齐次线性方程组基础解
求齐次线性方程组基础解系的初等变换法
・ ９・
定理 １ 设 Ａ是 方程 组 （ ） 系数 矩 阵 ， 秩 Ａ＝ｒ若 １的 且 ，
初 行 更 ｆｒ 女 １ 等 变 ｃ １ｍ ０ Ｄ… Ｊ
．
其中 ｃ 为阶梯形矩阵， 且秩 Ｃ＝ ． Ｄ ｒ则 中的 ｎ ｒ — 个行向量 ，ｚ… ， ｎ 就是方程组（ ） ０ ， Ｏ＿ 【 ￣ｚ １ 的一个
证 明 由引理 １存 在 ｒ阶 可逆 矩阵 Ｐ， 得 ， ｌ 使
Ｐ ；，三 言 ） ｃ ＝： Ａ （
一
．
．
ｃ ４
由分 块矩 阵的乘法 有
Ｃｒ ｍ
＝
…
）
（ ５
）
的行 向量 Ｏ （ ＝１２， ， ｔ ｉ ， … ｎ—ｒ线 性无 关 ・ （ ） ｉ ） 将 ６
Ａ 三２０ 二２ ：三 Ｉ 一 Ｉ１ — 一 ［ ２］ ０ ］ Ｌ 一１ ｊ 一［ —３ １ ／ ２ Ｊ 一１ ＋ ３ Ｌ Ｉ ｌ １］ ０ 一 ｆ －＋一。Ｊ － 一ｌ 。 ０ Ｌ １ １ ０ － — ｌ 一 一 ０ １］ — ［ — Ｊ Ｉ
１
，Ｌ
、，
１ 主 要 结论
定 义 １ 若 矩阵 Ｃ满足 下列 两个 条件
１ ）Ｃ的非零 行 全在 Ｃ的上 方 ， 行全在 Ｃ的下方 ； 零 ２ ）非 零行 的第 一个非 零 元 素 （ 为首 非零 元 ） 称 的列 标 随行标 的增 大 而严 格 增 大 ； 称 Ｃ为 阶 梯形 矩 则 阵． 定义 ２ 设 Ｄ为阶梯形 矩 阵 ， 矩阵 Ｄ满足下 列两 个条件 若 １ ）Ｄ 的非零 行 的首非 零元均 为 １ ； ２ ）首 非零元 所在列 的其余 元素 均为零 ； 称矩 阵 Ｄ为行 简化 阶梯形 矩 阵． 则 引理 １ － 设 Ａ是 ｒ ｎ ¨３ ｎ 矩阵， ｘ 若矩阵 Ａ经若干次初等行变换化为矩阵 Ｂ 则存在 ｍ阶可逆矩阵 Ｐ 使 ， ，
齐次和非齐次线性方程组的解法
线性方程组解的结构(解法)一、齐次线性方程组的解法【定义】r(A)= r <n ,若AX = 0 (A为m n矩阵)的一组解为&丄，b r,且满足：⑴&飞丄，& r线性无关；(2) AX = 0的)任一解都可由这组解线性表示.则称&丄,& r为AX = 0的基础解系.称X k i & k2 & L k n r & r为AX = 0的通解。
其中k i, k2,…,S为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0 (A为m n矩阵)满足r(A) n，则只有零解；(2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是r(A) n .(注：当m n时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 A 0.)注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于n r(A).2 、非齐次线性方程组AX B的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐次线性方程组AX O所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若m是系数矩阵的行数(也即方程的个数) ，n是未知量的个数，则有：(1)当m n时，r(A) m n ,此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；(2)当m n时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式A 0 ；(3)当m n且r(A) n时，若系数矩阵的行列式A 0 ,则齐次线性方程组只有零解；(4)当m n时，若r(A) n，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若r(A) n，则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0 (A为m n矩阵)通解的三步骤(1) A 行C (行最简形)；写出同解方程组CX =0.(2) 求出CX =0的基础解系& , &丄,& r ;(3) 写出通解X k1 & k2 & L k n r & r其中X k2,…,k n-r为任意常数•2X 13屜 X 3 5X 4 0, 【例题13x 1 X 2 2X 3 X 4 0, 】 解线性方程组4x 1 X 2 3x 3 6x 4 0,X 12X 24X 37X 40.解法- 一: 将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵12 4 723 1 5 07 10 14A3 1 2 1 L0 0 43 164 1 3 6 712470 267 -43显然有r(A) 4 n ，则方程组仅有零解，即X-i x 2X 3 X 4 0.