高中数学第二章随机变量及其分布2-1离散型随机变量及其分布列学案含解析新人教A版选修2_3

高中数学第二章随机变量及其分布2-1离散型随机变量及其分布列学案含解析新人教A版选修2_3问题1两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？提示：可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．问题2：在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗棵数为X，则X 可取哪些数字？提示：X＝0,1,2,3， (10)1．随机变量(1)定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．(2)表示法：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．2．离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．1．随机变量是将随机试验的结果数量化，有些随机试验的结果不具有数量性质，但我们仍可以用数量表示它们．例如，掷一枚硬币，X ＝1表示正面向上，X＝0表示反面向上．2．并不是所有的随机变量的取值都能一一列出，有些随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量不是离散型随机变量.问题1：X可取哪些数字？提示：X＝1,2,3,4,5,6.问题2：X取不同的值时，其概率分别是多少？提示：都等于.问题3：你能用表格表示X与p的对应关系吗？提示：列表如下：1若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：X的分布列．2．分布列的性质(1)pi≥0，i＝1,2,3，…，n；(2)i＝1.1．离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且还能清楚地看到每一个值的概率大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础．2．离散型随机变量可以用分布列、解析式、图象表示.问题1一方面共有几种情况？提示：两种．问题2：在含有5名男生的100名学生中，任选3人，求恰有2名男生的概率表达式．提示：.1．两点分布称分布列X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．2．超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列称随机变量X服从超几何分布．1．一般地，在只有两个结果的随机试验中，用0表示事件不成功，1表示事件成功，即随机变量的取值只有0,1两个，故又称为0－1分布．2．超几何分布的公式给出了求解这一类问题的方法．运用公式直接求解时重在理解实质：运用排列组合知识求出X所有可能取值的概率，即有条件的排列组合数与无条件的排列组合数的比值．的随机试验的结果．(1)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数X是随机变量；(2)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X是一个随机变量．(1)随机变量X可能的取值为：0,1,2,3,4.{X＝0}，表示抽出0件次品；{X＝1}，表示抽出1件次品；{X＝2}，表示抽出2件次品；{X＝3}，表示抽出3件次品；{X＝4}，表示抽出的全是次品．(2)随机变量X可能的取值为：0,1,2,3.{X＝0}，表示取出0个白球，3个黑球；{X＝1}，表示取出1个白球，2个黑球；{X＝2}，表示取出2个白球，1个黑球；{X＝3}，表示取出3个白球，0个黑球．这类问题主要考查随机变量的概念，解答过程中要明确随机变量满足的四个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取何值；(4)试验结果能一一列出．判断下列各个变量是否是随机变量，若是，是否是离散型随机变量？(1)某公司信息台一天接到的咨询电话个数；(2)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数；(3)某林场的树木最高达30 m，在此林场中任取一棵树木的高度；(4)体积为27 cm3的正方体的棱长．解：(1)接到的咨询电话的个数可能是0,1,2,3，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量，并且是离散型随机变量．(2)被抽取的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，是离散型随机变量．(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列出，不是离散型随机变量．(4)体积为27 cm3的正方体的棱长为3 cm，为定值，不是随机变量.ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a 的值； (2)求P ； (3)求P.(1)由P ＝ak(k ＝1,2,3,4,5)，可知＝k ＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，解得a ＝.(2)由(1)可知P ＝(k ＝1,2,3,4,5)，所以P ＝P ＋P ＋P(X ＝1)＝＋＋＝.(3)P ＝P ＋P ＋P ＝＋＋＝.在求解有关离散型随机变量性质的题目时，记准以下两条即可 (1)pi≥0，i ＝1,2，…，n ； (2)i ＝1.若离散型随机变量X 的分布列为：试求出常数C.解：由离散型随机变量的分布列性质可知：P(X ＝0)＋P(X ＝1)＝1，即9C2－9C ＋3＝1，得C ＝或C ＝.又因为⎩⎪⎨⎪⎧9C2－C≥0，3－8C≥0，解得≤C≤， 所以C ＝.(参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列．(1)由已知，有P(A)＝＝.所以事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以随机变量X的分布列为某班有学生45A型血的有12人，B 型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列．解：将O，A，B，AB四种血型分别编号为1,2,3,4，则X的可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.故其分布列为1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列．(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张．①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．P(X＝1)＝＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.因此X的分布列为2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P＝＝＝.②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P(Y＝0)＝＝＝，P(Y＝10)＝＝＝，P(Y＝20)＝＝＝，P(Y＝50)＝＝＝，P(Y＝60)＝＝＝.因此随机变量Y的分布列为1以从以下两个方面判断：一是超几何分布描述的是不放回抽样问题；二是随机变量为抽到的某类个体的个数．