高一数学暑期讲义
高一数学暑期预科-初高衔接课讲义
新高一数学必备知识一、乘法公式1、完全平方公式和平方差公式()2222b ab a b a +±=± ()()22b a b a b a -=-+2、和立方与差立方公式()3223333b ab b a a b a +++=+ ()3223333b ab b a a b a -+-=-3、立方和与立方差公式()()3322b a b ab a b a +=+-+ ()()3322b a b ab a b a -=++-二、一元二次方程1、韦达定理一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：若ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）两根分别是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．也被称为韦达定理．以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x 轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的两根，则a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=，||4|242||2424|||222221a acb a ac b a ac b b a ac b b x x -=-=-----+-=-∴||a ∆=．【例题精讲】例1. 已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2. 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根． (1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值．例3. 已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．【巩固练习】1. 1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．2. 关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．3. 已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．2、利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例题精讲】例1. 设a ,b 是相异的两实数，满足ab b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值例2. 0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba的值．【巩固练习】1. 如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，求baa b +的值2. 设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值．3. △ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．3、根的分布定理 （1）0分布一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.0∆>⎧0∆>⎧【例题精讲】例1. 已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．例2. 若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围． （1）方程两实根均为正数；（2）方程有一正根一负根．【巩固练习】已知一元二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．（2）k分布【知识梳理】kk k【例题精讲】例1. 若关于x 的方程02=++a x x 的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．例2. 若关于x 的方程02=++a x x 的两根均小于1，求实数a 的取值范围．例3.已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．【巩固练习】1. 关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ）12121||11>-<<<-><<-a a D a Ca B a A 或2. 实数k 为何值时，方程022=-+-k kx x 的两根都大于21 ．3. （1）已知：,αβ是方程()221420x m x m +-+-=的两个根，且2αβ<<，求m 的取值范围；（2）若220x ax ++=的两根都小于1-，求a 的取值范围．（3）m、n分布()0⎧>f m()0⎧<f m【例题精讲】例1. 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0，（1）若方程有两根，其中一根满足011<<-x ，另一根满足212<<x ，求m 的范围； （2）若方程两根满足1021<≤<x x ，求m 的范围．例 2. 关于x 的二次方程()2271320x p x p p -++--=的两根βα,满足012αβ<<<<，求实数p 的取值范围．例3. 二次函数6)1(2522-++-=m x m x y 的图像与x 轴的两个交点满足1121≤<≤-x x ，且分居y 轴的两侧，求实数m 的取值范围．例4. 若二次函数y =的图象与两端点为A （0，3），B （3，0）的线段AB 有两个不同的交点，求m 的取值范围．21x mx -+-【巩固练习】1. 关于x 的方程0532=+-a x x 的两根分别满足021<<-x ，312<<x ，求a 的取值范围．2. 二次方程2210x kx k ++-=的两个根1x 与2x ，当121x -<<-且212x <<时，实数k 的取值范围是 ．总结：一元二方程根的分布只需考虑三个方面：（1）a 和△的符号（2）对称轴相对于区间的位置（3）所给区间端点函数值符号【例题精讲】例1.当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程x 2-ax+a -7=0的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程ax 2+3x+4=0的根都小于1；（3）方程x 2-2(a+4)x+2a 2+5a +3=0的两个根都在31-≤≤x 内；（4）方程7x 2-（a+13）x+2a -1=0的一个根在10<<x 内，另一个根在21<<x 内．例2.已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围．【巩固练习】已知方程03)3(24=+--m x m mx 有一个根小于1-，其余三个根都大于1-，求m 的取值范围．三、不等式1、一元二次不等式例1. 解下列不等式（1）()()x x x 2531-<--； （2）()()21311+>+x x x ；（3）()()()233122+>-+x x x ； （4）2223133x x x ->+-； （5）()13112->+-x x x x（6）x 2＋2x －3≤0； （7）x －x 2＋6＜0； （8）4x 2＋4x ＋1≥0； （9）x 2－6x ＋9≤0； （10）－4＋x －x 2＜0．例2.设R m ∈，解关于x 的不等式0322<-+m mx mx ．2、分式不等式及高次不等式（1）简单分式不等式的解法：已知f (x )与g (x )是关于x 的多项式，不等式()0()f x g x >，()0()f x g x <，()0()f x g x ≥，()0()f xg x ≤称为分式不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究分式不等式．