解法二： 由于方程组的个数等于未知量的个数(即m n )(注意：方程组的个数不等于未知量的个数(即m n),不可以用行列式的方法来判断)，从而可计算系数矩阵 A 的行列式:注：此法仅对n 较小时方便解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵3x 12x ? X 3 X 4 3X 50,X 2 2x 3 2X 4 6X 50, 5为4x ?3X 33X 4X 50.X1X 2 X 3 X 4 X 5【例题2】解线性方程组1 1 1 111 1 1 1 1 r2 r1 01 1 5r 1 ( 5) r 4「2 「33 A2 1 1 3巾(3) 90 1 2 2 6 2 3r 2 ( 1) r 4 0 1 2 2 6 0 1 2 2 61 2 2 6 (1) r 20 0 0 0 0 5 4 3 3112260 02 3 3 1 A41 1 21 2 3 45 16 7327 0，知方程组仅有零解，即X 2X 3 x 4 0.0,可得r(A)X1X 2 X 42X 4兔(其中 6X 5- X 3，X 4， X 5为自由未知量) 令X 3 1， X 4 0， X 50 ,得 X ,1,X 2 2 ； 令X 3 0， X 4 1， X 5，得 X 11,X 2 2 ； 令X 3 0， X 4 0， X 5 1，得为5,X 26，2X 3 于是得到原方程组的一个基础解系为1 1 5 226 11， 2， 30 . 0 1 0 01所以，原方程组的 通解为Xk 1 1k 2 2k 3 3( k 1，k 2，k 3R)二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解(A m n, r(A) r ) 用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关C 11 C 12L C | r L G n d 1C22 L c2rL On d 2O MM M行(AMb)c rr L crnd r其中C d r 1 i 0(i1,2,L ,r),所以知M(1)d r 1 0时,原方程组无解.⑵d r 1 0,r n 时,原方程组有唯一解.⑶d r 10,r < n 时,原方程组有无穷多解.其通解为 X 0k 1&k 2& Lk n rEnr ,匕飞2丄为任意常数。
(完整word版)齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的构造（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r ()=r<n, 若AX=0（A为m n矩阵）的一组解为ξ1,ξ2,L ,ξn r, 且知足：A(1)ξ1,ξ2,L, ξn r线性没关 ;(2)AX=0的) 任一解都可由这组解线性表示 .则称ξ,ξ,L ,ξ为 AX=0的基础解系 .12n r称 X k1ξ1k2ξ2L k n rξn r为 AX = 0的通解。
此中 k1, k2, , k n-r为随意常数).齐次线性方程组的重点问题就是求通解，而求通解的重点问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX=0有解，则(1)若齐次线性方程组AX=0（ A 为m n 矩阵）知足 r ( A)n ，则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是 r ( A) n .（注：当 m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A 0.）注： 1、基础解系不独一，可是它们所含解向量的个数同样，且基础解系所含解向量的个数等于n r ( A) .2、非齐次线性方程组AX B 的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O 所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若 m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数）， n 是未知量的个数，则有：（ 1）当 m n 时， r ( A) m n ，此时齐次线性方程组必定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就必定有非零解；（ 2）当m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A0 ；（ 3）当m n 且 r ( A) n 时，若系数矩阵的队列式 A 0 ，则齐次线性方程组只有零解；（ 4）当m n 时，若 r ( A)n ，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若 r ( A)n ，则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0 （ A 为m n矩阵）通解的三步骤（1）A行 C （行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出 CX =0的基础解系ξ1,ξ2,L,ξn r;(3)写出通解X k1ξ1k2ξ2 L k n rξn r此中 k1, k2, , k n-r为随意常数.2x 1 3x 2 x 3 5x 4 0, 3x 1 x 2 2x 3 x 4 0,【例题 1】 解线性方程组x 2 3x 3 6x 4 0,4x 1 x 12x 24x 37x 40.解法一： 将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵明显有 r ( A)4 n ，则方程组仅有零解，即x 1 x 2 x 3 x 4 0 .