2020高考数学二轮复习 专题三 解析几何教学案
专题三 解析几何
[江苏卷5年考情分析]
小题考情分析
大题考情分析
常考点
1.直线与圆、圆与圆的位
置关系(5年4考)
2.圆锥曲线的方程及几
何性质(5年5考)
本单元主要考查直线与椭圆(2015年、2017
年、2018年、2019年)的位置关系、弦长问题、
面积问题等；有时考查直线与圆(如2016年)，经
常与向量结合在一起命题．
偶考点 直线的方程、圆的方程
第一讲 | 小题考法——解析几何中的基本问题
考点(一) 直线、圆的方程
主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算.
[题组练透]
1．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4
x
(x >0)上的一个动点，
则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．
解析：法一：由题意可设P ?
??
??x 0，x 0＋4x
(x 0>0)，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝??????x 0＋x 0＋4x 02
＝
????
??2x 0＋4x 02
≥
2 2x 0·4
x 0
2
＝4，当且仅当2x 0＝4
x 0
，
即x 0＝2时取等号．故所求最小值是4.
法二：设P ? ????x 0，4x 0＋x 0(x 0>0)，由y ＝x ＋4x 得y ′＝1－4x 2，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x 20.令1－4x 20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴ P (2，32)，曲线y ＝x ＋4
x
(x >0)上的
点P 到直线x ＋y ＝0的最短距离即为此时点P 到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|
2
＝4.
答案：4
2．(2019·苏州期末)在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1，3)，B (4，6)，且圆心在直
线x －2y －1＝0上的圆的标准方程为________．
解析：法一：根据圆经过点A (1，3)，B (4，6)，知圆心在线段AB 的垂直平分线上，由点A (1，3)，B (4，6)，知线段AB
的垂直平分线方程为x ＋y －7＝0，则由?
????x －2y －1＝0，
x ＋y －7＝0，得
?
????x ＝5，y ＝2，即圆心坐标为(5，2)，所以圆的半径r ＝（5－1）2＋（2－3）2
＝17，故圆的标准方程为(x －5)2＋(y －2)2
＝17.
法二：因为圆心在直线x －2y －1＝0上，所以圆心坐标可设为(2a ＋1，a )，又圆经过点
A (1，3)，
B (4，6)，所以圆的半径 r ＝
（2a ＋1－1）2＋（a －3）2
＝
（2a ＋1－4）2
＋（a －6）2
，解得a ＝2，所以r ＝17，故圆的标准方程为(x －5)2
＋(y －2)2
＝17.
法三：设圆心的坐标为(a ，b )，半径为r (r ＞0)，因为圆心在直线x －2y －1＝0上，且圆经过点A (1，3)，B (4，6)，
所以?
???? a －2b －1＝0，
（a －1）2＋（b －3）2＝（a －4）2＋（b －62）＝r 2
， 得a ＝5，b ＝2，r ＝17，故圆的标准方程为(x －5)2＋(y －2)2
＝17. 答案：(x －5)2
＋(y －2)2
＝17
3．(2019·扬州期末)若直线l 1：x －2y ＋4＝0与l 2：mx －4y ＋3＝0平行，则两平行直线l 1，l 2间的距离为________．
解析：法一：若直线l 1：x －2y ＋4＝0与l 2：mx －4y ＋3＝0平行，则有m 1＝－4－2≠3
4
，求
得m ＝2，故两平行直线l 1，l 2间的距离为
|8－3|22
＋（－4）
2
＝5
2
. 法二：若直线l 1：x －2y ＋4＝0与l 2：mx －4y ＋3＝0平行，则有m 1＝－4－2≠3
4
，求得m ＝2，
所以直线l 2：2x －4y ＋3＝0，在l 1：x －2y ＋4＝0上取一点(0，2)，则两平行直线l 1，l 2间的距离就是点(0，2)到直线l 2的距离，即
|0－4×2＋3|22
＋（－4）
2
＝5
2
. 答案：
52
[方法技巧]
1．求直线方程的两种方法 直接法 选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果 待定 系数法
先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数
2．圆的方程的两种求法
几何法
通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和
方程
代数法 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程
考点(二)
直线与圆、圆与圆的位置关系
主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系，以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·无锡期末)过圆O ：x 2
＋y 2
＝16内一点P (－2，3)作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB ＝CD ，则四边形ACBD 的面积为________．
(2)(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－4，0)，B (0，4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2
＋y 2
＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为________．
[解析] (1)设O 到AB 的距离为d 1，O 到CD 的距离为d 2，则由垂径定理可得d 2
1＝r 2
－? ???
?
AB 22
，d 2
2
＝r 2
－? ????CD 22，由于AB ＝CD ，故d 1＝d 2，且d 1＝d 2＝22OP ＝262，所以? ??
??AB 22＝r 2－d 21＝16
－132＝192，得AB ＝38，从而四边形ACBD 的面积为S ＝12AB ×CD ＝1
2
×38×38＝19. (2)法一(几何法)：因为A (－4，0)，B (0，4)，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋4，所以可设P (a ，a ＋4)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以PC 的方程为x 1x ＋y 1y ＝4，PD 的方程为x 2x ＋y 2y
＝4，将P (a ，a ＋4)分别代入PC ，PD
的方程，得?
????ax 1＋（a ＋4）y 1＝4，
ax 2＋（a ＋4）y 2＝4，则直线
CD 的方程为
ax ＋(a ＋4)y ＝4，即a (x ＋y )＝4－4y ，所以?
????x ＋y ＝0，
4－4y ＝0，所以直线CD 过定点N (－1，1)，
又因为OM ⊥CD ，所以点M 在以ON 为直径的圆上(除去原点)．又因为以ON 为直径的圆的
方程为? ????x ＋122＋? ????y －122
＝12
，因为A 在该圆外，
所以AM 的最大值为
? ????－4＋122＋? ??
??122
＋22＝3 2.
法二(参数法)：同法一可知直线CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，即a (x ＋y )＝4－4y ，得
a ＝
4－4y x ＋y .又因为O ，P ，M 三点共线，所以ay －(a ＋4)x ＝0，得a ＝4x y －x .因为a ＝4－4y x ＋y ＝4x
y －x
，所以点M 的轨迹方程为? ????x ＋122
＋? ????y －122
＝1
2
(除去原点)，因为A 在该圆外，所以AM 的最大
值为
? ????－4＋122＋? ??
??122
＋22＝3 2. [答案] (1)19 (2)3 2
[方法技巧]
解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略
(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．
(2)解决直线与圆相关的最值问题：一是利用几何性质，如两边之和大于第三边、斜边大于直角边等来处理最值；二是建立函数或利用基本不等式求解．
(3)对于直线与圆中的存在性问题，可以利用所给几何条件和等式，得出动点轨迹，转化为直线与圆、圆与圆的位置关系．
[演练冲关]
1．(2019·南通、泰州等七市一模)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2
＋y 2
＝1，圆C ：(x －4)2
＋y 2
＝4.若存在过点P (m ，0)的直线l ，直线l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是________．
解析：由题意知，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝k (x －m )(k ≠0)，圆心O ，C 到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则由直线l 与圆O 相交得d 1＝
|km |
k 2
＋1
＜1，得m 2
＜1
＋1
k 2.由直线l 被两圆截得的弦长相等得1－d 2
1
＝4－d 22
，则d 22
－d 21
＝3，即（4k －km ）2k 2
＋1－k 2m
2
k 2＋1＝3，化简得m ＝138－38k 2，则m ＜138－38(m 2－1)，即3m 2
＋8m －16＜0，所以－4＜m ＜43
.
