2018-2019山西省太原市高三上学期期末考试数学(文科)试卷及答案
山西省太原市数学高三上学期文数期末考试试卷
山西省太原市数学高三上学期文数期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019·全国Ⅰ卷文) 已知集合 U= （），A=，B=则=A.B.C.D.2. （2 分） (2017 高二下·合肥期中) 若复数 z=，则|z|=（ ）A. B.2 C.D.3. （2 分） (2017·鞍山模拟) “α=2kπ﹣ （k∈Z）”是“cosα= A . 充分不必要条件”的（ ）B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件第 1 页 共 15 页4. （2 分） 等差数列的前 n 项和分别为，且，则（）A.B.C.D.5. （2 分） (2017 高三上·孝感期末) 设 0＜x＜ 的大小关系为（ ），记 a=lnsinx，b=sinx，c=esinx ， 则比较 a，b，cA . a＜b＜cB . b＜a＜cC . c＜b＜aD . b＜c＜a6.（2 分）(2019 高三上·沈阳月考) 已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域是，且它们在的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）A. B. C.第 2 页 共 15 页D. 7. （2 分） 已知点 为 A. B. C. D.的外接圆的圆心，且8. （2 分） (2018·攀枝花模拟) 若,且，则的内角 等于（ ），则的值为（ ）A.B.C.D.9. （2 分） (2017 高一下·株洲期中) 若先将函数 y= sin（x﹣ ）+cos（x﹣ ）图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 （）倍，再将所得图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是A . x=B . x=C . x=D . x=10. （2 分） (2019 高三上·广东月考) 已知三棱锥的四个顶点在球 的球面上，点分别是的中点，第 3 页 共 15 页，则球 的表面积为（ ）A. B. C. D. 11. （2 分） 已知数列：2，0，2，0，2，0，…．前六项不适合下列哪个通项公式A . ＝1＋(―1)n+1（）B . ＝2|sin|C . ＝1－(―1)nD . ＝2sin12. （ 2 分 ） (2020· 内 江 模 拟 ) 已 知 函 数，若，则下列结论：① ，其中正确的个数是（ ），②，③A.1B.2C.3D.4二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13. （1 分） (2015 高二下·射阳期中) 曲线 y=ex 在点 A（0，1）处的切线斜率为________．14. （1 分） 已知 =（2，1）， =（3，4），则 在 方向上的投影为________ ．第 4 页 共 15 页，且 ，④15. （1 分） (2020·西安模拟) 如图，已知圆柱的轴截面是正方形，C 是圆柱下底面弧是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为________.的中点，16. （2 分） (2017 高二下·衡水期末) 设 A（n）表示正整数 n 的个位数，an=A（n2）﹣A（n），A 为数列{an}的前 202 项和，函数 f（x）=ex﹣e+1，若函数 g（x）满足 f[g（x）﹣ {bn}的前 n 项和为________．]=1，且 bn=g（n）（n∈N*），则数列三、 解答题 (共 7 题；共 65 分)17. （10 分） (2018 高一下·攀枝花期末) 已知正项数列 的前 项和 满足.（Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ）若，求数列 的前 项和 ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对任意恒成立，求实数 的取值范围.18. （10 分） (2017 高三上·集宁月考) 如图,在菱形 ABCD 中,∠ABC=60°,AC 与 BD 相交于点 O,AE⊥平面 ABCD,CF//AE,AB=AE=2.第 5 页 共 15 页（1） 求证:BD⊥平面 ACFE;（2） 当直线 FO 与平面 BDE 所成的角为 45°时,求二面角 B﹣EF﹣D 的余弦值.19. （5 分） (2019 高三上·广东月考) 在中，角所对的边分别为，；（1） 证明：为等腰三角形；（2） 若 为 边上的点，，且，，求 的值．20. （10 分） (2019 高二上·扶余期中) 在直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于 ， 两点，弦 的中点 的轨迹记为 .（1） 求 的方程；（2） 已知直线与 相交于 ， 两点.（i）求 的取值范围；（ii） 轴上是否存在点 ，使得当 变动时，总有？说明理由.21. （10 分） (2017·潮州模拟) 已知函数 g（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x，a∈R．（1） 求 g（x）的单调区间；（2） 若函数 f（x）=g（x）+（a+1）x2﹣2x，x1，x2（x1＜x2）是函数 f（x）的两个零点，f′（x）是函数f（x）的导函数，证明：f′（ ） ＜0．22. （10 分） (2018·石家庄模拟) 在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为（， 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为，若直线 与曲线 相切；（1） 求曲线 的极坐标方程；（2） 在曲线 最大值.上取两点， 与原点 构成，且满足第 6 页 共 15 页，求面积的23. （10 分） 已知 a+b+c=1， （1）求 S=2a2+3b2+c2 的最小值及取最小值时 a，b，c 的值． （2）若 2a2+3b2+c2=1，求 c 的取值范围．第 7 页 共 15 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 15 页16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 65 分)17-1、18-1、第 9 页 共 15 页18-2、 19-1、第 10 页 共 15 页19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
山西省太原市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(含解析)
山西省太原市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题）1.双曲线的实轴长为（）A. 2B. 4C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由双曲线的方程求出a的值，即可得双曲线与x轴的交点，由实轴的定义计算可得答案．【详解】根据题意，双曲线，其中，，其焦点在x轴上，则该双曲线与x轴的交点为与，则实轴长；故选：D．【点睛】本题考查双曲线的标准方程以及双曲线实轴的定义，属于基础题．2.命题：“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】因为的否定是所以命题：“”的否定是,选C3.曲线在处的切线的斜率等于（）A. eB.C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】求函数的导数，结合函数导数的几何意义求出对应的导数即可．【详解】函数的导数为，则在处的导数，即切线斜率，【点睛】本题主要考查导数的几何意义，求出函数的导数是解决本题的关键．4.设，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为，所以“l＜x＜2”是“l＜x＜3”的充分而不必要条件，选A．考点：充要关系5.抛物线的焦点到准线的距离为（）A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【解析】试题分析：抛物线x2＝4y中，焦点为，准线为，焦点到准线的距离为2考点：抛物线方程及性质6.对任意实数，则方程所表示的曲线不可能是（）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆【答案】C【解析】思路分析：用Ax2+By2=c所表示的圆锥曲线，对于k=0,1及k＞0且k≠1，或k＜0，分别讨论可知：方程x2+ky2=1不可能表示抛物线7.函数的单调递减区间是（）A. B.C. ，D.【答案】D【解析】【分析】求导，令导数小于零，解此不等式即可求得函数的单调递减区间．【详解】令解得，函数的单调递减区间是．【点睛】此题是个基础题考查学生利用导数研究函数的单调性．8.已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】命题“，”为真命题等价于在上有解，构造函数求最大值代入即可．【详解】命题“，”为真命题等价于在上有解，令，，则等价于，，故选：D．【点睛】本题考查了存在量词和特称命题，属中档题．9.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求函数的导数，研究函数的单调性和极值，进行判断即可．【详解】函数的定义域为，函数的导数，由得得或舍，此时函数为增函数，由得得，此时，函数为减函数，即当时，函数取得极小值，且极小值为，则对应的图象为A，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数单调性和导数之间的关系，研究函数的单调性是解决本题的关键．10.若函数在区间单调递增，则k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函数在区间单调递增可得：在区间恒成立，，故11.已知双曲线C与椭圆E：有共同的焦点，它们的离心率之和为，则双曲线C的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案．【详解】由椭圆，得，，则，双曲线与椭圆的焦点坐标为，，椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为．设双曲线的实半轴长为m，则，得，则虚半轴长，双曲线的方程是．故选：C．【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题．12.函数的定义域为R，对任意，，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B构造函数，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．【详解】设，则，对任意，，对任意，，即函数单调递增，，，函数单调递增，即为：由得，即的解集为，故选：B．【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题）13.椭圆的焦距是______【答案】6【解析】【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析a、b的值，结合椭圆的几何性质求出c的值，由椭圆焦距的定义分析可得答案．【详解】根据题意，椭圆中，，，则，则该椭圆的焦距；故答案为：6．【点睛】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质，注意求出c的值，属于基础题．14.命题“如果，那么且”的逆否命题是______．【答案】如果或，则由四种命题之间的关系，即可写出结果.【详解】命题“如果，那么且”的逆否命题是“如果或，则”.故答案为：如果或，则【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，熟记概念即可，属于基础题型.15.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】y=2x–2【解析】分析：求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程.详解：由，得则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.16.已知双曲线E：的右顶点为A，抛物线C：的焦点为若在E的渐近线上存在点P，使得，则双曲线E的离心率的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，以及向量的垂直的条件：数量积为0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围．【详解】双曲线E：的右顶点为，抛物线C：的焦点为，双曲线的渐近线方程为，可设，即有，，可得，即为，化为，由题意可得，即有，即，则．由，可得．故答案为：【点睛】对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).三、解答题（本大题共7小题）17.已知命题p：曲线与x轴相交于不同的两点；命题q：椭圆的焦点在y 轴上．判断命题p的否定的真假；若“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）为假；（2）.【解析】【分析】（1）根据判别式显然成立，即可判断出结果；（2）先求出为真时，实数m的取值范围，再由“且”是假命题，“或“是真命题，判断出、的真假，进而可得出结果.【详解】（1）由可得显然成立，故命题为真，为假；（2）由已知得，为真时，，所以为假时，或因为“且”是假命题，“或“是真命题，由(1)知为真，所以真假，所以【点睛】本题主要考查复合命题，由命题的真假求参数，属于基础题型.18.已知抛物线C：经过点．求抛物线C的方程；若A，B为抛物线C上不同的两点，且AB的中点坐标为，求直线AB的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将点代入，即可求出结果；先设点坐标分别为，结合抛物线方程，作差求出直线AB的斜率，进而可求出结果. 【详解】（1）由题知抛物线经过点代入，解得，故抛物线方程为；（2）设点坐标分别为，由为抛物线上的不同两点，故有，由得，整理得，又的中点坐标为，则，代入得，直线过点，直线的方程为，即. 【点睛】本题主要考查抛物线方程，以及中点弦的问题，求中点弦所在直线方程，常用点差法结合中点坐标求出斜率，进而可得出结果.19.若是函数的极值点．求a的值；若时，成立，求的最大值．【答案】(1)(2)4【解析】【分析】求解导函数，结合导函数与极值的关系求解实数a的值即可；由题意首先讨论函数的单调性，然后结合函数在关键点处的函数值确定实数a的取值范围即可．【详解】，由已知，得，经检验当时，满足题意，故．由可知，，当时，，递增；当时，，递减；当时，，递增；因此，极大值为，极小值为，又由得或，由得或，故的最大值为4．【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，再者对函数求导后如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。
