC 中，(8－x)2＋42＝x 2，解得x ＝5. ∴AD ＝5，CD ＝8－5＝3，∴cos ∠ADC ＝DC AD ＝35.2．(·河北模拟)如图，AD 是△ABC 的中线，tanB ＝13，cosC ＝22，AC ＝ 2.求：(1)BC 的长；(2)sin ∠ADC 的值．解：(1)过点A 作AE ⊥BC 于点E. ∵cosC ＝22，∴∠C ＝45°. 在Rt △ACE 中，CE ＝AC ·cosC ＝1， ∴AE ＝CE ＝1.在Rt △ABE 中，tanB ＝13，即AE BE ＝13，∴BE ＝3AE ＝3.∴BC ＝BE ＋CE ＝4.(2)∵AD 是△ABC 的中线，∴CD ＝12BC ＝2.∴DE ＝CD －CE ＝1.∵AE ⊥BC ，DE ＝AE ，∴∠ADC ＝45°. ∴sin ∠ADC ＝22.重难点1 解直角三角形(·河北模拟)已知，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，tanB ＝43，AB ＝5，D 在AB 上．(1)求BC 的长；(2)如图1，若∠CDB ＝∠B ，求sin ∠DCB 的值；(3)如图2，过点B 作BE ⊥CD 所在的直线，垂足为E ，BE 的延长线交直线AC 于点F. ①当tan ∠BCD ＝2时，求S △CBF ； ②当AF ＝54时，求线段AD 的长．【思路点拨】 (1)由正切的定义可知△ABC 是一个勾3，股4，弦5的直角三角形；(2)可通过过点D 作DE ⊥BC ，利用tanB 找到DE ，BE 的数量关系，再解直角△DCE ，求得sin ∠DCB 的值；(3)因为∠BCD ＝∠CFB ：①利用tan ∠CFB 的值，求CF ，进而求S △CBF ；②可通过过点A 作BC 的平行线交CD 延长线于点G ，先求AG ，再利用相似求AD 的长． 【自主解答】 解：(1)在△ABC 中，∠ACB ＝90°，tanB ＝43，∴tanB ＝AC BC ＝43，∴AC ＝43BC.∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴(43BC)2＋BC 2＝52，∴BC ＝3.(2)过点D 作DE ⊥BC ，则tanB ＝43＝DEBE ，∴BE ＝34DE ，∴CE ＝BC －BE ＝3－34DE.∵∠CDB ＝∠B ，∴CD ＝CB ＝3.∵CD 2＝CE 2＋DE 2，∴32＝DE 2＋(3－34DE)2，解得DE ＝7225.∴sin ∠DCB ＝DE DC ＝2425.(3)①∵∠BCD ＋∠FCE ＝90°，∠CFB ＋∠FCE ＝90°， ∴∠BCD ＝∠CFB.∴tan ∠BCD ＝tan ∠CFB ＝2.∵tan ∠CFB ＝BC CF ＝2，BC ＝3，∴CF ＝32.∴S △CBF ＝94.②当点F 在线段AC 上时，如图3，过点A 作AG ∥BC 交CD 延长线于点G ， ∵tan ∠ACG ＝tan ∠CBF ＝AG AC ＝CF BC ＝1112，AC ＝4，∴AG ＝113.∵AG ∥BC ，∴AG BC ＝ADBD .∴119＝AD 5－AD ，AD ＝114.图3 图4当点F 在线段CA 的延长线上，如图4，过点A 作AG ∥BC 交CD 延长线于点G. ∵tan ∠ACG ＝tan ∠CBF ＝AG AC ＝CF BC ＝74，AC ＝4，∴AG ＝7.∵AG ∥BC ，∴AG BC ＝AD BD .∴73＝AD 5－AD .∴AD ＝72.方法指导1．解直角三角形，需知除直角以外的两个条件(一边和一角或两边)，可求得其余的边或角．2．在求解时，一般选取既含未知边(角)又含有已知边(或角)的直角三角形，通过锐角三角函数的定义或勾股定理，建构已知或未知之间的桥梁；从而实现求解．3．若所求的线段(或角)不能直接求解，可以通过作出点到直线的距离或三角形高线，进而转化成直角三角形求解． 4．解直角三角形和相似三角形的性质，是几何求解中的重要工具．Ｋ,【变式训练1】 如图是由一个角为60°且边长为1的菱形组成的网格，每个菱形的顶点称为格点，点A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠BAC ＝233．【变式训练2】(·上海)如图，已知在△ABC 中，AB ＝BC ＝5，tan ∠ABC ＝34.(1)求边AC 的长；(2)设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ，求ADDB的值．解：(1)过点A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中， tan ∠ABC ＝AE BE ＝34，AB ＝5，∴AE ＝3，BE ＝4.∴CE ＝BC －BE ＝5－4＝1.在Rt △AEC 中，根据勾股定理，得AC ＝32＋12＝10.(2)如图，∵DF 垂直平分BC ，∴BD ＝CD ，BF ＝CF ＝52.∵tan ∠DBF ＝DF BF ＝34，∴DF ＝158.在Rt △BFD 中，根据勾股定理，得BD ＝（52）2＋（158）2＝258， ∴AD ＝5－258＝158，则AD DB ＝35. 重难点2 解直角三角形的应用(1)如图1，为了游客的安全，某景点将原坡角为60°的斜坡AB 改为坡度为1∶3的斜坡AC ，已知AB ＝100米，BC 在同一水平线上，求改造后斜坡的坡脚向前移动距离BC 的长；(2)(·郴州)小亮在某桥附近试飞无人机，如图2，为了测量无人机飞行的高度AD ，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B ，C 的俯角分别为∠EAB ＝60°，∠EAC ＝30°，且D ，B ，C 在同一水平线上．已知桥BC ＝30米，求无人机飞行的高度AD ；(精确到0.01米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(3)(·湘西)如图3，某市郊外景区内一条笔直的公路l 经过A ，B 两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C.经测量，C 位于A 的北偏东60°的方向上，C 位于B 的北偏东30°的方向上，且AB ＝10 km.①求景点B 与C 的距离；②为了方便游客到景点C 游玩，景区管委会准备由景点C 向公路l 修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．(结果保留根号)【思路点拨】这三个问题均可以通过过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ，再利用解直角三角形ABD 和直角三角形ACD 来解决．【自主解答】解：(1)过点A 作AD ⊥BC 于点D ，在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°，∴BD ＝AB ·cos ∠ABD ＝100×cos60°＝50(米)，AD ＝AB ·sin ∠ABD ＝503米． ∵AC 的坡度为1∶3， ∴AD ∶CD ＝1∶ 3.∴CD ＝150，BC ＝CD －BD ＝150－50＝100(米)．∴改造后斜坡的坡脚向前移动距离BC 的长是100 m. (2)由题意，得∠EAC ＝30°，∠EAB ＝60°，∵AE ∥BC ，∴∠EAC ＝∠ACB ＝30°，∠EAB ＝∠ABD ＝60°. ∵∠ABD ＝∠ACB ＋∠BAC ，∴∠BAC ＝∠ACB ＝30°. ∴AB ＝BC ＝30.在Rt △ABD 中，∴AD ＝AB ·sin ∠ABD ＝153≈25.98(米)． (3)①由题意，得∠CAB ＝30°，∠ABC ＝90°＋30°＝120°， ∴∠C ＝180°－∠CAB －∠ABC ＝30°.∴∠CAB ＝∠C ＝30°. ∴BC ＝AB ＝10 km ，即景点B ，C 的距离为10 km.②过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∵BC ＝10 km ，C 位于B 的北偏东30°的方向上，∴∠CBD ＝60°，在Rt △CBD 中，CD ＝32BC ＝5 3 km. 【变式训练3】(·常州)京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点A ，B 和点C ，D ，先用卷尺量得AB ＝160 m ，CD ＝40 m ，再用测角仪测得∠CAB ＝30°，∠DBA ＝60°，求该段运河的河宽(即CH 的长)．解：过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形CHED为矩形，∴HE＝CD＝40 m.设CH＝DE＝x m，在Rt△BDE中，∠DBA＝60°，∴BE＝33x.在Rt△ACH中，∠BAC＝30°，∴AH＝3x.由AH＋HE＋EB＝AB＝160 m，得3x＋40＋33x＝160，解得x＝303，即CH＝30 3 m.答：该段运河的河宽为30 3 m．方法指导1．对于解直角三角形的实际应用题，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决：(1)有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，找到与已知量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；(2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算；若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线．总的来说，解直角三角形的实际应用问题，关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形或作出辅助线并找准直角三角形．,模型建立)本题的三个题均可以抽象出如下图形：另外实际问题还可以抽象的几何图形为：1．(·孝感)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA等于(A)A.35B.45C.34D.432．(·保定模拟)在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且(tanB－3)(2sinA－3)＝0，则△ABC一定是(D) A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．有一个角是60°的三角形3．(·唐山丰南区模拟)在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝24，则tanB 等于(B)A.513B.512C.1213 D.1254．(·贵阳)如图，A ，B ，C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为(B)A.12B ．1C.33D. 35．(·河北模拟)如图，△ABC 在边长为1个单位长度的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC 的面积为10，且sinA ＝55，那么点C 的位置可以在(D) A ．点C 1处B ．点C 2处C ．点C 3处D ．点C 4处6．如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，一辆小汽车车门宽AO 为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？否；(填“是”或“否”)请简述你的理由点A 到OB 的距离小于OB 与墙MN 平行的距离．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)7．【分类讨论思想】(·无锡)已知在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝27，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于153或10 3.8．(·贵阳)如图1，在Rt △ABC 中，以下是小亮探究a sinA 与bsinB之间关系的方法：∵sinA ＝a c ，sinB ＝b c ，∴c ＝a sinA ，c ＝b sinB .