弹性力学 第二章_3
弹性力学_第二章__应力状态分析
弹性⼒学_第⼆章__应⼒状态分析第⼆章应⼒状态分析⼀、内容介绍弹性⼒学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体⼊⼿，本章的任务就是从静⼒学观点出发，讨论⼀点的应⼒状态，建⽴平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件。
应⼒状态是本章讨论的⾸要问题。
由于应⼒⽮量与内⼒和作⽤截⾯⽅位均有关。
因此，⼀点各个截⾯的应⼒是不同的。
确定⼀点不同截⾯的应⼒变化规律称为应⼒状态分析。
⾸先是确定应⼒状态的描述⽅法，这包括应⼒⽮量定义，及其分解为主应⼒、切应⼒和应⼒分量；其次是任意截⾯的应⼒分量的确定—转轴公式；最后是⼀点的特殊应⼒确定，主应⼒和主平⾯、最⼤切应⼒和应⼒圆等。
应⼒状态分析表明应⼒分量为⼆阶对称张量。
本课程分析中使⽤张量符号描述物理量和基本⽅程，如果你没有学习过张量概念，请进⼊附录⼀，或者查阅参考资料。
本章的另⼀个任务是讨论弹性体内⼀点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分⽅程和切应⼒互等定理；边界单元体的平衡条件为⾯⼒边界条件。
⼆、重点1、应⼒状态的定义：应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；2、平衡微分⽅程与切应⼒互等定理；3、⾯⼒边界条件；4、应⼒分量的转轴公式；5、应⼒状态特征⽅程和应⼒不变量；知识点：体⼒；⾯⼒；应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；应⼒⽮量与应⼒分量；平衡微分⽅程；⾯⼒边界条件；主平⾯与主应⼒；主应⼒性质；截⾯正应⼒与切应⼒；三向应⼒圆；⼋⾯体单元；偏应⼒张量不变量；切应⼒互等定理；应⼒分量转轴公式；平⾯问题的转轴公式；应⼒状态特征⽅程；应⼒不变量；最⼤切应⼒；球应⼒张量和偏应⼒张量§2.1 体⼒和⾯⼒学习思路:本节介绍弹性⼒学的基本概念——体⼒和⾯⼒，体⼒F b和⾯⼒F s的概念均不难理解。
应该注意的问题是，在弹性⼒学中，虽然体⼒和⾯⼒都是⽮量，但是它们均为作⽤于⼀点的⼒，⽽且体⼒是指单位体积的⼒；⾯⼒为单位⾯积的作⽤⼒。
体⼒⽮量⽤F b表⽰，其沿三个坐标轴的分量⽤F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表⽰，称为体⼒分量。
弹性力学课件 第二章3
u = u0 −ωy v = v0 −ωx
4. 物理方程
平面应力问题
1 ε x = (σ x − µσ y ) E 1 ε y = (σ y − µσ x ) E 2(1+ µ) γ xy = τ xy E
1− µ 2 µ σ x − σy εx = E 1− µ
平面应变问题
这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而 言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。
2. 圣维南原理
如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布 不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩 也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但 远处所受的影响可以不计。
圣维南原理的说明： 1、圣维南原理只能应用于一小部分边界 （小边界，次要边界或局部边界）； 2、静力等效 ─ 指两者主矢量相同，对同一点 主矩也相同； 3、近处 ─ 指面力变换范围的一、二倍的局部 区域； 4、远处 ─ 指“近处 ”之外。
(b)
⑶ 它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。
2. 应力边界条件 设在 Sσ 上给定面力分量 f x (s), f y (s) 在§2-3中，通过三角形微分体的平衡条件，导出坐 标面应力与斜面应力的关系式，
px = lσ x + mτ yx , py = mσ y + lτ xy
比较： 比较： 精确的应力边界条件 积分的应力边界条件 方程个数 方程性质 精确性 适用边界 2 3
函数方程（难满足） 代数方程（易满足） 精确 大、小边界 近似 小边界
思考题 1、为什么在大边界（主要边界）上，不能应用 圣维南原理？ 2、试列出负x 面上积分的应力边界条件， 设有各 种面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。
弹性力学课后答案
弹性力学课后答案第二章习题的提示与答案2－1 是2－2 是2－3 按习题2－1分析。
2－4 按习题2－2分析。
2－5 在的条件中，将出现2、3阶微量。
当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。
2－6 同上题。
在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。
其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。
2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。
2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。
2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。
2－10 参见本章小结。
2－11 参见本章小结。
2－12 参见本章小结。