2019年山西省太原市高三上学期期末考试数学(文)试题(有答案)
太原市第一学期高三年级期末考试数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,1,|12A B x x ==-≤≤，则A B =A. {}0,1B. {}1,0,1-C. []1,1-D.{}12.设复数21i z i=+，则其共轭复数为 A. 1i -- B. 1i - C. 1i -+ D.1i +3.给出下列命题：①若数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等差数列； ②若数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等比数列； ③若数列{}{},n n a b 均为等差数列，则数列{}n n a b +为等差数列；④若数列{}{},n n a b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅为等比数列A. 1B. 2C. 3D.44.设,m n 为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是A.,//m n m n αα⊥⇒⊥B. ,//m n m n αα⊥⊥⇒C. //,////m n m n αα⇒D. //,m n m n αα⊥⇒⊥5.已知sin αα=，则tan 2α=A. 3B. 3- D.6.执行如图所示的程序框图，输入1,5x n =-=，则输出s =A. -2B. -3C. 4D.37.如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图可能是8.将函数()2cos sin f x x x x =+的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原的2倍，再沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的一条对称轴是 A. 6x π=- B. 4x π=- C.3x π= D.2x π=9.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，则AF =A. 1142AC BD +B. 1124AC BD + C. 1223AC BD + D. 2133AC BD + 10.甲、乙两位同学约定周日早上800—830在学校门口见面，已知他们到达学校的时间是随机的，则甲要等乙至少10分钟才能见面的概率为A. 23B. 13C. 29D. 7911.如图，正方体1111ABCD A B C D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是A. 56πB. 34πC. 23πD. 35π 12.已知(),01,0x x e ax x f x ax x e⎧+>⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()f x 有四个零点，则实数a 的取值范围是 A. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B. (),e -∞- C. (),e +∞ D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.数据0.7,1,0.8,0.9,1.1的方差是 .14.已知向量()()1,1,1,2a b =-=，则b a -与2a b +的夹角为 .15.已知平面区域()33,,32233x y D x y z x y x y x y ⎧⎫⎪⎪+≥⎪⎪==-⎨⎬-≤⎪⎪⎪⎪+≤⎩⎭，若命题()00",,"x y D z m ∃∈>为假命题，则实数m 的最小值为 .16.已知数列{}n a 的前n 项和()221n n n S a n N *=-+∈，则其通项公式n a = .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知数列{}n a 是首项为1的单调递增的等比数列，且满足3455,,3a a a 成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()31log n n b a n N *-=∈，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .18.（本题满分12分）如图，已知AD 是ABC ∆内角BAC ∠的角平分线.（1）用正弦定理证明：AB DB AC DC=； （2）若120,2,1BAC AB AC ∠===，求AD 的长.19.（本题满分12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D 处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格.（1）将硬币连续投掷三次，求筹码停在C 处的概率；（2）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A 或B 或C 或D 处，则甲赢；否则，乙赢.问该约定对乙公平吗？请说明理由.20.（本题满分12分）如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，平面//ABCD 平面1111A B C D ，1//DD 平面11A B BA ,1//DD 平面11B C CB .（1）证明：11//DD BB ；（2）已知六面体1111ABCD A B C D -的棱长均为2，且1BB ⊥平面ABCD ，60,,BAD M N ∠=分别为棱1111,A B B C 的中点，求四面体D MNB -的体积.21.（本题满分12分）已知函数()()ln x x f x ax x a R e =-∈在1x =处的切线的斜率 1.k =- （1）求a 的值；（2）证明：()2.f x e<（3）若正实数,m n 满足1mn =，证明 ：()112m nm n e e +<+.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
2019届山西省太原市高三第一学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2019届山西省太原市高三第一学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，根据交集的运算运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据交集的运算规律知，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2．复数（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据复数的四则运算，即可化简，求得答案.【详解】由复数四则运算规律知，故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算的法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3．已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，根据正切函数倍角公式化简，即可求得答案.【详解】由题意，根据正切函数倍角公式知，故选B.【点睛】本题主要考查了正切的倍角公式的化简求值，其中解答中熟记正切倍角公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4．函数的大致图像为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，当时，求得，单调递增，排除A，B；当时，令，求得在单调递增，在单调递减，即可得到答案.【详解】由题意，当时，，，单调递增，排除A，B当时，，，令，在单调递增，在单调递减，选D【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中合理利用导数得到函数的单调性是解答的本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5．设，为两个的平面，，为两条不同的直线，则下列命题的假命题（）A．若，，则B．，，，则C．若，，则D．，，，则【答案】B【解析】由题意，根据线面垂直的性质，可知A是正确的；根据线面位置关系的判定，可得与可能是异面直线，所以不正确；根据面面平行的性质，可知C是正确的；根据线面垂直和面面垂直的判定，可知D是正确.【详解】由题意，对于A中，若，，根据线面垂直的性质，可知是正确的；对于B中，若，，，则与可能是平行直线，所以不正确；对于C中，若，，根据面面平行的性质，可知是正确的；对于D中，若，，，线面垂直和面面垂直的判定，可知是正确，故选B.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面、面面垂直的判定与性质，合理准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6．已知点是所在平面内一点，且满足，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，根据向量的线性运算可得，进而得到，即可求得，得到答案.【详解】由题意，如图所示，因为，所以，又因为，所以，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记平面向量的基本定理，利用向量的三角形法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．已知实数，满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，化简目标函数，转化为平面区域内点和定点产生的斜率，结合图象确定最优解，即可得到答案.【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又由，因为看成图形上的点和定点产生的斜率，结合图象知，当取点A点时，此时取得最小值，当取点B时，此时取得最大值，又由，解得，此时；由，解得，此时，所以目标函数的最小值为，最大值为，所以目标函数的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查了利用简单的线性规划求最值问题，其中对于线性规划问题可分为三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，着重考查了考生的推理与运算能力，以及数形结合思想8．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）正视图侧视图俯视图A．B．C．D．【答案】C【解析】根据给定的几何体的三视图，还原三视图可得几何体为正四面体，其中棱长为正方体面的对角线，正方体减去四个三棱锥，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图，还原三视图可得几何体为正四面体（如图所示），其中棱长为正方体面的对角线，正方体减去四个三棱锥，则该正四面体的体积为，故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图及三棱锥的体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.9．已知函数是定义在上的单调函数，则对任意都有成立，则（）A．B．C．D．【解析】由题意，设，则，得，可得，即可求解.【详解】由题意，因为在为单调函数，且，设，则，即，所以，可得或（负值舍），所以，故选A.【点睛】本题主要考查了抽象函数的函数值的计算，以及复合函数的单调性的应用问题，其中解答中合理利用换元法和函数的关系式，求得的值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10．已知数列是等差数列，，且，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用函数的性质，求得，再由等差数列的性质，得到，代入即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据等差数列的性质可知，因为，则，又由，则，所以，同理，，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及函数的性质的应用，其中解答中熟练应用得出数列的性质，得到，再函数的函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题11．已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为________【答案】40【解析】利用分层抽样的性质直接求解．【详解】某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为：20040．故答案为：40【点睛】本题考查抽取的高中生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．命题“，”是假命题，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】由题意，命题，是假命题，可得出二次函数与轴有交点，借助二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，命题，是假命题，可得出二次函数与轴有交点，又由二次函数的性质，可得即，解得或.【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求解参数问题，其中解答中根据命题为假命题，转化为二次函数的图象与轴没有公共点，再借助二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.13．