【人教B版理科】高中数学名校抓分精品复习资料：第二章 第4节 幂函数与二次函数
人教B版高中数学必修第二册 4.4 幂函数【课件】
8．已知幂函数f(x)＝
(m∈Z)的图像关于y轴对称，并且
f(x)在第一象限内是单调递减函数，则m＝________．
答案 1
解析 因为幂函数f(x)＝
(m∈Z)的图像关于y轴对称，所
以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数，又
f(x)在第一象限内是单调递减函数，故m2－2m－3<0，所以m＝1.
6．[多选]已知函数 f(x)＝(m2－m－1)
是幂函数，对任意 x1，
x2∈(0，＋∞)，且 x1≠x2，满足f(xx1)1－－fx(2x2)>0.若 a，b∈R，且 f(a)＋f(b)
的值为负值，则 a，b 的取值可能为( )
A．a＝1，b＝2
B．a＝－2，b＝1
C．a＝－2，b＝－3 D．a＝3，b＝－2 解析 由函数 f(x)为幂函数可知 m2－m－1＝1，解得 m＝－1 或 m
知识点四 幂函数的综合问题 10．已知幂函数f(x)＝x9－3m(m∈N＋)的图像关于原点对称，且在R 上函数值随x的增大而增大． (1)求f(x)的解析式； (2)求满足f(a＋1)＋f(3a－4)<0的实数a的取值范围． 解 (1)由题可知，函数在R上单调递增， ∴9－3m>0，解得m<3. 又m∈N＋，∴m＝1，2. 又函数图像关于原点对称， ∴9－3m为奇数，故m＝2.∴f(x)＝x3.
4．已知幂函数y＝
(m∈N＋)的图像与x轴、y轴均无交
点，且关于原点对称，则m＝________．
答案 2
解析 ∵幂函数y＝
(m∈N＋)的图像与x轴、y轴均无交
点，且关于原点对称，∴该幂函数为奇函数，∴m2－2m－3<0且m2－
2021高三人教B数学教师用书：第2章 第4讲幂函数与二次函数
第4讲幂函数与二次函数基础知识整合1．幂函数（1)定义：形如错误!y＝xα的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x错误!，y＝x－1。
（2）常见的5种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0,＋∞)上都有定义．②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1）和（0，0)，且在（0，＋∞)上单调递增．③当α<0时，幂函数的图象都过点（1，1)，且在(0，＋∞）上单调递减．2．二次函数的图象和性质解析式f（x)＝ax2＋bx＋c（a>0）f（x)＝ax2＋bx＋c（a<0)图象定义域（－∞,＋∞）（－∞，＋∞)值域错误!错误!□03错误!单调性在x∈错误!上单调递减;在x∈错误!错误!上单调递增在x∈错误!错误!上单调递增;在x∈错误!上单调递减对称性函数的图象关于x＝－错误!对称1．幂函数图象特征（1)在（0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越接近x轴（简记为“指大图低”）;(2)在(1，＋∞）上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．2．二次函数解析式的三种形式(1）一般式:f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0)．(2)顶点式:f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0）．（3）两根式：f(x）＝a（x－x1）(x－x2)（a≠0）．3．一元二次不等式恒成立的条件（1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0）恒成立"的充要条件是“a〉0且Δ〈0"．(2）“ax2＋bx＋c〈0（a≠0）恒成立”的充要条件是“a〈0且Δ<0"．4．二次函数的对称轴二次函数y＝f(x)对定义域内的所有x,都有f（a＋x）＝f(a－x）成立的充要条件是函数y＝f(x）的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．5．设f(x)＝ax2＋bx＋c（a>0），则二次函数在闭区间［m，n]上的最大、最小值的分布情况(1)若－错误!∈[m,n]，则f(x）max＝max｛f(m)，f(n)｝，f(x）min＝f错误!.（2)若－错误!∉[m，n］，则f(x)max＝max{f(m）,f（n）}，f(x)min＝min｛f（m），f（n）}．另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越大;反过来,当二次函数开口向下时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越小．1．已知幂函数f(x）的图象经过点错误!，则f（x）为( )A．偶函数B．奇函数C．定义域内的增函数D．定义域内的减函数答案D解析设幂函数f(x)＝xα，∵其图象过点错误!，∴2α＝错误!＝2－错误!,解得α＝－错误!，∴f（x)＝x－错误!，∴f（x)在（0,＋∞)上为减函数．故选D．2．若函数y＝x2－2tx＋3在［1，＋∞）上为增函数，则t的取值范围是( )A．t≤1B．t≥1C．t≤－1 D．t≥－1答案A解析∵函数y＝x2－2tx＋3的图象关于直线x＝t对称,且开口向上,∴t≤1。
2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第4节：幂函数与二次函数(教师版)
2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第4节二次函数性质的再研究与幂函数考试要求 1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝1x的图像，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1.幂函数(1)幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数.(2)常见的五种幂函数的图像(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图像都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图像都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图像和性质1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，>0，<0时，恒有f (x )>0；<0，<0时，恒有f (x )<0.3.(1)幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图像过定点(1，1)，如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y ＝2x 13是幂函数.