答案：?
????－4，43 2．(2019·南京盐城一模)设M ＝{(x ，y )|3x ＋4y ≥7}，点P ∈M ，过点P 引圆(x ＋1)2
＋
y 2＝r 2(r ＞0)的两条切线PA ，PB (A ，B 均为切点)，若∠APB 的最大值为π3
，则r 的值为________．
解析：由题意知点P 位于直线3x ＋4y －7＝0上或其上方，记圆(x ＋1)2
＋y 2
＝r 2
(r ＞0)的圆心为C ，则C (－1，0)，C 到直线3x ＋4y －7＝0的距离d ＝|－3－7|
32＋4
2
＝2，连接PC ，则PC ≥2.设∠APB ＝θ，则sin θ2＝r PC ，因为θmax ＝π3，所以?
????sin θ2max ＝r PC min ＝r 2＝12，所以r ＝1.
答案：1
3．(2019·苏北三市一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：x 2
＋y 2
＋2mx －(4m ＋6)y －4＝0(m ∈R )与以C 2(－2，3)为圆心的圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且满足x 2
1－x 2
2＝
y 22－y 2
1，则实数m 的值为________．
解析：由题意得C 1(－m ，2m ＋3)，C 2(－2，3)．由x 21－x 22＝y 22－y 21，得x 21＋y 21＝x 22＋y 2
2，即
OA ＝OB ，所以△OAB 为等腰三角形，所以线段AB 的垂直平分线经过原点O ，又相交两圆的圆
心连线垂直平分公共弦AB ，所以两圆的圆心连线C 1C 2过原点O ，所以OC 1∥OC 2，所以－3m ＝－2(2m ＋3),
解得m ＝－6.
答案：－6
4．(2019·常州期末)过原点O 的直线l 与圆x 2
＋y 2
＝1交于P ，Q 两点，点A 是该圆与x 轴负半轴的交点，以AQ 为直径的圆与直线l 有异于Q 的交点N ，且直线AN 与直线AP 的斜率之积等于1，那么直线l 的方程为________．
解析：易知A (－1，0)．因为PQ 是圆O 的直径，所以AP ⊥AQ .以AQ 为直径的圆与直线l 有异于Q 的交点N ，则AN ⊥NQ ，所以k AN ＝－
1
k NQ
＝－
1
k PO
，又直线AN 与直线AP 的斜率之积等于
1，所以k AN k AP ＝1，所以k AP ＝－k PO ，所以∠OAP ＝∠AOP ，所以点P 为OA 的垂直平分线与圆O 的交点，则P ? ????－1
2
，±32，所以直线l 的方程为y ＝±3x .
答案：y ＝±3x
5．(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2
＋(y －a )2
＝16上的两个动点，且AB ＝211.若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，
使得PA ―→＋PB ―→＝OC ―→
，则实数a 的值为________．
解析：法一：设AB 的中点为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，则由AB ＝211，得CM ＝16－11＝5，即点M 的轨迹为(x 0＋4)2＋(y 0－a )2
＝5.又因为PA ―→＋PB ―→＝OC ―→，所以PM ―→＝12
OC ―→，即(x 0－x ，
y 0－y )＝? ????
－2，a 2，从而?
????x 0＝x －2，y 0＝y ＋a 2，则动点P 的轨迹方程为(x ＋2)2
＋? ????y －a 22＝5，又因为直线l 上存在唯一的一个点P ，所以直线l 和动点P 的轨迹(圆)相切，则?
?????－4－a 222
＋（－1）
2
＝5，
解得a ＝2或a ＝－18.
法二：由题意，圆心C 到直线AB 的距离d ＝16－11＝5，则AB 中点
M 的轨迹方程为(x ＋4)2＋(y －a )2＝5.由PA ―→＋PB ―→＝OC ―→，得2PM ―→＝OC ―→
，
所以PM ―→∥OC ―→
.如图，连结CM 并延长交l 于点N ，则CN ＝2CM ＝2 5.故问
题转化为直线l 上存在唯一的一个点N ，使得CN ＝25，所以点C 到直线l 的距离为|2×（－4）－a |
22＋（－1）
2
＝25，解得a ＝2或a ＝－18. 答案：2或－18
考点(三)
圆锥曲线的方程及几何性质
主要考查三种圆锥曲线的定义、方程及几何性质，在小题中以考查椭圆和双曲线的几何性质为主.
[题组练透]
1．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2
－y 2
b
2＝1(b >0)经过点(3，4)，
则该双曲线的渐近线方程是________．
解析：因为双曲线x 2
－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3，4)，所以9－16
b
2＝1(b >0)，解得b ＝2，
即双曲线方程为x 2
－y 2
2
＝1，其渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x
2．(2019·苏州期末)在平面直角坐标系xOy 中，中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3，1)，则该双曲线的离心率为______．
解析：由题意，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由双曲线的一条渐近线过点
(－3，1)，得－a b ＝－13
，可得9a 2＝b 2＝c 2－a 2，得10a 2＝c 2
，所以可得该双曲线的离心率e
＝c a
＝10.
答案：10
3．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2
3－y 2
＝1的右准线与它的两条
渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．
解析：由题意得，双曲线的右准线x ＝32与两条渐近线y ＝±33x 的交点坐标为? ????3
2，±32.
不妨设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2， 则F 1(－2，0)，F 2(2，0)， 故四边形F 1PF 2Q 的面积是 12|F 1F 2|·|PQ |＝1
2
×4×3＝2 3. 答案：234.(2019·南通、扬州等七市一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y
2
＝2px (p ＞0)的准线为l ，直线l 与双曲线x 2
4－y 2
＝1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB ＝
6，则p 的值为________．
解析：抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的准线为直线，l ：x ＝－p
2
，不妨令A 点在第二象限，则直
线l 与双曲线x 2
4－y 2
＝1的两条渐近线y ＝±12x 分别交于点A ? ????－p 2，p 4，B ? ????－p 2
，－p 4，则AB
＝p
2
＝6，p ＝2 6.