将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）即可求解．具体如下：()0()f x g x >①，即()0()0f x g x >⎧⎨>⎩或()0()0f xg x <⎧⎨<⎩，即()()0f x g x ⋅>；()0()f x g x <②，即()0()0f x g x >⎧⎨<⎩或()0()0f x g x <⎧⎨>⎩，即()()0f x g x ⋅<； ()0()f x g x ≥③，即()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅>或()0f x =； ()0()f x g x ≤④，即()()0()0f x g x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅<或()0f x =．（2）简单高次不等式的解法：不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究高次不等式．解高次不等式的方法有两种：方法1：将高次不等式f (x )＞0(＜0)中的多项式f (x )分解成若干个不可约因式的乘积，根据符号法则等价转化为两个或多个不等式（组）即可求解．但应注意：原不等式的解集是各不等式（组）解集的并集，且次数较大时，此种方法比较烦琐．方法2：穿针引线法：①将不等式化为标准形式，右端为0，左端为一次因式（因式中x 的系数为正）或二次不可约因式的乘积；②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过（奇过偶不过）；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号即可写出解集．例题解析（1）求不等式032≥-+x x 的解集 （2）求不等式3223x x -≥+的解集（3）求不等式221x x 的解集（4）求不等式()()0236522≤++--x x x x 的解集3、恒成立与有解问题一元二次不等式的恒成立问题，即可以看成一个函数()x f y =的图象与x 轴的位置关系问题，若是不等式()0>x f 恒成立，即函数图象恒在x 轴上方，且与x 轴无交点，同理可以得到其他类似情形。
暑假新高一数学衔接讲义含初中高中部分
第1讲数与式910+⨯(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念例5.设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，且A B ⊆，则实数a 的范围是（ ）.2A a ≥ B.2a > C.1a > D.1a ≤变式：若A=｛ｘ｜ｘ2－３ｘ＋２＝０｝，B=｛ｘ｜ｘ2－a ｘ＋a －１＝０｝，且Ｂ⊆Ａ，则a 的值为___ ___【典型例题—2】韦恩图： 【内容概述】用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。
例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝． 【典型例题—3】集合相等：设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？【概括】集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等，即：A=B例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系． 例8.判断集合A 与B 是否相等？(1) A={0}，B= ∅；(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z } ； (3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．【典型例题—4】真子集： 【内容概述】如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作BA (或AB)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果A B ，BC ，则AC ．例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _∅． 例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集变式：已知集}{2230A x x x =--=，}{10B x ax =-= 若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成的集合Ｍ．【典型例题—5】空集 【内容概述】1、我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅2、空集是任何集合的子集。
暑假班高一数学讲义第1讲
第1讲：集合的概念及表示方法【开心自测】1、请你列出“小于10”的自然数：2、请你写出方程2230x x --=的解：3、咱们班性格开朗的女生全体是否确定一个集合？【考纲要求】1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.2.在具体情境中，了解空集的含义.3.掌握常用数集及其专用符号.4.掌握集合的表示方法，通过实例体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，能在具体问题中选择适当的方法表示集合.【教学重难点】集合的概念和表示方法【重难点命题方向】集合的概念及表示方法自主预习：（1）集合的概念：一般的，把一些能够____________对象看成一个整体，就说这个整体是有这些对象的____构成的集合（或集）.构成集合的_____叫做这个集合的元素（或成员）.（2）集合与元素的记法：集合一般用_______字母来表示，集合中的元素一般用______字母来表示.（3）元素与集合的关系:如果a 是集合A 的元素，就说__________,记作______读作_______;如果a 不是集合A 的关系，就说__________,记作_______读作_______.（4)空集的概念：把____________________的集合叫做空集，记作________.（5）集合元素的性质特征：①___________；②___________；③___________.（6）集合的分类： 含有有限个元素的集合叫做________;含有无限个元素的集合叫做_________.（7）常用数集及其表示符号：自然数集记作__,正整数集记作__，整数集记作__，有理数集记作__，实数集记作__.（8）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用____________括起来表示集合的方法叫做___________.（9）特征性质描述法：一般地，如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质()p x ，而不属于集合A 的元素都不具有性质()p x ，则性质()p x 叫做集合A 的一个_______.于是集合A 可以用它的特征性质()p x 描述为_______________，它表示集合A 是由集合I 中具有性质()p x 的所有元素构成的.这种表示集合的方法叫做_____________,简称描述法.【基础限时训练】（1.1.1）1.下列各组对象能构成集合的是（ ）A.本班视力较差的学生B.本班成绩较好的学生C.本班身材较高的学生D.本班今年9月入学的所有学生2.有下列四个结论：①φ∈0；②∈0N ；③∈a N ，则∉-a N ④若∈a Z ，∈b Z ，则∈-b aZ,其中正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.43.由n )1(-（∈n N ）构成的集合中含有的元素个数为（ ）A.1B.2C.3D.无数个4.用符号“∈”或“∉”填空：0___N; 4-___Z; -1___φ; 3___Q; π___R; 0___R. 5.由4,2,2a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ）A.1B.