解法二： 因为方程组的个数等于未知量的个数（即 mn ）（注意： 方程组的个数不等于未知量的个数 （即m n ），不能够用队列式的方法来判断） ，进而可计算系数矩阵 A 的队列式：2 3 1 5 3 1 2 1 A1 3 327 0 ，知方程组仅有零解，即 x 1 x2 x3 x4 0 .4 6 1247注： 此法仅对 n 较小时方便x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0, 3x 12x 2 x 3 x 4 3x 5 0,【例题 2】 解线性方程组x 2 2 x 3 2x 4 6x 5 0,5x 1 4x 23x 33x 4x 50.解： 将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵可得 r ( A) 2n ，则方程组有无量多解，其同解方程组 为x 1 x 3x 4 5x 5 ,（此中 x 3 ， x 4 ， x 5 为自由未知量）x 22x 3 2 x 46x 5.令 x 3 1 ， x 4 0 ， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 3 0 ， x 4 1， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 30 ， x 4 0 ， x 51，得 x 1 5, x 26 ，于是获得原方程组的一个 基础解系 为1 1 5 22611，20，30.0 1 01所以，原方程组的 通解 为Xk 1 1 k 2 2 k 3 3 （ k 1 ， k 2 ， k 3 R ） .二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解（ A m n, r ( A)r ）用初等行变换求解，不如设前r 列线性没关c 11 c12L c1 rL c1n d1 c22 L c2r L c2 n d2 O M M M行c rr L crn d r此中 c ii0(i 1,2,L , r ), 所以知( AMb)dr 1 0 M 0(1) d r 10 时,原方程组无解.(2)d r 1 0, r n 时,原方程组有独一解.(3) d r 10, r < n 时,原方程组有无量多解.其通解为 X0k1ξ1 k2ξ2 L kn rξn r， k1 , k2,L , k n r为随意常数。
齐次方程组的基础解系和通解
矩阵表示形式
Amn X 0
r(A) n r(A) n
齐次线性方程组有非零解 齐次线性方程组仅有零解
线性代数
齐次方程组的基础解系
齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn 0 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn 0 am1 x1 am2 x2 L amn xn 0
0
0 0
3
0
0 1 1 0
1 2 2 0
1 11Biblioteka 03 04
0
0 1 0 0
1 2 0 0
1
1
1
0
1
0
0
0
0 1 0 0
1 2 0 0
0
0
1
0
x1 x3 0
等价同解的线性方程组为：
x2 2x3 0 x4 0
0 0
1
1
取自由变元x3
1,
得
2 1
为方程组的基础解系. 通解为：X
x1 k1r1xr1 k1r2 xr2 L k1n xn
x2
k2 r 1 xr 1
k2r2 xr2
L
k2n xn
LLLLLL
xr kr r x 1 r1 kr r2 xr2 L krn xn
其中xr+1,xr+2,…,xn为自由未知量， 对nr个自由未知量分别取：
xr1 1 0
LLLLLLLLLLLL
dxrr kkrrrr11xdrr11kkr rrr2x2rdr22 L L krnkxrndn
k1r1dr1 k1r2dr2 L k1ndn
k2
r
1dr
1
k2
r
线性代数齐次线性方程组解的结构PPT资料(正式版)
x1 b1, r1k1 b1nknr
x2
b2,r1k1 b2nknr
xr br,r1k1 br nknr
xr1 k1
xr2
k2
xn
knr
其中， k1,k2, ,knr 任意取值。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
b 1 ,r 1
b 1 ,r 2
即 X k k k , (2) A X = 0 有非零解的充要条件是
只需按前面的求解过程完成即可。 设 A 为 n 阶方阵，且 r ( A ) = n - 1，证明 称之为齐次线性方程组的解空间，
1 12 2 n rn r
由 r ( A ) = n - 1，有
因此 (2) 若 为
一组基础解系，那么 AX0的通解可表示为
x k 11 k 22 k tt,P119
其中 k1,k2, ,knr是任意常数。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 r(A )rn,
不妨设 A 的前 r 个列向量线性无关，于是 A 可化为
x1
b1,r 1 xr 1
b1n xn
x2
b2,r1 xr 1 b2n xn
xr
br ,r 1 xr 1 brn xn
其中 xr1,xr2, ,xn是自由未知量，共有 ( n r ) 个。
由此得到方程组 A X = 0 的所有解为：
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
线性表出。
称 1,2, ,t为方程组 AX0的(一个)基础解系。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 说明 (1) 齐次线性方程组的基础解系就是其解空间的基，
具有非零解的齐次线性方程组基础解系
η1 ,η2 , … ,ηn − r 线性无关.