()(2)当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数.()(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b24a.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x 13不是幂函数，(1)错误.(3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式.(4)对称轴x＝－b2a，当－b2a不在给定定义域内时，最值不是4ac－b24a，故(4)错误.2.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为()A.f(x)＝－xB.f(x)C.f(x)＝x2D.f(x)＝3x答案D解析取x1＝－1，x2＝0，对于A项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以A项不符合题意；对于B项有f(x1)＝32，f(x2)＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以C项不符合题意.故选D.3.(易错题)若函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________.答案－∞，－16解析当m＝0时，函数在给定区间上是增函数；当m≠0时，二次函数的对称轴为直线x＝－12m，<0，－12m≤3，∴m≤－16.4.(易错题)已知幂函数f(x)＝x－12，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________.答案(3，5)解析∵幂函数f(x)＝x－12在定义域(0，＋∞)上单调递减，∴由f(a＋1)<f(10－2a)，a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，∴3<a <5.5.(2018·上海卷)已知α－2，－1，－12，12，1，2，3若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.答案－1解析由y ＝x α为奇函数，知α取－1，1，3.又y ＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α<0，取α＝－1.6.已知函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋3(0≤m ≤4，0≤x ≤1)的最大值为4，则m 的值为________.答案22解析f (x )＝－2x 2＋mx ＋3＝－x m 4＋m 28＋3，∵0≤m ≤4，∴0≤m4≤1，∴当x ＝m4时，f (x )取得最大值，∴m 28＋3＝4，解得m ＝2 2.考点一幂函数的图像和性质1.若幂函数y ＝f (x )的图像过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的大致图像是()答案C解析设幂函数的解析式为y ＝x α，因为幂函数y ＝f (x )的图像过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12.所以y＝x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x<1时，其图像在直线y ＝x的上方，对照选项，C正确.2.若幂函数f(x)＝(2b－1)x a2－10a＋23(a，b∈Z)为偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则a，b的值分别为()A.2，1B.4，1C.5，1D.6，1答案C解析由幂函数的定义得2b－1＝1，∴b＝1.又∵a2－10a＋23＝(a－5)2－2，函数f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上为减函数，∴(a－5)2－2<0，故a＝4，5，6.又(a－5)2－2为偶数，∴a＝5.3.如图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限的图像，则a，b，c的大小关系为()A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b答案D解析由幂函数的图像和单调性可知a<0，b>1，0<c<1，∴a<c<b.4.(2021·郑州质检)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m的图像关于y轴对称，则实数m＝________.答案2解析由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，当m＝1时，f(x)＝x的图像不关于y轴对称，舍去，当m＝2时，f(x)＝x2的图像关于y轴对称，因此m ＝2.5.若(a ＋1)－13<(3－2a )－13，则实数a 的取值范围是________.答案(－∞，－1)23，32解析不等式(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.感悟提升1.对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.3.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x 轴.考点二二次函数的解析式例1已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.解法一(利用“一般式”)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c 1，4ac －b24a＝8，a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用“顶点式”)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0).因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以y＝f(x)＝＋8.因为f(2)＝－1，所以＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－＋8＝－4x2＋4x＋7.法三(利用“零点式”)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a（－2a－1）－（－a）24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.