-2C.6D.2课堂互动：一．集合的的概念[例1]下列各组对象能否构成一个集合？1、所有的好人；2、不超过20的非负数；3、一中高三年级一班16岁以下的学生；4、直角坐标平面内横坐标与纵坐标相等的点；5、高个子的人；6、充分接近3的实数；巩固提高下列语句是否能确定一个集合？（1）你所在班级中，体重超过75kg 的学生的全体；（2）大于5的自然数的全体；（3）本校高一（23）班性格开朗的全体女生；（4）质数的全体；（5）平方后等于-1的实数的全体；二．元素与集合的关系[例2]用符号“∈”或“∉”填空：（1）1____ N; 0____N; -3____N; 0.5____N; 3____N.（2）1____Z; 0____Z; -3____Z; 0.5____Z; 3____Z.（3）1____Q; 0____Q; -3____Q; 0.5____Q; 3____Q.（4）1____R; 0____R; -3____R; 0.5____R;3____R.巩固提高用符号“∈”或“∉”填空：（1）-3____N ；（2）3.14____Q ；（3）31_____Z ；（4）0_____ φ；（5）3_____Q ； （6）21-_____R ；（7）1_____+N ；（8）π_____R. 三．空集的概念[例3] 写出下列集合中元素的个数.1、在实数范围内，方程012=+x 的解集；2、方程组0103{=+-=++y x y x 的解集； 3、小于1的自然数所组成的集合；4、小于等于0的正整数所组成的集合.巩固提高关于x 的方程02=++b ax x ，当a 、b 满足什么条件时，解集为空集？含有一个元素？含有两个元素四．集合中元素特征的应用[例4]已知集合A 是由三个元素a-2,22a +5a ,12构成的，且-3∈A ，求a巩固提高以方程0652=+-x x 和方程022=--x x 的解集为元素构成集合M ，则M 中元素的个数为（ ）A ．1 B.2 C ．3 D.4课堂检测1.下列各组对象可构成集合的是（ ）A.与1非常接近的数B.我校学生中的女生C.中国漂亮的工艺品D.本班视力差的男生2.若以正实数,,,x y z w 四个元素构成集合A ，以集合A 中四个元素为边长构成的四边形可能是（ ）A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形3.用符号∈或∉填空（1）-1____N ；（2）π____Q ；（3）17_____Z ；（4）0_____ φ；（5）；（6）0_____N . 4.设集合A 中有且仅有三个元素1，2,x x x -，求x 所满足的条件.课后总结：学完本课，在以下各项的后面的“（ ）”中，用“√”或“？”标注你是否掌握。
暑假班高一数学讲义第2讲
第2讲：集合之间的关系及运算【考纲要求】（1） 理解集合之间包含为相等的定义，能识别给定几何的子集 （2） 在具体情境中了解空集的含义（3） 理解两个集合的并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集。
理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集（4） 能使用维恩（venn ）图表达集合的关系及运用，体会直观图示对理解抽象概念的作用 【教学重难点】集合之间的关系及运算 【重难点命题方向】集合的运算自主预习： （1）子集的概念：一般地，如果集合A 中____________元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的_________，记作__________或________,读作“________”，或“__________”. （2）真子集的概念：如果集合A 是集合B 的_______，并且集合B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的_________，记作__________或________,读作“________”，或“__________”.（3）集合相等的概念：一般地，如果集合A 的每一个元素都是集合B 的元素，反过来，集合B 的每一个元素都是集合A 的元素，那么我们就说______________，记作__________. （4）空集的规定：空集是任何集合的_________，是任何非空集合的__________.（5）子集的基本性质：①反身性：任何一个集合都是______的子集，即___________; ②传递性：对于集合A ，B ，C ，如果,A B B C ⊆⊆,则_________; 对于集合A ，B ，C ，如果A ⊂≠B ,B ⊂≠C ,则_________.（6）集合关系与其特征性质之间的关系：设(){}A x p x =，(){}q B x x =，则有（7）交集与并集的概念： B =_____________B =_____________（8）B _____AB _____AA A =________ A A =________A φ=________ A φ=________B ⇒A B =_____B ⇒A B =_____（9）补集的运算性质：对任意集合A ，有⑴U AC A =________;⑵U A C A =__________;⑶()U U C C A =____________.（10）全集的概念：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是__________的子集，那么称这个______________为全集，通常用符号_________表示. 课堂互动：一．确定已知集合的子集[例1]写出集合{}123A =，，的所有子集和真子集.巩固提高1.写出集合{}0123，，，的所有子集.2.已知集合M 满足{}{}1212345M ⊆⊆，，，，，，写出集合M .二．判断集合之间的关系[例2]说出下列每对集合之间的关系： （1）{}12345A =，，，，，{}135B =，，；（2）{}{}21,1P x x Q x x ====；（3）{}{}C x xD x x ==是奇数，是整数巩固提高1.用适当的符号（∈∉=，，，⊂≠，⊃≠）填空：（1）3________{}1357，，，；（2）5________{}5；（3）{}a ______{},,a b c ； （4）{},,a b c _______{},a b ；（5）φ______{}0；（6）{}123，，_____{}321，，； （7）{}2，4，6，8______{}2，6；（8）{}1_______{}{}{}{}1212φ，，，，. 2.指出下列各对集合之间的关系，并判定它们的特征性质之间的关系： （1）{}12A x x =是的约数，{}36B x x =是的约数；（2）{}3A x x =>，{}5B x x =>；（3）{}A x x =是矩形，{}B x x =是有一个角为直角的平行四边形；（4）{}A x x =是等边三角形，{}B x x =是等腰三角形{}A x x =是等腰直角三角形{}B x x =是有一个角是45的直角三角形；（6）{}1A x x =>，{}2B x x =≥三．集合基本关系的应用[例3] 已知集合{}14A x x =≤<，{}B x x a =<，若A ⊆B ，求实数a 的取值集合.巩固提高已知集合{}2560A x x x =-+=，{}1B x mx ==，若B ⊂≠A ，求实数m 的取值集合.四．求两集合的交集[例4]求下列每对集合的交集： （1）{}2230A x x x =+-=，{}2430B x x x =++=；（2） {}1357A =，，，，{}2468B =，，，. 巩固提高求下列每对集合的交集：（1）{}A x x =是奇数，{}B x x =是偶数；（2）(){}(){}46,327A x y x y B x y x y =+==+=，，；（3）{}A x x =是等腰三角形，{}B x x =是直角三角形.五．求两集合的并集[例5]已知{}Q x x =是有理数，{}Z x x =是整数，求Q Z .巩固提高1.已知{}A x x ==0，{}N x x +=是正整数，求A N +.2.