2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足（1）平衡微分方程，（2）相容方程，（3）应力边界条件（假设 )。
2－14 见教科书。
2－15 2－16 见教科书。
见教科书。
2－17 取它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。
2－18 见教科书。
2－19 提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令 ,便可得出。
第三章习题的提示与答案3－1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解：（1）校核相容条件是否满足，（2）求应力，（3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。
3－2 用逆解法求解。
由于本题中 l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。
3－3 见3-1例题。
3－4 本题也属于逆解法的问题。
首先校核是否满足相容方程。
再由求出应力后，并求对应的面力。
本题的应力解答如习题3-10所示。
应力对应的面力是：主要边界：所以在边界上无剪切面力作用。
弹性力学 徐芝纶版第二章
f1 y y u0 u y u0
f 2 x x v0 v x v0
可见： 当形变完全确定时，位移分量 不能完全确定；反之，位移分量 确定时，形变分量可以完全确定。 上式中，u0,v0是物体沿x，y轴 的刚体平移。
x
x
y
x
l
h 2 h 2
l
x
y
dy
M
FN
y
应力的主矢量的正方向，即应力的正方向， 应力的主矩的正方向，即（正应力） × （正的矩 臂）的方向。
第二章 平面问题的基本理论
l
h 2 h 2
l
x
y
dy
M
FN
x
x
xy
f
f
y
FS
y
h/2
h / 2 h / 2 h/2 h/2 h / 2 (σ x ) xl d y 1 y h / 2 f x ( y) d y 1 y M , (c) h/2 h/2 (σ x ) x l d y 1 f y ( y ) d y 1 FS . h / 2 h / 2 (σ x ) x l d y 1
第二章 平面问题的基本理论
⑵圣维南原理的应用─积分的应力边界条件 在小边界x=l上，用下列条件代替式(a) 的条件： 在同一边界 x=l 上， 应力的主矢量 ( Fx , Fy )= 数值相等 (b) 面力的主矢量 方向一致 应力的主矩(M)= 面力的主矩
第二章 平面问题的基本理论
l
h 2 h 2
2
q1.
第二章 平面问题的基本理论
写出图中水下坝体的 边界条件。
注：水的压强（面力）： p gh（水深）
第二章：弹性力学基本理论及变分原理
第二章 弹性力学基本理论及变分原理弹性力学是固体力学的一个分支。
它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化）作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。
本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。
§2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。
现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。
§2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量111213141516222324252633343536444546555666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为[]T u u v u v w w ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭(2.1.2)弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为x y Tz xy z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭(2.1.3)对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f xyzτστ∂∂∂+++=∂∂∂0yz zx zz f x y zττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。
弹性力学第二章
（2）平面应变问题的物理方程 由于平面应力问题中：εz = γ zx = γ zy = 0
µ 1− µ2 σx − εx = σy 1− µ E 1− µ2 µ σy − εy = σy E 1− µ
——平面应变问题 ——平面应变问题 物理方程
第三节
平面问题中一点的应力状态
一点的应力
2. 一点的主应力与应力主向 （1）主应力 若某一斜面上τn = 0 ，则该斜面上的正应力σn 称为该点一个主应力σ； 当τn = 0 时，有 σn =σ = p
px =lσ py = m σ
lσx +m xy =lσ τ m y +lτxy = m σ σ
γ xy =
2(1+ µ) τ xy E
在z方向，εz = 0, σz = µ(σx +σy )
变换关系 ： 平面应力物理方程 →平面应变物理方程：
E µ E→ ， → µ 2 1− µ 1− µ
平面应变物理方程 →平面应力物理方程：
E→
E(1+ 2µ)
(1+ µ)2
， → µ 1+ µ
µ
思考题 1. 试证：由主应力可以求出主应变，且两者方 向一致。 2. 试证：三个主应力均为压应力，有时可以产 生拉裂现象。 3. 试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题） 比圆筒（平面应变问题）的变形大。