答案：2 6
[方法技巧]
应用圆锥曲线的性质的两个注意点
(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．
(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．
[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢
1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系 (1)平行?A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0； (2)重合?A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0； (3)相交?A 1B 2－A 2B 1≠0； (4)垂直?A 1A 2＋B 1B 2＝0. 2．直线与圆相交 (1)几何法
由弦心距d 、半径r 和弦长的一半构成直角三角形，计算弦长AB ＝2r 2
－d 2
. (2)代数法
设直线y ＝kx ＋m 与圆x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0相交于点M ，N ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线方程代入圆方程中，消去y 得关于x 的一元二次方程，求出x 1＋x 2和x 1·x 2，则MN ＝1＋k 2
·（x 1＋x 2）2
－4x 1·x 2. 3．判断两圆位置关系时常用几何法
即通过判断两圆心距离O 1O 2与两圆半径R ，r (R >r )的关系来判断两圆位置关系． (1)外离：O 1O 2>R ＋r ； (2)外切：O 1O 2＝R ＋r ； (3)相交：R －r 4．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2 ＝b 2 ＋c 2 ，离心率为e ＝c a ＝ 1－? ????b a 2 ； (2)在双曲线中：c 2 ＝a 2 ＋b 2 ，离心率为e ＝c a ＝ 1＋? ?? ??b a 2 . (3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x .注意离心率e 与渐近线的斜率 的关系． (二) 二级结论要用好 1．过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2 . 2.过圆C 外一点P 做圆C 的切线，切点分别为A ，B (求切线时要注意斜率不存在的情况)如图所示，则 (1)P ，B ，C ，A 四点共圆，且该圆的直径为PC ； (2)该四边形是有两个全等的直角三角形组成； (3)cos ∠BCA 2＝sin ∠BPA 2＝r PC ； (4)直线AB 的方程可以转化为圆C 与以PC 为直径的圆的公共弦，且P (x 0，y 0)时，直线 AB 的方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 3．椭圆焦点三角形的3个规律 设椭圆方程是x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，点P 的坐标是(x 0，y 0)． (1)三角形的三个边长是PF 1＝a ＋ex 0，PF 2＝a －ex 0，F 1F 2＝2c ，e 为椭圆的离心率． (2)如果△PF 1F 2中∠F 1PF 2＝α，则这个三角形的面积S △PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2 tan α 2. (3)椭圆的离心率e ＝sin ∠F 1PF 2 sin ∠F 1F 2P ＋sin ∠F 2F 1P . 4．双曲线焦点三角形的2个结论 P (x 0，y 0)为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)上的点，△PF 1F 2为焦点三角形． (1)面积公式 S ＝c |y 0|＝1 2r 1r 2sin θ＝ b 2 tan θ 2 (其中PF 1＝r 1，PF 2＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)． (2)焦半径 若P 在右支上，PF 1＝ex 0＋a ·PF 2＝ex 0－a ；若P 在左支上，PF 1＝－ex 0－a ，PF 2＝－ex 0 ＋a . 5．抛物线y 2 ＝2px (p >0)焦点弦AB 的3个结论 (1)x A ·x B ＝p 2 4； (2)y A ·y B ＝－p 2； (3)AB ＝x A ＋x B ＋p . [课时达标训练] A 组——抓牢中档小题 1．若直线l 1：mx ＋y ＋8＝0与l 2：4x ＋(m －5)y ＋2m ＝0垂直，则m ＝________． 解析：∵l 1⊥l 2，∴4m ＋(m －5)＝0，∴m ＝1. 答案：1 2．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为45 5 ，则圆C 的方程为____________． 解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a ，0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x － y ＝0的距离d ＝ 2a 5 ＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝22＋（5）2＝3，所以 圆C 的方程为(x －2)2 ＋y 2 ＝9. 答案：(x －2)2 ＋y 2 ＝9 3．(2019·无锡期末)以双曲线x 25－y 2 4＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是 ________． 解析：由题可设抛物线的方程为y 2 ＝2px (p ＞0)，双曲线中，c ＝5＋4＝3，所以双曲线的右焦点的坐标为(3，0)，则抛物线的焦点坐标为(3，0)，所以p 2＝3，p ＝6，所以抛物线的 标准方程为y 2 ＝12x . 答案：y 2＝12x 4．已知直线l 过点P (1，2)且与圆C ：x 2 ＋y 2 ＝2相交于A ，B 两点，△ABC 的面积为1，则直线l 的方程为________． 解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －1)＋2，即kx －y －k ＋2＝0.因为S △ABC ＝12CA ·CB ·sin ∠ACB ＝1，所以1 2 ×2×2×sin ∠ACB ＝1，所以sin ∠ACB ＝1，即∠ACB ＝90°，所以圆心C 到直线AB 的距离为1，所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34，所以直线方程为 3x －4y ＋5＝0；当直线斜率不存在时，直线方程为x ＝1，经检验符合题意．综上所述，直线 l 的方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1. 答案：3x －4y ＋5＝0或x ＝1 5．已知圆M ：(x －1)2 ＋(y －1)2 ＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点，若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 的横坐标的取值范围为________． 解析：由题意知，过点A 的两直线与圆M 相切时，夹角最大，当∠BAC ＝60°时，|MA |＝ |MB |sin ∠BAM ＝2sin 30° ＝4.设A (x ，6－x )，所以(x －1)2＋(6－x －1)2 ＝16，解得x ＝1或x ＝5，因此点A 的横坐标的取值范围为[1，5]． 答案：[1，5] 6．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2 ＋(y －2)2 ＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为________． 解析：圆(x －2)2 ＋(y －2)2 ＝1关于x 轴的对称圆的方程为(x －2)2 ＋(y ＋2)2 ＝1，由题意得，圆心(2，－2)到直线kx ＋y ＋3＝0的距离d ＝|2k －2＋3|k 2＋1≤1，解得－43≤k ≤0，所以实 数k 的最小值为－4 3 . 答案：－4 3 7．(2019·南京四校联考)已知圆O ：x 2 ＋y 2 ＝1，半径为1的圆M 的圆心M 在线段CD ：y ＝x －4(m ≤x ≤n ，m ＜n )上移动，过圆O 上一点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，且满足∠APB ＝60°，则n －m 的最小值为________． 解析：设M (a ，a －4)(m ≤a ≤n )，则圆M 的方程为(x －a )2 ＋(y －a ＋4)2 ＝1.连接MP ，MB ，则MB ＝1，PB ⊥MB .因为∠APB ＝ 60°，所以∠MPB ＝30°，所以MP ＝2MB ＝2，所以点P 在以 M 为圆心，2为半径的圆上，连接OM ，又点P 在圆O 上，所以点P 为圆x 2＋y 2＝1与圆(x －a )2 ＋(y －a ＋4)2 ＝4的公共点，所以2－1≤OM ≤2＋1，即1≤a 2 ＋（a －4）2 ≤3，得 ? ????2a 2 －8a ＋15≥0，2a 2－8a ＋7≤0，解得2－22≤a ≤2＋22.所以n ≥2＋22，m ≤2－22，所以n －m ≥ 2. 答案： 2 8．(2019·南京盐城二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，0)，B (5，0)．若圆M ：(x －4)2 ＋(y －m )2 ＝4上存在唯一的点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________． 解析：设点P (x 0，y 0)，则直线PA 的方程为y ＝y 0x 0＋1(x ＋1), 在y 轴上的截距为y 0 x 0＋1 ， 同理可得直线PB 在y 轴上的截距为－ 5y 0 x 0－5 ，由直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，得－5y 0x 0－5×y 0x 0＋1 ＝5，化简，得(x 0－2)2＋y 2 0＝9(y 0≠0)，所以点P 的轨迹是以C (2，0)为圆心，3为半径的圆(点A (－1，0)，B (5，0)除外)，由题意知点P 的轨迹与圆M 恰有一个公共点，若 A ， B 均不在圆M 上，因此圆心距等于半径之和或差，则22＋m 2＝5，解得m ＝±21；或22＋m 2 ＝1，无解．若A 或B 在圆M 上，易得m ＝±3，经检验成立．所以m 的值为±21或± 3. 答案：±21或± 3 9．(2018·扬州期末)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的渐近 线与圆x 2 ＋y 2 －6y ＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________． 解析：由圆x 2 ＋y 2 －6y ＋5＝0，得圆的标准方程为x 2 ＋(y －3)2 ＝4，所以圆心C (0，3)， 半径r ＝2.