求下列两个集合的交集与并集： （1）{},,,A a b c d =，{},,,B b d e f =；（2）{}2160A x x =-=，{}2120B x x x =--=；（3）(){}(){}231,323A x y x y B x y x y =+==-=，，；（4）{}A x x =是锐角三角形，{}B x x =是钝角三角形.六．求给定集合的补集[例6]已知{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =， 求U C A ,U A C A ,U A C A .巩固提高1.设{}U x x =是小于9的正整数，{}1,23A =,，{}3456B =，，，，求U C A ，U C B . 2.已知全集U R =,{}11A x x =-<<,求U C A ,U UC A ,U U C A ,U A C A ,U A C A .七．已知集合的运算求参数问题[例7] 设集合{}2,1,3A a a =+-，{}23,21,1B a a a =--+，若{}3AB =-，求实数a 的值.巩固提高1. 已知集合{}22,3,42A a a =++，{}20,7,42,2B a a a =+--，且{}37AB =，，求实数a 的值.2. 设集合{}3A xa x a =≤≤+,{}15B x x x =<->或,当为何值时⑴A B φ=；⑵A B B =.【基础限时训练】1. 用适当的符号（∈∉=，，，⊂≠，⊃≠）填空：（1）φ_____{}24x R x ∈=-；（2）φ_____{}2210x x x ++=；（3）{},,a b c _____{}c,,b a .2.已知集合,3k A x x k Z ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭,,6k B x x k Z ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A. A ⊂≠B B. A ⊃≠B C. A =B D. A 与B 无公共元素3.设集合{}2A a =，，{}22,2B a =-，若A =B ，则实数a =____________.4.指出下面各集合之间的关系，并用维恩图表示：{}A x x =是四边形，{}B x x =是平行四边形，{}C x x =是菱形，{}D x x =是矩形，{}E x x =是正方形.5. 设集合{}1A x x =>-,{}22B x x =-<<，则A B =________，A B =_______.6.已知集合P 满足{}{}464P=，，{}{}81010P=，，{}{}2122P=，，{}24681012P ⊆，，，，，，则P 等于（ ）A.{}24，B. {}2410，，C. {}6812，，D. {}24681012，，，，，7.已知集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，且R A （C B ）=R ,求实数a 的取值范围.8. 设{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,5A =，{}2345B =，，，，求U C A ，U C B ，U U C A （）（C B ），U U C A （）（C B ）,()U C A B ,()U C A B .【拔高限时训练】1、 已知集合{}21,A x x k k Z ==+∈，{}21,B x x k k Z ==-∈，则（ ）A. A =BB. A ⊃≠BC. A ⊂≠BD. 以上均不对2.下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若φ⊂≠A 时，则A φ≠.其中正确的个数是（ ） A.0 B. 1 C. 2 D. 33. 已知{}210x x -=⊂≠{}101A ⊆-，，,集合A 的子集个数（ ） A.3 B. 4 C.6 D. 8 4.设,a b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -等于（ ） A.1 B. -1 C.2 D. -25.若{}0123478B =，，，，，，{}03479C =，，，，,则满足,A B A C ⊆⊆的集合A 有_______个.6.设{}210M x x =-=， {}10N x ax =-=，若N M ⊆，则实数a 的值为_________.7.若{}{}20,13x x a a N x x -=∈⊆-<<，则实数a 的所有取值组成的集合为_______________.8. 设集合{}2560A x x x =-+=，(){}22210B x x a x a a =-+++=，若B A ⊆，求实数a的值.9.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,3,4A =，{}12B =，，则U A （C B ）=（ ） A.{}2 B.{}5 C. {}34， D. {}2345，，， 10.已知U 为全集，集合M 、N 是U 的子集，若MN N =，则（ ）A. U U C M ⊇（）（C N ）B. U M ⊆（C N ）C. U U C M ⊆（）（C N ）D. U M ⊇（C N ） 11. 设集合{}12A =，，则满足{}1,2,3AB =的集合B 的个数为A.1B. 3C.4D. 8 12.已知全集(){},,U x y x R y R =∈∈，集合()4,32y A x y x ⎧-⎫==⎨⎬-⎩⎭，(){},32B x y y x ==-，则U C A B =（）_____________.13.已知集合{}21,M y y x x R ==+∈，{}21,N y y x x R ==-+∈，则M N =_____.14.若集合{}010A x Z x =∈<<,{}134B =，，，则A C B =_________. 15.设集合{}12A x x =-≤<,{}B x x a =≤,若AB φ≠，则实数a 的集合为_______.16. 设全集U R =，{}312A x m x m =-<<，{}13B x x =-<<，若A ⊂≠U （C B ），求实数m 的取值范围.课后总结：学完本课，在以下各项的后面的“（ ）”中，用“√”或“？”标注你是否掌握。
新东方高一数学讲义电子版暑假
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暑假讲义数学电子版考点：
考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小
考核要求：(1)理解相似形的概念，(2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。
考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理
考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算。
注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。
考点3：相似三角形的概念。
考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义。
考点4：相似三角形的判定和性质及其应用。
考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质，并能较好地应用。
考点5：三角形的重心。
考核要求：知道重心的定义并初步应用。
考点6：相似的各种模型。
考点7：相似与函数综合的应用。
考核要求：掌握函数基本性质和相似结合的共性与计算方法。
专题09 集合的概念(教师版)-2024年新高一(初升高)数学暑期衔接讲义
D：倒数等于它自身的实数为 1 与﹣1，∴满足集合的定义，故正确．
故选：D．
变式 1．(2023·高一课时练习)下列各组对象不能构成集合的是( )
A．上课迟到的学生 C．所有有理数
B． 2020 年高考数学难题 D．小于 的正整数
【答案】B
【解析】根据集合中元素的三要素判断．上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；2020 年
若 a 1，则集合 a2, a, 0 {1,1, 0}不满足互异性，故舍去.
