概率统计练习册ch6

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统计部分(ch2-ch6)练习答案

数理统计部分（ch2-ch6）练习答案1．4321,,,ξξξξ独立，)1,0(~N i ξ，4,3,2,1=i 。

)2(~)(2243221χξξξξη+++=k ，则k=1/3；242321ξξξξ++服从的分布是t(2)解：（1）)3,0(~432N ξξξ++，)1,0(~3432N ξξξ++∴，)1(~3)(22432χξξξ++∴，k =1/3（2）)2,0(~21N ξξ+，)1,0(~221N ξξ+与)2(~22423χξξ+独立，)2(~2/2/)(242321242321t ξξξξξξξξ++=++∴2．n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，∑==n i i X n X 11，∑=-=n i i X X n S 122*)(1，2**S S =则1/*--n S X μ的分布是)1(-n t 。

解：∑=--=ni i X X n S 122)(11是样本方差,则2*2)1(nS S n =-，)1(~/1/*--=--n t nS X n S X μμ 3．已知74.4)5,10(05.0=F ，)10,5(~F ξ，95.0}{=≥x P ξ，则x = 0.21 。

解：21.074.41)5,10(1)10,5(05.095.0====F F x4．n X X X ,,,21 是来自总体],0[θU 的样本，则参数θ的矩法估计量是X 2；极大似然估计量是},,,max{21n X X X ⋅⋅⋅。

5．n X X X ,,,21 是总体X 的样本，X 有分布密度⎩⎨⎧≤>=+-)(0)()()1(c x c x x c x f θθθ，其中c>0是已知常数，1>θ是未知参数。

求θ的矩法估计量。

解：dx x xf EX ⎰+∞∞-=)(dx xc x c)1(+-+∞⎰⋅=θθθθθ--=1c ,θθˆ1ˆ--=∴c X ，θ的矩法估计量：cX X-=θˆ。

概率论与数理统计-ch6-样本与抽样分布

概率论与数理统计-ch6-样本与抽样分布概率论中，所研究的随机变量是假定其分布是已知的，在此前提下研究它的性质、数字特征等。

在数理统计中，所研究的随机变量的分布是未知或不完全知道的，通过重复独⽴的试验得到许多观察值去推断随机变量的种种可能分布。

1、随机样本总体：试验的全部可能的观察值。

=样本空间个体：每⼀个可能观察值。

=样本点容量：总体中所包含的个体的个数。

有限总体⽆限总体⼀个总体对应⼀个随机变量X，对总体的研究就是对随机变量X的研究。

所以将不区分总体与相应的随机变量，统称为总体X。

样本：在数理统计中，⼈们都是通过从总体中抽取⼀部分个体，根据获得的数据来对总体分布得出推断的，被抽出的部分个体叫做总体的⼀个样本。

对总体进⾏⼀次观察，就会得到⼀个随机变量X1，对总体进⾏n次重复的、独⽴的观察，就会得到n个随机变量X1，X2，...,Xn，这n个随机变量X1，X2，...,Xn是对总体随机变量X观察的结果。

则X1，X2，...,Xn是相关独⽴且与X具有相同分布，称为来⾃总体X的⼀个简单随机样本。

n称为样本的容量。

进⾏n次观察得到的⼀组实数x1,x2,...,xn是随机变量X1，X2，...,Xn的观察值，称为样本值，也称为X的n个独⽴的观测值。

2、抽样分布样本是统计推断的依据，但往往不直接使⽤样本本⾝，⽽是由样本构造的函数。

统计量：设X1，X2，...,Xn是来⾃总体X的⼀个样本，g(X1，X2，...,Xn)是其函数，且g中不含任何未知参数，则称g(X1，X2，...,Xn)是⼀统计量。

统计量也是⼀个随机变量。

g(x1,x2,...,xn)是统计量的观测值。

常⽤的统计量：经验分布函数：经验分布函数(empirical distribution function)是根据样本得到的分布函数.如设，是总体的样本值，将它们按⼤⼩顺序排列为，则称分布函数为经验分布函数是与总体分布函数相对应的统计量。

总体的分布函数是F(x)，统计量的经验分布函数是F n（x)，⽤F n（x)去推断F(x)，当n⾜够⼤时，F n（x)以概率1收敛于F(x)。

概率统计 6-2.2

20 2
定理6.3 统计量 T =
X −µ ÷ σ n
X −µ S n
~ t(n −1 )
其实
X −µ (n −1 S 2 ) = S σ2 (n −1 ) n
P178 例6.9
, 例6 设总体 X ~ N(0,1) , X1,L X6 为总体 X的样本,
Y = ( X1 + X2 + X3 ) + ( X4 + X5 + X6 ) 试确定常数 c , 使 cY 服从
1 n ( Xi − X )2 则样本方差 S = ∑ n +1 i=1
2
)，
S 2 与 X 相互独立
Xi − X 则 = ∑ n −1) ~χ ( 2 σ σ i=1 2 χ2 分布的性质,有 D[(n −1)S ] = 2(n −1) 由 2
(n−1)S
2
n
2
2
例2 从正态总体 X ~ N(µ,σ ) 中，抽取了n = 20的样本 ( X1, X2 ,L, X20 )
正态总体样本的线性函数的分布正态总体样本的线性函数的分布定理6.1 设总体 X ~ N(µ , σ 2 ),样本为(
n i=1
)，
n n nLeabharlann i =1则统计量 U = ∑ai Xi 的分布仍为正态分布，且 E(U) = µ∑ai
D(U) = σ 2 ∑ai2
i=1 n
即
U = ∑ai Xi ~ N(µ∑ai ,σ 2 ∑ai2 )
因此
~ χ2 (2)
c =1/3.
作业 P. 180 习题六 11 15
ch6-49
2 2
ch6-48
χ 2分布.

概率练习册第六章答案

概率练习册第六章答案(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--习题5-1 数理统计的基础知识1．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为λ的泊松分布，从产品中抽一个容量为n 的样本12,,,n X X X ，求样本的分布.解： ,2,1,0,!}{),(~===-k e k k X P X kλλλπ所以11221(,,,)()nn n i i i P X k X k X k P X k ======∏112!!!ni i n k n ek k k λλ=-∑=0,1,i k =，1,2,,,i n =2．设总体),,(,),1(~21n X X X p B X 为其一个简单随机样本，求样本的分布. 解：1,0,)1(}{),,1(~1=-==-k p p k X P p B X k k所以11221122{,,,}{}{}{}n n n n P X x X x X x P X x P X x P X x =======n n x x x x x x p p p p p p ------=111)1()1(.)1(2211其中n i x i ,,2,11,0 ==3．加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1λ的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n 件零件构成一个容量为n 的样本，求样本分布。

解：⎩⎨⎧>=-其它,00,)(~x e x f X x λλ故样本12(,,,)n X X X 的密度为1121,0(,,,)0,.ni i ix nnx i n i e x f x x x e λλλλ=--=⎧∑⎪>==⎨⎪⎩∏其它 1,2,,i n =4．设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自总体),(2σμN 的一个样本，其中μ已知，2σ未知，指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是为什么22212311111(),(),()n nn i i i i i i X T X T T X X n n μμσ===-=-==-∑∑∑2411()n i i X X T n σ=-=∑解：13,T T 是统计量（不含未知参数），24,T T 不是统计量（含未知参数2σ）5．设621,,,X X X 是来自()θ,0上的均匀分布的样本，0>θ未知（1）写出样本的联合密度函数；（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是为什么()()6214163626211,,,max ,,,6X X X T X E X T X T X X X T =-=-=+++=θ（3）设样本的一组观察是：,1,,,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。