2．若随机变量X服从超几何分布，则可直接代入超几何分布的概率公式求解．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数为X的分布列．解：设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，X可能的取值为0,1,2.相应的概率依次为P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以随机变量X的分布列为(12分)1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．随机变量X的可能取值为3,4,5,6. (2分)所以，P(X＝3)＝＝，(4分)P(X＝4)＝＝，(6分)P(X＝5)＝＝，(8分)P(X＝6)＝＝.(10分)因此随机变量X的分布列为从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为C\o\al(3,6).事件“X＝4”包含的基本事件总数为C\o\取出的3个球恰含有4号球和1，2，3号球中的2个口袋中装有大小相同的红球、黑球各3个，现从中随机取出3个球，记X表示取出的红球个数，求X的分布列．解：随机变量X的可能取值为0,1,2,3.且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，因此随机变量X的分布列为1五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为y，则y所有可能值的个数是( )A．25 B．10C．7 D．6解析：选C y的可能取值为3,4,5,6,7,8,9，共7个．2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为( )A. B.1645C. D.1745解析：选 B 由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝.3．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝ab，则这名运动员得3解析：由题中条件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a＝，b＝，c＝，所以得3分的概率是.答案：164．在掷一枚图钉的随机试验中，令X＝如果针尖向上的概率为0.8，随机变量X的分布列为________________________．解析：随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＋P(X＝1)＝1，由P(X＝1)＝0.8，可得P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，故可写出X的分布列．答案：5．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的分布列．(2)从中任意摸出两个球，用“η＝0”表示两个球全是白球，用“η＝1”表示两个球不全是白球，求η的分布列．解：(1)由题意知P(X＝0)＝，P(X＝1)＝.所以X的分布列如下表：(2)由题意知P(η＝0)P(η＝1)＝1－P(η＝0)＝.所以η的分布列如下表：一、选择题1．下列不是离散型随机变量的是( )①某机场候车室中一天的游客量为X；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X；③某水文站观察到一天中长江的水位为X；④某立交桥一天经过的车辆数为X.A．①中的X B．②中的XC．③中的X D．④中的X解析：选C ①②④中随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故其不是离散型随机变量．2．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为( )A．0≤X≤5，X∈NB．－5≤X≤0，X∈ZC．1≤X≤6，X∈ND．－5≤X≤5，X∈Z解析：选D 两次掷出点数均可取1～6所有整数，∴X∈，X∈Z.3．若随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X＝2)等于( )A. B.16C. D.13解析：选D 由分布列的性质，可得＋＋＝1，解得a＝3，则P(X ＝2)＝＝.4．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员．从这10人中任选4人参加某项活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)等于( )A. B.921C. D.521解析：选D P(X＝3)＝＝5215．一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是( ) A．P(0<X≤2) B．P(X≤1)C．P(X＝1) D．P(X＝2)解析：选B 本题相当于最多取出1个白球的概率，也就是取到1个白球或没有取到白球．二、填空题6．抛掷两枚骰子，设所得点数之和为X，那么X＝4表示的随机试验结果是____________________．解析：抛掷一枚骰子，可能出现的点数是1,2,3,4,5,6，而X表示抛掷两枚骰子所得到的点数之和，所以X＝4＝1＋3＝3＋1＝2＋2表示的随机试验结果是一枚是1点、另一枚是3点，或者两枚都是2点．答案：一枚是1点、另一枚是3点，或者两枚都是2点7．某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B 课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是________．解析：设X表示选修A课程的学生数，由题意知，X服从超几何分布，其中N＝50，M＝15，n＝2.依题意所求概率为P(X＝1)＝＝.答案：378．从装有除颜色外其余均相同的3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，随机变量ξ的概率分布列如下：则x1，x2，x3解析：ξ的可能取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝＝0.1，P(ξ＝1)＝＝0.6，P(ξ＝2)＝＝0.3.答案：0.1,0.6,0.3三、解答题9．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ，若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．解：由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，∴η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为{6,11,16,21}．显然，η为离散型随机变量．10．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率．(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．解：(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝＋＝.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝＝；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝＋＋＝.故X的分布列为。