则只能为 a 1, b 0 . 则 a2019 b2020 1 . 故答案为： 1.
变式 5．(2023·高一课时练习)由 a, a, a , a2 构成的集合中，元素个数最多是______.
【答案】2
【解析】当 a 0 时， a a a a2 0 ，此时元素个数为 1；
C． 1 M
【答案】A
【解析】由题意知集合 M x | x x 1 0 {0,1} ，
D． 0 M
故 0 M ，故 A 正确，D 错误，1 M ，故 B 错误， 1 M ，故 C 错误， 故选：A
例 6．(2023·全国·高三专题练习)已知 A a 2,(a 1)2,a 2 3a 3 ，若1 A ，则实数 a 构成的集合 B 的元素
【题型归纳目录】
题型 1：集合与元素的含义 题型 2：元素与集合的关系
题型 3：集合中元素特性的简单应用 题型 4：列举法表示集合
题型 5：描述法表示集合
题型 6：集合表示的综合问题
【典例例题】
题型 1：集合与元素的含义
例 1．(2023·高一课时练习)下列语句中，正确的个数是( )
(1) 0 N ；(2) π Q ；(3)由 3、4、5、5、6 构成的集合含有 5 个元素；(4)数轴上由 1 到 1.01 间的线段的点
人大附中高一暑期讲义学生版
A.对任意实数 a， (2,1) A
7．已知两个集合 M
x R
y
1
x
，N
y
R
y
1
x
，这两个集合的关系
是（ ）
A． M N
B． M N
C．M N
D．M N
8．（北京外国语学校月考）下列关系中正确的是（ ）
（1）{0} （2） 0 （3） {a}
（4）{a}{a，b} （5）{a} {a}
（1）若 A B={2},求实数 a 的值; （2）若 A B=A，求实数 a 的取值范围。
30.（2017 北京 161 中学高一期中）已知函数 f (x) lg(9 3x ) 的定义域为 A ，函数 g(x) x2 + 4x 1 ， x [0,3] 的值域为 B ． （1 ）求集合 A ， B ． （ 2 ）设集合 M (A B) Z ，其中 Z 为整数集，写出集合 M 的所有子集． （ 3 ）设集合 P {x a 1 x 2a +1} ，且 P B ，求实数 a 的取值范围．
()
A.{-2}
B.{1}
C.{-2,1}
D.{-2,0,1}
22.(2017 北京朝阳一模)已知集合 A={x|-1≤x<3},B={x∈Z|x2<4},则 A∩B=
( )
A.{0,1}
B.{-1,0,1,2}
C.{-1,0,1}
D.{-2,-1,0,1,2}
5
23.(2016 北京海淀二模)已知全集 U={x|x>0},M={x|x>1},则∁UM=( )
新高一数学暑假提升讲义12 集合的概念、表示、常用数集、空集(解析版)
新高一数学暑假提升讲义12 集合的概念、表示、常用数集、空集1.下列各组对象中能构成集合的是（）A ．充分接近3的实数的全体B ．数学成绩比较好的同学C ．小于20的所有自然数D ．未来世界的高科技产品【答案】C【解析】选项A 、B 、D 中集合的元素均不满足确定性，只有C 中的元素是确定的，满足集合的定义，故选：C.2．设不等式2280x x --＜的解集为M ，下列正确的是（）A ．1,4M M -∉∉B ．1,4M M -∈∉C ．1,4M M -∉∈D ．1,4M M -∈∈【答案】B【解析】解不等式：2280x x --＜，可得：24x -<<，所以{}=|-2<4M x x <，显然1,4M M -∈∉，故选：B.3．直线2y x =与3y x 的交点组成的集合是（）A ．{}3,6B ．36,C ．3,6x y ==D ．{}(3,6) 【答案】D【解析】联立23y x y x =⎧⎨=+⎩，可得3x =，6y =，写成点集为{}(3,6).故选：D. 4．已知集合{}2|ln 1A x N x =∈<，则A =（）A ．1|x x e e ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{}1C ．{}2D ．{}1,2【答案】D【解析】由2ln 1x <，可得：1ln 1x -<<，所以1x e e<<， 又因为：x ∈N ，所以{}1,2A =，故选：D5．已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为A ．1或－1B ．1或3C ．－1或3D ．1，－1或3【答案】B【解析】因为5∈{1，m ＋2，m 2＋4}，所以m ＋2＝5或m 2＋4＝5，即m ＝3或m ＝±1.当m ＝3时，M ＝{1，5，13}；当m ＝1时，M ＝{1，3，5}；当m ＝－1时，不满足互异性．所以m 的值为3或1.6．方程的解集为{}2|2320x R x x ∈--=，用列举法表示为____________. 【答案】1{,2}2-. 【解析】方程22320x x --=得12x =-或2x =，故答案为1{,2}2-. 【点睛】本题考查集合的表示方法，属于基础题.7．已知集合{}2320A x ax x =-+=，若A 中至少有一个元素，则a 的取值范围是______； 【答案】98a ≤[来源:学*科*网Z*X*X*K] 【解析】若A 中至少有一个元素，则方程2320ax x -+=至少有一个解． 当0a =时，方程2320ax x -+=等价为320x -+=，即23x =，满足条件． 当0a ≠，判别式980a ∆=-，解得98a ≤且0a ≠． 综上所述，a 的取值范围为98a ≤，即9,8a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦ 故答案为：9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查元素和集合之间关系的应用，利用一元二次方程根与判别式之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．8.已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A，求实数a 的值.【答案】a ＝－1.【解析】若1∈A，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1.当a ＝1时，集合A 有重复元素，∴a≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合互异性.∴a=-1.9．设集合{|4},11M x x a =≥=，则下列关系中正确的是（ ）A ．a M ∈B ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M ∉【答案】B【解析】411,a M >∴∉，故选B.