因为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线bx ±ay ＝0与该圆没有公共点，则圆心 到直线的距离应大于半径，即|b ×0±a ×3|b 2＋a 2 >2，即3a >2c ，即e ＝c a <3 2，又e >1，故双曲线离心率的取值范围是? ?? ??1，32. 答案：? ?? ??1，32 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2 ＋(y －3)2 ＝2，点A 是x 轴上的一个动点， AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围是________． 解析：设∠PCA ＝θ，θ∈? ????0，π2，所以PQ ＝22sin θ.又cos θ＝2AC ，AC ∈[3，＋ ∞)，所以cos θ∈? ? ? ? ?0， 23，所以cos 2 θ∈? ????0，29，sin 2θ＝1－cos 2θ∈??????79，1，因为θ∈? ? ? ?? 0，π2 ，所以sin θ∈??????73，1，所以PQ ∈???? ?? 2143，22. 答案：???? ??2143，22 11．(2019·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知MN 是⊙C ：(x －1)2＋(y －2)2 ＝2的一条弦，且CM ⊥CN ，P 是MN 的中点．当弦MN 在圆C 上运动时，直线l ：x －3y －5＝0上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥ π 2 恒成立，则线段AB 长度的最小值是________． 解析：因为MN 是⊙C ：(x －1)2 ＋(y －2)2 ＝2的一条弦，且CM ⊥CN ，P 是MN 的中点，所以PC ＝2 2 r ＝1，点P 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1.圆心C 到直线l ：x －3y －5＝0的距离为|1－3×2－5|12＋（－3）2 ＝10.因为直线l 上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π 2恒成立，所以AB min ＝210＋2. 答案：210＋2 12．(2018·苏锡常镇调研)已知直线l ：x －y ＋2＝0与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上．圆 C ：(x －2)2＋y 2 ＝2上有且仅有一个点B 满足AB ⊥BP ，则点P 的横坐标的取值集合为________． 解析：法一：由AB ⊥BP ，得点B 在以AP 为直径的圆D 上，所以圆D 与圆C 相切． 由题意得A (－2，0)，C (2，0)．若圆D 与圆C 外切，则DC －DA ＝2；若圆D 与圆C 内 切，则DA －DC ＝ 2.所以圆心D 在以A ，C 为焦点的双曲线x 212－y 2 72 ＝1上，即14x 2－2y 2 ＝7.又 点D 在直线l 上，由? ????y ＝x ＋2，14x 2－2y 2 ＝7，得12x 2 －8x －15＝0，解得x D ＝32或x D ＝－56.所以x P ＝2x D －x A ＝2x D ＋2＝5或x P ＝1 3 . 法二：由题意可得A (－2，0)，设P (a ，a ＋2)，则AP 的中点M ? ?? ??a －22，a ＋22，AP ＝ 2（a ＋2）2 ，故以AP 为直径的圆M 的方程为? ????x －a －222＋? ????y －a ＋222＝? ?? ??|a ＋2|22.由题意得圆C 与圆M 相切(内切和外切)，故 ? ????a －22－22＋? ????a ＋222 ＝???? ??2±|a ＋2|2，解得a ＝13或a ＝5.故点P 的横坐标的取值集合为???? ??13，5. 答案：???? ?? 13，5 13．已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于A ，B 两点．若△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积为ab ，则椭圆的离心率为________． 解析：设直线x ＝m 与x 轴交于点H ，椭圆的右焦点为F 1，由椭圆的对称性可知△FAB 的周长为2(FA ＋AH )＝2(2a －F 1A ＋AH )，因为F 1A ≥AH ，故当F 1A ＝AH 时，△FAB 的周长最大， 此时直线AB 经过右焦点，从而点A ，B 坐标分别为? ????c ，b 2a ，? ????c ，－b 2 a ，所以△FAB 的面积为12·2c ·2 b 2 a ，由条件得12·2c ·2 b 2 a ＝a b ，即b 2＋ c 2 ＝2bc ，b ＝c ，从而椭圆的离心率为e ＝22 . 答案： 2 2 14．已知A ，B 是圆C 1：x 2 ＋y 2 ＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2 ＋(y －4)2 ＝1上的动点，则|PA ―→＋PB ―→ |的取值范围为________． 解析：因为A ，B 是圆C 1：x 2 ＋y 2 ＝1上的动点，AB ＝3，所以线段 AB 的中点H 在圆O ：x 2＋y 2＝1 4 上，且|PA ―→＋PB ―→|＝2|PH ―→ |.因为点P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2 ＝1上的动点，所以5－32≤|PH ―→|≤5＋32 ， 即72≤|PH ―→|≤132 ，所以7≤2|PH ―→|≤13，从而|PA ―→＋PB ―→ |的取值范围是[7，13]． 答案：[7，13] B 组——力争难度小题 1．(2019·苏锡常镇四市一模)若直线l ：ax ＋y －4a ＝0上存在相距为2的两个动点A ， B ，圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点 C ，使得△ABC 为等腰直角三角形(C 为直角顶点)，则实数a 的 取值范围为________． 解析：法一：根据题意得，圆O ：x 2 ＋y 2 ＝1上存在点C ，使得点C 到直线l 的距离为1，那么圆心O 到直线l 的距离不大于2，即 |4a |1＋a 2 ≤2，解得－33≤a ≤3 3 ，于是a 的取值范围是??? ? ??－ 33，33. 法二：因为△ABC 为等腰直角三角形(C 为直角顶点)，所以点C 在以AB 为直径的圆上，记圆心为M ，半径为1，且CM ⊥直线l ，又点C 也在圆O ：x 2 ＋y 2 ＝1上，所以C 是两圆的交点，即OM ≤2，所以d OM ＝ |4a |1＋a 2 ≤2，解得－33≤a ≤33，于是a 的取值范围是??? ???－33 ，33. 答案：??? ? ??－ 33，33 2．(2017·全国卷 Ⅰ )已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心， b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心 率为________． 解析：双曲线的右顶点为A (a ，0)，一条渐近线的方程为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，则圆心 A 到此渐近线的距离d ＝ |ba －a ×0|b 2＋a 2 ＝ab c .又因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin 60°＝ab c ，即 3b 2＝ab c ，所以e ＝23 ＝23 3. 答案：23 3 3．(2019·江苏泰州期末)在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：(x －k )2 ＋(y ＋k －4)2 ＝1上任一点P 作圆C 2：x 2 ＋y 2 ＝1的一条切线，切点为Q ，则当|PQ |最小时，k ＝________． 解析：由题意得，圆C 1与圆C 2外离，如图．因为PQ 为切线，所以PQ ⊥C 2Q ，由勾股定理，得|PQ |＝|PC 2|2 －1，要使|PQ |最小，则需|PC 2|最小． 显然当点P 为C 1C 2与圆C 1的交点时，|PC 2|最小， 此时，|PC 2|＝|C 1C 2|－1，所以当|C 1C 2|最小时，|PC 2|就最小，|C 1C 2|＝k 2＋（－k ＋4）2 ＝2（k －2）2 ＋8≥22， 当k ＝2时，|C 1C 2|取最小值，即|PQ |最小． 答案：2 4．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的右支与 焦点为F 的抛物线x 2 ＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若AF ＋BF ＝4OF ，则该双曲线的渐近线方程为________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知 AF ＝y 1＋p 2 ，BF ＝y 2＋p 2 ，OF ＝p 2 ， 由AF ＋BF ＝y 1＋p 2＋y 2＋p 2 ＝y 1＋y 2＋p ＝4OF ＝2p ，得y 1＋y 2＝p . 联立?????x 2a 2－y 2 b 2＝1，x 2＝2py ， 消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2 ＝0， 所以y 1＋y 2＝2pb 2 a 2，所以2pb 2 a 2＝p ， 即b 2a 2＝12，故b a ＝22 ， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22 x . 答案：y ＝± 2 2 x 5．已知圆C ：(x －2)2 ＋y 2 ＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA ―→·PB ―→ ≤0，则线段EF 长度的最大值是________． 解析：过点C 作CH ⊥l 于H ，因为C 到l 的距离CH ＝ 3 2 ＝32 2>2＝r ，所以直线l 与圆C 相离，故点P 在圆C 外．因为PA ―→·PB ―→＝|PA ―→||PB ―→ |cos ∠APB ≤0，所以cos ∠APB ≤0，所以π2≤∠APB <π，圆C 上存在两点A ，B 使得∠APB ∈???? ??π2，π，由于点P 在圆C 外，故当PA ，PB 都与圆C 相切时，∠APB 最大，此时若∠APB ＝π 2 ，则PC ＝2r ＝22，所以PH ＝PC 2－CH 2＝ （22）2 －? ?? ??3222 ＝142，由对称性可得EF max ＝2PH ＝14. 答案：14 6．设抛物线x 2 ＝4y 的焦点为F ，A 为抛物线上第一象限内一点，满足AF ＝2，已知P 为抛物线准线上任一点，当PA ＋PF 取得最小值时，△PAF 外接圆的半径为________． 解析：由抛物线的方程x 2 ＝4y 可知F (0，1)，设A (x 0，y 0)，又由AF ＝2，根据抛物线的定义可知AF ＝y 0＋p 2＝y 0＋1＝2，解得y 0＝1，代入抛物线的方程，可得x 0＝2，即A (2，1)．