不等式证明的几种方法

不等式证明的几种方法

刘丹华

余姚市第五职业技术学校

摘 要： 不等式的证明可以采用不同的方法，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循。通过对不等式证明方法和例子的分析和总结，可以掌握其中的要领，灵活运用。 关键词： 不等式 ；证明方法；分析问题

引言

证明不等式一般没有固定的程序，方法因题而异，灵活多变，技巧性强。有时一个不等式的证明方

法不止一种，而一种证法又可能要用到好几个技巧，但基本思想总是一样的，即把原来的不等式变为明显成立的不等式。下面介绍几种证明不等式的方法。

一、构造法

构造法是数学中一种富有创造性的思维方法。当一个数学问题需要解决时，常常通过深入分析问题

的结构特征和内在规律，概括抽象构造出一个新的关系，使问题等价转化为与之有关的函数、方程和图形等，再进行求解。构造法也是数学解题中的一种重要的思维方法。 （一） 、构造方程证明不等式

某些不等式问题，可以根据它的条件或结论的特征构造一个一元二次方程，然后利用根的判别式来

证明。

例1 如果x ，y ，z 均为实数，且x y z a ++=，2

2

2

2

12

x y z a ++= (0)a >. 求证：203x a <≤

，23o y a ≤≤， 203

z a ≤≤. 证明：由已知的两个等式中消去x ，得

2

2

2

21()2a y z y z a --++= ⇒ 222

22()2202

a y a z y z az --+-+

= 因为 y R ∈， 所以 22

4()4(2)0a z z a ∆=---≥ 所以 (32)0z z a -≤

所以 203z a ≤≤

同理可证： 203x a ≤≤， 2

03

y a ≤≤.

（二） 、构造函数证明不等式

根据欲证不等式结构的特点，引入一个适当的函数，运用函数的性质来加以证明。

例2 已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，求证：

111a b c a b c

<<+++. 证明： 从结论形式看，各项均具有1M

M

+的形式，于是可构造函数 ()1x f x x

=

+， 易证 ()f x 在R +

上为增函数 因为a ，b ，c 为ABC ∆的三边

所以 a b c <+ 所以 ()()f a f b c <+ 即

111111a b c b c b c a b c b c b c b c

+<=+<++++++++++. 又如： 求证

111a b a b a b

a

b

+≤

+

++++ 可用类似方法证明。

（三） 、构造几何图形证明不等式

把欲证的不等式的数量关系所反映的几何背景找出来，然后根据几何图形性质证明不等式成立。

例3 已知实数a ，b 满足1a b +=，求证：22

25(2)(2)2

a b +++≥

. 分析：原式左边可看作点(,)a b 与点(2,2)--间距离的平方，则可在直角坐标系中，构造点

P (2,2)--，Q (,)a b ，其中Q 是直线1x y +=与两坐标轴的交点A ，B 连线段上点，

如图1所示

图 1

原式左边就是2

PQ ，设AB 中点C 11(,)22

因为 2

25

2

PC =

， 又PAB ∆为等腰∆ 所以 PC AB ⊥

故 PQ PC ≥， 即2

2

252

PQ PC ≥= 所以 2

2

25(2)(2)2

a b +++≥. （四） 、构造复数证明不等式

时，可联想构造复数，使复数的模与根式的表达式形式相同，然后再利用复数模的性质加以证明。 例4 已知为a ，b ，c 非负实数，求证：

)a b c ≥

++.

此题用别的方法较繁，若能转化为复数模的问题，就变得十分简捷。

分析：a ，b ，c 非负实数，a b c a b c ++=++，这样，不等式左右各项和复数模表示相似

于是可构造复数：

1z a bi =+， 2z b ci =+， 3z c ai =+ .

则 123z z z =++

123z z z ≥++ ()(1)a b c i =+++

1()i a b c =+++)a b c =++ 从而命题得证.

二、反证法

反证法是数学证明的一种重要方法。因为命题“P ”与它的否定“非P ”的真假相反，所以要证一个命题为真，只要证它的否定为假即可。这种从证明矛盾命题（即命题的否定）为假进而证明命题为真的证明方法叫做反证法。

（一） 、推理的结果与已知的知识相矛盾

例5 对实数a ，b ，c ，A ，B ，C ，有20aC bB cA -+=.且2

0ac b ->.

求证： 2

0AC B -≤.

分析： 假设1a ，2a ， ，n a 中有正数且2

0aAC B ->， 则 2

0AC B >≥，

由题设，有 2

0ac b >≥， 相乘得 2

2

aAcC b B >，因为2aC cA bB +=.

所以 222()44aC cA b B aAcC +=<， 整理得 2()0aC cA -< ， 这与“任何实数的平方非负”矛盾.

（二） 、推理的结果与已知条件相矛盾

例6 已知数列1a ，2a ， ，n a (3)n ≥ 满足10n a a ==，且

112k k k a a a -++≥ (2,3,,1)k n =- .

求证： 1a ，2a ， ，n a 均是非正数.

分析： 假设p a 是数列1a ，2a ， ，n a 中出现的第一个正数，

则 1P >且 10p a -≤

由 112k k k a a a -++≥ 得 110p p p p a a a a +--≥->， 即 10p p a a +>>.

如此类推可得： 10n n p a a a ->>>>

与已知0n a = 矛盾.

（三） 、推出两个相互矛盾的结论

例7 设 k k k z x y i =+， ,k k x y R ∈， (1,2,,)k n = r 是 22212n z z z +++ 的平方根的实部绝对值. 求证： 12n r x x x ≤+++ . 分析： 设 2

21()n

k

k a bi z

=+=

∑， (,)a b R ∈

即 2

21

()()n

k

k k a bi x

y i =+=

+∑

比较两边的实部与虚部，有