⎛ c1 ⎞ ⎜c ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (ii) 任 意 取 一 个 解 η = ⎜ cr ⎟ . ⎜ cr +1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜c ⎟ ⎝ n ⎠
一方面，由
η1 ,η2 , … ,ηn − r 是 方 程 组 (1) 的 解 知
将(3)看成 x1 , x2 ,
a1r ⎞ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ a rr ⎠ − a1n xn , − a2 n xn ,, − arn xn ,
显然 C 的秩为 r, 从而其行列式不为零.将(2)变形，得
+ a1r xr = − a1r +1 xr +1 − + a2 r xr = − a2 r +1 xr +1 − + arr xr = − arr +1 xr +1 −
这说明该方程组存在基础解系且基础解系中含元素的个数加上该方程系数矩阵的秩等于该方程组未知数的个数
具有非零解的齐次线性方程组基础解系 存在性的证明
定理 具有非零解的齐次线性方程组必有基础解系.若该齐次线性方程组系数矩阵的秩为 r , 则它的基础解系中含元素个数为 n − r. (以下将看到， n − r 也就是自由未知量的个数). 证明 由于方程组有非零解，故 r < n. （ I ） 当 r = 0 时 ， 方 程 组 变 为 0 = 0. 此 时 ， 任 意 n 维 列 向 量 均 为 方 程 组 的 解 ， 此 时
⎛ c1 ⎞ ⎜c ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎛ xr +1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ ⎟ r +2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟， ⎜ 为 ， ， …， ⎜ cr ⎟ 为（2）的解，从而是（1）的一个解. 于是，分别令 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ cr +1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ xn ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎜ ⎟ ⎜c ⎟ ⎝ n ⎠
齐次线性方程组基础解
齐次线性方程组基础解线性方程组解法是数学中一个重要的方面，它主要是用来解决一类特殊的方程及其特征。
例如，当某类线性方程组有无穷多个解时，它们可以求出该方程组的基础解，即齐次线性方程组的基础解。
齐次线性方程组是一种比较特殊的线性方程，它要求所有变量的系数都相等，并且右边的常数项也相等。
这种形式的线性方程组是直接可以解出基本解的，且求出的解是无穷多个。
定义：若给定方程组为a1x1+a2x2+...+anxn=b (1)其中a1=a2=...=an=a 且 b=0,称方程组(1)为齐次线性方程组。
解齐次线性方程组时，容易发现系数a1, a2,, an是相等的，这意味着齐次线性方程组的变量x1, x2,, xn都是按照一定比例变化的，即有以下解：x1=k1x2=k1x2……xn=k1xn其中k1为任意实数，x1, x2,, xn则是它们之间的比例参数。
所以对于齐次线性方程组，解可以用如下形式表示：X=(k1,k2k1,…,knk1)即齐次线性方程组一共有无穷多个基础解，它们是以k1为基本解，其中k1为任意实数而定义的。
除此以外，还可以通过矩阵乘法的方法求解齐次线性方程组。