【点睛】本题考查了元素与集合的关系，属于简单题..10．已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,x B x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为（） A ．3B ．4C ．6D ．9【答案】B【解析】因为x A ∈，y A ，x y∈N ， 所以满足条件的有序实数对为()1,1--，()0,1-，()0,1，()1,1．故选:B.11．已知集合{}1,2,3A =，集合{},,B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合B 中元素的个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】{}1,2,3A =，{},,B z z x y x A y A ==-∈∈，[来源:学&科&网]1,2,3x ∴=，1,2,3y =当1x =时，0,1,2x y -=--当2x =时，1,0,1x y -=-当3x =时，2,1,0x y -=即2,1,0,1,2x y -=--，即{}2,1,0,1,2B =--共有5个元素本题正确选项：B【点睛】本题主要考查集合元素个数的判断，利用条件求出x y -的值是解决本题的关键.12．已知集合2{2,25,12}A a a a =-+，且3A -∈，则a 等于（ ）A ．-1B ．23-C ．32-D ．32-或-1 【答案】C【解析】332A a -∈∴-=- 或2325a a -=+1a ∴=- 或32a =-∴当1a =- 时，223253a a a -=-+=-， ，不符合集合中元素的互异性， 故1a =-应舍去当32a =-时，2722532a a a -=-+=-，，满足题意32a ∴=-． 故选C ． 【点睛】本题主要考察了集合中元素的互异性，较难．解题的关键是求出a 的值后要回代到集合中利用集合中元素的互异性进行检验．13．方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________. 【答案】()(){}2,2,2,2--【解析】由240x -=，解得2x =或2x =-，代入0x y +=，解得22x y =⎧⎨=-⎩或22x y =-⎧⎨=⎩，所以方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为{}(2,2),(2,2)--，故答案为{}(2,2),(2,2)--. 14．甲､乙两人同时参加一次数学测试,共有20道选择题,每题均有4个选项,答对得3分,答错或不答得0分,甲和乙都解答了所有的试题,经比较,他们只有2道题的选项不同,如果甲最终的得分为54分,那么乙的所有可能的得分值组成的集合为________.【答案】{48,51,54,57,60}【解析】因为20道选择题每题3分,甲最终的得分为54分,所以甲答错了2道题,又因为甲和乙有两道题的选项不同,则他们最少有16道题的答案相同,设剩下的4道题正确答案为AAAA ,甲的答案为BBAA ,因为甲和乙有两道题的选项不同,所以乙可能的答案为BBCC ,BCBA ,CCAA ,CAAA ,AAAA 等,所以乙的所有可能的得分值组成的集合为{48,51,54,57,60},故答案为{48,51,54,57,60}.【点睛】本题考查了集合的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.15．含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭又可表示成{}2,,0a a b +，20142015a b +=______. 【答案】1 【解析】由题意可知，两个集合相等，{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭， 由0a ≠所以只能是0b a=，即0b =，所以{}{}2,0,1,,0a a a =， 由集合互异性可知1a ≠，则21a =，解得1a =-，符合题意，所以20142015101a b +=+=，故答案为：1.16．已知集合(){}21,1A m m =+-，若1A ∈，则m =______.【答案】2【解析】依题意11m +=或()211m -=，解得0m =或2m =；由集合中元素的互异性可知当0m =时，集合的两个元素相等，不合题意；所以2m =.故答案为：2.17．已知22{1,251,1}A a a a a =-+++, 2A -∈,求实数a 的值.【解析】因为2A -∈，所以有12,a -=-或22512a a ++=-，显然212a +≠-，当12a -=-时，1a =-，此时212512a a a -=++=-不符合集合元素的互异性，故舍去；当22512a a ++=-时，解得32a =-，1a =-由上可知不符合集合元素的互异性，舍去，故32a =-. 【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系，考查了集合元素的互异性，考查了解方程、分类讨论思想.18．若集合2{|320,}A x ax x a R =-+=∈有且仅有两个子集，求实数a 的取值范围.【解析】依题意A 中只有一个元素.（1）当0a =时，方程320x -+=只有一解，∴0a =，（2）当0a ≠时，由00a ≠⎧⎨∆=⎩得98a =，综上，0a =或98a =. 19．求下列方程或方程组的解集.（1）42617120x x -+=（2）221321x y x y ⎧+=⎨-=⎩【解析】（1）422261712(34)(23)0x x x x -+=--=2340x ∴-=或223=0x -243x ∴=或23=2x 1234232366x x x x ∴====解集为232366{}（2）21x y -=即122x y =-代入2213x y += 2221()1352510(3)(517)022x x x x x x +-=∴--=∴+-= 21121735265x x y y ⎧=⎪=-⎧⎪∴⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩，，解集为: 176{(3,2),(,)}55-- 【点睛】本题考查了二次方程和方程组的解法，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.20．用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集.