概率统计练习册答案

概率统计练习册答案第一章概率论的基本概念一、选择题1．将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为（） A ．{（正，正），（反，反），（一正一反）} B.{(反，正)，（正，反），（正，正），（反，反）} C ．{一次正面，两次正面，没有正面} D.{先得正面，先得反面}2.设A ，B 为任意两个事件，则事件(AUB)(Ω-AB)表示（） A ．必然事件 B ．A 与B 恰有一个发生 C ．不可能事件 D ．A 与B 不同时发生3．设A ，B 为随机事件，则下列各式中正确的是（）. A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(A-B)=P(A)－P(B)C.)()(B A P B A P -=D.P(A+B)=P(A)+P(B)4.设A,B 为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是( ). A.P(A －B)=P(A)－P(AB) B.P(AB)=P(B)P(A|B),其中P(B)>0C.P(A+B)=P(A)+P(B)D.P(A)+P(A )=15.若φ≠AB ，则下列各式中错误的是（）. A ．0)(≥AB P B.1)(≤AB P C.P(A+B)=P(A)+P(B)D.P(A-B)≤P(A)6.若φ≠AB ,则( ).A. A,B 为对立事件B.B A =C.φ=B AD.P(A-B)≤P(A)7.若,B A ⊂则下面答案错误的是( ).A. ()B P A P ≤)(B. ()0A -B P ≥C.B 未发生A 可能发生D.B 发生A 可能不发生 8.下列关于概率的不等式,不正确的是( ). A.)}(),(min{)(B P A P AB P ≤B..1)(,<Ω≠A P A 则若C.1212(){}n n P A A A P A A A ≤+++L LD.∑==≤ni i ni i A P A P 11)(}{Y9.(1,2,,)i A i n =L 为一列随机事件,且12()0n P A A A >L ,则下列叙述中错误的是( ).A.若诸i A 两两互斥,则∑∑===ni i n i i A P A P 11)()(B.若诸i A 相互独立,则11()1(1())nni i i i P A P A ===--∑∏C.若诸i A 相互独立,则11()()nni i i i P A P A ===∏UD.)|()|()|()()(1231211-=Λ=n n ni i A A P A A P A A P A P A P X10.袋中有a 个白球,b 个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是( ).A.21B.ba +1C.ba a+ D.ba b + 11.今有十张电影票,其中只有两张座号在第一排,现采取抽签方式发放给１０名同学,则( )A.先抽者有更大可能抽到第一排座票B.后抽者更可能获得第一排座票C.各人抽签结果与抽签顺序无关D.抽签结果受以抽签顺序的严重制约12.将n 个小球随机放到)(N n N ≤个盒子中去,不限定盒子的容量,则每个盒子中至多有１个球的概率是( ).A.!!N n B. n Nn !C. nn N Nn C !⋅ D.Nn 13.设有r 个人,365≤r ,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均等的,则此r 个人中至少有某两个人生日相同的概率为( ).A.r r P 3651365-B. rr r C 365!365⋅C. 365!1r -D. rr 365!1-14.设100件产品中有5件是不合格品,今从中随机抽取2件,设=1A {第一次抽的是不合格品},=2A {第二次抽的是不合格品},则下列叙述中错误的是( ). A.05.0)(1=A PB.)(2A P 的值不依赖于抽取方式(有放回及不放回)C.)()(21A P A P =D.)(21A A P 不依赖于抽取方式15.设A,B,C 是三个相互独立的事件,且,1)(0<<C P 则下列给定的四对事件中,不独立的是( ). A.C AUB 与B. B A -与CC. C AC 与D. C AB 与16.10张奖券中含有3张中奖的奖券,现有三人每人购买１张,则恰有一个中奖的概率为( ).A.4021 B.407 C. 3.0 D. 3.07.02310⋅⋅C 17.当事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生,则( ).A.1)()()(-+≤B P A P C PB.1)()()(-+≥B P A P C PC.P(C)=P(AB)D.()()P C P A B =U18.设,1)()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P 且则( ). A. A 与B 不相容B. A 与B 相容C. A 与B 不独立D. A 与B 独立19.设事件A,B 是互不相容的，且()0,()0P A P B >>，则下列结论正确的是( ). A.P(A|B)=0B.(|)()P A B P A =C.()()()P AB P A P B =D.P(B|A)>020.已知P(A)=P ,P(B)=q 且φ=AB ,则A 与B 恰有一个发生的概率为( ).A.q p +B. q p +-1C. q p -+1D. pq q p 2-+21.设在一次试验中事件A 发生的概率为P ,现重复进行n 次独立试验则事件A 至多发生一次的概率为( ). A.n p -1 B.n pC. n p )1(1--D. 1(1)(1)n n p np p --+-22.一袋中有两个黑球和若干个白球,现有放回地摸球4次,若至少摸到一个白球的概率为8180,则袋中白球数是( ). A.2B.4C.6D.823.同时掷3枚均匀硬币,则恰有2枚正面朝上的概率为( ). A.0.5B.0.25C.0.125D.0.37524.四人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为61,31,41,51则密码最终能被译出的概率为( ).A.1B.21C.52 D. 32 25.已知11()()(),()0,()(),416P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A,B,C 全不发生的概率为( ).A. 81B. 83C. 85D.87 26.甲,乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,则目标被击中的概率为( ).A. 0.5B. 0.8C. 0.55D. 0.627.接上题,若现已知目标被击中,则它是甲射中的概率为( ). A.43 B.65C.32D.116 28.三个箱子,第一箱中有4个黑球1个白球,第二箱中有3个黑球3个白球,第三个箱中有3个黑球5个白球,现随机取一个箱子,再从这个箱中取出一个球,则取到白球的概率是( ).A.12053 B.199 C.12067 D.1910 29.有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为,2:3,2:1,1:4已知这三类箱子数目之比为1:3:2，现随机取一个箱子，再从中随机取出一个球，则取到白球的概率为（）. A.135 B.4519 C.157 D.3019 30.接上题,若已知取到的是一只白球,则此球是来自第二类箱子的概率为( ).A.21 B. 31C.75 D.71 31.今有100枚贰分硬币,其中有一枚为“残币”中华人民共和国其两面都印成了国徽.现从这100枚硬币中随机取出一枚后，将它连续抛掷10次，结果全是“国徽”面朝上，则这枚硬币恰为那枚“残币”的概率为（）.A.1001 B. 10099C.1010212+D.10102992+ 32.玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残品的概率分别是0.8,0.1,0.1,一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机察看1只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回,如果顾客确实买下该箱,则此箱中确实没有残次品的概率为( ).A.0.94B.0.14C.160/197D.420418419C C C + 二、填空题1. E ：将一枚均匀的硬币抛三次，观察结果：其样本空间=Ω . 2．某商场出售电器设备，以事件A 表示“出售74 Cm 长虹电视机”，以事件B 表示“出售74 Cm 康佳电视机”，则只出售一种品牌的电视机可以表示为；至少出售一种品牌的电视机可以表示为；两种品牌的电视机都出售可以表示为 .3．设A ，B ，C 表示三个随机事件，试通过A ，B ，C 表示随机事件A 发生而B ，C 都不发生为；随机事件A ，B ，C 不多于一个发生 .4.设P （A ）=0.4，P （A+B ）=0.7，若事件A 与B 互斥，则P （B ）= ；若事件A 与B 独立，则P （B ）= .5.已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B|A ）=0.8，则P （AUB ）=6.设随机事件A 、B 及和事件AUB 的概率分别是0.4，0.3和0.6，则P （AB ）= .7.设A 、B 为随机事件，P （A ）=0.7，P （A-B ）=0.3，则P （AB ）= .8.已知81)()(,0)(,41)()()(======BC p AC p AB p C p B p A p ，则C B A ,,全不发生的概率为 .9.已知A 、B 两事件满足条件P （AB ）=P （AB ），且P （A ）=p,则P （B ）= .10.设A 、B是任意两个随机事件，则{()()()()}P A B A B A B A B ++++= .11．设两两相互独立的三事件A 、B和C 满足条件：φ=ABC ，21)()()(<==C p B p A p ，且已知Y Y 169)(=C B A p ，则______)(=A p . 12.一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 .13.袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 .14．将C 、C 、E 、E 、I 、N 、S 这7个字母随机地排成一行，恰好排成SCIENCE 的概率为 .15．设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于A 生产的概率是 .16.设10件产品有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是 .17.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是 .18．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中随意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是 .19．一种零件的加工由三道工序组成，第一道工序的废品率为1p ，第二道工序的废品率为2p ，第三道工序的废品率为3p ，则该零件的成品率为 .20．做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p ，则在第n 次成功之前恰有m 次失败的概率是 .第二章随机变量及其分布一、选择题1.设A,B 为随机事件,,0)(=AB P 则( ).A..φ=ABB.AB 未必是不可能事件C.A 与B 对立D.P(A)=0或P(B)=02.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P 则}2{>X P 的值为( ）.A.2-eB.251e-C.241e-D.221e-. 3.设X 服从]5,1[上的均匀分布,则( ). A.4}{ab b X a P -=≤≤ B.43}63{=<<X P C.1}40{=<<X PD.21}31{=≤<-X P4.设),4,(~μN X 则( ). A.)1,0(~4N X μ- B.21}0{=≤X P C.)1(1}2{Φ-=>-μX PD.0≥μ5.设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(x x x f ，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≤X 出现的次数，则（）.A ．由于X 是连续型随机变量，则其函数Y 也必是连续型的B ．Y 是随机变量，但既不是连续型的，也不是离散型的C ．649}2{==y P D.)21,3(~B Y6.设=≥=≥}1{,95}1{),,3(~),,2(~Y P X P p B Y p B X 则若( ). A.2719 B.91C.31D.278 7.设随机变量X 的概率密度函数为(),23X f x Y X =-+则的密度函数为( ).A.13()22X y f ---B.13()22X y f --C.13()22X y f +--D.13()22X y f +- 8.连续型随机变量X 的密度函数)(x f 必满足条件( ). A.1)(0≤≤x fB.)(x f 为偶函数C.)(x f 单调不减D.()1f x dx +∞-∞=⎰9.若)1,1(~N X ,记其密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ,则( ). A.{0}{0}P X P X ≤=≥ B.)(1)(x F x F --= C.{1}{1}P X P X ≤=≥D.)()(x f x f -=10.设)5,(~),4,(~22μμN Y N X ,记},5{},4{21+≥=-≤=μμY P P X P P 则( ).A.21P P =B.21P P <C.21P P >D.1P ,2P 大小无法确定11.设),,(~2σμN X 则随着σ的增大,}|{|σμ<-X P 将( ). A.单调增大B.单调减少C.保持不变.D.增减不定12.设随机变量X 的概率密度函数为(),()(),()f x f x f x F x =-是X 的分布函数,则对任意实数a 有( ).A.⎰-=-adx x f a F 0)(1)( B.⎰-=-adx x f a F 0)(21)(C.)()(a F a F =-D.1)(2)(-=-a F a F13.设X 的密度函数为3,01()20,x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，则1{}4P X >为( ). A.78B.1432xdx ⎰ C.14312xdx -∞-⎰D.3214.设~(1,4),(0.5)0.6915,(1.5)0.9332,{||2}X N P X Φ=Φ=>则为( ). A.0.2417B.0.3753C.0.3830D.0.866415.设X 服从参数为91的指数分布,则=<<}93{X P ( ). A.)93()99(F F -B.)11(913ee -C.ee 113-D.⎰-939dx e x16.设X 服从参数λ的指数分布,则下列叙述中错误的是( ).A.⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λB.对任意的x e x X P x λ-=>>}{,0有C.对任意的}{}|{,0,0t X P s X t s X P t s >=>+>>>有D.λ为任意实数17.设),,(~2σμN X 则下列叙述中错误的是( ). A.)1,0(~2N X σμ- B.)()(σμ-Φ=x x FC.{(,)}()()a b P X a b μμσσ--∈=Φ-Φ D.)0(,1)(2}|{|>-Φ=≤-k k k X P σμ18.设随机变量X 服从(1,6)上的均匀分布,则方程012=++Xx x 有实根的概率是( ).A.0.7B.0.8C.0.6D.0.519.设=<=<<}0{,3.0}42{),,2(~2X P X P N X 则σ（）. A ．0.2B.0.3C.0.6D.0.820.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)N μσ，则随σ的增大，概率{||}P X μσ-<（）.Ａ．单调增大Ｂ．单调减少Ｃ．保持不变Ｄ．增减不定二、填空题1．随机变量X 的分布函数)(x F 是事件的概率. 2．已知随机变量X 只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是cc c c 161,81,41,21，则=c3．当a 的值为时，Λ,2,1,)32()(===k a k X p k 才能成为随机变量X的分布列.4．一实习生用一台机器接连独立地制造3个相同的零件，第i 个零件不合格的概率)3,2,1(11=+=i i p i ，以X 表示3个零件中合格品的个数，则________)2(==X p .5.已知X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4.06.011，则X的分布函数=)(x F .6.随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的分布列为 .7．设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈=其它,0]6,3[,92]1,0[,31)(x x x f ，若k 使得{}32=≥k X p则k 的取值范围是 . 8．设离散型随机变量X 的分布函数为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤-<≤--<=2,21,3211,1,0)(x b a x a x a x x F且21)2(==X p ，则_______,________a b ==.9．设]5,1[~U X ，当5121<<<x x 时，)(21x X x p <<= . 