在三棱锥中，顶点在底面的投影是的外心，，则面与底面所成的二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】由题意，取的中点为，证得是等边三角形，求得，又面与底面所成的二面角的大小为，所以角，进而求得球的半径，即可求解.【详解】由题意，取的中点为，由平面可得，又是的外心，可得，所以平面，所以，所以，又可得是等边三角形，所以，又面与底面所成的二面角的大小为，所以角，过的中心（为三等分点）做一条垂线与交于点，则为外接球球心，所以，所以外接球表面积为.【点睛】本题主要考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的计算问题，其中解中正确认识几何体的结构特征，熟练应用线面位置关系的判定和性质，确定球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于中档试题.14．已知定义在上的可导函数，对于任意实数都有，且当时，都有，若，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】令，则，得在上单调递减，且关于对称，在上也单调递减，又由，可得，则，即，即可求解.【详解】由题意，知，可得关于对称，令，则，因为，可得在上单调递减，且关于对称，则在上也单调递减，又因为，可得，则，即，解得，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数性质的综合应用，以及不等关系式的求解，其中解答中令函数，利用导数求得函数的单调性和对称性质求解不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题15．已知等比数列的公比，，是，的等差中项，数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，根据等比数列的性质和通项公式，求得等比数列的的值，即可求得数列的通项公式；（2）由数列的前项和为，利用数列与的关系，即可求解.【详解】（1）由题可知，，又，即，或（舍去）.（2）数列的前项和为，当时，当时，.，经检验，满足上式，.【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.16．已知，，分别是的内角，，所对的边，.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，由正弦定理，得，化简得，即可求解.（2）由（1）及余弦定理和基本不等式，求得，再利用面积公式，即可求解.【详解】（1）在中，由正弦定理，可得，又，，即，整理得：，又，.（2）由（1）及余弦定理得：，即，又，当且仅当时等号成立，，解得：，，（当且仅当时等号成立），故面积的最大值为.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．17．已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由题意，求得，令，分类讨论，即可求得函数的单调区间；（2）由（1）根据函数的单调性，求得函数的最值，令，得到，即可求解.【详解】（1）定义域，，令，，当时，，，则在单调递增，当时，，，，，则在单调递增；，，，则在单调递减.综上述：当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减（2）由（1）可知，当时，在单调递增，又，不可能满足题意，舍去.当时，在单调递增，在单调递减.若恒成立，则，令，则，解得，即，故，综上述：.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.18．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与有且只有一个公共点.（1）求实数的值；（2）已知点的直角坐标为，若曲线与：（为参数）相交于，两个不同点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）求得曲线的平面直角坐标方程和曲线的平面直角坐标方程，再根据直线与圆的位置关系，即可求解.（2）把直线的参数方程代入曲线的方程，根据参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）由曲线的参数方程，消去参数，得曲线的平面直角坐标方程为，根据极坐标与直角坐标的互化公式，得曲线的平面直角坐标方程为，曲线与有且只有一个公共点，即与相切，有，或(舍)，综上.（2），：，曲线的参数方程为（为参数），知曲线是过定点的直线，把直线的参数方程代入曲线得，所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数的几何意义的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．已知函数，（1）当时，解不等式；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，得，分类讨论，即可求解.（2）由题意对任意的恒成立，转化为对任意的恒成立，借助函数的图象，即可求解.【详解】（1）当时，，所以，即求不同区间对应解集，所以的解集为.（2）由题意，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，所以函数的图象应该恒在的下方，数形结合可得.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2018-2019学年山西省太原市高三(上)期末数学试卷(文科)
2018-2019学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共50分）1．（3分）（2018秋•太原期末）已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}，则A ∩B＝（）A．{0，1}B．{1}C．{0，1，2}D．{0，2}2．（3分）（2011•永春县一模）复数＝（）A．1﹣i B ．C．i D．﹣i3．（3分）（2018秋•太原期末）已知tanα＝2，则tan2α的值为（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．4．（3分）（2019•浙江模拟）函数函数的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．5．（3分）（2018秋•太原期末）设α，β为两个不同平面，m，n为两条不同的直线，下列命题是假命题的是（）A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若α∥β，m⊂α，则m∥βD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β第1页（共33页）6．（3分）（2018秋•太原期末）已知点D是ABC 所在平面内一点，且满足，若，则x﹣y＝（）A ．﹣B．1C ．﹣D ．7．（3分）（2018秋•太原期末）将函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递增区间是（）A．[﹣，0]B．[0，]C ．D ．8．（3分）（2019•日照一模）赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF＝2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A ．B ．C ．D ．9．（3分）（2018秋•太原期末）已知实数x，y 满足，则实数的取值范围为（）第2页（共33页）A．[，5]B ．C ．D ．10．（3分）（2018秋•太原期末）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．8B．4或C ．D ．11．（3分）（2018秋•太原期末）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则对任意（0，+∞）都有＝﹣1成立，则f（1）＝（）A．﹣1B．﹣4C．﹣3D．012．（3分）（2018秋•太原期末）已知数列{a n}为等差数列，（{a n}≠1，n∈N*），，若，则f（a1）×f（a2）×…×f（a2019）＝（）A．﹣22019 B．22020C．﹣2 2017D．22018二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共20分）13．（3分）（2018秋•太原期末）已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为第3页（共33页）14．（3分）（2018秋•太原期末）命题“∀x∈R，x2﹣2ax+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是15．（3分）（2018秋•太原期末）在三棱锥PABC﹣中，顶点P在底面ABC的投影G是△ABC的外心，PB＝BC＝2，则面PBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为16．（3分）（2018秋•太原期末）已知定义在R上的可导函数f（x），对于任意实数x都有f（x）+f（﹣x）＝2，且当x∈（﹣∞，0]时，都有f'（x）＜1，若f（m）＞m+1，则实数m的取值范围为．三、解答题17．（2018秋•太原期末）已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1a2a3＝64，a2+1是a1，a3的等差中项，数列{a n+b n}的前n项和为S n＝n2+n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式．第4页（共33页）18．（2018秋•太原期末）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C 所对的边，．（1）求角B的大小；（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．19．（12分）（2018秋•太原期末）为响应低碳绿色出行，某市推出‘’新能源分时租赁汽车‘’，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费得标准由以下两部分组成：（1）根据行驶里程数按1元/公里计费；（2）当租车时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费；当租车时间超过40分钟时，超出的部分按0.20元/分钟计费；（3）租车时间不足1分钟，按1分钟计算．已知张先生从家里到公司的距离为15公里，每天租用该款汽车上下班各一次，且每次租车时间t∈[20，60]（单位：分钟）．由于堵车，红绿灯等因素，每次路上租车时间t是一个随即变量．现统计了他50次路上租车时间，整理后得到下表：租车时间t（分[20，30]（30，40]（40，50]（50，60]钟）频数2182010将上述租车时间的频率视为概率．（1）写出张先生一次租车费用y（元）与租车时间t（分钟）的函数关系式；（2）公司规定，员工上下班可以免费乘坐公司接送车，若不乘坐公司接送车的每月（按22天计算）给800元车补．从经济收入的角度分析，张先生上下班应该选择公司接送车，还是租用该款新能源汽车？第5页（共33页）20．（2019•袁州区校级模拟）如图（1）在△ABC中，AB＝3，DE＝2，AD＝2，∠BAC ＝90°，DE∥AB，将△CDE沿DE折成如图（2）中△C1DE的位置，点P在C1B上，且C1P＝2PB．（1）求证：PE∥平面ADC1；（2）若∠ADC1＝60°，求三棱锥P﹣ADC1的体积第6页（共33页）21．（12分）（2018秋•太原期末）已知函数f（x）＝ax2+（a+2）x+lnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．第7页（共33页）[选做题]22．（2018秋•太原期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直曲线C1的参数方程为（t为参数a≠0），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ+＝0，曲线C1，C2有且只有一个公共点．（1）求a的值（2）设点M的直角坐标为（a，0），若曲线C1与C3：（θ为参数）的交点为A，B两个不同的点，求|MA|•|MB|的值[选修4-5：不等式选讲]23．（2018秋•太原期末）已知函数f（x）＝|x﹣m|+|2x﹣1|，x∈R．（1）当m＝1时，解不等式f（x）＜2；（2）若不等式f（x）＜3﹣x对任意的x∈[0，1]恒成立，求实数m的取值范围．第8页（共33页）2018-2019学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共50分）1．（3分）（2018秋•太原期末）已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}，则A ∩B＝（）A．{0，1}B．{1}C．{0，1，2}D．{0，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{0，1}．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（3分）（2011•永春县一模）复数＝（）A．1﹣i B ．C．i D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．第9页（共33页）【分析】本题是一个复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行复数的乘法运算，得到最简形式．【解答】解：复数＝＝＝＝﹣i故选：D．【点评】本题考查复数的除法运算，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．3．（3分）（2018秋•太原期末）已知tanα＝2，则tan2α的值为（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．【考点】GS：二倍角的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由二倍角的正切公式代入计算可得．【解答】解：∵tanα＝2，∴由二倍角的正切公式可得tan2α＝＝﹣故选：B．【点评】本题考查二倍角的正切公式，属基础题．