如 图，作抛物线的焦点F (0，1)，关于抛物线准线y ＝－1的对称点F 1(0，－3)，连接AF 1交抛物线的准线y ＝－1于点P ，此时能使得PA ＋PF 取得最小值，此时点P 的坐标为(1，－1)，在△PAF 中，AF ＝2，PF ＝PA ＝5， 由余弦定理得cos ∠APF ＝（5）2 ＋（5）2 －22 2×5×5＝3 5， 则sin ∠APF ＝4 5.设△PAF 的外接圆半径为R ， 由正弦定理得2R ＝ AF sin ∠APF ＝52，所以R ＝54 ， 即△PAF 外接圆的半径R ＝5 4 . 答案：54 第二讲 | 大题考法——直线与圆 题型(一) 直线与圆的位置关系 主要考查直线与圆的位置关系以及复杂背景下直线、圆的方程. [典例感悟] [例1] 如图，在Rt △ABC 中，∠A 为直角，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1，1)在直线AC 上，BC 中点为M (2，0)． (1)求BC 边所在直线的方程； (2)若动圆P 过点N (－2，0)，且与Rt △ABC 的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P 中半径最小的圆方程． [解] (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，AC 与AB 垂直，所以直线AC 的斜率为－3. 故AC 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0.设C 为(x 0，－3x 0－2)，因为M 为BC 中点，所以B (4－x 0，3x 0＋2)． 点B 代入x －3y －6＝0，解得x 0＝－4 5 ， 所以C ? ?? ??－45，25. 所以BC 所在直线方程为x ＋7y －2＝0. (2)因为Rt △ABC 斜边中点为M (2，0)，所以M 为Rt △ABC 外接圆的圆心． 又AM ＝22，从而Rt △ABC 外接圆的方程为(x －2)2 ＋y 2 ＝8. 设P (a ，b )，因为动圆P 过点N ，所以该圆的半径r ＝（a ＋2）2 ＋b 2 ，圆方程为(x －a )2 ＋(y －b )2 ＝r 2 . 由于⊙P 与⊙M 相交，则公共弦所在直线m 的方程为(4－2a )x －2by ＋a 2 ＋b 2 －r 2 ＋4＝0. 因为公共弦长为4，⊙M 半径为22，所以M (2，0)到m 的距离d ＝2，即|2（4－2a ）＋a 2 ＋b 2 －r 2 ＋4| 2（2－a ）2＋b 2 ＝2， 化简得b 2 ＝3a 2 －4a ，所以r ＝ （a ＋2）2 ＋b 2 ＝ 4a 2 ＋4. 当a ＝0时，r 最小值为2，此时b ＝0，圆的方程为x 2 ＋y 2 ＝4. [方法技巧] 解决有关直线与圆位置关系的问题的方法 (1)直线与圆的方程求解通常用的待定系数法，由于直线方程和圆的方程均有不同形式，故要根据所给几何条件灵活使用方程． (2)对直线与直线的位置关系的相关问题要用好直线基本量之一斜率，要注意优先考虑斜率不存在的情况． (3)直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系在处理时几何法优先，有时也需要用代数法即解方程组． [演练冲关] (2019·连云港模拟)已知圆O 1：x 2 ＋y 2 ＝25，点P 在圆O 2：x 2 ＋y 2 ＝r 2 (0＜r ＜5)上，过点 P 作圆O 2的切线交圆O 1于点M ，N 两点，且r ，OM ，MN 成等差数列． (1)求r ； (2)若点P ′的坐标为(－4，3)，与直线MN 平行的直线l 与圆O 2交于A ，B 两点，则使△AOB 的面积为43的直线l 有几条？并说明理由． 解：(1)显然圆O 1和圆O 2是圆心在原点的同心圆． 连接OP ，则OP ⊥MN ，OM ＝5，OP ＝r ， 在直角三角形MOP 中，MP ＝52 －r 2 ， 所以MN ＝252 －r 2 . 由r ，OM ，MN 成等差数列， 得2OM ＝r ＋MN ， 即2×5＝r ＋225－r 2 ，解得r ＝4. (2)因为点P ′的坐标为(－4，3)， 所以k OP ′＝－34，所以直线l 的斜率k ＝43， 设直线l 的方程为y ＝4 3x ＋b ，即4x －3y ＋3b ＝0. 设圆心到该直线的距离为d ，则d ＝|3b | 5， 则AB ＝242 －d 2 ， 所以S △AOB ＝12×AB ×d ＝42－d 2 ×d ＝43， 整理得 d 4 －16d 2 ＋48＝0，(d 2 －4)(d 2 －12)＝0， 解得d ＝2或d ＝2 3 ， 因为d ＝|3b | 5 ，从而对应的b 有4个解： b ＝±103或b ＝± 103 3 ， 检验知均符合题意，故使△AOB 的面积为43的直线l 有4条. 题型(二) 圆中的定点、定值问题 主要考查动圆过定点的问题其本质是含参方程恒有解，定值问题是引入参数，再利用其满足的约束条件消去参数得定值. [典例感悟] [例2] 已知圆C ：x 2＋y 2 ＝9，点A (－5，0)，直线l ：x －2y ＝0. (1)求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程； (2)在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )满足：对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标． [解] (1)设所求直线方程为y ＝－2x ＋b ， 即2x ＋y －b ＝0. 因为直线与圆C 相切， 所以 |－b |22 ＋1 2 ＝3，解得b ＝±3 5. 所以所求直线方程为2x ＋y ±35＝0. (2)法一：假设存在这样的点B (t ，0)． 当点P 为圆C 与x 轴的左交点(－3，0)时，PB PA ＝ |t ＋3| 2 ； 当点P 为圆C 与x 轴的右交点(3，0)时，PB PA ＝|t －3| 8 . 依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－9 5 或t ＝－5(舍去)． 下面证明点B ? ?? ??－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为一常数． 设P (x ，y )，则y 2 ＝9－x 2 ， 所以PB 2 PA 2＝? ?? ??x ＋952 ＋y 2 （x ＋5）2＋y 2＝x 2＋185x ＋9－x 2＋ 8125x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝ 18 25·（5x ＋17） 2·（5x ＋17）＝925.从而PB PA ＝3 5 为常数． 法二：假设存在这样的点B (t ，0)，使得PB PA 为常数λ，则PB 2＝λ2PA 2，所以(x －t )2＋y 2 ＝λ2 [(x ＋5)2 ＋y 2 ]，将y 2 ＝9－x 2 代入，得 x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)， 即2(5λ2 ＋t )x ＋34λ2 －t 2 －9＝0对x ∈[－3，3]恒成立， 所以???? ?5λ2＋t ＝0，34λ2 －t 2 －9＝0.解得?????λ＝35，t ＝－95 或? ????λ＝1，t ＝－5(舍去)． 故存在点B ? ?? ??－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为常数35. [方法技巧] 关于解决圆中的定点、定值问题的方法 (1)与圆有关的定点问题最终可化为含有参数的动直线或动圆过定点．解这类问题关键是引入参数求出动直线或动圆的方程． (2)与圆有关的定值问题，可以通过直接计算或证明，还可以通过特殊化，先猜出定值再给出证明． [演练冲关] 1．(2019·无锡天一中学模拟)已知以点C ? ?? ??t ，2t 为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点． (1)求证：△OAB 的面积为定值； (2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． 解：(1)证明：由题意知圆C 过原点O ，∴半径r ＝OC . ∵OC 2＝t 2 ＋4t 2， ∴设圆C 的方程为(x －t )2 ＋? ?? ??y －2t 2 ＝t 2 ＋4t 2， 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，则A (2t ，0)． 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ，则B ? ?? ??0，4t . ∴S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|2t |×??????4t ＝4， 即△OAB 的面积为定值． (2)∵OM ＝ON ，CM ＝CN ， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝1 2， ∴直线OC 的方程为y ＝1 2x . ∴2t ＝1 2 t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2，1)，r ＝|OC |＝5， 此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点． 当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)， 解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程， 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=， 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ． 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符． 当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?． 显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意． 综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围． 【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-． 专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线 【最新】《平面解析几何》专题 一、选择题 1．若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则 OP FP →→ g 的最大值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C 【解析】 【分析】 设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ?u u u r u u u r 表示成为x 的二次函数，根 据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】 设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则 ()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r ，则 22OP FP x x y ?