2019高考高考数学二轮复习 第一部分 提纲挈领 引领三 解题有法——领悟四种数学思想巧突破学案 理

引领三 解题有法——领悟四种数学思想巧突破高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度。

数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类整合思想、转化与化归思想。

一、函数与方程思想函数思想方程思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的。

函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系f x 2x x f x m 使x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增。

若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________。

【解析】 (1)因为x ∈[2,16]，所以f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]。

不等式x2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，即为m (x －2)＋(x －2)2>0对m ∈[1,4]恒成立。

设g (m )＝(x －2)m＋(x －2)2，则此函数在区间[1,4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，g4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x －22>0，4x －2＋x －22>0，解得x <－2或x >2。

(2)由f (x )是偶函数且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增可知，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减。

又因为f (2|a －1|)>f (－2)，而f (－2)＝f (2)，所以2|a －1|<2，即|a－1|<12，解得12<a <32。

【答案】 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32函数与方程思想在不等式问题中的应用要点(1)在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用函数的值域解决问题。

(2)要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要进行常变量分离，确定主要变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。

一般地，已知范围的量为变量，而待求范围的量为参数。

【变式训练1】 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为 f ′(x )，满足 f (x )>f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f xex<1的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)解析 构造函数g (x )＝f xex ，则g ′(x )＝e x ·f ′x －e x·f xex 2＝f ′x －f xex。

由题意得g ′(x )<0恒成立，所以函数g (x )＝f xex在R 上单调递减。

又因为g (0)＝f 0e＝1，所以f xex<1，即g (x )<g (0)，所以x >0，所以不等式的解集为(0，＋∞)。

故选B 。

答案 B二、数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，以数作为目的解决数学问题的数学思想借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，以形作为目的解决问题的数学思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合【例2】 已知直线(1－m )x ＋(3m ＋1)y －4＝0所过定点恰好落在函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，0<x ≤3，|x －4|，x >3的图象上，若函数h (x )＝f (x )－mx ＋2有三个不同的零点，则实数m的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 D ．(1，＋∞)【解析】 由(1－m )x ＋(3m ＋1)y －4＝0，得(x ＋y －4)－m (x －3y )＝0，所以由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －3y ＝0，可得直线过定点(3,1)，所以log a 3＝1，所以a ＝3。

令f (x )－mx ＋2＝0，得f (x )＝mx －2，在同一坐标系中作出y 1＝f (x )与y 2＝mx －2的图象(如图所示)，易得12<m <1。

【答案】 B(1)本题利用了数形结合思想，把函数h (x )＝f (x )－mx ＋2有三个不同的零点转化为函数y 1＝f (x )与y 2＝mx －2的图象有三个不同的交点。

(2)利用数形结合探究方程解的问题应注意两点①讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两图象的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解。

②正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合。

【变式训练2】 已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝2f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝－|x |＋1，则当x ∈[－10,10]时，y ＝f (x )与g (x )＝log 4|x |的图象的交点个数为( )A ．13B ．12C ．11D ．10解析 先作出函数y ＝f (x )在[－1,1]内的图象，由f (x ＋2)＝2f (x )可知函数图象向右平移两个单位后，纵坐标变为原来的2倍，即函数图象纵向拉伸为原来的2倍，则向左平移两个单位后图象纵向缩为原来的12。

如图，作出函数y ＝f (x )在[－10,10]上的图象，然后作出函数g (x )＝log 4|x |的图象。

由图可知，两函数图象在y 轴左侧的交点为(－1,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12，共有2个交点，在y 轴右侧共有9个交点。

综上，知f (x )与g (x )的图象共有11个交点。

故选C。

答案 C【例3】已知函数f (x)＝sin x，若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1<x2<…<x m≤6π，且|f (x1)－f (x2)|＋|f (x2)－f (x3)|＋…＋|f (x m－1)－f (x m)|＝12(m≥2，m∈N*)，则m 的最小值为________。

【解析】对任意的x i，x j，|f (x i)－f (x j)|≤f (x)max－f (x)min＝2，欲使m取得最小值，则尽可能使x i(i＝1,2，…，m)取最值点，考虑到0≤x1<x2<…<x m≤6π，|f (x1)－f (x2)|＋|f (x2)－f (x3)|＋…＋|f (x m－1)－f (x m)|＝12(m≥2，m∈N*)，则按照如图所示取值可以满足条件，所以m的最小值为8。

【答案】8涉及三角函数的性质问题，同时还涉及绝对值及其应用，解决问题的关键是通过数形结合法进行直观分析与处理，省去不必要的推理与分析以及繁杂的运算，有效地解决有关三角函数的图象与性质问题。

【变式训练3】已知函数f (x)＝sin x，若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1<x2<…<x m≤1 008π，且|f (x1)－f (x2)|＋|f (x2)－f (x3)|＋…＋|f (x m－1)－f (x m)|＝2 016(m≥2，m ∈N*)，则m的最小值为________。

解析 对任意的x i ，x j ，|f (x i )－f (x j )|≤f (x )max －f (x )min ＝2，欲使m 取得最小值，尽可能让x i (i ＝1,2，…，m )取最值点，由以上分析知f (x 1)＝f (x m )＝0，中间的f (x 2)，f (x 3)，…，f (x m －1)有规律地取1与－1，且逐一间隔开，即若f (x 2)＝1，则f (x 3)＝－1，f (x 4)＝1，f (x 5)＝－1，…，此时m 才取得最小值，又0≤x 1<x 2<…<x m ≤1 008π，|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x m －1)－f (x m )|＝2 016(m ≥2，m ∈N *)，那么2 016－2＝2 014，2 014÷2＝1 007，即中间有1 007组|f (x i )－f (x j )|＝2的关系式，此时对应的自变量有1 007＋1＝1 008(个)，故此时m 的值是1 008＋2＝1 010，即m 的最小值为1 010。

答案 1 010 三、分类整合思想分类整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。

对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合。

【例4】 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0,1]C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)(2)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点。

已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________。

【解析】 (1)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1。

当a <1时，有3a －1≥1，解得a ≥23，所以23≤a <1。

当a ≥1时，有2a≥2>1，解得a ≥1。

综上，a ≥23，故选C 。

(2)若∠PF 2F 1＝90°，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F2|＝25，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72。