2017-2018学年上海复旦附中高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海复旦附中高一（上）期末数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A. B. C. D.2.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A. B. C. D.3.如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lg x+lg y，那么正确的选项是（）A. 是区间上的减函数，且B. 是区间上的增函数，且C. 是区间上的减函数，且D. 是区间上的减函数，且4.若函数f（x）的反函数为f-1（x），则函数f（x-1）与f-1（x-1）的图象可能是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）5.函数f（x）=的定义域是______．6.函数y=x2+2（-1≤x≤0）的反函数是f-1（x）=______．7.设，，则f（x）•g（x）=______．8.若正数a、b满足log a（4b）=-1，则a+b的最小值为______．9.幂函数f（x）=（t3-t+1）x3t+1是奇函数，则f（2）=______．10.函数的单调递减区间是______．11.函数y=的值域是______．12.设关于x的方程x2-6x+5 =a的不同实数解的个数为n，当实数a变化时，n的可能取值组合的集合为______．13.对于函数f（x）=x2+ax+4，若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知f（x）在x∈[1，3 恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围______．14.若函数f（x）= x-1 +m x-2 +6 x-3 在x=2时取得最小值，则实数m的取值范围是______．15.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2-ax+a，其中a∈R．①f（-1）=______；②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是______．16.已知函数，x∈[1，2 的最大值为f（t），则f（t）的解析式为f（t）=______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知关于x的不等式log2（-2x2+3x+t）＜0，其中t∈R．（1）当t=0时，求该不等式的解；（2）若该不等式有解，求实数t的取值范围．18.已知函数（x＞0）．（1）求函数f（x）的反函数f-1（x）；（2）若x≥2时，不等式＞恒成立，求实数a的范围．19.某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为，x∈[0，24），其中a是与气象有关的参数，且∈，．若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，并记作M（a）．（1）令t=，x∈[0，24），求t的取值范围；（2）求M（a）的表达式，并规定当M（a）≤2时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．20.指数函数y=g（x）满足g（2）=4，且定义域为R的函数是奇函数．（1）求实数m、n的值；（2）若存在实数t，使得不等式f（t2-2t）+f（2t2-）＞0成立，求实数的取值范围．21.设集合M为下述条件的函数f（x）的集合：①定义域为R；②对任意实数x1、x2（x1≠x2），都有＜．（1）判断函数f（x）=x2是否为M中元素，并说明理由；（2）若函数f（x）是奇函数，证明：f（x）∉M；（3）设f（x）和g（x）都是M中的元素，求证：F（x）=＜也是M中的元素，并举例说明，G（x）=＞不一定是M中的元素．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A.在（0，+∞）上是增函数，满足条件，B．y=（x-1）2在（-∞，1 上为减函数，在[1，+∞）上为增函数，不满足条件．C．y=x-2在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．D．y=log0.5（x+1）在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．故选：A根据函数单调性的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数单调性的判断，根据常见函数的单调性是解决本题的关键．比较基础．2.【答案】C【解析】解：作出函数f（x）的图象，如图所示，当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，y=3，函数f（x）=x2-2x+3在闭区间[0，m 上上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是[1，2 ．故选：C．本题利用数形结合法解决，作出函数f（x）的图象，如图所示，当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，y=3，欲使函数f（x）=x2-2x+3在闭区间[0，m 上的上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围要大于等于1而小于等于2即可．本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：由lg（x+y）=lgx+lgy，得，由x+y=xy得：，解得：x+y≥4．再由x+y=xy得：（x≠1）．设x1＞x2＞1，则=．因为x1＞x2＞1，所以x2-x10，x2-1＞0．则，即f（x1）＜f（x2）．所以y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，综上，y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4．故选：C．由给出的方程得到函数y=f（x）图象上任意一点的横纵坐标x，y的关系式，利用基本不等式求出x+y的范围，利用函数单调性的定义证明函数在（1，+∞）上的增减性，二者结合可得正确答案．本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用基本不等式求最值，训练了利用单调性定义证明函数单调性的方法，是基础题．4.【答案】A【解析】解：函数f（x-1）是由f（x）向右平移一个单位得到，f-1（x-1）由f-1（x）向右平移一个单位得到，而f（x）和f-1（x）关于y=x对称，从而f（x-1）与f-1（x-1）的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x-1，排除B，D；A，C选项中各有一个函数图象过点（2，0），则平移前的点坐标为（1，0），则反函数必过点（0，1），平移后的反函数必过点（1，1），由此得：A选项有可能，C 选项排除；故选：A．f（x）和f-1（x）关于y=x对称是反函数的重要性质；而将f（x）的图象向右平移a 个单位后，得到的图象的解析式为f（x-a）而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称轴也相应平移．用整体平移的思想看问题，是解决本题的关键．5.【答案】{≥-2且x≠1}【解析】解：由题意，要使函数有意义，则，解得，x≠1且x≥-2；故函数的定义域为：{ ≥-2且x≠1}，故答案为：{ ≥-2且x≠1}．由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．本题考查了求函数的定义域，最后要用集合或区间的形式表示，这是容易出错的地方．6.【答案】，x∈[2，3【解析】解：∵y=x2+2（-1≤x≤0）∴x=-，2≤y≤3，故反函数为，x∈[2，3 ．故答案为：，x∈[2，3 ．由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．本题考查反函数的求法，考查计算能力，是基础题，反函数的定义域容易疏忽出错，注意反函数的定义域是原函数的值域．7.【答案】x，x∈（1，+∞）【解析】解：∵，，∴f（x）的定义域是（1，+∞），g（x）的定义域是[1，+∞），∴f（x）•g（x）=x，x∈（1，+∞），故答案为：x，x∈（1，+∞）．根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）•g（x）的解析式即可．本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的定义域，是一道基础题．8.【答案】1【解析】解：根据题意，若正数a、b满足log a（4b）=-1，则有a=，即ab=，则a+b≥2=1，即a+b的最小值为1；故答案为：1．根据题意，由对数的运算性质可得a=，即ab=，进而由基本不等式的性质可得a+b≥2=1，即可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及对数的运算性质，关键是分析a、b的关系．9.【答案】2【解析】解：函数f（x）=（t3-t+1）x3t+1是幂函数，∴t3-t+1=1，解得t=0或t=±1；当t=0时，f（x）=x是奇函数，满足题意；当t=1时，f（x）=x4是偶函数，不满足题意；当t=-1时，f（x）=x-2是偶函数，不满足题意；综上，f（x）=x；∴f（2）=2．故答案为：2．根据幂函数的定义求出t的值，再验证f（x）是否为奇函数，从而求出f（2）的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．10.【答案】（-2，1【解析】解：要求函数的单调递减区间，需求函数y=，（8+2x-x2＞0）的增区间，由8+2x-x2＞0可得-2＜x＜4，对应的二次函数，开口向下，增区间为：（1，4），减区间为：（-2，1 ．由复合函数的单调性可知：函数的单调递减区间是：（-2，1 ．故答案为：（-2，1 ．由对数函数为增函数，要求复合函数的减区间，需求真数的减区间，分式的分母的增区间，利用函数的定义域以及二次函数的单调性转化求解即可．本题考查复合函数的单调性，分式函数、二次函数和对数函数的单调性，是中档题．11.【答案】（-1，）【解析】解：函数y===-1．∵2x+3＞3，∴0＜．∴函数y=的值域是（-1，）故答案为（-1，）分离常数后，根据指数函数的值域即可求函数y的范围．本题考查分离常数法转化为指数函数的值域的运用，属于基础题．12.【答案】{0，2，3，4}【解析】解：关于x的方程x2-6x+5 =a，分别画出y= x2-6x+5与y=a的图象，如图：①若该方程没有实数根，则a＜0；n=0；②若a=0，则该方程恰有两个实数解，n=2；③若a=4时，该方程有三个不同的实数根，n=3；④当0＜a＜4，该方程有四个不同的实数根，n=4；⑤当a＞4，该方程有两个不同的实数根，n=2；n的可能取值组合的集合为{0，2，3，4}故答案为：{0，2，3，4}．将方程x2-6x+5 =a的实数解的个数问题转化为函数图象的交点问题，作图分析即得答案．本题考查了根的存在性及根的个数判断．华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．13.【答案】，【解析】解：根据题意，f（x）=x2+ax+4在[1，3 恒有两个不同的不动点，得x=x2+ax+4在[1，3 有两个实数根，即x2+（a-1）x+4=0在[1，3 有两个不同实数根，令g（x）=x2+（a-1）x+4．在[1，3 有两个不同交点，∴，即，解得：a∈[-，-3）；故答案为：[-，-3）．不动点实际上就是方程f（x0）=x0的实数根．二次函数f（x）=x2+ax+4有不动点，是指方程x=x2+ax+4有实根．即方程x=x2+ax+4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，解答该题时，借用了一元二次方程的根的判别式与根这一知识点．14.【答案】[5，+∞）【解析】解：当x＜1时，f（x）=1-x+2m-mx+18-6x=19+2m-（m+7）x，当1≤x＜2时，f（x）=x-1+2m-m，x+18-6x=17+2m-（m+5）x，f（1）=12+m，2≤x＜3时，f（x）=x-1+mx-2m+18-6x=17-2m+（m-5）x，f（2）=7，当x≥3时，f（x）=x-1+m -2m+6x-18=-19-2m+（m+7）x，f（3）=m+2，若函数f（x）= x-1 +m x-2 +6 x-3 在x=2时取得最小值，则解得m≥5，故m的取值范围为[5，+∞），故答案为：[5，+∞），根据条件可得，化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到则解得即可．本题考查了函数最值和绝对值函数，并考查了函数的单调性，属于中档题．15.【答案】-1；（-∞，0 ∪[4，+∞）【解析】解：①函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2-ax+a，其中a∈R，f（-1）=-f（1）=-（1-a+a）=-1；②若f（x）的值域是R，由f（x）的图象关于原点对称，可得当x＞0时，f（x）=x2-ax+a，图象与x轴有交点，可得△=a2-4a≥0，解得a≥4或a≤0，即a的取值范围是（-∞，0 ∪[4，+∞）．故答案为：①-1 ②（-∞，0 ∪[4，+∞）．①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；②由f（x）的图象关于原点对称，以及二次函数的图象与x轴有交点，由判别式不小于0，解不等式即可得到所求范围．本题考查函数的奇偶性的运用，考查函数的值域的应用，注意运用二次函数的性质和对称性，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】，，＜＜，【解析】解：根据题意，函数，其导数g′（x）=（t-1）+=，令h（x）=（t-1）x2+4，令h（x）=0，即（t-1）x2+4=0可得，x2=，分5种情况讨论，①，t＞1时，h（x）=（t-1）x2+4为开口向上的二次函数，在[1，2 上，有h（x）＞0，则有g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，则g（x）在[1，2 上的最大值为g（2）=2（t-1）-=2t-4，②，t=1时，h（x）=4，在[1，2 上，有h（x）＞0，则有g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，则g（x）在[1，2 上的最大值为g（2）=2（t-1）-=2t-4，③，0≤t＜1时，h（x）=（t-1）x2+4为开口向下的二次函数，且h（0）=4，且h（2）=t ＞0，则在[1，2 上，有h（x）＞0，则有g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，则g（x）在[1，2 上的最大值为g（2）=2（t-1）-=2t-4，④，当-3＜t＜0时，h（x）=（t-1）x2+4为开口向下的二次函数，令h（x）=0，即（t-1）x2+4=0可得x=±，有1＜＜2，则有在[1，）上，有h（x）＞0，则有g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，在（，2 上，有h（x）＜0，则有g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，此时g（x）在[1，2 上的最大值为g（）=-4，⑤，当t≤-3时，h（x）=（t-1）x2+4为开口向下的二次函数，令h（x）=0，即（t-1）x2+4=0可得x=±，此时≤1，在[1，2 上，有h（x）＜0，则有g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，此时g（x）在[1，2 上的最大值为g（1）=t-5；综合可得：；故答案为：．根据题意，由函数g（x）的解析式，对其求导可得数g′（x）=（t-1）+=，令h（x）=（t-1）x2+4，结合二次函数的性质，对t分5种情况讨论，每种情况下，分析h（x）的符号，即可得g′（x）的符号，分析可得函数g（x）的单调性，即可得g（x）在区间[1，2 上的最大值，综合即可得答案．本题考查函数最值的计算，涉及函数导数的性质以及应用，注意对进行分类讨论．17.【答案】解：（1）关于x的不等式log2（-2x2+3x+t）＜0，当t=0时，不等式为log2（-2x2+3x）＜0，即0＜-2x2+3x＜1，等价于，解得＜＜＜或＞，即0＜x＜或1＜x＜；∴不等式的解集为（0，）∪（1，）；（2）不等式log2（-2x2+3x+t）＜0有解，∴0＜-2x2+3x+t＜1，化为2x2-3x＜t＜2x2-3x+1；设f（x）=2x2-3x，x∈R，∴f（x）min=f（）=-，且f（x）无最大值；∴实数t的取值范围是（-，+∞）．【解析】（1）t=0时不等式为log2（-2x2+3x）＜0，化为0＜-2x2+3x＜1，求出解集即可；（2）由不等式log2（-2x2+3x+t）＜0有解，得出0＜-2x2+3x+t＜1，化为2x2-3x＜t＜2x2-3x+1；设f（x）=2x2-3x，求出f（x）min即可得出结论．本题考查了对数函数的定义与不等式的解法和应用问题，是中档题．18.【答案】解：（1）∵y=（）2=（1+）2（x＞0）．∴y＞1（2分）由原式有：=，∴x+1=x∴x=（2分）∴f-1（x）=，x∈（1，+∞）（2分）（2）∵（x-1）f-1（x）＞a（a-）∴（x-1）＞a（a-）（x＞0）∴（+1）（-1）＞a（a-）∴+1＞a2-a∴（a+1）＞a2-1（2分）①当a+1＞0即a＞-1时＞a-1对x≥2恒成立-1＜a＜+1②当a+1＜0即a＜-1时＜a-1对x≥2恒成立∴a＞+1此时无解（3分）综上-1＜a＜+1．（1分）a∈，．【解析】（1）从条件中函数式f（x）=（）2=y，（x＞0）中反解出x，再将x，y互换即得f（x）的反函数f-1（x）．（2）利用（1）的结论，将不等式（x-1）f-1（x）＞a（a-）化成（a+1）＞a2-1，下面对a分类讨论：①当a+1＞0；②当a+1＜0．分别求出求实数a的取值范围，最后求它们的并集即可．本小题主要考查反函数、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力．求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．19.【答案】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（5分），第2小题满分（9分）．解：（1）当x=0时，t=0；…（2分）当0＜x＜24时，因为x2+1≥2x＞0，所以＜，…（4分）即t的取值范围是，．…（5分）（2）当∈，时，由（1），令，则∈，，…（1分）所以=，，＜…（3分）于是，g（t）在t∈[0，a时是关于t的减函数，在∈，时是增函数，因为，，由，所以，当时，；当＜时，，即，，＜…（6分）由M（a）≤2，解得．…（8分）所以，当∈，时，综合污染指数不超标．…（9分）【解析】（1）利用取倒数，求导数，确定函数的单调性，可得t的取值范围；（2）分段求出每天的综合放射性污染指数不超过2时a的范围，即可得到结论．本题主要考查了函数模型的选择与应用及分类讨论的思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，∴g（x）=2x；∴f（x）=是奇函数．∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，即=0，∴n=1；∴f（x）=，又由f（1）=-f（-1）知=-，∴m=2；（2）由（1）知f（x）==-=-+易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．又∵f（x）是奇函数，从而不等式：f（t2-2t）+f（2t2-）＞0等价于f（t2-2t）＞-f（2t2-）=f（-2t2），∵f（x）为减函数，∴t2-2t＜-2t2，∴＞3t2-2t=3（t-）2-，∴＞-．【解析】（1）根据指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，即可求出y=g（x）的解析式；由题意知f（0）=0，f（1）=-f（-1），解方程组即可求出m，n的值；（2）由已知易知函数f（x）在定义域f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．我们可将f （t2-2t）+f（2t2- ）＞0转化为＞3t2-2t，根据二次函数的性质即可得到实数的取值范围．本题考查的知识点：待定系数法求指数函数的解析式，函数的奇偶性和函数单调性的性质，体现了转化的思想，考查了运算能力和灵活应用知识分析解决问题的能力，属中档题．21.【答案】解：（1）函数f（x）=x2的定义域为R，由f（x1）+f（x2）=x12+x22，f（x1+x2）=（x1+x2）2=x12+x1x2+x22，f（x1+x2）-f（x1）-f（x2）=-x12+x1x2-x22=-（x1-x2）2＜0，即有f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），则函数f（x）=x2为M中元素；（2）证明：函数f（x）是奇函数，定义域为R，且f（-x）=-f（x），图象关于原点对称，若x＞0时，f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），则x＜0时，f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2），则条件②不满足，则f（x）∉M；（3）证明：设f（x）和g（x）都是M中的元素，当x1，x2对应的点在f（x）或g（x）的图象上，由题设可得结论成立；若x1，x2对应的点一个在f（x）图象上，一个在g（x）的图象上，由f（x1）+g（x2）＞g（x1）+g（x2）＞g（x1+x2），或f（x1）+g（x2）＞f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2），由题设可得结论成立，综上可得F（x）=＜也是M中的元素；比如：f（x）=x2，g（x）=（x+3）2，如x≥-1.5，可得G（x）=x2，x＜-1.5，可得G（x）=（x+3）2，取x1=-2，x2=-1，可得x1+x2=-，G（-）=，f（x1）+f（x2）=+=1，可得f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2），则G（x）不一定为M中的元素．【解析】（1）函数f（x）=x2的定义域为R，运用作差法结合新定义，即可得到结论；（2）运用奇函数的图象关于宇原点对称，即可得证；（3）运用新定义和分类讨论，即可得证；举例f（x）=x2，g（x）=（x+3）2，如x≥-1.5，可得G（x）=x2，x＜-1.5，可得G（x）=（x+3）2，取x1=-2，x2=-1，即可得到结论．本题考查新定义的理解和运用，考查作差法和举反例法，考查推理能力和运算能力，属于中档题．。
复旦大学附属中学2017-2018学所第一学期-数学
复旦大学附属中学2017-2018学所第一学期高一年级数学期末考试试卷（满分：120分 考试时间：100分钟 所有答案都写在答题纸相应位置上） 一、填空题（每题4分，共48分）1．函数()()lg 12+=-x f x x 的定义域为__________。
2．设函数()2211222+≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩x x f x x x x x ，若()3=f x ，则=x __________。
3．已知幂函数()α=f x x 是偶函数，在[)0,+∞上递增的，且满足1122⎛⎫> ⎪⎝⎭f 。
请写出一个满足条件的α的值，α=__________。
4．函数()()01=>+xf x x x 的反函数为()1-=f x __________ 5．函数()212log 23=--y x x 的递增区间是__________6．函数13⎛⎫= ⎪⎝⎭xy 的图像与函数3log =-y x 的图像关于直线__________对称。
7．已知5log 3=a ，57=b ，则用a ，b 的代数式表示63log 105=__________。
8．方程：()()2122log 26log 21+-=++x x x 的解为__________。
9．若函数()()23log =+-f x x ax a 的值域是R ，则实数a 的取值范围是__________10．若函数()232622⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩xx ax x f x x 的值域为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围为__________。
11．已知函数()10lg 0⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩x x f x x x ，若方程()=f x a 有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x 。
则1234+++x x x x 的取值范围为__________。
12．已知函数⑴()3ln =f x x ；⑵()231=+f x x ；⑶()3=x f x e ；⑷()3=f x x。
2017-2018学年上海复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