例如：a1x1+a2x2+...+anxn=b (2)将方程组(2)变换为矩阵形式[a1,a2,...,an][x1,x2,...,xn]T=[b]T即可以得到[x1,x2,...,xn]T=1/a[b]T从而求得基础解[x1,x2,...,xn]T，也就是齐次线性方程组的基础解。
综上所述，齐次线性方程组的基础解具有如下特点：1.系数要求相等；2.变量之间要求有一定比例；3.有无穷多个解；4.可以用矩阵乘法的方式求解齐次线性方程组的基础解。
齐次线性方程组的基础解，在实际的解决工程问题中，可以节省计算机的开销，减少计算量，提高问题的解决速度。
此外，其解可以用于求解决策问题、分析复杂的数据关系，为经济管理决策提供有力的支持。
总之，在计算机科学及现代统计学中，齐次线性方程组基础解是一种极其重要的概念，它不仅能够简化线性方程组的求解，而且解的结果能够更好地映射到实际的世界中，因此非常有用。
线性代数课件3-5齐次线性方程组的解法
二、基础解系及其求法
１．基础解系的定义
h1 ,h 2 , ,h t 称为齐次线性方程组 Ax 0的基础
解系, 如果 (1)h 1 ,h 2 , ,h t 是 Ax 0的一组线性无关 的解 ;
如果 h 1 , h 2 , , h t 为齐次线性方程组 的一组基础解系 Ax 0
, 那么 , Ax 0 的通解可表示为
,
h r 1 1 r 2 2 n n r
由于 1 , 2 , , n r 是 Ax 0 的解 ,故h 也是Ax 0 的 解.
下面来证明
h.
h r 1 1 r 2 2 n n r
0 1
b 11 br1
b1 ,n r b r ,n r 0 0
x1 x2 0 xn
x 1 b11 x r 1 b1 ,n r x n x b x b r ,n r x n r1 r 1 r
例1
求齐次线性方程组
x1 x 2 x 3 x 4 0, 2 x1 5 x 2 3 x 3 2 x 4 0, 7 x1 7 x 2 3 x 3 x4 0
的基础解系与通解. 解 对系数矩阵 A 作初等行变换，化为阶梯型矩 阵，有
1 A 2 7 1 5 7 1 3 3 1 2 1
2 7 3 7 5 7 4 7 , , 1 1 2 0 0 1
即得基础解系
并由此得到通解 2 7 3 7 x1 x2 5 7 4 7 , ( , R ). c1 1 c 2 0 c1 c 2 x3 x4 0 1
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齐次线性方程组基础解
齐次线性方程组基础解，也称为线性代数系统，是一类在众多领域，如土木工程、信号处理、金融模式等中都重要且常用的数学模型。
齐次线性方程组由一组线性方程所组成，以及相应的非齐次方程组。
对齐次线性方程组而言，它们的解可以用“解析解和特解”的方式表达，解析解是指所有可能的通用解，而特解则指的是所有的私有解。
求解齐次线性方程组的关键是分析形式，即求解变量x1, x2, x3和xn之间的关系，而这些变量之间的关系可以用矩阵乘法的方式表达。
因此，对于齐次线性方程组，基础解可以通过以下步骤来获得：
1. 令Ax=0，其中A是系数矩阵，x是未知数。
2.行列式求解方程A，以求出A的行列式值等于零，即A＝0，求出行列式值等于零时，系数矩阵A的解叫做齐次线性方程组的基础解。
3.A系数矩阵的行列式值不为零，即行列式值有非零解，则该齐次线性方程组没有解，或者有不唯一的解。
这里的基础解所指的是所有的满足行列式值等于零的解，而这些解实际上是系数矩阵A的所有可能解中的一部分。
因此，获得齐次线性方程组的基础解，可以通过对系数矩阵A的行列式值求解来实现，或者通过求解得到的基础解，可以构造出方程组的所有通用解。
有了基础解，我们可以计算出方程组的特解，特解可以用来表示所有的私有解，特解的计算也可以通过线性代数的一些基本概念来实现，比如运用向量的乘法和秩的定义，可以计算出方程组的所有特解。
总结以上，在求解齐次线性方程组时，需要先求出它的基础解，然后再构造出所有特解。
首先，可以通过行列式求解运算来实现，其次，也可以运用基本的线性代数概念来构造特解。