感悟提升求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：训练1(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.(2)已知二次函数f(x)的图像经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.答案(1)x2＋2x＋1(2)x2－4x＋3解析(1)设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，b＝2a＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1.(2)因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以y＝f(x)的图像关于x＝2对称.又y＝f(x)的图像在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3.所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).又点(4，3)在y＝f(x)的图像上，所以3a＝3，则a＝1.故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.考点三二次函数的图像和性质角度1二次函数的图像例2(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示.则下列结论正确的是______(填序号).①b2>4ac；②c>0；③ac>0；④b<0；⑤a－b＋c<0.(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则()A.f(m＋1)≥0B.f(m＋1)≤0C.f(m＋1)>0D.f(m＋1)<0答案(1)①②⑤(2)C解析(1)由题图知，a<0，－b2a>0，c>0，∴b>0，ac<0，故②正确，③④错误.又函数图像与x轴有两交点，∴Δ＝b2－4ac>0，故①正确；又由题图知f(－1)<0，即a－b＋c<0，故⑤正确.(2)因为f(x)的对称轴为x＝－12，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图像如图所示.由f(m)<0，得－1<m<0，所以m＋1>0>－1 2，所以f(m＋1)>f(0)>0.角度2二次函数的单调性与最值例3(1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是()A.[－3，0)B.(－∞，－3]C.[－2，0]D.[－3，0]答案D解析当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意.当a≠0时，f(x)的对称轴为直线x＝3－a 2a，由f(x)在[－1，＋∞)a<0，3－a2a≤－1，解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3，0].(2)(2021·西安模拟)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值.解①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.②当a>0时，f(x)＝ax2－2x图像开口方向向上，且对称轴为x＝1 a .(ⅰ)当1a≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图像的对称轴在[0，1]内，∴f(x)在0，1a上递减，在1a，1上递增.∴f(x)min＝1a＝1a－2a＝－1a.(ⅱ)当1a>1，即0<a<1时，f(x)＝ax2－2x图像的对称轴在[0，1]的右侧，∴f(x)在[0，1]上递减.∴f(x)min＝f(1)＝a－2.③当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图像的开口方向向下，且对称轴x＝1a<0，在y轴的左侧，∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上递减.∴f(x)min＝f(1)＝a－2.综上所述，f(x)min－2，a<1，－1a，a≥1.感悟提升 1.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图像，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.2.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图像的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图像的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.角度3二次函数中的恒成立问题例4(1)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________.(2)函数f(x)＝a2x＋3a x－2(a>1)，若在区间[－1，1]上f(x)≤8恒成立，则实数a的最大值为________.答案(2)2解析(1)由题意知2ax2＋2x－3<0在[－1，1]上恒成立，当x＝0时，－3<0，符合题意，a∈R；当x≠0时，a－1 6，因为1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x＝1时，不等号右边式子取最小值1 2，所以a<1 2 .综上，实数a∞(2)令a x＝t，因为a>1，x∈[－1，1]，所以1a≤t≤a，原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，t∈1a，a，显然g(t)在1a，a上单调递增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a>1，所以1<a≤2，所以a的最大值为2.感悟提升由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.其中分离参数的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a ≤f(x)min.训练2(1)(2021·长春五校联考)已知二次函数f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)，若f(x)在区间[3，＋∞)上单调递减，且f(m)≥f(0)恒成立，则实数m的取值范围是()A.(－∞，0]B.[0，6]C.[6，＋∞)D.(－∞，0]∪[6，＋∞)(2)(2022·泰安调研)当x∈(0，＋∞)时，ax2－3x＋a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________.