10．设随机变量),(~2σμN X，则X的分布密度=)(x f .若σμ-=X Y ，则Y 的分布密度=)(y f .11．设)4,3(~N X ，则}{=<<-72X p .12．若随机变量),2(~2σN X ，且30.0)42(=≤<X p ，则_________)0(=≤X p . 13．设)2,3(~2N X，若)()(c X p c X p ≥=<，则=c .14.设某批电子元件的寿命),(~2σμN X ，若160=μ，欲使80.0)200120(=≤<X p ，允许最大的σ= .15.若随机变量X的分布列为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5.05.011，则12+=X Y 的分布列为 .16.设随机变量Ｘ服从参数为（２，ｐ）的二项分布，随机变量Ｙ服从参数为（３，ｐ）的二项分布，若Ｐ｛Ｘ≥１｝＝５／９，则Ｐ｛Ｙ≥１｝＝ .17.设随机变量Ｘ服从（０，２）上的均匀分布，则随机变量Ｙ＝2X 在（０，４）内的概率密度为()Y f y ＝ .18.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)(0)N μσσ>，且二次方程240y y X ++=无实根的概率为１／２，则μ= .第三章多维随机变量及其分布一、选择题1.X,Y 相互独立,且都服从]1,0[上的均匀分布,则服从均匀分布的是( ).A.(X,Y)B.XYC.X+YD.X －Y2.设X,Y 独立同分布,11{1}{1},{1}{1},22P X P Y P X P Y =-==-=====则（）.A.X =YB.0}{==Y X PC.21}{==Y X P D.1}{==Y X P3.设)(1x F 与)(2x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(21x bF x aF -是某个随机变量的分布函数,则b a ,的值可取为( ).A.52,53-==b aB.32,32==b aC.23,21=-=b aD.23,21-==b a4.设随机变量i X 的分布为12101~(1,2){0}1,111424i X i X X -⎛⎫ ⎪===⎪⎝⎭且P 则12{}P X X ==( ).A.0B.41C.21D.15.下列叙述中错误的是( ). A.联合分布决定边缘分布B.边缘分布不能决定决定联合分布C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同D.边缘分布之积即为联合分布6.设随机变量(X,Y) 的联合分布为:则b a ,应满足( ).A ．1=+b a 33D.23,21-==b a7．接上题，若X ，Y 相互独立，则（）. A.91,92==b aB.92,91==b aC.31,31==b aD.31,32=-=b a8.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y 表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,则( ).A.1{,},,1,2,636P X i Y j i j ====L B.361}{==Y X P C.21}{=≠Y X P D.21}{=≤Y X P9.设(X,Y)的联合概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他，y x y x y x f 010,10,6),(2,则下1 23 1 1/6 1/9 1/18X Y面错误的是( ).A.1}0{=≥X PB.{0}0P X ≤=C.X,Y 不独立D.随机点(X,Y)落在{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤内的概率为1 10.接上题,设G 为一平面区域,则下列结论中错误的是( ). A.{(,)}(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰B.2{(,)}6GP X Y G x ydxdy ∈=⎰⎰C.1200{}6x P X Y dx x ydy ≥=⎰⎰D.⎰⎰≥=≥yx dxdy y x f Y X P ),()}{(11.设(X,Y)的联合概率密度为(,)0,(,)(,)0,h x y x y Df x y ≠∈⎧=⎨⎩其他,若{(,)|2}G x y y x =≥为一平面区域,则下列叙述错误的是( ).A.{,)(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰B.⎰⎰-=≤-Gdxdy y x f X Y P ),(1}02{C.⎰⎰=≥-Gdxdy y x h X Y P ),(}02{D.⎰⎰=≥DG dxdy y x h X Y P I ),(}2{12.设(X,Y)服从平面区域G 上的均匀分布,若D 也是平面上某个区域,并以G S 与D S 分别表示区域G 和D 的面积,则下列叙述中错误的是( ).A.{(,)}DGS P X Y D S ∈=B.0}),{(=∉G Y X PC.GDG S S D Y X P I -=∉1}),{(D.{(,)}1P X Y G ∈=13.设系统π是由两个相互独立的子系统1π与2π连接而成的;连接方式分别为：（１）串联；（２）并联；（３）备用(当系统1π损坏时,系统2π开始工作，令21,X X 分别表示21ππ和的寿命，令321,,X X X 分别表示三种连接方式下总系统的寿命,则错误的是( ). A.211X X Y += B.},m ax {212X X Y = C.213X X Y +=D.},m in{211X X Y =14.设二维随机变量(X,Y)在矩形}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布.记.2,12,0;,1,0⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=YX YX V Y X Y X U 则==}{V U P ( ).A.0B.41C.21D.4315.设(X,Y)服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ,则以下错误的是( ).A.),(~211σμN X B ),(~221σμN X C.若0=ρ,则X,Y 独立 D.若随机变量),(~),,(~222211σμσμN T N S 则(,)S T 不一定服从二维正态分布16.若),(~),,(~222211σμσμN Y N X ,且X,Y 相互独立,则( ). A.))(,(~22121σσμμ+++N Y XB.),(~222121σσμμ---N Y XC.)4,2(~2222121σσμμ+--N Y XD.)2,2(~2222121σσμμ+--N Y X 17．设X ，Y 相互独立，且都服从标准正态分布(0,1) N ，令,22Y X Z +=则Z 服从的分布是（）.A ．N （0，2）分布 B.单位圆上的均匀分布 C.参数为1的瑞利分布 D.N (0,1)分布18.设随机变量4321,,,X X X X 独立同分布,{0}0.6,i P X =={1}0.4i P X ==(1,2,3,4)i =，记1234X X D X X =,则==}0{D P （）.A.0.1344B.0.7312C.0.8656D.0.383019.已知~(3,1)X N -，~(2,1)Y N ，且,X Y 相互独立,记27,Z X Y =-+~Z 则( ).A.)5,0(NB.)12,0(NC.)54,0(ND.)2,1(-N20.已知sin(),0,,(,)~(,)40,C x y x y X Y f x y π⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他则C 的值为( ). A.21B.22C.12-D.12+ 21.设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他,020,10,31),(~),(2y x xy x y x f Y X ,则}1{≥+Y X P =( ) A.7265 B.727 C.721 D.727122.为使⎩⎨⎧≥=+-其他,00,,),()32(y x Ae y x f y x 为二维随机向量(X,Y)的联合密度,则A 必为( ).A.0B.6C.10D.1623.若两个随机变量X,Y 相互独立,则它们的连续函数)(X g 和)(Y h 所确定的随机变量( ).A.不一定相互独立B.一定不独立C.也是相互独立D.绝大多数情况下相独立 24.在长为a 的线段上随机地选取两点,则被分成的三条短线能够组成三角形的概率为( ).A.21B.31C.41D.5125.设X 服从0—1分布,6.0=p ,Y 服从2=λ的泊松分布,且X,Y 独立，则Y X +( ).A.服从泊松分布B.仍是离散型随机变量C.为二维随机向量D.取值为0的概率为0 26.设相互独立的随机变量X,Y 均服从]1,0[上的均匀分布,令,Y X Z +=则( ).A.Z 也服从]1,0[上的均匀分布B.0}{==Y X PC.Z 服从]2,0[上的均匀分布D.)1,0(~N Z27.设X,Y 独立,且X 服从]2,0[上的均匀分布,Y 服从2=λ的指数分布,则=≤}{Y X P ( ).A.)1(414--e B.414e - C.43414+-e D.21 28.设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(~),(2y x xy y x f Y X ,则(X,Y)在以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点的三角形内取值的概率为( ).A. 0.4B.0.5C.0.6D.0.8 29.随机变量X,Y 独立,且分别服从参数为1λ和2λ的指数分布,则=≥≥--},{1211λλY X P ( ).A.1-eB.2-eC.11--eD.21--e 30.设22[(5)8(5)(3)25(3)](,)~(,)x x y y X Y f x y Ae-+++-+-=,则A 为( ).A.3π B.π3 C.π2 D.2π 31.设某经理到达办公室的时间均匀分布在8点12点,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7点到9点.设二人到达的时间相互独立,则他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为( ).A.481 B.21C.121D.24132.设12,,,n X X X L 相独立且都服从),(2σμN ,则( ).A.12n X X X ===LB.2121()~(,)n X X X N n nσμ+++LC.)34,32(~3221+++σμN XD.),0(~222121σσ--N X X33.设(,)0,(,)(,)~(,)0,g x y x y GX Y f x y ≠∈⎧=⎨⎩其它,D 为一平面区域,记G,D 的面积为,,D G S S ,则{(,)}P x y D ∈=( ).A.G DS S B.GG D S S I C.⎰⎰D dxdy y x f ),( D.⎰⎰Ddxdy y x g ),( 二、填空题1．),(Y X 是二维连续型随机变量，用),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示下列概率：（1）;____________________),(=<≤≤c Y b X a p （2）;____________________),(=<<b Y a X p （3）;____________________)0(=≤<a Y p （4）.____________________),(=<≥b Y a X p2．随机变量),(Y X 的分布率如下表，则βα,应满足的条件是 .XY1 2311/6 1/9 1/182 1/2αβ3．设平面区域D 由曲线xy 1=及直线2,1,0e x x y ===所围成，二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，则),(Y X 的联合分布密度函数为 .4．设),,,,(~),(222121ρσσμμN Y X ，则YX ,相互独立当且仅当=ρ .5.设相互独立的随机变量X 、Y 具有同一分布律，且X 的分布律为 P （X=0）=1/2，P （X=1）=1/2，则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为 .6．设随机变量321,,X X X 相互独立且服从两点分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.08.010，则∑==31i i X X 服从分布 .7.设X 和Y 是两个随机变量，且P{X ≥0，Y ≥0}=3/7，P{X ≥0}=P{Y ≥0}=4/7,则P{max （X ，Y ）≥0}= .8.设某班车起点站上车人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数，则在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率为；二为随机变量（X ，Y ）的概率分布为 .9.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数为1/5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障时工作2小时便关机，则该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数 .10.设两个随机变量X与Y独立同分布，且P（X=-1）=P（Y=-1）=1/2，P（X=1）=P（Y=1）=1/2，则P（X=Y）= ；P（X+Y=0）= ；P（XY=1）= .第四章随机变量的数字特征一、选择题1．X 为随机变量，()1,()3E X D X =-=，则2[3()20]E X +=（）. A. 18 B.9 C.30 D. 32 2. 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为(),0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩其它，则()E XY =( ).A. 0B.1/2C.2D. 13. (X,Y)是二维随机向量,与0Cov不等价的是( ).YX(=,)A. EYD+=(X+)YXYEX=)E⋅( B. DYDXC. DY-)( D. X与Y独立=YDXD+X4. X,Y独立,且方差均存在,则=X2(YD( ).-)3A.DYDX94+ D.4- C. DY2- B. DYDX9DX32+DX3DY5. 若X,Y独立,则( ).A. DYXYDX- B. DY=)(=D⋅D9YDXX)3(-C. 0{=}+=bE D. 1aXPY{[=][]}--EYEXYX6.若0)Cov,则下列结论中正确的是( ).YX,(=A. X,Y独立B. ()=⋅D XY DX DYC. DYDXYD-=(-)DXXX( D. DYD+Y+)=7.X,Y为两个随机变量,且,0YEXE则X,Y( ).-EYX)]-)([(=A. 独立B. 不独立C. 相关D. 不相关8.设,XD+=+则以下结论正确的是( ).YDX)(DYA. X,Y不相关B. X,Y独立C. 1ρ= D.xyρ=-1xy9.下式中恒成立的是( ).A. EYD+X-)(Y=XYDXE⋅EX=)( B. DYC. (,)+DXXD=Cov X aX b aDX+= D. 1)1(+10.下式中错误的是( ).A. ),(2)(Y X Cov DY DX Y X D ++=+B. (,)()Cov X Y E XY EX EY =-⋅C. ])([21),(DY DX Y X D Y X Cov --+=D. ),(694)32(Y X Cov DY DX Y X D -+=- 11.下式中错误的是( ).A. 22)(EX DX EX +=B.DX X D 2)32(=+C. b EY b Y E +=+3)3(D. 0)(=EX D 12.设X 服从二项分布, 2.4, 1.44EX DX ==,则二项分布的参数为( ).A. 4.0,6==p nB. 1.0,6==p nC. 3.0,8==p nD. 1.0,24==p n 13. 设X 是一随机变量,0,,2>==σσμDX EX ,则对任何常数c,必有( ). A.222)(C EX c X E -=- B.22)()(μ-=-X E c X EC. DX c X E <-2)(D. 22)(σ≥-c X E 14.()~(,),()D X X B n pE X =则( ). A. n B. p -1 C. p D. p-1115.随机变量X的概率分布律为1{},1,2,,,P X k k n n===L ()D X 则=( ). A.)1(1212+n B. )1(1212-n C. 2)1(12+n D. 2)1(121-n 16. 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,101)(~10x x e x f X x,则)12(+X E =( ).A.1104+ B. 41014⨯+ C. 21 D. 20 17.设X 与Y 相互独立，均服从同一正态分布，数学期望为0，方差为1，则（X ，Y ）的概率密度为（）.A.22()21(,)2xy f x y eπ+-= B.22()2(,)2xy f x y π+-=C. 2()2(,)2x y f x y π+-=D. 2241(,)2x y f x y eπ+-=18.X 服从]2,0[上的均匀分布,则DX=( ).A. 21B. 31C.61D. 12119.,),1,0(~3X Y N X =则EY=( ).A. 2B.n 43 C. 0 D. n 3220. 若12,~(0,1),1,2,i Y X X X N i =+=则( ).A. EY=0B. DY=2C.~(0,1)Y ND.