2017学年复旦附中高一上期中一.填空题1.已知全集U =R ，{1,0,1,2}A =-，2{|}B x x x ==，则U A C B = __________2.命题“如果0a b +>，那么0a >且0b >”的否命题是__________命题（填“真”或“假”）3.已知集合2{|23}A y y x x ==--，2{|213}B y y x x ==-++，则A B = __________4.已知“12a x a ≤≤+”是“1232a x a -<<+”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________5.设M={a,b}，则满足M ∪N ⊆{a,b,c}的非空集合N 的个数为______________．6.函数()f x =的定义域为[2,1]-，则a 的值为__________7.已知函数()(1)23f x m x m =-+-，无论m 取什么实数，函数()f x 的图像始终过一个定点，该定点的坐标为__________8.已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于1，一根小于1，则实数k 的取值范围为__________9.给出下列四个命题：（1）若a b >，c d >，则a d b c ->-；（2）若22a x a y >，则x y >；（3）若a b >，则11a b a >-；（4）110a b <<，则2ab b <.其中正确命题是________.（填所有正确命题的序号）10.若(,2)x ∈-∞，则2542-+-x x x 的最小值为__________11.设函数()2f x x =-，若不等式|(3)|()f x f x m +>+对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是__________12.对于实数A 和正数B ，称满足不等式||x A B -<(,0)A B ∈>R 的实数x 的集合叫做A 的B 邻域，已知t 为给定的正数，a 、b 为正数，若a b t +-的a b +领域是一个关于原点对称的区间，则22a b +的最小值为__________二.选择题13.已知1a ，1b ，2a ，2b R ∈且都不为零，则“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.解析式为221y x =+，值域为{}5,19的函数有A .4 B.6 C.8 D.915.设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：“当2()f x x >成立时，总可以推出2(1)(1)f x x +>+成立”，给出以下四个命题：①若(3)9f ≥，则(4)16f ≥；②若(3)10f =，则(5)25f >；③若(5)25f =，则(4)16f ≤；④若2()(1)f x x ≥+，则2(1)f x x +≥.其中真命题的个数为（）个A.1 B.2 C.3 D.416.设a ，b ，c 为实数，22()()(),()(1)(1),f x x a x bx cg x ax cx bx =+++=+++记集合{}{}|()0,,|()0,,S x f x x R T x g x x R ==∈==∈若{S }，{T }分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A.{S }=1且{T }=0 B.{S }=1且{T }=1 C.{S }=2且{T }=2 D.{S }=2且{T }=3三.解答题17.已知集合2{|(1)320}=-+-=A x m x x ，是否存在这样的实数m ，使得集合A 有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m 的值组成的集合M ；若不存在，请说明理由.18.我校第二教学楼在建造过程中，需建一座长方体形的净水处理池，该长方体的底面积为200平方米，池的深度为5米，如图，该处理池由左右两部分组成，中间是一条间隔的墙壁，池的外围周壁建造单价为400元/平方米，中间的墙壁（不需考虑该墙壁的左右两面）建造单价为100元/平方米，池底建造单价为60元/平方米，池壁厚度忽略不计，问净水池的长AB 为多少时，可使总造价最低？最低价为多少？19.已知a ∈R ，集合26{|0}1x x A x x --=≤+，集合{||2|1}B x x a a =+≤+.（1）求集合A 与集合B ；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.20.已知函数2|1|()4x m f x x +-=-，0m >，满足(2)2f =-.（1）求实数m 的值；（2）在平面直角坐标系中，作出函数()f x 的图像，并且根据图像判断：若关于x 的方程()f x k =有两个不同实数解，求实数k 的取值范围（直接写结论）21.已知M 是满足下列性质的所有函数()f x 组成的集合：对任何12,f x x D ∈（其中f D 为函数()f x 的定义域），均有1212()()||f x f x x x -≤-成立.（1）已知函数2()1f x x =+，11[,]22x ∈-，判断()f x 与集合M 的关系，并说明理由；（2）是否存在实数a ，使得()2a p x x =+，[1,)x ∈-+∞属于集合M ？若存在，求a 的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）对于实数a 、b ()a b <，用[,]a b M 表示集合M 中定义域为区间[,]a b 的函数的集合.定义：已知()h x 是定义在[,]p q 上的函数，如果存在常数0T >，对区间[,]p q 的任意划分：011n n p x x x x q -=<<⋅⋅⋅<<=，和式11|()()|ni i i h x h x T -=-≤∑恒成立，则称()h x 为[,]p q 上的“绝对差有界函数”，其中常数T 称为()h x 的“绝对差上界”，T 的最小值称为()h x 的“绝对差上确界”，符号121n i n i tt t t ==++⋅⋅⋅+∑；求证：集合[1009,1008]M -中的函数()h x 是“绝对差有界函数”，并求()h x 的“绝对差上确界”.2017学年复旦附中高一上期中一.填空题1.已知全集U =R ，{1,0,1,2}A =-，2{|}B x x x ==，则U A C B = __________【答案】{1,2}-【分析】先求出集合B ，再求出U C B ，最后求出U A C B ⋂．【详解】由题意得{}{}2|0,1B x x x ===，∴()()(),00,11,U C B ∞=-⋃⋃+∞，∴{}1,2U A C B ⋂=-．故答案为{}1,2-．【点睛】本题考查集合的运算，解题时根据集合运算的顺序进行求解即可，属于基础题．2.命题“如果0a b +>，那么0a >且0b >”的否命题是__________命题（填“真”或“假”）【答案】真【分析】根据原命题的逆命题和其否命题为等价命题判断命题的真假．【详解】由题意得命题“如果0a b +>，那么0a >且0b >”的逆命题为“如果0a >且0b >，那么0a b +>”，其真命题，所以否命题为真命题．故答案为“真”．【点睛】判断命题的真假时，可通过命题直接进行判断也可通过其等价命题的真假来判断，解题时要根据条件选择合理的方法进行求解．3.已知集合2{|23}A y y x x ==--，2{|213}B y y x x ==-++，则A B = __________【答案】[4,14]-【分析】分别求出集合,A B ，然后再求出A B ⋂即可．【详解】由题意得{}(){}{}22|23|14|4A y y x x y y x y y ==--==--=≥-，{}{}{}22|213|(1)14|14B y y x x y y x y y ==-++==--+=≤，∴[]4,14A B ⋂=-．故答案为[]4,14-．【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键是正确求出集合,A B ，属于简单题．4.已知“12a x a ≤≤+”是“1232a x a -<<+”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________【答案】13a >【分析】将充分不必要条件转化为集合间的包含关系求解可得结论．【详解】设{}1|,|12322A x a x a B x a x a ⎧⎫=≤≤+=-<<+⎨⎬⎩⎭，∵“12a x a ≤≤+”是“1232a x a -<<+”的充分不必要条件，∴A B ，∴1232121322a a a a a a ⎧⎪-<+⎪-<⎨⎪⎪+<+⎩，解得13a >，∴实数a 的取值范围是1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故答案为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】根据充要条件求解参数范围的方法步骤(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系；(2)根据集合关系画数轴或Venn 图，由图写出关于参数的不等式(组)，求解．注意：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．5.设M={a,b}，则满足M ∪N ⊆{a,b,c}的非空集合N 的个数为______________．【答案】4【详解】根据M ∪N ⊆{a ，b ，c}而M 中没有c 元素，所以N 集合中一定要有c 元素，可能有a,b 元素且N 为非空集合，所以N 可以为{c}，{a ，c}，{b ，c}，{a ，b ，c}共4个．故答案为46.函数()f x =的定义域为[2,1]-，则a 的值为__________【答案】2【分析】由题意得不等式()()2213160ax a x -+-+≥的解集为[]2,1-，然后根据“三个二次”间的关系求解即可得到结论．【详解】∵函数()f x =的定义域为[]2,1-，∴不等式()()2213160a x a x -+-+≥的解集为[]2,1-，∴2,1x x =-=是方程()()2213160a x a x -+-+=的两个根，∴()()()()2241616013160a a a a ⎧---+=⎪⎨-+-+=⎪⎩，整理得2223203100a a a a ⎧--=⎨+-=⎩，解得2a =．故答案为2．【点睛】本题以函数的定义域为载体，考查一元二次方程、二次函数、二次不等式间的关系，解题的关键是根据题意得到方程的两根，然后再根据方程的有关概念求出a 的值，考查转化能力和运算能力，属于基础题．7.已知函数()(1)23f x m x m =-+-，无论m 取什么实数，函数()f x 的图像始终过一个定点，该定点的坐标为__________【答案】()2,1--【分析】将函数解析式变形为()230x m x y +---=，然后令20x +=且30x y ---=，求得方程组的解后即可定点的坐标．【详解】由()123y m x m =-+-变形得()230x m x y +---=，解方程组2030x x y +=⎧⎨---=⎩得21x y =-⎧⎨=-⎩，所以函数()f x 的图象过的定点的坐标为()2,1--．故答案为()2,1--．【点睛】本题考查一次函数的图象过定点的问题，解题时可把函数解析式化为(,)(,)0kf x y g x y +=（k 为参数）的形式，则以方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩的解为坐标的点即为定点．8.已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于1，一根小于1，则实数k 的取值范围为__________【答案】(3,1)-【分析】根据一元二次方程根的分布求解，令()224f x x kx k k =+++-，则有()10f <，解不等式可得所求范围．【详解】令()224f x x kx k k =+++-，∵方程的一个实数根大于1，另一个实数根小于1，∴()21140f k k k =+++-<，即2230k k +-<，解得31k -<<，∴实数k 的取值范围为()3,1-．故答案为()3,1-．【点睛】本题考查根据方程根的情况求参数的取值范围，解题时根据方程根的分布将问题转化为不等式求解，体现了转化和数形结合的思想方法在解题中的应用．9.给出下列四个命题：（1）若a b >，c d >，则a d b c ->-；（2）若22a x a y >，则x y >；（3）若a b >，则11a b a>-；（4）110a b <<，则2ab b <.其中正确命题是________.（填所有正确命题的序号）【答案】（1）（2）（4）【分析】根据不等式的性质，以及特殊值验证，逐项判断，即可得出结果.【详解】（1）若a b >，c d >，则a c b d +>+，因此a d b c ->-，即（1）正确；（2）若22a x a y >，根据不等式性质，可得x y >；即（2）正确；（3）若1a =，1b =-，满足a b >，但不满足11a b a>-；（3）错误；（4）若110a b <<，则0b a <<，因此()20ab b b a b -=-<，即2ab b <；故（4）正确；故答案为：（1）（2）（4）【点睛】本题主要考查判定命题的真假，考查由不等式性质判定所给结论是否正确，属于基础题型.10.若(,2)x ∈-∞，则2542-+-x x x的最小值为__________【答案】2【分析】将原式变形后根据基本不等式求解．【详解】∵2x <，∴20x ->．由题意得2254(2)11==(2)+2222x x x x x x x -+-+-≥=---，当且仅当122x x-=-，即1x =时等号成立．∴2542x x x-+-的最小值为2.故答案为2.【点睛】应用基本不等式求最值时一定要注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可，当不满足不等式使用的条件时，可通过适当的变形使得出现定值的形式，这是解题中常遇到的情形．11.设函数()2f x x =-，若不等式|(3)|()f x f x m +>+对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是__________【答案】3m <-【分析】12x x +--表示数轴上的x 对应点到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离，其最小值为-3，故有m<-3，由此求得m 的取值范围．【详解】∵()2f x x =-，不等式()()3f x f x m +>+对任意实数x 恒成立，∴12m x x <+--对任意实数x 恒成立，又12x x +--表示数轴上的x 对应点到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离，∴123x x +--≥-，∴3m <-，∴实数m 的取值范围是(),3-∞-．故答案为(),3-∞-．【点睛】本题考查恒成立问题，解题的关键是根据绝对值的几何意义求出12x x +--的最小值，考查转化和数形结合思想的运用能力．12.对于实数A 和正数B ，称满足不等式||x A B -<(,0)A B ∈>R 的实数x 的集合叫做A 的B 邻域，已知t 为给定的正数，a 、b 为正数，若a b t +-的a b +领域是一个关于原点对称的区间，则22a b +的最小值为__________【答案】22t 【分析】先根据条件求出()2t x a b t -<<+-；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到a b t +=，最后结合不等式的知识可求出22a b +的最小值．【详解】∵A 的B 邻域在数轴上表示以A 为中心，B 为半径的区域，∴()x a b t a b -+-<+，∴()a b x a b t a b --<-+-<+，解得()2t x a b t -<<+-．∵邻域是一个关于原点对称的区间，∴()220a b t +-=，∴a b t +=．∵222a b ab +≥，∴()()22222222a ba b ab a b t +≥++=+=，∴2222t a b +≥，当且仅当a b =时等号成立，∴22a b +的最小值为22t ．故答案为22t ．【点睛】本题以新概念为载体考查重要不等式的应用，考查变换能力和阅读理解能力．解题的关键是根据题意得到a b t +=这一结论，然后再通过变形得到所求的最小值．二.选择题13.已知1a ，1b ，2a ，2b R ∈且都不为零，则“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质进行判断即可.【详解】若1122a b a b =，取111a b ==，221a b ==-，则10x +>与10x -->的解集不同，所以“1122a b a b =”不是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的充分条件；若1a ，1b ，2a ，2b R ∈且都不为零，且110a x b +>与220a x b +>的解集相同，此时必有1212b b a a -=-，所以1122a b a b =成立，所以“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的必要条件.综上，“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于常考题.14.解析式为221y x =+，值域为{}5,19的函数有A.4B.6C.8D.9【答案】D【分析】根据y 的值求出相应的x 的值，再根据函数的有关概念得到定义域的不同形式，进而可得结论．【详解】由2215x +=，解得x =；由22119x +=，解得3x =±．所以函数的定义域可为}}{}{}{}{},3,,3,,3,----{}}{}3,3,3,3,3,3---，共9种情况．故选D ．【点睛】本题考查函数的概念，考查分析理解问题的能力，解题的关键是深刻理解函数的概念，根据对应关系求出x 的取值，然后再根据定义域中元素的个数确定出函数定义域的不同情形．15.设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：“当2()f x x >成立时，总可以推出2(1)(1)f x x +>+成立”，给出以下四个命题：①若(3)9f ≥，则(4)16f ≥；②若(3)10f =，则(5)25f >；③若(5)25f =，则(4)16f ≤；④若2()(1)f x x ≥+，则2(1)f x x +≥.其中真命题的个数为（）个A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】根据题意对给出的四个命题分别进行分析、排除后可得正确的结论．【详解】对于①，由于f(3)=9时，可以使得f(4)<16，这并不与题设矛盾，所以当f(3)≥9时，由题设不一定得到f(4)≥16成立，所以①为假命题．对于②，∵f(3)=10>9，∴f(4)>4²，∴f(5)>5²=25，所以②为真命题；对于③，若f(4)>16，则f(5)>25，这与f(5)=25矛盾，所以f(4)≤16，所以③为真命题；对于④，∵f(x)≥(x+1)²>x ²，∴f(x+1)>(x+1)²>x ²，即有f(x+1)≥x²，所以④为真命题．综上可得②③④为真命题．故选C ．【点睛】本题考查推理论证能力，解题的关键是根据条件“当()2f x x >成立时，总可以推出()()211f x x +>+成立”进行判断，注意解题方法的选择，如直接推理、利用反证法判断等．16.设a ，b ，c 为实数，22()()(),()(1)(1),f x x a x bx cg x ax cx bx =+++=+++记集合{}{}|()0,,|()0,,S x f x x R T x g x x R ==∈==∈若{S }，{T }分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A.{S }=1且{T }=0B.{S }=1且{T }=1C.{S }=2且{T }=2D.{S }=2且{T }=3【答案】D【详解】∵2()()(),f x x a x bx c =+++当()0f x =时至少有一个根x a =-，当240b c -=时，()0f x =还有一根2b x =-，只要b ≠﹣2a ，()0f x =就有2个根；当b =﹣2a ，()0f x =是一个根当240b c -<时，()0f x =只有一个根；当240b c ->时，()0f x =只有二个根或三个根；当a =b =c =0时{S }=1，{T }=0当a ＞0，b =0，c ＞0时，{S }=1且{T }=1当a =c =1，b =﹣2时，有{S }=2且{T }=2故选：D 三.解答题17.已知集合2{|(1)320}=-+-=A x m x x ，是否存在这样的实数m ，使得集合A 有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m 的值组成的集合M ；若不存在，请说明理由.【答案】11,8M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭【分析】若集合A 有且仅有两个子集，则A 有且仅有一个元素，即方程()21320m x x -+-=只有一个根，进而可得答案【详解】存在11,8M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭满足条件．理由如下：若集合A 有且仅有两个子集，则A 有且仅有一个元素，即方程()21320m x x -+-=只有一个根，①当10m -=，即=1m 时，由320x -=，解得23x =，满足题意．②当10m -≠，由A 有且仅有一个元素得()10Δ=9+81=0m m -≠-⎧⎨⎩，解得18m =-．综上可得=1m 或18m =-，∴所有的m 的值组成的集合11,8M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题考查集合元素个数的问题，考查分析问题的能力，解题的关键是由题意得到方程根的个数，然后通过对方程类型的分类讨论得到所求的参数．18.我校第二教学楼在建造过程中，需建一座长方体形的净水处理池，该长方体的底面积为200平方米，池的深度为5米，如图，该处理池由左右两部分组成，中间是一条间隔的墙壁，池的外围周壁建造单价为400元/平方米，中间的墙壁（不需考虑该墙壁的左右两面）建造单价为100元/平方米，池底建造单价为60元/平方米，池壁厚度忽略不计，问净水池的长AB 为多少时，可使总造价最低？最低价为多少？【答案】15AB =时，总造价最低为132000元.【分析】设AB 的长为x 米，进而得到宽BC 为200x 米，根据题意得到总造价的表达式，然后根据基本不等式求出造价的最小值即可．【详解】设AB 的长为x 米，则宽BC 为200x 米，由题意得总造价为200200400(22)5100560200y x x x =+⨯⨯+⨯⨯+⨯450(2)12000x x=++12000≥+132000=，当且仅当4502x x=，即15x =时等号成立．所以当净水池的长15AB =米时，可使总造价最低，最低价为132000元．【点睛】基本不等式为求最值提供了工具，在利用基本不等式求最值时，一定要注意使用基本不等式的条件，即“一正二定三相等”，且三个条件缺一不可，当题目中不满足使用不等式的条件时，则需经过变形得到所需要的形式及条件．19.已知a ∈R ，集合26{|0}1x x A x x --=≤+，集合{||2|1}B x x a a =+≤+.（1）求集合A 与集合B ；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(,2](1,3]A =-∞-⋃-，当1a >-，[31,1]B a a =---+，当1a =-，{2}B =，当1a <-，B =∅；（2）(,0)[3,)-∞⋃+∞.【分析】（1）解不等式得出集合A 、B ；（2）根据A∩B=B 得出B ⊆A ，讨论B=∅和B≠∅时，求出满足条件的实数a 的取值范围．【详解】（1）由题意得()()(](]2236|0|0,21,311x x x x A x x x x ⎧⎫+-⎧⎫--=≤=≤=-∞-⋃-⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭．当10a +<，即1a <-时，B =∅；当10a +=，即1a =-时，{}2B =；当10a +>，即1a >-时，{}[]|12131,1B x a x a a a a =--≤+≤+=---+．（2）∵A B B ⋂=，∴B ⊆A ．①当1a <-时，B =∅，满足B ⊆A ；②当1a =-时，{}2B =，满足B ⊆A ；③当1a >-时，[]31,1B a a =---+，由B ⊆A 得31113a a -->-⎧⎨-+≤⎩或12a -+≤-，解得20a -≤<或3a ≥，又1a >-，∴10a -<<或3a ≥．综上可得0a <或3a ≥，∴实数a 的取值范围为()[),03,-∞⋃+∞．【点睛】根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，一般要借助于数轴进行求解，根据集合端点值的大小关系转化为不等式（组）求解，解题时要注意不等式中的等号是否成立，这是解题中容易出现错误的地方．20.已知函数2|1|()4x m f x x +-=-，0m >，满足(2)2f =-.（1）求实数m 的值；（2）在平面直角坐标系中，作出函数()f x 的图像，并且根据图像判断：若关于x 的方程()f x k =有两个不同实数解，求实数k 的取值范围（直接写结论）【答案】（1）1m =；（2）图象见解析，()2,0-.【分析】（1）直接由f （2）=-2求得m 的值；（2）把m 值代入函数解析式，写出分段函数，根据函数的单调性作出图象，然后利用数形结合即可求得使关于x 的方程f （x ）=k 有两个不同实数解的实数k 的取值范围．【详解】（1）∵()214x m f x x +-=-，0m >，且()22f =-，∴221224m +-=--，即12m +=，解得1m =或3m =-，又0m >，∴1m =．（2）由（1）得()2,042424,04x x x x x f x x x x x ⎧≥≠⎪⎪-==⎨-⎪-<⎪-⎩且，当04x x ≥≠且时，()22(4)882444x x f x x x x -+===+---，∴函数()f x 在[0,4)和(4,)+∞上为减函数；当0x <时，()22(4)882444x x f x x x x -+=-=-=-----，∴函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，且()()200f x f -<<=．画出函数图象如下图：由图可知，要使关于x 的方程()f x k =有两个不同实数解，则20k -<<，∴实数k 的取值范围是()2,0-．【点睛】（1）描点法画函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质，即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)等；④描点连线，画出函数的图象．（2）利用函数图象确定方程或不等式的解，形象直观，体现了数形结合思想，解题的关键是正确的作出函数的图象．21.已知M 是满足下列性质的所有函数()f x 组成的集合：对任何12,f x x D ∈（其中f D 为函数()f x 的定义域），均有1212()()||f x f x x x -≤-成立.（1）已知函数2()1f x x =+，11[,]22x ∈-，判断()f x 与集合M 的关系，并说明理由；（2）是否存在实数a ，使得()2a p x x =+，[1,)x ∈-+∞属于集合M ？若存在，求a 的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）对于实数a 、b ()a b <，用[,]a b M 表示集合M 中定义域为区间[,]a b 的函数的集合.定义：已知()h x 是定义在[,]p q 上的函数，如果存在常数0T >，对区间[,]p q 的任意划分：011n n p x x x x q -=<<⋅⋅⋅<<=，和式11|()()|ni i i h x h x T -=-≤∑恒成立，则称()h x 为[,]p q 上的“绝对差有界函数”，其中常数T 称为()h x 的“绝对差上界”，T 的最小值称为()h x 的“绝对差上确界”，符号121n i n i tt t t ==++⋅⋅⋅+∑；求证：集合[1009,1008]M -中的函数()h x 是“绝对差有界函数”，并求()h x 的“绝对差上确界”.【答案】（1）()f x 属于集合M ；（2）[1,1]-；（3）略.【分析】（1）利用已知条件，通过任取1211,,22x x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，证明()()1212f x f x x x -≤-成立，说明f （x ）属于集合M ．（2）若p （x ）∈M ，则有121222a a x x x x -≤-++，然后可求出当[]1,1a ∈-时，p （x ）∈M ．（3）直接利用新定义加以证明，并求出h （x ）的“绝对差上确界”T 的值．【详解】（1）设1211,,22x x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()()2212121212f x f x x x x x x x -=-=-+，∵121111,2222x x -≤≤-≤≤，∴1211x x -≤+≤，∴1201x x ≤+≤∴()()221212121212f x f x x x x x x x x x -=-=-+≤-，∴函数()f x 属于集合M ．（2）若函数()2a p x x =+，[)1,x ∈-+∞属于集合M ，则当[)12,1,x x ∈-+∞时，()()1212p x p x x x -≤-恒成立，即121222a a x x x x -≤-++对[)12,1,x x ∈-+∞恒成立，∴12(2)(2)a x x ≤++对[)12,1,x x ∈-+∞恒成立．∵[)12,1,x x ∈-+∞，∴12(2)(2)1x x ++≥，∴||1a ≤，解得11a -≤≤，∴存在实数a ，使得()2a p x x =+，[)1,x ∈-+∞属于集合M ，且实数a 的取值范围为[1,1]-．（3）取1009,1008p q =-=，则对区间[]1009,1008-的任意划分：01110091008n n x x x x --=<<⋅⋅⋅<<=，和式()()()()()()()()1110211i i i n n n h x h x h x h x h x h x h x h x =--∑-=-+-++-10211n n x x x x x x -≤-+-++- 10211=()()()n n x x x x x x --+-++- 0n x x =-1008(1009)=--2017=，∴集合[]1009,1008M -中的函数()h x 是“绝对差有界函数”，且()h x 的“绝对差上确界”2017T =．【点睛】本题考查新信息问题，考查阅读理解和应用能力，具有一定的综合性，解题的关键是弄懂给出的定义，解题时始终要围绕着给出的定义进行验证、求解等．。