答案(1)B(2)32，＋∞解析(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R，且a≠0)，∵f(3＋x)＝f(3－x)，∴a(3＋x)2＋b(3＋x)＋c＝a(3－x)2＋b(3－x)＋c，∴x(6a＋b)＝0，∴6a＋b＝0，∴f(x)＝ax2－6ax＋c＝a(x－3)2－9a＋c.又∵f(x)在区间[3，＋∞)上单调递减，∴a<0，∴f(x)的图像是以直线x＝3为对称轴，开口向下的抛物线，∴由f(m)≥f(0)恒成立，得0≤m≤6，∴实数m的取值范围是[0，6].(2)由ax2－3x＋a≥0，得a≥3xx2＋1＝3x＋1x，x∈(0，＋∞)，故x＋1x≥2，当x＝1时等号成立，∴y＝3x＋1x≤32，故a≥32.(3)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值.解f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图像的对称轴为x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图像如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图像如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；当t≥1时，函数图像如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.综上可知，当t≤0时，f(x)min＝t2＋1，当0<t<1时，f(x)min＝1，当t≥1时，f(x)min＝t2－2t＋2.1.若f (x )是幂函数，且满足f （4）f （2）＝3，则()A.3B.－3C.13D.－13答案C解析设f (x )＝x α，则4α2α＝2α＝3，∴＝13.2.若函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且其图像与坐标轴无交点，则f (x )()A.是偶函数B.是定义域内的减函数C.是定义域内的增函数D.在定义域内没有最小值答案D解析幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 的图像与坐标轴无交点，可得m 2－m －1＝1，且m ≤0，解得m ＝－1，则函数f (x )＝x －1是奇函数，在定义域上不是减函数，且无最值.3.(2021·河南名校联考)函数y ＝1－|x －x 2|的图像大致是()答案C解析∵当0≤x ≤1时，y ＝x 2－x ＋1＋34，又当x >1或x <0时，y ＝－x 2＋x ＋1＋54，因此，结合图像，选项C 正确.4.(2021·西安检测)已知函数f (x )＝x －3，若a ＝f (0.60.6)，b ＝f (0.60.4)，c ＝f (0.40.6)，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a <c <bB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b答案B解析∵0.40.6<0.60.6<0.60.4，又y ＝f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，∴b <a <c .5.若二次函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k 的取值范围是()A.[2，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，0)D.(－∞，2)答案A解析二次函数y ＝kx 2－4x ＋2图像的对称轴为直线x ＝2k，当k >0时，要使函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是增函数，只需2k ≤1，解得k ≥2；当k <0时，2k <0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，则函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是减函数，不符合要求.综上可得实数k 的取值范围是[2，＋∞).6.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图像是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图像三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b＝()A.0B.1C.12D.2答案A解析BM ＝MN ＝NA ，点A (1，0)，B (0，1)，所以将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得a ＝log 1323，b ＝log 2313，∴a －1b ＝log 1323－1log 2313＝0.7.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________.答案－22，解析因为函数图像开口向上，（m ）＝m 2＋m 2－1<0，（m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得－22<m <0.8.(2021·青岛联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b (a >1)的定义域和值域都为[1，a ]，则b ＝________.答案5解析f (x )＝x 2－2ax ＋b 的图像关于x ＝a 对称，所以f (x )在[1，a ]上为减函数，又f (x )的值域为[1，a ]，（1）＝1－2a ＋b ＝a ，（a ）＝a 2－2a 2＋b ＝1.消去b ，得a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝2(a >1)，从而得b ＝3a －1＝5.9.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 的值都有f (x )＞0，则实数a的取值范围为________.答案解析由题意得a >2x －2x2对1<x <4恒成立，又2x －2x2＝－＋12，14<1x<1，max＝12，∴a >12.10.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R ).(1)若函数f (x )的图像过点(－2，1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[3，5]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围.解(1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a .