~(0,2)Y N21. 设2(,),(,)X b n p Y N μσ::，则( ). A.2()(1)D X Y np p σ+=-+ B.()E X Y np μ+=+ C.22222()E X Y n p μ+=+ D.2()(1)D XY np p σ=-22.将n 只球放入到M 只盒子中去,设每只球落在各个盒中是等可能的,设X 表示有球的盒子数,则EX 值为( ). A. ])11(1[nMM -- B.M n B. ])1(1[n MM - D. nM n ! 23. 已知X 服从参数为`λ的泊松分布,且[(1)(2)]1E X X --=,则λ为( ).A. 1B.-2C.21D.41 24. 设1X ，2X ，3X 相互独立,其中1X 服从]6,0[上的均匀分布,2X 服从正态分布)2,0(2N ,3X 服从参数为3的泊松分布,记12323Y X X X =-+,则DY=( ).A. 14B.46C.20D. 9 25. 设X 服从参数为1的指数分布,则2()X E X e -+=( ).A. 1B.0C. 13D.4326. 设X 为随机变量,}3|{|,,2σμσμ≥-==X P DX EX 则满足( ). A. 91≤ B. 31≤ C. 91≥ D. 31≥ 27. 设X,Y 独立同分布,记,,Y X V Y X U +=-=则U 与V 满足( ). A. 不独立 B. 独立 C.相关系数不为0 D. 相关系数为028. 设随机变量1210,,X X X L 相互独立,且1,2(1,2,,10)i i EX DX i ===L ，则下列不等式正确的是（）.A. 21011}1{-=-≥<-∑εεi i X P B. 21011}1{-=-≥<-∑εεi i X PC. 2101201}10{-=-≥<-∑εεi i X P D. 2101201}10{-=-≤<-∑εεi i X P29. 利用正态分布有关结论,⎰∞+∞---+-dx e x x x 2)2(22)44(21π=( ).A. 1B.0C.2D. -1 30.设(X,Y )服从区域},0:),{(a y x y x D ≤≤=上的均匀分布,则||Y X E - 的值为( ).A. 0B.a 21C. a 31D. a 41 31. 下列叙述中正确的是( ). A. 1)(=-DX EXX D B.~(0,1)N DXC. 22)(EX EX =D. 22)(EX DX EX +=32.某班有n 名同学,班长将领来的学生证随机地发给每个人,设X 表示恰好领到自己学生证的人数,则EX 为( ). A. 1 B.2n C.2)1(+n n D. nn 1- 33.设X 服从区间]2,1[-上的均匀分布,1,00,()0,1,0X X DY Y X -<⎧⎪===⎨⎪>⎩则.A.32 B. 31 C. 98D. 1 34.某种产品表面上的疵点数服从泊松分布,平均每件上有1个疵点,若规定疵点数不超过1的为一等品,价值10元;疵点数大于1不多于3的为二等品,价值8元;3个以上者为废品,则产品的废品率为( ). A.e 38 B. e 381- C. e 251- D. e25 35. 接上题,任取一件产品,设其价值为X, 则EX 为( ). A.e 376 B. e316C. 9D. 6 36. 设⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(~x x x f X ,以Y 表示对X 的三次独立重复观察中“21≤X ”出现的次数，则DY=（）.A ． 169 B. 916 C. 43 D. 3437. 设(X,Y)为连续型随机向量,其联合密度为),(y x f ,两个边缘概率密度分别为()X f x 与()Y f y ,则下式中错误的是( ). A. ()X EX xf x dx +∞-∞=⎰ B. ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xf EX ),( C. ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y EY ),(22D. ()()()X Y E XY xyf x f y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰二、填空题1．随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且2)(=X D ，则{}==1X p .2．已知离散型随机变量X 可能取到的值为：-1，0，1，且2()0.1,()0.9E X E X ==，则X的概率密度是 .3．设随机变量2~(,)X N μσ，则X 的概率密度()f x =EX = ；DX = .若σμ-=X Y ，则Y 的概率密度()f y =EY = ；DY = .4.随机变量~(,4)X N μ，且5)(2=X E ，则X 的概率密度函数(24)0.3,p X <<=为 .5.若随机变量X服从均值为3，方差为2σ的正态分布，且(24)0.3,P X <<=则(2)P X <= .6．已知随机变量X 的分布律为：X0 1 2 3 4p 1/31/61/61/12 1/4则()E X = ，()D X = ，(21)E X -+= . 7．设4,9,0.5,(23)_____________XY DX DY D X Y ρ===-=则.8．抛掷n 颗骰子，骰子的每一面出现是等可能的，则出现的点数之和的方差为 .9．设随机变量X 和Y 独立，并分别服从正态分布(2,25)N 和(3,49)N ，求随机变量435Z X Y =-+的概率密度函数为 . 10.设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次击中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望E （2X ）= .11.已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z=3X-2的数学期望E （Z ）= .第五章大数定理及中心极限定理一、选择题1. 已知的iX 密度为()(1,2,,100)if x i =L ,且它们相互独立,则对任何实数x , 概率∑=≤1001}{i ix XP 的值为( ).A. 无法计算B. 100110011001[()]i i i i x xf x dx dx ==≤∑⎰⎰L L CC. 可以用中心极限定理计算出近似值D. 不可以用中心极限定理计算出近似值 2. 设X 为随机变量,}3|{|,,2σμσμ≥-==X P DX EX 则满足( ).A.91≤B.31≤ C. 91≥ D.31≥3. 设随机变量1X ,210,,X X L 相互独立,且1,2(1,2,,10)i i EX DX i ===L ，则（）A.21011}1{-=-≥<-∑εεi i X P B.21011}1{-=-≥<-∑εεi i X PC.2101201}10{-=-≥<-∑εεi i X PD.2101201}10{-=-≤<-∑εεi i X P4. 设对目标独立地发射400发炮弹,已知每发炮弹的命中率为0.2由中心极限定理,则命中 60发～100发的概率可近似为( ). A. (2.5)Φ B.2(1.5)1Φ- C.2(2.5)1Φ- D. 1(2.5)-Φ5. 设1X ,2,,nX X L 独立同分布,2,,1,2,,,ii EXDX i n μσ===L 当30≥n 时,下列结论中错误的是( ).A. ∑=ni iX 1近似服从2(,)N n n μσ分布B.1nii Xn n μσ=-∑(0,1)N 分布C.21X X +服从)2,2(2σμN 分布D. ∑=ni iX 1不近似服从(0,1)N 分布6. 设12,,X X L 为相互独立具有相同分布的随机变量序列,且()1,2,iX i =L 服从参数为2的指数分布,则下面的哪一正确? ( ) A.()1lim ;n i i n X n P x x n =→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑B.()12lim ;n i i n X n P x x n =→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑C. ()12lim ;2n i i n X P x x n =→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑D. ()12lim ;2n i i n X P x x n =→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑其中()x Φ是标准正态分布的分布函数.二、填空题1、设nμ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，pq p A P -==1,)(，则对任意区间],[b a 有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-<∞→b npqnp a P nn μlim ＝ . 2、设nμ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的0>ε，均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-∞→εμ||lim p nP nn = .3、一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X ，估计)1810(<<X p = .4、已知生男孩的概率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率= .第六章样本及抽样分布一、选择题1. 设12,,,nX X X L 是来自总体X 的简单随机样本,则12,,,nX X X L 必然满足( )A.独立但分布不同;B.分布相同但不相互独立; C 独立同分布; D.不能确定2．下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（）.A ．统计量为随机变量 B. 统计量是样本的函数C. 统计量表达式中不含有参数D. 估计量是统计量3. 设总体均值为μ,方差为2σ,n 为样本容量,下式中错误的是( ). A.)(=-μX E B.2()D X nσμ-=C.1)(22=σS E D.~(0,1)/X N nσ4. 下列叙述中,仅在正态总体之下才成立的是( ). A. 22211()()nnii i i XX X n X ==-=-∑∑ B.2S X 与相互独立 C.22])ˆ([)ˆ()ˆ(θθθθθ-+=-E D E D.221[()]n i i E X n μσ=-=∑5. 下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（）. A. 若12~(,),F F n n 则211~(,)F n n FB ．若2~(),~(1,)T t n TF n 则 C ．若)1(~),1,0(~22x XN X 则D ．在正态总体下2212()~(1)ni i Xx n μσ=--∑6．设2,iiX S 表示来自总体2(,)iiN μσ的容量为in 的样本均值和样本方差)2,1(=i ，且两总体相互独立，则下列不正确的是（）.A.2221122212~(1,1)S F n n S σσ-- B.12221212(~(0,1)X X N n n σσ+C.)(~/11111n t n S X μ- D.2222222(1)~(1)n S x n σ--7. 设总体服从参数为θ1的指数分布,若X 为样本均值,n 为样本容量,则下式中错误的是( ).A.θ=X EB. 2DX nθ=C. ()22(1)n E X nθ+=D. ()221θ=X E8. 设12,,,nX X X L 是来自总体的样本,则211()1ni i X X n =--∑是( ).A.样本矩B. 二阶原点矩C. 二阶中心矩D.统计量9.12,,,nX X X L 是来自正态总体)1,0(N 的样本,2,SX 分别为样本均值与样本方差,则( ).A. )1,0(~N X B. ~(0,1)nX N C. 221~()nii Xx n =∑D.~(1)Xt n S-10. 在总体)4,12(~N X 中抽取一容量为5的简单随机样本,,,,,54321X X X X X 则}15),,,,{m ax (54321>X X X X X P 为( ).A. )5.1(1Φ-B. 5)]5.1(1[Φ- C. 5)]5.1([1Φ-D. 5)]5.1([Φ11.上题样本均值与总体均值差的绝对值小于１的概率为( ).A.1)5.0(2-Φ B.1)25(2-Φ C.1)45(2-ΦD. 1)5.2(2-Φ12. 给定一组样本观测值129,,,X X X L 且得∑∑====91291,285,45i ii iX X 则样本方差2S 的观测值为( ).A. 7.5B.60C.320 D.26513. 设X 服从)(n t 分布,aX P =>}|{|λ，则}{λ-<X P 为( ).A.a 21 B.a2 C. a+21D. a 211-14．设12,,nX X X L ，是来自总体)1,0(N 的简单随机样本，则∑=-ni iX X12)(服从分布为（）.A ．)(2n x B.)1(2-n xC.),0(2n N D.)1,0(nN15. 设12,,,nx x x L 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，若298762543221)()()2(X X X X c X X X b X X a Y ++++++++=服从2x 分布，则c b a ,,的值分别为（）. A. 161,121,81 B. 161,121,201 C. 31,31,31 D.41,31,2116. 在天平上重复称量一重为a 的物品,假设各次称量结果相互独立且同服从2(,0.2)N a 分布,以nX 表示n 次称量结果的算术平均,则为了使n a X P n,95.0}1.0{≥<-值最小应取作( ).A. 20B. 17C. 15D. 1617. 设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N ,设921,,,X X X Λ和921,,,Y Y Y Λ分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量91921ii ii XU Y===∑∑服从分布是( ).A. )9(t B. )8(t C.)81,0(ND.)9,0(N二、填空题1．在数理统计中，称为样本.2．我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点是 . 3．设随机变量nX XX ,,,21Λ相互独立且服从相同的分布，2,σμ==DX EX ，令∑==ni iX n X 11，则EX =；.DX =4．设nX XX ,,,21Λ是来自总体的一个样本，样本均值_______________=X ，则样本标准差___________=S ；样本方差_________________2=S；样本的k 阶原点矩为；样本的k 阶中心矩为 . 5.),,,(1021X XX Λ是来自总体)3.0,0(~2N X 的一个样本，则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∑=101244.1i i X P .6．设nX XX ,,,21Λ是来自（0—1）分布)}1{,1}0{(p X P p X P ==-==的简单随机样本，X 是样本均值，则=)(X E.=)(X D. 7．设),,,(21n X X X Λ是来自总体的一个样本，),,,()()2()1(n X X X Λ是顺序统计量，则经验分布函数为=)(x F n ⎪⎩⎪⎨⎧_______________________8．设),,,(21nX X X Λ是来自总体的一个样本，称为统计量； 9．已知样本1621,,,X X X Λ取自正态分布总体)1,2(N ，X 为样本均值，已知5.0}{=≥λX P ，则=λ .10．设总体),(~2σμN X ，X 是样本均值，2nS 是样本方差，n 为样本容量，则常用的随机变量22)1(σnSn -服从分布. 11．设nX XX ,,,21Λ为来自正态总体),(~2σμN X 的一个简单随机样本，则样本均值∑==ni iX n X 11服从，又若ia 为常数),2,1,0(n i a i Λ=≠，则∑=ni iiX a 1服从 .12.设10=n 时，样本的一组观测值为)7,4,8,5,4,5,3,4,6,4(，则样本均值为，样本方差为 .第七章参数估计一、选择题1. 设总体X 在),(ρμρμ+-上服从均匀分布，则参数μ的矩估计量为（）. （A ）X 1 （B ）∑=-ni iX n 111 （C ）∑=-ni i X n 1211 （D ）X2. 设总体),(~2σμN X ，nX X ,,1Λ为抽取样本，则∑=-n i iX X n 12)(1是（）.)(A μ的无偏估计)(B 2σ的无偏估计)(C μ的矩估计)(D 2σ的矩估计3. 设X 在[0，a]上服从均匀分布，0>a 是未知参数，对于容量为n 的样本nX X ,,1Λ，a 的最大似然估计为（）（A ）},,,m ax {21n X X X Λ（B ）∑=ni i X n 11（C ）},,,m in{},,,m ax {2121n n X X X X XX ΛΛ- （D ）∑=+ni iX n 111；4. 设总体X 在[a,b]上服从均匀分布，nX XX ,,,21Λ是来自X 的一个样本，则a 的最大似然估计为（）（A ）},,,m ax {21n X X X Λ （B ）X（C ）},,,m in{21n X X X Λ（D ）1X Xn-5. 设总体分布为),(2σμN ，2,σμ为未知参数，则2σ的最大似然估计量为（）. （A ）∑=-ni i X X n 12)(1 （B ）∑=--ni i X X n 12)(11 （C ）∑=-ni i X n 12)(1μ （D ）∑=--ni i X n 12)(11μ6. 设总体分布为),(2σμN ，μ已知，则2σ的最大似然。