【精品】2015-2016年上海市复旦大学附中高一(上)期末数学试卷带解析
2015-2016学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．（4.00分）函数的定义域为．2．（4.00分）设f（x）=，若f（x）=3，则x=．3．（4.00分）已知幂函数f（x）=xα是偶函数，在[0，+∞）上递增的，且满足．请写出一个满足条件的α的值，α=．4．（4.00分）函数的反函数为f﹣1（x）=．5．（4.00分）函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间为．6．（4.00分）函数的图象与函数y=﹣log3x的图象关于直线对称．7．（4.00分）已知log53=a，5b=7，则用a，b的代数式表示log63105=．8．（4.00分）方程：的解为．9．（4.00分）若函数的值域是R，则实数a的取值范围是．10．（4.00分）若函数的值域为[﹣2，+∞），则实数a的取值范围为．11．（4.00分）已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的实根x1，x2，x3，x4．则x1+x2+x3+x4的取值范围为．12．（4.00分）已知函数（1）f（x）=3lnx；（2）f（x）=3x2+1；（3）f（x）=3e x；（4）．其中满足对于任意x1∈D（其中D为函数的定义域），相应地存在唯一的x∈D，使的函数的序号为．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4.00分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=2|x|C．D．y=x314．（4.00分）若0＜a＜1，b＜﹣1，则函数f（x）=a x+b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．（4.00分）已知a，b，c均大于1，且log a c•log b c=4，则下列各式中，一定正确的是（）A．ac≥b B．ab≥c C．bc≥a D．ab≤c16．（4.00分）定义在实数集R上函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x）．若函数y=f （﹣x）的反函数是y=f﹣1（﹣x），则y=f（﹣x）是（）A．是奇函数，不是偶函数B．是偶函数，不是奇函数C．既是奇函数数，又是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数三、解答题17．（8.00分）已知函数f（x）=lg（x+1），解关于x的不等式0＜f（1﹣2x）﹣f （x）＜1．18．（10.00分）已知实数a＞0，且函数为奇函数．判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明．19．（12.00分）已知函数f（x）=，其中a∈R．（1）若a=0，解不等式f（x）≥；（2）已知函数y=f（x）存在反函数，其反函数记为y=f﹣1（x）．若关于x的不等式：f﹣1（4﹣a）≤f（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．20．（12.00分）若函数f（x）满足：对于其定义域D内的任何一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数f（x）在D上封闭．（1）若下列函数的定义域为D=（0，1），试判断其中哪些在D上封闭，并说明理由．f1（x）=2x﹣1，f2（x）=2x﹣1．（2）若函数g（x）=的定义域为（1，2），是否存在实数a，使得g（x）在其定义域（1，2）上封闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．（3）已知函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．若x0∈D且f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．21．（14.00分）设定义在R上的函数f（x）、f1（x）和f2（x），满足f（x）=f1（x）+f2（x），且对任意实数x1、x2（x1≠x2），恒有|f1（x1）﹣f1（x2）|＞|f2（x1）﹣f2（x2）|成立．（1）试写出一组满足条件的具体的f1（x）和f2（x），使f1（x）为增函数，f2（x）为减函数，但f（x）为增函数．（2）判断下列两个命题的真假，并说明理由．命题1）：若f1（x）为增函数，则f（x）为增函数；命题2）：若f2（x）为增函数，则f（x）为增函数．（3）已知f（x）=x3+x2+x+1，写出一组满足条件的具体的f1（x）和f2（x），且f2（x）为非常值函数，并说明理由．2015-2016学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共48分）1．（4.00分）函数的定义域为{x|x＞﹣1且x≠2} ．【解答】解：由，解得：x＞﹣1且x≠2．∴函数的定义域为{x|x＞﹣1且x≠2}．故答案为：{x|x＞﹣1且x≠2}．2．（4.00分）设f（x）=，若f（x）=3，则x=．【解答】解：当x≤﹣1时，即x+2=3，解得x=1（舍去）当﹣1＜x＜2时，即x2=3，解得x=，或x=﹣（舍去）当x≥2时，即2x=3，解得x=（舍去）故当f（x）=3，则x=故答案为：3．（4.00分）已知幂函数f（x）=xα是偶函数，在[0，+∞）上递增的，且满足．请写出一个满足条件的α的值，α=．【解答】解：根据幂函数f（x）=xα是偶函数，在[0，+∞）上递增的，知α＞0，且α为偶数；又满足．所以α＜1；写出一个满足条件的α值，则α=即可．故答案为：．4．（4.00分）函数的反函数为f﹣1（x）=，（x∈（0，1））．【解答】解：由y=，解得x=＞0，解得0＜y＜1，因此f（x）的反函数为f﹣1（x）=，（x∈（0，1））．故答案为：，（x∈（0，1））．5．（4.00分）函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）．【解答】解：函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}令t=x2﹣2x﹣3，则y=因为y=在（0，+∞）单调递减t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1）故答案为：（﹣∞，﹣1）6．（4.00分）函数的图象与函数y=﹣log3x的图象关于直线y=x对称．【解答】解：∵y=﹣log 3x=log x，∴同底的指数函数和对数函数互为反函数，则图象关于y=x对称，故答案为：y=x7．（4.00分）已知log53=a，5b=7，则用a，b的代数式表示log63105=．【解答】解：∵log53=a，5b=7，∴=a，b=log57=，∴lg3=alg5，lg7=blg5，∴log63105===．故答案为：．8．（4.00分）方程：的解为{log23} ．【解答】解：由22x+1﹣6＞0，得2×4x＞6，即4x＞3，则方程等价为=log22x+log2（2x+1）=log22x（2x+1），即22x+1﹣6=2x（2x+1），即2（2x）2﹣6=（2x）2+2x，即（2x）2﹣2x﹣6=0，则（2x+2）（2x﹣3）=0，则2x﹣3=即2x=3，满足4x＞3，则x=log23，即方程的解为x=log23，故答案为：{log23}9．（4.00分）若函数的值域是R，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．【解答】解：∵函数的值域是R，∴其真数函数g（x）=x2+ax﹣a的函数值应该能够取遍所有正数，∴函数y=g（x）的图象应该与x轴相交即△=a2+4a≥0解得a≤﹣4或a≥0．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．10．（4.00分）若函数的值域为[﹣2，+∞），则实数a的取值范围为[﹣2，] ．【解答】解：∵函数的值域为[﹣2，+∞），当x≥2时，f（x）=﹣6+2x≥﹣2．当x＜2，f（x）=x2﹣ax+3=（x﹣）2+3﹣，当=2时，f（x）=（x﹣）2+3﹣≥3﹣≥﹣2，解得﹣2≤a≤2，a=4∈[﹣2，2]，故a=4成立；当＜2时，f（x）=（x﹣）2+3﹣≥3﹣≥﹣2，解得﹣2≤a＜4．当＞2时，f（x）=（x﹣）2+3﹣≥（2﹣）2+3﹣≥﹣2，解得4＜a．综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，]．故答案为：[﹣2，]．11．（4.00分）已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的实根x1，x2，x3，x4．则x1+x2+x3+x4的取值范围为（，9）．【解答】解：作函数的图象如下，方程f（x）=a有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，结合图象，A，B，C，D的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，故x1+x2=﹣2，x3∈（，1），x4∈（1，10），故x3+x4∈（，11），∴x1+x2+x3+x4∈（，9），故答案为：（，9）．12．（4.00分）已知函数（1）f（x）=3lnx；（2）f（x）=3x2+1；（3）f（x）=3e x；（4）．其中满足对于任意x1∈D（其中D为函数的定义域），相应地存在唯一的x∈D，使的函数的序号为（3）、（4）．【解答】解：根据题意可知：对于（1），函数f（x）=3lnx，x=1时，lnx没有倒数，不成立；对于（2），函数f（x）=3x2+1，当x 1=0时，存在x2=±使得使，故不符合题意；对于（3），函数f（x）=3e x，对任意一个自变量x，函数f（x）都有倒数，且使成立；对于（4），函数f（x）=，对定义域内的任意一个自变量x，函数f（x）都有倒数，且使成立；所以成立的函数序号为（3）、（4）．故答案为：（3）、（4）．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4.00分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=2|x|C．D．y=x3【解答】解：对于A，函数是奇函数，不满足；对于B，是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递增，不满足；对于C，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减，满足；对于D，函数是奇函数，不满足，故选：C．14．（4.00分）若0＜a＜1，b＜﹣1，则函数f（x）=a x+b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：函数f（x）=a x（0＜a＜1）的是减函数，图象过定点（0，1），在x 轴上方，过一、二象限，函数f（x）=a x+b的图象由函数f（x）=a x的图象向下平移|b|个单位得到，∵b＜﹣1，∴|b|＞1，∴函数f（x）=a x+b的图象与y轴交于负半轴，如图，函数f（x）=a x+b的图象过二、三、四象限．故选：A．15．（4.00分）已知a，b，c均大于1，且log a c•log b c=4，则下列各式中，一定正确的是（）A．ac≥b B．ab≥c C．bc≥a D．ab≤c【解答】解：∵a、b、c均大于1，log a c•log b c=4，∴log c a•log c b=，∴log c a、log c b大于零，则log c a•log c b≤（log c a+log c b）2，即≤（log c a+log c b）2，∴（log c a+log c b）2≥1，∴（log c ab）2≥1，∴log c ab≥1或log c ab≤﹣1，当且仅当log c a=log c b，即a=b时取等号，∵a、b、c均大于1，∴log c ab＞1，解得ab≥c，故选：B．16．（4.00分）定义在实数集R上函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x）．若函数y=f （﹣x）的反函数是y=f﹣1（﹣x），则y=f（﹣x）是（）A．是奇函数，不是偶函数B．是偶函数，不是奇函数C．既是奇函数数，又是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数【解答】解：函数y=f（﹣x）的反函数是y=f﹣1（﹣x）=﹣f﹣1（x），关于原点对称，∴y=f（﹣x）是奇函数，故选：A．三、解答题17．（8.00分）已知函数f（x）=lg（x+1），解关于x的不等式0＜f（1﹣2x）﹣f （x）＜1．【解答】解：∵函数f（x）=lg（x+1），∴不等式0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1可化为0＜lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）＜1，即；化简得，即，解得即﹣＜x＜；∴原不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．18．（10.00分）已知实数a＞0，且函数为奇函数．判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明．【解答】解：∵函数为奇函数，实数a＞0，∴有f（0）=0，即=0，解可得a=1，∴f（x）=；f（x）=1﹣理由：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=，∵x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）是增函数．19．（12.00分）已知函数f（x）=，其中a∈R．（1）若a=0，解不等式f（x）≥；（2）已知函数y=f（x）存在反函数，其反函数记为y=f﹣1（x）．若关于x的不等式：f﹣1（4﹣a）≤f（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=0时，，∵，∴当x≥0时，f（x）=x2，解得x≥；当x＜0时，f（x）=，解得﹣2≤x＜0；综上，不等式的解集为{x|﹣2≤x＜0或x≥}；（2）若函数y=f（x）存在反函数，则函数f（x）在R为单调函数，则a≥1，此时函数f（x）在R为单调递增函数，x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）=a；此时f﹣1（x）=在（0，+∞）上也为增函数，若关于x的不等式：f﹣1（4﹣a）≤f（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，则，当0＜4﹣a＜1，即3＜a＜4时，log2（4﹣a）≤a恒成立，当4﹣a≥1，即1≤a≤3时，解：得：﹣1+≤a≤2综上可得：a∈[﹣1+，2]∪（3，4）．20．（12.00分）若函数f（x）满足：对于其定义域D内的任何一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数f（x）在D上封闭．（1）若下列函数的定义域为D=（0，1），试判断其中哪些在D上封闭，并说明理由．f1（x）=2x﹣1，f2（x）=2x﹣1．（2）若函数g（x）=的定义域为（1，2），是否存在实数a，使得g（x）在其定义域（1，2）上封闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．（3）已知函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．若x0∈D且f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．【解答】解：（1）在f1（x）=2x﹣1中，对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f1（x0）∈（﹣1，1）∉D1，故函数f1（x）=2x﹣1在D1上不封闭；在f2（x）=2x﹣1中，2x﹣1∈（0，1），在D1上封闭．（2）g（x）=的定义域为（1，2），对称中心为（﹣2，5），当a+10＞0时，函数g（x）=在D2上为增函数，只需，解得a=2当a+10＜0时，函数g（x）=在D2上为减函数，只需，解得a∈∅综上，所求a的值等于2．证明：（3）∵函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．x0∈D且f（f（x0））=x0，∴根据单调函数性质f（x0）∈D，则有唯一的x0∈D，∴f（x0）=x0．21．（14.00分）设定义在R上的函数f（x）、f1（x）和f2（x），满足f（x）=f1（x）+f2（x），且对任意实数x1、x2（x1≠x2），恒有|f1（x1）﹣f1（x2）|＞|f2（x1）﹣f2（x2）|成立．（1）试写出一组满足条件的具体的f1（x）和f2（x），使f1（x）为增函数，f2（x）为减函数，但f（x）为增函数．（2）判断下列两个命题的真假，并说明理由．命题1）：若f1（x）为增函数，则f（x）为增函数；命题2）：若f2（x）为增函数，则f（x）为增函数．（3）已知f（x）=x3+x2+x+1，写出一组满足条件的具体的f1（x）和f2（x），且f2（x）为非常值函数，并说明理由．【解答】解：（1）根据题意，设函数f1（x）=3x为（0，+∞）上的增函数，f2（x）=﹣2x为（0，+∞）减函数，则f（x）=3x﹣2x是（0，+∞）上的单调增函数；（2）命题1）：若f1（x）为增函数，则f（x）为增函数，是真命题；理由是：设x1＜x2由y=f1（x）是区间D上的增函数可得f1（x1）＜f1（x2）①若f2（x）为单调递增或常函数，则y=F（x）是区间D上的增函数②若函数f2（x1）＞f2（x2），则由|f1（x1）﹣f1（x2）|＞|f2（x1）﹣f2（x2）|可得，﹣f1（x1）+f1（x2）＞f2（x1）﹣f2（x2）∴f1（x1）+f2（x1）＜f1（x2）+f2（x2），即f（x1）＜f（x2）；综上，函数f（x）为单调递增函数；命题2）：若f2（x）为增函数，则f（x）为增函数，是假命题；如函数f1（x）=﹣3x为减函数，f2（x）=2x为增函数，但f（x）=2x﹣3x不是单调递增函数；（3）由f（x）=x3+x2+x+1，令f1（x）=x3，为定义域R上的增函数，f2（x）=x2+x+1，且f2（x）为非常值函数，则f′（x）=3x2+2x+1=3+＞0，所以f（x）是定义域R上的增函数．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠DAB=∠BCD=90°， （1）若AB =3，BC +CD =5，求四边形ABCD 的面积（2）若p = BC +CD ，四边形ABCD 的面积为S ，试探究S 与p 之间的关系。
上海市2018-2019学年复旦附中高一上期末数学期末试卷
2018学年复旦附中高一年级第一学期期末试卷2019.1一、填空题1.（19复旦附中高一期末1）()1x f x a -=（0a >且1a ≠）的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________. 答案：（-1,1）2. （19复旦附中高一期末2）函数y ______. 答案： (],6-∞3.（19复旦附中高一期末3）研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220x x y x -=⋅+≥.经过__________分钟，该物质温度为5摄氏度. 答案：13. （19复旦附中高一期末4）函数()()34,1log ,1aa x a x f x x x ⎧--<⎪=⎨≥⎪⎩是定义在R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是________. 答案：（1.3）5.（19复旦附中高一期末5）函数()()1224174f x x x =-+的单调递增区间是__________.答案：[)4,+∞6.（19复旦附中高一期末6）函数0.52log 1x y x =-的零点个数为_________个. 答案：27. （19复旦附中高一期末7）若函数()()()22lg 111f x a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________. 答案： 53a >或1a ≤8.（19复旦附中高一期末8）已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫⎪⎝⎭=________. 答案：19.（19复旦附中高一期末9）当lg lg ,a b a b =<时，则2a b +的取值范围是_________.答案： ()3,+∞10.（19复旦附中高一期末10）函数()142xf x =-的图像关于点__________成中心对称. 答案：（2,0）11.（19复旦附中高一期末11）设{}()()()21,1112,121M y y x N y y x m x x m -⎧⎫⎛⎫====--+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是________.答案：（-1,0）12.（19复旦附中高一期末12）已知函数()241f x ax x =++，若对任意()(),0x R f f x ∈≥恒成立，实数a 的取值范围是_________. 答案： [)3,+∞二、选择题13.（19复旦附中高一期末13）下列四组函数中，不是互为反函数的是（） A. 3y x -=和13y x -=B. 23y x =和()320y xx =≥C. ()20x y x =>和()2log 1y x x =>D. ()()lg 11y x x =->和101x y =+答案：B14.（19复旦附中高一期末14）“1a >”是“函数()()1x f x a a =-⋅是单调递增”的（）A 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 充要条件D.既非充分也非必要条件答案：A15.（19复旦附中高一期末15）下列四个函数中，图像如图所示的只能是（） A. lg y x x =+ B. lg y x x =-+ C. lg y x x =-D. lg y x x =--答案：C16.（19复旦附中高一期末16）已知n m <，函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m ----≤≤⎧⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[-1,1]有下列结论：①当0n =时，(]0,2m ∈；②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈；④当10,2n ⎡⎫∉⎪⎢⎣⎭时(],2m n ∈ A. ①② B.①③ C.②③ D.③④答案：C 三、解答题17.（19复旦附中高一期末17）已知幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈是奇函数，且()()12f f <. （1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()2121log log 2,,22y f x f x x ⎡⎤=+∈⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦的值域.答案：（1）()30,m f x x == （2）5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18.（19复旦附中高一期末18）已知函数()()2log ,f x x a a =+为常数，()g x 是定义在[-1,1]上的奇函数.（1）当2a =时，满足()1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()f x 的反函数()1g x -.答案：（1）()32,0,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭（2）()[][]1210,1121,0x xx g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩ 19.（19复旦附中高一期末19）如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中.钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率=-输入该对的钢带厚度输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧拖，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在刚带上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算123,,L L L . 答案：（1）11 （2）1233125,2500,2000L L L ===20.（19复旦附中高一期末20）已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数）（1）判断函数()2x y f =的奇偶数；（2）若不等式()2122++42x x f <在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围； （3）设()11x g x x -=+，是否存在整数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数,,m n p ，都存在以()()(),,f g x f g n f f p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由.答案：（1）1a =，偶函数；1a =-，奇函数；1a ≠±，非奇非偶函数 （2）（-3,3）（3）5155,,3153⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21.（19复旦附中高一期末21）函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数,x y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=.（1）证明：()01f =； （2）比较()11,,122f ff ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭大小，并说明理由； （3）对任意的*,,x y Q x y ∈<，判断()(),f x f y 的大小关系，并说明理由. 答案：（1）略（2）()11122f f f ⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）()()f x f y <。