E
µ
2.平面应变问题 2.平面应变问题 条件是：⑴很长的常截面柱体 ； ⑵体力、面力、约束平行于柱面横截面， 沿长度方向不变。 应力：
σz = µ(σx +σy )
τ zx =τ zy = 0
应变：
εz = 0 γ zx = 0 γ zy = 0
第二章 弹性力学的基本理论
2
0 0 0
0 0 0
0
0
0
x （2－18）
y
0 0 0
0
0
z
yz
0 0
0
0
66
zx xy
61
弹性力学简明教程
二、平面问题
平面问题｛ 平面应力问题 平面应变问题 1、平面应力问题:
z zx zy 0
xz yz 0
由（2－15）式知：
z
fy
0
(2-4)
xz
x
yz
y
z
z
fz
0
x
0
0
0
y 0
0
0 z
0
z y
z
0
x
x
y x
0
36
y
z yz
zx xy
61
fx fy fz
31
0 31
H P 0
36
61
31
31
(2-6)
弹性力学简明教程
二、空间问题的平衡微分方程
弹性力学简明教程
§2 平衡微分方程
一、平面问题的平衡微分方程
y
y
y
dy
x
fy
yx
yx
y
dy
xy
xy
x
dx
y
xy
dy c dx
fx
yx
x
x
x
dx
o(z)
x y
平衡微分方程：
Fx 0 Fy 0
微元体：厚度为1
平面问题的特点：
一切现象都看作是在一个平面内发生的
Fx 0 Fy 0
Mc 0
弹性力学-第二章 平面问题基本理论 (徐芝纶第五版)
平面应力问题
平面应变问题
3
1.平面应力问题
支承板
z x
y
(2) 受力特性
外力(体力、面力)和约束，仅平行于 板面作用，沿z方向不变化。
(1) 几何特性
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
——平板
4
1.平面应力问题
(3) 应力特征
由于板面上不受力，有
sx =sx(x,y)
sy =sy(x,y)
53
54
55
56
习题
57
第二章 教学参考资料 （一）本章学习要求及重点
本章系统地介绍了平面问题的基本理论： 基本方程和边界条件，及两种基本解法。这 些内容在弹性力学中具有典型性和代表性。 因此，学好平面问题的基本理论，就可以方 便地学习其他各章。为此，我们要求学生深 入地理解本章的内容，掌握好以下几点：
)
f
y
0.
68
（2）用位移表示的应力边界条件
E
1
2
[l
(
u x
v
y
)m12
(
u y
v x
)]s
fx,
E
1
2
[m(
v y
u
x
)l12
(
u y
v x
)]s
fy.
（在s 上ss）
69
（3）位移边界条件
(u)s u , (v)s v.
(在Su上)
70
4、按应力求解平面问题（平面应力问题），
应力分量 σ x , σ y ,t x必y 须满足下列全部条件：
sx =sx(x,y) sy =sy(x,y) txy =txy(x,y) sz =sz (x,y) txz =tyz =0
第2章 弹性力学的基本知识
（2）均匀性假设：假定物体内各点处材料均相同。
（3）各向同性假设：假定物体内各点处各个方向上的物理性质相同。
(4)完全弹性假设:胡可定律
（5）几何假设——小变形假设： 变形产生的位移与物体的尺 寸相比 ,是微小的。
关于外力、应力、应变和位移的定义
1.外力
体力 （定义）分布在物体体积内的力，如重力、惯性力等。 分为体积力（体力）和表面力（面力）两类。 有限元分析也使用集中力这一概念。
以通过一点的沿坐标正向微分线段的 正应变ε和 切（剪）应变 γ 来表示。 正应变εx ，εy ， εz 以伸长为正。
切应变γxy , γyz ,γzx 以直角减小为正, 用弧度表示。 正应变和切应变都是无因次的量 应变列阵 x y z xy yz zx
Tຫໍສະໝຸດ 4. 位移材力研究方法
也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近 似的计算假设（如平面 截面假设）来简化问题，并在许多 方面进行了近似的处理。 因此材料力学建立的是近似理论，得出的是近似的解答。 从其精度来看，材力解法只能 适用于杆件形状的结构。
★ 弹塑性力学研究问题的基本方法
在受力物体 内任取一点 （单元体）为 研究对象。
写成矩阵形式:
ε=
σ
ε=φσ 显然: φ=D-1
三、平衡方程
弹性体中任一点满足平衡方程, 在给定边界上满 足应力边界条件。
弹力的研究方法
在体积V内 由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程； 由微分线段上应变与位移的几何关系，建立几何方程； 由应力与形变之间的物理关系,建立物理方程； 在边界 S 面上
x
二、物理方程
若弹性体只有单向拉伸或压缩时,根据材料 力学胡克定律:
第2章 弹性力学平面问题有限单元法(1-3节)
第二章 弹性力学平面问题有限单元法§2-1 三角形单元(triangular Element)三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是:①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。
一、结点位移和结点力列阵设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。
在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x 、y 两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为： 相应结点力列阵为: (式2-1-1)二、单元位移函数和形状函数前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。