（1）到A 、B 两点距离相等的点的集合（2）满足不等式21x >的x 的集合（3）全体偶数（4）被5除余1的数（5）20以内的质数（6）{(,)|6,,}x y x y x N y N **+=∈∈（7）方程()0,x x a a R -=∈的解集【解析】（1）因为到A 、B 两点距离相等的点P 满足PA PB =，所以集合{A =点}P PA PB =，无限集.（2）由题意可知，集合{}21B x x =>，无限集.（3）因为偶数x 能被2整除，所以集合{}2,C x x k k Z ==∈，无限集.（4）由题意可知，集合{}51,D x x k k Z ==+∈，无限集.（5）因为20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19.所以集合{}2,3,5,7,11,13,17,19E =，有限集.（6）因为6,,x y x N y N **+=∈∈，所以方程的解为15x y =⎧⎨=⎩，24x y =⎧⎨=⎩，33x y =⎧⎨=⎩，42x y =⎧⎨=⎩，51x y =⎧⎨=⎩，所以集合()()()()(){}1,5,2,4,3,3,4,2,5,1F =，有限集.（7）由题意可知，集合{}()0,G x x x a a R =-=∈，有限集.【点睛】本题考查集合的表示方法，属于较易题.21．用列举法表示下列集合:(1){}2|9A x x ==;(2){|12}B x N x =∈≤≤;[来源:](3){}2|320C x x x =-+=.【答案】(1){3,3}-(2){1,2}(3){1,2}【解析】 (1)由29x =得3x =±,因此{}2|9{3,3}A x x ===-.(2)由x ∈N ,且12x ≤≤,得1,2x =,因此{|12}{1,2}B x N x =∈≤≤=(3)由2320x x -+=得1,2x =.因此{}2|320{1,2}C x x x =-+==.。
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第一讲 集合一、知识要点点拨1.集合的概念（1）含义:集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。
一般地，把某些指定的研究对象集在一起就成为了一个集合。
（2）集合中的每个研究对象叫做元素，通常用小写字母表示元素，大写字母表示集合。
（3）集合中元素的性质➢ 确定性：集合中的元素必须是确定的． ➢ 互异性：集合中的元素必须是互不相同的．➢ 无序性：集合中的元素是无先后顺序的，集合中的任何两个元素都可以交换位置． 2.集合与元素的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A ．（2）不属于(not belong to)：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉． 3.集合的分类（1）有限集：含有限个元素的集合 （2）无限集：含无限个元素的集合（3）空集：不含有任何元素的集合，用∅表示。
4.集合的表示（1）大写字母表示法：N 表示自然数集，*N 或+N 表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，∅表示空集。
（2）列举法：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。
（3）描述法：具体表示集合的常用方法；要注意判断集合研究的对象。
（4）韦恩图法：抽象表示集合的常用方法。
（5）区间法。
5.集合与集合（1）子集：对于两个集合A 和B ，若集合A 中的元素都是集合B 的元素，我们就说A 是B 的子集，或A 包含于B ，记作A ⊆B ；反之，我们就说B 是A 的子集，或A 包含B ，记作B ⊆A 。
（2）真子集：如果A 是B 的子集且A ≠B ，则A 是B 的真子集。
注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
6.集合的运算（1）交集：由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交集，记作A B （2）并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作B A 。
（3）补集：若用U 表示所要研究的所有元素元素构成的集合即全集，则由全集U 中所有不属于集合A 的元素构成的集合叫做全集U 中A 的补集，记作C U A 。
二、经典例题剖析1. 集合中元素的特征集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，它是判断一组对象能否构成集合的依据。
例1.对于任意,R x y ∈，且0xy ≠，则x y xy x y xy++所组成的集合所含元素的个数为（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （4）4个 例2.用列举法表示下列集合 （1）A 6=6x N y N x ⎧⎫∈=∈⎨⎬-⎩⎭ （2）B 6=6y N y N x ⎧⎫∈=∈⎨⎬-⎩⎭例3.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.例4.已知{},,2M a a d a d =++，{}2,,N a aq aq =，且M N =，求q 的值。
2.集合关系的基本概念此类题主要考察子集、交集、并集的基本概念和基本构成。
解决此类问题的关键是弄清集合的特征性质、几何意义。
涉及解方程、不等式问题时，不妨先用我们熟悉的方式把他们解出来，把最后的结果写成集合的形式。
例5.已知{}2230A x x x =--=，{}10B x ax =-=；若B A ⊆，则实数a 的值为 ； 例6.设,x y R ∈，(){},32A x y y x =-=-，()3,12y B x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，则A 与B 之间的关系为A B 。