∴a sinA ＝bsinB ，根据你掌握的三角函数知识．在图2的锐角△ABC中，探究a sinA ，b sinB ，csinC之间的关系，并写出探究过程．解：a sinA ＝b sinB ＝c sinC.理由：过点A 作AD ⊥BC ，过点B 作BE ⊥AC ， 在Rt △ABD 中，sinB ＝ADc ，即AD ＝c ·sinB ，在Rt △ADC 中，sinC ＝ADb ，即AD ＝b ·sinC ，∴c ·sinB ＝b ·sinC ，即b sinB ＝csinC .同理可得a sinA ＝csinC ，则a sinA ＝b sinB ＝c sinC.9．(·衡阳)一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C 出发，沿北偏东30°的方向行走2 000米到达石鼓书院A 处，参观后又从A 处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B 处，如图所示．(1)求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；(2)若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？解：(1)过点C 作CP ⊥AB 于点P ，由题意，得∠A ＝30°，AP ＝2 000米， 则CP ＝12AC ＝1 000米．(2)∵在Rt △PBC 中，PC ＝1 000，∠PBC ＝∠BCP ＝45°， ∴BC ＝2PC ＝1 0002米．∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆， ∴他到达宾馆需要的时间为1 0002100＝102＜15. ∴他在15分钟内能到达宾馆．10．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝1，∠DAB ＝30°，∠ABC ＝60°，则四边形ABCD 的面积为53，AD 的长是23．提示：延长AD ，BC 相交于点E ，可得△ABE 为直角三角形．11．(·眉山)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点O ，则tan ∠AOD ＝2．提示：连接BE ，构造Rt △BOF ，根据△AOC ∽△BOK 可得OK 与CK 的数量关系，求出OF 与BF 的数量关系即可．12．如图，已知，在△ABC 中，AB ＝AC ＝25，sinB ＝255，D 为边BC 的中点，E 为边BC 的延长线上一点，且CE＝BC.连接AE ，F 为线段AE 的中点．求：(1)线段DE 的长； (2)∠CAE 的正切值．解：(1)连接AD.∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC ， 即∠ADB ＝90°.∵AB ＝AC ＝25，sinB ＝255，∴AD AB ＝255.∴AD ＝4. 由勾股定理，得BD ＝2，∴DC ＝BD ＝2，BC ＝4. ∵CE ＝BC ，∴CE ＝4. ∴DE ＝DC ＋CE ＝2＋4＝6.(2)过点C 作CM ⊥AE 于点M, 则∠CMA ＝∠CME ＝90°. 在Rt △ADE 中，由勾股定理，得 AE ＝AD 2＋DE 2＝213.∵CM 2＝AC 2－AM 2＝CE 2－EM 2， ∴(25)2－AM 2＝42－(213－AM)2， 解得AM ＝141313.∴CM ＝AC 2－AM 2＝81313.∴tan ∠CAE ＝CM AM ＝47.13．(·河北模拟)阅读下面的材料：嘉嘉在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tan α＝12，tan β＝13，求α＋β的度数．淇淇是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD ＝α，∠CBE ＝β，且BA ，BC 在直线BD 的两侧，连接AC ，可证得△ABC 是等腰直角三角形，因此可求得α＋β＝∠ABC ＝45°．请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tan α＝4，tan β＝35时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON＝α－β，由此可得α－β＝45°．解：如图．。
锐角三角函数应用题训练全
锐角三角函数应用题训练(全)锐角三角函数应用题训练1．如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）。
请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）。
（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）2．如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C 点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）．3．如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据：2 1.41,3 1.73≈≈）．4．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．EA CDB5．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A 、B ，B 船在A 船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A 的东北方向，B 的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C ，求此时船C 与船B 的距离是多少．（结果保留根号）6．一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC ，如图所示，他先在点B 测得山顶点A 的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D 点，在测得山顶点A 的仰角为60°（B 、C 、D 三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC （结果精确的1米，参考数值：2 1.4≈，3 1.7≈）7．如图，我省在修建泛亚铁路时遇到一座山，要从A 地向B 地修一条隧道(A ，B 在同一水平面上)，为了测量A ，B 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从M 地出发垂直上升150 米到达C 处，在C 处观察A 地的俯角为60°，然后保持同一高度向前平移200米到达D 处，在D 处观察B 地的俯角为45°，则A 、B 两地之间的距离为多少米？(参考数据：3 1.73；结果保留整数)60°N 45°D C8．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．9．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径，一中是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客同时从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为45m/min．乙开始从A乘缆车到B，在B处停留5min后，再从B匀速步行到C，两人同时到达．已知缆车匀速直线运动的速度为180m/min，山路AC长为2430m，经测量，∠CAB=45°，∠CBA=105°．（参考数据： 1.4，1.7）（1）求索道AB的长；（2）为乙的步行速度．10．某中学九年级数学兴趣小组为测量校内旗杆高度，如图，在C点测得旗杆顶端A的仰角为30°，向前走了6米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角为60°(测角器的高度不计).（1）AD 米；（2）求旗杆AB的高度（结果保留1位小数，3 1.73≈）.11．某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号）12．如图，小明在M处用高1米（DM=1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度（取≈1.73，结果保留整数）13．如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈2.45）14．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）15．根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．（1）计算AB的长度．（2）通过计算判断此车是否超速．16．如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30 千米处有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O 的北偏西30°方向，且与O相距千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处．（1）求该轮船航行的速度；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．17．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A 附近沿正东方向航行，船在B 点时测得钓鱼岛A 在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C 点，此时钓鱼岛A 在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A 的距离最近？18．如图，A ，B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地须经C 地沿折线A –C －B 行驶，全长68 km ．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶．已知∠A ＝30°，∠B ＝45°，则隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米？（结果精确到0．1 km ）（参考数据：4.12≈，7.13≈）19．水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD ，如图所示，已知迎水坡面AB 的长为16米，∠B ＝60°，背水坡面CD 的长为163米，加固后大坝的横截面为梯形ABED ，CE 的长为8米．(1)已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？(2)求加固后的大坝背水坡面DE 的坡度．20．如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD ，试根据图中数据，求出坝底宽AD.（i ＝CE ∶ED ，单位：m ）ABC30° 45°本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
锐角三角函数应用题专题