【全国百强校】上海复旦大学附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2017学年复旦附中高一上期中填空题1.已知全集U=R, A={T,0,l,2}, B = {x|x2 = x},则A A =【答案】{-1,2}【解析】【分析】先求出集合B,再求出CuB,最后求出AHCuB.【详解】由题意得B={X|X2= X}=(0.1},■,- CuB = (.")u((M)u(]. + s),.•.AnCyBT-1,2}.故答案为{-1.2).【点晴】本题考査集合的运算，解题时根据集合运算的顺序进行求解即可，属于基础題.2.命题“如果a + b>0,那么a>0且b>0”的否命题是命题(填“真”或“假”)【答案】真【解析】【分析】根据原命题的逆命题和其否命题为等价命题判断命题的真假.【详解】由题意得命题"如果a+b>0,那么a>0且b>0”的逆命题为“如果a>0且b>0,那么a + b>0” 其真命题，所以否命题为真命题. 故答案为“真”.【点晴】判断命题的真假时，可通过命题直接进行判断也可通过其等价命题的真假来判断，解題时要根据条件选择合理的方法进行求解.3.已知集合A = {y|y = x2-2x-3}, B = (y|y = -x2 + 2x+13},则A AB-【答案】[-4,14]【解析】【分析】分别求出集合A.B,然后再求出AQB即可.【详解】由题意得A-{y|y = x2・2x・3}-{y|y=(x-l)2.4} = {y|yN -4},B = {y I y = . x2 + 2x + 13} = {y I y = - (x -1)2 + 14j = {y I y < 14},•・ AC1B = [.4,14].故答案为[.4,14].【点睛】本题考査集合的交集运算，解题的关键是正确求出集合AB,属于简单题.4.已知“aga +孑是“ l・2a<x<3a + 2”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是【答案】aR3【解析】【分析】将充分不必要条件转化为集合间的包含关系求解可得结论.【详解】设A= x a<x<a + - B = {x| 1 - 2a <x <3a + 2},*a<x<a + ^是'l.2a<x〈3a + 2”的充分不必要条件,l-2a〈3a + 2l-2a <a 1•• 1 ，解得a>;,a+ —〈3a + 2 32实数a的取值范围是（? + 8）.故答案为@ + oo）.【点睛】根据充要条件求解参数范围的方法步骤⑴把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系；（2）根据集合关系画数轴或Venn图，由图写出关于参数的不等式（组），求解.注意：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.5.设M = {&b},则满足MUNG^b.c}的集合N的个数为【答案】8【解析J盼析】分别写出満足条件的集合N后可得所求集合的个数.【详解】由题意得，满足题意得集合N为0, {a}, {b},{c}, (a,c}, {b,c}, (a,b} , {a,b,c},共8个.故答案为8.【点睛】解题时要根据集合N中元素的个数为标准进行求解，考査理解能力和判断能力，属于基础題.6.函数f(x) = ((12)x2+3(1*+ 6的定义域为[-2,1 J,则a的值为【答案】2【解析】【分析】由题意得不等式(l-a2)x2+ 3(l.a)x + 6>0的解集为[-2,1],然后根据“三个二次”间的关系求解即可得到结论.【详解】.•函数f(x) = J(1 - a* + 3(1 - a)x + 6的定义域为[-2,1],••不等式(1“浓2 + 3(1.必+ 6?0的解集为[-2,1],.. x = - 2,x = I是方程(]. a2)x2 + 3(1 - a)x + 6 = 0的两个根,.4(l-a2)-6(l-a) + 6 = 0(l-a2) + 3(l-a) + 6 = 0，整理得！矿了#「解得a = 2 .Ia~ + 3a-10 = 0故答案为2.【点睛】本题以函数的定义域为载体，考査一元二次方程、二次函数、二次不等式间的关系，解题的关蚀是根据题意得到方程的两根，然后再根据方程的有关概念求出a的俏，考査转化能力和运算能力，属于基础题.7.已知函数f(x)=(m-l)x + 2m-3,无论m取什么实数，函数f(x)的图像始终过一个定点，该定点的坐标为【答案】(-2,-1)【解析】【分析】将函数解析式变形为(x + 2)m・x.y.3 = O,然后令x + 2 =0旦・x . y . 3 = 0,求得方程组的解后即可定点的坐标.【详解】由y・(m・l)x+2m-3变形得(x+2)m - x-y- 3-0,解方程组&篇％得疝彳，所以函数f(x)的图象过的定点的坐标为(-2,-1).故答案为(-2,-1).【点睛】本题考査一次函数的图象过定点的问题，解题时可把函数解析式化为kf(x.y) + g(%y) = 0 (k为参数)的形式，则以方程组｛；修与号的解为坐标的点即为定点.8.已知关于x的方程x2 + kx + k2 + k-4 = 0有两个实数根，且一根大于1, 一根小于1,则实数k的取值范围为【答案】(-3.1)【解析】【分析】根据一元二次方程根的分布求解，令f(x)=x2 + kx + k2+k-4,则有解不等式可得所求范围【详解】令f(x)=x2+kx + k2 + k-4,方程的一个实数根大于1,另一个实数根小于1,1 + k+k2 + k-4<0.即k2+2k-3<0>解得-3<k<l,实数g取值范围为(-3,1).故答案为(-3,1).【点晴】本题考査根据方程根的情况求参数的取值范围，解题时根据方程根的分布将问题转化为不等式求解，体现了转化和数形结合的思想方法在解题中的应用.9-给出下列四个命题：(1)若a > b,c a d,则a-d > b-c;(2)若a2x>a2y .则x>y;(3)a>b,则二a-b a(4)若以<0,则abvb，.a b其中正确命题的是.(填所冇正确命题的序号)【答案J (1) (2) (4)【解析】试题分析：(3)中a = 0时不等式不成立，故正确的只有(1) (2) (4).考点：不等式的基本性质10.若xe(-oo,2),则5—4X + X 的最小值为2-x【答案】2【解析】【分析】将原式变形后根据基本不等式求解.【详解】..•x<2, •••2-x>0.当且仅当2-x = d-，即x = l 时等号成立. 2-x••5~4X + X2的最小值为2. 2-x故答案为2.【点睛】应用基本不等式求最值时一定要注意“一正二定三相等.这三个条件缺一不可，当不满足不等式使用的条件时，可通过适当的变形使得出现定值的形式，这是解题中常遇到的情形. 11.设函数f(x)=x-2,若不等式|Rx+3)1 > |f(x)|十m 对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是【答案】mv-3 【解析】【分析】 |x+l|-|x-2|表示数轴上的x 对应点到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离，其最小值为-3,故有m<-3, 由此求得m 的取值范围.【详解】I f(x) = x - 2,不等式|f(x + 3)|> |f(x)| + m 对任意实数x 恒成立，二n 】Y|xi 1| -|x-2对任意实数X 恒成立，乂 |x+l|・X ・2|表示数轴上的x 对应点到・1对应点的距离减去它到2对应点的距离，.・.|x+l|・|x ・2|N ・3,二 m v • 3二实数m 的取值范围是(・皿・3).故答案为(・s ，・3).【点睛】本题考査恒成立问题，解题的关键是根据绝对值的儿何意义求出|x +l|-|x-2|的最小值，考査转化和数形结合思想的运用能力. 12.对于实数A 和正数B,称满足不等式|x-A|<B (AGR,B>0)9!I 实数x 的集合叫做A 的B 邻域，已知t 为给定的 正数，a 、b 为正数，若a +由题意得2—x 5—4x + x~ (2-x)~+ 1 —=^=(2-x)+ 2,b-t的a + b领域是一个关于原点对称的区间，则a2 + b2的最小值为【答案】L2【解析】【分析】先根据条件求出-t<x<2(a+b)-t;再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到 a + b = t ,最后结合不等式的知识可求出a2+ b2的最小值.【详解】.. A的B邻域在数轴上表示以A为中心，B为半径的区域，|x - (a + b -1)| < a + b,二- a- bvx-(a + b-t)va + b,解得-t<x<2(a + b)-t.邻域是一个关于原点对称的区间，二2(a + b) - 2t = 0,二a + b = t., a2 + b* > 2ab,.•・ 2(a2 + b2) > a2 + b2 + 2ab = (a+ b)2 = t2,•,•a2+ b2>-,当且仅当a = b时等号成立，2二a2 + b2M最小值为2故答案为2【点睛】本题以新概念为载体考査重要不等式的应用，考査变换能力和阅读理解能力.解题的美綻足根据题意得到a + b-t这-结论，然后再通过变形得到所求的最小值.二.选择題侣.设实数勺、全、b卜3不为0,则了禹成如是“关于满不等式"心。
《解析》2014-2015学年上海市复旦大学附中高一(上)期末数学试卷Word版含解析
2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，则使N⊊M成立的a的值是．2．不等式，当且仅当a=时，等号成立．3．已知函数g（x）=x﹣，那么函数f（x）=g（x）+h（x）的解析式是f（x）=．4．求值：=．5．函数的定义域为．6．函数y=x2+1（x≤﹣1）的反函数为．7．设函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R），若f（﹣1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，则a+b=．8．函数f（x）=ax2+bx+6满足条件f（﹣1）=f（3），则f（2）的值为．9．若函数y=的反函数的图象的对称中心是点（1，3），则实数a的值为．10．在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称．而函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）=﹣1，则m的值是．11．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调的函数，则满足的所有的x的和为．12．定义两种运算：a⊕b=，则函数f（x）=的奇偶性为．二、选择题（每题4分，共16分）13．“a=0”是“函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．若函数f（x）在（4，+∞）上为减函数，且对任意的x∈R，有f（4+x）=f（4﹣x），则（）A．f（2）＞f（3） B．f（2）＞f（5）C．f（3）＞f（5）D．f（3）＞f（6）15．已知函数f（x）=（）x﹣log2x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x0，则f（x1）（）A．恒为负值B．等于0 C．恒为正值D．不大于016．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A．15个B．12个C．9个D．8个三、解答题17．已知log a484=m，log a88=n，试用m、n表示log211．18．f（x）=（1）作出函数的大致图象；（2）求不等式f（x）＞f（1）的解集．19．如果函数y=x+的最小值为6，求b的值．20．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？21．已知函数f（x）=为奇函数，（1）求a的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）解关于x的不等式：f﹣1（x）＞log2．22．已知函数，其中x＞0．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b），求ab的取值范围；（2）是否存在实数a、b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由；（3）若存在a、b（a＜b），使得y=f（x）的定义域为，值域为（m≠0），求m的取值范围．2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共48分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，则使N⊊M成立的a的值是﹣1．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：由真子集的定义即知N的元素都是集合M的元素，从而分别让a取﹣1，0，1，看得到的集合N能否满足N⊊M，以及能否符合集合元素的性质，从而便得到a的值．解答：解：N⊊M，∴N的元素都是M的元素；若a=0，1时，显然不满足集合的互异性；若a=﹣1，则N={﹣1，1}，满足N⊊M；∴a的值是﹣1．故答案为：﹣1．点评：考查列举法表示集合，真子集的定义，以及集合元素的性质．2．不等式，当且仅当a=±1时，等号成立．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：不等式，当且仅当a2=1，即a=±1时，等号成立．故答案为：±1．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．3．已知函数g（x）=x﹣，那么函数f（x）=g（x）+h（x）的解析式是f（x）=x+，（x≥﹣，且x≠0）．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知，求出函数g（x），h（x）的定义域，进而可得函数f（x）=g（x）+h（x）的解析式．解答：解：∵函数g（x）=x﹣，（x≥﹣），h（x）=，（x≥﹣，且x≠0）∴函数f（x）=g（x）+h（x）=x+，（x≥﹣，且x≠0）故答案为：x+，（x≥﹣，且x≠0）点评：本题考查的知识点是函数的解析式及求法，函数的定义域，解答时一定要注意两个基本函数定义域对复合函数定义域的影响．4．求值：=4．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用有理指数幂的运算性质及对数的运算性质计算．解答：解：===．故答案为：4．点评：本题考查对数的运算性质，关键是对对数运算法则的记忆与运用，是基础题．5．函数的定义域为（0，7）．考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据使函数的解析式有意义的原则，我们可以构造出自变量x的不等式组，解不等式组，求出x的取值范围，即可得到函数的定义域．解答：解：要使函数的解析式有意义，自变量必须满足：解得：0＜x＜7故函数的定义域为（0，7）故答案为：（0，7）点评：本题考查的知识点是对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，其中正确理解，求函数的定义域即求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围，是解答本题的关键．6．函数y=x2+1（x≤﹣1）的反函数为（x≥2）．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由原函数求得x，把x，y互换求得原函数的反函数．解答：解：由y=x2+1（x≤﹣1），得x2=y﹣1，∴x=（y≥2），x，y互换得：（x≥2），∴函数y=x2+1（x≤﹣1）的反函数为（x≥2），故答案为：（x≥2）．点评：本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域为原函数的值域，是基础题．7．设函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R），若f（﹣1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，则a+b=3．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（﹣1）=0，可得b=a+1，又对任意实数x均有f（x）≥0成立，可得恒成立，可求出a，b的值；解答：解：∵函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R），f（﹣1）=0，∴a﹣b+1=0即b=a+1，又对任意实数x均有f（x）≥0成立∴恒成立，即（a+1）2﹣4a≤0，可得（a﹣1）2≤0恒成立∴a=1，b=2；a+b=3．故答案为：3．点评：本题考查了函数的恒成立问题及二次函数的性质的应用，难度一般，关键是掌握二次函数的性质．8．函数f（x）=ax2+bx+6满足条件f（﹣1）=f（3），则f（2）的值为6．考点：函数的值；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题．分析：由题意应对a进行分类：a=0时和a≠0时，再由条件分别判断出函数为常函数和二次函数的对称轴，再由函数的性质求值．解答：解：①当a=0时，∵f（﹣1）=f（3），∴函数f（x）是常函数，即a=b=0，∴f（x）=6，则f（2）=6，②当a≠0时，则函数f（x）是二次函数，∵f（﹣1）=f（3），∴f（x）的对称轴是：x=1，∴f（2）=f（0）=6，综上得，f（0）=6故答案为：6．点评：本题考查了利用常函数和二次函数的性质求值，特别再求出对称轴后，不用a和b的值直接由f（2）=f（0）求解，易错点易忘对a进行讨论．9．若函数y=的反函数的图象的对称中心是点（1，3），则实数a的值为3．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数f（x）=的对称中心是（3，1），再由函数的解析式可得对称中心是（a，1 ），比较可得a的值解答：解：由题意可得函数f（x）=的对称中心是（3，1），又函数f（x）==1+的对称中心是（a，1 ），∴a=3，故答案为：3．点评：本题考查函数与反函数的图象间的关系，函数的对称中心，由函数y=得到对称中心为（a，1）是解题的关键，是基础题．10．在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称．而函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）=﹣1，则m的值是．考点：反函数．专题：计算题．分析：由函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称，则y=g（x）的图象与y=e x 互为反函数，易得y=g（x）的解析式，再由函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，进而可以得到函数y=f（x）的解析式，由函数y=f（x）的解析式构造方程f（m）=﹣1，解方程即可求也m的值．解答：解：∵函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称∴函数y=g（x）与y=e x互为反函数则g（x）=lnx，又由y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称∴f（x）=ln（﹣x），又∵f（m）=﹣1∴ln（﹣m）=﹣1，故答案为﹣．点评：互为反函数的两个函数图象关于线y=x对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（b，a）点一定在其反函数的图象上；如果两个函数图象关于X轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于Y轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于原点对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上．11．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调的函数，则满足的所有的x的和为﹣8．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：f（x）为偶函数⇒f（﹣x）=f（x），x＞0时f（x）是单调函数⇒f（x）不是周期函数．所以若f（a）=f（b）⇒a=b或a=﹣b，再结合已知条件可得正确答案．解答：解：∵f（x）为偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数∴若时，即或，得x2+3x﹣3=0或x2+5x+3=0，此时x1+x2=﹣3或x3+x4=﹣5．∴满足的所有x之和为﹣3+（﹣5）=﹣8，故答案为﹣8．点评：本题属于函数性质的综合应用，属于中档题．解决此类题型要注意变换自变量与函数值的关系，还要注意分类讨论和数形结合的思想方法的应用．12．定义两种运算：a⊕b=，则函数f（x）=的奇偶性为奇函数．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用新定义把f（x）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解答：解：由定义知f（x）==，由4﹣x2≥0且|x﹣2|﹣2≠0，得﹣2≤x＜0或0＜x≤2，即函数f（x）的定义域为{x|﹣2≤x＜0或0＜x≤2}，关于原点对称；此时f（x）===，则f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故f（x）是奇函数．故答案为：奇函数点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据新定义将函数进行化简是解决本题的关键．二、选择题（每题4分，共16分）13．“a=0”是“函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的单调性及单调区间．分析：函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数，结合二次函数的图象求出a的范围，再利用集合的包含关系判充要条件．解答：解：函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数，0，a≥0，“a=0”⇒“a≥0”，反之不成立．故选A点评：本题考查充要条件的判断，属基本题．14．若函数f（x）在（4，+∞）上为减函数，且对任意的x∈R，有f（4+x）=f（4﹣x），则（）A．f（2）＞f（3） B．f（2）＞f（5）C．f（3）＞f（5）D．f（3）＞f（6）考点：抽象函数及其应用．分析：因为所给选项为比较函数值的大小，所以要根据已知条件将所给函数值都转化到同一个单调区间上去，因此分析f（4+x）=f（4﹣x）的含义也就成了解答本题的关键．解答：解：∵f（4+x）=f（4﹣x），∴f（x）的图象关于直线x=4对称，∴f（2）=f（6），f（3）=f（5），又∵f（x）在（4，+∞）上为减函数，∴f（5）＞f（6），∴f（5）=f（3）＞f（2）=f（6）．故选D．点评：（1）f（a+x）=f（a﹣x）⇔函数f（x）的图象关于直线x=a对称；（2）f（a+x）=﹣f（a﹣x）⇔函数f（x）的图象关于点（a，0）对称；（3）f（a+x）=f（b﹣x）⇔函数f（x）的图象关于直线x=对称；（4）f（a+x）=﹣f（b﹣x）⇔函数f（x）的图象关于点对称．特别地，当a=b=0时，有f（﹣x）=f（x）及f（﹣x）=﹣f（x），f（x）分别表示偶函数与奇函数．15．已知函数f（x）=（）x﹣log2x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x0，则f（x1）（）A．恒为负值B．等于0 C．恒为正值D．不大于0考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由于y=（）x在x＞0上递减，log2x在x＞0上递增，则f（x）在x＞0上递减，再由条件即可得到答案．解答：解：由于实数x0是方程f（x）=0的解，则f（x0）=0，由于y=（）x在x＞0上递减，log2x在x＞0上递增，则f（x）在x＞0上递减，由于0＜x1＜x0，则f（x1）＞f（x0），即有f（x1）＞0，故选C．点评：本题考查函数的单调性及运用，考查运算能力，属于基础题．16．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A．15个B．12个C．9个D．8个考点：函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据“孪生函数”的定义确定函数定义域的不同即可．解答：解：由y=2x2+1=3，得x2=1，即x=1或x=﹣1，由y=2x2+1=19，得x2=9，即x=3或x=﹣3，即定义域内﹣1和1至少有一个，有3种结果，﹣3和3至少有一个，有3种结果，∴共有3×3=9种，故选：C．点评：本题主要考查函数定义域和值域的求法，利用“孪生函数”的定义是解决本题的关键．三、解答题17．已知log a484=m，log a88=n，试用m、n表示log211．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：把已知利用对数的运算性质变形求解log a2，log a11的值，然后利用对数的换底公式得到log211．解答：解：∵log a484=m，∴，即①，又log a88=n，∴log a8+log a11=n，即3log a2+log a11=n②，联立①②得：，．∴log211===．点评：本题考查对数的运算性质，考查了对数的换底公式，是基础的计算题．18．f（x）=（1）作出函数的大致图象；（2）求不等式f（x）＞f（1）的解集．考点：其他不等式的解法；函数的图象．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）分类讨论化简函数的解析式，从而画出函数的图象．（2）结合函数f（x）的图象可得f（﹣3）=f（1）=f（3）=0，数形结合可得不等式f（x）＞f（1）的解集．