例7.已知{}3A x x =<,{}B x x a =<. （1）若B A ⊆,求a 的取值范围; （2）若A B ⊆,求a 的取值范围; （3）若RC A R C B ,求a 的取值范围.例8.若{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，那么满足条件的集合A 的个数是（ ）（A ）6个 （B ）7个 （C ）8个 （D ）9个例9.已知全集U={x|x 取不大于30的质数}，A 、B 是U 的两个子集，且A ∩C U B={5，13，23}，C U A ∩B={11，19，29}，C U A ∩C U B={3，7}，求A ，B.例10.已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U 等于（ ） （A ）{}|24x x -<≤（B ）{}|34x x x 或≤≥ （C ）{}|21x x -<-≤（D ）{}|13x x -≤≤ （2008北京文）3.识图与用图由于韦恩（Venn ）图形象直观，能够将抽象的文字语言和符号语言变得具体简明，因此，在有关交集、并集、补集的题目中，经常考察我们的识图与用图能力。
例11.已知全集U=R ，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛210x x +=｝关系的韦恩图是（ ）（2009广东文）例12.已知A ，B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B={3},B ∩A={9},则A=u（A ）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}4.已知集合间的关系求参数例13.已知全集{}{}12,1,23,3,123-=++=x A x x x S ，如果{}0=A C S ，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说出理由。
三、大显身手1.设集合{}6,A x x k k ==∈Z ，{}3,B x x k k ==∈Z ，两个集合的关系可表示为 A B2. 集合{},,a b c 的真子集总共有（ ）()A 7个 ()B 8个 ()C 6个 ()D 5个3.设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，，则AB =（ ）（A ）{}|2x x >- （B ）{}1x x >-|（C ）{}|21x x -<<- （D ）{}|12x x -<<（2007宁夏文） 4. 设集合{}23M x x =≤，又11a =，那么（ ）()A a M ⊆ ()B a M ∉ ()C {}a M ∈ ()D {}a M ⊆5.已知{}2120,RM x x px x =++=∈(){}22440,RN x x q x q x =-++-=∈，U=R ，且{}U2MN =，求p 和q 。
第二讲 解不等式一、知识要点点拨1.绝对值不等式 当a > 0时，有：➢ 22x a x a a x a <⇔<⇔-<<➢22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-2.一元二次不等式求解一元二次不等式，首先要对二次项系数以及判别式进行判断，进而求解。
以20ax bx c ++>为20ax bx c ++>0a >，0∆>)2244,,22b b ac b b aca a ⎛⎫⎛----+- -∞+∞⎪⎪ ⎭⎝⎝2b a ⎛- ⎝，∅二、经典例题剖析1.绝对值不等式解绝对值不等式一般两种方法，一是分类讨论，二是平方脱号。
平方脱号要注意使用条件，通过平移变换可化为一边仅含绝对值号一边不含绝对值号，或两边均只含绝对值号的不等式用平方法为宜。
例1.解下列绝对值不等式（1）235x -<； （2）12x x +>-。
（3）2123x x -<-例2.解下列绝对值不等式 （1）338x x ++-> （2）2212x x ++-≤2.一元二次不等式二次不等式解题步骤通常步骤为：化简移项—因式分解—对应区域，也可通过数形结合解决问题。
例3.解下列不等式 （1）2450x x -++> （2）()()2130x x +-≤ （3）()()12x x x -+<例4.解关于x 的不等式：01)1(2<++-x a ax例5.解关于x 的不等式022≤-+k kx x3.高次不等式的解法用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”。
例6.解下列不等式（1）015223>--x x x ； （2）0)2()5)(4(32<-++x x x例7.解不等式42320x x -+>4.分式不等式解分式不等式，首先要通过不等式等价变形将分式不等式转化为整式不等式，一般化为和零的大小关系；然后利用解一元二次不等式，高次不等式等的技巧进行求解。
其中，若涉及到“≥”“≤”要注意分母不能为零。
例8.解下列分式不等式（1）2601x x x --≤-（2）251x x x -≤-例9.解不等式425403x x x -+>-三、大显身手1.解不等式133x x -+-≤2.若不等式20x ax b --<的解集为23x <<，求不等式210bx ax -->的解集。
3.解不等式2303x x ->+第三讲 函数的三要素一、知识要点点拨1.函数的定义定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于A 集合中的任意一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数)(x f 与之对应，那么就称B A f −→−:为从集合A 到集合B 的一个函数 记作：A x x f y ∈=),(其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(叫做函数的值域。
2.区间表示方法设a 、b 是两个实数，且a <b ，我们规定：（1）满足不等式b x a ≤≤的实数的集合叫做闭区间，表示为[]b a x ,∈ （2）满足不等式b x a <<的实数的集合叫做开区间，表示为（3）满足不等式b x a ≤<或的实数的集合叫做半开半闭区间，表示为],(b a x ∈，),[b a x ∈ 其中，实数a 、b 都叫做相应区间的端点。
几何表示如图所示，实心点表示包括在区间内的端点，空心点表示不包括在区间内的端点。
实数集可以表示为),(+∞-∞∈x ，因此b x b x a x a x <≤>≥,,,分别可以表示为),(],,(),,(),,[b x b x a x a x -∞∈-∞∈+∞∈+∞∈3.函数的三要素：定义域、对应法则、值域1.函数的定义例1.判断下列关系哪些y 为x 的函数：（1）142=+y x（2）182=+y xx x ),(b a x ∈b x a <≤x（3）11--=x x y例2.如下图可作为函数()y f x =的图象的是（ ）.A. B. C. D2.求函数的定义域当函数没有明确说明定义域时，它的定义域就是自变量的允许取值范围，通常考察的类型有三种：①01≠x x，；②0,≥x x ；③0,0≠x x 。