4．（3分）（2019•浙江模拟）函数函数的大致图象为（）A ．B ．第10页（共33页）C ．D ．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】38：对应思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】利用x＞0时，函数的单调性，以及x＜0时，函数值的符号进行排除即可．【解答】解：当x＞0时，f（x）＝x ﹣为增函数，排除A，B，当x＜0时，f（x）＝|x|﹣＞0恒成立，排除C，故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用单调性和函数值的符号进行排除是解决本题的关键．5．（3分）（2018秋•太原期末）设α，β为两个不同平面，m，n为两条不同的直线，下列命题是假命题的是（）A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若α∥β，m⊂α，则m∥βD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离．【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得m⊥n；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，由面面平行的性质定理得m∥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由α，β为两个不同平面，m，n为两条不同的直线，知：第11页（共33页）在A中，若m⊥α，n∥α，则由线面垂直的性质定理得m⊥n，故A正确；在B中，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故C正确；在D中，若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，是中档题．6．（3分）（2018秋•太原期末）已知点D是ABC 所在平面内一点，且满足，若，则x﹣y＝（）A ．﹣B．1C ．﹣D ．【考点】9H：平面向量的基本定理．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】利用向量加减法即所给数乘关系，把所给等式转化为向量的关系式，可解x，y．【解答】解：∵，∴A，B，D共线，如图，且，∴，∵，第12页（共33页）∴，∴，∴，x ＝﹣，∴x﹣y ＝﹣，故选：C．【点评】此题考查了平面向量基本定理，向量加减法，难度适中．7．（3分）（2018秋•太原期末）将函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递增区间是（）A．[﹣，0]B．[0，]C ．D ．【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】38：对应思想；4O：定义法；57：三角函数的图象与性质．【分析】利用辅助角公式先化简f（x），然后根据三角函数的图象平移关系求出g（x），结合函数的单调性进行求解即可．【解答】解：＝sin2x +＝sin（2x +）+，第13页（共33页）将f（x ）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，即g（x）＝sin[2（x +）+]+＝sin（2x +）+＝cos2x +，由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ]，k∈Z，则等k＝0时，函数的单调递增区间为[﹣，0]，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式以及辅助角公式求出f（x）和g（x）的解析式是解决本题的关键．8．（3分）（2019•日照一模）赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF＝2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A ．B ．C ．D ．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计．第14页（共33页）【分析】设DF＝2AF＝2，由余弦定理求出AC ＝，由几何概型得：在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是p ＝．【解答】解：设DF＝2AF＝2，则AC ＝＝，∴S△DEF ＝＝，＝∴由几何概型得：在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是：p ＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．（3分）（2018秋•太原期末）已知实数x，y 满足，则实数的取值范围为（）A．[，5]B ．C ．D ．【考点】7C：简单线性规划．第15页（共33页）【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，则转化变形，再由的几何意义，即可行域上的动点（x，y）与定点P（﹣1，1）连线的斜率求解．【解答】解：由实数x，y 满足，作出可行域如图，∵＝1+，表示可行域上的动点（x，y）与定点D（﹣1，1），连线的斜率加1，A（1，4），B（3，2），z的最大值为AD 的斜率，最小值为BD 的斜率．则实数的取值范围为：[，]．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．10．（3分）（2018秋•太原期末）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）第16页（共33页）A．8B．4或C ．D ．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】画出几何体的直观图，利用正方体的棱长，转化求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：两种情况，是正方体的一部分，正方体的棱长为2，几何体的体积为：23﹣4××＝．或23﹣3××＝4．故选：B．第17页（共33页）【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，考查空间想象能力以及计算能力．11．（3分）（2018秋•太原期末）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则对任意（0，+∞）都有＝﹣1成立，则f（1）＝（）A．﹣1B．﹣4C．﹣3D．0【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，由函数单调性的性质分析可得f（x）+为常数，设f（x）+＝t，（t＞0），则f（x ）＝﹣+t，结合题意可得f（t ）＝﹣+t＝﹣1，解可得t的值，即可得函数f（x）的解析式，将x＝1代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意（0，+∞）都有＝﹣1成立，则有f（x）+为常数，设f（x）+＝t，（t＞0），则f（x ）＝﹣+t，又由＝﹣1，则f（t ）＝﹣+t＝﹣1，解可得t＝1或﹣2（舍），则f（x ）＝﹣+1，则f（1）＝﹣1；第18页（共33页）故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析f（x）的解析式，属于综合题．12．（3分）（2018秋•太原期末）已知数列{a n}为等差数列，（{a n}≠1，n∈N*），，若，则f（a1）×f（a2）×…×f（a2019）＝（）A．﹣22019 B．22020C．﹣2 2017D．22018【考点】8I：数列与函数的综合．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】利用函数的关系，通过等差数列的关系，转化求解即可．【解答】解：因为，则a1+a2019＝1，＝，所以f（x）f（1﹣x ）＝＝4，所以f（a1）f（a2019）＝4，同理f（a2）f（a2018）＝4，f（a2019）＝＝﹣2，所以f（a1）×f（a2）×…×f（a2019）＝﹣22019．故选：A．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共20分）13．（3分）（2018秋•太原期末）已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为40第19页（共33页）【考点】B3：分层抽样方法．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】利用分层抽样的性质直接求解．【解答】解：某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为：200×＝40．故答案为：40【点评】本题考查抽取的高中生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（3分）（2018秋•太原期末）命题“∀x∈R，x2﹣2ax+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】11：计算题；49：综合法；51：函数的性质及应用；5L：简易逻辑．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，通过特称命题是假命题，求出a的范围．第20页（共33页）【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2ax+1＞0”是假命题，∴原命题的否定，“存在实数x，使x2﹣2ax+1≤0”为真命题，∴△＝4a2﹣4≥0，∴a≤﹣1或a≥1．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个假命题，得到判别式的情况．15．（3分）（2018秋•太原期末）在三棱锥PABC﹣中，顶点P在底面ABC的投影G是△ABC的外心，PB＝BC＝2，则面PBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°，则三棱锥P﹣ABC 的外接球的表面积为【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；21：阅读型；35：转化思想；4A：数学模型法；5U：球．【分析】作出图形，取BC的中点E，证明BC垂直平面PGE，得出BC⊥PE，将题干中的二面角转化为其平面角，并计算出三棱锥P﹣ABC的高PG，然后利用公式可得出外接球的半径R，最后利用球体表面积公式可得出答案．【解答】解：如下图所示，第21页（共33页）由于G为△ABC的外心，则GA＝GB＝GC，由题意知，PG⊥平面ABC，由勾股定理易得PA＝PB＝PC，取BC的中点E，由于G为△ABC的外心，则GE⊥BC ，且，∵PG⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则BC⊥PG，又GE⊥BC，PG∩GE＝G，∴BC⊥平面PGE，∵PE⊂平面PGE，∴PE⊥BC ，所以，，且平面PBC与平面ABC所成的二面角的平面角为∠PEG＝60°，∴，因此，三棱锥的外接球的直径为，所以，，因此，该三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：．【点评】本题考查球体表面积的计算，考查二面角的定义，同时也考查了计算能力与推理能力，属于中等题．16．（3分）（2018秋•太原期末）已知定义在R上的可导函数f（x），对于任意实数x都有f（x）+f（﹣x）＝2，且当x∈（﹣∞，0]时，都有f'（x）＜1，若f（m）＞m+1，则实数m的取值范围为（﹣∞，0）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】令g（x）＝f（x）﹣（x+1）．可得g（x）的图象关于（0，0）对称，g（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，从而可得当f（m）＞m+1，实数m的取值范围．【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣（x+1）．第22页（共33页）g（﹣x）+g（x）＝f（x）+f（﹣x）﹣2＝0．∴g（x）的图象关于（0，0）对称，g′（x）＝f′（x）﹣1＜0，（x＜0），即g（x）在（﹣∞，0）单调递减，∴g（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，由f（0）+f（﹣0）＝2，可得f（0）＝1而g（0）＝f（0）﹣（0+1）＝0，∴g（x）＞0⇒x＜0∴当f（m）＞m+1，则实数m的取值范围为（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）【点评】本题考查了函数的单调性、对称性的应用．属于中档题．三、解答题17．（2018秋•太原期末）已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1a2a3＝64，a2+1是a1，a3的等差中项，数列{a n+b n}的前n项和为S n＝n2+n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】33：函数思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知结合等差数列与等比数列的性质求得a2与等比数列的公比，则数列{a n}的通项公式可求；（2）由数列{a n+b n}的前n项和求得a n+b n，则数列{b n}的通项公式可求．【解答】解：（1）∵数列{a n}为等比数列，且a1a2a3＝64，∴，即a2＝4，第23页（共33页）又a2+1是a1，a3的等差中项，∴，即4q2﹣10q+4＝0，解得q＝2或q ＝（舍）．∴；（2）∵数列{a n+b n}的前n项和为S n＝n2+n，∴当n＝1时，S1＝a1+b1＝2．当n≥2时，．∴a n+b n＝S n﹣S n﹣1＝2n，经检验，n＝1满足上式，∴．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列与等比数列的通项公式，是中档题．18．（2018秋•太原期末）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C 所对的边，．