解答：解：（1）对于函数f（x）=，当x≥0时，f（x）=（x﹣3）（x﹣1）；当x＜0时，f（x）=﹣=﹣（）=﹣（+）=﹣﹣，故函数f（x）的图象如图所示．（2）结合函数f（x）的图象可得f（﹣3）=f（1）=f（3）=0，数形结合可得不等式f（x）＞f（1）的解集为{x|﹣3＜x＜1，或x＞3}．点评：本题主要考查分段函数的应用，分式不等式的解法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．19．如果函数y=x+的最小值为6，求b的值．考点：基本不等式．专题：不等式．分析：先求出函数的导数，得到函数的单调区间，结合x的范围，从而求出函数取最小值时的b的值．解答：解：y′=1﹣=，令y′＞0，解得：x＞，令y′＜0，解得：x＜，∴函数在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴函数在x=时取得最小值，∴+=6，解得：2b=9，代入函数的不表达式得：x=3，∵x≥4，不合题意，∴x=4时，函数值最小，此时：4+=6，解得：b=3．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查不等式取最小值时的条件，是一道中档题．20．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？考点：函数模型的选择与应用；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）通过分别求出当0＜x≤10、10＜x≤16、x＞16时各自f（x）的最大值即得结论；（2）通过计算f（5）与f（20）的大小即得结论；（3）通过令f（x）=55，计算出0＜x≤10、x＞16时各自的解并比较两个解的差的绝对值与13的大小关系即可．解答：解：（1）依题意，①当0＜x≤10时，f（x）=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1（x﹣13）2+59.9，故f（x）在0＜x≤10时递增，最大值为f（10）=﹣0.1（10﹣13）2+59.9=59，②当10＜x≤16时，f（x）≡59，③当x＞16时，f（x）为减函数，且f（x）＜59，因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间．（2）∵f（5）=﹣0.1（5﹣13）2+59.9=53.5，f（20）=﹣3×20+107=47＜53.5，∴开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些．（3）当0＜x≤10时，令f（x）=55，解得x=6或20（舍），当x＞16时，令f（x）=55，解得x=17，因此学生达到（含超过）55的接受能力的时间为17﹣6=11＜13，∴老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．点评：本题考查函数模型的性质与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=为奇函数，（1）求a的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）解关于x的不等式：f﹣1（x）＞log2．考点：反函数；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用函数的奇偶性，得到f（﹣x）=﹣f（x），解方程即可求a的值；（2）根据反函数的定义即可f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）根据对数函数的单调性，结合分式不等式的解法进行求解即可．解答：解：（1）∵函数的定义域为{x|x≠0}且f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，即+=0，则+=0，即﹣a﹣2x+a•2x+1=0，则（1﹣a）（1﹣2x）=0，∵x≠0，∴1﹣a=0．即a=1．此时f（x）=．（2）由y=得（2x﹣1）y=2x+1．即y•2x﹣y=1+2x，即（y﹣1）•2x=1+y，当y=1时，方程等价为0=1，不成立，∴y≠1，则2x=，由2x=＞0得y＞1或y＜﹣1，即函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），由2x=，得x=log2，即f（x）的反函数f﹣1（x）=log2，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；（3）∵f﹣1（x）＞log2．∴log2＞log2．①若k＞0，则x+1＞0，即x＞﹣1，∵x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；∴此时x＞1，此时不等式等价为＞，即，则0＜x﹣1＜k，即1＜x＜k+1，②若k＜0，则x+1＜0，即x＜﹣1，∵x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；∴此时x＜﹣1，此时不等式等价为＞，即＜，则x﹣1＞k，即﹣1＞x＞k+1，综上若k＞0，不等式的解集为（1，1+k），若k＜0，不等式的解集为（1+k，﹣1）．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数反函数的求解，对数不等式的求解，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．22．已知函数，其中x＞0．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b），求ab的取值范围；（2）是否存在实数a、b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由；（3）若存在a、b（a＜b），使得y=f（x）的定义域为，值域为（m≠0），求m的取值范围．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．专题：分类讨论；函数的性质及应用．分析：（1）讨论a，b的范围，确定a∈（0，1），b∈，由此出发探究a，b的可能取值，可分三类：a，b∈（0，1）时，a，b∈（1，+∞）时，a∈（0，1），b∈（1，+∞），分别建立方程，寻求a，b的可能取值，若能求出这样的实数，则说明存在，否则说明不存在；（3）由题意，由函数y=f （x）的定义域为，值域为（m≠0）可判断出m＞0及a＞0，结合（1）的结论知只能a，b∈（1，+∞），由函数在此区间内是增函数，建立方程，即可得到实数m所满足的不等式，解出实数m的取值范围．解答：解：（1）f（x）=，若a，b∈（0，1），f（x）递减，f（a）＞f（b）不成立；若a，b∈，而y≥0，x≠0，所以应有a＞0，又f（x）=，①当a，b∈（0，1）时，f（x）在（0，1）上为减函数，故有，即，由此可得a=b，此时实数a，b的值不存在．②当a，b∈（1，+∞）时，f（x）在∈（1，+∞）上为增函数，故有，即，由此可得a，b是方程x2﹣x+1=0的根，但方程无实根，所以此时实数a，b也不存在．③当a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，显然1∈，而f（1）=0∈不可能，此时a，b也不存在．综上可知，符合条件的实数a，b不存在；（3）若存在实数a，b使函数y=f（x）的定义域为，值域为（m≠0）．由mb＞ma，b＞a得m＞0，而ma＞0，所以a＞0，由（，1）知a，b∈（0，1）或a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，适合条件的实数a，b不存在，故只能是a，b∈（1，+∞），∵f（x）=1﹣在∈（1，+∞）上为增函数∴，即，∴a，b是方程mx2﹣x+1=0的两个不等实根，且二实根均大于1，∴，解之得0＜m＜，故实数m的取值范围是（0，）．点评：本题的考点是函数与方程的综合应用，考查了绝对值函数，函数的定义域、值域，构造方程的思想，二次方程根与系数的关系等，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，进行分类讨论探究，属于难题和易错题．。
上海高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．已知集合，，则__________． {1,1,2}A =-{}20B x x x =+=A B = 【答案】{}1-【分析】可求出集合，然后进行交集的运算即可．B 【详解】解：，1，，，，{1A =- 2}{1B =-0}．{1}A B ∴=- 故答案为：．{}1-2．设a 、b 都为正数，且，则的最小值为________. 4a b +=11a b +【答案】1【分析】把变形为：利用已知，结合基本不等式进行求解即可. 11a b +1114()4a b ⨯⋅+【详解】因为a 、b 都为正数，所以有：， 111111114(()((2)(214444b a a b a b a b a b ⨯⋅+=+⋅+=⋅++≥⋅+=当且仅当时取等号，即时取等号，b a a b=2a b ==故答案为：13．函数，则______________. 2()1y f x x ==-1(3)f -=【答案】 53【解析】3在反函数的定义域中，它必在原函数的值域中，因为反函数与原函数的对应关系相反，故由解得值为所求. 231x =-x 【详解】由解得，所以. 231x =-53x =15(3)3f -=故答案为： 534．已知且，若，，则_______________.0a >1a ≠log 2a m =log 3a n =m n a +=【答案】6【解析】利用指数式与对数式的互化，再利用同底数幂相乘即可.【详解】，同理：log 2,2m a m a =∴= 3n a =∴236m n m n a a a +==⨯=故答案为：6【点睛】对数运算技巧：(1)指数式与对数式互化；(2)灵活应用对数的运算性质；(3) 逆用法则、公式；(4) 应用换底公式，化为同底结构．5．已知函数，是偶函数，则的值为______．()()221f x ax b x =+++22,x a a ⎡⎤∈-⎣⎦a b +【答案】1-【分析】根据奇偶定义可建立方程求解即可.【详解】由题意得，所以，所以.2220202b a a a a +=⎧⎪-+=⎨⎪-<⎩1,2a b ==-1a b +=-故答案为：1-6．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为______．22mm y x -++=m R m 【答案】或01【分析】依题意可得，解得的取值范围，再由为整数，求出参数的值.220m m -++>m m 【详解】由题意得，解得，又为整数，所以或.220m m -++>12m -<<m 0m =1故答案为：或017．用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一340x x +-=()1,32x =个取的点是______．x =【答案】1.5## 32【分析】先确定函数单调性，根据二分法求解即可得解.【详解】设函数，易得函数为严格增函数，3()4f x x x =+-因为，，(1)20f =-<(2)60f =>所以下一个有根区间是，(1,2)那么下一个取的点是．1.5x =故答案为：1.58．已知函数的最小值为-2，则实数a =________.22([0,1])y x ax x =+∈【答案】 32-【分析】根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置进行分类讨论求解即可.【详解】，所以该二次函数的对称轴为：，222()2()y f x x ax x a a ==+=+-x a =-当时，即，函数在时单调递减，1a ≤-1a ≤-2()2f x x ax =+[0,1]x ∈因此，显然符合； min 3()(1)1222f x f a a ==+=-⇒=-1a ≤-当时，即时，； 01a <-<10a -<<2min ()2f x a a =-=-⇒=10a -<<当时，即时，函数在时单调递增，0a -≤0a ≥2()2f x x ax =+[0,1]x ∈因此，不符合题意，综上所述：， min ()(0)02f x f ==≠-32a =-故答案为： 32-9．设方程的实根，其中k 为正整数，则所有实根的和为22log 1122x a a --=-+12,,,k x x x ______．【答案】4【分析】画出的图象，由图象的特征可求.2()log 11g x x =--【详解】令，，2()|log ||1|f x x =-22()|log ||1||log ||1|()f x x x f x -=--=-=所以函数图象关于轴对称，2()|log ||1|f x x =-y 令，则的图象关于直线对称，2()log 11g x x =--()(1)g x f x =-1x =因为方程的实根，可以看作函数的图象与直线22log 1122x a a --=-+2()log 11g x x =--的交点横坐标.222y a a =-+由图可知方程有4个实根，且关于直线对称.22log 1122x a a --=-+1x =所以.12344x x x x +++=故答案为：4.10．设函数，，如果对任意的实数，任意的实数，不等()2x f x =2()2g x x x a =-+1[1,2]x ∈2[1,2]x ∈式恒成立，则实数a 的取值范围为________．()()121f x g x -≥【答案】(,1][6,)-∞+∞U【分析】分别求出函数，在上的值域，把问题转化为关于的不等式()2x f x =2()2g x x x a =-+[1,2]a 组，求出解集即可【详解】解：因为在上为增函数，()2x f x =[1,2]所以，min max ()(1)2,()(2)4f x f f x f ====所以在上的值域为，()2x f x =[1,2][2,4]因为的对称轴为直线，2()2g x x x a =-+1x =所以在上为增函数，2()2g x x x a =-+[1,2]所以，min max ()(1)1,()(2)g x g a g x g a ==-==所以在上的值域为，2()2g x x x a =-+[1,2][1]a a -,因为对任意的实数，任意的实数，不等式恒成立，1[1,2]x ∈2[1,2]x ∈()()121f x g x -≥所以，解得， (1)4121a a ⎧--≥⎪⎨-≥⎪⎩4613a a a a ≤≥⎧⎨≤≥⎩或或所以或，1a ≤6a ≥所以实数a 的取值范围为，(,1][6,)-∞+∞U 故答案为：(,1][6,)-∞+∞U 【点睛】此题考查函数在闭区间上的最值问题和不等式恒成立问题，考查了数学转化思想，解题的关键是求出函数，在上的值域，把问题转化为，从而()2x f x =2()2g x x x a =-+[1,2](1)4121a a ⎧--≥⎪⎨-≥⎪⎩可求出实数a 的取值范围，属于中档题二、单选题11．已知x ，y 是实数，则“”是“”的（ ）x y >33x y >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由充要条件的定义求解即可【详解】因为 ， 2233223()()()24y y x y x y x xy y x y x ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦若，则， x y >223()024y y x y x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦若，则，即， 223()024y y x y x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦0x y ->x y >所以 ，即“”是“”的充要条件，33x y x y >⇔>x y >33x y >故选：C.12．如果，那么（ ）12log 0.8log 0.80x x <<A ．B ． 2101x x <<<1201x x <<<C ．D ．121x x <<211x x <<【答案】C【分析】根据换底公式可得，再利用单调性可以判断C 正0.820.810.8log log 0log 1x x <<=0.8log y x =确.【详解】因为，则，12log 0.8log 0.80x x <<0.820.810.8log log 0log 1x x <<=又因为在上单调递减，0.8log y x =()0,∞+那么，121x x <<故选：C ．13．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（ ） 2y ax bx =+(0)b a y x x =>A ． B ． C ．D ．【答案】A【分析】根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.【详解】对于A ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即2y ax bx =+0a >b x 02a =->0b a<幂函数为减函数，符合题意；(0)b a y x x =>对于B ， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+a<0b x 02a =->0b a <为减函数，不符合题意；(0)b a y x x =>对于C ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+0a >12b x a=-=-2b a =为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；(0)b a y x x =>对于D ， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函2y ax bx =+a<0122b x a =->-01b a <<数为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；(0)b a y x x =>故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.14．若函数与在区间上都是严格减函数，则实数的取值范围为（ ） ||y x a =--1a y x =+[1,2]a A ．B ．C ．D ． (,0)-∞(1,0)(0,1]-⋃(0,1)(0,1]【答案】D【分析】由一次函数及反比例函数的单调性，结合图像变换即可得到实数的取值范围.a 【详解】函数的图像关于对称，||y x a =--x a =所以当，y 随x 的增大而减小，当，y 随x 的增大而增大.x a >x a <要使函数在区间上都是严格减函数，||y x a =--[1,2]只需； 1a ≤要使在区间上都是严格减函数，只需； 1a y x =+[1,2]0a >故a 的范围为.01a <≤故选：D三、解答题15．求下列不等式的解集：(1) 4351x x +>-(2)2332x x -<-【答案】(1)(1,8)(2)(1,)+∞【分析】（1）根据分式不等式及一元二次不等式的解法求解集.（2）应用公式法求绝对值不等式的解集.【详解】（1），故解集为； ()()4385018011x x x x x x +->⇔<⇔--<--(1,8)（2），|23|32322332x x x x x -<-⇔-+<-<-故解集为.(1,)+∞16．已知函数． ()22(11)1x f x x x =-<<-(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；()f x (2)判断函数的单调性并证明．()f x 【答案】(1)是奇函数，理由见解析()f x (2)在上单调递减，证明见解析()f x (1,1)-【分析】（1）根据函数奇偶性定义进行判断证明；（2）根据函数单调性定义进行证明.【详解】（1）是奇函数，理由如下：()f x 函数，则定义域关于原点对称， ()22(11)1x f x x x =-<<-因为，所以是奇函数； ()()221x f x f x x --==--()f x （2）任取，1211x x -<<<则 22121211221222221212222222()()11(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x --+-=-=---- ， 1221211221222212122()2()2(1)()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x -+-+-==----因为，所以， 1211x x -<<<2212211210,0,10,10x x x x x x +>->-<-<所以，所以在上单调递减.12())0(f x f x ->()f x (1,1)-17．将函数（且）的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到log 2a y x =-0a >1a ≠函数的图像．()y f x =(1)求函数的解析式()f x (2)设函数，若对一切恒成立，求实数m 的取值范围；()()()1f x f x F x a ++=()m F x <()1,x ∈-+∞(3)讨论关于x 的方程，在区间上解的个数． ()log ap f x x=()1,-+∞【答案】(1)()log (1)a f x x =+(2)(,0]-∞(3)答案见解析【分析】(1)由图象的平移特点可得所求函数的解析式；(2)求得的解析式，可得对一切恒成立，再由二次函数的性质可得所()F x (1)(2)m x x <++(1,)∈-+∞x 求范围；(3)将方程等价转化为且，根据题意只需讨论在区间()log a p f x x =1(1p x x x +=>-0)x ≠(1)p x x =+上的解的个数，利用图象，数形结合即可求得答案.(1,)-+∞【详解】（1）将函数且的图象向左平移1个单位，log 2(0a y x a =->1)a ≠得到的图象，再向上平移2个单位，得函数的图象； log (1)2a y x =+-()log (1)a f x x =+（2）函数，，()()()()()()()1log 1log 212a a f x f x x x F x a a x x +++++===++1x >-若对一切恒成立，()m F x <(1,)∈-+∞x 则对一切恒成立，(1)(2)m x x <++(1,)∈-+∞x 由在严格单调递增，得，(1)(2)y x x =++(1,)-+∞(1)(2)0y x x =++>所以，即的取值范围是；0m ≤m (,0]-∞（3）关于的方程 x ()log log (1)log aa a p p f x x x x=⇔+=且， 1(1p x x x ⇔+=>-0)x ≠所以只需讨论在区间且x ≠0上的解的个数．(1)p x x =+(1,)-+∞由二次函数且的图象得，(1)(1y x x x =+>-0)x ≠当时，原方程的解有0个； 1(,)4p ∈-∞-当时，原方程的解有1个； 1(0,)4p ⎧⎫∈-+∞⎨⎬⎩⎭当时，原方程的解有2个． 1(,0)4p ∈-18．其公司研发新产品，预估获得25万元到2000万元的投资收益，现在准备拟定一个奖励方案：奖金y （万元）随投资收益x （万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(1)用数学语言列出公司对函数模型的基本要求；(2)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由； ()1050x f x =+(3)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 取值范围． ()1252g x a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭【答案】(1)答案见解析(2)不符合，理由见解析(3) 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据函数单调性的定义以及最值的定义，结合题意中的不等关系，可得答案； （2）由（1）所得的三个条件，进行检验，可得答案；（3）利用幂函数的单调性，结合题意中的最值以及不等关系，可得不等式组，利用基本不等式，可得答案.【详解】（1）满足的基本要求是：①是定义域上的严格增函数，()f x ()f x [25,2000]②的最大值不超过75，③在上恒成立； ()f x ()5x f x ≤[25,2000]（2），不满足要求③，故不符合； ()1050x f x =+()5050115f =>（3）因为，所以函数满足条件①， 12a ≥()gx 由函数满足条件②得，解得()g x 2575≤a ≤由函数满足条件③得，对恒成立， ()gx 255x ≤[25,2000]x ∈即恒成立，2a ≤[25,2000]x ∈时取等号，所以． 2≥=25x =1a ≤综上所述，实数的取值范围是． a 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．已知函数 ()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩(1)设k 、m 均为实数，当时，的最大值为1，且满足此条件的任意实数x 及m 的(],x m ∈-∞()f x 值，使得关于x 的不等式恒成立，求k 的取值范围；()()22310f x m k m k ≤--+-(2)设t 为实数，若关于x 的方程恰有两个不相等的实数根且，()()2log 0f f x t x --=⎡⎤⎣⎦12,x x 12x x <试将表示为关于t 的函数，并写出此函数的定义域． 1221212log 211++--+-x x x x 【答案】(1)4k ≥(2)， 1221212log 2|1||1|x x x x ++--+-1t t=+(]1,3【分析】(1)分离参数，得，再借助基本不等式求解即可； 4(3)83k m m ≥-++-(2)先得出，再对，进行分类讨论. ()()22,1()log log ,1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩1x >1x ≤【详解】（1）当时，，故.(,]x m ∈-∞max ()f x =102m ≤≤要使得不等式恒成立，2()(2)310f x m k m k ≤--+-需使，2(2)310m k m k --+-1≥即对于任意的都成立. 2(2)3110m k m k --+-≥[0,2]m ∈因为，所以. 133m ≤-≤4(3)83k m m ≥-++-由，得 30m ->403m <-4(3)84843m m -++≤-+=- （当且仅当时取等号）1m =所以；4k ≥（2）由函数，得， ()f x 22,0log ,0x x x x ⎧≤=⎨>⎩()()22,1()log log ,1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩①若，则方程变为，1x ≤[]2()log ()0f f x t x --=x =2log ()t x -即，则，2x t x =-2x t x =+为递增函数，，则有；2x y x =+1x ≤3t ≤②若，则方程变为1x >[]2()log ()0f f x t x --=，即，且，故，()222log log log ()x t x =-2log x t x =-0t x ->1t >于是分别是方程、的两个根，则，，12,x x 2x t x =-2log x t x =-11x ≤21x <即，121x x ≤<由于函数与的图像关于直线对称，2log y x =2x y =y x =故，12x x t +=， 122122log 2()x x t x x t +=-+=()()1212112|1||1|211x x x x =--+-+-+-1t=故，且， 1221212log 2|1||1|x x x x ++--+-1t t =+13t <≤故此函数的定义域为.(]1,3【点睛】方法点睛：对于非二次不等式恒成立求参问题，一般先分离参数，转化为最值问题，进而可借助函数或基本不等式进行求解；方程解的个数可等价于两个不同函数交点个数，分段函数则需要考虑每一段解析式是否成立.20．对于定义在D 上的函数，设区间是D 的一个子集，若存在，使得函()y f x =[,]m n 0(,)x m n ∈数在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数，则称函数在区()y f x =[]0,m x []0,x n ()y f x =间上具有性质P ．[,]m n （1）若函数在区间上具有性质P ，写出实数a 、b 所满足的条件；2y ax bx =+[0,1]（2）设c 是常数，若函数在区间上具有性质P ，求实数c 的取值范围．3y x cx =-[1,2]【答案】（1）；（2）．20a b -<<()3,12c ∈【分析】（1）根据定义判断出为二次函数，然后根据的单调性和单调区间判断出2y ax bx =+()f x 的开口以及对称轴，由此得到满足的条件；2y ax bx =+,a b （2）先分析函数在区间上为严格增函数和严格减函数时的取值，据此分析出3y x cx =-[1,2]c 在区间上先递减再递增时的取值范围，由此求解出的取值范围.3y x cx =-[1,2]c c 【详解】（1）当函数在区间上具有性质P 时，由其图象在R 上是抛物线， 2y ax bx =+[0,1]故此抛物线的开口向上（即），且对称轴是； 0a >(0,1)2b x a=-∈于是，实数a ，b 所满足的条件为：．20a b -<<（2）记．设，是区间上任意给定的两个实数，3()f x x cx =-1x 2x [1,2]总有． ()()()()2212121122f x f x x x x x x x c -=-++-若，当时，总有且，3c ≤12x x <120x x -<22112211130x x x x c ++->++-=故，因此在区间上是严格增函数，不符合题目要求．()()120f x f x -<3y x cx =-[1,2]若，当时，总有且，12c ≥12x x <120x x -<222211222222120x x x x c ++-<+⨯+-=故，因此在区间上是严格减函数，不符合题目要求．()()120f x f x ->3y x cx =-[1,2]若，当且时，总有且， 312c <<12x x <12,x x ⎡∈⎢⎣120x x -<2211220333c c c x x x x c c ++-<++-=故，因此在区间上是严格减函数； ()()120f x f x ->3y x cx =-⎡⎢⎣当且时，总有且， 12x x <12,2x x ⎤∈⎥⎦120x x -<2211220333c c c x x x x c c ++->=++-=故，因此在区间上是严格增函数．()()120f x f x -<3y x cx =-2⎤⎥⎦因此，当时，函数在区间上具有性质P ．()3,12c ∈3y x cx =-[1,2]【点睛】关键点点睛：本题属于函数的新定义问题，求解本题第二问的关键在于对于性质的理P 解，通过分析函数不具备性质的情况：严格单调递增、严格单调递减，借此分析出可能具备性质P的情况，然后再进行验证即可. P。
