普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(一)数学(理)试题

普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理科数学(一)
本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}
{}2
60,,1,0,1,2,A x x x x N B A B =-++>∈=-⋂=则
A ．{1，2}
B ．{0，1，2)
C ．(0，1}
D ．{－1，0，1，2}
2．已知i 为虚数单位，复数
z z z =
=
A ．2--
B ．2-+
C ．4-+
D ．1--
3．已知双曲线C ：()2
2
10C x my m -=>：的一条渐近线方程为x =2y ，则该双曲线的实轴长与虚轴长之差为 A ．1
2
-
B ．
12
C ．1-
D ．1
4．已知随机变量X ～N(2，1)，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形ABCD 中随机投掷一点，则该点恰好落在阴影部分的概率为
(附：若随机变量()
2
~,N ξμσ，则()(0.6827,
2P P μσξμσμσξ-≤≤+≈-≤≤
)20.9545.μσ+≈
A ．0.1359
B ．0.170625
C ．0.829325
D ．0.8641
5．执行如图所示的程序框图，若输入的4x =，则输出的n 的值为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
6．杨辉是中国南宋时期的一位杰出的数学家、数学教育家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，按从上到下、从左到右的顺序数，把第1个1记为(1，1)，第2个1记为(2，1)，第3个1记为(2，2)，第4个1记为(3，1)，第5个1记为(3，2)，依次类推，第21个1应记作
A ．(10，2)
B ．(11，1)
C ．(11，2)
D ．(12，1)
7．已知命题2:,210p x R mx mx ∀∈-+>，命题
q ：指数函数
()()0,1x f x m m m =>≠且为减函数，则p 是q 的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．已知函()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的部分图像如图所示，则函数4f x π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的图像的一个对称中心是
A ．,03π⎛⎫-
⎪⎝⎭
B ．,012π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C ．7,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．3,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
9．已知一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为816
3
π+，则正视图中线段AB 的长为 A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
10．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆C 上，
且212PF F F ⊥，过点P 作1F P 的垂线交x 轴于一点A ，若21
2
AF c =，记椭圆C 的离心率为e ，则2
e =
A
B
．3
C ．
12
D
1
11．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,4,3,sin cos a b c b c a A C ==+，且
sin cos cos c A A A =，点M 在边BC 上，且AB AC AM x
y
xy AB
AC
=+，则的最
大值为 A.3
B.4
C.8
D.9
12．已知函数()3
291,0,
1,0,x x x x f x e
x -⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()()()222g x f x f x t =-+⎡⎤⎣⎦恰有
8个不同的零点，则实数t 的取值范围为 A ．10,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．11,
32⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．11,
43⎛⎫
⎪⎝⎭
二、填空题：本题共4小题。

每小题5分，共20分． 13．设向量)()((),,3,1,//a b x c b c a b c =
=-=-=，若，则__________．
14．已知实数,x y 满足不等式组()20,
10,log 1240,y x y z x y x y ≥⎧⎪
-+≥=+-⎨⎪+-≤⎩
则的最大值为
_________．
15．已知点()()2,0,2,2M N -，若圆()()()2
2
2
:410C x y r r -+-=>上恰好存在一
点P ，使PM ⊥PN ，则r 的值为____________．
16．已知正四面体A －BCD 的所有棱长均为12，球O 是其外接球，M ，N 分别是△ABC 与△ACD 的中心，则球O 截直线MN 所得的弦长为__________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分． 17．(12分)
已知在各项均为正数的等差数列{}11241,1,3n a a a a a =-+中，，且成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ． (2)记()1
5
13n n n n a b S n
++=-+，数列{}n b 的前理n 和为n T ，求证：21n T <．
18．(12分)
如图，在三棱柱11111ABC A B C AB AA D AA -⊥中，
，是的中点，O 是1AB 与BD 的交点，且OC ⊥平面111,2,ABB A OC AB BB === (1)求证：1AB ⊥平面BCD ． (2)求二面角C —AB —B 1的余弦值．
19．(12分)
某卫视一档娱乐节目要求参赛选手需先通过海选，再闯过五关，即可获得终极大奖“魅力港澳七日游”．具体规则如下：海选时，每10人一组进行选拔，选手在5分钟内闯过泥潭，到达终点视为通过海选．根据最近100组的海选数据统计，每组通过人数在2至4之间，最终得到每组海选队伍通过人数的频数分布条形图如图所示．
(1)将频率视为概率，试求一组海选队伍中通过人数不少于3的概率．
(2)(i)某位选手通过海选后，闯五关，已知前四关能闯过的概率恰好构成首项为0．7，公差为－0.1的等差数列，最后一关能通过的概率为0.1，试求该选手通过五关获得终极大
奖的概率；
(ii)若通过海选的选手，再闯过第一关，便可获得“真心英雄”的纪念奖章，且闯过第一关的概率为0.7，若一组海选队伍中，通过海选的选手恰有4名，求这4名选手中，获得 “真心英雄”纪念奖章的人数X 的分布列和数学期望．
20.（12分）
已知抛物线()2
20C x py p =>：，过其焦点F 作斜率为l 的直线交抛物线C 于A ，B 两
点，且线段AB 的中点的横坐标为2． (1)求抛物线C 的标准方程．
(2)过抛物线C 上不同于顶点的任意一点M 作抛物线的切线l '与直线1y =-交于点N ，是否存在定点P ，使得()
0?MP MP MN -=若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
21.（12分）
已知函数()()2
ln 2,f x mx x ax m a R =+-∈，且曲线()()()
11f x f 在点，处的切线的
斜率为22a -．
(1)求实数m 的值，并求函数()f x 的极值点． (2)若()f x 有极大值点x t =，求证：2
ln 1t t at >-．
(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)
已知在平面直角坐标系中，直线l
的参数方程为1,262
x t y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数)，曲线C 的
参数方程为3cos ,
2sin x y θθ=⎧⎨=⎩
(θ为参数)．
(1)求直线l 和曲线C 的普通方程；
(2)若P 为曲线C 上的一个动点，Q 为直线l 上的一个动点，求PQ 的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲](10分) 已知函数()12f x x x =-+．
(1)在给出的平面直角坐标系中作出函数()f x 的图像，并解不等式()2f x <； (2)若不等式(
)1f x y y m ≥---对任意的,x R y R ∈∈恒成立，求实数m 的取值范围.。