初三奥赛数学难题汇总(附答案)

如图，在直角坐标系中，以点A(3，0)为圆心，以32为半径的圆与x 轴交于B 、C 两点，

与y 轴交于D 、E 两点. （1）求D 点坐标．

（2）若B 、C 、D 三点在抛物线c bx ax y ++=2

上，求这个抛物线的解析式． （3）若⊙A 的切线交x 轴正半轴于点M ，交y 轴负半轴于点N ，切点为P ，∠OMN=30º，试判断直线MN 是否经过所求抛物线的顶点？说明理由．

28、（12分）某企业有员工300人，生产A 种产品，平均每人每年可创造利润m 万元（m 为大于零的常数）。为减员增效，决定从中调配x 人去生产新开发的B 种产品，根据评估，调配后，继续生产A 种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%，生产B 种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54m 万元。

（1）调配后，企业生产A 种产品的年利润为_________万元，企业生产B 种产品的年利润为_________万元（用含x 和m 的代数式表示）。若设调配后企业全年总利润为y 万元，则y 与x 之间的关系式为y ＝____________。

（2）若要求调配后，企业生产A 种产品的年利润不小于调配前企业年利润的

5

4

，生产B 种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半，应有哪几种调配方案 ？请设计出来，并指出其中哪种方案全年总利润最大（必要时，运算过程可保留3个有效数字）。

（3）企业决定将（2）中的年最大总利润（设m ＝2）继续投资开发新产品。现有6种产品可供选择（不得重复投资同一种产品）各产品所需资金及所获年利润如下表：

如果你是企业决策者，为使此项投资所获年利润不少于145万元，你可以投资开发哪些产品？请写出两种投资方案。

25．解：（1）连结AD ，得OA=3，AD=23 ……………………1分

∴OD =3， D(0，-3) ………………………………………………2分

（2）由B (-3，0)，C (33，0)，D (0，-3)三点在抛物线c bx ax y ++=2

上， (3)

分

得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-=c c b a c b a 333270330 解得 ⎪⎪⎪⎩

⎪⎪

⎪⎨

⎧-=-==3

33231c b a ………………………………5分

x

∴333

2312--=

x x y …………………………………………………………6分 （3）连结AP ，在Rt △APM 中，∠PMA==30º，AP=23 ∴AM =43， M (53，0) …………………………7分

53

3

3530tan =⋅=︒⋅=MO ON ∴N (0，-5) ……………………………………………8分 直线MN 解析式为：53

3

-=

x y 抛物线顶点坐标为(3，-4) ………………………………9分

∵

4533

3533-=-⨯=-x ∴抛物线顶点在直线MN 上． ……………………………10分

28、解：（1）m x %)201()300(+⋅-，mx 54.1，mx m x y 54.1%)201)(300(++-=

（2）由题意得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

⨯>⨯≥+-m

mx m m x 3002154.13005

4%)201(0300(

解得77

31

97

＜x ≤100。注：写97.5＜x ≤100或97.4＜x ≤100均视为正确 ∵x 为整数 ∴x 只能取98、99、100。

故共有三种调配方案：

①202人继续生产A 种产品，调98人生产B 种产品； ②201人继续生产A 种产品，调99人生产B 种产品； ③200人继续生产A 种产品，调100人生产B 种产品；

又mx m x y 54.1%)201)(300(++-=＝m mx 36034.0+，由于m 34.0＞0，函数y 随x 的增大而增大。故当x ＝100，即按第三种方案安排生产时，获总利润最大。

（3）当m ＝2时，最大总利润为788万元。根据题意，可投资开发产品F 、H 或C 、D 、E 或C 、D 、G 或C 、F 、G 。

x

如图，二次函数m x m

x y +++=

)14

(412（m <4）的图象与x 轴相交于点A 、B 两点． （1）求点A 、B 的坐标（可用含字母m 的代数式表示）；

（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数x

y 9

=

的图象相交于点C ，且 ∠BAC 的余弦值为5

4，求这个二次函数的解析式．

如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90o ，∠C ＝60°，AD ＝3cm ，BC ＝9cm ．⊙O 1的圆心O 1从点A 开始沿折线A —D —C 以1cm/s 的速度向点C 运动，⊙O 2的圆心O 2从点B 开始沿BA 边以3cm/s 的速度向点A 运动，⊙O 1半径为2cm ，⊙O 2的半径为4cm ，若O 1、O 2分别从点A 、点B 同时出发，运动的时间为t s （1）请求出⊙O 2与腰CD 相切时t 的值；

（2）在0s ＜t ≤3s 范围内，当t 为何值时，⊙O 1与⊙O 2外切？

24．解：（1）当时0=y ，

0)14

(412=+++m x m

x ，…………………………（1分） 04)4(2=+++m x m x ，m x x -=-=21,4．…………………………（2分）

∵4

4

==

AC AD ,设AD =4k ,AC =5k , 则CD =3k . ………………（5分） ∵OA =4,∴OD =4k –4, 点C (4k –4,3k ) . ……………………………（6分）

（第26题）