【优质文档】2017-2018学年上海市高一上学期数学期末综合复习试题(一)含答案
1. 已知集合 A { 1,2,3,4} ，集合 B {3,4,5} ，则 A B
．
2. 函数 y x 2 的定义域是
．
3. 不等式 x 3 0 的解是
．
x2
4. 若指数函数 y (m 1)x 在 R 上是增函数，则实数 m 的取值范围是
．
5. 函数 f ( x) x2 x 的零点是
．
6. 设函数 f ( x) x 的反函数是 f 1( x) ，则 f 1 (3)
干净后，再选涂其它答案标号。答在试卷和草稿纸上无效。 3．非选择题作答用 0.5 毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，只需上交答题卡。
第 I 卷（填空题 36 分）
一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共 12 题，只要求直接填写结果，每题 填对得 3 分，否则一律得零分．
．
10. 若 log a (2b) 1，则 a 4b 的最小值是
．
11. 已知函数 f (x)
x (2 x
2 x ) ，存在 x
1 [ ,1] ，使不等式
f ( ax 1)
f (2
x) 成立，
2
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则实数 a 的取值范围是
．
12. 已知函数 f (x) m(x m)( x m 3) 和 g( x) 2x 2 同时满足以下两个条件：
．
7. 已知函数 y x2 ax 1在区间 [1,2] 上是增函数，则实数 a 的取值范围是
．
8. 若幂函数 f ( x) ( m2 m 1)xm 在区间 (0, ) 上单调递增，则实数 m
．
9. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f (x) x2 x ，则
2018-2019学年上海复旦大学附属中学高一上学期期末考数学试卷含详解
2018学年复旦附中高一年级第一学期期末试卷一、填空题1.()1x f x a -=（0a >且1a ≠）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是______.2.函数y =的定义域为______.3.研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220x xy x -=⋅+≥.经过______分钟，该物质温度为5摄氏度.4.已知(3)4,1(){log ,1a a x a x f x x x --<=≥，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是．5.函数()()1224174f x x x =-+的单调递增区间是______.6.函数0.5()2log 1x f x x =-的零点个数为__________.7.已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ，则实数a 的范围是8.已知函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______.9.当lg lg a b=，a b <时，则2+a b 的取值范围是______.10.函数()142x f x =-的图象关于点______成中心对称.11.设{}2|M y y x-==，()()()1|1112,121⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬⎪-⎝⎭⎩⎭N y y x m x x m ，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是______.12.已知函数()241f x ax x =++，若对任意x R ∈，()()0f f x ≥恒成立，实数a 的取值范围是______.二、选择题13.下列四组函数中，不是互为反函数的是A.3y x -=和13y x -= B.23y x =和()320y x x =≥C.()20xy x =>和()2log 1y x x => D.()()lg 11y x x =->和101xy =+14.“1a >”是“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件15.下列四个函数中，图象如图所示的只能是A.lg y x x =+B.lg y x x =-C.lg y x x=-+ D.lg y x x=--16.已知n m <，函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[]1,1-，有下列结论：①当0n =时，(]0,2m Î；②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈；④当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时(],2m n ∈.A.①②B.①③C.②③D.③④三、解答题17.已知幂函数()()223mm f x xm Z -++=∈是奇函数，且()()12f f <.（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()2212log log 2y f x f x ⎡⎤=+⎣⎦，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域.18.已知函数()()2log a f x x =+，a 为常数，()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数.（1）当2a =时，满足()1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数()1gx -.19.如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中，钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率-=输入该对的钢带厚度输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度.（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在刚带上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算1L ，2L ，3L .20.已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数）.（1）判断函数()2xy f =的奇偶性；（2）若不等式()12242<++xxx f 在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围；（3）设()11x g x x-=+，是否存在正数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以()f g m ⎡⎤⎣⎦，()f g n ⎡⎤⎣⎦，()f g p ⎡⎤⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数x ，y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=.（1）证明：()01f =；（2）比较12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12f ⎛⎫⎪⎝⎭，()1f 大小，并说明理由.2018学年复旦附中高一年级第一学期期末试卷一、填空题1.()1x f x a -=（0a >且1a ≠）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是______.【答案】()1,1【分析】令10x -=代入函数解析式，即可得出结果.【详解】令10x -=得1x =，所以()101-===x f x a a ，因此函数()1x f x a -=过点()1,1.故答案为()1,1【点睛】本题主要考查指数型函数所过定点问题，熟记指数函数性质即可，属于基础题型.2.函数y =的定义域为______.【答案】(],6-∞【分析】先由题意得到()ln 7070x x ⎧-≥⎨->⎩，求解，即可得出结果.【详解】根据题意得到()ln 7070x x ⎧-≥⎨->⎩，即7170x x -≥⎧⎨->⎩，解得6x ≤，即所求函数定义为(],6-∞.故答案为(],6-∞【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，只需求使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.3.研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220xxy x -=⋅+≥.经过______分钟，该物质温度为5摄氏度.【答案】1【分析】根据题意，得到12225-⋅+=x x ，解方程，即可得出结果.【详解】由题意可得：12225-⋅+=x x ，即22252⋅+=xx ，即()2225220⋅-⋅+=xx ，即()()222012-⋅=-x x，解得122x=或22x =，即=1x -或1x =；又0x ≥，所以1x =.故答案为1【点睛】本题主要考查解含指数的方程，熟记指数的运算法则，以及指数函数的性质即可，属于常考题型.4.已知(3)4,1(){log ,1a a x a x f x x x --<=≥，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是．【答案】1<a<3【详解】解：因为分段函数在R 上单调增函数，则说明每一段都是增函数，同时第一段的最大值不能大于第二段的最小值，即30(3)4,1(){{1log ,1340a a a x a x f x a x x a a ->--<=∴>≥--≤，故1<a<35.函数()()1224174f x x x =-+的单调递增区间是______.【答案】[)4,+∞【分析】先求定义域，再利用复合函数的单调性求解即可.【详解】由题意可得：241740-+≥x x ，即(4)(41)0--≥x x ，解得4x ≥或14x ≤；令24174-=+t x x ，则其对称轴为178=x ；因此二次函数24174-=+t x x 在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在[)4,+∞上单调递增；又y =是增函数，所以当1,4⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦x 时，()()1224174f x x x =-+单调递减；在[)4,+∞上单调递增；即增区间为：[)4,+∞故答案为[)4,+∞【点睛】本题主要考查求复合函数单调区间，熟记基本初等函数单调性即可，属于常考题型.6.函数0.5()2log 1xf x x =-的零点个数为__________.【答案】2【分析】求函数()0.52log 1xf x x =-的零点个数⇔求对应方程0.52log 10x x -=即0.51|log |2xx =的根的个数⇔求函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的交点个数.在同一直角坐标系下画出函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象，确定交点个数，即可.【详解】令()0.52log 10xf x x =-=，即0.51|log |2xx =画函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象，如下图所示由图象可知，函数0.5|log |y x =与函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭有2个交点所以函数()0.52log 1xf x x =-有2个零点.故答案为：2【点睛】关键点点睛：查函数的零点个数，利用数形结合思想以及转化与化归思想，将函数的零点转化对应方程的根，从而转化为两个函数的交点.属于中档题.7.已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ，则实数a 的范围是【答案】513a ≤≤【详解】试卷分析：因为函数值域为R ，讨论二次项系数为0时，不成立，系数不为0时，让系数大于0且根的判别式大于等于0求出a 的范围即可．试卷分析：依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立．当a 2－1≠0时，其充要条件是：()()2221>0Δ=+1410a a a ---≥⎧⎪⎨⎪⎩解得513a <≤又a=－1，f(x)=0不满足题意，a=1，合题意．所以a 的取值范围是：513a ≤≤考点：一元二次不等式的应用；对数函数的值域与最值；对数函数的图像与性质；对数函数图象与性质的综合应用．8.已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【答案】-1【分析】由题意，令1()2f x =，根据分段函数解析式，直接求解，即可得出结果.【详解】令1()2f x =，因为()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩，当0x ≤时，()2xf x =，由1()2f x =，得122x=，解得=1x -；当01x <<时，()2log f x x =，由1()2f x =，得21log 2x =，解得x =；又函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，所以1112f -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为1-【点睛】本题主要考查由函数值求自变量的值，考查了反函数的性质，会用分类讨论的思想求解即可，属于常考题型.9.当lg lg a b =，a b <时，则2+a b 的取值范围是______.【答案】()3,+∞【分析】先lg lg a b =，a b <，得到01a <<，1b >，lg lg a b -=，推出1ab =，122+=+a b b b，令1()2=+f x x x，1x >，用定义法判断该函数单调性，即可得出结果.【详解】因为lg lg a b =，a b <，所以01a <<，1b >，lg lg a b -=，即lg lg lg 0a b ab +==，因此1ab =，所以122+=+a b b b，令1()2=+f x x x，1x >，任取121x x <<，则1212121212121211111()()222()()2⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f x f x x x x x x x x x x x x x ，因为121x x <<，所以120x x -<，12120->x x ，因此1212121()()()20⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭f x f x x x x x ，即12()()f x f x <，所以函数1()2=+f x x x在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)3>=f x f ，即2+a b 的取值范围是()3,+∞.【点睛】本题主要考查由函数单调性求取值范围，熟记函数单调性的定义，以及对数的运算性质即可，属于常考题型.10.函数()142xf x =-的图象关于点______成中心对称.【答案】12,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先由题意求出函数定义域为{}2x x ≠，再计算()2(2)++-f x f x ，即可得出结果.【详解】因为240-≠x ，所以2x ≠，即函数()142xf x =-的定义域为{}2x x ≠；又()2112424(12)++==--x x f x ，()2112224424(21)4(12)42--====-----x xx x x xf x ，所以()1212(2)4(12)4(12)4++-=-=--x x x f x f x ，即()2(2)128++-=f x f x ，所以函数()142x f x =-的图象关于点12,8⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称.故答案为12,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查求函数对称中心，熟记对称中心的概念即可，属于常考题型.11.设{}2|M y y x -==，()()()1|1112,121⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬⎪-⎝⎭⎩⎭N y y x m x x m ，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是______.【答案】()1,0-【分析】先化简集合M ，再由()()()1()11121⎛⎫=+-+-- ⎪-⎝⎭f x x m x m 是一次函数，根据N M ⊆，列出不等式组，求解，即可得出结果.【详解】因为{}{}2|0M y y x y y -===>，令()()()1()11121⎛⎫=+-+-- ⎪-⎝⎭f x x m x m ，则()f x 是一次函数，又N M ⊆，()()()1|1112,121⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬⎪-⎝⎭⎩⎭N y y x m x x m ，所以只需(1)0(2)0f f >⎧⎨>⎩，即()(1)1101(2)101f m m f m ⎧=--=->⎪⎨=+>⎪-⎩，解得10m -<<；故实数m 的取值范围是()1,0-.故答案为()1,0-【点睛】本题主要考查由集合的包含关系求参数的问题，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型.12.已知函数()241f x ax x =++，若对任意x R ∈，()()0ff x ≥恒成立，实数a 的取值范围是______.【答案】[)3,+∞【分析】由题意，分别讨论0a =，0a >，a<0三种情况，根据二次函数单调性即可求出结果.【详解】（1）当0a =时，()41f x x =+，则()()165=+f f x x ，显然不满足对任意x R ∈，()()0f f x ≥恒成立；（2）当0a >时，()224411⎛⎫=++≥-=- ⎪⎝⎭f x ax x f a a ，若02a <≤，则242110⎛⎫---=-> ⎪⎝⎭a a a ，即241-≥-a a，所以()()241⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭f f x f a a ，因为对任意x R ∈，()()0ff x ≥恒成立，所以只需410-≥a，所以4a ≥（舍）；若2a >，则241-<-a a ，所以()()2444114113⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥-=-+-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f x f a a a a a ，因为对任意x R ∈，()()0ff x ≥恒成立，所以只需30-≥a ，所以3a ≥；（3）当a<0时，()241⎛⎫≤-=- ⎪⎝⎭f x f a a ，不满足对任意x R ∈，()()0f f x ≥恒成立；综上，实数a 的取值范围是[)3,+∞.【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记二次函数的图像与性质即可，属于常考题型.二、选择题13.下列四组函数中，不是互为反函数的是A.3y x -=和13y x-= B.23y x =和()320y xx =≥C.()20xy x =>和()2log 1y x x => D.()()lg 11y x x =->和101xy =+【答案】B【分析】根据反函数的概念与性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于选项A ，由3y x -=得13-=x y，即3y x -=和13y x-=互为反函数；对于选项B ，由23y x =得x R ∈，由()320y x x =≥得320=≥y x ，根据反函数的性质，可得，23y x =和()320y xx =≥不是互为反函数；对于选项C ，D ，由对数函数与指数函数的性质，可得()20xy x =>和()2log 1y x x =>互为反函数，()()lg 11y x x =->和101x y =+也互为反函数.故选B【点睛】本题主要考查判断两函数是否互为反函数，熟记反函数的概念与性质即可，属于常考题型.14.“1a >”是“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【分析】先由函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增，得到101a a ->⎧⎨>⎩或1001a a -<⎧⎨<<⎩，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增，所以101a a ->⎧⎨>⎩或1001a a -<⎧⎨<<⎩，即1a >或01a <<；因此，由“1a >”能推出“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”，反之不能推出.因此，“1a >”是“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”的充分不必要条件.故选A【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判断，熟记充分条件与必要条件即可，属于常考题型.15.下列四个函数中，图象如图所示的只能是A.lg y x x=+ B.lg y x x =-C.lg y x x=-+ D.lg y x x=--【答案】B 【详解】试卷分析：A 中，110,ln10y x '=+>∴函数在(0,)+∞上单调递增,A 不成立；B 中，110ln10y x '=->,当0lg x e <<时,'0<y ,当lg x e >时'0>y ,故函数先减后增,B 成立；C 中,11ln10y x '=-+，当0lg x e <<时,'0>y ,当lg x e >时，'0<y ,故函数为先增后减,不符合题意；D 中，110ln10y x '=--<,故函数在(0,)+∞上单调递减,不符合题意.故选B.考点：函数的图象.16.已知n m <，函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[]1,1-，有下列结论：①当0n =时，(]0,2m Î；②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈；④当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时(],2m n ∈.A.①②B.①③C.②③D.