高中数学新教材高一下期末复习第一讲 平面向量及其应用(解析版)

平面向量及其应用单元复习一知识结构图二.学法指导1.向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量．因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．(2)求解策略：向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧．2. 向量数量积的求解策略(1)利用数量积的定义、运算律求解．在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用．(2)借助零向量．即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积．(3)借助平行向量与垂直向量．即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，则a·b ＝0等解决问题．(4)建立坐标系，利用坐标运算求解数量积． 3.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b .(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C .三.知识点贯通知识点1 平面向量的线性运算首尾相接用加法的三角形法则，如AB →＋BC →＝AC →；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如OB →－OA →＝AB →.例题1.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB ＝k ，设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.【答案】DC →=k e 2.BC →=e 1＋(k －1)e 2. MN →=＝k ＋12e 2.【解析】∵AB →＝e 2，且DCAB＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2.∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－D A →＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2.又∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，且NB →＝－12BC →，AM →＝12AD →，∴MN →＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC →＝k ＋12e 2.知识点二 平面向量数量积的运算2121cos ||||y y x x b a b a +==⋅θ例题2：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝ .【答案】32【解析】因为AC →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB →＋23AD →＝－2－23AB →·AD →＝－3，所以AB →·AD →＝32.知识点三 平面向量的坐标运算若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则①a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)； ②a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)； ③λa ＝(λa 1，λa 2)； ④a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2； ⑤a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2(λ∈R )，或a 1b 1＝a 2b 2(b 1≠0，b 2≠0)；⑥a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0； ⑦|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22；⑧若θ为a 与b 的夹角，则 cos θ＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.例题3 .设a ＝(2,0)，b ＝(1，3)．①若(λa －b )⊥b ，求λ的值；②若m ＝λa ＋μb ，且|m |＝23，〈m ，b 〉＝π6，求λ，μ的值．【答案】①λ＝2.②λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2.【解析】 ①因为a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，所以λa －b ＝(2λ，0)－(1，3)＝(2λ－1，－3)．又(λa －b )⊥b ，所以(λa －b )·b ＝0，即(2λ－1，－3)·(1，3)＝0， 所以2λ－1－3＝0.所以λ＝2.②因为a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，m ＝λa ＋μb ＝λ(2,0)＋μ(1，3)＝(2λ＋μ，3μ)． 因为|m |＝23，〈m ，b 〉＝π6，所以⎩⎪⎨⎪⎧(2λ＋μ)2＋(3μ)2＝(23)2，cos π6＝(2λ＋μ，3μ)·(1，3)23×2，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ2＋λμ＋μ2＝3，λ＋2μ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，μ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2， 所以λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2. 知识点四 平面向量的平行与垂直问题 1．证明共线问题常用的方法(1)向量a ，b (a ≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b ＝λa . (2)向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (3)向量a 与b 共线⇔|a ·b |＝|a ||b |.