概论论与数理统计课本答案CH6 ans

概率论第六章习题解答习题6.11．求下列总体分布中参数的矩估计：（1）21,01,(;)0,,x x f x θθθ+−≤≤⎧=⎨⎩其他其中θ < 1；（2）f (x ; p ) = p (1 − p ) x − 1，x = 1, 2, …；其中0 < p < 1；（3）1211221e ,,(;,)0,,x x f x θθθθθθ−−⎧⎪≥=⎨⎪⎩其他其中−∞ < θ 1 < +∞，θ 2 > 0．解：（1）因11320021211E()(21)d ()323226X x x x x x θθθθθθθ−−=+−=+=+=+∫，有θ = 6 E (X ) − 3，故θ 的矩估计为ˆ63X θ=−；（2）因1121111d d d 11E()(1)d d d 1(1)x x x x x x x x q X x p p p x qp q p q p p q q q q p q ∞∞∞∞−−====⎛⎞=⋅−=⋅=====⎜⎟−−⎝⎠∑∑∑∑，故1E()p X =，p 的矩估计为1ˆpX=；（3）因∫∫∫∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−+−=−⋅=⋅=121121121121d eede)1(d e1)(E 2θθθθθθθθθθθθθx x x x x X x x x x212121121eeθθθθθθθθθ+=−−=+∞−−+∞−−x x x ，且∫∫∫∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−⋅+−=−⋅=⋅=121121121121d 2eede)1(d e1)(E 22222θθθθθθθθθθθθθx x x x x x X x x x x22212122122222)(E 2d e12e121121θθθθθθθθθθθθθθ++=+=⋅+−=∫∞+−−+∞−−X x x x x x ，则2222122212122)(22)](E [)(E )(D θθθθθθθ=+−++=−=X X X ，即)(D 2X =θ，)(D )(E 1X X −=θ，故θ 1和θ 2的矩估计为n S X −=1ˆθ，nS =2ˆθ． 2．求下列总体分布中参数的极大似然估计：（1）f (x ; θ ) = θ (1 − θ ) x − 1，x = 1, 2, …；其中0 < θ < 1；（2）λλλ−=e !);(x x f x，x = 0, 1, 2, …；其中λ > 0；（3）222)(ln 2eπ21),;(σµσσµ−−=x xx f ，x = 0；其中−∞ < µ < +∞，σ > 0．解：（1）nx nx x x n ni i n x f x f x f L −−−−∑−=−−⋅−===121)1()1()1()1();();();()(11121θθθθθθθθθθθθ""，即)1ln()(ln )(ln 1θθθ−−∑+==n x n L ni i ，令011)(1d )(ln d 1=−−⋅−∑+⋅==θθθθn x n L n i i ，得xx nni i11==∑=θ，故θ 的极大似然估计为X1ˆ=θ；（2）λλλλλλλλλλλλn n x n x x x n x x x x x x x f x f x f L ni in−−−−∑=⋅===e !!!e !e !e !);();();()(212121121"""，即λλλn x x x x L n ni i −−⋅∑==)!!!ln(ln )(ln 211"，令01d )(ln d 1=−⋅∑==n x L n i i λλλ，得x x n ni i ==∑=11λ，故λ 的极大似然估计为X =λˆ；（3）),;(),;(),;(),(222212σµσµσµσµn x f x f x f L "=212222222212)(ln 212)(ln 2)(ln 22)(ln 1e)π2(1eπ21eπ21eπ21σµσµσµσµσσσσ∑===−−−−−−−−ni i n x nnx nx x x x x x x x ""，即21221222)(ln )ln()ln π2(ln 2),(ln σµσσµ∑−−−+−==ni i n x x x x nL "，令0ln 2)1()(ln 2),(ln 21212=−∑=∑−⋅−−=∂∂==σµσµµσµn x x L ni i ni i ，得∑==ni i x n 1ln 1µ，再令02)(ln 12),(ln 412222=∑−+⋅−=∂∂=σµσσσµni i x n L ，得∑−==n i i x n 122)(ln 1µσ，故µ和σ 2的极大似然估计为∑==n i i X n 1ln 1ˆµ，∑−===∧∑n i n i i i X n X n 1212)ln 1(ln 1σ． 3．设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<+=,,0,10,)1();(其他x x x f θθθ求参数θ 的极大似然估计与矩法估计，并看看它们是否一致？今获得样本观测值为0.4, 0.7, 0.27, 0.55,0.68, 0.31, 0.45, 0.83．试分别求θ 的极大似然估计值与矩估计值．解：因121212()(;)(;)(;)(1)(1)(1)(1)()n n n n L f x f x f x x x x x x x θθθθθθθθθθθθ==+⋅++=+"""，即ln L (θ ) = n ln (θ + 1) + θ ln (x 1 x 2 … x n )，令12d ln ()1ln()0d 1n L n x x x θθθ=⋅+=+"，则12111ln()ln nn ii nnx x x x θ==−−=−−∑"，故θ 的极大似然估计为1ˆ1ln nii nX θ==−−∑；因1211E()(1)d (1)22xX x x x θθθθθθθ++=⋅+=+⋅=++∫，有2E()11E()X X θ−=−，故θ 的矩法估计为21ˆ1X Xθ−=−；显然参数θ 的极大似然估计与矩法估计不一致；又因样本观测值为0.4, 0.7, 0.27, 0.55, 0.68, 0.31, 0.45, 0.83，有1(0.40.70.83)0.523758x =+++="，故θ 的极大似然估计值为8ˆ10.3982ln 0.4ln 0.7ln 0.83θ=−−=+++"，θ 的矩估计值为20.523751ˆ0.099710.52375θ×−==−．习题6.21．设容量为3的随机样本X 1 , X 2 , X 3取自概率密度函数为1,0,(;)0,,x f x θθθ−⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他的总体．证明1(1)ˆ4X θ=和2(3)ˆ43X θ=都是θ 的无偏估计量．证：总体X 的分布函数为0,0,(;),0,1,,x x F x x x θθθθ<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩则容量为3的样本的最小顺序统计量X (1) 的分布函数和密度函数为33(1)0,0,(;)1[1(;)]11,0,1,,x x F x F x x x θθθθθ<⎧⎪⎪⎛⎞=−−=−−≤<⎨⎜⎟⎝⎠⎪⎪≥⎩23(1)(1)3(),0,(;)(;)0,x x f x F x θθθθθ⎧−<<⎪′==⎨⎪⎩其他且最大顺序统计量X (3) 的分布函数和密度函数为33(3)0,0,(;)[(;)],0,1,,x x F x F x x x θθθθθ<⎧⎪⎪⎛⎞==≤<⎨⎜⎟⎝⎠⎪⎪≥⎩23(3)(3)3,0,(;)(;)0,x x f x F x θθθθ⎧<<⎪′==⎨⎪⎩其他得234222321(1)33300031212ˆE()4E()4()d (2+)d 2+234x x x X x x x x x x x θθθθθθθθθθθθθ⎛⎞==⋅−=−=−=⎜⎟⎝⎠∫∫，2432(3)33300044344ˆE()E()d d 334x x X x x x x θθθθθθθ==⋅==⋅=∫∫，故1(1)ˆ4X θ=和2(3)ˆ43X θ=都是θ 的无偏估计量． 2．设总体X 服从伯努利分布B (1, p )，p 为未知参数（0 < p < 1）．样本X 1 , …, X n 来自于X ．（1）证明：当n = 1时，p 2不存在无偏估计；（2）若n ≥ 2，求p 2的一个无偏估计量．解：（1）当n = 1时，样本X 1的概率分布为101~1X p p ⎛⎞⎜⎟−⎝⎠，则任何统计量T = T (X 1)的数学期望为E (T ) = T (0) ⋅ (1 − p ) + T (1) ⋅ p = T (0) + [T (1) − T (0)] ⋅ p ≠ p 2，故当n = 1时，p 2不存在无偏估计；（2）若n ≥ 2，有样本均值11n i i X X n ==∑，样本方差2211()1n i i S X X n ==−−∑，则E()E()X X p ==，22E()D()(1)S X p p p p ==−=−，即222E()E()E()X S X S p −=−=，故2X S −是p 2的一个无偏估计量．3．设从均值为µ ，方差为σ 2（> 0）的总体X 中分别抽取容量为n 1 , n 2的两个独立样本，样本均值分别为1X 和2X ．试证：对于任意满足条件a + b = 1的常数a 和b ，12ˆaX bX µ=+都是µ 的无偏估计，并确定a 、b 使方差ˆD()µ达到最小．解：因12E()E()X X µ==，211D()X n σ=，222D()X n σ=，有12ˆE()E()E()()a X b X a b a b µµµµ=+=+=+，故当a + b = 1时，ˆE()µµ=，12ˆaX bX µ=+都是µ 的无偏估计；又22222222222121112121212()2(1)ˆD()D()D()(1)n n a n a n a a a X b X a a n n n n n n σσµσ⎡⎤+−+−=+=⋅+−⋅=+=⎢⎥⎣⎦，令212112ˆ2()2d D()0d n n a n a n n µσ+−==，得112n a n n =+，且2212212ˆ2()d D()0d n n n n a µσ+=>，故当112n a n n =+，2121n b a n n =−=+时，方差ˆD()µ达到最小． 4．设X 1 , X 2 , X 3 , X 4是来自均值为θ 的指数分布的样本，其中θ 未知．证明下列三个估计量1123411()()36T X X X X =+++，212341(6543)10T X X X X =+−+，T 3 = 2 X 1 − X 2 + 3 X 3 − 3 X 4 ，均为θ的无偏估计量，并说明上述估计量中哪个最有效．证：因总体X 服从均值为θ 的指数分布，即X ~ e (1/θ )，有E (X ) = θ ，D (X ) = θ 2 ，则112341111E()[E()E()][E()E()]()()3636T X X X X θθθθθ=+++=+++=，2123411E()[6E()5E()4E()3E()](6543)1010T X X X X θθθθθ=+−+=+−+=，E (T 3) = 2 E (X 1) − E (X 2) + 3 E (X 3) − 3 E(X 4) = 2θ − θ + 3θ − 3θ = θ ，故T 1 , T 2 , T 3均为θ 的无偏估计量；又222221123411115D()[D()D()][D()D()]()()93693618T X X X X θθθθθ=+++=+++=， 22222212341143D()[36D()25D()16D()9D()](3625169)10010050T X X X X θθθθθ=+++=+++=，D (T 3) = 4 D (X 1) + D (X 2) + 9 D (X 3) + 9 D (X 4) = 4θ 2 + θ 2 + 9θ 2 + 9θ 2 = 23θ 2 ，显然D (T 1) < D (T 2) < D (T 3)，故T 1最有效，T 2其次，T 3最差．5．设ˆθ是参数θ 的无偏估计量，且ˆD()0θ>，试证：2ˆ()θ不是θ 2的无偏估计量．证：因ˆθ是参数θ 的无偏估计量，即ˆE()θθ=，有2222ˆˆˆˆE[()]()[E()]()D D θθθθθθ=+=+>，故2ˆ()θ不是θ 2的无偏估计量．习题6.31．随机地从一批零件中抽取10个，测得其长度（单位：cm ）为：2.13, 2.14, 2.12, 2.13, 2.11, 2.15, 2.14, 2.13, 2.12, 2.13．假设该批零件的长度服从正态分布N (µ , σ 2)，试求总体均值µ 的置信系数为95%的置信区间：（1）若已知σ = 0.01；（2）若σ 未知．解：（1）单个正态总体，已知σ ，估计µ ，总体均值µ 的点估计为X，枢轴量为~(0,1)X U N =，置信系数1 − α = 0.95，置信区间为/2/2(X u u αα−+，因1(2.13 2.14 2.13) 2.1310x =+++="，σ = 0.01，n = 10，u 0.025 = 1.96，故µ 的置信系数95%的置信区间为(2.13 1.96 2.13 1.96(2.1238,2.1362)−+=；（2）单个正态总体，未知σ ，估计µ ，总体均值µ 的点估计为X，枢轴量为~(1)X T t n =−，置信系数1 − α = 0.95，置信区间为/2/2((1)(1)X t n t n αα−−+−，因1(2.13 2.14 2.13) 2.1310x =+++="， 222221[(2.13 2.13)(2.14 2.13)(2.13 2.13)]0.01159s =−+−++−="，n = 10，t 0.025 (9) = 2.2622，故µ 的95%置信区间为(2.13 2.2622 2.13 2.2622(2.1217,2.1383)−+=．2．为估计制造某件产品所需的单件平均工时（单位：小时），现制造了五件，记录所需工时为：10.5, 11, 11.2, 12.5, 12.8．设制造单件产品所需工时服从正态分布，试求单件平均工时的置信系数95%的置信区间．解：单个正态总体，未知σ ，估计µ ，总体均值µ 的点估计为X，枢轴量为~(1)X T t n =−，置信系数1 − α = 0.95，置信区间为/2/2((1)(1)X t n t n αα−−+−，因1(10.51112.8)11.65x =+++="，222221[(10.511.6)(1111.6)(12.811.6)]0.99754s =−+−++−="，n = 5，t 0.025 (4) = 2.7764，故µ 的95%置信区间为(11.6 2.7764 2.7764(10.3615,12.8385)−+=．3．设有两台机床用来生产规格相同的铝合金薄板．随机选取每台机床轧制的产品若干张，测得它们的厚度（单位：cm ）如下：机器I ：0.243, 0.238, 0.248, 0.245, 0.236, 0.241, 0.239，机器II ：0.261, 0.254, 0.255, 0.257, 0.253, 0.250，设两台机床所生产的薄板的厚度服从方差相等的正态分布．试给出两台机床生产的铝合金薄板平均厚度差的置信系数为95%的置信区间．解：两个正态总体，未知22,x y σσ（但22x yσσ=），估计µ x −µ y ，均值差µ x −µ y 的点估计为X Y −，枢轴量为()()~(2)X Y T t n m µµ−−−=+−，置信系数1 − α = 0.95，置信区间为(，因1(0.2430.2380.239)0.24147x =+++="，1(0.2610.2540.250)0.2556y =+++="， 222221[(0.2430.2414)(0.2380.2414)(0.2390.2414)]0.00426x s =−+−++−="，222221[(0.2610.255)(0.2540.255)(0.2500.255)]0.00375ys =−+−++−="， n = 7，m = 6，t 0.025 (11) = 2.2010，故µ 的95%置信区间为(0.24140.255 2.2010(0.0185,0.0087)−±=−−．4．由容量为15，取自正态总体N (µ , σ 2)的随机样本算得23.2, 4.24x s ==，确定σ 2和σ 的置信系数90%的置信区间．解：单个正态总体，估计σ 2，总体方差σ 2的点估计为S 2，枢轴量为2222(1)~(1)n S n χχσ−=−，置信系数1 − α = 0.90，置信区间为2222/21/2(1)(1)(,)(1)(1)n S n S n n ααχχ−−−−−，因s 2 = 4.24，n = 15，20.05(14)23.685χ=，20.95(14) 6.571χ=，故σ 2的90%置信区间为14 4.2414 4.24(,(2.5062,9.0336)23.685 6.571××=； σ 的90%置信区间为(1.5831,3.0056)=．5．设有两个化验员A 和B 独立对某种聚合物中的含氯量用同一种方法各做了10次测定，其测定值的方差分别为220.512,0.665ABs s ==．假定各自的测定值均服从正态分布，方差分别为2Aσ和2Bσ，求22ABσσ的置信系数为0.90的置信区间．解：两个正态总体，估计22A B σσ，方差比22A Bσσ的点估计为22A B S S ，枢轴量为2222~(1,1)A AB B S F F n m S σσ=−−，置信系数1 − α = 0.90，置信区间为2222/22222/21/2/2111(,)(,(1,1))(1,1)(1,1)(1,1)A A A A B B B BS S S S F m n F n m F n m F n m S S S S αααα−⋅⋅=⋅⋅−−−−−−−−，因220.512,0.665A B s s ==，n = 10，m = 10，F 0.05 (9, 9) = 3.18，故22A Bσσ的置信系数为0.90的置信区间为0.51210.512(, 3.18)(0.2421,2.4484)0.665 3.180.665××=．6．设枪弹的速度（单位：米/秒）服从正态分布．为了比较两种枪弹的速度，在相同的条件下进行了速度测定．算得数据如下：枪弹甲：m = 110，2810x =，s x = 121.41；枪弹乙：n = 100，2682y =，s x = 105.06．试求这两种枪弹的平均速度之差的置信系数近似为95%的置信区间．解：两个正态总体，未知22,x yσσ（大样本），估计µ x −µ y ，均值差µ x −µ y 的点估计为X Y −，大样本情形下枢轴量为()()~(0,1)X Y T N µµ−−−=，置信系数1 − α = 0.95，置信区间为(，因m = 110，2810x =，s x = 121.41，n = 100，2682y =，s x = 105.06，u 0.025 = 1.96，故µ x −µ y 的95%置信区间为(28102682 1.96(97.36,158.64)−±=．复习题六1．设X 1 , …, X n 为来自总体X 的样本，X 的概率密度函数为22(),0,(;)0,,x x f x θθθθ⎧−<<⎪=⎨⎪⎩其他其中θ（> 0）是未知参数．试求参数θ 的矩估计量．解：因3323222002212E()()d ()()23233X x x x x x θθθθθθθθθθ=⋅−=−=−=∫，有θ = 3 E (X )，故θ 的矩估计为ˆX θ=．注：此题有误，密度函数非零取值范围应为0 < x < θ ．2．伯莱托（Pareto ）分布是常用于研究收入的模型，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=,,0,,1),;(111212θθθθθθx x x x F 其中θ 1 > 0，θ 2 > 0．若随机样本X 1 , …, X n 取自该分布，求θ 1与θ 2的极大似然估计量．解：伯莱托分布的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥⋅=′=+,,0,,),;(),;(11112212122θθθθθθθθθθx x x x F x f则1211211212121112212122112122222222)(),;(),;(),;(),(++++=⋅==θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθn n nnn x x x x x x x f x f x f L """，即ln L (θ 1, θ 2) = n ln θ 2 + n θ 2 ln θ 1 − (θ 2 + 1) ln (x 1 x 2 …x n )，显然θ 1越大，ln L (θ 1, θ 2) 就越大，且x i ≥ θ 1，故θ 1的极大似然估计量为)1(11},,min{ˆX X X n =="θ；令0)ln(ln 1),(ln 2112221=−+⋅=∂∂n x x x n n L "θθθθθ，得111212ln ln 11ln )ln(θθθ−=−=∑=ni i n x n n x x x n "，故θ 2的极大似然估计量为)1(12ln ln 11ˆX X n ni i −=∑=θ．3．设总体X 的概率密度为2231/224πe ,0,(;)0,0,xx x f x x ααα−−−⎧⎪>=⎨≤⎪⎩ 试求参数α 的矩估计和极大似然估计，并证明矩估计量是无偏的．解：因222231/2211/2200E()4πe d 2π(1)de xxX x x x x αααα+∞+∞−−−−−−=⋅=⋅−∫∫22222211/2211/221/21/2002πe2πe d()0(2πe )2πx x x x x ααααααα+∞+∞+∞−−−−−−−−−=−+=+−=∫，故α=，α的矩估计为ˆXα=；因2222221231/2231/2231/221212()(;)(;)(;)4πe4πe4πenx x x n n L f x f x f x x x x αααααααααα−−−−−−−−−==⋅""2213/22124π()eni i x n n n n x x x αα=−−−∑="，即212211ln ()ln 43ln ln π2ln()2nn i i n L n n x x x x ααα==−−+−∑"，令231d ln ()1230d n i i L n x αααα==−⋅+=∑，得α=，故α的极大似然估计为ˆα= 4．设总体X 的密度函数为||1(;)e ,2x f x x λλ−−=−∞<<+∞，试求参数λ（−∞ < λ < +∞）的极大似然估计量．解：112||||||||121111()(;)(;)(;)e e e e 2222ni n i x x x x n n L f x f x f x λλλλλλλλ=−−−−−−−−∑==⋅=""，即1ln ()ln 2||ni i L n x λλ==−−−∑，设顺序统计量为x (1) , x (2) , …, x (n )，并且记x (0)为−∞，x (n + 1)为+∞，不妨设x (k ) ≤ λ < x (k + 1)，k = 0, 1, …, n − 1, n ，则1111ln ()ln 2()()ln 2()kn k ni i i i i i k i i k L n x x n k x x n k λλλλλ==+==+=−−−−−=−−+−+−∑∑∑∑11ln 2(2)kni i i i k n n k x x λ==+=−+−+−∑∑，若2n k <，有n − 2k < 0，ln L (λ )关于λ 单调增加，若2nk >，有n − 2k < 0，ln L (λ )关于λ 单调减少，当n 为偶数时，取2nk =，ln L (λ )在()()221n n x x λ+≤<时达到最大，（由连续性知()21n x λ=时也达到最大），故当n 为偶数时，λ 的极大似然估计量ˆλ为区间()()221[,]n n X X+上的任何值；当n 为奇数时，取12n k −=，ln L (λ )在()()1122n n x x λ−+≤<时单调增加，取12n k +=，ln L (λ )在()()1322n n x x λ++≤<时单调减少，即ln L (λ ) 在()12n x λ+=时达到最大，故当n 为奇数时，λ 的极大似然估计量()12ˆn X λ+=．5．设总体X ~ N (µ , σ 2)，X 1 , …, X n 是X 的样本，X 为样本均值，求常数c 和d ，使∑−=+−1121)(n i i i X X c 与∑=−ni i X X d 1||分别为σ 2和σ 的无偏估计．解：因E (X i ) = µ ，2222)](E [)(D )(E µσ+=+=i i i X X X ，则∑∑∑−=++−=++−=+−+=−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1112211112211121)](E )(E 2)(E )(E [)2(E )(E n i i i i i n i i i i i n i i i X X X X c X X X X c X X c221122222)1(22)1(]2)()[(σσµµσµσ−=⋅−⋅=−+++=∑−=n c n c c n i ，故当)1(21−=n c 时，21121)(E σ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∑−=+n i i i X X c ，∑−=+−−1121)()1(21n i i i X X n 为σ 2的无偏估计；因∑∑≠=−−=−=−ij j i n j j i i X n X n n X n X X X 1111，有i X X −服从正态分布，且E()E()E()0i i X X X X µµ−=−=−=，22222(1)1(1)11D()D()D()(1)i i jj i n n n X X X X n n n n n n σσ≠−−−−=+=+⋅−=∑，则21~(0,)i n X X N n σ−−~(0,1)X N ，记X Y =Y ~ N (0, 1)，则22222200E(||)||d 2d 2y y y Y y yy y+∞−−−+∞+∞−∞===−=∫∫即E(||)i X X −=，11E(||)E(||)n ni i i i d X X d X X d n ==−=−=⋅∑∑，故当d =时，1E ||ni i d X Xσ=⎡⎤−=⎢⎥⎣⎦∑1||n i X X =−为σ 的无偏估计．。

概率统计ch6.2

2 2 ( n 1) S 2 则 P 1 / 2 ( n 1) / 2 ( n 1) 1 , 2 2 ( n 1) S 2 ( n 1 ) S 2 即 P 2 2 1 , 1 / 2 ( n 1) / 2 ( n 1)
即所求置信区间为( 3.07, 4.93).
2015-7-6
数科院 26
1 2. 两个总体方差比 2 的置信区间 2
2
仅讨论总体均值 1 , 2 为未知的情况.
由于 ( n1 1) S1
2
1
2
~ ( n1 1),
2
( n2 1) S2
2
2
2
~ 2 ( n2 1),
随机区间( , ) 以 1 的概率包含着参数的真值, 而不能说参数以 1 的概率落入随机区间 ( , ).
由大数定律，在这些区间中，包含θ真值的区间个数占 100(1- )%，不包含θ真值的区间个数占100 %。
例如抽样1000次，＝0.01，则得到的1000个区间中，大约只有10个区间不包含θ 的真值。
2015-7-6
数科院 24
例5
为比较І, ІІ两种型号步枪子弹的枪口速度,
随机地取І型子弹10发, 得到枪口速度的平均值为
x1 500(m / s),标准差 s1 1.10(m / s), 随机地取ІІ 型子弹20发, 得枪口速度平均值为 x 2 496(m / s),
标准差 s2 1.20(m / s), 假设两总体都可认为近似
若α＝0.05， σ2 ＝1， n＝16， Z 2 1.96(查表)
X 0.49 抽取一个样本 ,得 x 5.20 5.20 0.49 4.71,5.69