因为方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0.所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＋1.由g (x )的图像知，要满足题意，则k －22≥5或k －22≤3，即k ≥12或k ≤8，所以所求实数k 的取值范围为(－∞，8]∪[12，＋∞).11.已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的图像恒在函数y ＝2x ＋m 的图像的上方，求实数m 的取值范围.解(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x .所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，又f (0)＝1，所以c ＝1.因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋m的图像上方，所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立.所以令g(x)＝x2－3x＋1－5 4，因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1).12.已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是()A.[－2，2]B.[1，2]C.[2，3]D.[1，2]答案B解析由于f(x)＝x2－2tx＋1的图像的对称轴为x＝t，又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，所以t≥1.则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，只需1－(－t2＋1)≤2，解得－2≤t≤ 2.又t≥1，∴1≤t≤ 2.13.(2022·太原调研)对于问题：当x>0时，均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，求实数a的所有可能值.几位同学提供了自己的想法.甲：解含参不等式，其解集包含正实数集；乙：研究函数y＝[(a－1)x－1](x2－ax－1)；丙：分别研究两个函数y1＝(a－1)x－1与y2＝x2－ax－1；丁：尝试能否参变量分离研究最值问题.你可以选择其中某位同学的想法，也可以用自己的想法，可以得出的正确答案为______.答案3 2解析选丙.画出y2＝x2－ax－1的草图，y2＝x2－ax－1过定点C(0，－1).∴y2＝x2－ax－1与x轴有两个交点，且两交点在原点两侧，又y1＝(a－1)x－1也过定点C(0，－1)，故直线y1＝(a－1)x－1只有过点A，C才满足题意，∴a－1>0，即a>1，令y1＝0得x＝1a－1，y2＝x2－ax－1，－aa－1－1＝0，解得a＝0(舍)或a＝3 2 .14.已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.解(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，函数图像的对称轴为直线x＝－32∈[－2，3]，∴f(x)min＝＝94－92－3＝－214，f(x)max＝f(3)＝15，∴f(x)的值域为－214，15.(2)函数图像的对称轴为直线x＝－2a－12.①当－2a－12≤1，即a≥－12时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－13，满足题意；②当－2a－12>1，即a<－12时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意.综上可知，a＝－13或－1.。
(新教材)人教B版数学必修二4.4幂 函 数
【典例】(202X·娄底高一检测)已知a=
4
23
,b=
2
45
,
c=2
1
53
,则
(
)
A.b<a<c
B.a<b<c
C.b<c<a
D.c<a<b
【思维·引】先对式子变形,再选取恰当的函数利用单调 性比较大小.
【解析】选A.因为a=
4
23
1,6c13=
,
1
253
由幂函数y=
x
1 3
的单调性,所以a<c,
3.如果幂函数f(x)=xα的图像经过点(3, 1) ,
9
则α=( )
A.-2
B.2
C.- 1
D. 1
2
2
【解析】选A.幂函数f(x)=xα的图像经过点 (3, 1,)
9
则3α= 1 ,解得α=-2.
9
类型一 幂函数的概念
【典例】1.已知幂函数f(x)=xα的图像过点(1 , 1) ,
42
则式子4α的值为 ( )
【解析】因为y=x-2=1 ,
x2
所以定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),记f(x)=x-2,
则f(-x)=(-x)-2=
（
1 x）2
=x1x2 -2=f(x),
因此函数y=x-2是偶函数.因此函数图像关于y轴对称. 通过列表描点,可以先画出y=x-2在x∈(0,+∞)时的函 数图像,再根据对称性,作出它在x∈(-∞,0)时的图像,如 图所示.
【习练·破】
1.(202X·伊犁高一检测)已知点(m,8)在幂函数
f(x)=(m-1)xn的图像上,设a=f( 3 ) ,b=f(lnπ),
人教B版高中数学必修第二册4.4 幂函数(教学课件)
答案：B
1
x
解析：可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的六个函数中，只有y＝ 3 ＝
3
5
3
x－3和y＝ x 5 ＝x 符合幂函数的定义，是幂函数，其余四个都不是幂函数．
2 +−3
2
(2)函数f(x)＝(m －m－1)·
是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，
f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
4．4 幂函数
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
【课程标准】
1
通过具体实例，结合y＝x，y＝ ，y＝x2，y＝ x，y＝x3的图象，理
x
解它们的变化规律，了解幂函数．
新知初探·自主学习
教 材 要 点
知识点一 幂函数的概念
一 般 地 ， 函 数 ________
是自变量，
x
y＝xα 叫 做 幂 函 数 ， 其 中 ________
奇偶性 奇函数
________
偶函数
y＝x3
y＝x
奇函数
________
非奇非偶函数
奇函数
________
在 ________
(－∞，0)
在(－∞，0)
在R上 上 递 减 ， 在 在 ______
在________上
(0，＋∞)
R
和(0，＋∞)
单调性
(0，＋∞) 上 上递增