③④【答案】C 【分析】先根据指数函数与对数函数单调性，作出函数2123--=-x y 与()12log 1=-y x 的图像，根据题中条件，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于函数2123--=-x y ，当1x >时，10x ->，2132323-+-=-=-x x y ，单调递减；当11x -<<时，2112323+-+=-=-x x y 单调递增；作出函数2123--=-x y 与()12log 1=-y x 的图像如下：对于①，当0n =时，()()1221log 1,1023,0x x x f x x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，因为()f x 的值域是[]1,1-，由图像可得：[]1,2m ∈，故①错；对于②，当12n =时，()()12211log 1,12123,2x x x f x x m --⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，因为()f x 的值域是[]1,1-，112x ≤≤-时，()()[]12log 11,1=-∈-f x x ，所以只需1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦即可，②正确；对于③④，当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()()1122log 1log 11=-<-<f x x n ，由图像可得，只需[]1,2m ∈，所以③正确，④错；故选C【点睛】本题主要考查由分段函数的值域求参数的问题，熟记指数函数与对数函数的图像与性质，利用数形结合的思想即可求解，属于常考题型.三、解答题17.已知幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈是奇函数，且()()12f f <.（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()2212log log 2y f x f x ⎡⎤=+⎣⎦，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域.【答案】（1）0m =，()3f x x =；（2）5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先由题意，得到幂函数()f x 单调递增，推出2230-++>m m ，解得312m -<<，根据m Z ∈，得到0m =或1m =；分别将0m =和1m =代入函数解析式，判断函数奇偶性，即可得出结果；（2）先由（1）化简()()2212log log 2y f x f x ⎡⎤=+⎣⎦为()2229log 13log =--y x x ，令2log t x =，将函数化为2215319649⎛⎫--=-- ⎪=⎝⎭y t t t ，根据二次函数单调性，即可求出结果.【详解】（1）因为幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈，()()12f f <所以()f x 单调递增，所以2230-++>m m ，即()23(1)0-+<m m ，解得312m -<<，又m Z ∈，所以0m =或1m =，当0m =时，()3f x x =，满足()3()=--=-f x f x x ，因此()3f x x =是奇函数；当1m =时，()2213-++==f x x x ，显然是偶函数；所以0m =，()3f x x =；（2）因为()3f x x =，所以()()()2233212229log log 2log 13log =+--=y x x x x ，令2log t x =，因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]1,1t ∈-，所以2215319649⎛⎫--=-- ⎪=⎝⎭y t t t ，所以2193-=-y t t 在11,6⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭t 上单调递减，在1,16⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，因此min 54=-y ；又当1t =-时，11931-==+y ；当1t =时，3591=--=y ；因此max 11y =，所求函数值域为：5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查由幂函数奇偶性求参数与函数解析式，以及求复合函数的值域，熟记函数奇偶性，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.18.已知函数()()2log a f x x =+，a 为常数，()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数.（1）当2a =时，满足()1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数()1g x -.【答案】（1）()32,0,2⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）()[][)1210,1121,0x x x g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩.【分析】（1）先由2a =，得到()2log 21+>x ，解不等式，即可得出结果；（2）先由()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数，得到()20log 0==g a ，求出1a =，分别求出01x ≤≤时，对应的反函数解析式，以及10x -≤<时，对应的反函数解析式，即可得出结果.【详解】（1）当2a =时，不等式()1f x >可化为：()2log 21+>x ，所以2log (2)1+>x 或2log (2)1+<-x ，即22x +>或1022<+<x ，所以0x >或322-<<-x ，因此满足()1f x >的x 取值范围为：()32,0,2⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为01x ≤≤时，()()2log ()==+g x f x x a ，因为()g x 是定义在[]1,1-上的奇函数，所以()20log 0==g a ，解得1a =；所以，当01x ≤≤时，()2log (1)=+g x x ，所以()21=-g x x ，因此()121-=-x gx ；当10x -≤<时，01x <-≤，所以()2log (1)-=-+g x x ，因为()()-=-g x g x ，所以()2log (1)-=-+g x x ，因此()21--=-g x x ，所以()12-=-g x x ，因此1()12--=-x g x ，综上，()[][)1210,1121,0x x x g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩【点睛】本题主要考查解对数不等式，以及求函数的反函数解析式，熟记对数函数的性质，以及反函数的概念即可，属于常考题型.19.如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中，钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率-=输入该对的钢带厚度输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度.（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在刚带上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算1L ，2L ，3L .【答案】（1）11；（2）13125L =，22500L =，32000L =.【分析】（1）设安装n 对轧辊，由题意列出不等式()20120%2-≤n，求解，即可得出结果；（2）根据题意，第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间钢带体积与冷轧机出口处两疵点间钢带体积相等，因宽度不变，可得到31600(120%)=⋅-L ，求出3L ，同理即可求出1L ，2L .【详解】（1）设安装n 对轧辊，因为输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，每对轧辊的减薄率不超过20%，则有()20120%2-≤n ，即41510⎛⎫≤ ⎪⎝⎭n ，两边同时取对数可得45111log 10.3110lg 4lg 5lg 52lg 2-≥==≈--n ，所以至少安装11对轧辊；（2）第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间钢带体积与冷轧机出口处两疵点间钢带体积相等，因宽度不变，31600(120%)=⋅-L ，所以32000()=L mm ；同理：32(120%)=⋅-L L ，21(120%)=⋅-L L ，所以22500()=L mm ，13125()=L mm .【点睛】本题主要考查指数函数模型的应用，熟记指数函数的性质即可，属于常考题型.20.已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数）.（1）判断函数()2x y f =的奇偶性；（2）若不等式()12242<++x x x f 在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围；（3）设()11x g x x -=+，是否存在正数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以()f g m ⎡⎤⎣⎦，()f g n ⎡⎤⎣⎦，()f g p ⎡⎤⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1a =±，偶函数；1a ≠±，非奇非偶函数；（2）()3,3-；（3）1515,153⎛ ⎝⎭.【分析】（1）先由题意得到函数()2x y f =的定义域，再由函数奇偶性的定义，分别讨论21a =与21≠a ，即可判断出结果；（2）先由题意，将问题转化为2221+<+x a 在[]0,1x ∈上能成立；求出221+=+x y 的最大值，即可得出结果；（3）先假设存在正数a 满足题意；设()12111-===-+++x t g x x x ，求出1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，将对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以()f g m ⎡⎤⎣⎦，()f g n ⎡⎤⎣⎦，()f g p ⎡⎤⎣⎦为边长的三角形，转化为()max min 2()>f t f t ，任取12113≤<≤t t ，作差得到()()()21212121⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭a f t f t t t t t ，分别讨论2109<≤a ，21193<≤a ，2113<<a ，21a ≥四种情况，得出函数单调性，求出最值，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】（1）由题意可得：()2222222-=+=+⋅x xx x x a f a 的定义域为R ，又()2222222----=+=+⋅x xx x x a f a ，当21a =，即1a =±时，()()22-=x x f f ，所以()2xy f =是偶函数；当21≠a ，即1a ≠±时，()2x y f =是非奇非偶函数；（2）由不等式()12242<++x x x f 可得：2212422-<++⋅+x x x x a ，即2221+<+x a ，所以不等式()12242<++x x x f 在[]0,1x ∈时有解，等价于2221+<+x a 在[]0,1x ∈上能成立；又221+=+x y 在[]0,1x ∈上单调递增，所以59≤≤y 因此，只需29<a ，解得33a -<<；即实数a 的取值范围是()3,3-；（3）假设存在正数a 满足题意；设()12111-===-+++x t g x x x ，则211t x =-++在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2()==+a f g x f t t t；所以对于区间10,2⎡⎤⎢⎣⎦上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以()f g m ⎡⎤⎣⎦，()f g n ⎡⎤⎣⎦，()f g p ⎡⎤⎣⎦为边长的三角形，等价于()max min 2()>f t f t ，任取12113≤<≤t t ，所以120t t -<，12119<<t t 则()()()22212121212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a a f t f t t t t t t t t t ，①当2109<≤a 时，()2121210⎛⎫--< ⎪⎝⎭a t t t t ，所以()()12<f t f t ，即()2=+a f t t t 在1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2max (1)1==+f t f a ，()2min 11333⎛⎫==+ ⎪⎝⎭f t f a ，由()max min 2()>f t f t 得222613+>+a a ，解得：2115>a ，所以211159<≤a ；②当21193<≤a 时，易得：()2=+a f t t t 在1,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭t a 上单调递减，在(,1⎤∈⎦t a 上单调递增，所以()()min 2==f t f a a ，()222max 11max ,(1)max 3,1133⎧⎫⎛⎫⎧⎫==++=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭f t f f a a a ，由()max min 2()>f t f t 得：241>+a a，解得：22-<<+a 所以21193<≤a ；③当2113<<a 时，易得：()2=+a f t t t 在在1,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭t a 上单调递减，在(,1⎤∈⎦t a 上单调递增，所以()()min 2==f t f a a ，()222max 111max ,(1)max 3,13333⎧⎫⎛⎫⎧⎫==++=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭f t f f a a a ，由()max min 2()>f t f t 得：21433>+a a ，解得：232333<<a ，所以2113<<a ；④当21a ≥时，()2121210⎛⎫--> ⎪⎝⎭a t t t t ，所以()()12>f t f t ，即()2=+a f t t t 在1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()2min (1)1==+f t f a ，()2max 11333⎛⎫==+ ⎪⎝⎭f t f a ，由()max min 2()>f t f t 得()2212133+>+a a ，解得253<a ，所以2513≤<a ；综上，215153<<a ，又a 为正数，所以1515,153a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.即存在1515,153a ⎛∈ ⎝⎭满足题意.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及由不等式能成立求参数的问题，熟记函数奇偶性与单调性，灵活运用分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型.21.函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数x ，y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=.（1）证明：()01f =；（2）比较12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1f 大小，并说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）()11122f f f ⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）根据题意，令1x =，0y =，得到()()()21210=f f f ，再由0x ≠时，()1f x >，即可得出(0)1f =；（2）令0x =，得到()()-=f y f y ，所以()f x 为偶函数；因此1122⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ，令12x y ==得()211212⎛⎫=- ⎪⎝⎭f f ，作出，根据二次函数的单调性，即可得出结果.【详解】（1）证明：因为对任意有理数x ，y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，令1x =，0y =，则()()()()11210+=f f f f ，即()()()21210=f f f ，又0x ≠时，()1f x >，所以()11>f 因此(0)1f =；（2）令0x =，由()()()()2f x y f x y f x f y ++-=可得：()()()()202()+-==f y f y f f y f y ，所以()()-=f y f y ，因此，函数()f x 为偶函数；所以1122⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ；令12x y ==得()()211022⎛⎫+= ⎪⎝⎭f f f ，所以()211212⎛⎫=- ⎪⎝⎭f f ，因此()221912122811112224⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎡⎤⎛⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎫-=--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦f f f f f ，因为0x ≠时，()1f x >，所以112⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，因此21192824⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎣⎦⎭-⎝f 在112⎛⎫> ⎪⎝⎭f 上单调递增，所以2291112492210848⎡⎤⎛⎫->--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭⎣⎦f .因此()1102⎛⎫ ⎪⎝>⎭-f f ，所以11(1)22⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f .【点睛】本题主要考查赋值法求函数值，以及比较函数值的大小，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.。
2017-2018学年上海复旦附中高一上学期期末考数学试卷含详解
2017-2018学年上海复旦附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是A.y = B.2(1)y x =-C.2xy -= D.0.5log (1)y x =+2.已知函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（）A.[1,)+∞ B.[0,2]C.(,2]-∞D.[1,2]3.如果函数()y f x =图象上任意一点的坐标(),x y 都满足方程()lg lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是（）A.()y f x =是区间()0,∞+上的减函数，且4x y +≤B.()y f x =是区间()1,+∞上的增函数，且4x y +≥C.()y f x =是区间()1,+∞上的减函数，且4x y +≥D.()y f x =是区间()1,+∞上的减函数，且4x y +≤4.若函数()f x 的反函数为()1fx -，则函数()1f x -与()11f x --的图象可能是()A. B.C.D.二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）5.函数()1f x x =-的定义域是________.6.函数()2210y x x =+-≤≤的反函数()1f x -=______．7.设2()f x =()g x x=，则()()f x g x ⋅=__________﹒8.若log 41,a b =-则a b +的最小值为_________.9.幂函数()()3311t f x t t x+=-+是奇函数，则()2f =______．10.函数21lg82y x x=+-的单调递减区间是______．11.函数1223xxy -=+的值域是______．12.设关于x 的方程265x x a -+=的不同实数解的个数为n ，当实数a 变化时，n 的可能取值组合的集合为______．13.对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______.14.若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是______；15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x ax a =-+，其中a R ∈．①()1f -=______；②若()f x 的值域是R ，则a 的取值范围是______．16.已知函数()()41g x t x x=--，[]1,2x ∈的最大值为()f t ，则()f t 的解析式为()f t =______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知关于x 的不等式()22log 230x x t -++<，其中t R ∈．（1）当0=t 时，求该不等式的解；（2）若该不等式有解，求实数t 的取值范围．18.已知函数()()210x f x x x +⎛⎫=> ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的反函数()1fx -；（2）若2x ≥时，不等式()()(11x fx a a ---＞恒成立，求实数a 的范围．19.某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与时刻x （时）的关系为()23214x f x a a x =-+++，[)0,24x ∈，其中a 是与气象有关的参数，且102a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．若用每天()f x 的最大值为当天的综合污染指数，并记作()M a ．（1）令21xt x =+，[)0,24x ∈，求t 的取值范围；（2）求()M a 的表达式，并规定当()2M a ≤时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．20.指数函数()y g x =满足()24g =，且定义域为R 的函数()()()2g x n f x g x m-+=+是奇函数．（1）求实数,m n 的值；（2）若存在实数t ，使得不等式()()22220f t t f t k -+->成立，求实数k 的取值范围．21.设集合M 为下述条件的函数()f x 的集合：①定义域为R ；②对任意实数()1212,x x x x ≠，都有()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＜．（1）判断函数()2f x x =是否为M 中元素，并说明理由；（2）若函数()f x 是奇函数，证明：()f x M ∉；（3）设()f x 和()g x 都是M 中的元素，求证：()()()()()()(),,f x f x g x F x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩也是M 中的元素，并举例说明，()()()()()()(),,f x f x g x G x g x f x g x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩不一定是M 中的元素．2017-2018学年上海复旦附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是A.y = B.2(1)y x =-C.2xy -= D.0.5log (1)y x =+【答案】A【详解】试卷分析：对A ，函数在上为增函数，符合要求；对B ，在上为减函数，不符合题意；对C ，为上的减函数，不符合题意；对D ，在上为减函数，不符合题意.故选A.考点：函数的单调性，容易题.2.已知函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（）A.[1,)+∞B.[0,2]C.(,2]-∞D.[1,2]【答案】D【分析】根据二次函数223y x x =-+的关系式，可求出对称轴、顶点坐标、与y 轴交点坐标，可画出大致图象，再根据二次函数223y x x =-+在闭区间[0，]m 上有最大值3，最小值2，确定m 的取值范围．【详解】解： 二次函数2223(1)2y x x x =-+=-+，∴抛物线开口向上，对称轴为1x =，顶点坐标为(1,2)，与y 轴的交点为(0,3)其大致图象如图所示：由对称性可知，当3y =时，0x =或2x =，二次函数223y x x =-+在闭区间[0，]m 上有最大值3，最小值2，12m ∴．故选：D ．3.如果函数()y f x =图象上任意一点的坐标(),x y 都满足方程()lg lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是（）A.()y f x =是区间()0,∞+上的减函数，且4x y +≤B.()y f x =是区间()1,+∞上的增函数，且4x y +≥C.()y f x =是区间()1,+∞上的减函数，且4x y +≥D.()y f x =是区间()1,+∞上的减函数，且4x y +≤【答案】C【分析】由给出的方程得到函数()y f x =图象上任意一点的横纵坐标,x y 的关系式，利用基本不等式求出x y +的范围，整理出()1111y x x =+≠-，可得函数在()1,+∞上的增减性，二者结合可得正确答案．【详解】()lg lg lg lg x y x y xy+=+= 00x y x y xy >⎧⎪∴>⎨⎪+=⎩22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（当且仅当x y =时取等号）22x y x y +⎛⎫∴+≤ ⎪⎝⎭，解得：4x y +≥由x y xy +=得：()11111111x x y x x x x -+===+≠---当()1,x ∈+∞时，11y x =-为减函数111y x ∴=+-在()1,+∞上为减函数故选C【点睛】本题考查了函数单调性的判断，利用基本不等式求最值等知识，关键是能利用对数方程得到真数之间的关系，属于基础题．4.