（1）求角B的大小；（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（1）由已知及正弦定理可得sin B＝cos（B ﹣），整理可得tan B ＝，结合范围B∈（0，π），可求B的值．第24页（共33页）（2）由（1）及余弦定理，基本不等式解得ac≤4，根据三角形的面积公式可求面积的最大值．【解答】解：（1）∵在△ABC 中，由正弦定理，可得b sin A＝a sin B，又．∴a sin B＝a cos（B ﹣），即：sin B＝cos（B ﹣），整理可得：tan B ＝，∵B∈（0，π），∴B ＝．（2）由（1）及余弦定理可得：4＝a2+c2﹣2ac cos，可得：ac＝a2+c2﹣4，又a2+c2≥2ac，当且仅当a＝c时等号成立，∴ac≥2ac﹣4，解得ac≤4，∴S△ABC ＝ac sin B ≤＝．（当且仅当a＝c时等号成立）．故△ABC 面积的最大值为．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19．（12分）（2018秋•太原期末）为响应低碳绿色出行，某市推出‘’新能源分时租赁汽车‘’，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费得标准由以下两部分组成：（1）根据行驶里程数按1元/公里计费；（2）当租车时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费；当租车时间超过40分钟时，超出的部分按0.20元/分钟计费；（3）租车时间不足1分钟，按1分钟计算．已知张先生从家里到公司的距离为15公里，每天租用该款汽车第25页（共33页）上下班各一次，且每次租车时间t∈[20，60]（单位：分钟）．由于堵车，红绿灯等因素，每次路上租车时间t是一个随即变量．现统计了他50次路上租车时间，整理后得到下表：[20，30]（30，40]（40，50]（50，60]租车时间t（分钟）频数2182010将上述租车时间的频率视为概率．（1）写出张先生一次租车费用y（元）与租车时间t（分钟）的函数关系式；（2）公司规定，员工上下班可以免费乘坐公司接送车，若不乘坐公司接送车的每月（按22天计算）给800元车补．从经济收入的角度分析，张先生上下班应该选择公司接送车，还是租用该款新能源汽车？【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据题意当20≤t≤40时，y＝0.12t+15，当40＜t≤60时，y＝0.2t+11.8，可得函数的解析式；（2）先求出平均用车时间，即可求出判断．【解答】解：（1）当20≤t≤40时，y＝0.12t+15，当40＜t≤60时，y＝0.12×40+0.20×（t﹣20）+15＝0.2t+11.8，于是y＝，（2）张先生租用一次租用新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间t＝25×+35×+45×+55×＝42.6，第26页（共33页）每次上下班租车的费用约为0.2×42.6+11.8＝20.32（元），一个月山下班租车费用约为20.32×22×2＝894.08＞800，估计张先生每月的车补不够上下班租用新能源汽车租赁汽车用，所以应选择公司接送车．【点评】本题考查了函数模型的应用，掌握分段函数的应用，属于中档题20．（2019•袁州区校级模拟）如图（1）在△ABC中，AB＝3，DE＝2，AD＝2，∠BAC ＝90°，DE∥AB，将△CDE沿DE折成如图（2）中△C1DE的位置，点P在C1B上，且C1P＝2PB．（1）求证：PE∥平面ADC1；（2）若∠ADC1＝60°，求三棱锥P﹣ADC1的体积【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．【专题】14：证明题；31：数形结合；45：等体积法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）在AC1上取F，使C1F＝2FA，连结DF，PF，推导出四边形FPED为平行四边形，从而FD∥PE，由此能证明PE∥平面ADC1．（2）三棱锥P﹣ADC1的体积＝，由此能求出结果．【解答】证明：（1）在AC1上取F，使C1F＝2FA，连结DF，PF，第27页（共33页）∵在△C1AB中，C1P＝2PB，C1F＝2FA，∴FP∥AB，FP ＝，∵在△ABC中，AB＝3，DE＝2，DE∥AB，∴FP∥DE，FP＝DE，∴四边形FPED为平行四边形，∴FD∥PE，∵FD⊂平面ADC1，PE⊄平面ADC1，∴PE∥平面ADC1．解：（2）∵PE∥平面ADC1，∴，在△ABC中，∠BAC＝90°，DE∥AB，∴DE⊥C1D，DE⊥AD，∴DE⊥平面AC1D，∵＝，AD＝2，∴C1D＝CD＝4，∵∠ADC1＝60°，∴C1A⊥AD，∴＝2，∴三棱锥P﹣ADC1的体积：＝＝＝．第28页（共33页）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．（12分）（2018秋•太原期末）已知函数f（x）＝ax2+（a+2）x+lnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）由（1）可知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，不符合题意；当a＜0时，f（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减．只需f （﹣）＝﹣﹣1+ln （﹣）≤0即可，【解答】解：（1）∵函数f（x）＝lnx+ax2+（2+a）x（a∈R）．∴＝＝，x＞0，当a＝0时，f′（x ）＝＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．当a＜0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x ＜﹣，令f′（x）＜0，解得：x ＞﹣，故f（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减．第29页（共33页）（2）由（1）可知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，而f（1）＝2a+2＞0，不符合题意；当a＜0时，f（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减．只需f （﹣）＝﹣﹣1+ln （﹣）≤0即可，令﹣，则h（t）＝t﹣1+lnt单调递增，而h（1）＝0，∴t∈（0，1]，即，∴a≤﹣1．综上，a≤﹣1．【点评】本题考查利用导数研究函数的恒成立的问题求，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度．[选做题]22．（2018秋•太原期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直曲线C1的参数方程为（t为参数a≠0），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ+＝0，曲线C1，C2有且只有一个公共点．（1）求a的值（2）设点M的直角坐标为（a，0），若曲线C1与C3：（θ为参数）的交点为A，B两个不同的点，求|MA|•|MB|的值【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．第30页（共33页）【分析】（1）求出曲线C1的直角坐标方程为y ＝（x﹣a），曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝，由曲线C1，C2有且只有一个公共点，得曲线C1，C2相切，由此能求出a．（2）求出M（2，0），C3的普通方程为：＝1，求出曲线C1的参数方程，且曲线C1是过M（2，0）的直线，把C1的参数方程代入曲线C3的普通方程，得：7t2+2t﹣5＝0，由此能求出|MA|•|MB|．【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（t为参数a≠0），∴曲线C1的直角坐标方程为y ＝（x﹣a），∵曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ+＝0，∴曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝，∵曲线C1，C2有且只有一个公共点，∴曲线C1，C2相切，∴圆心C2（1，0）到直线C1的距离d ＝＝，解得a＝2或a＝0（舍）．综上，a＝2．（2）由（1）得M（2，0），∵C3：（θ为参数），∴C3的普通方程为：＝1，曲线C1的参数方程为，（t为参数），第31页（共33页）曲线C1是过M（2，0）的直线，把C1的参数方程代入曲线C3的普通方程，得：7t2+2t﹣5＝0，∴|MA|•|MB|＝|t1t2|＝．【点评】本题考查实数值的求法，考查两线段乘积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2018秋•太原期末）已知函数f（x）＝|x﹣m|+|2x﹣1|，x∈R．（1）当m＝1时，解不等式f（x）＜2；（2）若不等式f（x）＜3﹣x对任意的x∈[0，1]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】（1）去绝对值后分区间解不等式再相并；（2）转化为|x﹣m|＜3﹣x﹣|2x﹣1|对任意的x∈[0，1]恒成立后再构造函数，利用函数的图象可得．【解答】解：（1）当m＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣1|，所以f（x ）＝，∴或或，解得0＜x ＜第32页（共33页）所以不等式f（x）＜2的解集为{x |0}（2）由题意f（x）＜3﹣x对任意的x∈[0，1]恒成立，即|x﹣m|＜3﹣x﹣|2x﹣1|对任意的x∈[0，1]恒成立，令g（x）＝3﹣x﹣|2x﹣1|＝，所以函数y＝|x﹣m|的图象应该恒在g（x）的下方，数形结合可得0＜m＜2【点评】本题考查了函数恒成立问题，属难题．第33页（共33页）。
山西省太原市2019届高三上学期期末考试数学(理)试题(精品解析)
于基础题． 赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元 222 年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方 图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方 形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间 的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设������������ = 2������������，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取 自小等边三角形的概率是( )
恒成立，排除 C，
故选：D． 利用������ > 0时，函数的单调性，以及������ < 0时，函数值的符号进行排除即可． 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用单调性和函数值的符号进行排除是解决本题的关键． 设������，������为两个不同平面，m，n 为两条不同的直线，给出以下命题 (1)若������ ⊥ ������，������//������，则������ ⊥ ������；(2)若������//������，������ ⊂ ������，则������//������； (3)若������ ⊥ ������，������ ⊂ ������，������ ⊂ ������，则������ ⊥ ������；(4)若������ ⊥ ������，������ ⊥ ������，������//������，则������ ⊥ ������； 则下列真命题个数为( )
2018-2019 学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合������ = {������ ∈ ������|0 ≤ ������ ≤ 3}，������ = {������ ∈ ������| ‒ 2 < ������ < 2}，则������ ∩ ������ = ( )
山西省太原市2019届高三第一学期期末考试数学(文科)试题(精品解析)