即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。
构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。
以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。
在平面应力问题中，有u,v 两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成:(,)123u u x y x y ααα==++546(,)v v x y x y ααα==++ (2-1-2)a{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=m j i m ed d d d m j j i v u v u v u i {}ii j j m X Y X (2-1-1)Y X Y iej m m F F F F ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标)确定。
将3个结点坐标(x i,y i ),(x j,y j ),(x m,y m )代入上式得如下两组线性方程:123i i i u x y ααα=++123j j j u x y ααα=++ (a)123m m m u x y ααα=++和546i i i v x y ααα=++546j j j v x y ααα=++ (b)546m m m v x y ααα=++利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数1α 、2α 、3α :11A Aα=22A Aα=33A Aα=式中行列式:1i i i j j j m m m u x y A u x y u x y =2111i i j j m mu y A u y u y =3111i i j jm mx u A x u x u =2111i i j j m mAx y A x y x y ==A 为△ijm 的面积,只要A 不为0,则可由上式解出:11()2m m i ij j a u a u a u A α=++ 21()2m m i ij j bu b u b u A α=++ （C ）31()2m mi i j j c u c u c u A α=++式中:m m i j j a x y x y =- m m j i i a x y x y =- m i j j i a x y x y =-m i j b y y =- m j i b y y =- m i j b y y =- （d ）m i j c x x =- m j i c x x =- m j i c x x =-为了书写方便，可将上式记为:m m i j i a x y x y =-m ij by y =- (,,)i j mm i jc x x =-(,,)i j m表示按顺序调换下标,即代表采用i,j,m 作轮换的方式便可得到(d)式。
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理
第二章 平面问题的基本理论
2. 主矢量和主矩的正方向
h/2
h/2
h/ 2 (σ x )xl d y h/ 2 fx ( y) d y FN ,
h/2
h/2
h/2 (σx )xl y d y
h / 2
fx
(
y)
y
d
y
M
,
h/2
h/2
h/ 2 ( xy )xl d y h/ 2 f y ( y) d y FS .
可以取单位宽度的梁研
x
究，任意截面的弯矩为：
1x 1
qx3
M qx x
2l 3
6l
则：
x
My Iz
qx3 6l
y
/
1 h3 12
2qx3 y lh3
（1）
第二章 平面问题的基本理论
x
2qx3 y lh3
代入平衡微分方程：
x xy 0
x y
得：
xy
y h
2
x
x
dy
f x
应力
代入平衡微分方程
含u，v的两个微分方程
第二章 平面问题的基本理论
以平面应力问题为例：
x
u x
y
v y
xy
u y
v x
代入
x
1
E
2
x y
,
x
E
1 2
u x
v y
,
y
E
1 2
y x
,
xy
E
21
xy
得：
y
E
1 2
v y
u x
,
xy
E
21
v x
u y
第二章 平面问题的基本理论
解：（1）下边界：
uyl 0 vyl 0
（2）左边界：
x xh 0
xy xh 0
第二章 平面问题的基本理论
（3）右边界：
x xh y
xy xh 0
（4）用圣维南原理：
h
h
y
dx P sin
y0
h
h
xy
dx P cos
y0
h
h y
xdx P h sin
第二章 平面问题的基本理论
例：如图所示杆件，材料容重为rg，弹性模 量为E，泊松比 0，试用位移法求解。
解：杆的均匀拉伸可以作为一维问题处理，
即v=v(y)，代入位移方程
E
1 2
2u x2
1
2
2u y 2
1
2
2v xy
fx
0
E
1 2
2v y 2
1
2
2v x2
1
2
2u xy
fy
0
fx 0 f y rg 0
由于要弹性力学 中要求解的是应 力而不是面力， 公式要以应力积 分结果确定正负 号。
设上式中积分的应力和坐标都是正的，则积分结果也是正的。 所以主矢量和主矩的正方向可由应力和应力矩的正方向而定。 应（面）力的主矢量的正方向，即应力的正方向； 应（面）力的主矩的正方向，即（正应力） × （正坐标） 矩的方向。
第二章 平面问题的基本理论
l
l
h 2 h 2
y
M
y
dy
x
xy
x
FN FS
h/2
h/ 2 (σ x )xl d y 1 FN ,
h/2
h /
2
(σ
x
) xl
d
y
1
y
M
,
h/2
h/ 2 ( xy )xl d y 1 FS .