若函数()f x 的反函数为()1fx -，则函数()1f x -与()11f x --的图象可能是()A.B.C.D.【答案】A【分析】f （x ）和f ﹣1（x ）关于y=x 对称是反函数的重要性质；而将f （x ）的图象向右平移a 个单位后，得到的图象的解析式为f （x ﹣a ）而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称轴也相应平移．【详解】函数f （x ﹣1）是由f （x ）向右平移一个单位得到，f ﹣1（x ﹣1）由f ﹣1（x ）向右平移一个单位得到，而f （x ）和f ﹣1（x ）关于y=x 对称，从而f （x ﹣1）与f ﹣1（x ﹣1）的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x ﹣1，排除B ，D ；A ，C 选项中各有一个函数图象过点（2，0），则平移前的点坐标为（1，0），则反函数必过点（0，1），平移后的反函数必过点（1，1），由此得A 选项有可能，C 选项排除；故答案为：A【点睛】本题主要考查函数与其反函数的关系，考查函数的图像的变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.用整体平移的思想看问题，是解决本题的关键．二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）5.函数()1f x x =-的定义域是________.【答案】{|2x x -且1}x ≠【分析】根据分明不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式求解.【详解】由题意，要使函数有意义，则1020x x -≠⎧⎨+≥⎩，解得，1x ≠且2x ≥-；故函数的定义域为：{|2x x -且1}x ≠.故答案为：{|2x x -且1}x ≠.【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.6.函数()2210y x x =+-≤≤的反函数()1fx -=______．【答案】()1fx -=，[]2,3x ∈【分析】由原函数的解析式解出自变量x 的解析式，再把x 和y 交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）即可．【详解】()2210y x x =+-≤≤ []2,3y ∴∈又x =()1f x -∴=，[]2,3x ∈故答案为()1fx -=，[]2,3x ∈【点睛】本题考查反函数的求解，反函数的定义域容易疏忽出错，注意反函数的定义域是原函数的值域．7.设2()f x =()g x x=，则()()f x g x ⋅=__________﹒【答案】x ，x ＞1【分析】求f (x )·g (x )的定义域，然后化简f (x )·g (x )即可﹒【详解】()()f x g x ⋅定义域为(1，＋∞)，2()()x f x xx g ⋅==，∴()()f x g x ⋅=x ，x ＞1．故答案为：x ，x ＞1．8.若log 41,a b =-则a b +的最小值为_________.【答案】1【详解】试卷分析：由log 41,a b =-得104a b=>，所以114a b b b +=+≥=（当且仅当14b b =即12b =时，等号成立）所以答案应填1.考点：1、对数的运算性质；2、基本不等式.9.幂函数()()3311t f x t t x+=-+是奇函数，则()2f =______．【答案】2【分析】根据幂函数的定义求出t 的值，再验证()f x 是否为奇函数，从而求出()2f 的值．【详解】()()3311t f x t t x+=-+ 为幂函数311t t ∴-+=，解得：1t =±或0当1t =时，()4f x x =为偶函数，不合题意当1t =-时，()2f x x -=为偶函数，不合题意当0=t 时，()f x x =为奇函数，符合题意()22f ∴=综上所述：()22f =故答案为2【点睛】本题考查了幂函数的定义、奇偶性的应用，属于基础题．10.函数21lg 82y x x =+-的单调递减区间是______．【答案】(]2,1-【分析】根据对数函数定义域要求求得函数的定义域；根据复合函数单调性，由对数函数为增函数，要求复合函数的减区间，需求真数的减区间，即分式的分母的增区间，利用二次函数的单调性求解即可得到结果．【详解】由题意得：21082x x >+-，解得：24-<<x ∴函数21lg82y x x=+-的定义域为()2,4-根据复合函数单调性可知，要求21lg 82y x x=+-的单调递减区间，只需求282y x x =+-在()2,4-上的单调递增区间即可282y x x =+-在(]2,1-上单调递增，在[)1,4上单调递减∴函数21lg82y x x=+-的单调递减区间为(]2,1-故答案为(]2,1-【点睛】本题考查复合函数的单调性的求解，涉及到分式函数、二次函数和对数函数的单调性；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.11.函数1223xxy -=+的值域是______．【答案】11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】采用分离常数法得到4123x y =-++，根据指数函数的值域和不等式的性质即可求得函数的值域.【详解】()2341241232323x x x x x y -++-===-++++233x +> 440233x ∴<<+4111233x ∴-<-+<+∴函数1223xx y -=+的值域为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查分离常数法求解分式型函数的值域问题，涉及到指数函数值域的运用，属于基础题.12.设关于x 的方程265x x a -+=的不同实数解的个数为n ，当实数a 变化时，n 的可能取值组合的集合为______．【答案】{}0,2,3,4【分析】将方程265x x a -+=的实数解的个数问题转化为265y x x =-+与y a =交点的个数问题，作图分析即得答案．【详解】由题意知：n 为265y x x =-+与y a =交点的个数在平面直角坐标系中画出265y x x =-+与y a =的图象，如图：①当a<0时，该方程没有实数根，0n =；②当0a =时，该方程恰有两个实数解，2n =；③当04a <<时，该方程有四个不同的实数根，4n =；④当4a =时，该方程有三个不同的实数根，3n =；⑤当4a >时，该方程有两个不同的实数根，2n =；n ∴的可能取值组合的集合为{}0,2,3,4故答案为{}0,2,3,4【点睛】本题考查了根的存在性及根的个数判断，关键是能够将问题转化为函数交点个数问题，通过数形结合的方法来进行求解．13.对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______.【答案】10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】不动点实际上就是方程f （x 0）=x 0的实数根，二次函数f （x ）=x 2+ax +4有不动点，是指方程x =x 2+ax +4有实根，即方程x =x 2+ax +4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可．【详解】解：根据题意，f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x =x 2+ax +4在[1，3]有两个实数根，即x 2+（a ﹣1）x +4=0在[1，3]有两个不同实数根，令g （x ）=x 2+（a ﹣1）x +4在[1，3]有两个不同交点，∴2(1)0(3)01132(1)160g g a a ≥⎧⎪≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩，即24031001132(1)160a a a a +≥⎧⎪+≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩，解得：a ∈10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；故答案为：10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，属于中档题．14.若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是______；【答案】[)5,+∞【分析】根据条件可化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩解不等式组即可.【详解】当1x <时，()()121861927f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+，当12x ≤<时，()()121861725f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+，且()112f m =+，当23x ≤<时，()()121861725f x x mx m x m m x =-+-+-=-+-，且()27f =，当3x ≥时，()()126181927f x x mx m x m m x =-+-+-=--++，且()32f m =+，若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，根据一次函数的单调性和函数值可得()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩，解得5m ≥，故实数m 的取值范围为[)5,+∞故答案为：[)5,+∞【点睛】本题考查了由分段函数的单调性和最值求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于中档题.15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x ax a =-+，其中a R ∈．①()1f -=______；②若()f x 的值域是R ，则a 的取值范围是______．【答案】①.1-②.(][),04,-∞+∞ 【分析】①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；②由()f x 的图象关于原点对称，可知二次函数的图象与x 轴有交点，得到0∆≥，解不等式即可得到所求范围．【详解】①由题意得：()111f a a =-+=()f x 为R 上的奇函数()()f x f x ∴-=-()()111f f ∴-=-=-②若()f x 的值域为R 且()f x 图象关于原点对称∴当0x >时，()2f x x ax a =-+与x 轴有交点240a a ∴∆=-≥解得：0a ≤或4a ≥a ∴的取值范围为(][),04,-∞+∞ 故答案为1-；(][),04,-∞+∞ 【点睛】本题考查函数的奇偶性的运用，根据函数的值域求解参数范围，涉及到函数函数对称性和二次函数的性质的应用，属于中档题．16.已知函数()()41g x t x x=--，[]1,2x ∈的最大值为()f t ，则()f t 的解析式为()f t =______．【答案】24,0305,3t t t t t -≥⎧⎪--<<⎨⎪-≤-⎩【分析】当1t =和1t >时，可知函数单调递增，则()()2f t g =；当1t <时，结合对号函数性质得到()g x 在()0,∞+2≥、12<<和1≤三种情况下确定()g x在[]1,2上的单调性，进而可确定最大值点，代入求得最大值；综合各种情况可得最终结果.【详解】①当1t=时，()4g xx=-，可知()g x在[]1,2上单调递增()()22f t g∴==-②当1t>时，()()41g x t xx=--，可知()g x在[]1,2上单调递增()()222224f tg t t∴==--=-③当1t<时，()()()4411g x t x t xx x⎡⎤=--=--+⎢⎥⎣⎦由对勾函数性质可知：()g x在⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减2≥，即01t≤<时，()g x在[]1,2上单调递增()()224f tg t∴==-⑵当12<<，即30t-<<时()g x在⎡⎢⎣上单调递增，在2⎤⎥⎦上单调递减()f t g∴==--1≤，即3t£-时，()g x在[]1,2上单调递减()()15f tg t∴==-综上所述：()24,0305,3t tf t tt t-≥⎧⎪=--<<⎨⎪-≤-⎩故答案为24,0305,3t ttt t-≥⎧⎪--<<⎨⎪-≤-⎩【点睛】本题考查含参数的函数最值的求解，涉及到对号函数性质的应用；关键是能够通过分类讨论的方式，将变量所处不同范围时函数的单调性确定，进而根据函数单调性得到最值.三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知关于x的不等式()22log230x x t-++<，其中t R∈．（1）当0=t时，求该不等式的解；（2）若该不等式有解，求实数t 的取值范围．【答案】（1）130,1,22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ；（2）9,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据对数函数性质可得20231x x <-+<，解不等式求得结果；（2）不等式有解等价于2223231x x t x x -<<-+能成立；分别求出不等式左右两侧函数的最小值和最大值，从而得到t 的范围.【详解】（1）当0=t 时，不等式为：()22log 230x x -+<，即20231x x <-+<等价于22231230x x x x ⎧-+<⎨-+>⎩，解得：102x <<或312x <<∴不等式的解集为130,1,22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2） 不等式()22log 230x x t -++<有解20231x x t ∴<-++<有解2223231x x t x x ∴-<<-+能成立令()223f x x x =-，则()min 39994848f x f ⎛⎫==-=-⎪⎝⎭令()2231g x x x =-+，则x →+∞或x →-∞时，()g x →+∞98t ∴>-，即实数t 的取值范围为9,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查对数不等式的求解、能成立问题的求解；解决能成立问题的关键是能通过分离变量的方式将问题转化为变量与函数最值之间的大小比较，通过求解函数最值求得结果；易错点是求解对数不等式时，忽略定义域的要求.18.已知函数()()210x f x x x +⎛⎫=> ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的反函数()1fx -；（2）若2x ≥时，不等式()()(11x f x a a ---＞恒成立，求实数a 的范围．【答案】（1）())11fx x -=>；（2）()1-+【分析】（1）首先确定()f x 的值域，再根据解析式反解出x ，再将,x y 互换，标注出定义域（即()f x 的值域）即可得到结果；（2）利用（1）的结论，将不等式化成(211a a +>-，分别在1a =-、1a >-和1a <-三种情况下，利用恒成立的思想求解出实数a 的取值范围.【详解】（1）()22111x f x x x +⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x >111x∴+>()()1,y f x ∴=∈+∞又11x+=，解得：x =())11f x x -∴=>（2）由（1）得：((11x a a -=>(211a a ∴+>-①当1a =-时，00>，不成立②当1a >-2111a a a ->=-+对2x ≥恒成立11a ∴-<<+③当1a <-1a <-对2x ≥恒成立x →+∞→+∞∴此时a 无解综上所述：()1a ∈-+【点睛】本小题主要考查反函数、函数恒成立问题等知识，考查运算求解能力；求反函数，一般应分以下步骤：求解出()y f x =的值域，即为所求反函数的定义域；由解析式反求出()x g y =；交换()x g y =中,x y 的位置，标注出定义域即可得到()1fx -.19.某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与时刻x （时）的关系为()23214x f x a a x =-+++，[)0,24x ∈，其中a 是与气象有关的参数，且102a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．若用每天()f x 的最大值为当天的综合污染指数，并记作()M a ．（1）令21xt x =+，[)0,24x ∈，求t 的取值范围；（2）求()M a 的表达式，并规定当()2M a ≤时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．【答案】（1）10,2⎡⎤⎢⎣⎦；（2）答案见解析，50,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）当0x =时，得到0=t ；当024x <<时，11t x x=+，利用对勾函数性质可求得10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，取并集得到结果；（2）由（1）可将()f x 化为()33034231442a t t a g t t a a t a a t ⎧-+≤≤⎪⎪=-++=⎨⎪++<≤⎪⎩，，，得到()g t 的单调性后，可知最大值在0=t 或12t =处取得；分别在104a ≤≤和1142a <≤两种情况下确定()g t 的最大值，即()M a ，由()2M a ≤得到不等式，解不等式求得结果.【详解】（1）当0x =时，0=t 当024x <<时，11t x x=+12x x +≥ （当且仅当1x x =，即1x =时取等号），又0x →时，1x x +→+∞[)12,x x∴+∈+∞110,12t x x⎛⎤∴=∈ ⎥⎝⎦+综上所述：10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知：令21x t x =+，则10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当10,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()33034231442a t t a f x g t t a a t a a t ⎧-+≤≤⎪⎪==-++=⎨⎪++<≤⎪⎩，当[]0,t a ∈时，()g t 单调递减；1,2t a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()g t 单调递增又()3034g a =+，1524g a ⎛⎫=+⎪⎝⎭()110222g g a ⎛⎫∴-=-⎪⎝⎭①当104a ≤≤时，1202a -≤()1524M a g a ⎛⎫∴==+⎪⎝⎭由()2M a ≤得：34a ≤10,4a ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦②当1142a <≤时，1202a ->()()3034M a g a ∴==+由()2M a ≤得：512a ≤15,412a ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦综上所述：当50,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，综合污染指数不超标【点睛】本题主要考查了利用给定函数模型求解实际问题，涉及到函数值域的求解、根据函数性质求解不等式等知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.指数函数()y g x =满足()24g =，且定义域为R 的函数()()()2g x n f x g x m-+=+是奇函数．（1）求实数,m n 的值；（2）若存在实数t ，使得不等式()()22220f t t f t k -+->成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）2m =，1n =；（2）1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由指数函数定义可求得()g x ；利用()f x 为R 的奇函数可利用特殊值()00f =和()()11f f -=-构造方程求得,m n ；（2）由（1）结论可得()11221x f x =-++，可知()f x 为减函数；利用奇偶性将不等式化为()()2222f t t f k t ->-，由单调性得自变量大小关系，整理可得232k t t >-，由不等式有解可得()2min32k t t >-，根据二次函数最小值可求得结果.【详解】（1）()y g x = 为指数函数，即x y a =，又()24g =2a ∴=，即()2xg x =()122x x n f x m+-+∴=+()f x 是定义域为R 的奇函数()00f ∴=，即102n m -=+1n ∴=又()()11f f -=-1121214m m -+-+∴=-++，解得：2m =（2）由（1）得：()()()1212121122221221x x x x x f x +-++-===-++++2x y = 在R 上单调递增()f x \在R 上单调递减()f x 为奇函数()()22220f t t f t k ∴-+->可化为()()()222222f t t f t k f k t ->--=-2222t t k t ∴-<-，即232k t t>-令()232h t t t =-，则()min 11213333h t h ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭13k ∴>-即k 的取值范围为1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的知识点包括：待定系数法求指数函数的解析式，利用函数的奇偶性和函数单调性求解函数不等式，根据不等式能成立求解参数范围的问题；关键是能够利用函数性质将函数值的比较转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法得到所求变量与函数最值之间的关系．21.设集合M 为下述条件的函数()f x 的集合：①定义域为R ；②对任意实数()1212,x x x x ≠，都有()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＜．（1）判断函数()2f x x =是否为M 中元素，并说明理由；（2）若函数()f x 是奇函数，证明：()f x M ∉；（3）设()f x 和()g x 都是M 中的元素，求证：()()()()()()(),,f x f x g x F x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩也是M 中的元素，并举例说明，()()()()()()(),,f x f x g x G x g x f x g x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩不一定是M 中的元素．【答案】（1）()2f x x =为M 中元素，理由见解析；（2）详见解析；（3）详见解析【分析】（1）函数()2f x x =的定义域为R ，运用作差法结合新定义，可判断出满足条件，即可得到结论；（2）根据()()f x f x -=-，得到当210x x ->->时，()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫+>+⎪⎝⎭，即可得证；（3）分别讨论12,x x 对应点都在()f x 或()g x 上、12,x x 分别在两个函数上两种情况，可验证出结论；举例()2f x x =，()()23g x x =+，取12x =-，21x =-，可验证出不符合条件，即可得到结论．【详解】（1）函数()2f x x =的定义域为R ，满足条件①()()22121212123333f x f x x x +=+ ，2221212112212121443333999f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()222121211221212122422033339999f x x f x f x x x x x x x ⎛⎫∴+--=-+-=--< ⎪⎝⎭即：()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫+<+⎪⎝⎭，满足条件②∴函数()2f x x =是M 中元素（2）()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-若当210x x ->->时，()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫--<-+- ⎪⎝⎭则121212123333f x x fx x ⎛⎫⎛⎫+=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()121212123333f x f x f x f x +=----()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，不满足条件②，()f x M∴∉（3）①若12,x x 对应的点在()f x 或()g x 图象上()(),f x g x Q 都是M 中的元素()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫∴+<+ ⎪⎝⎭，()()121212123333g x x g x g x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭可知结论必然成立②若12,x x 对应的点一个在()f x 上，一个在()g x 上()()()()121212121212333333f x g x g x g x g x x ⎛⎫∴+>+>+ ⎪⎝⎭或()()()()121212121212333333f x g x f x f x f x x ⎛⎫+>+>+ ⎪⎝⎭∴题设结论成立综上所述：()()()()()()(),,f x f x g x F x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩是M 中元素当()2f x x =，()()23g x x =+，满足()(),f x g x 均为M 中元素当32x ≥-时，()2G x x =；当32x <-时，()()23G x x =+取12x =-，21x =-1212433332x x ∴+=->-，41639G ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭又()()12121213333G x G x +=+=，()()121212123333G x x G x x ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭()G x ∴存在不满足条件的情况，不一定为M 中的元素【点睛】本题考查新定义的理解与运用，涉及到函数奇偶性的应用、作差法和反例法的应用，考查学生的推理能力和计算能力，相对较抽象，属于中档题.。