概率统计练习册

浙江林学院《概率论与数理统计》活页练习册班级姓名学号200 -200 学年第学期班级姓名学号§1.1 随机事件习题1．在分别标有号码1~8的八张卡片中任抽一张，设事件A 为“抽得一张标号不大于4的卡片，事件B 为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件C 为“抽得一张标号为能被3整除的卡片”.（1）试写出试验的样本空间Ω=｛｝；（2）试将下列事件表示为样本点的集合，并说明分别表示什么事件？（a ） AB=｛｝；（b ）A B ⋃=｛｝；（c ） B =｛｝；（d ） A -B=｛｝；（e ）BC =｛｝；（f ）B C ⋃=｛｝；2．一工人生产了三件产品,以i A 表示他生产的第i 件产品是正品(1,2,3)i =,试用事件i A (1,2,3)i =的运算关系表示下列事件:（1）没有一件产品是次品;（2）至少有一件产品是正品;（3）恰有一件产品是次品;（4）至少有两件产品是次品;（5）至多有一件产品是次品.3．指出下列命题正确的有（）（１）()A B AB B ⋃=⋃ (2) ()()A AB AB =⋃（3）()()AB AB φ⋂= (4）若B A ⊂，则Ａ＝ＡＢ（5）若ＡＢ＝φ，则≠B A φ （6）若ＡＢ＝φ，则B A ＝φ4．对飞机进行两次射击,每次射一弹,设事件A ={第一次击中飞机},B ={第二次击中飞机},C ={恰有一弹击中飞机},D ={至少有一弹击中飞机},F ={两弹都击中飞机}.（1）试用,A B 的运算关系表示事件,,;C D F（2）C E 与是互逆事件吗?为什么?班级姓名学号§1.2 概率习题1．已知P(A ∪B)=0.8，P(A)=0.5，P(B)=0.6，求P(AB)，P(B A )和P(B A ).2. 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.4, 两类问题都能答出的概率为0.3. 求小王(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率;(2) 至少有一类问题能答出的概率;(3) 两类问题都答不出的概率.3. 已知,B A ⊂()0.2,P A =()0.8,P B = 求(),(),(),()().P A P A B P AB P A B P A B - 和4. 某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时订甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙两种报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.5.设,A B为两个事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7. 问(1) 在什么条件下P(AB)取到最大值,最大值是多少? (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值,最小值是多少?6.设P（A）>0，P（B）>0,将下列四个数：P(A), P(AB), P(A∪B), P(A)+P(B)，按由小到大的顺序排列，用符号≤联系它们，并指出在什么情况下可能有等式成立?班级姓名学号§1.3 古典概型习题1．电话号码由六个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率.2．袋中有白球5只, 黑球7只,依次取出3只(不放回),求顺序为黑白黑的概率.3．两封信随机地向标号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的4个邮筒投寄，求(1) 前两个邮筒中各有一封信的概率；(2) 第二个邮筒恰好被投入一封信的概率．4．在1~100共一百个数中任取一个数，求这个数能被3或5整除的概率.5．袋内放有2个伍分的钱币，3个贰分的钱币，5个壹分的钱币.任取其中5个，求总数超过一角的概率.班级姓名学号§1.4 乘法公式与全概率公式习题1．一家大型工厂的雇员中,有80%具有本科文凭,有12%是管理人员,有8%既具有本科文凭又是管理人员.求:(1) 已知某雇员有本科文凭,那么他是管理人员的概率是多少?(2) 已知某雇员不具有本科文凭,那么他是管理人员的概率是多少?2．设袋中有5个白球与4个黑球，每次从袋中任取一个球，取出的球不放回去.求（1）第二次才取得白球的概率;（2）两次取得的球为白、黑各一的概率;（3）第二次取得白球的概率.3. 10个考签中有4个难签,甲、乙、丙三人依次参加抽签（不放回）．求甲、乙都抽到难签,甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率．4．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.（1）求任意取出的零件是合格品的概率;（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率.5.有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，1个白球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球.(1) 求此球是红球的概率？(2) 若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？6．一批电子元件中，甲类的占80%，乙类的占12%，丙类的占8%.三类元件的使用寿命能达到指定要求的概率依次为0.9,0.8和0.7.今任取一个元件，求其使用寿命能达到指定要求的概率.班级姓名学号§1.5 事件的独立性习题1. 甲、乙两人打靶,甲的命中率为0.9,乙的命中率为0.85,两人同时射击同一目标,各打一枪.求 (1) 目标被击中的概率; (2) 恰有一人击中目标的概率.2．设一袋中有6只白球，3只红球，1只黑球，现作有放回抽取3次，每次从中取一只，求下列事件的概率：(1) 3只全是白球;(2) 3只颜色全相同;(3) 3只颜色全不相同.3．一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8,第三台等于0.7，求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率.4．甲，乙，丙三人同时独立地破译一份密码，已知三人能译出的概率分别是514131和，，求密码能被译出的概率.A 与C独立；5．（1）设A与C独立，B与C独立，A与B互斥，证明B（2）证明：若)PBP ，则事件A与B独立.AA(B|(|)6．甲，乙，丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4、0.5和0.7.如果只有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2；如果有二人击中，则飞机被击落的概率是0.6; 如果三人都击中，则飞机一定被击落.求飞机被击落的概率.班级姓名学号第1章随机事件及其概率复习题一单项选择题1．设事件A与B互不相容，且P(A)＞0，P(B)＞0，则一定有（）（A）P(A)=1-P(B)；（B）P(A|B)=P(A);（C）1(=|BAP.)P；（D）1|(=BA)2．设事件A与B相互独立，且P(A)＞0，P(B)＞0，则一定有（）（A）)BAP-P=；（B）P(A|B)=0;(1)|(A（C）P(A)=1-P(B)；（D）P(A|B)=P(B).3．设事件A，B满足P(A)＞，P(B)＞0，事件A与B一定独立的条件为（）.（A）)APPABP=；（B）()()()((B)()；=P A B P A P B （C）P(A|B)=P(B)；（D）)ABP=.P)(|(A4．设事件A满足0＜P(A)＜1，事件B满足P(B)＞0，且)PABP=，则必有（）B(A(||)（A）)|)((BAP≠；BPA||)P=；（B）)|(B(AABP（C）P(AB)=P(A)P(B)；（D）P(AB)≠P(A)P(B).5．设事件A和B有关系AB⊂，则下列等式中正确的是( ) （A）P(AB)=P(A)；（B）P(A⋃B)=P(A);（C）P(B|A)=P(B)；（D）P(B-A)=P(B)-P(A).6．设A与B是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中正确的是（）（A）A与B互不相容；（B）A与B相容；（C）P(AB)=P(A)P(B)；（D）P(A-B)=P(A).7．设A、B为两个对立事件，且P(A)≠0，P(B)≠0，则下面关系成立的是（）（A）P(A⋃B)=P(A)+P(B)；（B）()()()；P A B P A P B≠+（C）P(AB)=P(A)P(B)；（D）)PBAAP=.(())(BP8．设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，且A、B两事件相互独立，则必有（）（A）A与B互斥事件；（B）A与B不互斥；（C）A与B为对立事件；（D）P(AUB)=P(A)+P(B).9．对于任意两个事件A与B，P(A-B)等于（）（A）P(A)-P(B); （B）P(A)-P(B)+P(AB);（C）P(A)-P(AB); （D）)PB+.PP-A)()((BA10. 设A 、B 为两随机事件，下列命题不正确的是（）(A) 如果A 与B 互不相容，那么A 与B 也互不相容；(B) 如果A 与B 相互独立，那么A 与B 也相互独立；(C) 如果A 与B 相互独立，那么P(B|A)=P(B)；(D) 如果)()()(B P A P B A P =，那么A 与B 相互独立.二填空题1．若B A ⊃，C A ⊃，P(A)=0.9，()0.8P B C = ，则P(A -BC)=__________.2．若在n 次独立试验中，A 至少出现一次的概率为p ，则在一次试验中A 出现的概率为____________.3．设P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(A|B)=0.5，则P(B|A)=_________，P(B|A ⋃B)= .4．已知161)()(,0)(,41)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P ，则事件A ，B ，C 至少有一个发生的概率__________________.5．一批产品，其中10件正品，2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出后不再放回，则第2次抽出的是次品的概率为_____________.6．设在4次独立的试验中，事件A 每次出现的概率相等，若已知事件A 至少出现1次的概率是8165，则A 在1次试验中出现的概率为__________. 7．设事件A ，B 的概率分别为61)(,31)(==B P A P . （1）若A 与B 相互独立，则()P A B = _________；（2）若A 与B 互不相容，则=)(B A P ___________.9．设一仓库中有12箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、4箱、3箱，三厂产品的废品率依次为0.1，0.15和0.18.从这12箱产品中任取一箱，再从这箱中任取一件，则取得合格品的概率是__________；已知取得一件合格品，则此产品为甲厂生产的概率是__________.10．两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，则目标没被击中的概率为___________.11．已知A 、B 两事件满足条件)()(B A P AB P =，且P(A)=0.25，则P(B)=__________.三计算题与证明题1．从1，2…，10这10个数字中任取1个，然后放回，先后取出6个数字，求下列各事件的概率: A={6个数字全不相同} B={6个数字不含10和1}.2．寝室中有四个人，求：（1）至少有2个的生日同在12月的概率；（2）至少有2人的生日在同一月的概率；（3）至少有2人的生日同在星期一的概率.3．已知41)()()(===C P B P A P ，P(AB)=0，161)()(==BC P AC P ，求下列事件的概率：（1）A ，B ，C 全不发生；（2）A ，B ，C 至少发生一个.4．一个工厂有一，二，三3个车间生产同一个产品，每个车间的产量占总产量的45%，35%，20%，如果每个车间成品中的次品率分别为5%，4%，2%.（1）从全厂产品中任意抽取1个产品，求取出是次品的概率；（2）从全厂产品如果抽出的1个恰好是次品，求这个产品由一车间生产的概率.5．假设有两箱同种零件，第一箱内装50件，其中10件一等品，第二箱内装30件，其中18一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的条件概率.6．设,,A B C 相互独立，证明B A 与C 独立.班级姓名学号§2.1 随机变量的概念与离散型随机变量习题1．设随机变量X 具有分布律X 0 1 2 3k p 91 ）（θθ-12 91 θ21- 试确定常数θ.2．10件产品中有8件合格品和2件不合格品,从中任取3次,每次取1件,分别依照(1)有放回;(2)不放回方式抽取,求取得的不合格品数的分布律.3. 5张卡片上分别写有号码5,4,3,2,1.现从中随机地取出3只,设随机变量X 表示取出的3张卡片上的最大号码,求X 的分布律.4. 设袋中有5个球，其中有2个白球和3个黑球,现每次从中任取1个球(不放回)，直至取到白球为止,求取球次数的概率分布.5. 从数1,2,3,4中任取一个数,记为X, 再从1,…,X中任取一个数,记为Y,求P(Y=2).§2.2 0-1分布和二项分布习题1．一条自动生产线上产品的一级品率为6.0,随机检查10件,求至少有两件一级品的概率.2.设从学校乘汽车到火车站的途中有5个十字路口,每个十字路口遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都等于6.0,以X表示途中遇到红灯的次数,求X的分布律.3. 某种灯泡使用时数在1500小时以上的概率为7.0,求4个灯泡中至少有3个能使用1500小时以上的概率..0,任取其中5粒,求以下概率4．一批种子发芽率为98(1)恰有3粒种子能发芽; (2) 至少有4粒种子能发芽.§2.3 泊松分布习题1．设某本书中每页印刷错误的个数X 服从泊松分布)2.0(π,求一页上至多有一个印刷错误的概率.2．设某电话总机5分钟内接到电话呼叫的次数X 服从泊松分布)2(π，（1）计算该总机5分钟内共接到k 个电话（6,5,4,3,2,1,0=k ）的概率；（2）求5分钟内至多接到3个电话的概率.3．某医院在长度为t 的时间间隔内收治的急诊病人数X 服从参数为2t 的泊松分布,而与时间间隔的起点无关(时间以小时记).(1) 求某一天中午12时至下午3时没有急诊病人的概率;(2) 求某一天中午12时至下午5时至少有2个急诊病人的概率.§2.4 随机变量的分布函数习题1．设随机变量X 具有分布律 X 0 1 2p 31 61 21 （1）求X 的分布函数)(x F ；（2）计算)23(≤X P ,)41(≤<X P 和)41(≤≤X P .2．设从学校乘汽车到火车站的途中有5个十字路口,每个十字路口遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都等于6.0,以X 表示途中遇到红灯的次数,求X 的分布律和分布函数.3. 设随机变量X 的分布函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<=4,142,9.02x 0 6,.001,2.010)(x x x x x F ，求X 的分布律.班级姓名学号§2.5 连续型随机变量习题1．设连续型随机变量X 的密度函数为2,01;()0,cx x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.(1) 确定常数c ；(2) 求X 的分布函数)(x F ; (3) 求11();42P X ≤≤ 2().3P X >2．设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<≤<=2121121100)(22x x x Cx x Bx x A x F ，，　，， (1) 求常数C B A ,,; (2) 求X 的密度函数)(x f ; (3) 计算)21(>X P .3．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=，　其他，　0102)(x x x f . 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件1{}2A X =≤出现的次数，求（1）随机变量Y 的概率分布；（2）对X 的三次独立重复观测中事件A 至多出现两次的概率.4. 设某河流每年的最高洪水位具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,01,2)(3x x x x f .今要修建能防御百年一遇洪水（即遇到的概率不超过01.0）的河堤，问河堤至少要修多少高？§2.6 均匀分布和指数分布习题1．设随机变量X ~)5,2(U ,现对X 进行3次独立观测,求至少有两次观测值大于3的概率.2．设随机变量K ~)5,0(U ,求方程02442=+++K Kx x 有实根的概率.3．设随机变量X 的密度函数为30()00x ke x f x x -⎧>=⎨≤⎩，　， (1) 确定常数k ; (2) 计算)25.1(≤≤X P .4．设某种仪器装了3只独立工作的同型号元件,其寿命X (小时)服从密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0006001)(600x x e x f x ，，　的指数分布,求仪器在最初200小时内至少有1只元件出故障的概率.§2.7 正态分布习题1. 设X ~)1,0(N ,求 (1) )33.202.0(<<X P ; (2) )04.085.1(<<-X P .2. 设X ~)3,10(2N ,求 (1) )167(<<X P ; (2)(|10|2);P X -< (3) 求常数α,使9.0)(=<αX P .3. 