=++u u u r u u u r ， 因为点P 为椭圆上，所以有：22143 x y +=即2 2334y x =-， 所以()2222 23132244 x x y x x x FP x OP =++=?++-=++u u u r u u u r 又因为22x -≤≤， 所以当2x =时，OP FP ?u u u r u u u r 的最大值为6 故选：C 【点睛】 本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题. 2．已知直线21y kx k =++与直线1 22 y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1 2 k > B ．16k <- 或1 2 k > C ．62k -<< D ．1162 k - << 【答案】D 【解析】 【分析】 联立21 1 22y kx k y x =++???=-+?? ，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线 高考数学三视图还原方法归纳 方法一:还原三步曲 核心内容： 三视图的长度特征——“长对齐，宽相等，高平齐” ，即正视图和左视图一样高，正视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽。 还原三步骤： （1）先画正方体或长方体，在正方体或长方体地面上截取出俯视图形状； （2）依据正视图和左视图有无垂直关系和节点，确定并画出刚刚截取出的俯视图中各节点处垂直拉升的线条（剔除其中无需垂直拉升的节点，不能确定的先垂直拉升），由高平齐确定其长短； （3）将垂直拉升线段的端点和正视图、左视图的节点及俯视图各个节点连线，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体。 方法展示 1）将如图所示的三视图还原成几何体 还原步骤： ①依据俯视图，在长方体地面初绘ABCDE如图； ②依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出在节点A、B、C、D 处不可能有垂直拉升的线条，而在E 处必有垂直拉升的线条ES，由正视图和侧视图中高度，确定点S 的位置；如图 ③将点S 与点ABCD分别连接，隐去所有的辅助线条，便可得到还原的几何体S-ABCD如图所示： 答案： 21+ 3 计算过程 经典题型： 例题 1：若某几何体的三视图，如图所示，则此几何体的体积等于（ ）cm3 。 例题 2：一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ 解答：（24） 步骤如下： 第一步：在正方体底面初绘制ABCDEFMN如图； 第二步：依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出节点E、F、M、N 处不可能有垂直拉升的线条，而在点A、B、C、D处皆有垂直拉升的线条，由正视图和左视图中高度及节点确定点G,G',B',D',E',F 地位置如图； 第三步：由三视图中线条的虚实，将点G与点E、F分别连接，将G'与点E'、F'分别连接，隐去所有的辅助线便可得到还原的几何体，如图所示。 例题3：如图所示，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（） 高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( ) 《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23 2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ） 1．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； (2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程． 2．设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜 率为 2 2 ，求椭圆的方程． 3．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q， 证明：AQ⊥BQ . 4．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝20 3 ，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为 2 2 ，若圆与椭圆相交于A、B， 且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程． 5．已知m 是非零实数，抛物线)0(2:2 >=p px y C 的焦点F 在直线2 :02 m l x my --=上. （I ）若m=2，求抛物线C 的方程 （II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，F AA 1?，F BB 1?的重心分别为G,H. 求证：对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。 6． (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB | ＝8，动点P 满足AP u u u r ＝35 PB u u u r ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一 点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值． 7．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系． 高考立体几何三视图 1（ 2017 全国卷二理数）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．90 B．63 C．42 D．36 【答案】 B 【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半． V V总1 V上π 32 101π 32 6 63π22 2（ 2017 北京文数）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A60B30 C20D10 【答案】 D【解析】该几何体是如图所示的三棱锥P-ABC ， 由图中数据可得该几何体的体积为V 11 5 3 4 10 3 2 3（ 2017 北京理数）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A32 B23 C22 D2 【答案】 B【解析】如下图所示，在四棱锥P ABCD 中，最长的棱为PA，所以 PA= PC2AC 222(2 2) 2 2 3 ，故选B． 4（ 2017 山东理数） 由一个长方体和两个 何体的三视图如图，则该几何体的体积为 1 圆柱构成的几 4 。 【答案】 2+ 【解析】由三视图可知，长方体的长、宽、高分别是 2、 1、 1，圆柱的高为 1，底面半径 2 为 1，所以 V 2 1 1 2 1 2 1=2+ 4 2 5（ 2017 全国卷一理数） 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰 直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形 .该多面体的各个面中有若 干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 【答案】 B 【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成， 如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形， 则这些梯形的面积之和为 2 (2 4) 2 1 12 ，故选 B. 2 6（ 2017 浙江文数） 某几何体的三视图如图所示 （单位： cm ），则该几何体的体积 （单位： cm 3）是（ ） A. π +1 B. π +3 2 2 C. 3 +1 D. 3π+3 2 2 【答案】 A 【解析】由三视图可知该几何体由一个三棱锥和半个圆锥组合而成，圆锥的 体积为 V 1 1 1 2 π 1 1 1 2 3 1 3 2 ，三棱锥的体积为 V 2 3 2 1 3 ， 2 2 所以它的体积为 V V 1 V 2 π 1 2 2 7．（ 2016 全国卷 1 文数） 如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆 专题五平面解析几何 专题五平面解析几何 第14讲直线与圆 [云览高考] 二轮复习建议 命题角度：该部分主要围绕两个点展开命题．第一个点是围绕直线与圆的方程展开，设计考查求直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等问题，目的是考查平面解析几何初步的基础知识和方法，考查运算求解能力，试题一般是选择题或者填空题；第二个点是围绕把直线与圆综合展开，设计考查直线与圆的相互关系的试题，目的是考查直线与圆的方程在解析几何中的综合运用，这个点的试题一般是解答题． 预计2013年该部分的命题方向不会有大的变化，以选择题或者填空题的形式重点考查直线与圆的方程，而在解答题中考查直线方程、圆的方程的综合运用．复习建议：该部分是解析几何的基础，涉及大量的基础知识，在复习时要把知识进一步系统化，在此基础上，在本讲中把重点放在解决直线与圆的方程问题上． 主干知识整合 1.直线的概念与方程 (1)概念：直线的倾斜角θ的范围为[0°，180°)，倾斜角为90°的直线的斜率不存在，过 两点的直线的斜率公式k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2 )； (2)直线方程：点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1 ≠x 2，y 1≠y 2)，一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)； (3)位置关系：当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时，两直线平行l 1∥l 2?k 1＝k 2，两直线垂直l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1，两直线的交点就是以两直线方程组成的方程组的解为坐标的点； (4)距离公式：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两平行线间的距离公式． 2．圆的概念与方程 (1)标准方程：圆心坐标(a ，b )，半径r ，方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D 2＋E 2－4F >0)； (2)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离 ，代数判断法与几何判断法； (3)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法. 