平面汇交力系的平衡条件
工程力学9 平面汇交力系的合成与平衡
2、再利用解析法求合力的大小和方向。
RX F1X F2X 17.3 20 37.3KN RY F1Y F2Y 10 34.6 44.6KN
R
R
2 x
R
2 y
37.32 44.62 58.1KN
tan R y Rx
44.6 37.3
1.1957
α=50.1°
4.平面汇交力系平衡的解析条件
平面汇交力系平衡的充要条件是其合力为零。
解析式： R
R
2 x
R
2 y
0
即：
R x Fx 0 R y Fy 0
此式称为平面汇交力系的平衡方。若一个平
衡的汇交力系中存在两个未知力，可应用这两个独立
方程求得。
F
例 3：求图示绳子BC和BD的拉力。
解：1、绳子为柔性约束，只能承受拉力，由
CB
Fx
bx
正方向
F在坐标轴上的投影正负规定：当从力F始 端的投影a到终端b的方向与投影的正向一 致时，力的投影取正值；反之，取负值。
例题1：已知F1=100N，F2=F3=150N，F4=200N，试求各力 在在坐标轴上的投影值大小。
y
F1Y=F1sin45°=100 ×0.707=70.7N
F1
F1Y
FBD 14.14KN FBC 10KN
tan
Ry Rx
Y X
为合力R与x轴所夹的锐角， 角在哪个象限由各力在轴上
投影和正负确定。
例题2：如图所示，力F1和F2汇交于O点，已知
F1=20KN,F2=40KN,试求R的大小和方向。
Ry
y
F2y
F2
R 我们可以利用解析法 求合力的大小和方向
平面汇交力系的平衡充要条件
平面汇交力系的平衡充要条件《平面汇交力系的平衡充要条件》我给大家讲个事儿啊。
有天我和我那二货朋友小明去搬东西，我们打算一起抬一个大箱子。
我在左边用力$F_1$，他在右边用另一个力$F_2$。
这个箱子就像是个平面汇交力系里的受力物体。
当时呢，我使了好大的劲儿，方向向左下方，小明也使了比较大的力，方向右下方。
这箱子呀，就那么原地晃悠，一会儿往左动一下，一会儿往右动一下，就是稳稳当当不按照我们想要的走直线。
这时路过的学霸小红看到就说：“你们可真笨，这就像平面汇交力系不平衡。
如果这些力要平衡啊，是有条件的。
”我们就好奇地看着她。
好了，咱们现在开始正经说说平面汇交力系的平衡充要条件吧。
首先呢，平面汇交力系是指作用于物体上的力都在同一平面内，而且它们的作用线汇交于一点的力系。
对于这样的力系来说呢，平衡的充要条件是力系的合力为零，这是关键的一点。
具体怎么理解这个合力为零呢？我们可以从矢量相加的角度来看。
假设这些力分别为$F₁$、$F₂$、$F₃$等等，这些力既然是矢量，就有大小还有方向啦。
要是把它们一个一个按照矢量加法的规则加起来，得到的合力矢量大小得是零才行。
比如说在我们抬箱子这个例子里，如果我们俩的力按照平行四边形法则合成起来的结果是有一个多余的分力，那箱子肯定不能稳稳当当的，就跟我们开始的时候一样，箱子在那儿乱动。
要是从解析的角度来看呢，建立一个合适的坐标系，通常是直角坐标系啦。
可以把每个力分解成$x$方向和$y$方向的分力。
这个时候呢，平衡的充要条件就可以表述为，所有力在$x$轴方向的分力之和等于零，所有力在$y$轴方向的分力之和也等于零。
就是$\sum F_x = 0$和$\sum F_y = 0$。
就像我们要准确知道在水平方向和竖直方向需要多大的力才能把箱子稳稳抬起来，不能让它往左斜或者往右斜，也不能让它前倒或者后仰。
再从几何关系方面说几句。
如果用多边形法则来表示力系的合成，那当力系平衡的时候，这些力所构成的力多边形是自行封闭的。
第二章平面汇交力系ppt课件
⑴选箱盖为研究对象， 画它的受力图
⑵三个力必汇交于吊环 中心A。
⑶画力三角形
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
a TAC
30° W 45° c
b
TAB
如果力三角形的几何 关系不复杂，可以选 用数解法，运用三角 公式来计算:
O
F1
A
O
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)平面汇交力系的合成:
应用力的多边形法则:
设刚体上受到F1、F2、F3及F4等许多力的作用， 它们的作用线在同一平面内，正汇交于O点。 (如图所示)
R RX 2 RY2 (417)20(275)20500N0
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
⑵合力的方向:
cos RX
R
4170
0.834
5000
Y RX O
Rα
X
RY
RX = ∑FX = - 4170N
⑴ 按比例先画出封闭的力多边形 ⑵ 用尺和量角器在图上直接量得所要求的
未知量
也可采用数解法，即根据图形的边角关系， 用三角公式计算出所要求的未知量。
例1 起重机吊起的减速箱盖重W＝900 N， 两根钢丝绳AB和AC与沿垂线的夹角分别为 α＝45°， β ＝30°试求箱盖匀速吊起时， 钢丝绳AB和AC的张力。
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
第二章：平面汇交力系的合成与平衡
第二章平面汇交力系的合成与平衡课题：第一节平面汇交力系的合成与平衡（一）[教学目标]一、知识目标：1、了解求解平面汇交力系的两种方法。
2、理解平面力系、平面汇交力系。
3、理解平面汇交力系平衡的几何条件。
二、能力目标：通过用几何法求解平面汇交力系的合力，提高学生运用平面几何知识解决力学问题的能力，提高对知识的理解运用能力。
三、素质目标：培养学生的分析问题能力[教学重点]平面汇交力系平衡的几何条件。
[难点分析]用几何法求解平面汇交力系的合力。
[学生分析]学生的数学基础知识需要强化补充。
[辅助教学手段]理论联系实际进行分析，围绕练习题展开讨论。
[课时安排]2课时[教学内容]一、导入新课我们在对力系进行研究时，为了方便，可以按照各力作用线的分布情况进行分类。
从讲实际结构的受力情况入题，一般结构所受的作用力不在同一个平面内，这种力系就属于空间力系；反之，如果所受的作用力都在同一个平面内，这种力系就属于平面力系。
那么在我们研究的力系中，也把它分为两类：空间力系和平面力系。
工程中许多结构所受的作用力虽是空间力系，但在一定条件下可以简化为平面力系，比如水坝、挡土墙的受力等。
平面力系是工程中最常见的力系，本章讨论的便是平面力系的合成和平衡问题，随之引出平面汇交力系的概念及其求解平面汇交力系的两种方法：几何法和解析法。
二、新课讲解1、平面汇交力系合成的几何法（1）导入：力是矢量，矢量的合成都可以遵循平行四边形法则，那么两个汇交力怎么合成呢：两个力的合力的作用点是原汇交点，大小和方向是以两个分力为邻边所构成的平行四边形的对角线。
（2）分析：在力的平行四边形法基础上，可以得到两个汇交力合成的三角形法和多个汇交力合成的力多边形法。
（3）概念：平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，其作用点是原汇交力系的交点。
2、平面汇交力系平衡的几何条件（1）分析：如果某平面汇交力系的力多边形首尾相重合，即力多边形自行闭合，则力系的合力等于零，物体处于平衡状态，该力系为平衡力系。
理论力学-平面汇交力系
静力学
第二章
平面力系
第二章
平面力系
主要内容
1. 2. 3. 4. 5. 平面汇交力系的合成与平衡 平面力偶系的合成与平衡 平面任意力系的合成与平衡 静定与超静定 ·物系的平衡 平面简单桁架的内力计算
第二章
平面力系
§2-1 平面汇交力系
§2-1 平面汇交力系
何谓平面汇交力系？
作用在刚体上的力都在同一平面上，
C B
D y
二力杆
Fx 0, Fy 0,
FA cos FC cos 45 0
FA
A
E
FA sin FC sin 45 F 0
C
F
45o
B x
5. 解得： FA =22.4kN FC =28.3kN
FC
§2-1 平面汇交力系
解题技巧及说明