某机器生产的螺栓长度(cm)服从参数06.005.10==σμ，的正态分布,规定长度在范围12.005.10±内为合格品.求该机器生产的螺栓的合格率.4. 测量某一目标的距离时,产生的随机误差X (cm)服从正态分布2(0,20).N 求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30cm 的概率.§2.8 随机变量函数的分布习题1．设离散型随机变量X 具有分布律X 2- 1- 0 1 2 3 k p161 162 164 165 163 161 (1) 求26X Y -=的分布律;(2) 求),2max(2X X Z +=的分布律.2．设随机变量X ~)1,0(U ,求随机变量21Y X =+的密度函数.3．设随机变量X ~),(2σμN ,求σμ-=X Y 的密度函数.第2章随机变量及其分布复习题一选择题1. 常数b= 时,),2,1()1( =+=k k k bp k 为离散型随机变量的概率分布.（A ） 2 （B ） 1 （C ）21（D ） 3 2. 设随机变量X 的密度函数为)(x f ,且)()(x f x f =-,)(x F 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有 . （A ）⎰-=-adx x f a F 0)(1)( （B ）⎰-=-a dx x f a F 0)(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ） 1)(2)(-=-a F a F 3. 下列命题不正确的是( A) 设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f ,则一定有1)(=⎰+∞∞-dx x f ; ( B) 随机变量X 的分布函数()F x 必有0()1F x ≤≤； ( C) 随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率 ; ( D) 设X 为连续型随机变量，则P(X =任一确定值)=0. 4. 下列4个函数中能作为某个随机变量的分布函数.（A ） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<≤<=4,142,2.020,1.00,0)(1x x x x x F （B ） ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=0,102,sin 2,0)(2x x x x x F ππ （C ）⎪⎩⎪⎨⎧≤>++=0,00,1)1ln()(3x x x x x F （D ） ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,8.00,5.0)(4x x x e x F x5. 随机变量X ~),(2a a N ,且b aX Y +=~)1,0(N ,则b a ,应取下列各组中的 .（A ）22-==b a ，（B ）12-=-=b a ，（C ）11-==b a ，（D ） 11=-=b a ，二填空题1.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则其概率分布为 ; (1)P X >= .2. 设随机变量~(2,),~(3,),X B p Y B p 若已知5(1),9P X ≥=则(1)P Y ≥= .3. 已知随机变量X 的分布函数x B A x F arctan )(+=，则=A ，=B ，=<)1(X P ，概率密度=)(x f . 4. 设离散型随机变量X 具有分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<≤-<≤--<=2,21,3211,1,0)(x b a x a x a x x F 且21)2(==X P ,则=a =b ,X 的分布律为 . 三解答题1．3个不同的球,随机投入编号为4321，，，的盒子中,X 表示有球盒子的最小号码,求X 的分布律.2．自动生产线在调整以后出现废品的概率为p ,生产过程中出现废品时立即重新进行调整,求在两次调整之间生产的合格品数的分布律.3．进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为p ,失败的概率为p q -=1)10(<<p . （1）将试验进行到出现一次成功为止,以X 表示所需的试验次数,求X 的分布律（此时称X 服从参数为p 的几何分布）.（2）将试验进行到出现r 次成功为止,以Y 表示所需的试验次数,求Y 的分布律（此时称Y 服从参数为p 的巴斯卡分布）.4．试卷中共有5道选择题,每道选择题都有4个答案,其中只有一个答案是正确的.如果每题都是随机选一个答案,求答对题数X 的概率分布及至少答对两题的概率.5. 已知每天到某炼油厂的油船数X ~)2(π,而港口的设备一天只能为三艘油船服务,如果一天中到达的油船数超过三艘,超出的油船必须转向另一港口.求 (1) 这一天中必须有油船转走的概率;(2) 设备增加到多少才能使每天到达港口的油船有%90可以得到服务?6. 设X 的密度函数为⎩⎨⎧<<+=，其他，　010)(x b ax x f , 又已知)31()31(>=<X P X P ，试求常数a 和b .7. 设成年男子身高X ~)36,170(N .(1) 问应如何选择公共汽车车门的高度h ,才能使男乘客与车门碰头的机会小于01.0? (2) 若车门高182cm,求100个男子中与车门碰头人数不多于2个的概率.8. 设随机变量X 的密度函数为+∞<<-∞=-x e x f x,21)(, (1) 求X 的分布函数. （2）设⎩⎨⎧≤->=0,10,1X X Y ,求Y 的概率分布和分布函数.班级姓名学号§3.1 二维离散型随机变量习题1. 盒中有4个红球1个白球,从盒中任取两次,每次取一球.令1,1,;.0,0,X Y ⎧⎧==⎨⎨⎩⎩第一次取到红球第二次取到红球第一次取到白球第二次取到白球求 (1) 在有放回抽样情形下,(,)X Y 的联合分布律; (2) 在不放回抽样情形下,(,)X Y 的联合分布律.2. 设(,)X Y 的联合分布律为求 (1)a ; (2) ();P X Y > (3) X 和Y 的边缘分布；（4）判别X Y 与是否相互独立(要求说明理由)?3. 甲、乙两人独立地各进行两次射击,假设甲的命中率为0.2,乙的命中率为0.5,以X和Y分别表示甲和乙的命中次数.试求X和Y的联合概率分布.X Y的联合分布律如下表所示,问表中,a b取何值时,X与Y相互独立?4. 设(,)班级姓名学号§3.2 二维连续性随机变量习题1. 设(,)X Y 的联合分布函数(,)(arctan )(arctan ),F x y A B x C y x y =++-∞<<+∞.求 (1) 常数,,A B C ; (2) (,)X Y 的联合密度函数; (3) 求关于X Y 及的边缘分布函数.2. 设(,)X Y 的联合密度函数(32),0,0(,).0,x y ke x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它求 (1) 常数k ; (2) ()P X Y ≤; (3) 判别X Y 与是否相互独立(要求说明理由)?3. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它,020,10),31(),(2y x x x A y x f 求：(1) 系数A ； (2) X 的边缘概率密度函数；（3）)2(<+Y X P ; (4) 判别X Y 与是否相互独立(要求说明理由)?4. 设随机变量X 与Y 相互独立，X 在区间[0，2]上服从均匀分布，Y 服从2λ=的指数分布，求（1）二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度；（2） .)(X Y P ≤班级姓名学号§3.6 两个随机变量函数的分布习题1.设(,)X Y 的联合分布律表为求: (1) 1Z X Y =+; (2) 2Z XY =; (3) 3max{,}Z X Y =; (4) 4min{,}Z X Y =的分布律.2. 设X 与Y 相互独立,(1) 则下列正确是( ).(A) X Y = (B) ()1P X Y == (C) 1()2P X Y ==(D) 1()4P X Y == (2) 求X Y +的概率分布.3. 12X X 与相互独立,且都服从[0,1]上的均匀分布,记12max(,),Y X X =12min(,),Z X X =分别求,Y Z 的概率密度函数.4. 设X 、Y 的密度函数分别为323020(),()0x y X Y e x e y f x f y --⎧⎧>>==⎨⎨⎩⎩其它其它,且X 与Y 相互独立,求Z X Y =+的分布.班级姓名学号第3章多维随机变量及其分布复习题1. 设X 与Y 相互独立，其概率分布如下表求：（1）X 与Y 的联合概率分布；（2）)3(≠+Y X P .2. 设二维离散型随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件｛Ｘ＝０｝与｛Ｘ＋Ｙ＝１｝相互独立，求 a 和b 的值．3. 设,A B 为两个随机事件,且111(),(),()4612P A P B P AB ===,令11;.00A B X Y A B ⎧⎧==⎨⎨⎩⎩发生发生不发生不发生求二维随机变量(,)X Y 的联合分布律.4. 设随机变量Y 服从参数为1λ=的指数分布,随机变量0,,(1,2)1,k Y kX k Y k≤⎧==⎨>⎩, 求12(,)X X 的联合分布律.5. 设二维连续型随机变量（X ，Y ）在曲线2y x y x ==，所围成的区域G 内服从均匀分布，求 (1) 联合分布密度; (2)边缘分布密度; （3）X 与Y 是否相互独立？说明理由6. 已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度为1,01,02;(,)0,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其它求：（1）边缘概率密度；（２）11(,).22P X Y <<班级姓名学号§4.1--§4.2 数学期望习题1. 设随机变量X 的分布律为求：（1）()E X ; （2）(31);E X + （3）2().E X2. 设随机变量X 的密度函数为2,11()10,其他⎧-≤≤⎪=+⎨⎪⎩Ax f x x ，求（1）常数A ；（2）E(X).3. 设随机变量X 与Y 相互独立，它们的密度函数分别为1,01()0,X x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它， ,0()0,0y Y e y f y y -⎧≥=⎨⎩<用数学期望的性质求(23)().E X Y E XY -+和4. 设(X,Y)的联合分布律为：已知.2422E(X +Y )=，求 a 、b 之值.班级姓名学号§4.3 方差习题1. 一批零件中有9个合格品与3个废品.安装机器时从这批零件中任取1个.如果取出的废品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望与方差.2. 设随机变量X 的密度函数为1,10()1,010,x x f x x x +-≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它，求（1）E(X)；（2）D(X).3. 设随机变量X 的数学期望与方差均存在且>D(X)0，称*X =为X 的标准化的随机变量，证明：()0,() 1.E X D X **==4. 设随机变量12,,,n X X X 相互独立同分布, 记11.ni i X X n ==∑2(),(),1,2,,.i i E X D X i n μσ=== 求()E X 与().D X5. 已知~(3,1),~(2,1)X N Y N -,且X 与Y 相互独立,确定2Z X Y =-服从的分布并写出其概率分布密度.6. 设随机变量X Y 与相互独立，且(0,2),(0,2)X N Y U ，求2(3),(3)[()].E X Y D X Y E X Y --+和§4.4-§4.5- 协方差与相关系数习题1. 设X 与Y 为随机变量，D(X)=25，D(Y)=36，0.4=XY ρ，求()+D X Y ，()-D X Y .2．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律如下，求：X Y1 2 3 ⋅i p (1) )3(=+Y X P ； 0 0.05 0.20 0.15 （2）X 和Y 的边缘分布； 1 0.10 0.20 0.10 （3）X 与Y 的相关系数XY ρ； 2 0.05 0.10 0.05 （4）X 与Y 是否相互独立？ j p ⋅ （要求写出判别理由）第4章随机变量的数字特征复习题一选择题1.已知随机变量 X B(n,p)，且E(X)=2.4,D(X)=1.44，则参数n,p 为（）（A ）n =4,p =0.6 （B ）n=6,p =0.4 （C ）n=8,p =0.3 （D ）n =24,p =0.12. 设随机变量X 与Y 相互独立，且D(X)=4，D(Y)=2，则D(3X -2Y)=（）（A ）8 （B ）16 （C ）28 （D ）443. 对于任意两个随机变量X 与Y ，若⋅E(XY)=E(X)E(Y)，则（）（A ）⋅D(XY)=D(X)D(Y) （B ）D(X -Y)=D(X)D(Y)+（C ）X 与Y 独立（D ）X 与Y 不独立4. 在我校二年级本科生中随机抽10个学生,设其中有X 个是女生,Y 个是男生,则X 与Y 的相关系数为 ( )(A) 0 (B) 0.5 (C) 1 (D) 1-5. 设X 与Y 相互独立同分布，~X ),(2σμN ,则正确的是（）(A) )2,2(~22σμN X (B) )3,3(~22σμN Y X + (C) )5,(~22σμN Y X - (D) )5,3(~22σμN Y X - 二填空题1. 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，且每次命中目标的概率为0.4，则2E(X )= .2. 设随机变量πλ X ()，且E[(X -1)(X -2)]=1，则λ= .3. 设随机变量 X U(-1,2)，1,X 0Y =0,X 0-1,X 0>⎧⎪=⎨⎪<⎩，则D(Y)= .4. 设随机变量X 与Y 的相关系数为0.9，若Z =X -0.4，则=YZ ρ .5. 设随机变量X 与Y 的相关系数为0.5，E(X)=E(Y)=0，22E(X )=E(Y )=2，则]=2E[(X +Y ) .常用分布及其数学期望与方差(必须熟记)三计算题1. 设随机变量X 的密度函数为,02(),240,ax x f x bx c x <<⎧⎪=+≤≤⎨⎪⎩其他，已知E(X)=2，3<<3)=4P(1X ，求a 、b 、c 之值.2. 设X 与Y 为随机变量，12=XY E(X)=1,D(X)=1,E(Y)=2,D(Y)=4,ρ，记3+X YZ =2，求E(Z),D(Z),Cov(X,Z).班级姓名学号§5.1--§5.2 大数定律与中心极限定理习题1. 设随机变量X 的数学期望为)(X E ，已知方差009.0)(=X D ，若用切比雪夫不等式可估计出()9.0)(≥<-εX E X P ，试问ε的最小值是多少？2. 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和2，方差分别为1和4，相关系数为5.0-，试根据切比雪夫不等式求()6≥+Y X P 的近似值.3. 已知某品种小麦麦穗粒数的数学期望是20,标准差是15,求在该品种的100个麦穗中,麦粒总数在1800到2200之间的概率.4. 某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,以X表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数.求(1) X的分布律; (2) 利用中心极限定理,求被盗索赔户数不小于14户且不多于30户的概率.5. 从一大批发芽率为0.9的种子中随机抽查1000粒,试求这1000粒种子的发芽率与0.9之差的绝对值小于0.02的概率.班级姓名学号第6章数理统计基础习题1. 已知样本观察值为：15.8 24.2 14.5 17.4 13.2 20.8 17.9 19.1 21.0 18.5 16.4 22.6 计算样本均值、样本标准差、样本方差.2. 设总体2(,)X N μσ ，抽取样本12,,,n X X X ，样本均值为X ，样本方差为2S .则(1) X ~ ;~X ; (3)212()~nii Xμσ=-∑ ; (4)22122()(1)~nii XX n S σσ=--=∑ .3. 设,,21X X , 16X 是来自总体(2,1)N 的样本，而1621(2)ii Y X==-∑，则（1）Y ；（2）若Z )1,0(N; (3) 216Z Y. 4. 设总体X )4,12(N ，有5=n 的样本,,21X X , 5X ，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率.5. 总体()250,N σ中随机抽取一容量为16的样本，在下列两种情况下分别求概率)01.529.47(≤≤X P . (1)已知225.5=σ；（2）未知2σ，而样本方差362=s .6. 在总体N (μ,)2σ中随机抽取一容量为10的样本，若μ和2σ均未知，求)88.1(22≤σS P ，其中2S 为样本方差.7.设,,21X X ,6X 是来自总体~(0X N 的样本，22123456()(),Y X X X X X X =+++++试确定常数c ,使得随机变量cY 服从2χ分布,并确定具体的分布及自由度.班级姓名学号§7.1 参数的点估计习题1．设（),,,21n X X X 是来自二项分布),(p m B 总体的一个样本，),,,(21n x x x 为其样本观测值，其中m 是正整数且已知，p (10<<p )是未知参数，求未知参数p 的矩估计量和极大似然估计量.2．设总体X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其他10),(1x x x f θθθ, 其中θ未知，（),,,21n X X X 是来自该总体的一个样本，),,,(21n x x x 为其样本观测值，求未知参数θ的矩估计值和极大似然估计值.。