要点热点探究 ? 探究点一 直线的概念、方程与位置关系 例1 (1)过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( B ) A ．2x ＋y －12＝0 B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0 C ．x －2y －1＝0 D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0 (2)[2012·浙江卷] 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋ 1)y ＋4＝0平行”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 点评] 直线方程的四种特殊形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)都有其适用范围，在解题时不要忽视这些特殊情况，如本例第一题易忽视直线过坐标原点的情况；一般地，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1，垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 变式题 (1)将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得的直线方程为( A ) A ．y ＝－13x ＋13 B ．y ＝－13x ＋1 C ．y ＝3x －3 D ．y ＝13 x ＋1 (2)“a ＝－2”是“直线ax ＋2y ＝0垂直于直线x ＋y ＝1”的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 ? 探究点二 圆的方程及圆的性质问题 例2 (1)已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为( C ) A ．(x －1)2＋y 2＝6425 B ．x 2＋(y －1)2＝6425 C ．(x －1)2＋y 2＝1 D ．x 2＋(y －1)2＝1 (2)[2012·陕西卷] 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( A ) A ．l 与C 相交 B ．l 与 C 相切 C ．l 与C 相离 D ．以上三个选项均有可能 [点评] 确定圆的几何要素：圆心位置和圆的半径，求解圆的方程就是求出圆心坐标和 高考立体几何三视图 1（2017全国卷二理数）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．π90 B ．π63 C ．π42 D ．π36 【答案】B 【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半． 2211 π310π3663π 22= -=??-???=V V V 总上 2（2017北京文数） 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A 60 B 30 C 20 D 10 【答案】D 【解析】该几何体是如图所示的三棱锥P-ABC ， 由图中数据可得该几何体的体积为11 5341032 V =????= 3（2017北京理数）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 A 3 B 2 C 2 D 2 【答案】B 【解析】如下图所示，在四棱锥-P ABCD 中，最长的棱为PA ， 所以2222=2(22)23+=+=PA PC AC ，故选B ． 232 4（2017山东理数）由一个长方体和两个 1 4 圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 。 【答案】2+ 2 π 【解析】由三视图可知，长方体的长、宽、高分别是2、1、1，圆柱的高为1，底面半径 为1，所以2 121121=2+ 4 2 V ππ ?=??+?? 5（2017全国卷一理数）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 【答案】B 【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成， 如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形， 则这些梯形的面积之和为1 2(24)2122 ?+?? =，故选B. 6（2017浙江文数）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ） A. π +12 B. π+32 C. 3+12π D. 3π +32 【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体由一个三棱锥和半个圆锥组合而成，圆锥的体积为2111π13232V π= ????=，三棱锥的体积为2111 213322 V =????=， 所以它的体积为12π1 22 V V V =+= + 7．（2016全国卷1文数）如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆 专题11平面解析几何大题强化训练(省赛试题汇编) 1．【2018年广西预赛】已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围． 2．【2018年安徽预赛】设O是坐标原点，双曲线C：上动点M处的切线，交C的两条渐近线于 A、B两点. ⑴求证：△AOB的面积S是定值； ⑵求△AOB的外心P的轨迹方程. 3．【2018年湖南预赛】已知抛物线的顶点，焦点，另一抛物线的方程为 在一个交点处它们的切线互相垂直.试证必过定点，并求该点的坐标. 4．【2018年湖南预赛】如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD.分别过点C、D作边BC、AD的垂线，设两条垂线的交点为P.过点P作与Q.求证：. 5．【2018年湖北预赛】已知为坐标原点，，点为直线上的动点，的平分线与直线 交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点作斜率为的直线，若直线与曲线恰好有一个公共点，求的取值范围. 6．【2018年甘肃预赛】已知椭圆过点，且右焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点．若，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求三角形面积的最小值． 7．【2018年吉林预赛】如图，已知抛物线过点P（-1，1），过点Q（，0）作斜率大于0的直线l 交抛物线与M、N两点（点M在Q、N之间），过点M作x轴的平行线，交OP于A，交ON于B.△PMA 与△OAB的面积分别记为，比较与3的大小，说明理由. 8．【2018年山东预赛】已知圆与曲线为曲 线上的两点，使得圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值，求的值．9．【2018年天津预赛】如图，是双曲线的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于A、B.又设O为坐标原点，求证：（1）；⑵、A、B四点在同一个圆上. 10．【2018年河南预赛】已知方程平面上表示一椭圆．试求它的对称中心及对称轴． 高考数学专题复习：解析几何专题 【命题趋向】 1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考 2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现 3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，与求轨迹有关、与向量结合、与求最值结合的往往是一个灵活性、综合性较强的大题，属中、高档题， 4．解析几何的才查，分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考题解析与考点分析】 考点1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-?=+?，进而可求出AB 的中点1 1(,)22M b --+，又由11(,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==． 故选C 例3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567 ,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1．直线的倾斜角 (1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率． (2)过两点的直线的斜率公式： 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2 x 1－x 2. 3．直线方程 1．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况． 2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误． 3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B . [试一试] 1．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( ) A ．1 B ．2 C ．－12 D ．2或－1 2 解析：选D 当2m 2＋m －3≠0时，即m ≠1或m ≠－3 2时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝ 1，即2m 2－3m －2＝0， 故m ＝2或m ＝－1 2 . 2．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 解析：∵k MN ＝m －4 －2－m ＝1，∴m ＝1. 答案：1 3．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－4 3， 所以y ＝－4 3x ，即4x ＋3y ＝0. ②若直线不过原点． 设x a ＋y a ＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 1．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”． 2．求直线方程的一般方法 (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应 1 三视图 1、若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是_____________.40+ 2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________. 