递增 ________
递增
【答案】 B
【解析】 ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中
底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数．
(2)若函数y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，则m
2019-2020学年人教B版必修第二册 4.4幂函数 课件(41张)
)
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)已知 y＝(m2＋2m－2)
＋2n－3 是幂函数，求 m，n 的值．
答案 (1)B (2)见解析
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
解析 (1)因为 y＝x12＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2 由于系数为 2，因此不 是幂函数；y＝x2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；常函数 y＝1 的图像比幂 函数 y＝x0 的图像多了一个点(0,1)，所以常函数 y＝1 不是幂函数．故选 B.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
随堂水平达标
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
A．①⑤⑥ B．①②③⑦
C．②④
D．②③⑤⑦
答案 C 解析 符合幂函数 y＝xα 形式的只有②④，故选 C.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
解析
3
2．幂函数 y＝x 4 的定义域是( )
(3)如果 α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是□05 减 函数，且在第一象限内： 当 x 从右边趋向于原点时，图像在 y 轴右方且无限地逼近 □06 y 轴；当 x 无限 增大时，图像在 x 轴上方且无限地逼近 □07 x 轴．
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
1．幂函数的特征 (1)xα 的系数为 1. (2)xα 的底数是自变量． (3)xα 的指数为常数．对于形如 y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6 等的函数都不 是幂函数．
y＝x
5 3
人教B版高中数学必修第二册4-4幂函数课件
知识点 3 幂函数的共同特征 1.所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,因此在第一象限内都有图象,并且图象都经过 点(1,1). 2.若α>0,则幂函数y=xα的图象经过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数. 3.若α<0,则幂函数y=xα在区间(0,+∞)上是减函数,且在第一象限内:当x从右边趋向于原点时, 图象在y轴右方且无限地逼近y轴;当x无限增大时,图象在x轴上方且无限地逼近x轴.
y=x-1
(-∞,0)∪(0,+∞)
(-∞,0)∪(0,+∞) 在(0,+∞)上单调递减, 在(-∞,0)上单调递减
奇偶性 奇函数 偶函数 公共点 图象都经过点(1,1)
奇函数 非奇非偶函数 奇函数
2.在同一平面直角坐标系内作出函数y=x,y=x2,y=x3,y=
x
1 2
,y=x-1的图象,如图所示.
高中数学
必修第二册 人教B版
4.4 幂函数
ห้องสมุดไป่ตู้
知识点 1 幂函数的概念
知识 清单破
一般地,函数y=xα为幂函数,其中α为常数.
知识点 2 常见幂函数的性质与图象 1.常见幂函数的性质
幂函数 y=x
y=x2
定义域 R
R
y=x3
1
y= x 2
R
[0,+∞)
值域 单调性
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
增函数 在[0,+∞)上单调递增, 增函数 增函数 在(-∞,0)上单调递减
知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.
1.y=-
1 x
是幂函数.
(✕)
2021版新高考数学一轮复习第二章2.6幂函数与二次函数课件新人教B版
考点一 幂函数的图象与性质
【题组练透】
1.幂函数f(x)=(m2-4m+4) xm2－6m＋8 在(0,+∞)上为增函数,则m的值为 ( )
A.1或3 B.1
C.3
D.2
2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图所示,则 a,b,c,d的大小关系是 ( )
A.d>c>b>a C.d>c>a>b
方程、不等式交汇考查.
学霸 好方
法
一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”. (2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”.
命题角度1 二次函数的单调性问题 【典例】已知函数f(x)=-2x2+bx,若对任意的实数t都有f(4+t)=f(4-t),则 f(-2),f(4),f(5)的大小关系为 ( ) A.f(5)>f(-2)>f(4) B.f(4)>f(5)>f(-2) C.f(4)>f(-2)>f(5) D.f(-2)>f(4)>f(5)
在 [ b ， ) 上单调递增;
2a
在 (， b ] 上单调递减
2a
在 (， b ]
2a
在 [ b ， )
2a
上单调递增; 上单调递减
当_b_=_0_时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
图象关于直线 x b 成轴对称图形
2a
【常用结论】 1.幂函数的图象和性质 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是 否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性. (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定 是原点. (3)当α>0时，y=xα在[0，+∞)上为增函数； 当α<0时，y=xα在(0，+∞)上为减函数.
06-4.4 幂函数高中数学必修第二册人教B版
例7 (2024·浙江省台州市期末)若() = (log 2 + 1) +1 为幂函数，则(3) =( C
A. 3
B.
3
3
C.9
1
9
2 ，∴
D.
【解析】()为幂函数，则log 2 + 1 = 1，解得 = 1，∴ () =
(3) = 9.