太原市2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，根据交集的运算运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据交集的运算规律知，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2.复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的四则运算，即可化简，求得答案.【详解】由复数四则运算规律知，故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算的法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，根据正切函数倍角公式化简，即可求得答案.【详解】由题意，根据正切函数倍角公式知，故选B.【点睛】本题主要考查了正切的倍角公式的化简求值，其中解答中熟记正切倍角公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4.函数的大致图像为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，当时，求得，单调递增，排除A，B；当时，令，求得在单调递增，在单调递减，即可得到答案.【详解】由题意，当时，，，单调递增，排除A，B当时，，，令，在单调递增，在单调递减，选D【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中合理利用导数得到函数的单调性是解答的本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.设，为两个的平面，，为两条不同的直线，则下列命题的假命题（）A. 若，，则B. ，，，则C. 若，，则D. ，，，则【答案】B【解析】【分析】由题意，根据线面垂直的性质，可知A是正确的；根据线面位置关系的判定，可得与可能是异面直线，所以不正确；根据面面平行的性质，可知C是正确的；根据线面垂直和面面垂直的判定，可知D是正确.【详解】由题意，对于A中，若，，根据线面垂直的性质，可知是正确的；对于B中，若，，，则与可能是平行直线，所以不正确；对于C中，若，，根据面面平行的性质，可知是正确的；对于D中，若，，，线面垂直和面面垂直的判定，可知是正确，故选B.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面、面面垂直的判定与性质，合理准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6.已知点是所在平面内一点，且满足，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，根据向量的线性运算可得，进而得到，即可求得，得到答案.【详解】由题意，如图所示，因为，所以，又因为，所以，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记平面向量的基本定理，利用向量的三角形法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题题意，化简三角函数的解析式为，根据三函数的图象变换，求得的解析式，利用三角函数的图象与性质，即可求解，得到答案.【详解】由题意可得，把的图象向左平移个单位，可得，由，解得，即函数的单调递增区间为，令时，函数的单调递增区间为，故选A【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，得出函数的解析式，结合图象求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题.8.赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF 2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，设,求得，由面积比的几何概型，可知在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率，即可求解.【详解】由题意可得，设,可得,在中，由余弦定理得，所以，，由面积比的几何概型，可知在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是，故选B.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型，以及余弦定理的应用，其中解答中认真审题、把在大等边三角形中随机取一点，取自小等边三角形的概率转化为面积比的几何概型是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知实数，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，化简目标函数，转化为平面区域内点和定点产生的斜率，结合图象确定最优解，即可得到答案.【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又由，因为看成图形上的点和定点产生的斜率，结合图象知，当取点A点时，此时取得最小值，当取点B时，此时取得最大值，又由，解得，此时；由，解得，此时，所以目标函数的最小值为，最大值为，所以目标函数的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查了利用简单的线性规划求最值问题，其中对于线性规划问题可分为三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，着重考查了考生的推理与运算能力，以及数形结合思想的应用.10.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）正视图侧视图俯视图A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定的几何体的三视图，还原三视图可得几何体为正四面体，其中棱长为正方体面的对角线，正方体减去四个三棱锥，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图，还原三视图可得几何体为正四面体（如图所示），其中棱长为正方体面的对角线，正方体减去四个三棱锥，则该正四面体的体积为，故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图及三棱锥的体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.11.已知函数是定义在上的单调函数，则对任意都有成立，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，设，则，得，可得，即可求解.【详解】由题意，因为在为单调函数，且，设，则，即，所以，可得或（负值舍），所以，故选A.【点睛】本题主要考查了抽象函数的函数值的计算，以及复合函数的单调性的应用问题，其中解答中合理利用换元法和函数的关系式，求得的值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 12.已知数列是等差数列，，且，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的性质，求得，再由等差数列的性质，得到，代入即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据等差数列的性质可知，因为，则，又由，则，所以，同理，，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及函数的性质的应用，其中解答中熟练应用得出数列的性质，得到，再函数的函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为________【答案】40【解析】【分析】利用分层抽样的性质直接求解．【详解】某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为：20040．故答案为：40【点睛】本题考查抽取的高中生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.命题“，”是假命题，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】由题意，命题，是假命题，可得出二次函数与轴有交点，借助二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，命题，是假命题，可得出二次函数与轴有交点，又由二次函数的性质，可得即，解得或.【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求解参数问题，其中解答中根据命题为假命题，转化为二次函数的图象与轴没有公共点，再借助二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.15.在三棱锥中，顶点在底面的投影是的外心，，则面与底面所成的二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】【分析】由题意，取的中点为，证得是等边三角形，求得，又面与底面所成的二面角的大小为，所以角，进而求得球的半径，即可求解.【详解】由题意，取的中点为，由平面可得，又是的外心，可得，所以平面，所以，所以，又可得是等边三角形，所以，又面与底面所成的二面角的大小为，所以角，过的中心（为三等分点）做一条垂线与交于点，则为外接球球心，所以，所以外接球表面积为.【点睛】本题主要考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的计算问题，其中解中正确认识几何体的结构特征，熟练应用线面位置关系的判定和性质，确定球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于中档试题.16.已知定义在上的可导函数，对于任意实数都有，且当时，都有，若，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】令，则，得在上单调递减，且关于对称，在上也单调递减，又由，可得，则，即，即可求解.【详解】由题意，知，可得关于对称，令，则，因为，可得在上单调递减，且关于对称，则在上也单调递减，又因为，可得，则，即，解得，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数性质的综合应用，以及不等关系式的求解，其中解答中令函数，利用导数求得函数的单调性和对称性质求解不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等比数列的公比，，是，的等差中项，数列的前项和为. （1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意，根据等比数列的性质和通项公式，求得等比数列的的值，即可求得数列的通项公式；（2）由数列的前项和为，利用数列与的关系，即可求解.【详解】（1）由题可知，，又，即，或（舍去）.（2）数列的前项和为，当时，当时，.，经检验，满足上式，.【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.18.已知，，分别是的内角，，所对的边，.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理，得，化简得，即可求解.（2）由（1）及余弦定理和基本不等式，求得，再利用面积公式，即可求解.【详解】（1）在中，由正弦定理，可得，又，，即，整理得：，又，.（2）由（1）及余弦定理得：，即，又，当且仅当时等号成立，，解得：，，（当且仅当时等号成立），故面积的最大值为.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．19.已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由题意，求得，令，分类讨论，即可求得函数的单调区间；（2）由（1）根据函数的单调性，求得函数的最值，令，得到，即可求解.【详解】（1）定义域，，令，，当时，，，则在单调递增，当时，，，，，则在单调递增；，，，则在单调递减.综上述：当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减（2）由（1）可知，当时，在单调递增，又，不可能满足题意，舍去.当时，在单调递增，在单调递减.若恒成立，则，令，则，解得，即，故，综上述：.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与有且只有一个公共点.（1）求实数的值；（2）已知点的直角坐标为，若曲线与：（为参数）相交于，两个不同点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得曲线的平面直角坐标方程和曲线的平面直角坐标方程，再根据直线与圆的位置关系，即可求解. （2）把直线的参数方程代入曲线的方程，根据参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）由曲线的参数方程，消去参数，得曲线的平面直角坐标方程为，根据极坐标与直角坐标的互化公式，得曲线的平面直角坐标方程为，曲线与有且只有一个公共点，即与相切，有，或(舍)，综上.（2），：，曲线的参数方程为（为参数），知曲线是过定点的直线，把直线的参数方程代入曲线得，所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数的几何意义的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知函数，（1）当时，解不等式；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）当时，得，分类讨论，即可求解.（2）由题意对任意的恒成立，转化为对任意的恒成立，借助函数的图象，即可求解.【详解】（1）当时，，所以，即求不同区间对应解集，所以的解集为.（2）由题意，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，所以函数的图象应该恒在的下方，数形结合可得.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
山西省太原市2019届高三第一学期期末考试数学(文科)试题(解析版)
太原市2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，根据交集的运算运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据交集的运算规律知，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2.复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的四则运算，即可化简，求得答案.【详解】由复数四则运算规律知，故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算的法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，根据正切函数倍角公式化简，即可求得答案.【详解】由题意，根据正切函数倍角公式知，故选B.【点睛】本题主要考查了正切的倍角公式的化简求值，其中解答中熟记正切倍角公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4.函数的大致图像为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，当时，求得，单调递增，排除A，B；当时，令，求得在单调递增，在单调递减，即可得到答案.【详解】由题意，当时，，，单调递增，排除A，B当时，，，令，在单调递增，在单调递减，选D【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中合理利用导数得到函数的单调性是解答的本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.设，为两个的平面，，为两条不同的直线，则下列命题的假命题（）A. 若，，则B. ，，，则C. 若，，则D. ，，，则【答案】B【解析】【分析】由题意，根据线面垂直的性质，可知A是正确的；根据线面位置关系的判定，可得与可能是异面直线，所以不正确；根据面面平行的性质，可知C是正确的；根据线面垂直和面面垂直的判定，可知D是正确.