3、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ）D A 、8π B 、252π C 、12π D 、414 π 4、如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形， 正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则四面体的体积为（ ）A A 、2 B 、4 C 、8 3 D 、2 5、一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）D （A ） 81 （ B ）71 （ C ）61 （ D ）5 1 61（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） C A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 13 7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ） A (A) (B) (C) 8、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（B ） ()A 6 ()B 9 () C 12 ( )D 18 侧视图俯视图 正视图 1 2 2 9、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如左图所示，则相应的侧视图可以为（ ）D 10、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________. 11 _____________.20或16 12、若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体中最长的棱长等于 13_____________. 14、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________. 15、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( B ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 16、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( C ) A . B . C .6 D .4 17.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( A ) A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 13 83 323 解析几何大量精选 1 2 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 3 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于4 不同的两点P 和Q ． 5 ⑴求轨迹C 的方程； 6 ⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 7 【解析】 ⑴ 2214 x y +=． 8 ⑵将y kx b =+代入曲线C 的方程， 9 整理得222(14)8440k x kbx b +++-=， 10 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 11 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 12 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kb x x k +=-+，21224414b x x k -=+ ② 13 且22 2 2 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 14 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 15 所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+． 16 由0AP AQ ?=，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 17 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 18 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或65 b k =．经检验，都符合条件① 19 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-20 点． 21 即直线l 经过点A ，与题意不符． 22 当6 5b k =时，直线l 的方程为665 5y kx k k x ??=+=+ ?? ? ． 23 显然，此时直线l 经过定点6 ,05 ??- ?? ? 点，满足题意． 24 综上，k 与b 的关系是65 b k =，且直线l 经过定点6 ,05?? - ??? 25 26 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半 27 轴为半径的圆与直线0x y -+相切． 28 ⑴ 求椭圆C 的方程； 29 ⑵ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 30 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； 31 ⑶ 在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?的取32 值范围． 33 【解析】 ⑴22 143 x y +=． 34 专题55 平面解析几何专题训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若2222c b a =+(0≠c )，则直线0=++c by ax 被圆122=+y x 所截得的弦长为( )。 A 、 2 1 B 、22 C 、1 D 、2 【答案】D 【解析】∵圆心)00(，到直线0=++c by ax 的距离2 2 2 2= += b a C d ， 因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于2 2)22( 12=-，∴弦长为2，故选D 。 2．若P 、Q 分别为直线01243=-+y x 与0586=++y x 上任意一点，则||PQ 的最小值为( )。 A 、 59 B 、1029 C 、518 D 、5 29 【答案】B 【解析】∵ 5 12 8463-≠ =，∴两直线平行，将直线01243=-+y x 化为02486=-+y x ， 由题意可知||PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离，即 10 29 865242 2= +--，故选B 。 3．若圆4)()(22=-+-a y a x 上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围为( )。 A 、)022(， - B 、)220()022(，， - C 、)221()122(，， -- D 、)220(， 【答案】B 【解析】由题意已知圆与圆422=+y x 相交，∴222222+<+<-a a ， 解得2222<<-a 且0≠a ，故选B 。 4．双曲线122=-my x 的实轴长是虚轴长的2倍，则=m ( )。 A 、 41 B 、2 1 C 、2 D 、4 【答案】D 【解析】12 2 =-my x 可化为1122 =-m y x ，则12=a ，m b 12=，∵实轴长是虚轴长的2倍， ∴b a 222?=，即b a 2=，即224b a =，∴4=m ，故选D 。 解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于 过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [ 3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上； （3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、 解析几何(4) 23.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分） 已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段 l 的距离，记作(,)d P l （1）求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ； （2）设l 是长为2的线段，求点的集合{(,)1}D P d P l =≤所表示的图形面积； （3）写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中 12,l AB l CD ==，,,,A B C D 是下列三组点中的一组. 对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分. ①(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --. ②(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---. ③(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D . 23、解：⑴ 设(,3)Q x x -是线段:30(35)l x y x --=≤≤上一点，则 ||5) PQ x ==≤≤，当 3 x =时 ， min (,)||d P l PQ == ⑵ 设线段l 的端点分别为,A B ，以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系， 则(1,0),(1,0)A B -，点集D 由如下曲线围成 12:1(||1),:1(||1) l y x l y x =≤=-≤， 222212:(1)1(1),:(1)1(1)C x y x C x y x ++=≤--+=≥ 其面积为4S π=+。 ⑶① 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --，{(,)|0}x y x Ω== ② 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。 2{(,)|0,0}{(,)|4,20}{(,)|10,1}x y x y x y y x y x y x y x Ω==≥=-≤<++=> ③ 选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。(完整word版)高中数学解析几何大题精选
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