1、（09年湖北仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)2、（09年湖南怀化）如图，小明从A 地沿北偏东 30方向走1003m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时小明离A 地 m ．3、（09年山东潍坊）如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米． A ．25B ．253C ．10033D ．25253+4、（09年山东济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作： （1）在放风筝的点A 处安置测倾器，测得风筝C 的仰角60CBD =︒∠；（2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC 的长度为70米； （3）量出测倾器的高度 1.5AB =米．根据测量数据，计算出风筝的高度CE 约为 米．（精确到0.1米，3 1.73≈）5、（09年广东深圳、山东东营）如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为1:3，AC ＝10米．坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带AB 相连，AB ＝14米．试求旗杆BC 的高度．6、（09年广东湛江）如图，某军港有一雷达站P ，军舰M 停泊在雷达站P 的南偏东60°方向36海里处，另一艘军舰N 位于军舰M 的正西方向，与雷达站P 相距182海里．求： （1）军舰N 在雷达站P 的什么方向？（2）两军舰M N 、的距离．（结果保留根号）第6题图NMP北 A BC D 6米52° 35°(第1题图)ADB EC60°（第4题图）第2题图BC AD l第3题图ABC D第5题图7、（09年湖南常德）如图，某人在D 处测得山顶C 的仰角为30o ，向前走200米来到山脚A 处，测得山坡AC 的坡度为i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，3 1.73≈，结果保留整数）．8、（09年湖南娄底）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图8所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64， tan50°≈1.20，sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）9、（09湖南湘西）如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5米收绳．问：（1） 未开始收绳子的时候，图中绳子BC 的长度是多少米？ （2） 收绳8秒后船向岸边移动了多少米?（结果保留根号）11、（09年湖北黄石）如图9，山顶建有一座铁塔，塔高CD=30m ，某人在点A 处测得塔底C 的仰角为20°，塔顶D 的仰角为23°，求此人距CD 的水平距离AB 。
专题01 锐角三角函数和特殊角的三角函数(六大类型)(题型专练)(解析版)
专题01 锐角三角函数和特殊角的三角函数（六大类型）【题型1锐角三角函数的概念】【题型2 锐角三角函数的增减性】【题型3特殊角三角函数值】【题型4 同角三角函数的关系】【题型5 互余两角三角函数的关系】【题型6 三角函数的计算】【题型1锐角三角函数的概念】1．（2022秋•道县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则tan A 的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴tan A＝．故选：B．2．（2023•南岗区校级开学）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则tan B 等于（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴AC＝＝＝BC，∴tan B＝＝＝．故选：D．3．（2022秋•路北区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cos B的值等于（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，∴cos B＝＝＝．故选：A．4．（2023•新华区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c为斜边，a、b 为直角边，且a＝5，b＝12，则sin A的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，c＝＝＝13，sin A＝．故选：B．5．（2023•陈仓区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，则sin B的值是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，∴AC＝，∴sin B＝＝＝，故选：C ．6．（2023•虹口区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，那么cos A 的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，由勾股定理，得AB ＝＝．由锐角的余弦，得cos A ＝＝＝．故选：C ．7．（2023•金山区一模）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，则∠B 的正切值等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解答】解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴tan B ＝＝．故选：A ．8．（2023•长宁区一模）在△ABC 中，∠C ＝90°，已知AC ＝3，AB ＝5，那么∠A 的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，AC ＝3，AB ＝5，故选：C．【题型2 锐角三角函数的增减性】9．（2023•未央区校级三模）若tan A＝2，则∠A的度数估计在（ ）A．在0°和30°之间B．在30°和45°之间C．在45°和60°之间D．在60°和90°之间【答案】D【解答】解：∵tan45°＝1，tan60°＝，而tan A＝2，∴tan A＞tan60°，∴60°＜∠A＜90°．故选：D．10．（2022秋•惠山区校级期中）已知∠A为锐角，且tan A＝3，则∠A的取值范围是（ ）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°【答案】D【解答】解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，∵tan A＝3，∴3，又∵一个锐角的正切值随锐角度数的增大而增大，∴60°＜∠A＜90°，故选：D．11．（2021秋•淮北月考）已知角α为△ABC的内角，且cosα＝，则α的取值范围是（ ）A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°【答案】C【解答】解：∵cos60°＝，cos45°＝，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴45°＜α＜60°，故选：C．【题型3特殊角三角函数值】12．（2022秋•嵊州市期末）已知tan A＝，∠A是锐角，则∠A的度数为（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【解答】解：∵，且∠A是锐角，∴∠A＝30°，故选：A．13．（2023•河西区模拟）计算2cos30°的结果为（ ）A．B．1C．D．【答案】C【解答】解：∵cos30°＝，∴2cos30°＝2×＝．故选：C．14．（2023•肃州区三模）sin60°的相反数（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵sin60°＝，∴sin60°的相反数是﹣．故选：C．15．（2023•高州市一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则∠A的大小是（ ）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A为锐角，∵cos A＝，∴∠A＝60°，故选：C．16．（2023•南开区二模）下列三角函数中，结果为的是（ ）A．cos30°B．tan30°C．sin60°D．cos60°【答案】D【解答】解：A．cos30°＝，不符合题意；B．tan30°＝，不符合题意；C．sin60°＝，不符合题意；D．cos60°＝sin30°＝，符合题意．故选：D．17．（2023•河西区一模）cos60°的值等于（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：cos60°＝，故选：D．18．（2023•东莞市校级一模）已知∠A为锐角且tan A＝，则∠A＝（ ）A．30°B．45°C．60°D．不能确定【答案】C【解答】解：∵∠A为锐角，tan A＝，∴∠A＝60°．故选：C．19．（2023•迎泽区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（ ）A．15°B．45°C．30°D．60°【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tan B＝＝＝，∴∠B＝60°，故选：D．【题型4 同角三角函数的关系】20．（2023•泉港区模拟）已知∠A是锐角△ABC的内角，，则cos A的值是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由勾股定理可得sin2A+cos2A＝1，∵，∴（）2+cos2A＝1，∴cos2A＝，∴cos A＝或cos A＝﹣（舍去），故选：C．21．（2022秋•日照期末）若α为锐角，且sinα＝，则tanα为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由α为锐角，且sinα＝，得cosα＝＝＝，tanα＝＝＝，故选：D．22．（2022秋•桐柏县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°．若sin A＝，则cos A等于（ ）A．B．C．D．1【答案】A【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，sin A＝，∴+cos2A＝1，∵∠A为锐角，∴cos A＝．故选：A．23．（2022秋•滦州市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cos A＝（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝，可设BC＝4k，则AB＝5k，由勾股定理得，AC＝＝3k，∴cos A＝＝，故选：C．24．（2023•钟楼区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cos A 等于（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图：设BC＝5x，∵tan A＝，∴AC＝12x，AB＝＝13x，∴cos A＝＝＝．故选：D．25．（2023秋•二道区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则sin A的值为 ．【答案】．【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，又∵，∴，∴sin A＝或（舍去），故答案为：．【题型5 互余两角三角函数的关系】26．（2023秋•肇源县校级月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，，∴，设BC＝12x，则AB＝13x，，∴，故选：D．27．（2023•二道区校级模拟）在Rt△ABC中，AC≠BC，∠C＝90°，则下列式子成立的是（ ）A．sin A＝sin B B．sin A＝cos B C．tan A＝tan B D．