应力（面力）的主矢和主矩均沿正的应力和应力矩方向，
所以上式均取正值
x x M
y
显然在图中坐标系情况下应取负号。
第二章 平面问题的基本理论
（3）剪力可以看做是由同向的切应力合成的（静 力等效）
h/2
h/ 2 ( xy )xl d y 1 FS
x xy FS
y
显然剪力沿正面的正向为正。图中情况取正号。
第二章 平面问题的基本理论
例：如图，为一矩形截面水 坝，其右侧受静水压力，顶 部受集中力P 作用。试写出 水坝的边界条件。（设l >>h）
代入平衡微分方程得:
E
1
2
2u x2
1
2
2u y 2
1
2
2v xy
fx
0
E
1 2
2v y 2
1
2
2v x2
1
2
2u xy
fy
0
将平面应力状态中的E换为
1
E
2
即得平面应变状态的公式。
换为 1
第二章 平面问题的基本理论
说明： 1. 求出位移再利用几何方程就可以求出形变； 代入物理方程即可求出应力。 2. 如果一组位移满足以上方程，且满足边界 （包括位移、应力）条件，则就是原方程的解。 此结论可用来验证试凑的位移解。
l
l
h 2 h 2
y
M
y
dy
x xy
x f x FS fy
FN
h/2
h/2
h/2 (σx )xl d y 1 h/2 fx ( y) d y 1 FN ,
圣
h/2
h/2
维
h/2 (σx )xl d y 1 y
h / 2
f x ( y) d
y
1
y
M ,
南 原
h/2
h/2
h/2 ( xy )xl d y 1 h/2 f y ( y) d y 1 FS .
y h
2
xy
x
dy
gx
q 2lh3
4 y3 3h2 y h3
x gx
由边界条件： y yh 0 2 gx 0
y
q 2lh3
4 y3 3h2 y h3
x
y
y h 2
xq l
可以得到同样结果
第二章 平面问题的基本理论
§2-8 按位移求解平面问题
思路：
位移u，v
几何方程
应变 物理方程
第二章 平面问题的基本理论
也可以借助材料力学的结果判断正负
（1）轴力可以看做是由均布的正应力合成的（静 力等效）
x
x
FN
y
h/2
h/ 2 (σ x )xl d y 1 FN
显然在轴力为拉力时上式取正号。
第二章 平面问题的基本理论
（2）弯矩可以看做是由反对称的正应力合成的 （静力等效）
h/2
h/2 (σx )xl y d y 1 M
y h
2
6qx2 lh3
y
dy
f x
3qx2 4lh3
4y2 h2
f x
（2）
利用上下面的边界条件确定f(x)
xy yh 0, 代入（2）得： 2
f x 0
xy
3qx 2 4lh3
4y2 h2
（3）
第二章 平面问题的基本理论
将（3）代入
y xy 0 得：
y x
y
1.应力边界条件
等效的方法
x
yh
q
xy yh q
y
q
q
hh
x
平衡的方法:
l x s m xy s fx
l( xy)s m( y )s f y
2．位移边界条件 3．混合边界条件
h 2
ho
2
l y
q
x
uvss
u v
0 0
绝大部分问题都包含以上两种边界条件，称混合边
界条件。
4. 小边界上积分的应力边界条件
y0
2
第二章 平面问题的基本理论
试写小边界的边界条件。
h
h ydx FN
h
h
xydx
FS
h
h y xdx M
y
FN
M
FS
hh x
第二章 平面问题的基本理论
例：悬臂梁上受线性分布荷载，如图所示。试根据材料力学 中σx的表达式，用平衡微分方程导出σy和τxy的表达式。
解：根据材料力学的结果， 梁应作为平面应力问题处 理