(4)向量a 与b 共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0. 2．证明平面向量垂直问题的常用方法a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0， 其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．例题4． (1)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1(2)设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A (1,3)，B (2，－2)，C (4,1)． ①若AB →＝CD →，求D 点的坐标．②设向量a ＝AB →，b ＝BC →，若k a －b 与a ＋3b 平行，求实数k 的值． （1）【答案】B【解析】因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，且(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝－2λ－3－3＝0，解得λ＝－3.故选B 。

(2【解析】 ①设D (x ，y )．因为AB →＝CD →，所以(2，－2)－(1,3)＝(x ，y )－(4,1)，化为(1，－5)＝(x －4，y －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －4＝1，y －1＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4，所以D (5，－4)． ②因为a ＝AB →＝(2，－2)－(1,3)＝(1，－5)，b ＝BC →＝(4,1)－(2，－2)＝(2,3)，所以k a －b ＝k (1，－5)－(2,3)＝(k －2，－5k －3)，a ＋3b ＝(1，－5)＋3(2,3)＝(7,4)． 因为k a －b 与a ＋3b 平行，所以7(－5k －3)－4(k －2)＝0，解得k ＝－13.知识点五 平面向量的模、夹角问题 1．解决向量模的问题常用的策略(1)应用公式：|a |＝x 2＋y 2(其中a ＝(x ，y ))． (2)应用三角形或平行四边形法则． (3)应用向量不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. (4)研究模的平方|a ±b |2＝(a ±b )2. 2．求向量的夹角设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，两向量夹角θ(0≤θ≤π)的余弦cos θ＝a·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.例题5.已知向量e 1，e 2，且|e 1|＝|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3.m ＝λe 1＋e 2，n ＝3e 1－2e 2.(1)求证：(2e 1－e 2)⊥e 2； (2)若|m |＝|n |，求λ的值； (3)若m ⊥n ，求λ的值；(4)若m 与n 的夹角为π3，求λ的值．【解析】 (1)证明：因为|e 1|＝|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，所以(2e 1－e 2)·e 2＝2e 1·e 2－e 22＝2|e 1||e 2|cos π3－|e 2|2＝2×1×1×12－12＝0，所以(2e 1－e 2)⊥e 2. (2)由|m |＝|n |得(λe 1＋e 2)2＝(3e 1－2e 2)2，即(λ2－9)e 21＋(2λ＋12)e 1·e 2－3e 22＝0.因为|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝π3，所以e 21＝e 22＝1，e 1·e 2＝1×1×cos π3＝12， 所以(λ2－9)×1＋(2λ＋12)×12－3×1＝0，即λ2＋λ－6＝0.所以λ＝2或λ＝－3.(3)由m ⊥n 知m ·n ＝0，即(λe 1＋e 2)·(3e 1－2e 2)＝0，即3λe 21＋(3－2λ)e 1·e 2－2e 22＝0.因为|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝π3，所以e 21＝e 22＝1，e 1·e 2＝1×1×cos π3＝12， 所以3λ＋(3－2λ)×12－2＝0.所以λ＝14.(4)由前面解答知e 21＝e 22＝1，e 1·e 2＝12，|n |＝7.而|m |2＝(λe 1＋e 2)2＝λ2e 21＋2λe 1·e 2＋e 22 ＝λ2＋λ＋1，所以|m |＝λ2＋λ＋1.m ·n ＝(λe 1＋e 2)·(3e 1－2e 2)＝3λe 21＋(3－2λ)e 1·e 2－2e 22＝3λ＋(3－2λ)×12－2＝2λ－12. 因为〈m ，n 〉＝π3，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉得2λ－12＝λ2＋λ＋1·7×12，化简得3λ2－5λ－2＝0，所以λ＝2或λ＝－13.经检验知λ＝－13不成立，故λ＝2.知识点六 利用正、余弦定理解三角形例题6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．【解析】 (1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B ，又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.五 易错点分析易错一 向量夹角的范围例题7.已知c ＝m a ＋n b ，c ＝(－23，2)，a ⊥c ，b 与c 的夹角为2π3，b·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.【解析】∵c ＝(－23，2)，∴|c |＝4.∵a ⊥c ，∴a·c ＝0.∵b·c ＝|b ||c |cos2π3＝|b |×4×⎝⎛⎭⎫－12＝－4， ∴|b |＝2.∵c ＝m a ＋n b ，∴c 2＝m a·c ＋n b·c ，∴16＝n ×(－4)，∴n ＝－4.在c ＝m a ＋n b 两边同乘以a ，得0＝8m －4a·b .①在c ＝m a ＋n b 两边同乘以b ，得m a·b ＝12.② 由①②，得m ＝±6，∴a·b ＝±26，∴cos θ＝±2622×2＝±32，∴θ＝π6或5π6.误区警示求向量的夹角，要注意夹角公式的运用及夹角的范围。