cos A＝tan B 【答案】B【解答】解：A、sin A＝，sin B＝，sin A≠sin B，故不符合题意；B、sin A＝，cos B＝，sin A＝cos B，故B符合题意；C、tan A＝，tan B＝，tan A≠tan B，故不符合题意；D、cos A＝，tan B＝，则cos A≠tan B，故不符合题意；故选：B．28．（2023秋•东阿县校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B 的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵cos B＝，sin A＝＝，∴cos B＝．故选：B．29．（2022秋•双牌县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B 的值为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝＝，∴设BC＝4a，AB＝5a，∴AC＝＝＝3a，∴tan B＝＝，故选：D．30．（2023•新邵县校级一模）已知△ABC中，∠A＝90°，tan B＝，则sin C＝ ．【答案】．【解答】解：如图．∵∠A＝90°，tan B＝，∴设AC＝x，则AB＝2x．∴BC＝＝．∴sin C＝．故答案为：．31．（2023•未央区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B 的值为 ．【答案】．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝＝，∴设BC＝3a，AB＝5a，∴AC＝＝＝4a，∴tan B＝＝＝．故答案为：．【题型6 三角函数的计算】32．（2023春•江岸区校级月考）计算：．【答案】1．【解答】解：＝＝2﹣1＝1．33．（2022秋•蜀山区校级期末）计算：sin245°+tan60°•cos30°．【答案】2．【解答】解：原式＝（）2+×＝+＝2．34．（2023春•朝阳区校级期末）计算：．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝2×﹣+1﹣×＝﹣+1﹣＝．35．（2022秋•武功县期末）计算：sin45°+2cos30°﹣tan60°．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝+2×﹣＝+﹣＝．36．（2022秋•南通期末）计算：tan45°﹣2sin30°+4cos230°．【答案】3．【解答】解：原式＝＝1﹣1+3＝3．37．（2022秋•辛集市期末）计算：sin60°•tan30°+．【答案】1．【解答】解：原式＝＝+＝1．。
锐角三角函数练习题及答案
锐角三角函数（一）1．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（）A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定2．如图1，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（）A．34 B．43 C．45 D ．35图 1 图 2 图3 图4图53．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列各项中正确的是（）A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=23，则tanB等于（）A．35 B．53 C．255 D．525．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA=______，cosA=______，•tanA=_______．6．如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______．7．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，b=20，c=202，则∠B的度数为_______．8．如图4，在△CDE中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D的三个三角函数值．9．已知：α是锐角，tanα=724，则sinα=_____，cosα=_______．10．在Rt△ABC中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值为10．如图5，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x轴上，•另一边经过点P（2，23），求角α的三个三角函数值．12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，∠CBD=α，AB=3，•BC=4，•求sinα，cosα，tanα的值．解直角三角形一、填空题1． 已知cosA=23，且∠B=900-∠A ，则sinB=__________．2． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，cot(900-A)=1.524，则tan(900-B)=_________．3． ∠A 为锐角，已知sinA=135，那么cos (900-A)=___________．4． 已知sinA=21(∠A 为锐角)，则∠A=_________，cosA_______，tanA=__________．5． 用不等号连结右面的式子：cos400_______cos200，sin370_______sin420．6． 若cot α=0.3027，cot β=0.3206，则锐角α、β的大小关系是______________． 7． 计算： 2sin450-3tan600=____________． 8． 计算： (sin300+tan450)·cos600=______________．9． 计算： tan450·sin450-4sin300·cos450+6cot600=__________．10． 计算： tan 2300+2sin600-tan450·sin900-tan600+cos 2300=____________． 二、选择题：1． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=4，BC=3，则sinA=（ ）A ． 43；B ． 34；C ．53；D ． 54．2． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA=22，则cosB 的值是( )A ．21；B ．23；C ．1；D ．223． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A=300，则sinA+sinB=( )A ．1；B ．231+；C ．221+；D ．414． 当锐角A>450时，sinA 的值( )A ．小于22； B ．大于22； C ．小于23； D ．大于235． 若∠A 是锐角，且sinA=43，则( )A ．00<∠A<300； B ．300<∠A<450；C ．450<∠A<600；D ． 600<∠A<9006． 当∠A 为锐角，且tanA 的值大于33时， ∠A( )A ．小于300； B ．大于300； C ．小于600； D ．大于6007． 如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于D ，已知AC=3，AB=5，则tan ∠BCD 等于( )A ．43；B ．34；C ．53；D ．548． Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=5，BC=12，那么下列∠A 的四个三角函数中正确的是( )A ． sinA=135； B ．cosA=1312； C ． tanA=1213；D ． cotA=1259． 已知α为锐角，且21<cos α<22，则α的取值范围是（ ）A ．00<α<300；B ．600<α<900；C ．450<α<600；D ．300<α<450．三、解答题1、 在△ABC 中，∠C 为直角，已知AB=23，BC=3，求∠B 和AC ．2、在△ABC 中，∠C 为直角，直角边a=3cm ，b=4cm ，求sinA+sinB+sinC 的值．3、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b=3， c=14． 求∠A 的四个三角函数．4、在△ABC 中，∠C 为直角，不查表解下列问题： （1）已知a=5，∠B=600．求b ； （2）已知a=52，b=56，求∠A ．5、在△ABC 中，∠C 为直角， ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知a=25，b=215，求c 、∠A 、∠B ．6、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形： （1） 已知a ＝156， b ＝56，求c; （2） 已知a ＝20， c ＝220，求∠B ； （3） 已知c ＝30， ∠A ＝60°，求a ；（4） 已知b ＝15， ∠A ＝30°，求a ．7、已知：如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠B ＝30°，CD ＝6，求AB 的长．8、已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为︒45，沿着坡度为︒30︒=∠30DCB ，400=CD 米），测得A 的仰角为︒60，求山的高度DCAB9、会堂里竖直挂一条幅AB，如图5，小刚从与B成水平的C点观察，视角∠C＝30°，当他沿CB方向前进2米到达到D时，视角∠ADB＝45°，求条幅AB的长度。
锐角三角函数同步练习(应用题)
第28章锐角三角函数练习题 姓名：________1.（2009年郴州市）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB α为30，点B 到电灯杆底端N 的距离BN 为10米，求路灯的高度MN 是多少米？（取23=1. 732，结果保留两位小数）2.(2009成都)某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C 测得教学楼AB 的顶点A 的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D ，又测得点A 的仰角为45°．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值)3．（2009年黄石市）三楚第一山——东方山是黄石地区的佛教圣地，也是国家AAA 级游览景区．它的主峰海拔约为600米，主峰AB 上建有一座电信信号发射架BC ，现在山脚P 处测得峰顶的仰角为α，发射架顶端的仰角为β，其中35tan tan 58αβ==，，求发射架高BC ．4．(2009年云南省)如图，小芸在自家楼房的窗户A 处，测量楼前的一棵树CD 的高. 现测得树顶C 处的俯角为45°，树底D 处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD 为20米.请5.（2009年济宁市）坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪．皮尺．小镜子.（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高. 图1为小华测量塔高的示意图.她先在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测出看塔顶()M 的仰角35α=，在A 点和塔之间选择一点B ，测出看塔顶()M 的仰角45β=，然后用皮尺量出A ．B 两点的距离为18.6m,自身的高度为1.6m.