【详解】由题意，对于A中，若，，根据线面垂直的性质，可知是正确的；对于B中，若，，，则与可能是平行直线，所以不正确；对于C中，若，，根据面面平行的性质，可知是正确的；对于D中，若，，，线面垂直和面面垂直的判定，可知是正确，故选B.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面、面面垂直的判定与性质，合理准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6.已知点是所在平面内一点，且满足，若，则（ ）A.B. C.D.【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据向量的线性运算可得，进而得到，即可求得，得到答案.【详解】由题意，如图所示，因为，所以， 又因为，所以，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记平面向量的基本定理，利用向量的三角形法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由题题意，化简三角函数的解析式为，根据三函数的图象变换，求得的解析式，利用三角函数的图象与性质，即可求解，得到答案. 【详解】由题意可得，把的图象向左平移个单位，可得，由，解得，即函数的单调递增区间为，令时，函数的单调递增区间为，故选A【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，得出函数的解析式，结合图象求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题.8.赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF 2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，设,求得，由面积比的几何概型，可知在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率，即可求解.【详解】由题意可得，设,可得,在中，由余弦定理得，所以，，由面积比的几何概型，可知在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是，故选B.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型，以及余弦定理的应用，其中解答中认真审题、把在大等边三角形中随机取一点，取自小等边三角形的概率转化为面积比的几何概型是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知实数，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，化简目标函数，转化为平面区域内点和定点产生的斜率，结合图象确定最优解，即可得到答案.【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又由，因为看成图形上的点和定点产生的斜率，结合图象知，当取点A点时，此时取得最小值，当取点B时，此时取得最大值，又由，解得，此时；由，解得，此时，所以目标函数的最小值为，最大值为，所以目标函数的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查了利用简单的线性规划求最值问题，其中对于线性规划问题可分为三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，着重考查了考生的推理与运算能力，以及数形结合思想的应用.10.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）正视图 侧视图俯视图A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的几何体的三视图，还原三视图可得几何体为正四面体，其中棱长为正方体面的对角线，正方体减去四个三棱锥，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图，还原三视图可得几何体为正四面体（如图所示），其中棱长为正方体面的对角线，正方体减去四个三棱锥， 则该正四面体的体积为，故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图及三棱锥的体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解. 11.已知函数是定义在上的单调函数，则对任意都有成立，则（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 由题意，设，则，得，可得，即可求解. 【详解】由题意，因为在为单调函数，且，设，则，即，所以，可得或（负值舍），所以，故选A.【点睛】本题主要考查了抽象函数的函数值的计算，以及复合函数的单调性的应用问题，其中解答中合理利用换元法和函数的关系式，求得的值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12.已知数列是等差数列，，且，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的性质，求得，再由等差数列的性质，得到，代入即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据等差数列的性质可知，因为，则，又由，则，所以，同理，，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及函数的性质的应用，其中解答中熟练应用得出数列的性质，得到，再函数的函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为________【答案】40【解析】【分析】利用分层抽样的性质直接求解．【详解】某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为：20040．故答案为：40【点睛】本题考查抽取的高中生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.命题“，”是假命题，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】由题意，命题，是假命题，可得出二次函数与轴有交点，借助二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，命题，是假命题，可得出二次函数与轴有交点，又由二次函数的性质，可得即，解得或.【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求解参数问题，其中解答中根据命题为假命题，转化为二次函数的图象与轴没有公共点，再借助二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.15.在三棱锥中，顶点在底面的投影是的外心，，则面与底面所成的二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】【分析】由题意，取的中点为，证得是等边三角形，求得，又面与底面所成的二面角的大小为，所以角，进而求得球的半径，即可求解.【详解】由题意，取的中点为，由平面可得，又是的外心，可得，所以平面，所以，所以，又可得是等边三角形，所以，又面与底面所成的二面角的大小为，所以角，过的中心（为三等分点）做一条垂线与交于点，则为外接球球心，所以，所以外接球表面积为.【点睛】本题主要考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的计算问题，其中解中正确认识几何体的结构特征，熟练应用线面位置关系的判定和性质，确定球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于中档试题.16.已知定义在上的可导函数，对于任意实数都有，且当时，都有，若，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】令，则，得在上单调递减，且关于对称，在上也单调递减，又由，可得，则，即，即可求解.【详解】由题意，知，可得关于对称，令，则，因为，可得在上单调递减，且关于对称，则在上也单调递减，又因为，可得，则，即，解得，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数性质的综合应用，以及不等关系式的求解，其中解答中令函数，利用导数求得函数的单调性和对称性质求解不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等比数列的公比，，是，的等差中项，数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意，根据等比数列的性质和通项公式，求得等比数列的的值，即可求得数列的通项公式；（2）由数列的前项和为，利用数列与的关系，即可求解.【详解】（1）由题可知，，又，即，或（舍去）.（2）数列的前项和为，当时，当时，.，经检验，满足上式，.【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.18.已知，，分别是的内角，，所对的边，.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理，得，化简得，即可求解.（2）由（1）及余弦定理和基本不等式，求得，再利用面积公式，即可求解.【详解】（1）在中，由正弦定理，可得，又，，即，整理得：，又，.（2）由（1）及余弦定理得：，即，又，当且仅当时等号成立，，解得：，，（当且仅当时等号成立），故面积的最大值为.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．19.已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由题意，求得，令，分类讨论，即可求得函数的单调区间；（2）由（1）根据函数的单调性，求得函数的最值，令，得到，即可求解.【详解】（1）定义域，，令，，当时，，，则在单调递增，当时，，，，，则在单调递增；，，，则在单调递减.综上述：当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减（2）由（1）可知，当时，在单调递增，又，不可能满足题意，舍去.当时，在单调递增，在单调递减.若恒成立，则，令，则，解得，即，故，综上述：.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与有且只有一个公共点.（1）求实数的值；（2）已知点的直角坐标为，若曲线与：（为参数）相交于，两个不同点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得曲线的平面直角坐标方程和曲线的平面直角坐标方程，再根据直线与圆的位置关系，即可求解. （2）把直线的参数方程代入曲线的方程，根据参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）由曲线的参数方程，消去参数，得曲线的平面直角坐标方程为，根据极坐标与直角坐标的互化公式，得曲线的平面直角坐标方程为，曲线与有且只有一个公共点，即与相切，有，或(舍)，综上.（2），：，曲线的参数方程为（为参数），知曲线是过定点的直线，把直线的参数方程代入曲线得，所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数的几何意义的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知函数，（1）当时，解不等式；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）当时，得，分类讨论，即可求解.（2）由题意对任意的恒成立，转化为对任意的恒成立，借助函数的图象，即可求解.【详解】（1）当时，，所以，即求不同区间对应解集，所以的解集为.（2）由题意，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，所以函数的图象应该恒在的下方，数形结合可得.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
山西省太原市届高三数学上学期期末考试试题理
山西省太原市2018届高三数学上学期期末考试试题 理第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|320}A x x =+>，{|(1)(3)0}B x x x =+->，则A B =（ ）A ．(,1)-∞-B ．(3,)+∞C ．2(,1)(,)3-∞--+∞ D ．2(1,)3-- 2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，根据下列频率分布条形图（部分）可知，该校女教师的人数为（ ）A ．93B ．123C ．137D ．1673.已知a ，b 都是实数，那么“22a b>”是“22a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件4.对于复数z ，定义映射:f z zi →.若复数z 在映射f 作用下对应复数2+3i ，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第四象限B ．第三象限 C.第二象限 D ．第一象限 5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，636S =，则8a =（ ） A ．21 B ．15 C.12 D ．96.已知1(,1)2x ∈，ln a x =，2ln b x =，3ln c x =，那么（ ）A ．a b c <<B ．c a b << C.b a c << D ．b c a << 7.已知2sin()3πα-=cos(2)3πα+=（ ）A ．59-B ．23-C.23 D ．598.下图是实现秦九韶算法的一个程序框图，若输入的5x =，2n =，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s =（ ）A ．10B ．12 C.60 D ．65 9.51(1)x x++展开式中的常数项为（ ） A ．1 B ．21 C.31 D ．5110.已知函数3139y x x =-++的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为（ ） A ．14 B ．12C.32 D ．23311.