工科概率统计练习册(第三版)答案

概率论与数理统计练习册解答概率论与数理统计练习题（1）解答1．（1）{10,11,}；（2）35；（3）!n n n；（4）47!；（5）13；（6）2816,4545；（7）22ππ+。

2．（1）A ；（2）B ；（3）C 。

3．（1）解记A ={这n 个号码按严格上升次序排列}，则()nNn C P A N=。

（2）解记k A ={该数能被k 整除}，4,5,6k =，而20002000400,166167512=<<，故 ①54001()20005P A ==； ②4616683()20001000P A A ==。

（3）解由于()()()()P AB P A P B P AB =+-，故①当()0.7P A B =时，()P AB 取得最大值0.6； ②当()1P AB =时，()P AB 取得最小值0.3。

概率论与数理统计练习题（2）解答1．（1）0.98；（2）310；（3）(1)(1)()(1)a ab b a b a b -+-++-；（4）2021；（5）0.2,0.7；（6）0.9。

2．（1）C ；（2）B ；（3）C ；（4）D 。

3．（1）解 111112233()(|)(|)()(|)()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A =++33330.80.980.75300.87300.80.980.150.90.050.10.75300.10940.0001⨯===⨯+⨯+⨯++， 20.1094(|)0.12680.8625P A B ==， 30.0001(|)0.00010.8625P A B ==。

（2）解 0{}{}{}nk P P k P k=====∑正正正正甲乙甲乙20111111()()()()222244nnk k n k k k n kk k nnn n n n nn k k C C C C C --=====∑∑。

概率统计第六章习题参考解答

《概率论与数理统计》第六章习题exe6-1解：10()0x b f x b ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他01()()2bb E X xf x dx x dx b +∞-∞==⋅=⎰⎰ 令11μ=A ，即2b X =，解得b 的矩估计量为ˆ2b X = 2ˆ2(0.50.60.1 1.30.9 1.60.70.9 1.0) 1.6899bx ==++++++++= exe6-2解：202()()()3x E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞-==⋅=⎰⎰令11μ=A ，即,3θ=X 解得θ的矩估计量为ˆ3X θ= Exe6-3解：（1）由于12222()()()()(1)()E X mpE X D X E X mp p mp μμ==⎧⎨==+=-+⎩ 令 ⎩⎨⎧==.2211μμA A求解得221111p m p μμμμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，p, m 的矩估计量为22211(1)ˆ11ˆˆA A n S pA nX X m p ⎧--=-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩Exe6-4解：（1）()E X λ= 令11μ=A ，即,λ=X 解得λ的矩估计量为ˆX λ= {}),2,1,0(!===-x e x x X P xλλ{}),2,1,0(!===-i i xi x e x x X P iλλ似然函数11111(){}()!!niii x n nx n i ni i i ii eL P X x e x x λλλλλ=--===∑====∏∏∏11ln ()()ln ln(!)nni i i i L n x x λλλ===-+-∑∑1ln ()0nii x d L n d λλλ==-+=∑解得λ的最大似然估计值为 11ˆni i x x n λ===∑ （2）由（1）知1ˆ(6496101163710)7.210x λ==+++++++++= Exe6-5解：（1）似然函数1(1)111(){}(1)(1)ni i i nnx x ni i i L p P X x p p p p =--==∑===-=-∏∏∑-==-ni i nx np p 1)1(1ln ()ln (1)ln ni i L p n p x p ==+-⋅∑)1ln()(ln 1p n x p n ni i --+=∑=1(1)ln ()01ni i x d L p n dp p p =-=-=-∑01)(ln 1=---=∑=pn x p ndp p L d ni i 解得p 的最大似然估计值为 11ˆnii npxx===∑ （2）155ˆ5174926px ===++++ Exe6-6解：由2()2()x f x μσ--=（1）2σ已知，似然函数221()()2211()(,)ni i i x nx n nii i L f x eμμσσμμ=----==∑===∏2211ln ())()2nii L n x μμσ==---∑21ln ()1(22)02nii d L x d μμμσ==--=∑即11()0nniii i x n xμμ==-=-=∑∑解得μ的最大似然估计值 1ˆnii xx nμ===∑（2）μ已知，似然函数为212222)(222)(12122121),()(σμσμπσσπσσ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛====----==∏∏ni i i x nx ni n i i e ex f L21222)(21)ln(2)2ln(2)(ln μσσπσ-∑---==n i ix n n L 0)()(212)(ln 2122222=-+-=∑=μσσσσni i x n L d d 解得∑=-=n i i x x n 122)(1ˆσ，故2σ的最大似然估计值为 .)(1ˆ122∑=-=n i i i x x n σ Exe6-7解：（1）矩估计量2220()()()(3)2xt x xt xx E X xf x dx x e dx e dx t e dt θθθθθθθθ=--+∞+∞+∞+∞--∞==⋅===Γ=⎰⎰⎰⎰令2X θ=，得ˆ/2X θ= 似然函数211()(,)ix n nii i i x L f x eθθθθ-====∏∏1111ln ()(ln 2ln )ln 2ln nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑ 令21ln ()210ni i d L n x d θθθθ==-+=∑解得θ的最大似然估计值为111ˆ22n ii x x n θ===∑ （2）2311()(,)2ixnni i i i x L f x e θθθθ-====∏∏331111ln ()[2ln ln(2)]2ln ln(2)nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑令2321ln ()1602nii d L n xd θθθθθ==-⋅-=∑013)(ln 1223=+⋅-=∑=ni ixn d L d θθθθθ解得θ的最大似然估计值为 111ˆ33ni i x x n θ===∑ （3） ),(~p m B X ，m 已知{}∏∏=-=-===ni x m x x m ni i i i ip p C x X P p L 11)1()(1111ln ()[ln ln ()ln(1)]ln ln ln(1)()i inx m i i i nnnx m i i i i i L p C x p m x p C p x p nm x =====++--=++--∑∑∑∑令 11ln ()01n ni ii i x nm x d L p dp p p==-=-=-∑∑即1111(1)1n nniiii i i x xxnmppp p p===+==---∑∑∑ 解得p 的最大似然估计值为 1ˆnii xxpmnm===∑ Exe6-8解：(1)似然函数为{}{}{})1(2)1(2121)(522θθθθθθθ-=⋅-⋅==⋅=⋅==X P X P X P L)1ln(ln 52ln )(ln θθθ-++=L 令 0115)(ln =--=θθθθL d d 解得θ的最大似然估计值为.65ˆ=θ Exe6-9解：2121222222)()(22)(12)(111212121),,(),,(),(σβαβασβασβασπσπσπβαβαβα∑∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛=====+-+---+--=---===∏∏∏∏ni i n i i i i i i y x ny ni x ni n i i Y n i i X e eey f x f L))()((21ln 2)2ln(),(ln 21212βαβασσπβα+-∑+--∑---===ni i ni i y x n n L0))()((22),(ln 112=+-+--=∂∂∑∑==βαβασβααni i n i i y x L 0)()((22),(ln 112=+----=∂∂∑∑==βαβασβαβn i i n i i x x L 联立解得,2ˆ,2ˆyx y x -=+=βα故βα,的最大似然估计量为 .2ˆ,2ˆYX Y X -=+=βαExe6-10解：（1）由1/2EX μθ==，得θ的矩估计量ˆ2X θ= ˆ()2()2()22E E X E X θθθ===⋅= 故θ的矩估计量ˆ2X θ=是θ的无偏估计量。

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求 EX , DX .
八、分别从方差是 25 和 36 的独立正态总体中抽取容量为 7 和 30
的两个样本，其样本方差分别为 S12
和
S
2 2
，求
P(S12
2S
2 2
)
.
5
论成立的是
.
（A） S 2
=
1 n −1
n i =1
(Xi
− )2
服从 2 (n −1) ；
（B） S 2
=
1 n −1
n i =1
(Xi
−
X )2
服从 2 (n −1) ；
（
C
）
1 2
n
(Xi − X )2
i =1
服从 2 (n −1) ；
（D）
1
2
n
(Xi
i =1
− X )2 服从 2 (n) .
=
1 n −1
n
(Xi
i =1
− )2
，
S
2 4
=
1 n
n
(Xi
i =1
− )2
，则服从
自由度为 n −1 的 t 分布的随机变量是
.
（A）T = X − S1 / n −1
（B）T = X − S2 / n −1
（C）T = X − S3 / n
（D）T = X − S4 / n
2．设 X 1, X 2 ,, X n 是来自正态总体 N ( , 2 ) 的样本，则下列结
统计量 Z = X1 + + X 9 服从
分布，自由度是
.
Y12 + + Y92
二、选择题
1．设 X1, X 2 ,, X n 是来自正态总体 N ( , 2 ) 的样本， X 为样
本均值，记
S12
=
1 n −1
n
(Xi
i =1
−
X
)2，
S
2 2
=
1 n
n
(Xi
i =1
−
X )2
，
S
2 3
i=7
− Y2 )2
，T
=
2(Y1 − Y2 ) S
1
复习题
一、填空题
1．设 X ~ N(4 , 42 ) ， X 为容量为 10 的样本的样本均值，则
四、查表求下列各式中的值. ⑴ P( 2 (10) ) = 0.05 ；
⑵ P( 2 (9) ) = 0.01；
⑶ P(| t(10) | ) = 0.90 ；
S12
/
S
2 2
服从
F (n1
−1,
n2
− 1)
的条件是
.
3 ．设总体 X 与 Y 相互独立， X ~ N (0 , 4) ， Y ~ N (0 , 9) ，
X
=1 10
10 i =1
Xi
，
Y
=1 15
15
Yi
i =1
，其中
X1, X 2 ,, X10
以及
Y1,Y2 ,,Y15 分别是来自总体 X 与Y 的样本，则统计量 X − Y 服从
=
m
X
2 i
i =1
n+m
n
X
2 i
；⑶ Y3
=
i = n +1
n
m Xi i =1
n+m
n
X
2 i
i = n +1
二、设 X1, X 2 ,, X 9 是来自正态总体 X 的样本，
Y1
=
1 6
(X1
+
X2
++
X
6
)
，
Y2
=
1 3
(
X
7
+
X8
+
X9)
，
S 2
=
1 2
9
(Xi
X
~
N(−1 ,
4) 与Y
~
N (2 , 5) 的样本， S12
与
S
2 2
分别为两样本方
差，则服从 F(7 , 9) 的统计量是
.
（A）2S12
/
5S
22（B）4S
2 2
/
5S12
；（C）5S12
/
2S
2 2
；（D）5S12
/
4S
2 2
.
8．设 X1, X 2 ,, X n 是来自 2 (n) 分布总体的样本，则 E( X ) 与
3 ．设 X1, X 2 ,, X n 是来自正态总体 N (−1 , 4) 的样本，则
X
=
1 n
n i =1
Xi
服从的分布是
.
3
（A）N(−1 , 3) ；（B）N(−1 , 4) ；（C）N (− 1 , 4) ；（D）N (− 1 , 3) .
n
n
n
nn
4 ．设 X1, X 2 ,, X 6 是来自正态总体 N ( , 2 ) 的样本，
X2Βιβλιοθήκη ,,Xn是来自总体
N (
,
2
)
的样本， X
和
S
2 n
分别
是样本均值和样本方差，又 X n+1 ~ N ( , 2 ) ，且与
X 1, X 2 ,, X n 独立，求统计量T
=
X n+1 − X Sn
n 的概率分布. n +1
七、设 X 1, X 2 ,, X n 是在[a , b]上服从均匀分布的总体 X 的样本，
S 2 = _________________；样本的 k 阶原点矩 Ak =
；样
本的 k 阶中心矩 Bk =
.
3. 设 n = 10 时，样本的一组观测值为 (4,6,4,3,5,4,5,8,4,7) ，则样本均
值为
，样本方差为
.
二、设 X1, X 2 ,, X n 是来自总体 X 的样本，且总体的 EX、DX
D( X ) 的值分别为
.
（A） n , 2 ；（B） n , 2n ；（C） 2 , n ；（D） 2n , n .
三、设总体 X ~ N (3 , 1) ， X1, X 2 ,, X 9 是来自总体 X 的样本，
求 P(2 X 4) 及 P(2 X 4) .
四、某工厂的产品寿命 X ~ N(2250 , 2502 ) ，在进行质量检查时，
⑷ P(t(9) ) = 0.01；
⑸ P(F(12,20) ) = 0.05 ；
⑹
P(F(12,20) ) = 0.975 .
X −4 ~
.
4 / 10
2．
X
~
N (1
,
2 1
)
，
Y
~
N ( 2
,
2 2
)
，且
X
与Y
相互独立，其
样本容量分别为
n1
和
n2
，样本方差分别为
S12
和
S
2 2
，则统计量
T = ( X − )2 n ，则
.
Y
（A）T 服从 t(n −1) 分布；
（B）T 服从 t(n) 分布；
（C）T 服从 N (0 , 1) 分布；（D）T 服从 F(1 , n) 分布.
7 ．设 X 1, X 2 ,, X 8 和 Y1,Y2 ,,Y10 分别是来自独立正态总体
习题二统计量
1. 下列关于“统计量”的描述中，不正确的是
.
A．统计量为随机变量
C. 统计量表达式中不含有参数 D. 统计量表达式中可以含有参数
B. 统计量是样本的函数
2. 设 X1, X 2 ,, X n 是来自总体的一个样本，样本均值
X = ____________ ，样本标准差 S = ___________ ；样本方差
⑵ 样本的极小值小于 10 的概率为多少？ ⑶ 样本的极大值大于 15 的概率为多少？
三、设 X1, X 2 ,, X n , X n+1,, X n+m 是来自总体 X ~ N(0 , 2 )
的容量为 n + m 的样本，求下列统计量的概率分布：
n
⑴Y1
=
1 2
n+m
X
2 i
i =1
；⑵ Y2
第六章抽样分布
一、填空题
习题一总体与样本
1．在数理统计中，
称为总体，
称为个体，
称为样本.
2．我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点是
二、从书库中任取 10 本书，检查每本书中的错页数，得到样本值为（8，7，3，6，3，6，3，7，10，12），试写出频率分布及样本分布函数.
一、填空题
均存在，证明：
EX = EX , DX = DX , ES2 = DX . n
习题三抽样分布
证明统计量T 服从自由度为 2 的 t 分布.
一、总体 X ~ N (12 , 4) ，今抽取容量为 5 的样本
X1, X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ，试问：
⑴ 样本均值 X 大于 13 的概率为多少？
分布， | X − Y | 的数学期望是
.
4 ．若 X1, X 2 ,, X n , X n+1 是来自总体 N ( , 2 ) 的一个样本，
1 n+1