请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（tan 350.7≈，结果保留整数）.CB AP600米山顶 发射架 45° AB C D 60°（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP 的长为a m （如图2）,你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题：①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是: ；②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？ . 6．（2009年山东青岛市）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度．他们首先从A 处安置测倾器，测得塔顶C 的仰角21CFE ∠=°，然后往塔的方向前进50米到达B 处，此时测得仰角37CGE ∠=°CD 的高度． （参考数据：3sin 375°≈，3tan 374°≈，9sin 2125°≈，3tan 218°≈）7．（2009年铁岭市）某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=°，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=°，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=°，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ．（1）求ADB ∠的度数；（2）求索道AB 的长．（结果保留根号）8.（2009年福州）如，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC △的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）用签字笔．．．画AD ∥BC （D 为格点），连接CD ； （2）线段CD 的长为 ；（3）请你在ACD △的三个内角中任选一个锐角．．，若你所选的 锐角是 ，则它所对应的正弦函数值是 ． （4） 若E 为BC 中点，则tan ∠CAE 的值是 .9．（2009年日照）如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为1:3，AC ＝10米．坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带AB 相连，AB ＝14米．试求旗杆BC 的高度．10．（2009贺州）如图，︒=∠25MON ，矩形ABCD 的对角线ON AC ⊥，边BC 在OM 上，当AC=3时，AD11.（2009年天津市）在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A B ，两个凉亭之间的距离．现测得30AC =m ，70BC =m ，120CAB ∠=°，请计算A B ，两个凉亭之间的距离． A CD EFBCG E DB A F ACD AO25°CBM NDC A12. （ 2009年嘉兴市）如图，已知一次函数b kx y +=的图象经过)1,2(--A ，)3,1(B 两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，（1）求该一次函数的解析式； （2）求OCD ∠tan 的值；（3）求证：︒=∠135AOB ．13. （2009年泸州）如图11，在△ABC 中，AB=BC ，以AB为直径的⊙O 与AC 交于点D ，过D 作DF⊥BC， 交AB 的延长线于E ，垂足为F ．(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2)当AB=5，AC=8时，求cosE的值． 14.（2009呼和浩特）要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般满足5075α°≤≤°．如图，现有一个长6m 的梯子，梯子底端与墙角的距离为3m ．（1）求梯子顶端B 距离墙角C（2）计算此时梯子与地面所成角α，并判断人能否安全使用这个梯子． （3 1.732≈，2 1.414≈）15.（2009年郴州市）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB α为30，点B 到电灯杆底端N 的距离BN 为10米，求路灯的高度MN 是多少米？（取2316.（2009年常德市）如图，某人在D 处测得山顶C 的仰角为30o，向前走200米来到山脚A 处，测得山坡AC 度（不计测角仪的高度，3 1.73≈，结果保留整数）．17.（2009年包头）如图，线段AB DC 、分别表示甲．乙两建筑物的高，AB BC DC BC ⊥，⊥，从B 点测得D 点的仰角α为60°从A 点测得D 点的仰角β为30°，已知甲建筑物高36AB =米．（1）求乙建筑物的高DC ； （2）求甲．乙两建筑物之间的距离BC（参考数据：2 1.4143 1.732≈，≈）18．（2009眉山）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C 处的距离．19.（2009年台州市）如图，有一段斜坡BC 长为10米，坡角12CBD ︒∠=，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°． （1）求坡高CD ; （2）求斜坡新起点A 与原起点B 的20．（2009年赤峰市）公园里有一块形如四边形ABCD 的草地，测得BC=CD=10米，B D CA O1 1yx图11 BC A 墙地面 C BA5°D乙C B A甲EC∠B=∠C=120°，∠A=45°．请你求出这块草地的面积.21.（2009年娄底）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图8所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）22. (2009年金华市) 如图1是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运.根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图2中∠ACB =20°）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离ABADCD24.（2009重庆綦江）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE=BC ，DF ⊥AE ，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．第28章锐角三角函数练习题参考答案1. 解：在直角三角形MPA 中，30α∠=°，10AP 米310tan 30105.7733MP米因为 1.5AB 米所以 1.5 5.87.27MN米2.解：如图，由已知可得∠ACB=30°，∠ADB=45° ∴在Rt △ABD 中，BD=AB 又在Rt △ABC 中，∵ tan30°=BCAB ∴33=BC AB ，即BC=3AB ∵BC=CD+BD ，∴3AB=CD+AB 即（3-1）AB=60A BCD图1 图2DABCEF∴AB=1360-=30(3+1)米∴教学楼高度为30(3+1)米. 3. 解：在Rt PAB △中，∵tan AB PA α=， ∴6001000m 3tan 5AB PA α===．在Rt PAC △中， ∵tan ACPAβ=， ∴5tan 1000625m 8AC PA β===． ∴62560025m BC =-=． 答：发射架高为25m ．4. 解：过点A 作AE ∥BD 交DC 的延长线于点E ， 则∠AEC =∠BDC =90°．∵45EAC ∠=，20AE BD ==， ∴20EC =．∵tan tan ABADB EAD BD∠=∠=， ∴20tan 60203AB =⋅=2032014.6CD ED EC AB EC =-=-=≈（米）．答：树高约为14.6米．5. 解:（1）设CD 的延长线交MN 于E 点，MN 长为xm ，则( 1.6)ME x m =-. ∵045β=,∴ 1.6DE ME x ==-.∴ 1.618.617CE x x =-+=+. ∵0tan tan 35ME CE α==,∴ 1.60.717x x -=+,解得45x m =. ∴太子灵踪塔()MN 的高度为45m .(2) ①测角仪．皮尺； ② 站在P 点看塔顶的仰角．自身的高度. 6. 解：由题意知CD AD ⊥，EF AD ∥，45°AB ED60°C∴90CEF ∠=°，设CE x =， 在Rt CEF △中，tan CE CFE EF ∠=，则8tan tan 213CE x EF x CFE ===∠°； 在Rt CEG △中，tan CECGE GE ∠=， 则4tan tan 373CE x GE x CGE ===∠°；∵EF FG EG =+， ∴845033x x =+． 37.5x =，∴37.5 1.539CD CE ED =+=+=（米）． 答：古塔的高度约是39米．7. （1）解：∵DC CE ⊥，∴90BCD ∠=°． 又∵10DBC ∠=°， ∴80BDC ∠=°， ∵85ADF ∠=°，∴360809085105ADB ∠=---=°°°°°． （2）过点D 作DG AB ⊥于点G ．在Rt GDB △中，401030GBD ∠=-=°°°， ∴903060BDG ∠=-=︒°° 又∵100BD =， ∴111005022GD BD ==⨯=． 3cos301005032GB BD ==⨯=°． A CDEFBG在Rt ADG △中，1056045GDA ∠=-=︒°° ∴50GD GA ==，∴50503AB AG GB =+=+（米） 答：索道长50503+米． 8. （1）如图 （2）5;（3）∠CAD ，55(或∠ADC ，552); （4）21. 9. 延长BC 交AD 于E 点，则CE ⊥AD ． 在Rt △AEC 中，AC ＝10，由坡比为1: 3可知：∠CAE ＝30°， ∴ CE ＝AC·sin30°＝10×21＝5， AE ＝AC·cos30°＝10×23＝53 ． 在Rt △ABE 中，BE ＝22AE AB -＝()223514-=11．∵ BE ＝BC ＋CE ，∴ BC ＝BE －CE ＝11-5＝6（米）． 答：旗杆的高度为6米． 10. 解：延长AC 交 ON 于点E ， ∵AC ⊥ON ， ∠OEC=90°，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC=90°，A D=BC ， 又∵∠OCE=∠ACB ， ∴∠BAC=∠O=25°， 在Rt △ABC 中，AC=3， ∴BC=AC· ∴ADABCED A25°CBMDECAD11. 如图，过C 点作CD 垂直于AB 交BA 的延长线于点D .在Rt CDA △中，3018018012060AC CAD CAB =∠=-∠=︒-︒=︒，°.∴•=AC CD 31560sin 30sin =︒•=∠CAD ，︒•=∠•=60cos 30cos CAD AC AD =15.又在Rt CDB△中，22270BC BD BC CD ==，-，()227015365BD ∴=-=.651550AB BD AD ∴=-=-=，答：A B ，两个凉亭之间的距离为50m.12. （1）由⎩⎨⎧+=+-=-b k b k 321，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3534b k ，所以3534+=x y （2）5(0)4C -，，5(0)3D ，． 在Rt △OCD 中，35=OD ，45=OC ， ∴OCD ∠tan 34==OC OD ．（3）取点A 关于原点的对称点(21)E ，， 则问题转化为求证︒=∠45BOE ． 由勾股定理可得，5=OE ，5=BE ，10=OB ，∵222BE OE OB +=， ∴△EOB 是等腰直角三角形． ∴︒=∠45BOE ． ∴135AOB ∠=°．BD CAO 1 1yE13.14. 解：（1）在Rt ACB △中， （2）在Rt ACB △中，31cos 62AC AB α=== ∴可以安全使用.15.. 