1、通常，对于只受三个力作用而平衡的物体，且角 度特殊时用几何法比较简便。- 解力三角形 2、对于受多个力作用平衡的物体，均用解析法。 3、投影轴的选择原则：与未知力垂直或平行，最好 使每个方程中只有一个未知数。 4、解析法解题时，如果力的指向不能确定，可任意 假定，如求出负值，说明力的实际方向与假设方 向相反。 如：对于二力构件，可先预先设为拉力。
— 力多边形
含义：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和， 合力的作用线通过各分力的汇交点。
§2-1 平面汇交力系 2、平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要条件是：
FR = 0 , 即
F2 F1
F3
F5 = FR
F = 0
i
相应地，从几何角度上讲，如何？ 平面汇交力系平衡的充要条件是：
工程力学 第3章 平面力系的平衡
3.3.1 静定和静不定的概念
F A
C
l/2 l/2
l
FAy F
A
FAx
C
(c)
B 约束力中未知量个数为 2，而独立的静力学平衡方程 个数为 3，一般情况下，平衡方程无法得到全部满足， 即刚体无法保持平衡。静力学范围内无解。 实际上，这类问题属于动力学范畴，未知约束力须由
B 动力学原理求解。 或系统的主动力满足一定条件时也可以平衡。
3.3.1 静定和静不定的概念
F
A
B
C
l/2 l/2
l
FAy F
A
FAx
FB
B C
Fx Fy
0 0
M A 0
FAx FAy
0 F
FB
0
FB
2l
F
l
/
2
0
FAx 0
FAy
3F 4
FB
F 4
独立的平衡方程的个数与约束力中未知量的个数相等， A、B 两处的约束力可由独立的平衡方程求解得到
(a)
唯一的一组解。
平面力系的平衡
3.3 静定和静不定的概念·刚体系的平衡问题
3.3.1 静定和静不定的概念
F A
C
l/2 l/2
l
B
Fx Fy M
0 0 A 0
FAx FAy FB
0 F FB FC 2l FC l F
l
0 /2
0
FAx FAy FB
Mi 0
平面力系的平衡
3.1 平面任意力系的平衡条件·平衡方程
力系类型 平面任意力系 平面汇交力系 平面平行力系 平面力偶系
独立平衡方程个数 3 2 2 1
第三章.平面力系的合成与平衡
各力首尾相接
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡
例4
已知：
系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。 解：AB、BC杆为二力杆， 取滑轮B（或点B），画受力图。
用解析法，建图示坐标系。
F
x
0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
Fy F cos F Fx Fy
Fx cos F
Fx
x
O
Fx
F Fx2 Fy2
cos
Fy F
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡 3）合力投影定理 平面汇交力系，由三个力组成的力多边形 合力投影定理建立了合力投影与各分力投影的关系
FRx Fix
当 x轴与 y 轴不是正交轴时 ：
F Fx Fy
力在坐标轴上的投影不等于力在这个轴上的分量。
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡 2、平面汇交力系的解析法 2）力沿坐标轴的分解 当
Fx Fx
x y
y
Fy Fy
B
Fy
Fx F cos
Fy
A
β α
矢量和
θ
P
FNA 11.4kN FNB 10kN
F
FNB
F
θ P FNA
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡 2、平面汇交力系的解析法 1）力在坐标轴上的投影 F力在 x 轴上的投影：
Fx F cosθ
Fy
Fx
F力在 y 轴上的投影：
Fy F cosβ
3 FR 2 FR1 F3 Fi i 1
平面汇交力系