)
例8 (2024·山东省淄博五中开学考试)已知幂函数() = (2 − 1) +1 的图象过函数
则( AD
)
1
9
A.()的图象经过点(9, )
B.()的图象关于轴对称
C.()在定义域上单调递减
D.()在(0, +∞)内的值域为(0, +∞)
1
3
1
3
【解析】因为函数() = 的图象经过点(3, )，则将点(3, )的坐标代入
() =
，
可得 = −1，则() =
(−) = (−)3 −
1
(−)3
= − 3 +
1
3
排除C,D.因为函数 = 3 ， = −
= −( 3 −
1
)
3
= −()，所以函数()为奇函数，
1
在(0, +∞)上为增函数，所以()
3
(0, +∞)上为增函数，排除B，选A.
= 3 −
1
在
3
例13 比较下列各组数的大小：
2
−3
= 1.
2
5
< 4.1 .
例14 (2024·湖南省长沙市期末)幂函数 = (2 − 3 + 3)
人教高中数学必修二B版《幂函数》指数函数、对数函数与幂函数说课教学课件复习
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/jianli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
图像，则(
)
A．－1＜n＜0＜m＜1
B．n＜－1，0＜m＜1
C．－1＜n＜0，m＞1
D．n＜－1，m＞1
栏目
导引
第四章
指数函数、对数函数与幂函数
这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与
指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错．
栏目
导引
第四章
指数函数、对数函数与幂函数
已知幂函数 f(x)＝xα 的图像经过点(9，3)，则 f(100)
＝________．
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/jianli/
栏目
导引
第四章
指数函数、对数函数与幂函数
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/jianli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
1．一般地，函数 y＝xα 称为幂函数，其中 α 为常数．
■名师点拨
幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．
栏目
导引
第四章
下列所给函数中，是幂函数的是(
课件
课件
课件
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第4节幂函数与二次函数
最新考纲 1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝
x 1
2
，y＝
1
x的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
知识梳理
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
1
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛
物线)
定义域R
2
值域
⎣
⎢
⎢
⎡
⎭
⎪
⎪
⎫
4ac－b2
4a
，＋∞
⎝
⎛
⎦
⎥
⎥
⎤
－∞，
4ac－b2
4a
对称轴x＝－
b
2a
顶点坐
标⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
－
b
2a
，
4ac－b2
4a
奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在
⎝
⎛
⎦
⎥
⎥
⎤
－∞，－
b
2a
上是减函数；
在
⎣
⎢
⎢
⎡
⎭
⎪
⎪
⎫
－
b
2a
，＋∞上是增函数
在
⎝
⎛
⎦
⎥
⎥
⎤
－∞，－
b
2a
上是增函数；
在
⎣
⎢
⎢
⎡
⎭
⎪
⎪
⎫
－
b
2a
，＋∞上是减函数
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当
⎩⎪
⎨
⎪⎧a>0，
Δ<0
时恒有f(x)>0，当
⎩⎪
⎨
⎪⎧a<0，
Δ<0
时，恒有f(x)<0.
基础自测
3
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x 1
3
是幂函数.(
)
(2)当n>0时，幂函数y＝x n在(0，＋∞)上是增函数.( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数.( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是
4ac－b2
4a
.( )
解析(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x
1
3
不是幂函数，(1)错.
(3)由于当b＝0时，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故(3)错.
(4)对称轴x＝－
b
2a
，当－
b
2a
小于a或大于b时，最值不是
4ac－b2
4a
，故(4)错. 答案(1)×(2)√(3)×(4)×
2.(必修1P110A3改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
1
2
，
2
2
，则k＋α＝( )
4
5
A.12
B.1
C.3
2
D.2
解析 因为f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1.又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫12α
＝22，所以α＝1
2，所以k ＋α＝1＋12＝32
. 答案 C
3.(必修1P63A8改编)若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[－1，2]上是单调函数，则实数k 的取值范围是________.
解析 由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝k
8，所以要使f (x )在[－1，2]
上是单调函数，则有k 8≤－1或k
8
≥2，即k ≤－8或k ≥16.
答案 (－∞，－8]∪[16，＋∞)
4.(2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝243
，b ＝323
，c ＝2513
，则( )
A.b <a <c
B.a <b <c
C.b <c <a
D.c <a <b。