解：在直角三角形MPA 中，30α∠=°，10AP 米310tan 30105.7733MP米因为 1.5AB 米所以 1.5 5.87.27MN米16. 设山高BC =x ，则AB =12x ， 由tan 3012002BC x BDx==+，得1)400x=，解得1)16211x ==≈米17.解：（1）过点A 作AE CD ⊥于点E ，根据题意，得6030DBC DAE αβ∠=∠=∠=∠=°，°，36AE BC EC AB ===，米，设DE x =，则36DC DE EC x =+=+， 在Rt AED △中，tan tan 30DEDAE AE∠==°， AE BC AE ∴=∴==，，在Rt DCB △中，tan tan 60DC DBC BC ∠===°，3361854x x x DC ∴=+=∴=，，（米）． （2）BC AE ==，18x =，1818 1.73231.18BC ∴==⨯≈（米）．18. 解：如图，过B 点作BD⊥AC 于DD乙CBA 甲 E∴∠DAB ＝90°－60°＝30°，∠DCB＝90°－45°＝45° 设BD ＝x,在Rt△ABD 中，AD ＝x ⋅tan30°＝33x 在Rt△BDC 中,BD ＝DC ＝x BC ＝2x又AD ＝5×2＝10 ∴3103x x +=得5(31)x =- ∴25(31)5(62)BC =⋅-=-（海里）答：灯塔B 距C 处5(62)-海里19. 解：（1）在BCD Rt ∆中，︒=12sin BC CD 1.221.010=⨯≈（米）． （2）在BCD Rt ∆中，︒=12cos BC BD8.998.010=⨯≈（米）； 在ACD Rt ∆中，︒=5tan CD AD 2.123.330.09≈≈（米）， 23.339.813.5313.5AB AD BD =-≈-=≈（米）． 20解：连接BD ，过C 作CE BD ⊥于E ，10120BC DC ABC BCD ==∠=∠=，°， 123090ABD ∴∠=∠=∴∠=°，°．553CE BE ∴=∴=，．452103A AB BD BE ∠=∴===°，．.21. 解：方法一：过D 点作DF ⊥AB 于F 点 在Rt △DEF 中，设EF =x ，则DF =3x在Rt △ADF 中，tan 50°=303xx+30+x=3∴DF =3x≈48答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的 方法二：过点D 作DF ⊥AB 于F 点在Rt △DEF 中，EF =FD·tan 30°在Rt △AFD 中，AF =FD·tan 30°∵AE +EF =AF∴30+FDtan 30°=FD·tan 50°∴FD ≈48答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的22. 解：由题意可知：AB ⊥BC∴在Rt △ABC 中, sin ∠ACB =AB AC ∴AC = ABsin ∠ACB = = ∴CD = AC +AD23. （1）证明：在矩形ABCD 中，ABE DFA ∴△≌△．（2）解：由（1）知ABE DFA △≌△ 在直角ADF △中，在直角DFE △中，10sin 210EF EDF DE ∴∠===。
锐角三角函数及其应用(共60题)(学生版)
锐角三角函数及其应用(60题)一、解答题1(2023·河南·统考中考真题)综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB=30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF= 11m，BH=20cm．求树EG的高度(结果精确到0.1m)．2(2023·四川宜宾·统考中考真题)渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥(如图1)，桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离CD，如图2．在桥面上点A处，测得A到左桥墩D的距离AD=200米，左桥墩所在塔顶B的仰角∠BAD=45°，左桥墩底C的俯角∠CAD=15°，求CD的长度．(结果精确到1米．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)3(2023·辽宁·统考中考真题)暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°(换乘登山缆车的时间忽略不计)(1)求登山缆车上升的高度DE；(2)若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟(结果精确到0.1min)(参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)4(2023·甘肃兰州·统考中考真题)如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园--“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC=38°、∠BAD=53°，AB=18m．求“龙”字雕塑CD的高度．(B，C，D三点共线，BD⊥AB．结果精确到0.1m)(参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)5(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向，距离灯塔100nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处．这时，B 处距离灯塔P有多远(结果取整数)？(参考数据：sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08,sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84．)6(2023·湖北·统考中考真题)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C=18°，求斜坡AB的长．(结果精确到米)(参考数据：sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32)7(2023·湖南张家界·统考中考真题)“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P 点，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度．(结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)8(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知AE⊥BE,BC ⊥BE,CD∥BE，AC=10.4m,BC=1.26m，点A关于点C的仰角为70°，则楼AE的高度为多少m？(结果保留整数．参考数据：sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)9(2023·广东·统考中考真题)2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂AC=BC= 10m，两臂夹角∠ACB=100°时，求A，B两点间的距离．(结果精确到0.1m，参考数据sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192)10(2023·湖南·统考中考真题)我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功，如图(九)，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得AP距离是5000m，仰角为23°．9s，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为45°．求火箭从P 到Q处的平均速度(结果精确到1m/s)．(参考数据：sin23°≈0.39,cos23°≈0.92,tan23°≈0.42)11(2023·浙江绍兴·统考中考真题)图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筺EF与支架DE在同一直线上，OA=2.5米，AD=0.8米，∠AGC=32°．(1)求∠GAC的度数．(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．(参考数据：sin32°≈0.53,cos32°≈0.85,tan32°≈0.62)12(2023·浙江台州·统考中考真题)教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC=90°．黑板上投影图像的高度AB=120cm，CB 与AB的夹角∠B=33.7°，求AC的长．(结果精确到1cm．参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67)13(2023·湖南怀化·统考中考真题)为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD(碑顶到水平地面的距离)，于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB=35m，测角仪的高度是1.5m(A、B、C在同一直线上)，根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD．(3≈1.732，结果保留一位小数)14(2023·新疆·统考中考真题)烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧(如图1)．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度31.5米的A处，测得烽燧BC的顶部C处的俯角为50°，测得烽燧BC的底部B处的俯角为65°，试根据提供的数据计算烽燧BC的高度．(参数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50≈1.2，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1)15(2023·四川遂宁·统考中考真题)某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：实践探究活动记录表活动内容 测量湖边A、B两处的距离成员 组长：××× 组员：××××××××××××测量工具 测角仪，皮尺等测量示意图说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C．可测量C处到A、B两处的距离．通过测角仪可测得∠A、∠B、∠C的度数．测量数据角的度数∠A=30°∠B=45°∠C=105°边的长度BC=40.0米AC=56.4米数据处理组得到上面数据以后做了认真分析．他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°．．(从记录表中再选一个条件填入横线)求：线段AB的长．(为减小结果的误差，若有需要，2取1.41，3取1.73，6取2.45进行计算，最后结果保留整数．)16(2023·四川成都·统考中考真题)为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．(结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28,cos16°≈0.96,tan16°≈0.29)17(2023·贵州·统考中考真题)贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．(图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上)(1)求索道AB的长(结果精确到1m)；(2)求水平距离AF的长(结果精确到1m)．