已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）.若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（ ）A ．23 B ．43 C.83 D ．16312.已知函数()ln(1)f x x =+，()g x kx =（*k N ∈），若对任意的(0,)x t ∈（0t >），恒有2|()()|f x g x x -<，那么k 的取值集合是（ ）A ．{1}B ．{2} C.{1,2} D ．{1,2,3}第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数1()1x f x x +=-，[2,5]x ∈，则()f x 的最大值是 ． 14.不共线的三个平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，且||||1a b ==，||3c =，则||=a b c +- ．15.已知2(log )270f x x =+，那么(0)(1)(6)f f f +++= ．16.已知三棱柱111ABC A B C -所有棱长均相等，且1160BAA CAA ∠=∠=︒，那么异面直线1AB 与1BC 所成的角的余弦值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(21)n n S a =-，416a =，*n N ∈.（1）求1a 及数列{}n a 的通项公式；（2）设2n nn b a =，求数列{}n b 的最大项.18. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知tan tan tan A B A B +=.（1）求角C ；（2）若3c =，ABC ∆，求ABC ∆的周长. 19. 在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和7个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球.（1）设ξ表示摸出的红球的个数，求ξ的分布列和数学期望；（2）为了提高同学们参与游戏的积极性，参加游戏的同学每人可摸球两次，每次摸球后放回，若规定两次共摸出红球的个数不少于n ，且中奖概率大于60%时，即中奖，求n 的最大值.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD AB ⊥，PD BC ⊥，233AB AD =，30BAD ∠=︒. （1）证明：AD PB ⊥；（2）若PD AD =，BC CD =，60BCD ∠=︒，求二面角A PB C --的余弦值.21. 已知函数()xmxf x e =-（0m ≠）有极小值. （1）求实数m 的取值范围；（2）若函数2()(ln 1)xh x x e x ax =+-+在0x >时有唯一零点，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，写清题号.如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程22sin ρθθ=+.以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，且在两坐标系中取相同的长度单位，直线l 的参数方程为3,36x t y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程和直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点M 作与直线l 相交的直线，该直线与直线l 所成的锐角为30︒，设交点为A ，求||MA 的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时点M 的坐标. 23.选修4-5：不等式选讲设函数()|1||2|f x x x =++-2()54g x x x =-+-. （1）求不等式()5f x ≤的解集M ；（2）设不等式()0g x ≥的解集为N ，当x M N ∈时，证明：()()3f x g x ≤+.试卷答案一、选择题1-5:BCDAB 6-10:CADDB 11、12：CA 二、填空题13.3 14.4 15.2017 16.6三、解答题17.由题得4431816a S S a =-==，解得12a =，故122n n S +=-，则2n ≥时，12nn n n a S S -=-=，令1n =，12a =成立， 所以数列{}n a 的通项公式为2nn a =.（2）22n n n b =，222111(1)21222n n n n n n n n n b b ++++-++-=-=. 当12n ≤≤时，2210n n -++>，则1n n b b +>， 当3n ≥时，2210n n -++<，则1n n b b +<，故数列{}n b 前3项依次递增，从第3项开始依次递减， 所以数列{}n b 的最大项为398b =.18.（1）由tan tan tan A B A B ++=得tan tan tantan()1tan tan 1tan tan A B A B A B A B A B++===--又0A B π<+<，则23A B π+=，故()3C A B ππ=-+=.另解：由已知得sin sin sin cos cos cos cos A B A BA B A B++=，则sin())0A B A B ++=，即tan()A B += 又0A B π<+<，则23A B π+=，故()3C A B ππ=-+=.（2）由余弦定理及（1），得2222cos3c a b ab π=+-，则229a b ab +-=，又1sin 2ABC S ab C ∆===，则6ab =， 则222()29227a b a b ab ab ab +=++=++=，即a b +=所以ABC ∆的周长为3+19.0,1,2,3,ζ=373107(0)24C P C ξ===，123731021(1)40C C P C ξ===，21373107(2)40C C P C ξ===， 333101(3)120C P C ξ===， 则ξ的分布列为ξ的数学期望为()012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）设两次共摸出红球的个数为η，则0,1,2,3,4,5,6η=1(6)120120P η==⨯，42(5)120120P η==⨯，567(4)120120P η==⨯，2716(3)120120P η==⨯，5439(3)120120P η==⨯，4410(1)120120P η==⨯，1225(0)120120P η==⨯， 则有14256727165439(2)60.8%120120P η++++≥=≈⨯，则2n =.20.（1）由PD AB ⊥，PD BC ⊥，AB BC B =，得PD ⊥平面ABCD ，从而PD AD ⊥.又在ABD ∆中，又余弦定理得222212cos303BD AD AB AD AB AD =+-︒=， 则有222AD BD AB +=，所以90ADB ∠=︒，即AD DB ⊥， 又PDDB D =，则有AD DB D ⊥=，则有AD ⊥平面PDB ，故AD PB ⊥.（2）以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，设AD =A，P ，(0,1,0)B，1(,0)2C ， 设平面APB 的一个法向量为(,,)m x y z =，则30,0,m AB y m BP y ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩令1x =， 则y =1z =，故m=，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则有310,220,n BC x y n BP y⎧=--=⎪⎨⎪=-=⎩令1x =， 则有y =1z =-，故(1,1)n =-， 所以3cos ,||||55m n m n m n <>===-，由图知，二面角A PB C --的余弦值为35-. 21.（1）函数定义域为R ，(1)'()xm x f x e-=，令'()0f x =，得1x =， 当0m >时，若1x >，则'()0f x >；若1x <，则'()0f x <，故'()0f x <在1x =处取得极小值，当0m <时，若1x >，则'()0f x <；若1x <，则'()0f x >，故'()0f x <在1x =处取得极大值.所以实数m 的取值范围是(0,)+∞.（2）函数2()(ln 1)xh x x e x ax =+-+在0x >时有唯一零点，即方程ln 1x x x a e x+-=-在0x >时有唯一实根，由（1）知函数()x x p x e =-在1x =处取得最小值1e-， 设ln 1()x g x a x +=-，2ln '()xg x x=-，令'()0g x =，有1x =， 列表如下故1x =时，max ()(1)1g x g a ==-，又0x →时，()g x →-∞；x →+∞时，()0p x →，()g xa →-， 所以方程ln1x x x a e x +-=-有唯一实根，11a e -=-或0a -≥，此时a 的取值范围为1{|1a a e=+或0}a ≤.22.（1）曲线C的直角坐标方程为2220x y y +--=，表示圆心为C，半径为r =化为参数方程为1x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）直线l30y -+=. （2）由题知点M 到直线l 的距离1||2d MA =，设点,1)M θθ.则有点M 到直线l的距离d==， 其中cos3ϕ=-，sin 3ϕ=， 当sin()1θϕ+=，即2πθϕ+=时，max 3d=，max ||3MA =， 此时cos sin 3θϕ==，sin cos 3θϕ==-M ； 当sin()1θϕ+=-即32πθϕ+=时，min d =min ||MA =，此时cos sin θϕ=-=，sin cos θϕ=-=(0,2)M .综上，点M 坐标为时，max ||3MA =，点M 的坐标为(0,2)时，min ||3MA =.23.（1）()5|1||2|5f x x x ≤⇔++-≤，则有1,240,x x ≤-⎧⎨+≥⎩①或12,20,x -<<⎧⎨-≤⎩②或2,260,x x ≥⎧⎨-≤⎩③解①得21x -≤≤-，解②得12x -<<，解③得23x ≤≤， 则不等式的解集为{|23}M x x =-≤≤.（2）2()0540g x x x ≥⇔-+≤，解得14x ≤≤，则{|14}N x x =≤≤， 所以{|13}MN x x =≤≤.当12x ≤≤时，()3f x =，2259()()354()24f xg x x x x --=-+=--， 由351222x -≤-≤-，有259()024x --≤，则()()3f x g x ≤+成立. 综上，()()3f x g x ≤+成立.注：以上各题，其他正确解法相应得分.。
2018-2019学年山西省太原市东社中学高三数学文期末试题含解析
2018-2019学年山西省太原市东社中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，，且.现给出如下结论：①；②；③；④.；⑤；⑥其中正确结论的序号是( )A.①③⑤B.①④⑥C.②③⑤D.②④⑥参考答案：C函数的导数，即函数的极大值为，极小值为，因为，且，所以，且.又，所以，③正确，④错误；，所以②正确，①错误.又，所以，所以⑤正确，⑥错误.答案选C.2. 设函数在定义域内可导，的图象如图，则导函数的图象可能是（）参考答案：C3. 二次函数的部分图象如右图，则函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.参考答案：【知识点】导数的运算；二次函数的性质；函数零点的判定定理．B5 B9 B11【答案解析】C 解析：由图象可知，0＜f（0）=a＜1①，f（1）=0，即1﹣b+a=0②，由①②可得1＜b＜2，g（x）=e x+2x﹣b，且g（0）=1﹣b＜0，g（1）=e+2﹣b＞0，又g（x）的图象连续不断，所以g（x）在（0，1）上必存在零点，故选C．【思路点拨】由图象可知，0＜f（0）=a＜1，f（1）=0，从而可得b的范围，然后根据零点判定定理可得结论．4. 已知x、y满足约束条件，如果目标函数的取值范围为[0，2)，则实数a的取值范围是A．a≥1 B．a≤2 C．a＜2 D．a＜1参考答案：D5. 定义在R上的函数在区间[1，4]上单调递减，且是偶函数，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.参考答案：A6. 已知抛物线，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（）A． B． C． D．参考答案：C略7. 已知向量与向量的夹角为，且，又向量（且，），则的最大值为（）A． B．C． 2 D．3参考答案：A考点：向量数量积、二次函数（求最值）．8. 已知等比数列中，公比若则有（）(A)最小值-4 (B)最大值-4 (C)最小值12 (D)最大值12参考答案：C略9. 已知某几何体的三视图如右图所示，其中俯视图是圆，且该几何体的体积为；直径为2的球的体积为．则A． B．C． D．参考答案：C10. 已知z∈C，“”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断．【解答】解：对于复数z，若z+=0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+=0．∴“z+=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若α∈（0，）且cos2α+cos（+2α）=，则tanα=．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用．【分析】首先根据诱导公式和同角三角函数的关系式进行恒等变换，整理成正切函数的关系式，进一步求出正切的函数值．【解答】解：cos2α+cos（+2α）=，则：，则：，整理得：3tan2α+20tanα﹣7=0，所以：（3tanα﹣1）（tanα+7）=0解得：tan或tanα=﹣7，由于：α∈（0，），所以：．故答案为：12.已知命题P:关于x的不等式恒成立;命题Q:关于x的函数在[0,1]上是减函数.若P或Q为真命题,P且Q为假命题,则实数a的取值范围是参考答案：答案：13. 已知正数满足，则的最小值是_______.参考答案：3【知识点】均值定理的应用【试题解析】因为，所以所以当且仅当时，等号成立。