第二章平面汇交力系第一节平面汇交力系合成平面汇交力系的合成方法可以分为几何法与解析法，其中几何法是应用力的平行四边形法则（或力的三角形法则），用几何作图的方法，研究力系中各分力与合力的关系，从而求力系的合力；而解析法则是用列方程的方法，研究力系中各分力与合力的关系，然后求力系的合力。
下面分别介绍。
一、几何法首先回顾用几何法合成两个汇交力。
如图2—1a，设在物体上作用有汇交于O点的两个力F1和F2，根据力的平行四边形法则，可知合力R的大小和方向是以两力F1和F2为邻边的平行四边形的对角线来表示，合力R的作用点就是这两个力的汇交点O。
也可以取平行四边形的一半即利用力的三角形法则求合力如图2—1b所示。
图2—1对于由多个力组成的平面汇交力系，可以连续应用力的三角形法则进行力的合成。
设作用于物体上O点的力F1、F2、F3、F4组成平面汇交力系，现求其合力，如图2—2a所示。
应用力的三角形法则，首先将F1与F2合成得R1，然后把R1与F3合成得R2，最后将R2与F4合成得R，力R就是原汇交力系F1、F2、F3、F4的合力，图2—2b所示即是此汇交力系合成的几何示意，矢量关系的数学表达式为R=F1+F2+F3+F4 （2—1）实际作图时，可以不必画出图中虚线所示的中间合力R1和R2，只要按照一定的比例尺将表达各力矢的有向线段首尾相接，形成一个不封闭的多边形，如图2—2c所示。
然后再画一条从起点指向终点的矢量R，即为原汇交力系的合力，如图2—2d所示。
把由各分力和合力构成的多边形abcde称为力多边形，合力矢是力多边形的封闭边。
按照与各分力同样的比例，封闭边的长度表示合力的大小，合力的方位与封闭边的方位一致，指向则由力多边形的起点至终点，合力的作用线通过汇交点。
这种求合力矢的几何作图法称为力多边形法则。
从图2—2e还可以看出，改变各分力矢相连的先后顺序，只会影响力多边形的形状，但不会影响合成的最后结果。
图2—2将这一作法推广到由n 个力组成的平面汇交力系，可得结论：平面汇交力系合成的最终结果是一个合力，合力的大小和方向等于力系中各分力的矢量和，可由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过力系的汇交点。
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平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系的平衡条件是指在一个平面上的力系中，力的合力与力的合力矩均为零时，力系达到平衡状态。
在力学中，力的合力是指所有力的矢量和，而力的合力矩是指所有力对某一点的力矩的矢量和。
下面将详细介绍平面汇交力系的平衡条件及相关参考内容。
平面汇交力系的平衡条件包括力的合力为零和力的合力矩为零。
力的合力为零意味着所有力在平面上的投影的代数和为零。
具体表达式可以写为：
ΣF_x = 0
ΣF_y = 0
其中，ΣF_x表示力在x轴方向上的所有力的代数和，ΣF_y表
示力在y轴方向上的所有力的代数和。
力的合力矩为零意味着所有力对该平面上的某一点的力矩的代数和为零。
力矩的计算公式为力的大小乘以力臂，即：
M = R × F
其中，M表示力矩，R表示力臂，F表示力。
力矩的方向满足
右手定则，即将右手的四指从力臂方向卷曲到力的方向，大拇指所指方向即为力矩的方向。
根据上述平衡条件，可以得到以下一些相关参考内容：
1. 力的合力为零：
- 利用向量相加的方法求取力的合力。
参考书目：《高等物理学》（曾谨言著）、《力学》（郑光美等著）
- 利用分解力的方法求取力的合力。
参考书目：《大学物理基础（下）》（杨桂森等著）
2. 力的合力矩为零：
- 利用力的矩乘积法则计算力的合力矩。
参考书目：《普通物理学（上）》（郭硕鸿等著）
- 利用静力学平衡条件计算力的合力矩。
参考书目：《力学》（郑光美等著）
以上仅列举了一些参考内容，实际上关于力学的相关参考书籍和资料还有很多。
在学习和理解平面汇交力系的平衡条件时，可以选择适合自己的参考书籍，并参考课本、教辅书以及网络资源等多种资料进行综合学习和理解。
同时，还可以通过习题的练习和解答来提高对平面汇交力系平衡条件的理解和应用能力。