(参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，2≈1.41)18(2023·湖北鄂州·统考中考真题)鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为30°；接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且tan∠DAB=43；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为45°．(图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，CD∥AB，GF⊥FB)．(1)求自动扶梯AD的长度；(2)求大型条幅GE的长度．(结果保留根号)19(2023·山东东营·统考中考真题)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为多少km？20(2023·四川凉山·统考中考真题)超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的C、E 两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且A、D、B、F在同一直线上．点C、点E到AB的距离分别为CD、EF，且CD=EF=7m,CE=895m，在C处测得A点的俯角为30°，在E处测得B点的俯角为45°，小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45s．(1)求A,B两点之间的距离(结果精确到1m)；(2)若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点A行驶到点B是否超速？并通过计算说明理由．(参考数据：2≈1.4,3≈1.7)21(2023·内蒙古·统考中考真题)为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东25°方向32km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；(2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号)．22(2023·湖南常德·统考中考真题)今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图(图2)．在图2中，已知四边形ABCD是平行四边形，座板CD与地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC=CE，∠FBA=114.2°，靠背FC=57cm，支架AN=43cm，扶手的一部分BE=16.4cm．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F点距地面(MN)的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果(最后结果保留一位小数)．(参考数据：sin65.8°=0.91，cos65.8°=0.41，tan65.8°=2.23)23(2023·山东·统考中考真题)无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米(点A，B，C，P在同一平面内)，求大楼的高度BC(结果保留根号)24(2023·重庆·统考中考真题)人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品，经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC=3600米．(1)求B养殖场与灯塔C的距离(结果精确到个位)；(2)甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)25(2023·山东聊城·统考中考真题)东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1200m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向(点A，B，C，P四点在同一平面内)．求明珠大剧院到龙堤BC的距离(结果精确到1m)．(参考数据：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50)26(2023·四川·统考中考真题)“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为120°，当其中一片风叶OB 与塔干OD 叠合时，在与塔底D 水平距离为60米的E 处，测得塔顶部O 的仰角∠OED =45°，风叶OA 的视角∠OEA =30°．(1)已知α，β两角和的余弦公式为：cos α+β =cos αcos β-sin αsin β，请利用公式计算cos75°；(2)求风叶OA 的长度．27(2023·湖北宜昌·统考中考真题)2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约330km 的圆形轨道上，当运行到地球表面P 点的正上方F 点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q ．在Rt △OQF 中，OP =OQ ≈6400km ．(参考数据：cos16°≈0.96，cos18°≈0.95，cos20°≈0.94，cos22°≈0.93，π≈3.14)(1)求cos α的值(精确到0.01)；(2)在⊙O 中，求PQ的长(结果取整数)．28(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i=2:3的斜坡AB前进207m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度(参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，计算结果用根号表示，不取近似值)．29(2023·山西·统考中考真题)2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单(2022-2025年)》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸(也叫护坡)．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC 和AB 的长度(结果精确到0.1m ．参考数据：3≈1.73，2≈1.41)．课题母亲河驳岸的调研与计算调查方式资料查阅、水利部门走访、实地查看了解功能驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物驳岸剖面图相关数据及说明，图中，点A ，B ，C ，D ，E 在同一竖直平面内，AE 与CD 均与地面平行，岸墙AB ⊥AE 于点A ，∠BCD =135°，∠EDC =60°，ED =6m ，AE =1.5m ，CD =3.5m计算结果交流展示30(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”一辆车从被山峰POQ遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知∠POQ=30°，BC∥OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，线段AO的延长线交直线BC于点D．(1)求∠COD的大小；(2)若在点B处测得点O在北偏西α方向上，其中tanα=35，OD=12米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？(当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车)31(2023·四川内江·统考中考真题)某中学依山而建，校门A处有一坡角α=30°的斜坡AB，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E 处测得C的仰角∠CEF=60°，CF的延长线交水平线AM于点D，求DC的长(结果保留根号)．32(2023·湖北随州·统考中考真题)某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD=10米，坡角α=30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°．(已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上)(1)求点D到地面BC的距离；(2)求该建筑物的高度AB．33(2023·天津·统考中考真题)综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD=6m,∠DCE=30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．(1)求DE的长；(2)设塔AB的高度为h(单位：m)．①用含有h的式子表示线段EA的长(结果保留根号)；②求塔AB的高度(tan27°取0.5，3取1.7，结果取整数)．34(2023·山东临沂·统考中考真题)如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B 处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？(参考数据：sin32°≈0.530,cos32°≈0.848,tan32°≈0.625;sin58°≈0.848,cos58°≈0.530，tan58°≈1.6)35(2023·湖南永州·统考中考真题)永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米(如图1所示)，寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°，然后将相机架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°，求D、N两点间的距离(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732)36(2023·重庆·统考中考真题)为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①A-D-C-B；②A-E-B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B 的南偏西60°方向．(参考数据：2≈1.41,3≈1.73)(1)求AD的长度．(结果精确到1千米)(2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？37(2023·江苏苏州·统考中考真题)四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE,CD,GF为长度固定的支架，支架在A,D,G处与立柱AH连接(AH垂直于MN，垂足为H)，在B,C处与篮板连接(BC所在直线垂直于MN)，EF是可以调节长度的伸缩臂(旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度)．已知AD=BC,DH=208cm，测得∠GAE=60°时，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高(或降低)了多少？(参考数据：sin54°≈0.8,cos54°≈0.6)38(2023·湖南·统考中考真题)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部243米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米．(1)求教学楼AB的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以43米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB．39(2023·山东烟台·统考中考真题)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度．(参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325)40(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离(图1)．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图说明如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN．测量数据∠DBN=35°，∠ECN=22°，BC=9cm请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．(结果精确到0.1cm)(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)41(2023·四川达州·统考中考真题)莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？(结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)42(2023·江西·统考中考真题)如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB=AC=AD，测得∠B=55°，BC=1.8m，DE=2m．(结果保小数点后一位)(1)连接CD，求证：DC⊥BC；(2)求雕塑的高(即点E到直线BC的距离)．(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)43(2023·浙江宁波·统考中考真题)某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．(1)如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式示β．(2)如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC=20m，求气球A离地面的高度AD．(参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)44(2023·江苏连云港·统考中考真题)渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥A处出发，沿着坡角为48°的山坡向上走了92m到达B处的三龙潭瀑布，再沿坡角为37°的山坡向上走了30m到达C处的二龙潭瀑布．求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米？(结果精确到0.1m)(参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80)45(2023·四川广安·统考中考真题)为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC 边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B、D都在点C的正北方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向．(1)求步道DE的长度．(2)点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近．结果精确到个位)(参考数据：sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60,3≈1.73)46(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角围内才能被识别)，其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA=160cm，识别的最远水平距离OB=150cm．(1)身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别．(2)身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°(如图3)，此时小若能被识别吗？请计算说明．(精确到0.1cm，参考数据sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27,sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)47(2023·安徽·统考中考真题)如图，O,R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m,R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB(精确到0.1m)．参考数据：sin24.2°≈0.41,cos24.2°≈0.91,tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60,cos36.9°≈0.80,tan36.9°≈0.75．48(2023·浙江·统考中考真题)如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A -D -C ，已知DC ⊥BC ，AB ⊥BC ,∠A =60°,AB =11m ,CD =4m ，求管道A -D -C的总长．49(2023·浙江温州·统考中考真题)根据背景素材，探索解决问题．测算发射塔的高度背景素材某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN (如图1)．他们通过自制的测倾仪(如图2)在A ，B ，C 三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．问题解决任务1分析规划选择两个观测位置：点_________和点_________获取数据写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．任务2推理计算计算发射塔的图上高度MN．任务3换算高度楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm．50(2023·四川自贡·统考中考真题)为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：(1)测量坡角如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数．请直接写出α，β之间的数量关系．(2)测量山高同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的Rt△TKS(如图3)，量得KT≈5cm，TS≈2cm．求山高DF．(2≈1.41，结果精确到1米)(3)测量改进由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高MN为1.6米，求山高DF．(结果用不含β1，β2的字母表示)。
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7．如图，我省在修建泛亚铁路时遇到一座山，要从A地向B地修一条隧道(A，B在同一水平面上)，为了测量A，B两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从M地出发垂直上升150 米到达C处，在C处观察A地的俯角为60°，然后保持同一高度向前平移200米到达D处，在D处观察B地的俯角为45°，则A、B两地之间的距离为多少米？(参考数据： ≈1.73；结果保留整数)
（1）求索道AB的长；
（2）为乙的步行速度．
10．某中学九年级数学兴趣小组为测量校旗杆高度，如图，在C点测得旗杆顶端A的仰角为30°测角器的高度不计).
（1） 米；
（2）求旗杆AB的高度（结果保留1位小数， ）.
11．某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号）
（2）甲轮船后来的速度．
9．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径，一中是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客同时从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为45m/min．乙开始从A乘缆车到B，在B处停留5min后，再从B匀速步行到C，两人同时到达．已知缆车匀速直线运动的速度为180m/min，山路AC长为2430m，经测量，∠CAB=45°，∠CBA=105°．（参考数据： 1.4，1.7）
8．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：
（1）港口A与小岛C之间的距离；
12．如图，小明在M处用高1米（DM=1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度（取 ≈1.73，结果保留整数）
13．如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据： ≈1.41， ≈2.45）
14．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
17．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？
锐角三角函数应用题训练
1．如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）。请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）。（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
15．根据道路管理规定，在羲皇大道州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）．现有一辆汽车由州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．
（1）计算AB的长度．
（2）通过计算判断此车是否超速．
16．如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30 千米处有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距 千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处．
（1）求该轮船航行的速度；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．
4．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．
（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；
（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．
5．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）
2．如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据： ≈1.414， ≈1.732， ≈2.236）．
3．如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据： ）．